第二章第二节函数的简单性质(4)
第二章 第2节 初等函数
解：由对数函数的定义知：
lni
=
ln
|
i
|
+i
arg
i
=
π
2
i;
ln(−2 + 3i) = ln | −2 + 3i | +i arg(−2 + 3i)
=
1 2
ln13
+
i
arg(π
−
arctan
3 2
)
四 、幂函数
对任意给定的复数α，定义幂函数如下:
w = zα = eαLnz , z ≠ 0. α是正实数且 z = 0 时，规定: zα = 0.
w = Lnz = ln|z| + iArgz, z ≠ 0
对数函数的主值(Principal value)
相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数 Lnz的主值lnz为：
w = lnz = ln | z | +i arg z,
则这时，有
w = Lnz = ln | z | +i arg z + 2kπ i = ln z + 2kπ i,
由解析性,A(y),B(y)满足C.-R.方程:
A( y) = B '( y), A'( y) = −B( y), 解得 A( y) = cos y, B( y) = sin y,
因此， f (z) = e x (cos y + i sin y) ez
称为复指数函数(Exponent Function),当Rez=0 即得欧拉公式：
0, ∞ 任何简单无界连续曲线K称为支割线,
当自变量z从支割线一侧穿越至另一侧时,Argz 从一个分支变为另一分支.
《高等数学B1》课程教学大纲
《高等数学B1》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标《高等数学B1》（微积分）国家教委在高校财经类专业中设置的核心课程之一。
通过本课程的学习，可使学生比较系统地获得函数、微积分等方面的概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程奠定必要的数学基础；使学生获得从事经济管理技术教育或研究所必需的微积分知识；学会运用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力、空间想象能力和运算能力；树立辩证唯物主义观点和创新意识。
1．学好基础知识。
理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。
2．掌握基本技能。
能够根据法则、公式正确地进行运算。
能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
3．培养思维能力与想象能力。
能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。
能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。
能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。
对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。
三、教学学时分配《高等数学B1》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章函数（8学时）（一）教学要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法。
了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
会建立简单应用问题中的函数关系。
2．了解反函数及隐函数的概念，理解复合函数和分段函数的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
3．掌握常用的经济函数关系式。
（二）教学重点与难点教学重点：函数、复合函数和初等函数的概念教学难点：复合函数的概念（三）教学内容第一节函数概念1．常量与变量2．函数的概念3. 函数的表示方法第二节函数的简单性质1．单调性2．奇偶性3. 有界性4. 周期性第三节反函数1. 反函数的概念2. 反三角函数第四节初等函数1. 基本初等函数2. 复合函数3. 初等函数第五节经济学中常用的函数1. 需求函数与供给函数2. 成本函数、收益函数与利润函数本章习题要点：复合函数的分解与复合，经济函数第二章极限与连续（12学时）（一）教学要求1．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
蒋王中学高一函数的简单性质(4)
2．1．3函数的简单性质（4）一、学习目标加深对函数单调性、奇偶性理解，了解单调性与奇偶性之间的关系，会灵活利用性质解决有关问题。
重点：加深对函数单调性、奇偶性理解，会灵活利用性质解决有关问题。
难点：单调性与奇偶性的综合应用。
二、课前自学1．函数cx bx x x f ++=25)(是奇函数，函数3)(2++=cx x x g 在()3,∞-上为减函数，在()+∞,3上为增函数，则b=___________,c=______________2.若函数3)1()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，则)(x f 的递减区间是_________.3.画出函数)3,3(,22--=x x y 的图象（草图），据图象指出函数的单调区间，并指明其单调性，此函数是否具有奇偶性？4．已知偶函数)(x f y =的定义域为R ，且在()+∞,0上是增函数，则)(),3(),1(π--f f f 的大小关系是________________.5. 已知函数)(x f 是偶函数且其图象与x 轴有5个交点，则方程0)(=x f 的所有实根的和为__________________三、问题探究例1 已知)(x f 是奇函数，在()+∞,0上是增函数。
证明：)(x f 在()0,∞-上也是增函数。
（若函数)(x f 是偶函数呢？）小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性___________奇函数在关于原点对称的区间上单调性___________例2 已知函数nx mx x f ++=32)(2是奇函数，且35)2(=f （1） 求实数m 和n 的值。
（2） 判断函数)(x f 在)0,(-∞上的单调性，并加以证明。
例３ 已知函数)(x f 的定义域为（－１，１），且同时满足下列三个条件：（１）)(x f 是奇函数；（２）)(x f 在定义域上单调递减；（３）)1()1(2a f a f -+-<0求a 的取值范围。
新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数 简单幂函数的图象和性质课件北师大版必修第一册
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 幂函数的概念 一般地,形如_____y_＝__x_α_(α_为__常__数__)___的函数,即底数是自变量、指数
是常数的函数称为幂函数． 思考1：幂函数的解析式有什么特征？ 提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．
