2018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何47圆与方程试题文

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2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第七章平面解析几何46Word版含答案

考点测试46 两条直线的交点与距离公式一、基础小题1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )A．1 B. 3C．2 D. 5答案 D解析由点到直线的距离公式得d＝|－5|1＋22＝ 5.2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案 A解析设直线方程为x－2y＋c＝0(c≠－2)，又经过(1,0)，故c＝－1，所求方程为x －2y－1＝0.3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直⇔1＋1×(－a)＝0，所以选C.4．已知直线3x＋y－1＝0与直线23x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1 B.54 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵323＝1m ≠－13，∴m ＝2，两平行线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－323＋1＝54.选B.5．已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则|PM |的最小值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 |PM |的最小值即点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又|3－3－2|1＋3＝1，故|PM |的最小值为1.选B.6．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．3x ＋y －6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．x －3y －2＝0 答案 B解析设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，则k ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，对比四个选项可知选B.7．已知直线l 的倾斜角为π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (－a ，1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案 B解析由题知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a ＝－1，所以a ＝－4.又l 1∥l 2，所以－2b＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2，故选B.8．已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5B.10C ．2 5D ．210答案 A 解析x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5. 9．已知直线l 过点M (3,4)，且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 答案 D解析易知直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0.由已知得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，解得k ＝2或k ＝－23，故直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.10．设A ，B 是x 轴上的两点，点M 的横坐标为3，且|MA |＝|MB |，若直线MA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线MB 的方程是( )A ．x ＋y －7＝0B ．x －y ＋7＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析解法一：由|MA |＝|MB |知，点M 在A ，B 的垂直平分线上．由点M 的横坐标为3，且直线MA 的方程为x －y ＋1＝0，得M (3,4)．由题意，知直线MA ，MB 关于直线x ＝3对称，故直线MA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线MB 上，∴直线MB 的方程为x ＋y －7＝0.选A.解法二：由点M 的横坐标为3，且直线MA 的方程为x －y ＋1＝0，得M (3,4)，代入四个选项可知只有3＋4－7＝0满足题意，选A.11．已知点A (3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上分别找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，则最短周长为( )A ．4B ．2 5C ．2 3D ．2 2答案 B解析设点A 关于直线y ＝x 的对称点为B (x 1，y 1)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋12＝x 1＋32，y 1－1x 1－3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝3，即B (1,3)，同样可得点A 关于y ＝0的对称点C (3，－1)，如图所示，则|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |，当且仅当B ，M ，N ，C 共线时，△AMN 的周长最短，即|BC |＝－2＋＋2＝2 5.选B.12．经过两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点，且与直线x －3y －1＝0平行的直线的一般式方程为________．答案 x －3y ＝0解析两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以所求直线为y ＋1＝13(x ＋3)，即x －3y ＝0.二、高考小题13．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案 A解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A.14．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析如图，作出点P (－2，－3)关于y 轴的对称点P 0(2，－3)．由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y ＝k (x －2)－3，即kx －y －2k －3＝0.∴圆心到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|1＋k2＝1，解得k ＝－43或k ＝－34. 15．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析设与直线2x ＋y ＋1＝0平行的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠1)，因为直线2x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，即点(0,0)到直线2x ＋y ＋m ＝0的距离为5，所以|m |5＝5，|m |＝5.故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．答案2555解析圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋－－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555. 17．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15. 三、模拟小题18．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．2x ＋y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案 C解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线．又A (2，0)，B (0,4)，所以AB 的中点为(1,2)，k AB ＝－2.故AB 的中垂线为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0，应选C.19．已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是( )A ．无论k 、P 1、P 2如何，总是无解B ．无论k 、P 1、P 2如何，总有唯一解C ．存在k 、P 1、P 2，使之恰有两解D ．存在k 、P 1、P 2，使之有无穷多解答案 B解析由题意，直线y ＝kx ＋1一定不过原点O ，P 1、P 2是直线y ＝kx ＋1上不同的两点，则OP 1→与OP 2→不平行，因此a 1b 2－a 2b 1≠0，所以二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1一定有唯一解．20．“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析若点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，则有|1＋3＋C |12＋32＝3，解得C＝2或C ＝－10，故“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B.21．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合，则直线l 与直线l 1的距离是________．答案115解析设直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，依题意可得l 1：a (x －3)＋b (y －5)＋c ＝0，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位得直线l ：a (x －4)＋b (y －3)＋c ＝0，故a ＝－34b ，则直线l 与直线l 1的距离d ＝|－3a －5b ＋c ＋4a ＋3b －c |a 2＋b 2＝|a －2b |a 2＋b2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34b －2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34b 2＋b 2＝115.22．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．答案 6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－·1＝－1－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.23．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)解析依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化为x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，设y 0x 0＝k OM ，如图当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．24．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x －a2＋y －b2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．答案 5 2解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝x ＋2＋－2＋x ＋2＋－2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和，设点A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝－1＋2＋＋2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.2．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解 (1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.。

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第三章三角函数、解三角形与平面向量考点测试18 任意角和弧度制、任意角的三角函数一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D.2．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．23 B ．32 C ．23π D ．32π 答案 B解析由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B ．32 C ．－12D ．12答案 D解析因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3. 12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－ba 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b 2a2＝0. 二、高考小题 13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在的图象大致为( )答案 C解析由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0 D ．cos2α>0答案 C解析由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析由题意得f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样． 18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．答案 A解析由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6B ．5π3C ．11π6D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．)21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32 C ．1 D ．12答案 C解析如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．3答案 A解析设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ，∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3. 所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R .(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )，当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，则sin β＝a2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64. 当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，则sin β＝a－2a ＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64. 综上所述，sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64. 4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2； (2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210. (2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α. 因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。

高中数学高考2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练课件第七章平面解析几何 18

a2＋b2
－b a＋
a b
1
a
a
＝－1－ba22＋a2＋ a2 b2＝0.
a2＋b2· a2＋b2
二、高考小题
13．[2014·全国卷Ⅰ]
如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动
点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线
OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函
(a≠b)，角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，则
sinα cosβ
＋ttaannβα＋cosα1·sinβ＝___0_____.
解析
由题意得P(a，－b)，Q(b，a)，∴tanα＝－
b a
，
－
tanβ＝
ab(a，b≠0)，∴csoinsαβ
＋
tanα＋ tanβ
1＝ cosα·sinβ
b a2＋b2 ＋ b
解 ∵P(x，－ 2)(x≠0)， ∴点P到原点的距离r＝ x2＋2.
又cosα＝ 63x，∴cosα＝
x2x＋2＝
3 6 x.
∵x≠0，∴x＝± 10，∴r＝2 3.
当x＝ 10时，P点坐标为( 10，－ 2)，
由三角函数的定义，有sinα＝－ 66，ta1nα＝－ 5，
∴sinα＋ta1nα＝－
y x
＝
5 －4
＝－
3 4
，故
5
选D.
2．sin2cos3tan4的值(
)
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.
3．已知扇形的半径为12 cm，弧长为18 cm，则扇形圆

