2019年四川大学微积分函数的连续性.ppt
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微积分函数的连续性
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
微积分
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
微积分
例2
讨论函数
f (x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
微积分
例3 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2 sin x cos( x x )
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2 sin x .
2
2
对任意的, 当 0时, 有 sin ,
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x)在点 x 0 连续.
" "定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
微积分
设：
x : x0 x, Vx @x x0
7-函数的连续性省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
单调递增 (递减). (证实略)
比如,
y
sin
x
在
[
2
,
2
] 上连续单调递增，
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
第16页
又如, y ex 在 ( , ) 上连续单调 递增, 其反函数 y ln x 在 ( 0, ) 上也连续单调递增.
定理3. （连续函数复合函数是连续）
x0
x) x
loga
e
例2. 求 lim a x 1. x0 x
解: 令 t a x 1, 则 x loga (1 t) ,
原式 lim t ln a t0 loga (1 t)
说明: 当 a e, x 0 时, 有 ln(1 x) ~ x, ex 1 ~ x
第22页
3
例3. 求 lim(1 2x)sin x .
x , 1 x
f (x) 0
当 x 1 时, x , f (x) 1 1 x
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0, 1处, f (x) 连续.
第13页
内容小结
1. f (x) 在点 x0 连续等价形式
lim
x x0
f
(x)
f (x0 )
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
左连续 右连续
2. f (x) 在点 x0 间断类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限最少有一 个不存在
第14页
高等数学-函数的连续性课件.ppt
(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
数学分析 函数的连续性(课堂PPT)
y
o
2
x0
x
o x0
x
y
o
x
12
二、函数的间断点
连续
[1] f (x)在x0有定义；
定义3 间断
若函数 f ( x)满足三个条件之一 : (1) f ( x)在点x0处无定义;
[2] lim f (x)存在； x x0
[3] lim x x0
f
(x)
f
( x0）.
(2) lim f ( x)不;
2、 指出
y
x2 x x ( x 2 1)
在
x0
是第________类间
断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1
是第_____类间断点 .
二、
研究函数
f
(
x
)
x, 1,
x x
1的连续性，并画出函数 1
的图形 .
2
29
三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函
(x) f
0)
(
f
x0 )
( x0
),
则称f ( x)在点x0处右连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续 .
2
7
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
函数 f ( x)在 x0 处连续
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
四川大学微积分函数-PPT课件
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示 元素.
a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)； a不是集合M的元素,记作aM (读作a不属于M).
微积分
函数-集合
例子 1. 1990年10月1日在南宁市出生的人。
2. 彩电、电冰箱、VCD。
3. x2-5x+6=0的根。
4. 全体偶数。
集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个 集合是确定的，是或不是二者必居其一。 由有限个元素构成的集合，称为有限集合。 由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；
A={a|P(a)}
例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为： A={x|x2-5x+6=0}
例：全体实数组成的集合通常记作R，即： R={x|x为实数}
微积分
函数-集合
子集
如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA 则 必 xB ， 就 说 A 是 B 的 子 集 ， 记 作 AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)
例如 y， 1x2 D:[1,1]
例如y， 1 1x2
D:(1,1)
微积分
函数-函数概念
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
例如 x2， y2a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点C 集 {x (,y)yf(x)x ,D }称为
函y数 f(x)的图 . 形
微积分
函数-函数概念
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
第二章7函数的连续性
初等函数在 定义区间内 连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.
连续函数经四则运算仍连续, 一切初等函数
连续函数的复合函数连续 在定义区间内
例如,
连续
y 1 x2 的连续区间为
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
而 y cos x 1 的定义域为 x 2n , n Z
因此它无连续点
利用连续函数的复合函数的连续性求极限
利用连续函数的复合函数的连续性求极限
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
连续函数的运算与
第二章
初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商 (分母不为 0) 运算的结果, 仍是一个在该点 连续的函数. ( 利用极限的四则运算法则证明)
例1. 求 解: 原式
1
lim (1 x) x
x0
例2. 求
解: 令 t a x 1, 则 x loga (1 t),
原式 lim t
t0 loga (1 t)
说明: 当
时, 有 ln(1 x) ~ x, ex 1 ~ x
例3 求 解: 原式
3 sin
x
ln(1
2x)
lim
3 sin x
ln(1
2x)
x0
说明: 若
lim
x0
3 x
2x
e6.
lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
xx0
xx0
lim [1 u(x)]v(x) e
微积分学PPt标准课件13-第13讲闭区间上连续函数的性质-PPT精选文档
a
b x
此时, 函数 f (x) 恰好在 [a, b] 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值.
y = f (x) [a, b] , 则
x [ a ,b ]
min f( x ) f( a ) ,
则
x [ a ,b ]
max f( x ) f( b ) .
y = f (x) [a, b] ,
令 M* = max { |m|, | M| }, 则 | f (x) | M* , 即 f (x) 在 [a, b] 上有界. x[a, b],
二.介值定理
y
先看一个图 描 述 一 下 这 个 现 象
f (b )
y = f (x)
O a f (a) f (x)C ( [a, b] ), f (a) f (b) < 0,
( )= 0, 即 f ( ) = C .
最大、最小值定理
引入
介质定理
？
推论
设 f (x) C ( [a, b] ), 则 f (x) 取得
介于其在 [a, b] 上的最大值 M 和最小
值 m 之间的任何一个值.