y＝x2 __偶___函数
_[_0_,＋__∞__)
y＝x3 _奇___函数 ___R___
y＝1x
1
y＝x2
__奇___函数
_非__奇__非__偶__ 函数
无
_[_0_,_＋__∞_)__
减区间
无
__(－__∞__,0_)_
无
_(－__∞__,0_)_,_(0_, ＋__∞__) ____
无
定点
___(_1_,_1_) ___
思考2：在区间(0,＋∞)上,幂函数有怎样的单调性？ 提示：幂函数在区间(0,＋∞)上,当α＞0,y＝xα是增函数；当α＜0时,y ＝xα是减函数．
基础自测
1．下列函数为幂函数的是
( D)
A．y＝2x4
B．y＝2x3－1
C．y＝2x
D．y＝x2
[解析] y＝2x4 中，x4 的系数为 2，故 A 不是幂函数；y＝2x3－1 不
第二章 函 数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质
【素养目标】 1．通过具体实例,理解幂的概念．(数学抽象) 2．会画简单幂函数的图象,并能根据图象得出这些函数的性质．(直 观想象) 3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)
【学法解读】 以五种常见的幂函数为载体,学生应自己动手在同一个平面直角坐标 系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研 究一般幂函数的图象和性质．
北师大版高中数学必修第一册 第二章 4-2《简单幂函数的图象和性质》课件PPT
1
∵点 −2, 4 在幂函数g(x)的图象上,∴4=(-2)b,解得b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练
如果幂函数 = 2 − 3 + 3
2 −−2
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
典例剖析
例1
幂函数的概念
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性
奇函数
偶函数
奇函数
奇偶性
单调性
公共点
在R上是 增函数
在[0,+∞)上单调递增 ,
在(-∞,0]上 单调递减
在R上是 增函数
(0,0), (1,1)
=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)上是增函数
= −
奇函数
在(0,+∞)上 单调递减 ,
(完整版)北师大版高中数学课本目录
必修1 第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1 函数概念2.2 函数的表示法2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念5.2 y=log2x的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平型关系的判定5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率1.2 直线的方程1.3 两条直线的位置关系1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分布5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想 1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率 1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像6.1正弦函数的图像6.2 正弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质7.2 正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特征§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理 1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全。
高中数学第二章函数-函数及其性质(竞赛精讲)
第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。
若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。
（3） 若函数满足()(2)f x f ax =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。
（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。
2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。
判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。
3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。
若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。
（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。
（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。
（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。
高中数学课本目录(北师大版)
必修1第一章集合集合的含义与表示集合的基本关系集合的基本运算第二章函数生活中的变量关系对函数的进一步认识函数的单调性二次函数性质的研究简单的幂函数第三章指数函数和对数函数正整数指数函数指数概念的扩充指数函数对数对数函数指数增长，幂增长，对数增长的比较第四章函数应用函数与方程实际问题的函数建模必修2第一章立体几何初步简单几何体直观图三视图空间图形的基本关系与公理平行关系垂直关系简单几何体的面积和体积第二章解析几何初步直线与直线的方程圆与圆的方程空间直角坐标系必修3第一章统计从普查到抽样抽样方法统计图表数据的数字特征用样本估计总体统计活动：结婚年龄的变化相关性最小二乘估计第二章算法初步算法的基本思想算法框图的基本结构与设计几种基本语句第三章概率随机时间的概率古典概型模拟方法---概率的应用必修4第一章三角函数周期现象角的概念的推广弧度制正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数的性质与图像与弦函数的性质与图像正切函数函数()ϕω+=xAy