[推荐学习]2018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何单元质量测试文

单元质量测试(七)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．直线3x ＋3y －1＝0的倾斜角大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案 C 解析 ∵k ＝－33＝－3，∴α＝120°.2．“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a4x －1垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由a ＝2得两直线斜率满足(－2)×24＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a )×a4＝－1，解得a ＝±2，故选A.3．圆锥曲线x 2m 2＋5＋y 2m 2－4＝1的焦距是( )A ．3B ．6C ．3或 2m 2＋1 D ．6或22m 2＋1答案 B解析当m 2－4>0，则方程的曲线为椭圆，a 2＝m 2＋5，b 2＝m 2－4，从而c 2＝a 2－b 2＝9，∴椭圆的焦距为2c ＝6.当m 2－4<0，则方程的曲线为双曲线，其中a 2＝m 2＋5，b 2＝4－m 2，从而c 2＝a 2＋b 2＝9，∴双曲线的焦距也是6.故正确选项为B.4．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0答案 B解析由直线和圆没有交点可得：4m 2＋n2>2，整理得m 2＋n 2<4，故点P (m ，n )必在椭圆内，于是过点P 的直线与椭圆必有两个交点．5．[2016·湖南六校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 C解析以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，又因为点(3,4)在圆上，所以32＋42＝c 2，所以c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，且点(3,4)在这条渐近线上，所以b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1，故选C.6．[2015·四川高考]过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3答案 D解析双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F (2,0)，其渐近线方程为3x ±y ＝0.不妨设A (2,23)，B (2，－23)，所以|AB |＝43，故选D.7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则弦AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )A.52B.72 C ．2 D ．3答案 B解析由题设可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.又由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.8．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左右两个焦点，P 是右支上的动点，过F 2作∠F 1PF 2平分线的垂线，交PF 1于M ，交角平分线于Q ，则Q 点轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 ∵PQ 是∠F 1PF 2的平分线且PQ ⊥MF 2， ∴|PM |＝|PF 2|，且Q 是MF 2的中点． ∴|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－|PM |＝|MF 1|＝2a . ∴|OQ |＝a ，∴选A.9．[2017·湖南岳阳模拟]已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0 答案 B解析当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.10．[2017·河北承德质检]椭圆 x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍 B．5倍C．4倍D ．3倍答案 A解析由题设知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32. ∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A. 11．[2016·山西四校联考]过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，直线F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12答案 D解析设双曲线的右焦点为F 2，则F 2的坐标为(c,0)．由题意知F 2也是C 3的焦点，所以C 3：y 2＝4cx .连接OM ，NF 2，因为O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，所以OM 为△NF 1F 2的中位线，所以OM ∥NF 2.因为|OM |＝a ，所以|NF 2|＝2a .又NF 2⊥NF 1，|F 1F 2|＝2c ，所以|NF 1|＝2b .设N (x ，y )，则由抛物线的定义可得|NF 2|＝x ＋c ＝2a ，所以x ＝2a －c .过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ，由y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)，故选D. 12．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23答案 B解析抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ：x ＝－1，直线y ＝k (x ＋1)(k >0)恒过定点P (－1，0)．如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N . 由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为12，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，P (－1,0)． ∴k ＝2－012＋1＝223. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,3]解析因为直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02＋12－2a ·0＋a 2－2a －4≤0且2a ＋4>0，解得－1≤a ≤3.14．[2016·河南郑州模拟]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．答案2解析由题意设F (c,0)，相应的渐近线方程为y ＝ba x ，根据题意得k PF ＝－a b，设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，代入k PF ＝－a b 得x ＝a 2c ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，则线段PF 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋c ，ab 2c ，代入双曲线方程得14⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝1，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋e 2－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1，∴e 2＝2，∴e ＝ 2. 15．[2016·河南洛阳统考]已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－2解析将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.16．[2017·广西南宁模拟]设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →，知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2.由D 在直线AB 上，知x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．解 (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，a ＝2，c ＝1，b ＝1，曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223.于是直线AP 方程为y ＝24(x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24x ＋，解得5x 2＋2x －7＝0，x 1＝1，x 2＝－75.由于点M 在线段AP 上，所以点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22. 18．[2015·全国卷Ⅱ](本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．19．(本小题满分12分)如图，BC 是半圆的直径，O 是圆心，OA 是与BC 垂直的圆的半径，P 为半圆上一点(P 与A 、B 、C 不重合)．过P 向BC 作垂线，垂足为Q ，OP 和AQ 的交点为M .试问：当P 移动时，M 的轨迹是怎样的曲线？说明理由．解如图，过A 作BC 的平行线l ，分别过P 、M 作l 的垂线，垂足为G 、H .设圆的半径长为r ，则|OP |＝|QG |＝r .∵QP ∥OA ∥MH ，∴|OM ||OP |＝|AH ||AG |，|MH ||QG |＝|AH ||AG |，∴|OM |r ＝|MH |r，∴|OM |＝|MH |，∴M 在以O 为焦点、以l 为准线的抛物线上．∵P 与A 、B 、C 不重合，∴M 不在OA 、BC 上．∴M 必在圆的内部，∴M 的轨迹是以O 为焦点、以l 为准线的抛物线(去掉抛物线的顶点)在圆内的部分，如图所示．20．[2017·衡水中学调研](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解 (1)由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，则直线MN 的方程为y ＝x －p2.将直线方程代入y 2＝2px (p >0)，得x 2－3px ＋p 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p .∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由l ∥MN ，可设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，将其代入y 2＝4x ，得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0.∵l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝(2b －4)2－4b 2＝0，解得b ＝1， ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1. 由(1)可知x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. 设P (m ，m ＋1)，则 PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))，PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)][y 2－(m ＋1)]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2，∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4. 又y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4x 1－x 2y 1－y 2＝4， ∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14，当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →取得最小值，最小值为－14. 21．[2017·湖北八校联考](本小题满分12分)已知过原点O 的动直线l 与圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝15，求直线l 的方程；(2)x 轴上是否存在定点M (x 0,0)，使得当l 变动时，总有直线MA ，MB 的斜率之和为0？若存在，求出x 0的值；若不存在，说明理由．解 (1)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|CA |2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝4－154＝12.当直线l 的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，与所求的距离d 不相等，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ，由点到直线的距离公式，得|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±33，故直线l 的方程为y ＝±33x . (2)存在定点M ，且x 0＝3，证明如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2. 当直线l 的斜率不存在时，由对称性可得∠AMC ＝∠BMC ，k 1＋k 2＝0，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ，代入圆C 的方程并整理，得(k 2＋1)x 2＋2x －3＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋1，x 1x 2＝－3k 2＋1.所以k 1＋k 2＝y 1x1－x 0＋y 2x 2－x 0＝2kx 1x 2－kx 0x 1＋x 2x 1－x 0x 2－x 0＝x 0－k x1－x 0x 2－x 0k 2＋.当2x 0－6＝0，即x 0＝3时，有k 1＋k 2＝0. 所以存在定点M (3,0)符合题意，且x 0＝3.22．[2016·山东高考](本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明：k ′k 为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知2a ＝4,2c ＝22，所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)①证明：设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)．由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )．所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0，直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0. 此时k ′k ＝－3. 所以k ′k为定值－3. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0. 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝m 2－2k 2＋x 0.所以y 1＝kx 1＋m ＝2k m 2－2k 2＋x 0＋m . 同理x 2＝m 2－18k 2＋x 0，y 2＝－6k m 2－18k 2＋x 0＋m . 所以x2－x 1＝m 2－18k 2＋x 0－m 2－2k 2＋x 0 ＝－32k 2m 2－18k 2＋k 2＋x 0，y 2－y 1＝－6k m 2－18k ＋x 0＋m －2k m 2－2k ＋x 0－m＝－8k 6k 2＋m 2－18k 2＋k 2＋x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎪⎫6k ＋1k . 由m >0，x 0>0，可知k >0，所以6k ＋1k ≥26，等号当且仅当k ＝66时取得．此时m4－8m 2＝66，即m ＝147，符合题意．所以直线AB 的斜率的最小值为62.。