例1
设 f (x)C ( [a, b] ),
a < x1< x2 < … < xn < b, 证明: 至少存在一点 [x1 , xn ], 使得
下面看看, 坐标平移会产生什么效果.
y
y = f (x) f (b) =B
f ( ) = C
O a
O a
f (a) =A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y C x b x x x x x
b
如何描述这个现象?
定理2 (介值定理)
微积分--极限与连续 ppt课件
考虑当
x
，函数
y1 x
的变化情况
y
O
x
lim 1 0. x x
ppt课件
15
定义：对任意的正数，如果总存在一个正数X， 使得当 x >X时，f (x)-A < ,则称当x 时， f (x)以A为极限，记为 lim f (x)=A.
x
ppt课件
16
x 的理解：
10. x 情形 : lim f ( x) A x
ppt课件
35
§2.5 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0.
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意 :{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
x0时的极限,
记作
lim
x x0
f (x)=A.
" "定义
0, 0,使当0 x x0 时,恒有 f ( x) A .
注意 :{x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
ppt课件
24
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关; 2.与任意给定的正数有关.
ppt课件
33
四川大学微积分 极限与连续
要使 f ( x ) − A < ε ,
只要取 δ = ε ,
x −1 ∴ lim = 2. x →1 x − 1
2
x2 − 1 当0 < x − x 0 < δ时, 就有 − 2 < ε, x −1
微积分
例5
证明 : 当x0 > 0时, lim
x → x0
x=
x0 .
证 ∵ f ( x) − A =
——刘徽 刘徽
播放
微积分
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
⋯⋯
⋯⋯
正 6 × 2 n −1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,⋯ , An ,⋯
S
微积分
2、截丈问题： 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰 1 第一天截下的杖长为 X 1 = ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X 2 = + 2 ; 2 2
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ; x > X 表示x → ∞的过程 .
微积分
1、定义： 、定义：
定义 1 不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x > X 的一切
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
( −1)n−1 当 n 无限增大时 , xn = 1 + 无限接近于 1. n
无限接近” 问题: 无限接近 意味着什么? 问题 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 刻划它.
∵
xn − 1 = ( −1)
n −1
只要取 δ = ε ,
x −1 ∴ lim = 2. x →1 x − 1
2
x2 − 1 当0 < x − x 0 < δ时, 就有 − 2 < ε, x −1
微积分
例5
证明 : 当x0 > 0时, lim
x → x0
x=
x0 .
证 ∵ f ( x) − A =
——刘徽 刘徽
播放
微积分
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
⋯⋯
⋯⋯
正 6 × 2 n −1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,⋯ , An ,⋯
S
微积分
2、截丈问题： 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰 1 第一天截下的杖长为 X 1 = ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X 2 = + 2 ; 2 2
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ; x > X 表示x → ∞的过程 .
微积分
1、定义： 、定义：
定义 1 不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x > X 的一切
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
( −1)n−1 当 n 无限增大时 , xn = 1 + 无限接近于 1. n
无限接近” 问题: 无限接近 意味着什么? 问题 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 刻划它.
∵
xn − 1 = ( −1)
n −1
函数的连续性PPT课件
是第_____类间断点 .
x, x 1
二、研究函数 f ( x)
的连续性，并画出函数
1, x 1
的图形 .
2021/8/2
函数与极限
23
第23页/共27页
三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续 .
1、
f
(
x)
x 3
1, x,
3.第二类间断点 如果 f ( x)在点x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点x 为函数 0
f ( x)的第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点. 这种情况称为无穷间断点.
x x
1在 1
x
R
上
.
2、 f ( x) x ,在x R 上 . tan x
四、讨论函数f( x Nhomakorabea lim n
1 1
x 2n x 2n
的连续性，若有间断
点，判断其类型 .
五、试确定 a, b 的值,使 f ( x) e x b ， ( x a)( x 1)
（1）有无穷间断点x 0 ；（2）有可去间断点x 1 .
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时 , 当x是无理数时 ,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
2021/8/2
x1 o
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或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
微积分
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
" " 定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .
微积分
设：
x : x0 x, x x x0
y : f ( x0 ) f ( x),
x0
y
f ( x) f ( x0 )
定义1： lim y 0
x x0
微积分
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
lim f ( x) f ( x0 ) 定义2： x x
0
定义3 : 0, 0,当|x x0| 时,|f ( x) f ( x0 )|<
都称为f ( x)在x0处连续。
微积分
注意
f [ x]在x0处连续意味着极限运算与函数运算可以交换顺序。
ie
x x0
lim f ( x) f (lim x) f ( x0 ).
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
微积分
例3 证明 函数 y sin x在区间( ,)内连续. 证
任取 x (,),
x x cos( x ) 2 2 x 则 y 2 sin . 2
y sin( x x ) sin x 2 sin
微积分
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
y
y f ( x)
(1) f ( x )在点x0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足, 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续 (或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
微积分
x 2, x 0, 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0), 解 lim
微积分
第二章 极限与连续
• • • • • • • 数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性
微积分
2.7 函数的连续性
微积分
函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：
当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开.
微积分
1.跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x )的跳跃间断点.
x, 例5 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
微积分
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x 0 ) 内有定义, 如果
函数 f ( x ) 当 x x 0 时的极限存在, 且等于它在
f ( x ) f ( x ) 点 x 0 处的函数值 f ( x 0 ) ,即 lim 0 x x
0
那末就称函数 f ( x ) 在点x 0 连续.
y
y y
y f ( x)
0
x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
微积分
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
lim y 0 数的增量y 也趋向于零,即 x0
x 0
微积分
Hale Waihona Puke 3.单侧连续若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续.
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
有 sin ,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
微积分
二、函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个 条件 :