辽宁省沈阳市和平区数学二模卷2017.5.
2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题含解析
2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD 的长（ ）A ．16cmB ．13cm C ．12cm D ．1cm2．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3C ．()2,3--D ．()2,3-3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O 出发，如图所示，轮船从港口O 沿北偏西20°的方向行60海里到达点M 处，同一时刻渔船已航行到与港口O 相距80海里的点N 处，若M 、N 两点相距100海里，则∠NOF 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°4．下列运算结果正确的是（ ）A ．3a ﹣a=2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2C ．a （a+b ）=a 2+bD ．6ab 2÷2ab=3b5．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－162(3)3b b -=-，则（ ）A ．3b >B ．3b <C ．3b ≥D ．3b ≤7．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，已知⊙O 的半径为2，则图中的阴影部分面积为（ ）A ．8233π-B ．433π-C ．8333π- D ．9344π- 8．抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（ ）A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差9．3-的相反数是（ ）A ．33B ．-33C ．3D ．3-10．一次函数y kx b =+满足0kb <，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知关于x 的方程x 2﹣2x+n=1没有实数根，那么|2﹣n|﹣|1﹣n|的化简结果是_____．12．一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______．13．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．14．如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是_____平方米．15．分解因式：x 2y ﹣y ＝_____．16．若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是_____．17．分解因式：ax 2－a =______．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝1．在BC 上求作一点P ，使PA+PB ＝BC ；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)求BP 的长．19．（5分）解不等式组:3(2)421152x x x x ≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩并把解集在数轴上表示出来. 20．（8分）已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线；若DE=6cm ，AE=3cm ，求⊙O 的半径．21．（10分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．22．（10分）已知抛物线23y ax bx =++的开口向上顶点为P（1）若P 点坐标为（4，一1），求抛物线的解析式；（2）若此抛物线经过（4，一1），当－1≤x≤2时，求y 的取值范围（用含a 的代数式表示）（3）若a ＝1，且当0≤x≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为6，求b 的值23．（12分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量，a为：（2）n为°，E组所占比例为%：（3）补全频数分布直方图；（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有名．24．（14分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．()1求证：BCE DCF≅；()2当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.【题目详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，∵AB//CD，∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，∴△OAB∽△OCD，∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，∴OF CDOE AB=，即2126CD=，解得：CD=1.故选D.【题目点拨】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.2、D【解题分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【题目详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D．【题目点拨】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.3、C【解题分析】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故选C．【题目点拨】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．4、D【解题分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【题目详解】解：A 、原式=2a ，不符合题意；B 、原式=a 2-2ab+b 2，不符合题意；C 、原式=a 2+ab ，不符合题意;D 、原式=3b ，符合题意；故选D【题目点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、C【解题分析】 试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k 的不等式，解出即可. 由题意得，解得 故选C.考点：一元二次方程的根的判别式 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6、D【解题分析】等式左边为非负数，说明右边3b 0-≥，由此可得b 的取值范围．【题目详解】 解：2(3b)3b -=-，3b 0∴-≥，解得b 3.≤故选D ．【题目点拨】()a 0a 0≥≥()2a a a 0=≥．7、A【解题分析】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．∵△ABC是等边三角形，∴BH 33OH=1，∴△OBC的面积=12×BC×OH3则△OBA的面积=△OAC的面积=△OBC的面积3BOC=120°，∴图中的阴影部分面积=2240223360π⨯-8233π-A．点睛：本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．8、A【解题分析】7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【题目详解】由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少，故选A．【题目点拨】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键. 9、C【解题分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可.【题目详解】3-3所以33故选C．【题目点拨】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.10、C【解题分析】y随x的增大而减小，可得一次函数y=kx+b单调递减，k＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．【题目详解】∵y随x的增大而减小，∴一次函数y=kx+b单调递减，∴k＜0，∵kb<0，∴b>0，∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，故选C．【题目点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象和性质是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、﹣1【解题分析】根据根与系数的关系得出b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，求出n＞2，再去绝对值符号，即可得出答案．【题目详解】解：∵关于x的方程x2−2x+n=1没有实数根，∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，∴n＞2，∴|2−n |-│1-n│=n-2-n+1=-1.故答案为-1.【题目点拨】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根与系数的关系求出n的取值范围再去绝对值求解即可.12、55cm2【解题分析】由正视图和左视图判断出圆锥的半径和母线长，然后根据圆锥的表面积公式求解即可.【题目详解】由三视图可知，半径为5cm,圆锥母线长为6cm,∴表面积=π×5×6+π×52=55πcm2，故答案为: 55πcm 2.【题目点拨】本题考查了圆锥的计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想.如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么圆锥的表面积=πrl +πr 2.13、1【解题分析】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据总价=单价⨯购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．【题目详解】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据题意得：()80x 5050x 3000+-≤， 解得：50x 3≤． x 为整数，x ∴最大值为1． 故答案为1．【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．14、【解题分析】试题分析：根据题意可知小羊的最大活动区域为：半径为5，圆心角度数为90°的扇形和半径为1，圆心角为60°的扇形，则902560177S 36036012πππ⨯⨯⨯⨯=+=． 点睛：本题主要考查的就是扇形的面积计算公式，属于简单题型．本题要特别注意的就是在拐角的位置时所构成的扇形的圆心角度数和半径，能够画出图形是解决这个问题的关键．在求扇形的面积时，我们一定要将圆心角代入进行计算，如果题目中出现的是圆周角，则我们需要求出圆心角的度数，然后再进行计算．15、y （x +1）（x ﹣1）【解题分析】观察原式x 2y ﹣y ，找到公因式y 后，提出公因式后发现x 2-1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得.【题目详解】解：x 2y ﹣y＝y （x 2﹣1）＝y （x +1）（x ﹣1）．故答案为：y （x +1）（x ﹣1）．【题目点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．16、（﹣7，0）【解题分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案．【题目详解】∵将抛物线y=-4（x+2）2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y=-4（x+7）2，故得到的抛物线的顶点坐标是：（-7，0）．故答案为（-7，0）．【题目点拨】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．17、(1)(1)a x x +-【解题分析】先提公因式，再套用平方差公式.【题目详解】ax 2－a =a （x 2-1）=()()11a x x +- 故答案为：()()11a x x +-【题目点拨】掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.三、解答题（共7小题，满分69分）18、 (1)见解析；(2)2.【解题分析】（1）作AC 的垂直平分线与BC 相交于P ；（2）根据勾股定理求解.【题目详解】(1)如图所示，点P即为所求．(2)设BP＝x，则CP＝1﹣x，由(1)中作图知AP＝CP＝1﹣x，在Rt△ABP中，由AB2+BP2＝AP2可得42+x2＝(1﹣x)2，解得：x＝2，所以BP＝2．【题目点拨】考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线.19、不等式组的解集为﹣7＜x≤1，将解集表示在数轴上表示见解析.【解题分析】试题分析：先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．试题解析：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，所以﹣7＜x≤1．在数轴上表示为：.考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．点睛：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.20、解：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是7.5cm．【解题分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【题目详解】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴2235AD DE AE=+=连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴AD AC AE AD=．3535=则AC=15（cm ）．∴⊙O 的半径是7.5cm ．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．21、共有7人，这个物品的价格是53元．【解题分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.【题目详解】解：设共有x 人，这个物品的价格是y 元，83,74,x y x y -=⎧⎨+=⎩解得7,53,x y =⎧⎨=⎩答：共有7人，这个物品的价格是53元.【题目点拨】本题考查了二元一次方程的应用.22、（1）21234y x x =-+；（2）1－4a≤y≤4＋5a ；（3）b ＝2或－10. 【解题分析】（1）将P （4，-1）代入，可求出解析式（2）将（4，-1）代入求得：b=-4a-1，再代入对称轴直线2b x a =-中，可判断22b x a =->，且开口向上，所以y 随x 的增大而减小，再把x=-1，x=2代入即可求得．（3）观察图象可得，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为6，这些点可能为x=0，x=1，2b x =-三种情况，再根据对称轴2b x =-在不同位置进行讨论即可． 【题目详解】解：（1）由此抛物线顶点为P （4，-1），所以y ＝a （x-4）2-1＝ax 2－8ax ＋16a －1，即16a －1＝3，解得a=14， b=-8a=-2 所以抛物线解析式为：21234y x x =-+； （2）由此抛物线经过点C （4，－1），所以 一1＝16a ＋4b ＋3，即b ＝－4a －1．因为抛物线2(41)3=-++y ax a x 的开口向上，则有0a > 其对称轴为直线412+=a x a ，而4112222a +==+>a x a所以当－1≤x≤2时，y 随着x 的增大而减小当x ＝－1时，y=a+(4a+1)+3=4+5a当x ＝2时，y=4a-2(4a+1)+3=1-4a所以当－1≤x≤2时，1－4a≤y≤4＋5a ；（3）当a ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2＋bx ＋3 ∴抛物线的对称轴为直线2b x =- 由抛物线图象可知，仅当x ＝0，x ＝1或x ＝－2b 时，抛物线上的点可能离x 轴最远 分别代入可得，当x ＝0时，y=3当x=1时，y ＝b ＋4当x=-2b 时,y=-24b +3 ①当一2b ＜0，即b ＞0时，3≤y≤b+4， 由b ＋4＝6解得b ＝2 ②当0≤-2b ≤1时，即一2≤b≤0时，△＝b 2－12＜0，抛物线与x 轴无公共点 由b ＋4＝6解得b ＝2(舍去)； ③当b 12-> ，即b ＜－2时，b ＋4≤y≤3， 由b ＋4＝－6解得b ＝－10综上，b ＝2或－10【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，以及最值问题，关键是对称轴在不同的范围内，抛物线上的点到x 轴距离的最大值的点不同．