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第七章平面解析几何53Word版含答案

考点测试53 双曲线一、基础小题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A 、C ；又c ＝5，a ＝3，∴b ＝c 2－a 2＝4.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b 2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，则C 的方程为x 220－y 25＝1，故应选A.4．已知双曲线x 2－y 28＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1 答案 C解析设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设F 1B →＋F 1C →＝m ，F 1A →＋F 1D →＝n ，则下列各式成立的是( )A ．|m |>|n |B ．|m |<|n |C ．|m －n |＝0D ．|m －n |>0答案 C解析取过点F 2且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则F 1B →＋F 1C →＝m ＝2F 1F 2→，F 1A →＋F 1D →＝n ＝2F 1F 2→，故|m －n |＝0，选C.6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析依题意得a 2＋b 2＝c 2＝7，由此设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1，另设直线与双曲线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x ，y )．则x 21a 2－y 217－a 2＝1，① x 22a 2－y 227－a 2＝1，② ①－②得：1a 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝17－a2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，又由x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，x ＝－23，y ＝x －1，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，得a 2＝2.∴双曲线方程为x 22－y 25＝1，故选D.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6， ∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又∵|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2， ∴|PF 2|＝17.解法二：由题知，若P 在右支上，则|PF 1|≥2＋8＝10>9，∴P 在左支上． ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17. 二、高考小题9．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 答案 A解析 ∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－m 2－n －m 2＋n ＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)．②无解．故选A.10．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝22， ①2x 0·2y 0＝2b ， ②y 0＝b 2x 0， ③由①③得x 20＝164＋b 2，④所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b24＋b2，⑤由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.11．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 答案 A解析在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m.在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.从而e 21·e 22＝m 2－n 2＋m 2·n 2＝m 2－2m 2m 2－，令t ＝m 2－1，则t >0，e 21·e 22＝t 2t 2－1>1，即e 1e 2>1.结合图形易知m >n ，故选A.12．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析解法一：由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A. 解法二：由MF 1⊥x 轴，得M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a ，由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a ，又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝b 2a2a ＋b 2a＝13⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，∴e ＝ a 2＋b 2a 2＝ 2.故选A. 13．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析由OA 、OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.三、模拟小题14．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )A.94 B ．9 C.32 D ．3 答案 C解析由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)，即22223＝2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.15．已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.y 23－x 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 22＝1 答案 D解析设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，即F (2,0)，∴4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±bax 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2bb 2＋a2＝2，∴a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.16．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m 2－a 2B.m －aC.12(m －a ) D ．m －a答案 D解析不妨设点P 是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线的定义可令|PF 1|－|PF 2|＝2a ，两式联立得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a .17．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，则OA ⊥OB ，AB 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，又因为AB 的中点在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，化简得x 1x 2＝2，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2，故选C.18．已知双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y＝3(x ＋c )与双曲线的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D.3＋1 答案 D解析 ∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M .∴|MF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|MF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义有：|MF 2|－|MF 1|＝3c －c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1，故选D.一、高考大题1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)解法一：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k，同理得y 2＝2m 2＋k. 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8，所以m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.又因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)，又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法二：由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t 1－2m ，同理得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8，所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法三：当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25 x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.二、模拟大题2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ， ∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∵|MA |＝12|BD |，∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．3．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝ca ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有 (λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2. 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.4．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝k 2－k 2－，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)．则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0，即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．5．已知点N (1,2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A ，B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)．(1)求直线AB 的方程；(2)若过N 的另一条直线交双曲线于C ，D 两点，且CD →·AB →＝0，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在．设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k ·(2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*) 由Δ>0，得k <32.令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0且x 1＋x 2＝2k －k2－k2. ∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1.∴k (2－k )＝－k 2＋2，∴k ＝1，满足k <32.∴AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)将k ＝1代入方程(*)，得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝－1或x ＝3，∴不妨设A (－1,0)，B (3,4)． ∵CD →·AB →＝0，∴CD 垂直AB .∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0. 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0)，则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11，∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6，即M (－3,6)．|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2x 3＋x 42－4x 3x 4＝410，|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210，|MA |＝|MB |＝210，即A ，B ，C ，D 到M 的距离相等， ∴A ，B ，C ，D 四点共圆．。

[精品]2018年高考数学文科考点过关习题第七章平面解析几何50和答案

考点测试50 抛物线一、基础小题1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )A.10 B．4C.15 D．5答案 D解析由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A．18 B．24C．36 D．48答案 C解析如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)． ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2答案 B解析焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，当斜率不存在时，弦长为2p ＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k ，所以方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －32，代入y 2＝6x 得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＋p ＝12，即3k 2＋6k2＋3＝12，k 2＝1.∴k ＝tan α＝±1，结合α∈抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(1,0)答案 D解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故选D.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 D解析由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝k x(k >0)，得k ＝1×2＝2，故选D.11．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C.12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10答案 B解析如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn＝－2.∵l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0)．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3.13．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．三、模拟小题14．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a )B ．(a,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，116aD.⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 答案 C解析将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.15．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝82＋－2－1＝10－1＝9.当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.16．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋x n ＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝( )A．n＋10 B．n＋20C．2n＋10 D．2n＋20答案 A解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|P n F|＝x n＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋x n＋1＝(x1＋x2＋…＋x n)＋n＝n＋10.故选A.17．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝( )A.83B.52 C ．3 D ．2答案 A解析设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83，故选A. 18．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 、圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝y 2＋－1y 1＋－1＝16.一、高考大题1．在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．2. 如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义，得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y 2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t2，－2t .又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得2tt 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1.所以m <0或m >2.经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．二、模拟大题3．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0及直线l ：x ＝－12.P 为平面上的动点，过点P作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过点A (1,0)且圆心M 在P 的轨迹C 上，E 1E 2是圆M 在y 轴上截得的弦，证明弦长|E 1E 2|是一个常数．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，∴QP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，0，QF →＝(1，－y )，FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y ，FQ →＝(－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，0·(1，－y )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －12，y ·(－1，y )，即x ＋12＝12－x ＋y 2，得y 2＝2x .经检验，曲线y 2＝2x 上的点均满足QP →·QF →＝FP →·FQ →.∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝2x .(2)证明：设M (a ，b )为圆M 的圆心，则b 2＝2a . ∵圆M 过点A (1,0)，∴圆M 上的点(x ，y )满足(x －a )2＋(y －b )2＝(a －1)2＋b 2. 令x ＝0，得y 2－2by ＋2a －1＝0.设圆M 与y 轴的交点为E 1(0，y 1)和E 2(0，y 2)，则Δ＝(－2b )2－4×(2a －1)＝4>0，y 1＋y 2＝2b ，y 1y 2＝2a －1. 故|E 1E 2|＝|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝2是一个常数．4．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N .(1)求C 的方程；(2)若圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p . 又∵以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋2，故p ＝2， ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 中并整理，得x 2－4kx －4＝0.∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，∴圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22的坐标为M (2k,2k 2＋1)． ∵圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，∴|MQ |＝|MN |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋32＝|2k 2＋2|，解得k ＝12.此时直线l 的方程为y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0，圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，半径r ＝52，即圆M 的方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝254.5．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，倾斜角为π4且过点M (0,1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AM →＝2MB →.(1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线C 上一动点N ，记以MN 为直径的圆的面积为S ，求S 的最小值．解 (1)解法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝2py 1，x 22＝2py 2.(*)∵AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →＝(x 2，y 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝y 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，y 1＝3－2y 2.将上式代入(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧4x 22＝2p－2y 2，x 22＝2py 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝p ，y 2＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－p ，y 2＝12.∵直线l 的倾斜角为π4，即k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3y 2－33x 2＝y 2－1x 2＝1，∴12－1p ＝1(舍去)或12－1－p ＝1，解得p ＝14，∴抛物线C ：x 2＝12y .解法二：由题意，得直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝x ＋1得x 2－2px －2p ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2p ，x 1x 2＝－2p .又∵AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →＝(x 2，y 2－1)，∴－x 1＝2x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2p ，x 1·x 2＝－2p ，－x 1＝2x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－12，p ＝14，∴抛物线C ：x 2＝12y .(2)设抛物线C 上任意一点N (x 0，y 0)，且x 20＝12y 0， ∴|MN |＝x 20＋y 0－2＝12y 0＋y 0－2＝y 20－32y 0＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫y 0－342＋716(y 0≥0)，∴当y 0＝34时，|MN |min ＝74，∴以MN 为直径的圆的面积S ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22≥764π，即S min ＝764π. 6．已知点F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，点P (3，y 0)(y 0>1)是抛物线C 上一点，且|PF |＝134，⊙Q 的方程为x 2＋(y －3)2＝6，过点F 作直线l ，与抛物线C 和⊙Q 依次交于点M ，A ，B ，N (如图所示)．(1)求抛物线C 的方程；(2)求(|MB |＋|NA |)·|AB |的最小值．解 (1)由P (3，y 0)在抛物线C 上，得2py 0＝9. 又|PF |＝134，得y 0＋p 2＝134.上述两个等式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝1，p ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝94，p ＝2.又y 0>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝94，p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由题意，知直线l 的斜率一定存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝2k 2＋1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝26－4k 2＋1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0，则y 1＋y 2＝4k 2＋2. 由抛物线定义知，|MN |＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2)， ∴(|MB |＋|NA |)·|AB |＝(|MN |＋|AB |)·|AB | ＝|MN |·|AB |＋|AB |2 ＝8(k 2＋1) 6－4k 2＋1＋4·⎝⎛⎭⎪⎫6－4k 2＋1＝8k 2＋2－k 2＋－16k 2＋1＋24. 设t ＝k 2＋1(t ≥1)，则(|MB |＋|NA |)·|AB |＝86t 2－4t －16t＋24＝86⎝⎛⎭⎪⎫t －132－23－16t ＋24(t ≥1)．∵函数y ＝ 6⎝⎛⎭⎪⎫t －132－23和y ＝－16t 在[1，＋∞)上都是单调递增函数，∴当t ＝1，即k ＝0时，(|MB |＋|NA |)·|AB |有最小值82＋8.。

