数学同步优化指导(湘教版选修4-4)课件：本章整合提升2 (1)

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高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点复习总结

坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

2018年数学同步优化指导湘教版选修4-4练习：阶段质量

阶段质量评估(一) 坐标系A 卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 的作用下，点(1,2)的坐标变为( )A ．(3,2)B ．(1, 2)C ．⎝⎛⎭⎫13，2D ．⎝⎛⎭⎫1，23 解析：根据伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y ，知x ′＝3×1＝3，y ′＝2.∴点(1,2)的坐标变为(3,2)．答案：A2．下列极坐标方程表示圆的是( ) A ．ρ＝1 B ．θ＝π2(ρ≥0)C ．ρsin θ＝1D ．ρ(sin θ＋cos θ)＝1解析：ρ＝1化为平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点，半径为1的圆，故选项A 正确；θ＝π2(ρ≥0)化为平面直角坐标方程为x ＝0(y ≥0)，表示射线，故选项B 不正确；ρsin θ＝1化为平面直角坐标方程为y ＝1，表示直线，故选项C 不正确；ρ(sin θ＋cos θ)＝1化为平面直角坐标方程为x ＋y ＝1，表示直线，故选项D 不正确．答案：A3．极坐标方程7cos θ＋2sin θ＝0表示( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：7cos θ＋2sin θ＝0两边同乘ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0，即7x ＋2y ＝0，表示直线．答案：A4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρsin θ＝－4解析：如图所示，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切，l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点，则有 cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，即ρcosθ＝2.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 5．在柱坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫1，π2，0，B ⎝⎛⎭⎫1，π2，2及O (0,0,0)三点，则△ABO 的面积为________.解析：∵A ⎝⎛⎭⎫1，π2，0，B ⎝⎛⎭⎫1，π2，2，O (0,0,0)， ∴△OAB 为直角三角形． ∴S △OAB ＝12|OA ||AB |＝12×1×2＝1.答案：16．已知曲线C 1：ρ＝22和曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，则C 1上到C 2的距离等于2的点的个数为________.解析：将方程ρ＝22与ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2化成平面直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝(22)2与x －y －2＝0，则曲线C 1是圆心为原点，半径为22的圆；C 2为直线．所以圆心到直线x －y －2＝0的距离d ＝|－2|2＝ 2.故满足条件的点的个数为3.答案：37．在极坐标系中，与极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为____________.解析：设极点为O ，由该圆的极坐标方程为ρ＝4，可知圆的半径为4.又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4，所以∠AOB ＝π3.则极点到直线l 的距离d ＝4×cos π6＝2 3.所以该直线的极坐标方程为ρcos θ＝2 3.答案：ρcos θ＝2 38．在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(2，π)，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，则点A 到直线l 的距离是________.解析：由题意知，直线l 的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2.则直线l 的平面直角坐标方程为x ＋y －2＝0.又点A 的平面直角坐标为(－2，0)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|－2－2|2＝2 2.答案：2 2三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9．(本小题满分10分)若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，它们相交于A ，B 两点．求线段AB 的长．解：把极坐标方程ρ＝1化为平面直角坐标方程是x 2＋ y 2＝1.由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，得ρ＝cos θ－3sin θ. 两边都乘ρ，得ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ. ∴曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3的平面直角坐标方程是 x 2＋y 2－x ＋3y ＝0.由方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，解得A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，－32.∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝ 3.10．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的平面直角坐标方程．(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的一个极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，则圆O 的平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的平面直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 的公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 11．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点． (1)求实数a 的值．(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．解：(1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆；直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －3＝0. 由直线l 与圆C 相切，可得|a －3|2＝a .解得a ＝1. (2)不妨设点A 的极角为θ，点B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝3cos θ－3sin θ ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. 当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.12．(本小题满分10分)一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为π3的圆锥面上，从顶点出发盘旋着向上爬行．已知它上升的速度为v (v >0)，盘旋的角速度为ω(ω>0)，求t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标．解：如图所示，取圆锥的顶点O 为坐标原点，建立球坐标系，设t 时刻蚂蚁在点M (r ，θ，φ)．由题意，得θ＝ωt ，z ＝v t ，φ＝π3.∵z r ＝cos φ＝cos π3＝12， ∴r ＝2z ＝2v t .∴t 时刻蚂蚁在球坐标系中的位置为M ⎝⎛⎭⎫2v t ，ωt ，π3，t ∈[0，＋∞)． B 卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，点(1,0)到直线θ＝π4(ρ∈R )的距离是( )A ．12B ．22C ．1D ． 2解析：把直线θ＝π4(ρ∈R )化为平面直角坐标方程为x －y ＝0，故点(1,0)到直线x －y ＝0的距离为d ＝12＝22. 答案：B2．方程ρ＝－2cos θ和ρ＋4ρ＝42sin θ的曲线的位置关系为( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切解析：方程ρ＝－2cos θ和ρ＋4ρ＝42sin θ，即ρ2＝－2ρcos θ和ρ2－42ρsin θ＋4＝0. 将曲线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为 x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2－42y ＋4＝0.分别配方，得(x ＋1)2＋y 2＝1，x 2＋(y －22)2＝4，分别表示圆心为C 1(－1,0)，半径r 1＝1的圆和圆心为C 2(0,22)，半径r 2＝2的圆． ∵|C 1C 2|＝3＝r 1＋r 2，∴两圆外切．答案：B3．在符合互化条件的平面直角坐标系和极坐标系中，直线y ＋kx ＋2＝0与曲线ρ＝2cos θ相交，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－34 B ．⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ C ．k ∈RD ．k ∈R 且k ≠0解析：由ρ＝2cos θ，得x 2＋y 2－2x ＝0.与y ＋kx ＋2＝0联立，得(1＋k 2)x 2＋(4k －2)x ＋4＝0. 依题意有Δ＝(4k －2)2－16(1＋k 2)>0.解得k <－34.答案：A4．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A ．22B ． 2C ．2D ．2 2解析：如图所示，圆ρ＝4cos θ的圆心为C (2,0)，则|OC |＝2.直线tan θ＝1即直线θ＝π4(ρ∈R )．过点C 作直线tan θ＝1的垂线，垂足为D ．在Rt △COD 中，∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4，∴|CD |＝ 2.故圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为 2. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 5．在极坐标系中，设P 是直线l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝4上任意一点，Q 是圆C ：ρ2＝4ρcos θ－3上任一点，则|PQ |的最小值是________.解析：把直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程是x ＋y －4＝0，把圆C 的极坐标方程化为平面直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x －3，即(x －2)2＋y 2＝1.圆C 的圆心为(2,0)，半径为1，圆心到直线l 的距离 d ＝|2＋0－4|2＝2，则|PQ |的最小值是2－1.答案：2－16．在球坐标系中，M ⎝⎛⎭⎫4，π6，π4与N ⎝⎛⎭⎫4，2π3，π4两点间的距离是________. 解析：设点M ⎝⎛⎭⎫4，π4，π6的平面直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos π6＝4×22×32＝6，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin π6＝4×22×12＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴点M 的平面直角坐标为(6，2，22)，同理，点N 的平面直角坐标为(－2，6，22)． ∴|MN |＝(6＋2)2＋(2－6)2＋(22－22)2＝4. 答案：47．在极坐标系中，圆O ：ρ2＋2ρcos θ－3＝0的圆心到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离是________.解析：圆O ：x 2＋y 2＋2x －3＝0，圆心O (－1,0)，直线：x ＋y －7＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－8|2＝4 2.答案：4 28．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则实数a 的值为________.解析：将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a 转化为平面直角坐标方程，分别为x 2＋(y －2)2＝4与y ＝a .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，x 2＋(y －2)2＝4，得x 2＝－a 2＋4a ，且0<a <4. ∵△AOB 为等边三角形，∴a 2＝3(－a 2＋4a )．解得a ＝3或a ＝0(舍去)．答案：3三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9．(本小题满分10分)已知圆C 的圆心为(4,0)，半径为4. (1)求圆C 的极坐标方程．(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．解：(1)设D (ρ，θ)为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．因为|AO |＝8，所以|OD |＝|OA |cos θ，即ρ＝8cos θ，这就是圆C 的极坐标方程．(2)连接CM .因为M 为弦ON 的中点，所以CM ⊥ON .故M 在以OC 为直径的圆上．又|OC |＝4，所以动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.10．(本小题满分10分)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为平面直角坐标方程． (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的平面直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)ρ＝4cos θ两边同乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ. ρ＝－4sin θ两边同乘ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，得圆O 1，圆O 2的平面直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0， ①x 2＋y 2＋4y ＝0. ② ①－②，得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程．11．(本小题满分10分)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的方程为(x －4)2＋y 2＝1.以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝12. (1)求直线l 的平面直角坐标方程．(2)求圆M 上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝12，得ρ⎝⎛⎭⎫sin θcos π6＋cos θsin π6＝12. ∴12x ＋32y ＝12，即x ＋3y －1＝0， ∴直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －1＝0. (2)设M (4＋cos φ，sin φ)，则点M 到直线l 的距离d ＝|4＋cos φ＋3sin φ－1|2＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π62，∴当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝－1.即φ＝－2π3＋2k π(k ∈Z )时，d min ＝12. ∴圆M 上的点到直线l 的距离的最小值为12.12.(本小题满分10分)设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．解：如图，在直线l 上任取一点M (ρ，θ)．在Rt △OMA 中，由三角知识得ρcos(α－θ)＝d ，即 ρ＝dcos (α－θ).这就是直线l 的极坐标方程．。