sin的图像三角函数的简单应用第二章平面向量从位移、速度、力到向量从位移的合成到向量的加法从速度的倍数到数乘向量平面向量的坐标从力做的功到平面向量的数量积平面向量数量积的坐标表示向量应用举例第三章三角函数恒等变换两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数的简单应用必修5第一章数列数列等差数列等比数列数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例第三章不等式不等关系一元二次不等式基本不等式简单线性规划选修I系列（文史）1—1第一章常用逻辑用语（命题充分条件与必要条件全称量词与存在量词逻辑连接词“或”“且”“非”）第二章圆锥曲线与方程（椭圆抛物线双曲线）第三章变化率与导数（变化的快慢与变化率导数的概念及其几何意义计算倒数导数的四则运算法则）第三章导数的应用（函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用）1—2 第一章统计案例（回归分析独立性检验）第二章框图（流程图结构图）第三章推理与证明（归纳与类比数学证明综合法与分析法反证法）第四章数系的扩充与复数的引入（数系的扩充与复数的引入复数的四则运算）选修II系列（理工）2—1第一章常用逻辑用语（命题充分条件与必要条件全称量词与存在量词逻辑连接词“或”“且”“非”）第二章空间向量与立体几何（从平面向量到空间向量空间向量的运算向量的坐标表示和空间向量基本定理用向量讨论垂直于平行夹角的计算距离的计算）第三章圆锥曲线与方程（椭圆抛物线双曲线曲线与方程）2—2第一章推理与证明（归纳于类比综合法与分析法反证法数学归纳法）第二章变化率与导数（变化的快慢与变化率导数的概念及其几何意义计算导数导数的四则运算法则简单复合函数的求导法则）第三章导数的应用（函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用）第四章定积分（定积分的概念微积分基本定理定积分的简单应用）第五章复数（数系的扩充与复数的引入复数的四则运算）2—3第一章计数原理（分类加法计数原理和分步乘法计数原理排列组合简单计数问题二项式定理）第二章概率（离散型随机变量及其分布列超几何分布条件概率与独立事件二项分布离散型随机变量的均值与方差正态分布）第三章统计案例（回归分析独立性检验）选修III系列（不做高考内容）文化类：选修3-1 数学史选讲代数类：选修3-6 三等分角与数域扩充选修3-4 对称与群几何类：选修3-3 球面几何选修3-5 欧拉公式与闭曲面分类应用类：选修3-2 信息安全与密码选修IV系列（有高考内容）代数类：选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲选修4-6 初等数论初步几何类：选修4-1 几何证明选讲选修4-2 矩阵与变换分析类： 选修4-3 数列与差分应用类： 选修4-7 优选法与试验设计初步选修4-8 统筹法与图论初步选修4-9 风险与决策选修4-10开关电路与布尔代数*代表模块， 代表专题，其中2个专题组成1个模块.选修3-6 选修3-5选修3-4 选修3-3 选修3-2 选修3-1 选修4-10选修4-4选修4-3选修4-2选修4-1……（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高中数学必修一知识点总结(学习笔记)
数学笔记必修一第一章：集合第一节：集合的含义及表示一、定义：（描述性）一定范围内，某些确定的．．构成一个集合．．．对象的全体．．．、不同的二、表示：1.列举法：A={a、b}2.描述法：{x|p（x）}代表元分割线代表元满足的性质3.图示法：（数轴、Venn图）三、特点：确定性、互异性、无序性四、常用数集N自然数集N*、N+正整数集Z整数集Q有理数集R实数集五、元素与集合的关系a M ∈、a M ∉（两者必居其一）六、集合相等两个集合所含元素完全相同 A B =七、集合的分类1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集∅ 不含有任何元素的集合第二节：子集、全集、补集（一）子集一、定义（文字）A 中的任一元素都属于B（符号）B A ⊆（或)A B ⊇（图形）或（二）真子集一、定义（文字）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A （符号）A ≠⊂B （或B ≠⊃A ） B AA(B)（图形）注意空集是任何非空集合．．．．的真子集A ≠∅⊂（A 为非空子集）（三）补集一、定义（文字）设U A ⊆，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集（符号）U A ={|,}x x U x A ∈∉且（图形）第二节：子集、全集、补集（一）交集一、定义（文字）由所有属于集合A 且．属于集合B 的元素构成的集合称为A 与B 的交集（符号）{|,x x A ∈且．}x B ∈（图形）BA（二）并集一、定义（文字）由所有属于集合A或者．．属于集合B的元素构成的集合称为A与B的交集（符号）{|,x x A∈或．}∈x B Array（图形）1（三）区间设,a b是两个实数，且a b<，规定闭区间a x b≤≤[,]a b；开区间a x b<<(,)a b；半开半闭区间（左闭右开）a x b≤<[,)a b（左开右闭）a x b<≤(,]a b,,,≥>≤<x a x a x b x b+∞+∞-∞-∞．a ab b[,),(,),(,],(,)注意：对于集合{|}<<与区间(,)x a x ba b，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b<，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．第二章：函数第一节：函数的概念一、定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B二、三要素：定义域、值域和对应法则三、相同函数：定义域相同，且对应法则也相同的两个函数四、函数定义域：1.()f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．2.()f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．3.对数函数的真数大于零4.对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零5. tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈． 6. 零（负）指数幂的底数不能为零．7. 若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．8. 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．9. 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．10. 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．五、求函数值域（最值）：1. 观察法：初等坐标函数2. 配方法：二次函数类3. 判别式法：二次函数类 2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥4. 不等式法：基本不等式5. 换元法：变量代换、三角代换6. 数形结合法：函数图象、几何方法7. 函数的单调性法．8. 分离常数法:反比例类六、函数的表示方法：解析法● 列表法● 图象法(不是所有函数都有图像)七、分段函数八、复合函数九、求函数解析式1. 