精编2018年高考数学文科考点过关习题第七章平面解析几何47和答案

考点测试47 圆与方程一、基础小题1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案 A解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知－2＋b－2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)答案 D解析曲线C的方程可以化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a>2.3．已知直线l：y＝x与圆C：(x－a)2＋y2＝1，则“a＝－2”是“直线l与圆C相切”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析直线l：y＝x与圆C：(x－a)2＋y2＝1相切的充要条件是圆心C到直线l的距离等于半径，即|a－0|2＝1，解得a＝± 2.故由a＝－2可推得直线l与圆C相切；反之，若直线l与圆C相切，不能推得a＝－2，即“a＝－2”是“直线l与圆C相切”的充分而不必要条件．4．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是( ) A．相离B．相切C．相交D．以上三个选项均有可能答案 C解析直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，02＋(－1)2－2×0－2＝－1<0，∴点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交，故选C.5．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与该圆的位置关系是( )A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定答案 B解析将圆的方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即＋a2＋＋2>2a，所以原点在圆外．6．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．1 D ．±1答案 B解析设圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为O ，半径r ＝|a |，将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0联立，可得a 2＋ay －6＝0，即公共弦所在的直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点O 到直线a 2＋ay －6＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a ，根据勾股定理可得a 2＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6a －a 2，解得a ＝±2.7．一束光线从圆C 的圆心C (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程刚好是圆C 的直径，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝16D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25答案 A解析圆C 1的圆心C 1的坐标为(2,3)，半径为r 1＝1.点C (－1,1)关于x 轴的对称点C ′的坐标为(－1，－1)．因为C ′在反射线上，所以最短路程为|C ′C 1|－r 1，即[2－－2＋[3－－2－1＝4.故圆C 的半径为r ＝12×4＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，故选A.8．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________．答案相交解析由已知得O 1(1,0)，r 1＝1，O 2(0,2)，r 2＝2， ∴|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，且|O 1O 2|＝5>r 2－r 1＝1，故两圆相交．二、高考小题9．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则a 2＝a ＋2，故a ＝－1或2.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，亦即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不成立，故舍去；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y－5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.10. 如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1解析 (1)过点C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ，则|CM |＝|OT |＝1，|AM |＝12|AB |＝1，所以圆的半径r ＝|AC |＝|CM |2＋|AM |2＝2，从而圆心C (1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2)令x ＝0，得y ＝2±1，则B (0，2＋1)，所以直线BC 的斜率为k ＝2＋－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1×(x －0)，即y ＝x ＋2＋1，令y ＝0，得x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.11．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析把圆C 的方程化为x 2＋(y －a )2＝2＋a 2，则圆心为(0，a )，半径r ＝a 2＋2.圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|a |2.由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，得a 2＋2＝a 22＋3，解得a 2＝2，则r 2＝4，所以圆的面积S ＝πr 2＝4π.12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝9解析设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|2a |5＝455，－a 2＋52＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝9，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.13．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案 4解析由题意可知直线l 过定点(－3，3)，该定点在圆x 2＋y 2＝12上，不妨设点A (－3，3)，由于|AB |＝23，r＝23，所以圆心到直线AB 的距离为d ＝32－32＝3，又由点到直线的距离公式可得d ＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，所以直线l 的斜率k ＝－m ＝33，即直线l 的倾斜角为30°.如图，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，所以|CH |＝23，在Rt △CHD 中，∠HCD ＝30°，所以|CD |＝23cos30°＝4.三、模拟小题14．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P 、Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P 、Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1，故选D.15．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，过点(a ，b )作圆的切线，则切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为2.因为圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆心C 在直线2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，点(a ，b )到圆心的距离d ＝a ＋2＋b －2＝a ＋2＋a －3－2＝2a 2－8a ＋26＝a －2＋18.所以当a ＝2时，d 取最小值18＝32，此时切线长最小，为22－22＝16＝4，所以选C.16．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．答案 A解析由圆的方程可知圆心为O (0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A.17．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0 和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.1 D.4 答案 A解析由题意知两圆的标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a,0)和(0,2b )，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有a 2＋4b 2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 2＋9b 2＝19⎝⎛⎭⎪⎫1＋4b 2a 2＋a 2b 2＋4≥19×(1＋4＋4)＝1.当且仅当4b 2a 2＝a 2b2，即|a |＝2|b |时取等号，故选A.一、高考大题1．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1.解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7，4＋7. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝＋k1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k ＋k 1＋k 2＋8. 由题设可得4k ＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.2．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)>0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t 2.因为x 20＋y 20＝9＋t 22＋9t 2＋t 22＝＋t 2＋t 22＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2<45，又t 2≥0，所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，F (3，0)，直线L 过定点G (4,0)．联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0.令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈∪{k GH ，k GI }，k DG ＝25－053－4＝－257，k EG ＝－25－053－4＝257，即k ∈⎣⎢⎡ －257，⎦⎥⎤257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 二、模拟大题3．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．解 (1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ， ∵圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， ∴圆心(－2,1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ，∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0，∵|MN |＝23，半径r ＝2，∴圆心(－2,1)到直线MN 的距离为22－32＝1，即|－4－1＋c |5＝1， ∴c ＝5±5，∴直线MN 的方程为2x －y ＋5±5＝0.4．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解 (1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a,2a )，则a 2＋a －2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. (2)证明：设P (a,2a )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －a )＋(y －4)(y －2a )＝0，整理得x 2＋y 2－ax －4y －2ay ＋8a ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－a (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝85，y ＝165，∴该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165. 5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解 (1)将圆C 配方，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，由|k ＋2|1＋k 2＝2，得k ＝2±6，∴切线方程为y ＝(2±6)x .②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0(a ≠0)，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)由|PO |＝|PM |，得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35. 6．如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为A ，B ，另一圆N 与圆M 相切，且与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为C ，D .(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦长．解(1)由于圆M与∠BOA的两边相切，故M到OA，OB的距离相等，则点M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且直线ON为∠BOA的平分线，因为M(3，1)，所以M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径为r，连接AM，CN，则Rt△OAM∽Rt△OCN，得OMON＝MANC，即23＋r＝1r，解得r＝3，OC＝33，所以圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求弦长为过点A的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线的方程为y＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到该直线的距离d＝|33－33－3|1＋3＝32，故弦长为2r2－d2＝33.。