23、（1）200；16（2）126；12%（3）见解析（4）940【解题分析】分析：（1）由于A 组的频数比B 组小24，而A 组的频率比B 组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a 和b 的值；（2）用360度乘以D 组的频率可得到n 的值，根据百分比之和为1可得E 组百分比；（3）计算出C 和E 组的频数后补全频数分布直方图；(4）利用样本估计总体，用2000乘以D 组和E 组的频率和即可．本题解析：（1）调查的总人数为()24208%200÷-=，∴2008%16a =⨯=，20020%40b =⨯=，（2）D 部分所对的圆心角70360126200=︒⨯=︒，即126n =， E 组所占比例为：7018%20%25%100%12%200⎛⎫-+++⨯= ⎪⎝⎭， （3）C 组的频数为20025%50⨯=，E 组的频数为2001640507024----=，补全频数分布直方图为：（4）70242000940200+⨯=， ∴估计成绩优秀的学生有940人．点睛：本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，要认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体.24、见解析【解题分析】（1）由菱形的性质得出∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD ，由已知和三角形中位线定理证出AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC ，由(SAS )证明△BCE ≌△DCF 即可； （2）由（1）得：AE ＝OE ＝OF ＝AF ，证出四边形AEOF 是菱形，再证出∠AEO ＝90°，四边形AEOF 是正方形．【题目详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD ，∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ,OF ＝12DC ,OE ＝12BC ,OE ∥BC ，在△BCE和△DCF中,BE DFB D BC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△DCF(SAS)；(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC,OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形.【题目点拨】本题考查了全等三角形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形、正方形、全等三角形的性质.。
辽宁省沈阳市2017届高考数学二模试卷理科
2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．306．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n ∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n 项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n ≥0，解得n，分类讨论即可得出．﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．【解答】解：∵a n+1∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以几何体的体积是：=．故选D．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，m的值，当m=时，满足条件|a﹣b|＜d，输出m的值为．【解答】解：输入a=1，b=2，m=，f（1）=﹣1＜0，f（m）=f（＞0，f（1）f（m）＜0，a=1，b=，|1﹣|=＞，m=，f（1）=﹣1，f（m）=f（）＜0，f（1）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＞，m=，f（a）=f（）＜0，f（m）=f（）＜0，f（a）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＜，退出循环，输出m=，故选：A．【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用，准确执行循环得到a，b，S，k的值是解题的关键，属于基础题．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）【考点】三角函数的化简求值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要2（1+）＞m﹣1即可，当m＜2时，只要1+＜2（m﹣1）即可，由此能求出结果，综合可得结论．【解答】解：函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立．当m＞2时，f（x）∈[1+，m﹣1]，只要2（1+）＞m﹣1即可，解得2＜m＜5．当m＜2时，f（x）∈[m﹣1，1+]，只要1+＜2（m﹣1）即可，解得＜m＜2，综上，实数m的取值范围（，5），故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x（4分）．故答案为：y=x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=30．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴y B=﹣2y A∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•沈阳二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（，1）•（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•沈阳二模）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：，，，，，其相对应的小长方形的高为，，，，，对于男性用户，各小组的频率分别为：，，，，，其相对应的小长方形的高为，，，，，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为X123PX的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了频率分布直方图以及概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的问题，是综合题．19．（12分）（2017•沈阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•沈阳二模）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆Q的长轴长为2，求出a=，设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，﹣．化简求出b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2a=2，则a=，设P（x0，y0），∵直线PA与OM的斜率之积恒为﹣，∴×=﹣，∴+=1，∴b=1，椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程：，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2+2）=，∴AB中点Q（﹣，），QN直线方程为：y﹣=﹣（x+）=﹣x﹣，∴N（﹣，0），由已知得﹣＜﹣＜0，∴0＜2k2＜1，∴|AB|=•=•=•=（1+），∵＜＜12k2+1＜1，∴|AB|∈（，2），线段AB长的取值范围（，2）．【点评】本题考查椭圆方程、线段长的取值范围的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，解题时要注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式的合理运用，属于中档题．21．（12分）（2017•沈阳二模）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e ﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），，∴F（x）＞F（0）=0，故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），即f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴2e﹣x 1＜x2，即x1+x2＞2e，∴，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．。
2017年高三数学二模(理科)答案
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。
辽宁省沈阳市和平区2017届高考数学模拟测试试题理
辽宁省沈阳市和平区2017届高考数学模拟测试试题 理本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
满分150分，考试时间150分钟。
注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.单项选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
其它试题答在答题卡上。
3.考试结束后，考生将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分） 1．全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}2|320,{|2,}A x x x B x x a a A =-+===∈，则集合()C U A B ⋃的子集个数为（ ）A. 1B. 3C. 8D. 4 2．已知复数2z i =-+，则复数32z z ++的模为（ ）A. 123．已知点()()2,0,3,2A B ，向量()2,a λ= ，若a AB ⊥ ，则a为（ ）44．执行如图的程序框图()*N N ∈，那么输出的p 是（ ）A. 33A N N ++B. 22N N A ++C. 11N N A ++ D. N N A5．下列说法中，正确的个数是（ ）①若()121x f x a =++为奇函数，则12a =；②“在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是假命题；③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b =④命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”A. 0B. 1C. 2D. 36．若()()()()2012111.........1nnn x a a x a x a x +=+-+-++-，由01.......243n a a a +++=，则()nn x -展开式的二项式系数和为（ ）A. 16B. 32C. 64D. 10247．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q =”是“623S S =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上有一点(A m ，以A 为圆心， AF 为半径的圆被y轴截得的弦长为m =（ ）A.13B. 3C. 3D. 39的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ）A10．设正实数,,a b c 分别满足122=+a a ，1log 2=b b ， 5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >>11．已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,1- B ．[]1,3- C ．[]1,2- D ．[]2,312．过双曲线的右支上一点P ，分别向圆()221:44++=C x y 和圆()222:41-+=C x y 作切线，切点分别为,M N ，则 ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19 二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为n S ， n T ，且． 14．函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线与函数()2g x x =围成的图形的面积等于__________．15．一个几何体的三视图如图所示，则其体积与其外接球的体积之比为_________16．已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，已知ABC ∆外接圆半径为2，若4560OA OB OC ++=，则边长AB=__________．三、解答题（共6题，总计70分）17．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列； （Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，是棱1AA 上的点， 1.DC BD ⊥（Ⅰ）求证： D 为1AA 中点；（Ⅱ）求直线1BC 与平面BDC 所成角正弦值大小；（Ⅲ）在ABC ∆边界及内部是否存在点M 使得1B M ⊥面,BDC 存在，说明M 位置，不存在，说明理由20．在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12F F 、，过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P Q ，两点，若1PQF ∆的周长为短轴长的.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设l 的斜率为1，在椭圆C 上是否存在一点M ，使得2OM OP OQ =+？若存在，求出点M的坐标.21．已知函数()()2ln 1f x x x ax =--+．（1）若()f x 在区间()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若存在唯一整数0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23．选修4-5：不等式选讲 已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．参考答案1．C2．B3．A4．C5．C6．B7．C 8．D9．A ．10．C【解析】令()322f x x x =+-，则()322f x x x =+-在R 上单调递增，且()()012110f f ⋅=-⨯=-<，即()0,1a ∈，象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.11．C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.考点：线性规划. 12．B 【解析】 试题分析：由题2=C12313≥-=C C B考点：双曲线的定义13．3 【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++= ，所以456OA OB OC +=- ，则2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，17．（1）（2）试题解析： 解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（Ⅱ），又，∴，∴，即．18．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）一年中平均有120天的空气质量达到一级.试题解析：（Ⅰ）设B =这天空气质量为1级，（Ⅱ）1553N M n ===，，， ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：一年中空气质量达到一级的天数为,η则所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. 19．（Ⅰ）见解析; （2（3）见解析. ()()()()11,0,,0,0,2,0,1,0,0,1,2D h C B B ∴ ()()11,0,2,1,1,DC h BD h ∴=--=-()1201h h h ∴-+-=⇒= D ∴为1AA 中点. （2）()10,1,2BC =-设面BDC 法向量()1111,,n x y z =1111100{{00n CB x z y n CD ⋅=+=∴⇒=⋅=，设()1111,0,1x n =⇒=-（3）设(),,0,01,01,1M x y x y x y ≤≤≤≤+≤()()111,1,21,0,1B M x y B M BDC B M λ∴=--⊥∴=- 2{10{112x x y x y λλ==⇒-=⇒⇒>=-=- M ∴不存在20．（1）3e =（2）不存在点M ，使2OM OP OQ =+ 成立．