配凑（换元)法2. 待定系数法:已知函数模型3. 方程组法:互为相反数、互为倒数第二节：函数的简单性质(一) 、单调性一、定义如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．注意1.不在区间．．内谈单调增或单调减都无意义2.端点不计入区间3.一般情况下单调区间不能并4.单调区间≠区间单调二、证明1.任取2.作差3.变形4.定号5.下结论三、证明1.定义2.初等坐标函数、已知函数3.函数图象（某个区间图象）4.复合函数：同増异减（二）、最值一、定义（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ① 对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤② 存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：① 对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥② 存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．● 注意:开区间无最值 二、题型● 定函数动区间● 动函数定区间● 注意:抓住对称轴和区间的相对关系（二）、奇偶性一、定义（1）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（2）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．二、证明1. 定义域f(x)的定义域．．．为——任意的 ⊆x ——2. f(－x)与f(x)3. 下结论正确——严格证明错误——举出反例奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 两个反例注意：1. 分段函数要分段讨论2. 0可单独讨论3. 若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f = 三、应用1. 定义（一般到一般）2. 代“0”（特殊到一般）需检验四、奇偶性●若奇函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调增●若偶函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调减第三节：映射的概念一、定义设A、B是两个非空．．集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个．．的元素和它对应，．．．．元素，在集合B中都有唯一那么这样的对应叫做集合A到B的映射，记作:f A BB●注意可用树状图考虑第三章：指数函数、对数函数和幂函数第一节：指数函数（一）、根式一、定义如果,,,1nx a a R x R n=∈∈>，且n N+∈，那么x叫做a的n次方根➢当n是奇数时，a的n➢当n是偶数时，正数a的正的n负的n次方根用符号➢0的n次方根是0；负数a没有n次方根．根指数根式被开方数●当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a≥．二、性质：(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩n a=；当na=；当n为偶数时，．三、分数指数幂1. (0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈2. ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈3.()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（二）指数函数一、定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数二、图像与性质三、图像移动及解析式变化➢ 平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位➢ 伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸➢ 对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去四、指数型复合函数换元 取值范围、单调性同增异减初级坐标函数 值域、单调性五、指数函数的应用1. 审题 归纳2. 建模 注意定义域 “指数型函数”模型3. 求解（解模）4. 还原（结论——答）● 注意1. 每一个步骤读一遍题2. 注意定义域、精确度第二节：对数函数（一）对数 一、定义如果a （．a ．＞．0．，．a ．≠．1．）．的b 次幂等于N 即a b=N那么就称b 是以a 为底N 的对数 记作log a N=b底数 真数．二、互化log x a x N a N a a N =⇔=>≠> x a x N a N a a N =⇔=>≠ (x a x N a N a a =⇔=>≠ x ax N a a N =⇔=>≠> (a x N N a a N ==>≠>对数 底数 真数 底数 指数 幂 根指数 被开方数 方根三、常用对数与自然对数➢ 常用对数：lg N ，即10log N ；➢ 自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．四、运算1. 加法：log log log ()a a a M N MN +=2. 减法：log log log a a a M M N N-=3. 数乘：log log ()n a a n M M n R =∈4. logaNa N=5. log log (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ 6. 换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且 （二）对数函数一、定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数二、图像与性质单调性在(0,)+∞上是减函数+∞上是增函数在(0,)过定点（1，0）、（a，1）渐近线y轴三、题型1.比较大小①利用单调性②利用图像（真数相同）③利用中间值2.解不等式3.求值4.判断奇偶性第三节：幂函数一、定义函数y xα=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数一、图像与性质● 定义域：(0,)+∞一定有定义 ● 过定点：(1,1)． ● 单调性：[0,)+∞上➢ 0α>，过原点、(0,)+∞上为增函数． ➢ a=0，常函数➢ 0α<，(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ● 奇偶性：➢ 当α为奇数时，幂函数为奇函数， ➢ 当α为偶数时，幂函数为偶函数．