2018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何50抛物线试题文

考点测试50 抛物线一、基础小题1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )A.10 B．4C.15 D．5答案 D解析由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A．18 B．24C．36 D．48答案 C解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2答案 B解析焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，当斜率不存在时，弦长为2p ＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k ，所以方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，代入y 2＝6x 得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＋p ＝12，即3k 2＋6k2＋3＝12，k 2＝1.∴k ＝tan α＝±1，结合α∈[0，π)，可得α＝π4或34π.4．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.5．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0答案 C解析 ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)．设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2.∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2.∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．若抛物线y 2＝2x 上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )A ．－52B.52C.12 D ．－12答案 A解析直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212y 21－12y 22＝－1，所以y 1＋y 2＝－2，y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝6.线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 224，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，代入y ＝x ＋b ，得b ＝－52.故选A.7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案 y 2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________. 答案π6解析过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ， ∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP .又cos ∠MNP ＝32，∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6. 二、高考小题9．[2016·四川高考]抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)答案 D解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故选D.10．[2016·全国卷Ⅱ]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 D解析由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝k x(k >0)，得k ＝1×2＝2，故选D.11．[2014·辽宁高考]已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C. 12．[2014·四川高考]已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10答案 B解析如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∵l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0)．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m ≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3.13．[2014·湖南高考]平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．三、模拟小题14．[2017·沈阳监测]抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116aD.⎝⎛⎭⎪⎫116a ，0答案 C解析将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.15．[2017·豫南九校联考]已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为( )A．7 B．8C．9 D．10答案 C解析抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝82＋ 7－1 2－1＝10－1＝9.当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.16．[2016·广东广州模拟]如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋x n＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝( )A．n＋10 B．n＋20C．2n＋10 D．2n＋20答案 A解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|P n F|＝x n＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋x n＋1＝(x1＋x2＋…＋x n)＋n＝n＋10.故选A.17．[2016·江西南昌一模]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝( )A.83B.52C．3 D．2 答案 A解析设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83，故选A.18．[2016·湖南岳阳二模]直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 、圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝ y 2＋1 －1 y 1＋1 －1＝16.一、高考大题1．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．2. [2016·浙江高考]如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义，得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1.所以m <0或m >2.经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．二、模拟大题3．[2017·云南师大附中摸底]已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0及直线l ：x ＝－12.P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过点A (1,0)且圆心M 在P 的轨迹C 上，E 1E 2是圆M 在y 轴上截得的弦，证明弦长|E 1E 2|是一个常数．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，∴QP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，0，QF →＝(1，－y )，FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y ， FQ →＝(－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，0·(1，－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y ·(－1，y )，即x ＋12＝12－x ＋y 2，得y 2＝2x .经检验，曲线y 2＝2x 上的点均满足QP →·QF →＝FP →·FQ →. ∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝2x .(2)证明：设M (a ，b )为圆M 的圆心，则b 2＝2a . ∵圆M 过点A (1,0)，∴圆M 上的点(x ，y )满足(x －a )2＋(y －b )2＝(a －1)2＋b 2. 令x ＝0，得y 2－2by ＋2a －1＝0.设圆M 与y 轴的交点为E 1(0，y 1)和E 2(0，y 2)，则Δ＝(－2b )2－4×(2a －1)＝4>0，y 1＋y 2＝2b ，y 1y 2＝2a －1.故|E 1E 2|＝|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2＝2是一个常数．4．[2017·邯郸模拟]已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N .(1)求C 的方程；(2)若圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p . 又∵以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋2，故p ＝2， ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 中并整理，得x 2－4kx －4＝0. ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2， ∴圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22的坐标为M (2k,2k 2＋1)．∵圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，∴|MQ |＝|MN |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋32＝|2k 2＋2|，解得k ＝12.此时直线l 的方程为y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0，圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，半径r ＝52，即圆M 的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254.5．[2017·广东适应性测试]已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，倾斜角为π4且过点M (0,1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AM →＝2MB →.(1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线C 上一动点N ，记以MN 为直径的圆的面积为S ，求S 的最小值．解 (1)解法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝2py 1，x 22＝2py 2.(*)∵AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →＝(x 2，y 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2 y 2－1 ，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，y 1＝3－2y 2.将上式代入(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧4x 22＝2p 3－2y 2 ，x 22＝2py 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝p ，y 2＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－p ，y 2＝12.∵直线l 的倾斜角为π4，即k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3y 2－33x 2＝y 2－1x 2＝1，∴12－1p ＝1(舍去)或12－1－p ＝1，解得p ＝14，∴抛物线C ：x 2＝12y .解法二：由题意，得直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝x ＋1得x 2－2px －2p ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2p ，x 1x 2＝－2p .又∵AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →＝(x 2，y 2－1)，∴－x 1＝2x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2p ，x 1·x 2＝－2p ，－x 1＝2x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－12，p ＝14，∴抛物线C ：x 2＝12y .(2)设抛物线C 上任意一点N (x 0，y 0)，且x 20＝12y 0，∴|MN |＝x 20＋ y 0－1 2＝ 12y 0＋ y 0－1 2 ＝y 20－32y 0＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－342＋716(y 0≥0)， ∴当y 0＝34时，|MN |min ＝74，∴以MN 为直径的圆的面积S ＝π·⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22≥764π，即S min＝764π.6．[2017·江西联考]已知点F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，点P (3，y 0)(y 0>1)是抛物线C 上一点，且|PF |＝134，⊙Q 的方程为x 2＋(y －3)2＝6，过点F 作直线l ，与抛物线C 和⊙Q 依次交于点M ，A ，B ，N (如图所示)．(1)求抛物线C 的方程；(2)求(|MB |＋|NA |)·|AB |的最小值．解 (1)由P (3，y 0)在抛物线C 上，得2py 0＝9. 又|PF |＝134，得y 0＋p 2＝134.上述两个等式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝1，p ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝94，p ＝2.又y 0>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝94，p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由题意，知直线l 的斜率一定存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝2k 2＋1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝26－4k 2＋1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0，则y 1＋y 2＝4k 2＋2. 由抛物线定义知，|MN |＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2)， ∴(|MB |＋|NA |)·|AB |＝(|MN |＋|AB |)·|AB | ＝|MN |·|AB |＋|AB |2＝8(k 2＋1)6－4k 2＋1＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫6－4k 2＋1＝86 k 2＋1 2－4 k 2＋1 －16k 2＋1＋24. 设t ＝k 2＋1(t ≥1)，则(|MB |＋|NA |)·|AB |＝86t 2－4t －16t＋24＝86⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－23－16t＋24(t ≥1)． ∵函数y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－23和y ＝－16t 在[1，＋∞)上都是单调递增函数，∴当t ＝1，即k ＝0时，(|MB |＋|NA |)·|AB |有最小值82＋8.。