高中数学选修4-4

高中数学选修4-4一、课程概述高中数学选修4-4是高中数学课程的一部分，主要内容包括立体几何和空间解析几何。

本课程注重培养学生的空间想象能力和几何推理能力，并为学生提供数学思维的训练和发展。

二、课程目标通过学习高中数学选修4-4，学生将达到以下目标： 1. 掌握立体几何的基本概念和性质； 2. 能够运用立体几何的知识进行几何推理和证明； 3. 熟练掌握空间解析几何的基本方法和技巧； 4. 能够应用空间解析几何解决实际问题。

三、课程内容3.1 立体几何1.空间中的点、线、面的概念；2.二面角和三面角的性质；3.空间几何体的分类和性质，如三棱锥、四棱锥、棱柱、棱台、正立方体等；4.空间几何体的体积和表面积计算公式；5.利用立体几何的知识进行几何证明和推理。

3.2 空间解析几何1.点和向量在三维空间中的坐标表示和运算；2.直线的方程和性质，包括点向式、两点式、对称式等；3.平面的方程和性质，包括点法式、点线式、截距式等；4.点、直线和平面的位置关系；5.利用空间解析几何解决实际问题的方法和技巧。

四、教学方法1.理论讲授：通过课堂讲解，系统地介绍立体几何和空间解析几何的基本概念、性质和方法。

2.实例演练：通过解答典型例题，帮助学生掌握具体的计算方法和推理过程。

3.讨论探究：组织学生进行小组讨论，引导他们思考和探索问题，培养解决问题的能力。

4.课堂练习：布置课堂练习题，加强学生对知识的巩固与运用。

五、考核方式高中数学选修4-4的考核方式主要采用考试的形式，包括平时小测、单元测试和期末考试。

考试内容包括理论知识的掌握、解题能力的应用以及几何证明和推理的能力。

六、学习建议1.认真听课，做好课堂笔记，理解和掌握每一节的内容；2.复习时，注重知识的巩固和联系，多做一些例题和习题；3.参加互动讨论，与同学一起讨论解题方法和思路；4.及时向老师请教和反馈问题，做好学习进度的控制；5.注重培养几何推理和分析问题的能力，培养自主学习和解决问题的能力。