➢ 当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，➢ 若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数， ➢ 若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数． ● 图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，➢当1α>时，若01x>，其图<<，其图象在直线y x=下方，若1x象在直线y x=上方，➢当1α<时，若01x>，其图x<<，其图象在直线y x=上方，若1象在直线y x=下方．第四节：函数的应用（一）、零点一、定义对于函数))(=xf成立的实数x叫做函y∈=，把使0f(D)(xx数)fy∈=的零点x)((Dx二、意义函数)(xy=的零点f方程0)xf实数根(=函数)(xy=的图象与x轴交点的横坐标f●注意1.零点不是点2.穿过零点，y值变号y值变号，穿过零点（图像连续．．．．不断．．）三、求法1．（代数法）①证单调区间②零点定理1．（几何法）交点（二）、零点定理一、定义设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续．．，且f(a)× f(b)<0，那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点二、应用（二次函数的实根分布）已知二次函数 2()f x ax bx c =++（a ＞0）设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠（a ＞0）的两实根为12,x x ，①k ＜x 1≤x 2∆ ＞0k ＜2bx a=-f (k )＞0②x 1≤x 2＜k∆ ＞0k ＞2bx a=-f (k )＞0③x 1＜k ＜x 2f (k )＜0④k1＜x1≤x2＜k2∆＞0f(k1)＞0f(k2)＞0k1＜2bxa=-＜k2⑤k1＜x1＜k2f(k1)＞0f(k2)＜0。
第二讲函数的概念(下)
奇 设函数F(x)在某区间I上有定义，I为关 偶 于原点对称的区间，若对于任意x∈I， 性 都有F(-x)=F(x)，则称F(x)为偶函数；
若F(-x)=-F(x) ，则称F(x)为奇函数．
周 设函数F(x)在某区间I上有定义，若存 期 在不为零的数T,使得对于任意x∈I,都有 性 F(x+T)=F(x)，则称F(x)为周期函数，T
13
二、复合函数
复合函数的求法： (1)对于非分段函数常用直接代入的方法； (2)对于分段函数常用讨论的方法. 例3 求下列函数的复合函数
(1) y sin u, u ln x (2) y u, u x 1
二、复合函数
例3 求下列函数的复合函数
(1) y sin u, u ln x (2) y u , u x 1 解 (1)由于y sin u的定义域为 (,), u ln x 的定义域为[0,), 值域为 (,),
第一章 函数
第二节 复合函数 第三节 初等函数 第四节 函数模型
复习
复习
函数
六、函数的简单性质
基本特性定义
几何特征
有 设函数F(x)在某区间I上有定义，若存 界 在正数M，使得|F(x)|≤M，则称F(x)在 性 M上有界
单 设F(x)在区间上I有定义，对于I内任意 调 两点x1,x2当x1<x2时有F(x1)<F(x2),则称 性 F(x)在I上单调增加；若F(x1)>F(x2)则称
问y f [g( x)]是不是复合函数 .
解： 因为u g( x) 的值域G[2, )， y f (u) 的定义域 Df [1, 1]，ＧDf F，
所以 y f [g( x)] arcsin(2 x2 ) 不是复合函数。
2020-2021数学北师大版第一册教师用书：第2章 §4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析
2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第2章§4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析4.2简单幂函数的图象和性质学习目标核心素养1。
了解幂函数的概念．(重点）2．掌握y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝错误!，y＝x错误!的图象与性质．(重点)3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．（重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．1．幂函数的概念形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．思考：y＝1错误!是幂函数吗？提示:是．因为它可写成y＝x0错误!的形式．2．幂函数的图象如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；（2）y＝x错误!；(3）y ＝x2;（4）y＝x－1；(5）y＝x3的图象．3．幂函数的性质(1）所有的幂函数在（0,＋∞)上都有定义，并且图象都过点（1,1）;（2)α〉0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0，＋∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸;当0<α〈1时，幂函数的图象上凸；（3)α〈0时，幂函数的图象在区间（0,＋∞)上是减函数．1．已知幂函数f错误!＝kxα的图象过点错误!，则k＋α等于(）A．错误!B．1C．错误!D．2C[由幂函数的定义知k＝1.又f错误!＝错误!，所以错误!错误!＝错误!，解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!。
]2．函数y＝x错误!的图象是（）A B C DB[当0<x〈1时，x错误!>x；当x〉1时，x错误!<x，故选B。
］3．已知幂函数f(x)＝（t3－t＋1)x错误!(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的,则函数的解析式为________．f（x）＝x2［∵f(x)是幂函数,∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1或t＝0或t＝1.当t＝0时,f(x）＝x错误!是非奇非偶函数，不满足题意；当t＝1时，f（x）＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞）上是减少的，不满足题意；当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．综上所述,实数t的值为－1，所求解析式为f(x)＝x2.］4．已知函数f(x）＝（2m－3)x m＋1是幂函数．(1）求m的值；（2)判断f(x）的奇偶性．[解］(1）因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1,即m＝2。
第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4.1函数的奇偶性1函数奇偶性的概念 课件
【典例】已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=
.