2018年高考数学文科考点过关习题第七章平面解析几何48和答案

考点测试48 椭圆一、基础小题1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝1答案 A解析依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝13³2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x281＋y272＝1.2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )A.13B.33C.22 D.12答案 B解析 2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m6.∴e 2＝13，∴e ＝33.故选B.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14答案 D解析由x 2＋y 21m＝1及题意知，21m ＝2³2³1，m ＝14，故选D. 4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→²MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3答案 B解析设M (x ，y )，由MF 1→²MF 2→＝0，得x 2＋y 2＝c 2＝3，又x 24＋y 2＝1，解得x ＝±263. 5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案 B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．6．设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A.12B.23C.34D.45答案 C解析令c＝a2－b2.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F 1F2P＝120°，∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝2⎝⎛⎭⎪⎫3a2－c＝3a－2c.∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，∴3a＝4c，∴ca＝34，即椭圆的离心率为34.故选C.7．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2答案 C解析设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝ 4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2. ∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．答案33解析设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝4.又r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°＝|F 1F 2|2，(r 1＋r 2)2－3r 1r 2＝12，∴r 1r 2＝43，S ＝12r 1r 2sin60°＝33. 二、高考小题9．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9答案 B解析依题意有25－m 2＝16，∵m >0，∴m ＝3.选B.10．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |²|OF |＝|AF |²|OB |，即bc ＝a ²b2，所以e ＝c a ＝12.故选B.11．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 B解析抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a＝2³124＝6.故选B. 12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 答案 A解析直线l ：3x －4y ＝0过原点，从而A ，B 两点关于原点对称，于是|AF |＋|BF |＝2a ＝4，所以a ＝2.不妨令M (0，b )，则由点M (0，b )到直线l 的距离不小于45，得4b 32＋－4 2≥45，即b ≥1.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24≤34，又0<e <1，所以e ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32，故选A.13．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点. P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12 C.23 D.34答案 A解析解法一：设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c，从而直线AM 的方程为y ＝y 0a －c(x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c.同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c. 因为2y N ＝y E ，所以2a ＋c ＝1a －c ，即2a －2c ＝a ＋c ，所以e ＝c a ＝13.故选A.解法二：如图，设OE 的中点为N ，由题意知|AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a ，∵PF ∥y 轴，∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋ca ，又∵|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c2a， ∴a ＝3c ，故e ＝c a ＝13.三、模拟小题14．已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.15．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y轴上，则|PF2||PF1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析由题意知a＝3，b＝5，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝b2a＝53.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝133，∴|PF2||PF1|＝53³313＝513，故选B.16．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A．3 2 B．2 6C．27 D.7答案 C解析根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b>0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋83²b2y－b4＋12b2＝0.∵椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b2)2－4³4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)²(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2b2＋4＝27.17．已知椭圆x29＋y25＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,23)，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于( )A.1134B.2134C.114D.214答案 B解析由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，在Rt △AOF 中，|OF |＝2，|OA |＝23，则|AF |＝4.设椭圆的左焦点为F 1，则△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|PA |－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ，P ，F 1三点共线，P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF 1的方程为x －2＋y23＝1，与椭圆的方程5x 2＋9y 2－45＝0联立并整理得32y 2－203y－75＝0，解得y P ＝－538(正值舍去)，则△APF 的周长最大时，S △APF ＝12|F 1F |²|y A －y P |＝12³4³⎪⎪⎪⎪⎪⎪23＋538＝2134.故选B.18．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1解析由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，所以底角小于等于30°，则ca ≥32，即e ≥32，又e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.一、高考大题1．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为( a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明MN ⊥AB .解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →²NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →²NM →＝0，故MN ⊥AB .2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |²|MB |＝|MC |²|MD |.解 (1)由已知，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b2＝1，解得b 2＝1. 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22.所以|MC |²|MD |＝52(－m ＋2)²52(2＋m ) ＝54(2－m 2)．又|MA |²|MB |＝14|AB |2＝14＝516 ＝516＝54(2－m 2)，所以|MA |²|MB |＝|MC |²|MD |. 二、模拟大题3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，求k 的取值范围．解 (1)由题意知，椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12，所以a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，所以椭圆的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1，得c 2＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m消去y ，并整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，因为直线y ＝kx ＋m 与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)>0，即m 2<4k 2＋3，① 又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，则y 1＋y 2＝kx 1＋m ＋kx 2＋m ＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2，所以线段MN 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2，设MN 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18，因为P 在l ′上，所以3m 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－18，即4k 2＋8km ＋3＝0，所以m ＝－4k 2＋38k ，将上式代入①，得 4k 2＋3 264k 2<4k 2＋3，所以k 2>120，即k >510或k <－510，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝ ⎛⎭⎪⎫510，＋∞.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，并且经过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆E 的方程；(2)问是否存在直线y ＝－x ＋m ，使直线与椭圆交于A 、B 两点，满足OA →²OB →＝125.若存在，求m 值；若不存在，说明理由．解 (1)由题意：e ＝c a ＝32且3a 2＋14b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1，即椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x ＋m⇒x 2＋4(m －x )2－4＝0⇒5x 2－8mx ＋4m 2－4＝0，(*) 所以x 1＋x 2＝8m 5，x 1x 2＝4m 2－45.y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝m 2－85m 2＋4m 2－45＝m 2－45.由OA →²OB →＝125，x 1x 2＋y 1y 2＝125，4m 2－45＋m 2－45＝125，m ＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，Δ＝(－8m )2－4³5(4m 2－4)>0，－5<m <5，所以m ＝±2.5．已知圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝16，点F (1,0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线y ＝k (x －1)与(1)中轨迹Γ交于R ，S 两点，在x 轴上是否存在一点T ，使得当k 变动时总有∠OTS ＝∠OTR ？说明理由．解 (1)连接QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4>|EF |＝2，故动点Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以点Q 的轨迹Γ的方程是x 24＋y 23＝1.(2)假设存在T (t,0)满足∠OTS ＝∠OTR . 设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x －1 ，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，①其中Δ>0恒成立．由∠OTS ＝∠OTR (显然TS ，TR 的斜率存在)，得k TS ＋k TR ＝0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，②由R 、S 两点在直线y ＝k (x －1)上，故y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②，得 k x 1－1 x 2－t ＋k x 2－1 x 1－tx 1－t x 2－t＝k [2x 1x 2－ t ＋1 x 1＋x 2 ＋2t ] x 1－t x 2－t ＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0.③将①代入③，得8k 2－24－ t ＋1 8k 2＋2t 3＋4k 2 3＋4k 2＝6t －243＋4k 2＝0.④要使得④与k 的取值无关，当且仅当“t ＝4”时成立．综上所述，存在T (4,0)，使得当k 变化时，总有∠OTS ＝∠OTR .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过点P (1,0)，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线l 0：x ＝x 0(其中x 0>2)，使得A ，B 到l 0的距离d A ，d B 满足：d A d B ＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，2a 2＋12b2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)存在x 0＝4符合题意．理由如下：当直线l 斜率不存在时，x 0(x 0>2)可以为任意值．当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，点A ，B 满足⎩⎨⎧y ＝k x －1 ，x 24＋y 2＝1.所以x A ，x B 满足x 2＋4k 2(x －1)2＝4，即(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝ 8k 2 2－4 4k 2＋1 4k 2－4 >0，x A＋x B＝8k 24k 2＋1，x A x B＝4k 2－44k 2＋1.不妨设x A >1>x B .因为d A |PB |－d B |PA |＝1＋k 2²(|x 0－x A |²|x B －1|－|x 0－x B |²|x A －1|)＝1＋k 2²＝0，所以2x 0－8 x 0＋1 k 24k 2＋1＋8 k 2－1 4k 2＋1＝0.整理得2x 0－8＝0，综上，x0＝4时符合题意．。