2018年数学同步优化指导湘教版选修4-4练习：1-1、1-2

第1章 1.1 1.2一、选择题1．方程(x 2－3)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线D ．四条直线解析：由(x 2－3)2＋(y 2－4)2＝0，得 x 2－3＝0且y 2－4＝0.所以x ＝±3且y ＝±2. 故方程表示的图形是四个点．答案：B2．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2,2)的距离，则点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：因为点M (2,2)在直线x ＋y －4＝0上，故点P 的轨迹是过点M 与直线x ＋y －4＝0垂直的直线．答案：A3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：由伸缩变换的意义可得．答案：D4．在△ABC 中，A (4，－3)，B (5，－2)，重心G (2，－1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－3,2) B ．(3，－2) C ．(2，－3)D ．(－2,3) 解析：设点C (x ，y )，线段AB 的中点为D ⎝⎛⎭⎫92，－52. 依题意，得GC →＝2DG →.∴(x －2，y ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫2－92，－1＋52. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝－5，y ＋1＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2.∴C (－3,2)为所求．答案：A 二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 后，曲线方程变为___________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′.代入y ＝cos x ，得y ′＝cos 12x ′.答案：y ＝cos x26．在△ABC 中，已知A (4,2)，B (3,5)，|AB |＝|AC |，则点C 的轨迹方程为___________．解析：设C (x ，y )，则由|AB |＝|AC |，得(4－3)2＋(2－5)2＝(x －4)2＋(y －2)2. 化简，得(x －4)2＋(y －2)2＝10. 又∵A ，B ，C 三点不共线，∴(x －4)2＋(y －2)2＝10[去掉(3,5)，(5，－1)两点]．答案：(x －4)2＋(y －2)2＝10[去掉(3,5)，(5，－1)两点] 三、解答题7．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，代入直线方程2x ′－y ′＝4，得2λx －μy ＝4，即λx －μ2y ＝2.比较系数，得λ＝1，μ＝4.故直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.8．已知M 为等腰三角形ABC 底边BC 上的任意一点．求证：|AB |2＝|AM |2＋|BM |·|MC |.证明：取BC 的中点O 为坐标原点，OA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设A (0，b )，B (－a,0)，则C (a,0)．从而|AB |2＝a 2＋b 2.令点M 的坐标为(x,0)(－a ≤x ≤a )，则|AM |2＋|BM |·|MC |＝x 2＋b 2＋(a ＋x )(a －x ) ＝x 2＋b 2＋a 2－x 2 ＝a 2＋b 2.所以|AB |2＝|AM |2＋|BM |·|MC |.一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝3y后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．2x 2＋24y 2＝1B ．9x 2＋100y 2＝1C ．10x ＋24y ＝1D ．2x 2＋8y 2＝1解析：将⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝3y代入2x ′2＋8y ′2＝1，得2x 2＋8·(3y )2＝1，即2x 2＋24y 2＝1.答案：A2．已知△ABC 的底边BC 的长为12，底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sinA ．若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )A ．x 29－y 227＝1B ．x 29－y 227＝1(x <－3)C ．x 227－y 29＝1D ．x 227－y 29＝1(x <－3)解析：由题意知，B (－6,0)，C (6,0)．由sin B －sin C ＝12sin A ，得b －c ＝12a ＝6，即|AC |－|AB |＝6.所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支，且y ≠0，其方程为x 29－y 227＝1(x <－3)．答案：B二、填空题3．如果平行于x 轴的伸缩变换把曲线y ＝sin x 变成曲线y ′＝sin 4x ′，那么这个伸缩变换公式为____________.解析：设所求的伸缩公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝lx (l ＞0)，y ′＝y ，代入y ′＝sin 4x ′，得y ＝sin 4lx .与y ＝sinx 比较，知4l ＝1，即l ＝14.故变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y4．在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义|OP |＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．有以下结论：①符合|OP |＝1的点P 的轨迹围成的图形面积为2；②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则|OP |的最小值为1；③设P 为直线y ＝kx ＋b (k ，b ∈R )上任意一点，则 “使|OP |最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k ＝±1”．其中正确的结论有________.(填序号)解析：在①中，由|OP |＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，0≤x ≤1，y ＝－x －1，－1≤x ≤0，y ＝x ＋1，－1≤x ≤0，y ＝x －1，0≤x ≤1.其图象如图所示．故其面积为2×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝2. 故①正确．在②中，当P ⎝⎛⎭⎫255，0时，|OP |＝|x |＋|y |＝255<1. 则|OP |的最小值不为1，故②错误．在③中，|x |＋|y |≥|x ＋y |＝|(k ＋1)x ＋b |，当k ＝－1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意．又|x |＋|y |≥|x －y |＝|(k －1)x －b |，当k ＝1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意．故③正确．答案：①③ 三、解答题5．在平面直角坐标系中，曲线x 22－y 2＝1先经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y ，再经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，试求经过这两次变换后的曲线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝2y ′.代入x 22－y 2＝1，得 x ′22－4y ′2＝1，即x 22－4y 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′.代入x 22－4y 2＝1，得x ′28－4y ′2＝1，即x 28－4y 2＝1. 故两次变换后的曲线方程为x 28－4y 2＝1.6.如图，已知椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21(b <t 1<a )，点A 1，A 2分别为椭圆C 0的左、右顶点，动圆C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与椭圆C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.当矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等时，求证：t 21＋t 22为定值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)．由A 1(－a,0)，A 2(a,0)，得直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．②由①②，得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，得x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2.代入③，得x 2a 2－y 2b2＝1(x <－a ，y <0)．(2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|.故x 21y 21＝x 22y 22.∵点A ，A ′均在椭圆上， ∴b 2x 21⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝⎛⎭⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，得x 1≠x 2.∴x 21＋x 22＝a 2.∴y 21＋y 22＝b 2. ∴t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．。