试题解析：解：（Ⅰ）∵椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ， 2F ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P Q ，两点，1PQF的周长为短轴长的 1PQF 的周长为4a ．∴依题意知4a =，即a =．∴椭圆C的离心率e ==．（Ⅱ）设椭圆方程为222332x y c +=，直线的方程为y x c =-，代入椭圆方程得2234602x cx c -+=． 设()11P x y ，， ()22Q x y ，，则1232x x c +=， 21238x x c =． 设()00M x y ，，则22200332x y c +=．① 由2OM OP OQ =+ 得0120122{2x x x y y y =+=+，，代入①得()()22222112212123433432x y x y x x y y c +++++=． 因为22211332x y c +=， 22222332x y c +=， 所以()212123302c x x y y ++=．② 而()()1212121233x x y y x x x c x c +=+--()212124330x x c x x c =-++=．从而②式不成立．故不存在点M ，使2OM OP OQ =+成立．21．（1）(],1-∞-（2试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，要使()f x 在区间()1,+∞上单调递增，只需()0f x '≥，即上单调递增，所以只需min a y ≤即可，易知当1x =时， y 取最小值，∴实数a 的取值范围是(],1-∞-.（2）不等式()00f x <即()0002ln 1x x ax -<-， 令()()()2ln ,0,1g x x x x h x ax =->=-，()g x '在()0,+∞上单调递增，∴存在实数()1,2m ∈，使得()0g m '=，当()1,x m ∈时， ()0g x '<， ()g x 在()1,m 上单调递减；当(),x m ∈+∞时， ()0g x '>， ()g x 在(),m +∞上单调递增，∴()()min g x g m =.()()120g g ==，画出函数()g x和()h x 的大致图象如下，()h x 的图象是过定点()0,1C -的直线，由图可知若存在唯一整数0x ，使得()00f x <成立，则需{}min ,BC AC DC k a k k <≤， ，∴AC DC k k >． 于是实数a 的取值范围是 22．（1）2cos ρθ=；（2）线段PQ 的长为2.试题解析：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，设()22,ρθ为点Q 的极坐标，由于12θθ=，所以线段PQ 的长为2.考点：考点：参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用.23．（1）（2）见解析试题解析：解：（Ⅰ）∵，当且仅当时等号成立，又，，∴，∴的最大值为，又已知的最大值为10，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，，时等号成立．。
辽宁省沈阳市2017-2018学年高三数学二模试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x |﹣1＜x ＜3}，集合B={x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．（1，2） B ．（﹣1，2） C ．（1，3） D ．（﹣1，3）2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则z 2=（ ） A ．2+i B ．﹣2+i C ．2﹣i D ．﹣2﹣i 3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（ ）A ．2B ．C ．2D ．44．已知函数，则=（ ）A ．4B ．C ．﹣4D ．5．某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x （元）与销售整该产品的价格到10.2元，预测批发市场中该产品的日销售量约为（ ） A ．7.66万件 B ．7.86万件 C ．8.06万件 D ．7.36万件6．已知tan α=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P ﹣A 1B 1A 的左视图可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C． D．9．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．4510．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC 的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，）B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为．14．在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．15．设集合S，T满足S⊆T且S≠∅，若S满足下面的条件：（ⅰ）∀a，b∈S，都有a﹣b∈S且ab∈S；（ⅱ）∀r∈S，n∈T，都有rn∈S．则称S是T的一个理想，记作S＜T．现给出下列3对集合：①S={0}，T=R；②S={偶数}，T=Z；③S=R，T=C，其中满足S＜T的集合对的序号是（将你认为正确的序号都写上）．16．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．18．某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD上一点，且．（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求三棱锥F﹣AMN的体积．20．动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设点S（﹣4，4），过点N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2016年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，2），故选：B．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则z2=（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1得到z1在复平面内对应的点的坐标，结合题意求得z2在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2+i，∴z1在复平面内对应点的坐标为（2，1），由复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知z2在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，1），∴z2=﹣2+i，选：B．3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2B．C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．故选：B．4．已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．【考点】函数的值．【分析】由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．【解答】解：f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．5．某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x（元）与销售y整该产品的价格到10.2元，预测批发市场中该产品的日销售量约为（）A．7.66万件 B．7.86万件 C．8.06万件 D．7.36万件【考点】线性回归方程．【分析】根据线性回归方程过样本中心点（，），求出回归直线方程，利用回归方程求出x=10.2时y的值即可．【解答】解：由题意可知，=（9+9.5+10+10.5+11）=10，=×（11+10+8+6+5）=8，所以8=b×10+40，即b=﹣3.2，∴回归直线方程为y=﹣3.2x+40，当x=10.2时，y=﹣3.2×10.2+40=7.36．故选：D．6．已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：由tanα=2=，α为第一象限角，sin2α+cos2α=1，∴，，所以，故选：C．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A ．B ．C ．D ．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．【解答】解：在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，三棱锥P ﹣A 1B 1A 的左视图中，B 1、A 1、A 的射影分别是C 1、D 1、D ． 故选D ．8．将函数f （x ）=sin （2x +φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y 轴对称，则函数f （x ）在上的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换． 【分析】由函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换可得，又图象关于y 轴对称，结合范围|φ|＜，解得φ，可得函数解析式，又由已知可得，利用正弦函数的图象和性质即可解得f （x ）在上的最小值．【解答】解：∵由题，又∵图象关于y 轴对称，∴依题，∴结合范围|φ|＜，解得．这样，又∵x ∈，∴，∴可得：， 故选：D ．9．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（ ）A．51 B．49 C．47 D．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC 的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，）B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为定义在R上的奇函数便可得到，从而由原不等式可得到|f（lnx）|＜f（1），进一步便得到f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1），可以说明f （x）在R上单调递增，从而便得到﹣1＜lnx＜1，这样便可得出原不等式的解集．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数；∴=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；∴由得，|f（lnx）|＜f（1）；∴﹣f（1）＜f（lnx）＜f（1）；即f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0]上为增函数；∴f（x）在R上为增函数；∴﹣1＜lnx＜1；∴；∴原不等式的解集为．故选：C．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．14．在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，运用两点的距离公式，配方运用余弦函数的值域，即可得到所求最小值．【解答】解：M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，由K（2，0），可得2=||2=（6cosα﹣2）2+（3sinα）2=27cos2α﹣24cosα+13=27（cosα﹣）2+，当cosα=时，2取得最小值，故答案为：．15．设集合S，T满足S⊆T且S≠∅，若S满足下面的条件：（ⅰ）∀a，b∈S，都有a﹣b∈S且ab∈S；（ⅱ）∀r∈S，n∈T，都有rn∈S．则称S是T的一个理想，记作S＜T．现给出下列3对集合：①S={0}，T=R；②S={偶数}，T=Z；③S=R，T=C，其中满足S＜T的集合对的序号是①②（将你认为正确的序号都写上）．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用新定义逐一核对三个得答案．【解答】解：对于①，满足（ⅰ），且r=0∈S，n为实数∈T，则rn=0∈S，∴S＜T，满足（ⅱ），故①满足；对于②，满足（ⅰ），且r为偶数∈S，n为整数∈T，则rn为偶数∈S，∴S＜T，满足（ⅱ），故②满足；对于③，不妨取实数1，复数i，两者相乘后得复数i，不属于实数集，故③不满足．∴满足S＜T的集合对的序号是①②．故答案为：①②．16．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；球内接多面体．【分析】画出图形，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，表示出三棱柱的体积为，0＜h＜2．利用导数求解三棱柱的体积最大时，三棱柱的高．【解答】解：如图所示，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，则由题意可知，A'O=B'O=C'O=1，，，，此时三棱柱的体积为，其中0＜h＜2．令y=﹣h3+4h（0＜h＜2），则y′=﹣3h2+4，令y′=0，则，当时，y′＞0，函数y增，当时，y′＜0，函数y减．故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．故答案为：．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）通过令等差数列{a n}的公差为d，联立S4=4（a3+1）、3a3=5a4，计算可得首项和公差，进而可得a n=11﹣2n；通过令数列{b n}的公比为q，联立b1b2=b3、2b1=a5，计算可知首项和公比，进而可得；（2）通过（I）知，，分n≤5与n≥6两种情况讨论即可．【解答】解：（I）令等差数列{a n}的公差为d，∵S4=4（a3+1），3a3=5a4，∴，解得，则a n=11﹣2n；令数列{b n}的公比为q，∵b1b2=b3，2b1=a5，∴，解得，则；（2）通过（I）知，，于是．18．某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．22（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表可得表中的数据；（Ⅱ）求出χ2值，查表，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，由古典概型求概率．（Ⅱ）假设：是否喜欢运动与性别无关，由已知数据可求得：χ2=≈1.1575＜3.841．因此，我们认为喜欢运动与性别无关．（Ⅲ）喜欢运动的女志愿者有6人，设分别为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，其中两人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A，则P（A）==．19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD上一点，且．（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求三棱锥F﹣AMN的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．利用中位线定理得出四边形MPQN是平行四边形，故MN∥PQ，于是MN∥平面ADFE；（II）延长DA，FE，CB交于一点H，利用平行线等分线段成比例得出MN与DH的比值，得出△AMN与△CDH的面积比，则三棱锥F﹣AMN与三棱锥F﹣CDH的体积比等于其底面积的比．【解答】解：（Ⅰ）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．则MP∥CE，．，∴NQ=2，∴MP NQ，∴四边形MPQN是平行四边形，∴MN∥PQ，又PQ⊂平面ADFE，MN⊄平面ADFE，∴MN∥平面ADFE．（Ⅱ）延长DA，FE，CB交于一点H，∵，∴BE=，∴，∵，∴PQ∥DH，且．∵MN=PQ，MN∥PQ，∴MN．∴=，∴．∵，=1．∴V F﹣AMN20．动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设点S（﹣4，4），过点N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设M的坐标，根据中点坐标公式，将P点坐标代入整理可求得M的轨迹方程；（II）直线l过点N，设l的方程为：y=k（x﹣4）+5，与E联立，整理得：x2﹣4kx+16k﹣20=0，根据韦达定理，分类讨论l是否经过点S，并分别求得直线的斜率，即可求得k1k2的值．【解答】解：（I）设点M（x，y），P（x0，y0），则由，得，因为点P在抛物线x2=2y上，所以，x2=4y..（II）：由已知，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=k（x﹣4）+5，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则联立，整理得：x2﹣4kx+16k﹣20=0，由韦达定理，得，当直线l经过点S即x1=﹣4或x2=﹣4时，当x1=﹣4时，直线SA的斜率看作抛物线在点A处的切线斜率，则k1=﹣2，，此时；同理，当点B与点S重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）直线l不经过点S即x1≠﹣4且x2≠﹣4时，∵，∴，=，=．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性，分离参数a，问题转化为：当x＞1时恒成立，解出即可；（Ⅱ）求出个零点x1，x2，得到．构造函数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣ax，则，若函数f（x）=lnx﹣ax在（1，+∞）上单调递减，则1﹣ax≤0在（1，+∞）上恒成立，即当x＞1时恒成立，所以a≥1．（II）证明：根据题意，，因为x1，x2是函数的两个零点，所以，．两式相减，可得，即，故．那么，．令，其中0＜t＜1，则．构造函数，则．因为0＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即．可知，故x1+x2＞1．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．2016年8月1日。