2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第七章平面解析几何 46 Word版含答案

考点测试两条直线的交点与距离公式一、基础小题．原点到直线＋－＝的距离为( )．．答案解析由点到直线的距离公式得＝＝.．过点()且与直线－－＝平行的直线方程是( )．－＋＝．－－＝．＋－＝．＋－＝答案解析设直线方程为－＋＝(≠－)，又经过()，故＝－，所求方程为－－＝.．“＝”是“直线＋＝和直线－＝互相垂直”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件．充要条件答案解析直线＋＝和直线－＝互相垂直⇔＋×(－)＝，所以选.．已知直线＋－＝与直线＋＋＝平行，则它们之间的距离是( )．．．答案解析∵＝≠，∴＝，两平行线之间的距离＝＝.选.．已知点是直线＋＝上的一个动点，且点(，－)，则的最小值为( )．．．答案解析的最小值即点(，－)到直线＋＝的距离，又＝，故的最小值为.选.．已知点是直线：－－＝与轴的交点，将直线绕点逆时针方向旋转°，得到的直线方程是( )．＋－＝．＋－＝．－－＝．－＋＝答案解析设直线的倾斜角为α，则α＝＝，则′＝＝＝－，对比四个选项可知选.．已知直线的倾斜角为，直线经过点()，(－，)，且与垂直，直线：＋＋＝与直线平行，则＋＝( )．－．－．．答案解析由题知，直线的斜率为，则直线的斜率为－，所以＝－，所以＝－.又∥，所以－＝－，＝，所以＋＝－＋＝－，故选.．已知实数、满足＋＋＝，那么的最小值为( )．．答案解析表示点(，)到原点的距离．根据数形结合得的最小值为原点到直线＋＋＝的距离，即＝＝.．已知直线过点()，且与点(－)，(，－)等距离，则直线的方程为( )．＋－＝．－－＝．－＋＝或＋＋＝．－－＝或＋－＝答案。

教育最新K122018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何55曲线与方程试题理

考点测试55 曲线与方程一、基础小题1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对答案 C解析 (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．点A 、B 分别为圆M ：x 2＋(y －3)2＝1与圆N ：(x －3)2＋(y －8)2＝4上的动点，点C 在直线x ＋y ＝0上运动，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 A解析设M (0,3)关于直线x ＋y ＝0的对称点为P (－3,0)，且N (3,8)，∴|AC |＋|BC |≥|PN |－1－2＝62＋82－3＝7.3．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案 D解析由已知得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．4．与圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上答案 B解析圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知动圆的圆心在双曲线的一支上．5．|y |－1＝1－x －2表示的曲线是( )A ．抛物线B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆答案 D解析原方程等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧|y |－1≥0，1－x －2≥0，y |－2＝1－x －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧|y |－1≥0，0≤x ≤2，x －2＋y |－2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，0≤x ≤2，x －2＋y －2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－1，0≤x ≤2，x －2＋y ＋2＝1.故选D.6．动点P 为椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)上异于椭圆顶点A (a,0)，B (－a,0)的一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆答案 A解析如图，画出圆M ，设切点分别为E ，G ，D ，由切线长定理知|F 1G |＝|F 1E |，|PD |＝|PE |，|F 2D |＝|F 2G |，根据椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝|F 1G |＋|F 2D |＝|F 1G |＋|F 2G |＝2a ，∴2|F 2G |＝2a －2c ，即|F 2G |＝a －c ，∴点G 与点A 重合，∴点M 在x 轴上的射影是长轴的端点A ，∴点M 的轨迹是垂直于x 轴的一条直线(除去点A )，故选A.7．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．答案 x 2＋y 2＝4解析由题意，延长F 1D 、F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，∴|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O (O 为坐标原点)为F 1F 2的中点，连接DO ，∴OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4，∴点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.8．点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，则圆心M 的轨迹方程为________．答案x 216＋y 27＝1 解析已知圆为(x －3)2＋y 2＝64，其圆心C (3,0)，半径为8，由于动圆M 过P 点，所以|MP |等于动圆的半径r ，即|MP |＝r .又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC |＝8－r ，从而有|MC |＝8－|MP |，即|MC |＋|MP |＝8.根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a ＝8，a ＝4；2c ＝6，c ＝3；b 2＝16－9＝7，因此M 点的轨迹方程为x 216＋y 27＝1.二、高考小题9．[2015·广东高考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝54，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a ＝4，故b ＝3，从而所求的双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.10．[2015·安徽高考]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析由于焦点在y 轴上，故排除A 、B.由于渐近线方程为y ＝±2x ，故排除D.故选C.11．[2015·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 D解析由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.选D.12．[2014·大纲卷]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，选A.三、模拟小题13．[2016·天津津南调研]平面直角坐标系中，已知两点A (3，1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线答案 A解析设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.14．[2017·石家庄模拟]已知点Q 在椭圆 C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆答案 D解析因为点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)，所以Q 是线段PF 1的中点．设P (a ，b )，由于F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q ⎝⎛⎭⎪⎫a －62，b 2，由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则点P 的轨迹方程为a －6264＋b 240＝1，故点P 的轨迹为椭圆．15．[2017·衡水调研] 如图，正方体AC 1中，DF DD 1＝AE AA 1＝23，CG CC 1＝BH BB 1＝13，点P 为平面EFGH内的一动点，且满足∠PAA1＝∠C 1AA 1，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线答案 C解析因为点P 为平面EFGH 内一动点而且保证∠PAA 1＝∠C 1AA 1，可以看作以AA 1为轴，AC 1为母线，将AC 1进行旋转与平面EFGH 相交形成一个轨迹曲线，因为DF DD 1＝AE AA 1＝23，CG CC 1＝BHBB 1＝13，所以这个轨迹曲线是椭圆． 16．[2017·浙江宁波质检]与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，且与直线x ＋1＝0相切的动圆圆心的轨迹方程是________．答案 y 2＝8x解析设动圆圆心为P (x ，y )，则x －2＋y 2＝|x ＋1|＋1，依据抛物线的定义结合题意可知动圆圆心P (x ，y )的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，故方程为y2＝8x .17．[2016·山西临汾月考]在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．答案x 22－y 22＝1(x >2) 解析以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |. ∴|AB |－|AC |＝2 2.∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，∴b ＝ 2. ∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．一、高考大题1．[2016·全国卷Ⅰ]设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC . 所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |. 又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．2．[2015·湖北高考]一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解 (1)设点D (t,0)，(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON→|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧x 0－t 2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12·|m |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.②将①代入②，得S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2＜14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0＜1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(ⅰ)(ⅱ)，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 二、模拟大题3．[2016·福建福安月考]已知两点A (2,0)，B (－2,0)，直线l 经过点B 且与x 轴垂直，点C 是l 上异于点B 的动点，直线BP 垂直线段OC 并交线段AC 于点P ，记点P 的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)过点D (－1,0)的直线与曲线Γ交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与l 交于E ，F 两点，当△AEF 的面积是△AMN 的面积的2倍时，求直线MN 的方程．解 (1)设C (－2，m )(m ≠0)，则k OC ＝－m 2，k AC ＝－m4，所以k BP ＝2m ，所以直线BP 的方程为y ＝2m(x ＋2)．直线AC 的方程为y ＝－m4(x －2)，设P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2m x 0＋，y 0＝－m4x 0－得x 204＋y 202＝1，所以曲线Γ的方程为x 24＋y 22＝1(y ≠0)．(2)依题意知直线MN 的斜率不为0，故可设直线MN 的方程为x ＝my －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 2＋2y 2＝4，消去x 得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)(y 1≠y 2)，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，由x E ＝－2，得y E ＝－4y 1x 1－2＝－4y 1my 1－3，同理，y F ＝－4y 2my 2－3，所以|EF |＝|y E －y F |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 2my 2－3－4y 1my 1－3＝12|y 1－y 2||m 2y 1y 2－3m y 1＋y 2＋9|.所以S △AEF ＝12×|AB |×|EF |＝24|y 1－y 2||m 2y 1y 2－3m y 1＋y 2＋9|.S △AMN ＝12×|AD |×|y 1－y 2|＝32|y 1－y 2|.又因为S △AEF ＝2S △AMN ，所以24|y 1－y 2||m 2y 1y 2－3m y 1＋y 2＋9|＝3|y 1－y 2|，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3m 2m 2＋2－6m 2m 2＋2＋9＝8，得18m 2＋2＝8，解得m ＝±12，所以直线MN 的方程为x ＝±12y －1，即y ＝±2(x ＋1)．4．[2016·江西二模]已知动圆C 过点A (－2,0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切． (1)求动圆C 的圆心的轨迹方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (其中k ，m ∈Z )与(1)中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线x 24－y 212＝1交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得DF →＋BE →＝0？若存在，指出这样的直线有多少条；若不存在，请说明理由．解 (1)圆M ：(x －2)2＋y 2＝64，圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8. ∵|AM |＝4<R ，∴点A (－2,0)在圆M 内．设动圆 C 的半径为r ，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ，即|CM |＋|CA |＝8>|AM |.∴圆心C 的轨迹是中心在原点，焦点为A ，M ，长轴长为8的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝12，∴动圆C 的圆心的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)存在满足条件的直线l .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y 212＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－48＝0.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k2.Δ1＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)>0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y212＝1，消去y 并整理得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0.设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2km 3－k2，Δ2＝(－2km )2＋4(3－k 2)(m 2＋12)>0.② ∵DF →＋BE →＝0，∴(x 4－x 2)＋(x 3－x 1)＝0，即x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴－8km 3＋4k 2＝2km3－k 2，∴km ＝0或－43＋4k 2＝13－k 2，解得k ＝0或m ＝0.当k ＝0时，由①、②得－23<m <23，∵m ∈Z ，∴m 的值为－3，－2，－1,0,1,2,3；当m ＝0时，由①、②得－3<k <3， ∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1. ∴满足条件的直线共有9条．5．[2017·江南十校联考]已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的垂直平分线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C .(1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE →·QF →的取值范围．解 (1)由x 2＋y 2＋2x －15＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝42，所以圆心为H (－1,0)，半径为4. 连接MA ，由l 是线段AB 的中垂线，得|MA |＝|MB |，所以|MA |＋|MH |＝|MB |＋|MH |＝|BH |＝4.又|AH |＝2<4，根据椭圆的定义可知点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1，即为所求曲线C 的方程．(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP →·AE →＝AQ →·AF →＝0，于是PE →·QF →＝(AE →－AP →)·(AF →－AQ →)＝AE →·AF →＋AP →·AQ →.①当直线PQ 的斜率不存在时，则直线EF 的斜率为零，此时可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)，所以PE →·QF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32＝－3－94＝－214.②当直线PQ 的斜率为零时，则直线EF 的斜率不存在，同理可得PE →·QF →＝－214.③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，则直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )．将直线PQ 的方程代入曲线C 的方程，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x P ＋x Q ＝8k 23＋4k 2，x P ·x Q ＝4k 2－123＋4k 2.于是AP →·AQ →＝(x P－1)(x Q －1)＋y P ·y Q ＝(1＋k 2)·[x P x Q －(x P ＋x Q )＋1]＝(1＋k 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－＋k 23＋4k 2. 将上面的k 换成－1k，可得AE →·AF →＝－＋k24＋3k2.所以PE →·QF →＝AE →·AF →＋AP →·AQ →＝－9(1＋k 2)·⎝⎛⎭⎪⎫13＋4k 2＋14＋3k 2.令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得 PE →·QF →＝－9t ⎝ ⎛⎭⎪⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t212t 2＋t －1 ＝－63494－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122.由t >1，得0<1t <1，所以－214<PE →·QF →≤－367.综合①②③，所求PE →·QF →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，－367.6．[2017·武汉调研]已知动点P 到定点F (1,0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A 、B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点(与A 、B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．解 (1)设点P (x ，y )，由题意得x －2＋y 2|x －2|＝22，整理可得x 22＋y 2＝1，∴曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由已知可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时，不合题意；当m ≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|n |m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0，Δ＝4m 2n 2－4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0，x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1，x 2＝－2mn －Δ2m 2＋1， S 四边形ACBD ＝12|AB ||x 2－x 1|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22，当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，S 四边形ABCD 有最大值，最大值为22，此时n ＝±62，经检验可知直线y ＝22x －62和2 2x＋62符合题意．直线y＝－。