数学同步优化指导(湘教版选修1-2)课件：5章整合提升

(2)数学证明常融合在解答题中考查，常与立体几何中线面
位置关系、数列、不等式、导数等结合，以证明题形式出现．
[高考冲浪]
3 ． (2016· 浙江卷 ) 已知互相垂直的平面 α ， β 交于直线 l. 若
直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( A．m∥l C．n⊥l 解析 ) B．m∥n D．m⊥n
由已知，α∩β＝l，∴l⊂β.又∵n⊥β，∴n⊥l.故C正
第5章推理与证明
本章整合提升
专题一
归纳与类比
[考情分析]
高考对于归纳与类比的考查多以填空题的形式考查，近两年的考查趋于冷淡，甚至不考．总的来看，对归纳与类比的考查有下降趋势．
[ 高考冲浪] 1．(2016· 山东卷)观察下列等式：
sin sin sin
π－2 2π－2 4 3 ＋sin 3 ＝3×1×2； π－2 2π－2 3π－2 4π－2 4 5 ＋sin 5 ＋sin 5 ＋sin 5 ＝3×2×3；
×4×5； …… 按此规律，
sin sin π 2π 3π －2 －2 －2 sin sin ＋＋＋…＋ 2n＋1 2n＋1 2n＋1
2nπ －2 ＝____________. 2n＋1
π －2 2π－2 4 解析当 n＝1 时，sin 3 ＋sin 3 ＝3×1×2； π－2 2π－2 3π－2 4π－2 当 n＝2 时，sin 5 ＋sin 5 ＋sin 5 ＋sin 5 ＝
π － 2 2π － 2 3π － 2 6π － 2 4 7 ＋ sin 7 ＋ sin 7 ＋ … ＋ sin 7 ＝ 3

数学同步优化指导(湘教版选修4-4)课件：2.4、2.5 平摆线及其参数方程;平摆线及其参数方程

第2章参数方程
2.4 2.5
平摆线及其参数方程渐开线及其参数方程
学习目标 1.了解基圆与滚动圆的概念． 2.理解平摆线和渐开线的概念．及应用.
重点难点 1.重点是平摆线与渐开线的参数方程．开线参数方程的应用.
3.掌握平摆线和渐开线的参数方程 2.难点是平摆线与渐
1．平摆线及其参数方程一直线滚动， (1)平摆线：一个圆沿此圆所在的平面内__________ 某个点M 运动的轨迹称为平摆线，也称为旋轮线．圆周上__________
在平摆线的参数方程中，参数θ的取值范围是什么？一拱的宽度与高度各是多少？
提示：平摆线的参数方程中，参数θ的取值范围是(－∞，
＋∞)．一拱的宽度与高度的求法：当y＝0时，cos θ＝1，得一拱的宽度为2πa；拱的最高点与定直线的距离为2a，则一拱的高度是2a(其中a是滚动圆的半径)．
2．渐开线及其参数方程
解：(1)当 y＝2 时，有 2＝2(1－cos t)，即 cos t＝0. π 3π ∵0≤t≤2π，∴t＝或 t＝ . 2 2
π π π 当 t＝时，x＝22－sin 2 ＝π－2； 2
3π 3π 3π 当 t＝时，x＝2 2 －sin 2 ＝3π＋2. 2
其中r为基圆的半径，θ为参数．
渐开线的参数方程中的参数θ的几何意义是什么？
提示：渐开线的参数方程中，参数θ的几何意义就是相应
的圆心角．
平摆线的参数方程
(1) 求平摆线
x＝2t－sin t， y＝21－cos t
(t 为参数，且
0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点的平面直角坐标． (2)求半径为 2 的圆的平摆线的参数方程．
(θ 为参数)，可知只需求出其中的半径 a，圆的平摆线的参数方程即可写出，也就是圆的平摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．

数学同步优化指导(湘教版选修4-4)课件：1.3 第2课时直线和圆的极坐标方程

(4)在极坐标系中，过点 P(ρ1，θ1)且与极轴所成的角为 α 的 ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1) 直线的极坐标方程是_____________________________.
π 在极坐标系中，当 ρ≥0，ρ∈R 时，极坐标方程 θ＝分别 3 表示什么曲线？
π 提示：若 ρ≥0，则表示过极点，倾斜角为的射线；若 ρ 3 π ∈R，则表示过原点，倾斜角为的直线． 3
3 ρ 在△MOA 中，根据正弦定理，得 . ＝ 5π π ＋ θ sin 4 sin12
π π 6＋ 2 5π 7π ∵sin ＝sin ＝sin4＋3＝， 12 12 4
∴将
π sin4＋θ 展开、化简、代入，得
3 3 3 ρ(sin θ＋cos θ)＝＋ . 2 2 ∵点
ρ＝f(θ) F(ρ，θ)＝0 与极角满足的方程__________ 或______________.
曲线的极坐标方程是否唯一？提示：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即曲线上的点的极坐标有多种表示，所以曲线的极坐标方程不唯一．
2．直线的极坐标方程 (1)在极坐标系中，过极点且倾斜角是 α 的直线的极坐标方
第1章坐标系
1.3
第二课时
极坐标系
直线和圆的极坐标方程
学习目标 1.理解直线和圆的极坐标方程． 2.体会在用方程刻画直线和
重点难点 1.重点是直线与圆的极坐标方程的几种形式． 2.难点是直线与圆的极坐标
圆时选择适当坐标系的意义. 方程的应用.
1．极坐标方程的定义定义：曲线L的极坐标方程是指L上的动点的极坐标的极径
线时，点 M 的坐标也适合上式；当 θ<θ1 时也满足该式．所以半径为 r ，圆心为 C(ρ1 ， θ1) 的圆的极坐标方程为 ρ2 ＋ ρ 2 1－ 2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0.