【思路导引】根据f(x)的解析式发现f(x)为非奇非偶函数,设一个新函数g(x),
根据新函数的奇偶性求出f(3)的值.
【解题策略】 已知函数的某一个自变量值,求对应的函数值时,常利用函数的奇偶性或部分
函数的奇偶性求值.
f(-x)=_f_(_x_)_
f(-x)= _-_f_(_x_)_
关于_y_轴__对称
关于_原__点__对称
(2)本质:奇偶性是描述函数图象对称性的性质. (3)应用:研究具有奇偶性的函数性质时,先研究它在非负区间上的性质,再利用 对称性可知它在非正区间上的性质.
【思考】 具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?
【题组训练】
1.函数f(x)= 1 x2 x2 1 的奇偶性是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
x 1, x＜0，
2.函数f(x)= 0, x 0， 的奇偶性是
x 1, x＞0
A.奇函数
B.偶函数
()
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
3.函数f(x)= 1 1 的奇偶性是 ( )
提示:定义域关于原点对称.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1) 对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.
() (2) 若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. ( ) (3)奇函数的图象一定过(0,0). ( )
x 1 x 1
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
北师版高考总复习一轮理科数精品课 第2章 函数的概念与性质 第4节 幂函数与二次函数
1
a= ,所以
9
1
f(x)= (x+2)2-1,即
9
1 2 4 5
f(x)= x + x- .
9
9 9
考点三
二次函数的图像与性质(多考向探究)
考向1.二次函数的图像
典例突破
例3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,
图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:
选项符合题意,故选C.
考向2.二次函数的单调性与最值
典例突破
例4.(2021新疆乌鲁木齐模拟)若定义在R上的二次函数f(x)的值域为[-4,
+∞),且满足f(1+x)=f(1-x),f(2)=-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[t,t+1]上的最小值g(t).
解:(1)由于f(1+x)=f(1-x),则二次函数f(x)的图像关于直线x=1对称,因为二次
衍生考点
核心素养
1.幂函数的图像与性质
2.二次函数的解析式
3.二次函数的图像
4.二次函数的性质
5.三个“二次”之间的关
系
1.数学抽象
2.直观想象
3.数学运算
4.逻辑推理
强基础 增分策略
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数 y=xα
叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.
微点拨幂函数的特点:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα图像上的一些特殊
点,如函数图像与y轴的交点,与x轴的交点等.
从这三方面入手,能准确地判断出二次函数的图像,反之,也能从图像中得
一轮复习北师大版第2章第2节 函数的单调性与最值课件(59张)
考点二 函数单调性的判断与证明 1．定义法证明函数单调性的步骤
2．判断函数单调性的四种方法 (1)图像法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3．证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法．
[典例 2] 试讨论函数 f (x)＝x－ax1(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 【四字解题】
3．若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是 ________．
－∞，－12 [因为函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，所以 2k＋1＜0，即 k＜－12．]
4．已知函数 f (x)＝x－2 1，x∈[2，6]，则 f (x)的最大值为________， 最小值为________．
前提 设函数 y＝f (x)的定义域为 D，如果存在实数 M 满 足
①对于任意的 x∈D，都 ①对于任意的 x∈D，都
条件 结论
有__f _(x_)_≤_M____；
②存在 x0∈D，使得 _f_(_x_0_)＝__M___
M 为 y＝f (x)的最大值
有_f_(_x_)≥__M____；
②存在 x0∈D，使得 __f _(x_0_)_＝__M__
A [函数 y＝e－x 定义域为 R 且为减函数．y＝x3 定义域为 R 且为 增函数．函数 y＝ln x 定义域为(0，＋∞)．函数 y＝|x|定义域为 R， 但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故选 A．]
2．函数 f (x)＝x2－2x 的单调递增区间是________． [1，＋∞) [f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因此函数 f (x)的单调递 增区间为[1，＋∞)．]