【精品】2017年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷带答案
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．15．（3分）已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地 km．16．（3分）已知，矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是 ．三、（6分、8分、8分）17．（6分）先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a＝．18．（8分）小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．四、（8分、8分）20．（8分）某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个） 学生数（名） 百分比37 3 P%38 4 20%39 4 20%40 N 35%41 1 5%42 1 5%（1）m＝ p＝（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是 ；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．21．（8分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA＝∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E＝30°，EC＝3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）五、（10分）22．（10分）某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x元（x是10的倍数）：（1）当x＝40时，客房每天出租的房间数为 间，客房日租金的总收入是 ． （2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？六、（10分）23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是 ．七、（12分）24．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝BC＝4，AB＝6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F．①求证：DF＝AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是 ．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM＝2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN＝10时，AP的长为 ．八、（12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，AC的长为 ；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为 ，点H 抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2＝33时，MN的长度为 ．2017年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）以下各数中比0小的是（ ）A．﹣2 B． C．0.5 D．1【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜0，＞0，0.5＞0，1＞0，∴各数中比0小的是﹣2．故选：A．2．（3分）等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．6条【解答】解：等边三角形3条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴，∴有3条对称轴，故选C．3．（3分）某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（ ） A．3.82×10﹣4 B．3.82×10﹣5 C．3.82×10﹣6 D．38.2×10﹣6【解答】解：把0.0000382用科学记数法表示为3.82×10﹣5，故选：B．4．（3分）如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）A．50° B．60° C．140° D．150°【解答】解：∵∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣∠1＝140°．故选：C．5．（3分）一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（ ）A．3 B．3.5 C．4和3 D．4【解答】解：从小到大排列此数据为：1，3，3，4，4，5，位置处于中间的数是：3，4，所以组数据的中位数是（3+4）÷2＝3.5．故选：B．6．（3分）化简﹣的结果是（ ）A． B． C． D．【解答】解：原式＝+＝，故选：D．7．（3分）在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（ ）A．30个 B．80个 C．90个 D．120个【解答】解：∵共200个球，其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%， ∴红球所占的比例为100%﹣15%﹣45%＝40%，设盒子中共有红球x个，则×100%＝40%，解得：x＝80．故选：B．8．（3分）二次函数y＝﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（ ）A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2﹣2中a＝﹣3＜0，b＝﹣2＜0，∴草图为：∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的图象经过三、四象限，故选：D．9．（3分）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（ ）A．33个 B．36个 C．37个 D．41个【解答】解：第①是1个三角形，1＝4×1﹣3；第②是5个三角形，5＝4×2﹣3；第③是9个三角形，9＝4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；∴第⑨个图形中共有三角形的总数为4×9﹣3＝33；故选：A．10．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k＝0有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣ D．k⩾【解答】解：当k﹣1＝0时，即k＝1，方程化为2x＝0，解得x＝0；当k﹣1≠0时，△＝4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综上所述，k的范围为k≥．故选：D．二、填空题11．（3分）分解因式：y3﹣y＝ y（y+1）（y﹣1） ．【解答】解：y3﹣y＝y（y2﹣1）＝y（y+1）（y﹣1），故答案为：y（y+1）（y﹣1）．12．（3分）解不等式组的整数解是 ﹣1，0，1 ．【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤﹣2，得：x≤1，解不等式1+2x＞x﹣1，得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1，故答案为：﹣1、0、1．13．（3分）正五边形每个内角的度数为 108° ．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°；方法二：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．14．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为 1 ．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，∴端点D的坐标为：（4，1）．故答案为：1．15．（3分）已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地 km．【解答】解：设甲离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y＝kx+b，乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y＝mx+n，将（0，0）、（2，30）代入y＝kx+b中，，解得：，∴y＝15x；将（0，100）、（1，80）代入y＝mx+n中，，解得：，∴y＝﹣20x+100．联立两函数关系式成方程组，，解得：，∴当甲乙两人相遇时，乙距离A地千米．故答案为：．16．（3分）已知，矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是 25，40， ．【解答】解：①如图1中，当NM＝ND时，∴∠NDM＝∠NMD，∵∠MND＝∠CBD，∴∠BDN＝∠BND，∴BD＝BN＝＝25．②如图2中，当DM＝DN时，易知M与B重合，此时BC＝CN＝20，BN＝40，③如图3中，当MN＝MD时，易证BN＝DN，设BN＝DN＝x，在Rt△DNC中，∵DN2＝CN2+CD2，∴x2＝（20﹣x）2+152，∴x＝，故答案为25，40，．三、（6分、8分、8分）17．（6分）先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a＝．【解答】解：原式＝a2﹣4a+4﹣a2﹣2a+3＝﹣6a+7，当a＝＝4时，原式＝﹣24+7＝﹣17．18．（8分）小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？【解答】解：（1）画树状图如下：抽出数字为“2”的卡片的概率是＝；（2）不公平，由树状图可知，x、y符号相同的有4种结果，x、y符号不同的结果有8种，∴小红获胜的概率为＝，小颖获胜的概率为＝，由于≠，∴此游戏对双方不公平．19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵AB＝AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．四、（8分、8分）20．（8分）某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个） 学生数（名） 百分比37 3 P%38 4 20%39 4 20%40 N 35%41 1 5%42 1 5%（1）m＝ 20 p＝ 15（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是 40 ；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【解答】解：（1）由题意可得，m＝4÷20%＝20，p%＝，故答案为：20，15；（2）N＝20×35%＝7，补全的条形统计图，如右图所示；（3）由（2）中的统计图可知，被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40，故答案为：40；（4）由题意可得，该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数是：320×＝48，即该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的有48人．21．（8分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA＝∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E＝30°，EC＝3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）【解答】（1）证明：连接OC，∵AC＝CD，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD，∵∠ECA＝∠CBD，∴∠ECA＝∠CBA，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠CBA，∴∠ECA＝∠OCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACO＝∠OCB+∠ACO＝90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；（2）解：由（1）证得△OCE是直角三角形，∵∠E＝30°，EC＝3，tan E＝，即＝，∴OC＝3，∵∠EOC＝90°﹣∠E＝90°﹣30°＝60°，∴S阴影＝S△COE﹣S扇形AOC＝3×3﹣＝﹣．五、（10分）22．（10分）某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x元（x是10的倍数）：（1）当x＝40时，客房每天出租的房间数为 80 间，客房日租金的总收入是 16000 ．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？【解答】解：（1）当x＝40时，则客房出租100﹣5×＝80间，∴客房日租金的总收入是（160+40）×80＝16000（元），故答案为：80，16000；（2）①若每间客房日租金提高x元，则客房少出租5×＝，根据题意，得：100﹣≥20，解得：x≤160，∴0≤x≤160，且x是10的整数倍；②设客房的日租金的总收入为y元，则y＝（160+x）（100﹣）＝﹣x2+20x+16000＝﹣（x﹣20）2+16200，∵0≤x≤160，且x是10的整数倍，∴当x＝20时，此时每件客房的日租金为180元，答：旅馆将每间客房的日租金提高20元时，客房日租金的总收入最高．六、（10分）23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是 （4，0）或（﹣，0） ．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y＝kx+b，得到，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣2．如图1中，过点M作ME⊥y轴于E，∵S△MOB＝•OB•ME＝×2ME＝3，∴ME＝3，∵点M在直线AB上，当x＝﹣3时，y＝﹣2x﹣2＝4，∴M（﹣3，4），把点M（﹣3，4）代入y＝中，可得m＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）①如图2中，平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y＝﹣2x+b， 把C（3，0 ）代入可得b＝6，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+6．②观察图象可知，△PDM是直角三角形时，有两种情形：当PD⊥DM时，∵M（﹣3，4），D（0，6），∴直线DM的解析式为y＝x+6，∴直线PD的解析式为y＝﹣x+6，可得P（4，0），当P′M⊥DM时，直线P′M的解析式为y＝﹣x﹣，可得P′（﹣，0）故答案为（4，0）或（﹣，0）．七、（12分）24．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝BC＝4，AB＝6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F． ①求证：DF＝AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是 4 ．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM＝2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN＝10时，AP的长为 或 ．