2018年数学同步优化指导选修4-4课件：第1讲 1 平面直

用坐标法解决平面几何问题
在 ▱ABCD 中，求证： |AC|2 ＋ |BD|2 ＝ 2(|AB|2 ＋ |AD|2)．
[思路点拨]解答本题可以运用坐标方法，先在▱ABCD所在
的平面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、 D的坐标，再由距离公式完成证明．也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明．
运用坐标法解决解析几何问题
如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．
[思路点拨]本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝ 2|PN|，即 |PM|2 ＝ 2|PN|2 ，结合图形由勾股定理转化为 |PO1|2 － 12 ＝ 2(|PO2|2－12)．设 P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得．
图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究．
建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．
2．解析法解题步骤第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当几何元素，将几何坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 ______ 代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问问题转化成 _____ 几何结论．题；第三步，把代数运算结果“翻译”成______

数学同步优化指导(湘教版选修4-5)课件：2.2 解含绝对值的不等式举例

当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.
不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( A．(－∞，4) C．(1,4) －4＜2，所以x＜1. D．(1,5)
)ห้องสมุดไป่ตู้
B．(－∞，1)
解析：①当x＜1时，原不等式等价于1－x－(5－x)＜2，即
②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)＜2，即x＜4，所以1≤x＜4. ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2，即4＜2，无解．综合①②③知x＜4. 答案：A
用等价命题法将其绝对值符号去掉，即当 a ＞ 0 时， |f(x)| ＞
a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a，分别求出相应的不等式的解集，即可达到解题目的．
1．解下列不等式： (1)|6－2x|＞4； (2)2≤|x－4|＜3； (3)|x＋1|＞2－x.
解：(1)|6－2x|＞4⇔|2x－6|＞4⇔2x－6＞4或2x－6＜－4，
整理，得2x＞10或2x＜2，解得x＞5或x＜1. ∴原不等式的解集是{x|x＞5或x＜1}．
(2)解法一原不等式等价于
|x－4|＜3， |x－4|≥2
x－4＜3， ⇔①x－4＞－3， x－4≥2
2．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c＞0)型不等式的解法：－c≤ax＋b≤c 先化为________________ ，再利用不等式的基本性质求出原不等式的解集． (2)|ax＋b|≥c(c＞0)的解法：先化为__________ ，再进一步利用不等 ax＋b≥c 或______________ ax＋b≤－c 式的基本性质求出原不等式的解集．

最新-2021年数学同步优化指导选修45课件：第1讲 2 2 课时绝对值不等式的解法精品

形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a恒成立的问题
(1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒成立，求实数a的取值范围．
(2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．
(3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．
思路点拨：对(1)来说，a<f(x)对 x∈R 恒成立等价于 a<f(x) 的最小值，求 f(x)的最小值，只需使用含绝对值的重要不等式 |x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2|的最小值，则问题获解．对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是求函数 f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最小值．
3．不等式|4－3x|≥2的解集是________．解析：|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2 或 3x－4≥2，解得 x≤23或 x≥2. 答案：－∞，23∪[2，＋∞)
1．解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后其解法就与一般不等式或不等式组相同．
解：(1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，即 f(x)min＝5，∴a<5.
(2)问题可转化为 a>f(x)的某些值，由题意 a>f(x)min，同上得 a>5.
(3)问题可转化为对一切 x∈R 恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知 a≤5.
【授之以渔】解关于恒成立问题时注意等价转化思想的应用
若 a＞1，则 f(x)＝a－－21x＋，a1＋＜1x＜，ax≤，1， 2x－a＋1，x≥a