2．函数 f (x)＝x－x 1的单调递减区间为________． (－∞，1)和(1，＋∞) [由 x－1≠0 得 x≠1， 即函数 f (x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 又 f (x)＝x－x 1＝x－x－11＋1＝1＋x－1 1，其图像 如图所示，由图像知，函数 f (x)的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋ ∞)．]
高等数学二
第一章 函数、极限和连续第一节 函 数一、函数的概念1. 函数的定义 （了解）设在某个变化过程中有两个变量x 和y ，变量y 随变量x 的变化而变化。
当变量x 在一个非空实数集合D 上取某一个数值时，变量y 依照某一对应规则f 总有唯一确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为D)(x )(∈=x f y ，其中x 叫做自变量，y 叫做因变量或函数。
数集D 称为这个函数的定义域，记为D 或)(f D 。
当x 取定值x 0时所对应的y 的数值)(00x yf =或|0x x y =，称为当x x =0时，函数)(x f y =的函数值。
全体函数值的集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数)(x f y =的值域，记为Z 或)(f Z 。
2.分段函数 （了解）函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。
形如：⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=D D x x g x x f y 21 )( )(例如：⎩⎨⎧>≤+=1, 1, 1x 32x x x y 就是定义在()∞+∞- , 内的分段函数。
3.隐函数 （了解）函数y 与自变量x 的对应规则用一个方程0),(=y x F 表示的函数，称为隐函数。
例如0422=-+y x 就是一个隐函数。
4.反函数 （了解）二、函数的简单性质1.函数的单调性 （了解）设函数)(x f y =在区间()b , a 内有定义，如果对于()b , a 内的任意两点21x x <，若恒有)()(21x f x f ≤,则称)(x f 在区间()b , a 内单调增加； 若恒有)()(21x f x f ≥,则称)(x f 在区间()b , a 内单调减少；若恒有)()(21x f x f <,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调增加；若恒有)()(21x f x f >,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调减少。
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0 a 2 即： 0 a 1 a 1 2a 1
解之得： a 1 0
例3．已知函数f(x)对于任意的实数x、y，都有f(x＋y) ＝f(x)＋f(y) (1)求f(0)的值； (2)试判断函数f(x)的奇偶性； (3)若x＞0都有f(x)＞0，试判断函数的单调性． 解:(1)令x=0代入f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得：
练习1：
递减 1、函数y=-2x为单调____函数.
, ) 2、函数y=-2x2+3x-2的单调递减区间为_________. 4 [ 3
0 3、函数f(x)=x2+mx+1是偶函数，则m=______. 1 4、函数f(x)=ax3-bx,a,b∈R,若f(-2)=-1,则f(2)=____. [2,11] 5、函数f(x)=x2-2x+3, x∈[-2,2],则f(x)的值域为_____. 6、已知函数f(x)是奇函数，且当x>;x-1 则当x<0时， f(x)=______________.
练习2：已知奇函数f(x)在区间[a,b](0＜a＜b)上的最大
值是3，则函数f(x)在区间[-b,-a]上有最 小 值，
该值是 -3
．
y 3
思考：将奇函数改 为偶函数，结果如 何？
－b
－a O
a
b x
-3
讨论提高1：设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－，0)
上是增函数．则f(-2)与f(-3)的大小关系是 f(-2)>f(-3) ．
例4 若函数f(x)＝x2－ax－b满足对于任意的实数x都有 f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)的最小值为－2，求实数a，b的 值．
分析： f(1+x)＝(1+x)2-a(1+x)-b=x2+(2-a)x+1-a-b, f (1-x)＝(1-x)2-a(1-x)-b=x2-(2-a)x+1-a-b ∵ f(1+x)＝f (1-x) ∴2-a=-(2-a)即2-a=-2+a 即2a=4 即a=2 ∴ f(x)＝x2－ax－b= x2－2x－b=(x-1)2-1-b ∴x=1时，f(x)min＝-1-b, ∴-1-b=-2 解之得b=1
则其对称轴为x=?. 解题感悟：若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(t+x)=f(s-x) 则其对称轴为x=
本结论可推广到所有函数.
ts 2
.
课堂小结： 1、综合利用函数的单调性、奇偶性解决函数的最值等 问题的基本方法. 2、综合利用函数的单调性、奇偶性解决函数的最值、 抽象函数不等式等问题的基本方法. 3、奇函数在原点（y轴）两侧单调性一致； 偶函数在原点（y轴）两侧单调性相反. 4、解决没有给出解析式的函数——抽象函数的有关问 题时，运用赋值法求值往往事半功倍.