【解答】证明：（1）①∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵四边形DPCE是平行四边形，∴DF＝CF＝CD，∴DF＝AB；②如图1，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB＝90°，在Rt△CBG中，∵∠B＝60°，BC＝4，∴sin∠B＝，即，∴CG＝2，∴点C到直线AB的距离是2；③当PE⊥DC，且垂足F为DC的中点时，如图2，此时PE的长最小，∴PE＝2PF＝2CG＝4，故答案为：4；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，过C作CG⊥AB于G，过P作PH⊥CD于H， 由（1）得：PH＝CG＝2，BG＝2，∵四边形PCNM是平行四边形，∴PM∥CN，PM＝CN，∴△PDF∽△NCF，∴＝，∵DM＝2PD，∴PM＝3PD，∴CN＝3PD，∴＝，∵PN＝10，CD＝6，∴PF+FN＝10，CF+DF＝6，∴PF＝＝，CF＝×6＝，在Rt△PFH中，由勾股定理得：FH＝＝，∴CH＝CF﹣FH＝﹣，∴PG＝CH＝﹣，∴AP＝AB﹣BG﹣PG＝6﹣2﹣+＝；②当P在BA的延长线上时，如图4，过F作FH⊥AB于H，过C作CG⊥AB于G，同理可知：FH＝CG＝2，BG＝2，GH＝CF＝，PF＝，由勾股定理得：PH＝，∴AP＝BG+GH+PH﹣AB＝2++﹣6＝；综上所述，AP的长为或．八、（12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+x +6的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ．（1）①点B 的坐标为 （﹣2，0） ，点C 的坐标为 （3，0） ，AC 的长为 3 ；②求∠BAC 的正弦值（2）将△AOB 沿直线AB 折叠得到△AEB ，将△AOC 沿直线AC 折叠得到△AFC ，分别延长EB ，FC 相交于点H ①点H 坐标为 （，﹣） ，点H 不在 抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF ，将∠BAC 绕点A 顺时针旋转，射线AB 旋转后交线段EH 于点B ′，交线段EF于点M ，射线AC 旋转后交线段FH 于点C ′，交线段EF 于点N ，当B ′H 2+C ′H 2＝33时，MN 的长度为 ．【解答】解：（1）①当x ＝0时，y ＝6， ∴A （0，6）， ∴OA ＝6，当y ＝0时，﹣x 2+x +6＝0， （x +2）（x ﹣3）＝0， x ＝﹣2或3，∵点B 在点C 的左侧， ∴B （﹣2，0），C （3，0），∴OC＝3，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝＝＝3；故答案为：（﹣2，0），（3，0），3；②如图1，过B作BD⊥AC于D，则∠BDA＝90°，∵S△ABC＝BC•AO＝AC•BD，即×5×6＝××BD，∴BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝＝2，∴sin∠BAC＝＝＝；（2）①如图2，过H作HG⊥x轴于G，由折叠得：AE＝AO＝AF＝6，∠E＝∠AOB＝90°，∠F＝∠AOC＝90°， ∠EAB＝∠BAO，∠OAC＝∠CAF，∴∠EAF＝2∠BAO+2∠OAC＝2（∠BAO+∠OAC）＝2∠BAC，由（1）知：sin∠BAC＝，且∠BAC为锐角，∴∠BAC＝45°，∴∠EAF＝∠E＝∠F＝90°，∴四边形AEHF是正方形，∴EH＝FH＝6，设H（x，y），则OG＝x，∴BG＝2+x，CG＝3﹣x，∵EB＝OB＝2，FC＝OC＝3，∴BH＝6﹣2＝4，CH＝6﹣3＝3，由勾股定理得：42﹣（2+x）2＝32﹣（3﹣x）2，x＝，∴GH＝＝，∴H（，﹣）；∴点H不在抛物线对称轴上；故答案为：（，﹣）；不在；②如图3，延长B'E至P，使PE＝C'F，连接AP，∵AE＝AF，∠AEP＝∠AFH＝90°，∴△APE≌△AC'F，∴AP＝AC'，∠P AE＝∠C'AF，由旋转得：∠B′AC′＝45°，∴∠EAB′+∠C'AF＝45°，∴∠P AE+∠EAB′＝45°，∴∠P AB'＝∠B'AC'＝45°，∵AB′＝AB′，∴△P AB′≌△C'AB'，∴∠AB'P＝∠AB'C'，∵∠FEB'＝∠B'AC'＝45°，∴∠EMB'＝∠AC'B'＝∠AMN，∵∠MAN＝∠B'AC'，∴△AMN∽△AC'B'，∴＝，连接PM，∵∠P AM＝45°，∠PEM＝90°+45°＝135°， ∴∠P AM+∠PEM＝180，∴P、E、M、A四点共圆，∴∠AMP＝∠AEP＝90°，∴△AMP是等腰直角三角形，∴＝，∴＝，∴MN＝B′C′，∵B′H2+C′H2＝33＝B'C'2，∴B'C'＝，∴MN＝×＝．故答案为：．免责声明：本文仅代表作者个人观点，作参考，并请自行核实相关内容.声明：本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本司将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu。
2017年辽宁省沈阳市和平区数学中考二模试卷及参考答案PDF
2017年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题1．（3分）以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．12．（3分）等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．6条3．（3分）某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣64．（3分）如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140° D．150°5．（3分）一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．46．（3分）化简﹣的结果是（）A． B． C． D．7．（3分）在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个8．（3分）二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限B．二、四象限C．一、二象限D．三、四象限9．（3分）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个10．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣D．k⩾二、填空题11．（3分）分解因式：y3﹣y=．12．（3分）解不等式组的整数解是．13．（3分）正五边形每个内角的度数为．14．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为．15．（3分）已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．16．（3分）已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是．三、（6分、8分、8分）17．（6分）先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．18．（8分）小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．四、（8分、8分）20．（8分）某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m=p=（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．21．（8分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，AC=CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）五、（10分）22．（10分）某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x元（x是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为间，客房日租金的总收入是．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？六、（10分）23．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是．七、（12分）24．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD 于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为．八、（12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为，点C的坐标为，AC的长为；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为，点H抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．2017年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．1【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜0，＞0，0.5＞0，1＞0，∴各数中比0小的是﹣2．故选：A．2．（3分）等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．6条【解答】解：等边三角形3条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴，∴有3条对称轴，故选C．3．（3分）某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣6【解答】解：把0.0000382用科学记数法表示为3.82×10﹣5，故选：B．4．（3分）如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140° D．150°【解答】解：∵∠1=40°，∴∠2=180°﹣∠1=140°．故选：C．5．（3分）一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．4【解答】解：从小到大排列此数据为：1，3，3，4，4，5，位置处于中间的数是：3，4，所以组数据的中位数是（3+4）÷2=3.5．故选B．6．（3分）化简﹣的结果是（）A． B． C． D．【解答】解：原式=+=，故选D7．（3分）在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个【解答】解：∵共200个球，其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，∴红球所占的比例为100%﹣15%﹣45%=40%，设盒子中共有红球x个，则×100%=40%，解得：x=80．故选：B．8．（3分）二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限B．二、四象限C．一、二象限D．三、四象限【解答】解：∵二次函数y=﹣3x2﹣2中a=﹣3＜0，b=﹣2＜0，∴草图为：∴二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过三、四象限，故选D．9．（3分）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；∴第⑨个图形中共有三角形的总数为4×9﹣3=33；故选：A．10．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣D．k⩾【解答】解：当k﹣1=0时，即k=1，方程化为2x=0，解得x=0；当k﹣1≠0时，△=4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综上所述，k的范围为k≥．故选D．二、填空题11．（3分）分解因式：y3﹣y=y（y+1）（y﹣1）．【解答】解：y3﹣y=y（y2﹣1）=y（y+1）（y﹣1），故答案为：y（y+1）（y﹣1）．12．（3分）解不等式组的整数解是﹣1，0，1．【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤﹣2，得：x≤1，解不等式1+2x＞x﹣1，得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1，故答案为：﹣1、0、1．13．（3分）正五边形每个内角的度数为108°．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°=540°，540°÷5=108°；方法二：360°÷5=72°，180°﹣72°=108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．14．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为1．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，∴端点D的坐标为：（4，1）．故答案为：1．15．（3分）已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．【解答】解：设甲离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=kx+b，乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=mx+n，将（0，0）、（2，30）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=15x；将（0，100）、（1，80）代入y=mx+n中，，解得：，∴y=﹣20x+100．联立两函数关系式成方程组，，解得：，∴当甲乙两人相遇时，乙距离A地千米．故答案为：．16．（3分）已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N 为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是25，40，．【解答】解：①如图1中，当NM=ND时，∴∠NDM=∠NMD，∵∠MND=∠CBD，∴∠BDN=∠BND，∴BD=BN==25．②如图2中，当DM=DN时，易知M与B重合，此时BC=CN=20，BN=40，③如图3中，当MN=MD时，易证BN=DN，设BN=DN=x，在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，∴x2=（20﹣x）2+152，∴x=，故答案为25，40，．三、（6分、8分、8分）17．（6分）先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．【解答】解：原式=a2﹣4a+4﹣a2﹣2a+3=﹣6a+7，当a==4时，原式=﹣24+7=﹣17．18．（8分）小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？【解答】解：（1）画树状图如下：抽出数字为“2”的卡片的概率是=；（2）不公平，由树状图可知，x、y符号相同的有4种结果，x、y符号不同的结果有8种，∴小红获胜的概率为=，小颖获胜的概率为=，由于≠，∴此游戏对双方不公平．19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．四、（8分、8分）20．（8分）某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m=20p=15（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【解答】解：（1）由题意可得，m=4÷20%=20，p%=，故答案为：20，15；（2）N=20×35%=7，补全的条形统计图，如右图所示；（3）由（2）中的统计图可知，被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40，故答案为：40；（4）由题意可得，该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数是：320×=48，即该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的有48人．21．（8分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，AC=CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）【解答】（1）证明：连接OC，∵AC=CD，∴=，∴∠ABC=∠CBD，∵∠ECA=∠CBD，∴∠ECA=∠CBA，∵OC=OB，∴∠OCB=∠CBA，∴∠ECA=∠OCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ECA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的直径，∴EC是⊙O的切线；（2）解：由（1）证得△OCE是直角三角形，∵∠E=30°，EC=3，tanE=，即=，∴OC=3，∵∠EOC=90°﹣∠E=90°﹣30°=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形AOC=3×3﹣=﹣．五、（10分）22．（10分）某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x元（x是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为80间，客房日租金的总收入是16000．