2018年数学同步优化指导湘教版选修4-4练习：2-1 从抛物运动谈起含解析精品

第2章 2.1一、选择题1．已知曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)，则下列各点在曲线上的是( )A ．(2,7)B ．⎝⎛⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，12D ．(1,0)解析：由参数方程中x ，y 的取值范围，可排除A ；参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1－2sin 2θ.把点的坐标代入验证知，点⎝⎛⎭⎫12，12满足方程．答案：C2．下列参数方程中，与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin tC ．⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos 2t 1＋cot 2t ，y ＝tan t解析：选项B 中sin 2t 和sin t 都表示在一定范围内；选项A ，C 中化简后不是方程y 2＝x ，而是x 2＝y ；借助万能公式代入化简，可知选项D 正确．答案：D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数，t ＞0)表示的曲线是( )A ．两条直线B ．一条射线C ．两条射线D ．双曲线解析：当t ＞0时，x ＝t ＋1t ≥2，故y ＝2(x ≥2)表示以(2,2)为端点的一条射线．答案：B4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1C ．2D ．2解析：设点P (1,0)到曲线上的点的距离为d ，则 d ＝(x －1)2＋(y －0)2 ＝(t 2－1)2＋(2t )2 ＝(t 2＋1)2＝t 2＋1≥1. 当t ＝0时，d min ＝1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1. 答案：B 二、填空题5．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3，其中θ为参数，0≤θ＜2π.点A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)中，在曲线上的点是________.解析：将点A 的坐标代入方程得θ＝0或π，将点B ，C 的坐标代入方程，方程无解．故点A 在曲线上．答案：A(1,3)6．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ，其中t 为参数，曲线C 在点(1,1)处的切线为直线l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为___________．解析：曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，则曲线C 是以原点为圆心，以2为半径的圆．因为过原点和切点的直线的斜率为k ＝1，所以切线l 的斜率为－1.则切线的方程为x ＋y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.答案：ρcos θ＋ρsin θ－2＝0 三、解答题7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t ，其中t 为参数．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，判断直线l 与圆C 的位置关系．解：由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t 消去参数t ，得普通方程为2x －y ＋1＝0，表示一条直线；把圆C 的极坐标方程ρ＝22sin θ的两边都乘ρ，得ρ2＝22ρsin θ，则其平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝22y ，即x 2＋(y －2)2＝2，表示以点(0，2)为圆心，2为半径的圆．圆心(0，2)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－2＋1|22＋(－1)2＝2－15＜ 2，故直线和圆相交．8．在平面直角坐标系中，经过原点O 作圆x 2＋y 2－2ax ＝0(a ＞0)的弦，选择适当的参数，求出这些弦的中点的轨迹的参数方程．解：把圆的一般方程x 2＋y 2－2ax ＝0化为标准方程，得(x －a )2＋y 2＝a 2，则圆心坐标为C (a,0)，半径为a .如图，设OP 是过原点的任意一条弦，M (x ，y )是弦OP 的中点，弦OP 与x 轴的夹角为θ，θ为参数，连接CM ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|OM |＝|OC |cos θ＝a cos θ.∴|ON |＝|OM |cos θ＝a cos 2θ，|MN |＝|OM |sin θ＝a cos θsin θ.∴所有弦的中点的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos 2θ，y ＝a cos θsin θ(θ为参数)．一、选择题1．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心的轨迹方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2tB ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝－2tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t解析：原方程可变形为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，则这组圆的圆心坐标为(2t ，t )．设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，答案：D2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2t ＋sin 2t ，y ＝cos t ＋sin t(t 为参数)表示的曲线( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2t ＋sin 2t ，y ＝cos t ＋sin t ，即⎩⎨⎧x ＝12(1－2sin 2t )＋sin 2t ＝12，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π4.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，－2≤y ≤ 2.它表示以点⎝⎛⎭⎫12，－2和点⎝⎛⎭⎫12，2为端点的线段，关于x 轴对称．答案：A 二、填空题3．已知下列参数方程，其中与方程xy ＝1表示相同曲线的是________.(填序号)①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t －2；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝1sin t；③⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝1cos t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1tan t .解析：在方程xy ＝1中，x ，y 均为不等于0的实数．①②③中x 的取值依次为[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确．④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．答案：④4．动点M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1,1)，则点M 的参数方程为____________.解析：设点M 的坐标为(x ，y )，则点M 在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t三、解答题5．已知线段AB 的位置和长度都一定，点P 在线段AB 上运动．在AB 的同侧分别以AP ，PB 为边作正三角形APM 与BPN ，求线段MN 的中点Q 的轨迹方程．解：建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB |＝a ，取|AP |＝t (0＜t ＜a )为参数，则B (a,0)，P (t,0)，M ⎝⎛⎭⎫t 2，32t ，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋t 2，3(a －t )2.设线段MN 的中点Q 的坐标为(x ，y )．根据中点坐标公式，得点Q 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝12t ＋a4，y ＝34a .其中t 为参数，0＜t ＜a .6．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ，其中θ为参数，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为平面直角坐标方程．(2)曲线C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ，得(x ＋2)2＋y 2＝10.∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10. ∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ. ∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ，即(x －1)2＋(y －3)2＝10. ∴曲线C 2的平面直角坐标方程为 (x －1)2＋(y －3)2＝10.(2)∵圆C 1的圆心为(－2,0)，圆C 2的圆心为(1,3)， ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2 ＝32＜210， ∴圆C 1，C 2相交．设相交弦长为d .∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C 1C 2. ∴⎝⎛⎭⎫d 22＋⎝⎛⎭⎫3222＝(10)2.解得d ＝22.∴公共弦长为22.。

2018年数学同步优化指导湘教版选修4-4练习：1-4 极坐

第1章 1.4一、选择题1．点P 的平面直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A ．⎝⎛⎭⎫2，π4 B ．⎝⎛⎭⎫2，3π4 C ．⎝⎛⎭⎫2，5π4 D ．⎝⎛⎭⎫2，7π4 解析：点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4.答案：B2．极坐标方程ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线D ．圆解析：方程可化为ρ＝22cos θ－22sin θ，所以ρ2＝22ρcos θ－22ρsin θ，由互化公式，得x 2＋y 2－22x ＋22y ＝0. 答案：D3．在极坐标系中，与圆ρ＝2sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝1 B ．ρcos θ＝1 C ．ρcos θ＝2D ．ρcos θ＝－2解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2－2y ＝0. 所以x 2＋(y －1)2＝1.表示的是以点(0,1)为圆心，半径为1的圆．由ρsin θ＝1，得y ＝1；ρcos θ＝1，得x ＝1；由ρcos θ＝2，得x ＝2；由ρcos θ＝－2，得x ＝－2. 故只有ρcos θ＝1与ρ＝2sin θ相切．答案：B4．极点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝3的距离是( )A ．62B ． 6C ．2 6D ．64解析：ρ(cos θ＋sin θ)＝3可化为x ＋y －3＝0，则极点到直线的距离d ＝32＝62. 答案：A 二、填空题5．直线2x ＋3y －2＝0的极坐标方程为_________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得2ρcos θ＋3ρsin θ－2＝0.答案：2ρcos θ＋3ρsin θ－2＝06．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________. 解析：点⎝⎛⎭⎫2，π6化为平面直角坐标为(3，1)；直线方程可化为32ρsin θ－12ρcos θ＝1，即x －3y ＋2＝0.由点到直线的距离公式，得d ＝|3－3×1＋2|12＋(－3)2＝1. 答案：1 三、解答题7．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎫4，5π3，求它的平面直角坐标． (2)已知点B 和点C 的平面直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．解：(1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2， y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. ∴点A 的平面直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4.∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4. ∵x ＝0，y ＜0，∴ρ＝15，θ＝3π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫15，3π2.8．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出曲线C 的平面直角坐标方程，并求出M ，N 的极坐标． (2)设线段MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. ∴曲线C 的平面直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2；当θ＝π2时，ρ＝233.∴点M ，N 的极坐标分别为M (2,0)， N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)分别求出点M ，N 的平面直角坐标，为M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎫0，233，则点P 的平面直角坐标为P ⎝⎛⎭⎫1，33，化为极坐标后为P ⎝⎛⎭⎫233，π6.故所求直线的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．一、选择题1．直线l 1：ρsin(θ＋α)＝a 和l 2：θ＝π2－α的位置关系是( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1和l 2重合D ．l 1和l 2斜交解析：l 1可化为x sin α＋y cos α＝a ，k 1＝－sin αcos α；l 2可化为x cos α－y sin α＝0，k 2＝cos αsin α.∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2. 答案：B2．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B ． 4＋π29C ．1＋π29D ． 3解析：极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫2，π3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1, 0)．所以所求两点间的距离为(1－1)2＋(3－0)2＝ 3.答案：D 二、填空题3．在极坐标系中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为________.解析：ρ＝4sin θ化为平面直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝ 4，点⎝⎛⎭⎫4，π6化为平面直角坐标为(23，2)．因切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，故由勾股定理，得切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2. 答案：2 24．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________.解析：将直线l 的极坐标方程2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2化为平面直角坐标方程为x －y ＋1＝0.由A ⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的平面直角坐标为(2，－2)．从而点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|12＋(－1)2＝522. 答案：522三、解答题5．在平面直角坐标系中，已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系． (1)将圆C 和直线l 的平面直角坐标方程化为极坐标方程．(2)P 是直线l 上一点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的平面直角坐标方程，得它们的极坐标方程分别为C ：ρ＝2，l: ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设点P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4.故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．6．在极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求圆C 的极坐标方程．(2)P 是圆C 上一动点，点Q 满足3OP →＝OQ →，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求点Q 的轨迹的平面直角坐标方程．解：(1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点，过点C 作CH ⊥OM 于点H ，则|OH |＝|OC |·cos ∠COH .而∠COH ＝∠COM ＝⎪⎪⎪⎪θ－π3，|OH |＝12|OM |＝12ρ，|OC |＝2，所以12ρ＝2cos ⎪⎪⎪⎪θ－π3，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3为所求的圆C 的极坐标方程． (2)设点Q 的极坐标为(ρ，θ)．由3OP →＝OQ →，得点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫13ρ，θ.代入(1)中圆C 的方程，得13ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，即ρ＝6cos θ＋63sin θ. ∴ρ2＝6ρcos θ＋63ρsin θ.化成平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝6x ＋63y .故点Q 的轨迹的平面直角坐标方程为x 2＋y 2－6x －63y ＝0.。