例1．已知奇函数f(x)在区间[a,b](0＜a＜b)上是单调减 函数， 求证：函数f(x)在区间[－b，－a]上仍是单调减函数．
证明：设x1,x2∈[－b,－a],且x1<x2. 则-x1,-x2 ∈[a,b],且-x1>-x2 . ∵f(x)为奇函数且在区间[a,b]上是单调递减.
∴f(-x1)<f(-x2).即-f(x1)<-f(x2). ∴ f(x1)>f(x2). ∴ f(x)在区间[－b，－a]上仍是单调减函数． 变式：若将例1中奇函数改为偶函数，则函数f(x)在区 间[－b，－a]上还是单调减函数吗？
证明：设x1,x2∈[－b,－a],且x1<x2. 则-x1,-x2 ∈[a,b],且-x1>-x2 . ∵f(x)为偶函数且在区间[a,b]上是单调递减. ∴f(-x1)<f(-x2).即f(x1)<f(x2). ∴ f(x1)<f(x2). ∴ f(x)在区间[－b，－a]上是单调增函数． 解题感悟： 奇函数在原点（y轴）两侧单调性一致； 偶函数在原点（y轴）两侧单调性相反.
讨论提高3：
已知函数f(x＋1)是偶函数，则函数f(x)的对称轴是 x=1 ．
已知函数f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心是 (1,0) ．
练习： 已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋)上为减函
数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则f(2)，f(8)，f(10)的大 小关系为 f(8)＜f(10)＜ f(2) ．
再根据f(x)是奇函数，可以将f(1-2a)前的“-”处 理为-f(1-2a)=f(2a-1)，即f(a-1) <f(2a-1)
解：由题意知： 0 a 2 即： 1 1 2a 1 2 2a 0 f ( a 1 ) f (1 2 a ) f ( a 1) f ( 2 a 1) 1 a 11
=-f(x2-x1)
∵ x1<x2, ∴x2-x1>0
解题感悟：
解决没有给出 又∵x>0时， f(x)＞0 解析式的函数——抽象 ∴ f(x2-x1)>0即-f(x2-x1)<0 函数的有关问题时，运 ∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1) <f(x2) 用赋值法求值往往事半 功倍. ∴ f(x)为单调递增函数.
0 a 2 即： 0 a 1 a 2/3
2 解之得： 3
a 1
变式：设函数f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，且在定 义域上是增函数．若f(a-1)＋f(1-2a)<0，则实数a的取 0＜a＜1 值范围是 ．
分析：f(a-1)＋f(1-2a)<0，可变形为f(a-1) <-f(1-2a)，
解：∵ f(1+x)＝ f (1-x) ∴ f(x)的对称轴为x=1
a ∴ 2 1 1 a b 2
解之得
a 2 b 1
解题感悟：若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(t+x)=f(t-x) 则其对称轴为x=t. 探究：若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(t+x)=f(s-x)
f(0＋0)＝f(0)＋f(0)即：f(0)＝0. (2)由题意知函数定义域为R. 令y=-x代入f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得：
f(x-x)＝f(x)＋f(-x)即：f(0)＝ f(x)＋f(-x) . 即：f(x)＋f(-x) =0 即f(-x) = -f(x) 所以f(x)是奇函数.
(3)由题意知函数定义域为R. 设x1,x2∈R,且x1<x2 ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
若f(a-1) ＞ f(1-2a) ，则实数a的取值范围是
分析：因为f(x)的定义域是(-1，1).
2 3
a 1．
所以-1<a-1<1,-1<1-2a<1.
又因为f(a-1) ＞ f(1-2a) 且f(x)是(-1，1)上增函数.
所以a-1 ＞ 1-2a. 解：由题意知：
1 a 11 1 1 2a 1 a 1 1 2a 0 a 2 即： 2 2 a 0 3a 2
变式1：设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－，0)上是 增函数．则f(-2)与f(3)的大小关系是 f(-2)>f(3) ． 变式2：设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－，0)上是
增函数．则f(-2)与f(a2-2a+3)的大小关系
是
f(－2)≥f(a2－2a＋3)
．
讨论提高2：设函数f(x)在定义域(-1，1)上是增函数，
第二章第二节函数的简单性质（4）
学习目标： 1、理解函数单调性定义、奇偶性定义，并能利用定义 判断函数的单调性、奇偶性. 2、能综合利用函数的单调性、奇偶性解决简单函数的 最值、值域问题；数值大小比较问题；抽象函数不等 式求解问题等.
复习回顾：
1、单调性定义、证明单调性的步骤. 2、奇偶性定义、判断奇偶性的步骤.