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？【解答】解：（1）当x=40时，则客房出租100﹣5×=80间，∴客房日租金的总收入是（160+40）×80=16000（元），故答案为：80，16000；（2）①若每间客房日租金提高x元，则客房少出租5×=，根据题意，得：100﹣≥20，解得：x≤160，∴0≤x≤160，且x是10的整数倍；②设客房的日租金的总收入为y元，则y=（160+x）（100﹣）=﹣x2+20x+16000=﹣（x﹣20）2+16200，∵0≤x≤160，且x是10的整数倍，∴当x=20时，此时每件客房的日租金为180元，答：旅馆将每间客房的日租金提高20元时，客房日租金的总收入最高．六、（10分）23．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是（，0）．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y=kx+b，得到，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2．如图1中，过点M作ME⊥y轴于E，∵S=•OB•ME=×2ME=3，△MOB∴ME=3，∵点M在直线AB上，当x=﹣3时，y=﹣2x﹣2=4，∴M（﹣3，4），把点M（﹣3，4）代入y=中，可得m=﹣12，∴反比例函数的解析式为y=﹣．（2）①如图2中，平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y=﹣2x+b，把C（3，0 ）代入可得b=6，∴直线CD的解析式为y=﹣2x+6．②观察图象可知，△PDM是等腰三角形，只有PM=PD．∵M（﹣3，4），D（0，6），∴直线DM的解析式为y=x+6，∴线段DM的中垂线的解析式为y=﹣x+，令y=0，得到x=，∴P（，0）．∴当p（，0）时，△PDM是等腰三角形．故答案为（，0）．七、（12分）24．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD 于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是4．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为或．【解答】证明：（1）①∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵四边形DPCE是平行四边形，∴DF=CF=CD，∴DF=AB；②如图1，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB=90°，在Rt△CBG中，∵∠B=60°，BC=4，∴sin∠B=，即，∴CG=2，∴点C到直线AB的距离是2；③当PE⊥DC，且垂足F为DC的中点时，如图2，此时PE的长最小，∴PE=2PF=2CG=4，故答案为：4；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，过C作CG⊥AB于G，过P作PH⊥CD于H，由（1）得：PH=CG=2，BG=2，∵四边形PCNM是平行四边形，∴PM∥CN，PM=CN，∴△PDF∽△NCF，∴=，∵DM=2PD，∴PM=3PD，∴CN=3PD，∴=，∵PN=10，CD=6，∴PF+FN=10，CF+DF=6，∴PF==，CF=×6=，在Rt△PFH中，由勾股定理得：FH==，∴CH=CF﹣FH=﹣，∴PG=CH=﹣，∴AP=AB﹣BG﹣PG=6﹣2﹣+=；②当P在BA的延长线上时，如图4，过F作FH⊥AB于H，过C作CG⊥AB于G，同理可知：FH=CG=2，BG=2，GH=CF=，PF=，由勾股定理得：PH=，∴AP=BG+GH+PH﹣AB=2++﹣6=；综上所述，AP的长为或．八、（12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），AC的长为3；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为（，﹣），点H不在抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．【解答】解：（1）①当x=0时，y=6，∴A（0，6），∴OA=6，当y=0时，﹣x2+x+6=0，（x+2）（x﹣3）=0，x=﹣2或3，∵点B在点C的左侧，∴B（﹣2，0），C（3，0），∴OC=3，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC===3；故答案为：（﹣2，0），（3，0），3；②如图1，过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=90°，=BC•AO=AC•BD，∵S△ABC即×5×6=××BD，∴BD=2，在Rt△AOB中，AB==2，∴sin∠BAC===；（2）①如图2，过H作HG⊥x轴于G，由折叠得：AE=AO=AF=6，∠E=∠AOB=90°，∠F=∠AOC=90°，∠EAB=∠BAO，∠OAC=∠CAF，∴∠EAF=2∠BAO+2∠OAC=2（∠BAO+∠OAC）=2∠BAC，由（1）知：sin∠BAC=，且∠BAC为锐角，∴∠BAC=45°，∴∠EAF=∠E=∠F=90°，∴四边形AEHF是正方形，∴EH=FH=6，设H（x，y），则OG=x，∴BG=2+x，CG=3﹣x，∵EB=OB=2，FC=OC=3，∴BH=6﹣2=4，CH=6﹣3=3，由勾股定理得：42﹣（2+x）2=32﹣（3﹣x）2，x=，∴GH==，∴H（，﹣）；∴点H不在抛物线对称轴上；故答案为：（，﹣）；不在；②如图3，延长B'E至P，使PE=C'F，连接AP，∵AE=AF，∠AEP=∠AFH=90°，∴△APE≌△AC'F，∴AP=AC'，∠PAE=∠C'AF，由旋转得：∠B′AC′=45°，∴∠E AB′+∠C'AF=45°，∴∠PAE+∠EAB′=45°，∴∠PAB'=∠B'AC'=45°，∵AB′=AB′，∴△PAB′≌△C'AB'，∴∠AB'P=∠AB'C'，∵∠FEB'=∠B'AC'=45°，∴∠EMB'=∠AC'B'=∠AMN，∵∠MAN=∠B'AC'，∴△AMN∽△AC'B'，∴=，连接PM，∵∠PAM=45°，∠PEM=90°+45°=135°，∴∠PAM+∠PEM=180，∴P、E、M、A四点共圆，∴∠AMP=∠AEP=90°，∴△AMP是等腰直角三角形，∴=，∴=，∴MN=B′C′，∵B′H2+C′H2=33=B'C'2，∴B'C'=，∴MN=×=．故答案为：．。
2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．306．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n ≥0，解得n，分类讨论即可得出．﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．【解答】解：∵a n+1∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以几何体的体积是：=．故选D．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，m的值，当m=时，满足条件|a﹣b|＜d，输出m的值为．【解答】解：输入a=1，b=2，m=，f（1）=﹣1＜0，f（m）=f（＞0，f（1）f（m）＜0，a=1，b=，|1﹣|=＞，m=，f（1）=﹣1，f（m）=f（）＜0，f（1）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＞，m=，f（a）=f（）＜0，f（m）=f（）＜0，f（a）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＜0.2，退出循环，输出m=，故选：A．【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用，准确执行循环得到a，b，S，k的值是解题的关键，属于基础题．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）【考点】三角函数的化简求值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要2（1+）＞m﹣1即可，当m＜2时，只要1+＜2（m﹣1）即可，由此能求出结果，综合可得结论．【解答】解：函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立．当m＞2时，f（x）∈[1+，m﹣1]，只要2（1+）＞m﹣1即可，解得2＜m＜5．当m＜2时，f（x）∈[m﹣1，1+]，只要1+＜2（m﹣1）即可，解得＜m＜2，综上，实数m的取值范围（，5），故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x（4分）．故答案为：y=x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=30．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴y B=﹣2y A∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•沈阳二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（，1）•（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•沈阳二模）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了频率分布直方图以及概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的问题，是综合题．19．（12分）（2017•沈阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M （2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•沈阳二模）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆Q的长轴长为2，求出a=，设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，﹣．化简求出b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2a=2，则a=，设P（x0，y0），∵直线PA与OM的斜率之积恒为﹣，∴×=﹣，∴+=1，∴b=1，椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程：，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2+2）=，∴AB中点Q（﹣，），QN直线方程为：y﹣=﹣（x+）=﹣x﹣，∴N（﹣，0），由已知得﹣＜﹣＜0，∴0＜2k2＜1，∴|AB|=•=•=•=（1+），∵＜＜12k2+1＜1，∴|AB|∈（，2），线段AB长的取值范围（，2）．【点评】本题考查椭圆方程、线段长的取值范围的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，解题时要注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式的合理运用，属于中档题．21．（12分）（2017•沈阳二模）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e ﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），，∴F（x）＞F（0）=0，故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），即f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，∴，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f （x ）≥a +，当x=时取等号，即f （x ）的最小值为a +，∴a +=1，2a +b=2；法二：∵﹣a ＜，∴f （x ）=|x +a |+|2x ﹣b |=，显然f （x ）在（﹣∞，]上单调递减，f （x ）在[，+∞）上单调递增，∴f （x ）的最小值为f （）=a +，∴a +=1，2a +b=2．（2）方法一：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，=+=（+）（2a +b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t ，即实数t 的最大值为；方法二：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，t ≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t ，即实数t 的最大值为；方法三：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴a +2（2﹣a ）≥ta （2﹣a ）恒成立，∴2ta 2﹣（3+2t ）a +4≥0恒成立，∴（3+2t ）2﹣326≤0，∴≤t ≤，实数t 的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．。
辽宁省沈阳市2017届高三上学期第二次模拟考试数学理试题Word版含答案
2016-2017学年度上学期高中学段高三联合考试数学理科试卷 使用时间：2016.10.20命题人：刘新风校对人：来洪臣本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}R x x x y y A ∈--==,122，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈+==0,1x R x x x y y B 且，则=⋂A B C R )(（）A ．]2,2(--B ．[)2,2-C ．),2[+∞-D ．)2,2(- 2.若复数z 满足71i i z+=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 ( ) A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 指数函数,0()(>=a a x f x 且)1≠a 在R 上是减函数，则函数3)2()(x a x g -=在R 上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.在),0(+∞上递增，在)0,(-∞上递减 D .在),0(+∞上递减，在)0,(-∞上递增 4.已知命题p:(,0),34xxx ∃∈-∞<;命题q ：(0,)x ∀∈+∞，x x sin ＞则下列命题中的真命题是 ( )A.p q ∧B.()p q ∨⌝C.()p q ∧⌝D.p q ⌝∧ 5．在下列区间中，函数()=+43xf x e x -的零点所在的区间为（） A.（1-4，0） B.（0，14） C.（14，12） D.（12，34）6.设2018log ,2016log ,2014log 100910081007===c b a ，则（）A ．a b c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．b c a ＞＞D ．c b a ＞＞ 7.已知函数x a x y cos sin +=的图像关于3π=x 对称，则函数x x a y cos sin +=的图像的一条对称轴是( )A ．65π=x B ．32π=x C ．3π=x D ．6π=x8．函数1ln ||x x y e e -=-的部分图象大致为（）9．函数1222)21()(--+-=m mx x x f 的单调增区间与值域相同，则实数m 的取值为 ( ) A ．2-B ．2C ．1-D ．110.在整数集Z 中，被7除所得余数为r 的所有整数组成的一个“类”，记作][r ，即{}Z k r k r ∈+=7][，其中6,...2,1,0=r .给出如下五个结论：①]1[2016∈；②]4[3∈-；③=⋂]6[]3[φ； ④]6[]5[]4[]3[]2[]1[]0[⋃⋃⋃⋃⋃⋃=Z ；⑤“整数b a ,属于同一“类””的充要条件是“]0[∈-b a ”。
2017年辽宁省沈阳市高三文科二模数学试卷