数学同步优化指导(湘教版选修4-4)课件：1.5、1.6 柱坐标系;球坐标系

(2)设点 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)， x＝ρcos θ，则有y＝ρsin θ， z＝z， 1＝ρcos θ，即－ 3＝ρsin θ， 4＝z.
5π ∴ρ＝2，θ＝，z＝4. 3 ∴点 M
5π 的柱坐标为2， 3 ，4 .
答案：(1)(－1， 3，－2)
得x
(2)由互化公式，可得 ρ＝－3 3 3 3 ＋－3 ＝6，tan θ＝＝－ . 3 3 3
2 2
11π 又 x>0，y<0，∴θ＝ . 6 ∴点 N
11π 的柱坐标为6， 6 ，7 .
【点评】 (1)熟练应用互化公式，可以实现点的两种坐标之间的互化． y (2)在运用 tan θ＝ (x≠0)求 θ 时， θ 的值由直角坐标中的 x， x y 的符号来确定．
4．空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的
x＝rsin φ· cos θ， sin θ， y＝rsin φ· z＝rcos φ 变换关系为_________________.
空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？提示：设空间中点 M 的直角坐标为 (x ， y ， z) ，柱坐标为 (r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同，空间直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实
数；球坐标分别表示距离、角、角．
在极坐标系中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不为 0 常数)，θ＝θ0(θ0 为常数)表示的图形分别是圆和直线，那么在柱坐标系中，方程 ρ ＝1，z＝－1 分别表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方 π 程 r＝1，φ＝分别表示空间中的什么曲面？ 4
解：在柱坐标系中，方程 ρ＝1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱面；方程 z＝－1 表示与 xOy 坐标面平行的平面，此平面与 xOy 面的距离为 1 且在此坐标面的下方；在球坐标系中， π 方程 r＝1 表示球心在原点的单位球面；方程 φ＝表示顶点在 4 π 原点，半顶角为的上半个圆锥面，中心轴为 z 轴． 4

2018年数学同步优化指导湘教版选修4-4练习：2-3 第2课

第2章 2.3 第二课时1．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t ∈R )的焦点为F ，则抛物线上的点M (3，m )到F 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：抛物线参数方程化为普通方程得y 2＝4x ，则点M 到点F 的距离为d ＝3＋22＝4.答案：D2．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23tan α，y ＝6cos α(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0,43) B ．(－43，0)，(43，0) C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)解析：双曲线的参数方程可化为y 236－x 212＝1，所以c 2＝36＋12＝48，c ＝43，且焦点在y 轴上．答案：A3．已知某条曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，y ＝12⎝⎛⎭⎫a －1a ，其中a 是参数，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减，得 x 2－y 2＝1.由|x |＝12⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1. 故该曲线是双曲线．答案：C4．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt2(t ∈R )上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是________.解析：设M 1(2pt 1,2pt 21)，M 2(2pt 2,2pt 22)，则k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝t 21－t 22t 1－t 2＝t 1＋t 2.答案：t 1＋t 25．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，其中t 是参数，a ∈R ，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a .(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5，at 2＝4.故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.所以a ＝1.(2)由已知及(1)，可得曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2.由第一个方程，得t ＝x －12.代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．。

最新-2021年数学同步优化指导选修44课件：第01讲坐标系本讲小结精品

专题二平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
x′＝λ·x λ>0， y′＝μ·y μ>0的作用源自，点P(x，y)对应点P′(x′，
y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
【例2】在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x′＝2x， y′＝2y
后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求
23y－12x＝1，12x－ 23y＋1＝0，
点(
3
，
1)
到
直
线
1 2
x
－
3 2
y
＋
1
＝
0
的距离为
12× 312－ 2＋23－×123＋21＝1.
答案：1
4．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2 θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原
点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2 交点的直角坐标为________．
所以△OAB 面积的最大值为 12|OA|·(2＋ 3)＝2＋ 3.
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下课
解析：由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为C(1,2)，半径长为1. ∵点P的坐标为(1,0)，∴点P在圆C外．又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1. 答案：1
7．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4.
解析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再求两曲线的交