2017年辽宁省沈阳市高三文科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知复数，则A. B. C. D.2. 已知集合，，则A. B.C. D.3. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设，为两个同高的几何体，：，的体积相等，：，在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 直线与圆相交所得弦长为A. B. C. D.5. 下列命题中错误的是A. 如果平面外的直线不平行于平面，平面内不存在与平行的直线B. 如果平面平面，平面平面，，那么直线平面C. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面D. 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6. 已知数列满足，，则A. B. C. D.7. 已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为A. B. C. D.9. 函数的大致图象是A. B.C. D.10. 若关于的方程在上有两个不等实根，则的取值范围是A. B. C. D.11. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. B. C. D.12. 对，恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 某班级有名同学，一次数学测试平均成绩是，其中学号为前名的同学平均成绩为，则后名同学的平均成绩为______．14. 已知函数，则 ______．15. 等比数列中各项均为正数，是其前项和，且满足，，则______．16. 过双曲线的左焦点作斜率为的直线，分别与渐近线相交于，两点，若，则双曲线的离心率为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知点，，为坐标原点，函数．（1）求函数的解析式及最小正周期；（2）若为的内角，，，的面积为，求的周长．18. 某手机厂商推出一款吋大屏手机，现对名该手机使用者（名女性，名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户分值区间频数男性用户分值区间频数（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，再从这名用户中满足评分不低于分的用户中任意抽取名用户，求名用户评分都小于分的概率．19. 如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥外接球的体积．20. 已知函数．（1）过原点作曲线的切线，求切点的横坐标；（2）对，不等式，求实数的取值范围．21. 已知椭圆，，分别是其左、右焦点，以为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求线段长的取值范围．22. 已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极角为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值．23. 已知，，函数的最小值为．（1）求证：．（2）若恒成立，求实数的最大值．答案第一部分1. D2. D3. B4. A5. C6. C7. B8. D9. B 10. C11. A 12. C第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1），，所以，的最小正周期为．（2）因为，所以，因为，所以，因为，所以，根据余弦定理，所以，即三角形的周长为．18. （1）对于女性用户，各小组的频率分别为：，，，，，其相对应的小长方形的高为，，，，，对于男性用户，各小组的频率分别为：，，，，，其相对应的小长方形的高为，，，，，直方图如图所示：由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（2）运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，评分不低于分有人，其中评分小于分的人数为，从人任取人，则分数段抽取人，分别记为，，，，分数段抽取人，记为，．则基本事件空间包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共种．名用户评分都小于分的基本事件有：，，，，，，共种．故名用户评分都小于分的概率．19. （1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，所以，，因为，所以平面．（2）因为，，两垂直，底面为矩形，所以三棱锥外接球即以，，为棱的长方体的外接球，所以三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的体积．20. （1）设切点为，所以，直线的切线方程为，又切线过原点，所以，解得，所以切点的横坐标为．（2）因为不等式，对恒成立，所以，对恒成立．设，．①当时，因为，所以在上单调递减，即，所以不符合题意．②当时，．设，在上单调递增．（i）当时，由，得，所以在上单调递增，即，所以符合题意；（ii）当时，因为，所以使得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，则不合题意．综上所述，．21. （1）根据题意，因为以为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点，所以，即，即椭圆的方程为．（2）根据题意，过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，即直线的斜率存在，设直线的方程为，与联立，得，，有，解之，得，设，，的中点为，，，，即，设直线的垂直平分线方程为，令，得，因为，所以，即线段长的范围是．22. （1）曲线的极坐标方程为，即，可得直角坐标方程：：．直线的参数方程为（为参数），消去参数可得普通方程：．（2），直角坐标为，，，所以到的距离，从而最大值为．23. （1），因为且，所以，当时取等号，即的最小值为，所以，．（2）因为恒成立，所以恒成立，当时，取得最小值，所以，即实数的最大值为．。
2017沈阳二模数学试题
2017沈阳二模数学试题2017年沈阳市第二次模拟考试数学试题一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上。
）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为4，那么它的第5项是多少？A. 19B. 20C. 21D. 222. 函数y = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是什么？A. x = 1/2B. x = 3/2C. x = -1/2D. x = -3/23. 已知一个圆的半径为5cm，圆心到圆上一点的距离为3cm，那么这点到圆上最远点的距离是多少？A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 2cm4. 一个班级有40名学生，其中20名是男生。
如果随机选择2名学生，那么这两名都是男生的概率是多少？A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 2/35. 直线y = 3x + 2与x轴的交点坐标是多少？A. (-2/3, 0)B. (2/3, 0)C. (-1/3, 0)D. (1/3, 0)6. 已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，那么这个三角形是什么三角形？A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 一般三角形7. 函数f(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是多少？A. 2B. 4C. 1D. 08. 一个长方体的长、宽、高分别为2m、3m、4m，那么它的体积是多少？A. 24m^3B. 21m^3C. 26m^3D. 28m^39. 已知一个等比数列的前三项分别是1，3，9，那么它的第5项是多少？A. 27B. 81C. 243D. 72910. 一个圆的直径是14cm，求这个圆的周长（π取3.14）。
A. 43.96cmB. 28.8cmC. 57.84cmD. 85.64cm二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分。
请将答案直接填写在答题卡上。
）11. 已知一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么它的第4项是______。
辽宁省沈阳市和平区高考数学模拟测试试题 文
辽宁省沈阳市和平区2017届高考数学模拟测试试题 文本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
满分150分，考试时间150分钟。
注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.单项选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
其它试题答在答题卡上。
3.考试结束后，考生将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合2{|230}A x x x =--<， {|22}B x x =-≤，则A B ⋂=（ ） A. (]1,0- B. [)0,3 C. (]3,4 D. ()1,3-2．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12i z ++=+-(i 为虚数单位)所对应的点位于复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题p：000,sin cos x x x ∃∈+=R q ：函数()121()2xf x x =-有一个零点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．q ⌝D ．()p q ∧⌝4．工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有6袋，经检测，某箱中每袋的重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（ ）A ．249,248B ．249,249C ．248,249D ．248,2485．已知双曲线22221x y a b -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F与抛物线2y =的焦点相同，离心率为e =，若双曲线左支上有一点M 到右焦点2F 距离为18，N 为2MF 的中点，O为坐标原点，则NO等于（ ）A ．23 B ．1 C ．2 D ．46．运行如下程序框图，分别输入17245,3t t ==-，则输出s 的和为（ ）A ．2017-B ．2017C ．2016-D ．20167．某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的表面积为( )A ．65 B．1052+ C．702+ D ．608．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q =”是“623S S =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件A ．19B ．110C ．15D ．189．函数sin ln xy x=（0x ≠）的部分图象大致是（ ） A. B. C. D.10．在ABC △中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，3C π=，若()(,,6c a b a c =-=+m n ，且∥m n ，则ABC △的面积为（ ）A ． 3B ．C ． 233D ． 3311．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===4AC AB ==，且AC AB ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．36πC ．48πD ．24π12．已知函数2()(1)f x a x =+．若对任意()4 2a ∈--，及[]1 3x ∈，时，恒有2()ln ma f x a x ->+成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≤ B ．2m < C ．2m ≤- D ．2m <-第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．已知变量x ， y 满足约束条件,{2,6,x y y x x y ≤≤+≤则2z x y =-的取值范围是__________．14．若3sin()35α-=π，则sin(2)6απ-=_____________．15．已知函数()()()2log 5,42,4x x f x f x x -<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩，则(2017)f =_____________． 16．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，已知520S =，且137,,a a a 成等比数列.设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，若存在n ∈*N ，使得10n n T a λ+-≥成立，则实数λ的取值范围____________.三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．函数()sin()(0 0 )2x A x A ϕωϕωϕπ=+>><，，的部分图象如图所示，DCBAMQP若把函数()x ϕ的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()f x ．（1）求函数()f x 的解析式;（2）若函数()(0)2y f x ''ϕϕπ=+<<是奇函数，求函数()()cos 2g x x 'ϕ=-在[]0 2π，上的单调递减区间．18．如图，在四棱锥ABCD P -中，在底面ABCD 中，BC AD //，AD CD ⊥，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 的中点，2==PD PA ，121==AD BC ，3=CD，PB =（1）求证：平面⊥PAD 底面ABCD ； （2）试求三棱锥B PQM -的体积．19．随着手机使用的不断普及，现在全国各地的中小学生携带手机进入校园已经成为了普遍的现象，也引起了一系列的问题。
2017年辽宁省沈阳市高三文科二模数学试卷
2017年辽宁省沈阳市高三文科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知复数，则A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B.C. D.3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设，为两个同高的几何体，：，的体积相等，：，在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，是的A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.直线与圆相交所得弦长为A. B. C. D.5.下列命题中错误的是A.如果平面外的直线不平行于平面，平面内不存在与平行的直线B.如果平面平面，平面平面，，那么直线平面C.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6.已知数列满足，，则A. B. C. D.7.已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为A. B. C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为A. B. C. D.9.函数的大致图象是A. B.C. D.10.若关于的方程在上有两个不等实根，则的取值范围是A. B. C. D.11.运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. B. C. D.12.对，恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13.某班级有名同学，一次数学测试平均成绩是，其中学号为前名的同学平均成绩为，则后名同学的平均成绩为______．14.已知函数，则______．15.等比数列中各项均为正数，是其前项和，且满足，，则______．16.过双曲线的左焦点作斜率为的直线，分别与渐近线相交于，两点，若，则双曲线的离心率为______．三、解答题（共7小题；共91分）17.已知点，，为坐标原点，函数．（1）求函数的解析式及最小正周期；（2）若为的内角，，，的面积为，求的周长．18.某手机厂商推出一款吋大屏手机，现对名该手机使用者（名女性，名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户分值区间频数男性用户分值区间频数（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，再从这名用户中满足评分不低于分的用户中任意抽取名用户，求名用户评分都小于分的概率．19.如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥外接球的体积．20.已知函数．（1）过原点作曲线的切线，求切点的横坐标；（2）对，不等式，求实数的取值范围．21.已知椭圆，，分别是其左、右焦点，以为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求线段长的取值范围．22.已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极角为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值．23.已知，，函数的最小值为．（1）求证：．（2）若恒成立，求实数的最大值．答案第一部分1.D2.D3.B 6.C7.B8.D 11.A12.C第二部分13.14.15.16.第三部分4.A9.B5.C10.C17.（1），，所以的最小正周期为．（2）因为，所以，因为，所以，，因为，所以，根据余弦定理，所以，即三角形的周长为．18.（1）对于女性用户，各小组的频率分别为：，，，，，其相对应的小长方形的高为，，，，，对于男性用户，各小组的频率分别为：，，，，，其相对应的小长方形的高为，，，，，直方图如图所示：由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（2）运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，评分不低于分有人，其中评分小于分的人数为，从人任取人，则分数段抽取人，分别记为，，，，分数段抽取人，记为，．则基本事件空间包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共种．名用户评分都小于分的基本事件有：，，，，，，共种．故名用户评分都小于分的概率．19.（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，所以，，因为，所以平面．（2）因为，，两垂直，底面为矩形，所以三棱锥外接球即以，，为棱的长方体的外接球，所以三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的体积．20.（1）设切点为，所以，直线的切线方程为，又切线过原点，所以，解得，所以切点的横坐标为．（2）因为不等式，对恒成立，所以，对恒成立．设，．①当时，因为，所以在上单调递减，即，所以不符合题意．②当时，．设，在上单调递增．（i）当时，由，得，所以在上单调递增，即，所以符合题意；（ii）当时，因为，所以使得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，则不合题意．综上所述，．21.（1）根据题意，因为以为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点，所以，即，即椭圆的方程为．（2）根据题意，过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，即直线的斜率存在，设直线的方程为，与联立，得，，有，解之，得，设，，的中点为，，，，即，设直线的垂直平分线方程为，令，得，因为，所以，即线段长的范围是．22.（1）曲线的极坐标方程为，即，可得直角坐标方程：：．直线的参数方程为（为参数），消去参数可得普通方程：．（2），直角坐标为，，，所以到的距离，从而最大值为．23.（1），因为且，所以，当时取等号，即的最小值为，所以，．（2）因为恒成立，所以恒成立，当时，取得最小值，所以，即实数的最大值为．。