最新-2021年数学同步优化指导湘教版选修45课件：本章整合提升3 精品

专题三平均值不等式的应用
[考情分析] 求最值的方法有很多，在利用“三个正数的平均值不等式”求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的原则．在处理有关凑项和拆项等方法的问题时也一定要注意这一原则．高考中一般在选考题中考查该考点．
[高考冲浪]
1．求函数 y＝sin θcos2θ0＜θ＜2π的最大值．解：y2＝sin2 θ·cos2 θ·cos2 θ＝12·2sin2 θ(1－sin2 θ)·(1－sin2
a2(b ＋ c － a) ＋ b2(c ＋ a － b) ＋ c2(a ＋ b － c)≤ac(b ＋ c － a) ＋ ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋cb(b－ c)．②
将①和②相加再除以2，得 a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.
解析：不妨设 a≥b≥c>0，则 a2≥b2， ∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a＝ab(a＋b)．同理 b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)， ∴a3＋b13＋abc＋b3＋c13＋abc＋c3＋a13＋abc ≤aba＋1b＋abc＋bcb＋1c＋abc＋cac＋a1＋abc ＝a＋1b＋c·(a1b＋b1c＋c1a)＝a1bc. 答案：≤
解析：当 n＝k 时，f(k)＝1＋1k1＋k＋1 1…1＋k＋1 k，当 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝1＋k＋1 11＋k＋1 2…1＋2k＋1 2， ∴f(k)应乘1＋2k＋1 11＋2k＋1 2·k＋k 1. 答案：1＋2k1＋11＋2k1＋2·k＋k 1
2．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．

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解：(1)消去参数 t，得 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2， C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 C1 的普通方程，得到 C1 的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组
x＝2＋t，数方程为 y＝kt，
t 为参数，直线 l2 的参数方程为
x＝－2＋m， m m 为参数．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时， y＝ k， P 的轨迹为曲线 C．
(1)写出曲线 C 的普通方程． (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ(cos θ＋sin θ)－ 2＝0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径．解：(1)消去参数 t，得 l1 的普通方程为 y＝k(x－2)．
2 2 ρ －2ρsin θ＋1－a ＝0， ρ＝4cos θ.
若 ρ≠0，由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0.由已知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0. ∴1－a2＝0.解得 a＝－1(舍去)，a＝1. 当 a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，在 C3 上． ∴a＝1.
1 消去参数 m，得 l2 的普通方程为 y＝ (x＋2)． k y＝kx－2，设 P(x，y)，由题设，得 1 y＝ x＋2. k
消去 k，得 x2－y2＝4(y≠0)．故曲线 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0)． (2)曲线 C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．
21 24 －，的交点坐标为(3,0)， 25 25.
(2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故曲线 C 上的点(3cos θ，sin θ )到 l 的距离为 |3cos θ＋4sin θ－a－4| d＝ . 17 a＋9 当 a≥－4 时，d 的最大值为 . 17
2 2 2 ρ cos θ－sin θ＝4，联立 ρcos θ＋sin θ－ 2＝0，
得
cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ )． 1 9 1 2 2 故 tan θ＝－ .∴cos θ＝，sin θ＝ . 3 10 10 代入 ρ2(cos2θ－sin2θ )＝4，得 ρ2＝5. 故点 M 的极径为 5.
专题二
参数方程与极坐标方程的综合问题
[考情分析] 参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特
征都较为突出，都是极坐标方程转化为平面直角坐标方程、参
数方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决．
[高考冲浪] 1． (2017· 全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参
2．(2016· 全国卷Ⅰ)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的
x＝acos t，参数方程为 y＝1＋asin t，
t 为参数，a＞0.在以坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程． (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在直线 C3 上，求 a 的值．
x＝3cos θ，参数方程为 y＝sin θ x＝a＋4t， y＝1－t
(θ 为参数 ) ，直线 l 的参数方程为
(t 为参数)．
(1)若 a＝－1，求曲线 C 与直线 l 的交点坐标． (2)若曲线 C 上的点到直线 l 距离的最大值为 17，求 a.
x2 2 解：(1)曲线 C 的普通方程为＋y ＝1. 9 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0. 21 4y－3＝0， x＝－， x＋ x ＝ 3 ， 25 2 由x 解得或 2 24 ＋y ＝1， y＝0， y＝ . 9 25 故曲线 C 与直线 l第 2章 Nhomakorabea参数方程
本章整合提升
专题一
参数方程与平面直角坐标方程的互化及应用
[考情分析] 参数方程与平面直角坐标方程的互化及应用，是高考命题的热点，都以选考题的形式考查，试题难度不大，多为中档题，解题思路一般是把参数方程化为平面直角坐标方程，再利
用平面解析几何知识解决．
[高考冲浪] 1．(2017· 全国卷Ⅰ)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的
a＋9 由题设得＝ 17.所以 a＝8. 17 －a＋1 当 a<－4 时，d 的最大值为 . 17 －a＋1 由题设得＝ 17，所以 a＝－16. 17 综上，a＝8 或 a＝－16.
2．(2017· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的 x＝－8＋t，参数方程为 t y＝， 2
2 x ＝ 2 s ， y＝2 2s，
t 为参数，曲线 C 的参数方程为
s 为参数．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直
线 l 的距离的最小值．
解：直线 l 的普通方程为 x－2y＋8＝0. 由点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,2 2s)， |2s2－4 2s＋8| 2s－ 22＋4 从而点 P 到直线 l 的距离 d＝ . 2 2 ＝ 5 1 ＋－2 4 5 当 s＝ 2时，dmin＝ . 5 ∴当点 P 的坐标为(4,4)时，曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距 4 5 离取到最小值 . 5
3．(2016· 全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的
x＝ 3cos α，参数方程为 y＝sin α，
α 为参数．以坐标原点为极点，以 x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为