(全优试卷)辽宁省沈阳市高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．306．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n ≥0，解得n，分类讨论即可得出．﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．【解答】解：∵a n+1∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以几何体的体积是：=．故选D．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，m的值，当m=时，满足条件|a﹣b|＜d，输出m的值为．【解答】解：输入a=1，b=2，m=，f（1）=﹣1＜0，f（m）=f（＞0，f（1）f（m）＜0，a=1，b=，|1﹣|=＞，m=，f（1）=﹣1，f（m）=f（）＜0，f（1）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＞，m=，f（a）=f（）＜0，f（m）=f（）＜0，f（a）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＜0.2，退出循环，输出m=，故选：A．【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用，准确执行循环得到a，b，S，k的值是解题的关键，属于基础题．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m +n ，m ﹣3n ），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m +n ∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t 的取值范围，又由=t ，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m +n ，m ﹣3n ），则==，令t=，则=t ，而m +n ∈[1，2]，即1≤m +n ≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t ＜2，又由=t ，故≤＜2；故选：B ．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）【考点】三角函数的化简求值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要2（1+）＞m﹣1即可，当m＜2时，只要1+＜2（m﹣1）即可，由此能求出结果，综合可得结论．【解答】解：函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立．当m＞2时，f（x）∈[1+，m﹣1]，只要2（1+）＞m﹣1即可，解得2＜m＜5．当m＜2时，f（x）∈[m﹣1，1+]，只要1+＜2（m﹣1）即可，解得＜m＜2，综上，实数m的取值范围（，5），故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x（4分）．故答案为：y=x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=30．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴y B=﹣2y A∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•沈阳二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（，1）•（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•沈阳二模）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了频率分布直方图以及概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的问题，是综合题．19．（12分）（2017•沈阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M （2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•沈阳二模）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆Q的长轴长为2，求出a=，设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，﹣．化简求出b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2a=2，则a=，设P（x0，y0），∵直线PA与OM的斜率之积恒为﹣，∴×=﹣，∴+=1，∴b=1，椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程：，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2+2）=，∴AB中点Q（﹣，），QN直线方程为：y﹣=﹣（x+）=﹣x﹣，∴N（﹣，0），由已知得﹣＜﹣＜0，∴0＜2k2＜1，∴|AB|=•=•=•=（1+），∵＜＜12k2+1＜1，∴|AB|∈（，2），线段AB长的取值范围（，2）．【点评】本题考查椭圆方程、线段长的取值范围的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，解题时要注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式的合理运用，属于中档题．21．（12分）（2017•沈阳二模）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e ﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），，∴F（x）＞F（0）=0，故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），即f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，∴，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f （x ）≥a +，当x=时取等号，即f （x ）的最小值为a +，∴a +=1，2a +b=2；法二：∵﹣a ＜，∴f （x ）=|x +a |+|2x ﹣b |=，显然f （x ）在（﹣∞，]上单调递减，f （x ）在[，+∞）上单调递增，∴f （x ）的最小值为f （）=a +，∴a +=1，2a +b=2．（2）方法一：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，=+=（+）（2a +b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t ，即实数t 的最大值为； 方法二：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，t ≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t ，即实数t 的最大值为； 方法三：∵a +2b ≥tab 恒成立， ∴a +2（2﹣a ）≥ta （2﹣a ）恒成立， ∴2ta 2﹣（3+2t ）a +4≥0恒成立， ∴（3+2t ）2﹣326≤0，∴≤t ≤，实数t 的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．。
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2017.5 和平区二模
一、选择题
１．以下各数中比0小的是（）
A.-2
B.3/2
C.0.5
D.1
2等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 6条
3.某种生物细菌的直径为0.0000382cm,把0.0000382用科学记数法表示为()
A. 3.82×10−4
B. 3.82×10−5 3
C. 3.82×10−6
D. 38.2×10−6
4.如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）
A. 30°
B. 130°
C. 150°
D. 170°
5.一组数据1,3，3，4，4，5的中位数是（）
A. 3
B. 3.5
C. 4和3
D. 4
6.化简3/x-1-2/1-x的结果是（）
A. 1/x-1
B. 1/1-x
C. 5/1-x
D. 5/x-1
7.在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）
A. 30个
B. 80个
C.90个
D. 120个
8.一次函数y=−3x2−2的图象经过哪几个象限( )
A. 一、三象限
B. 二、四象限
C. 一、二象限
D. 三、四象限
9.如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）
A. 33个
B. 36个
C.37个
D. 41个
10.若关于x的方程(k−1)x2+2k x−1+k=0有实数根,则k的取值范围是( )
A. k>1/2且k≠1
B. k≥1/2且k≠1
C. k≤-1/2
D.k⩾1/2
二、填空题
11.分解因式：y3-y____________
12.解不等式组x+3(x−2)≤-2的整数解是_________
1+2x>x−1
13.正五边形每个内角的度数为___.
14.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的1/2后得到线段CD,则点B的对应点D的纵坐标为__________
15.已知A. B两地相距100km,甲乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行。
假设他们都保持匀速行驶。
甲乙两人离A地的距离s(千米)与骑车时间t(小时)满足的函数关系图象如图所示。
当甲乙两人相遇时，乙距离A地____________km
16.已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC,当DMN是等腰三角型，线段BN的长是__________
三、（6分、8分、8分）
17.先化简,再求值：(a−2)2−(a−1)(a+3)，其中a=√16.
18.小红和小颖两名同学用分别标有数字：-1,2，-3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）。
他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下
数字为y
(1)请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果
随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少?
(2)若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？
19.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
求证：四边形ADCE为矩形；
四、（8分、8分）
20.某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况,随机抽查了该年级m名女生进行测试,并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题
(1)m=_________p=__________
(2)补全上面的条形统计图和；
(2)被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是___；
(3)若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数。
21.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA 到E,连接EC，且∠ECA=∠CBD
（1）求证：EC是⊙O的切线
（2）若∠E=30°，EC=3√3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）
五、（10分）
22.某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x元（x是10的倍数）：
(1)当x=40时，客房每天出租的房间数为_____间，客房日租金的总收入是_______
(2)若旅馆将每天至少能出租20间客房
①直接写出x的取值范围
②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高?
六、（10分）
23.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(-1,0),B(0,-2)l两点，与反比例函数y=m/x(m≠0)的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C,点D，
①直接写出直线CD的表达式
②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是___________。
七、（12分）
24.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6点P是直线AB上一动点（1）如图，P在AB边上，以PD，PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD边于点F
①求证：DF=1/2AB
②求点C到直线AB的距离
③PE的最小值是_________
(2)连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM，PC为边作平行四边形PCNM,连接PN，当PN=10√3时，AP长为_________
八、（12分）
25.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+x+6的图象与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点B在点C的左侧)，连接AB，AC.
(1)①点B的坐标为___，点C的坐标为___，AC的长为____；
②求∠BAC的正弦值
(2)将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC,分别延长EB,FC 相交于点H
①点H坐标为_________点H__________抛物线对称轴上（“在”或“不在”）
②连接EF,将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF~于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为________。