2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第七章平面解析几何50Word版含答案

考点测试50 抛物线一、基础小题1．已知抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( ) A.10 B ．4 C.15 D ．5答案 D解析由题意知，抛物线的准线方程为y ＝－1，所以由抛物线的定义知，点A 到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)． ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D.π2答案 B解析焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，当斜率不存在时，弦长为2p ＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k ，所以方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，代入y 2＝6x 得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＋p ＝12，即3k 2＋6k2＋3＝12，k 2＝1.∴k ＝tan α＝±1，结合α∈抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(1,0)答案 D解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故选D.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 D解析由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝k x(k >0)，得k ＝1×2＝2，故选D.11．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C. 12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10答案 B解析如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∵l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0)．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3.13．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．三、模拟小题14．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a )B ．(a,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116aD.⎝⎛⎭⎪⎫116a ，0答案 C解析将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.15．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PM |－1＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋－2－1＝10－1＝9.当且仅当A 、P 、F 三点共线时，等号成立，则|PA |＋|PQ |的最小值为9.故选C. 16．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.17．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若|FP |＝3|FQ |，则|QF |＝( )A.83 B.52 C ．3 D ．2答案 A解析设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83，故选A.18．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 、圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝y 2＋－1y 1＋－1＝16.一、高考大题1．在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．2. 如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义，得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1.所以m <0或m >2.经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．二、模拟大题3．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0及直线l ：x ＝－12.P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过点A (1,0)且圆心M 在P 的轨迹C 上，E 1E 2是圆M 在y 轴上截得的弦，证明弦长|E 1E 2|是一个常数．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ， ∴QP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，0，QF →＝(1，－y )，FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y ，FQ →＝(－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，0·(1，－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y ·(－1，y )，即x ＋12＝12－x ＋y 2，得y 2＝2x .经检验，曲线y 2＝2x 上的点均满足QP →·QF →＝FP →·FQ →. ∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝2x .(2)证明：设M (a ，b )为圆M 的圆心，则b 2＝2a . ∵圆M 过点A (1,0)，∴圆M 上的点(x ，y )满足(x －a )2＋(y －b )2＝(a －1)2＋b 2. 令x ＝0，得y 2－2by ＋2a －1＝0.设圆M 与y 轴的交点为E 1(0，y 1)和E 2(0，y 2)，则Δ＝(－2b )2－4×(2a －1)＝4>0，y 1＋y 2＝2b ，y 1y 2＝2a －1. 故|E 1E 2|＝|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝2是一个常数．4．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N .(1)求C 的方程；(2)若圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p . 又∵以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋2，故p ＝2， ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 中并整理，得x 2－4kx －4＝0. ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2， ∴圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22的坐标为M (2k,2k 2＋1)．∵圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，∴|MQ |＝|MN |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋32＝|2k 2＋2|，解得k ＝12.此时直线l 的方程为y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0，圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，半径r ＝52，即圆M 的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254.5．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，倾斜角为π4且过点M (0,1)的直线l 与C 相交于A ，B两点，且AM →＝2MB →.(1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线C 上一动点N ，记以MN 为直径的圆的面积为S ，求S 的最小值．解 (1)解法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝2py 1，x 22＝2py 2.(*)∵AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →＝(x 2，y 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝y 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，y 1＝3－2y 2.将上式代入(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧4x 22＝2p －2y 2，x 22＝2py 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝p ，y 2＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－p ，y 2＝12.∵直线l 的倾斜角为π4，即k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3y 2－33x 2＝y 2－1x 2＝1，∴12－1p ＝1(舍去)或12－1－p ＝1，解得p ＝14，∴抛物线C ：x 2＝12y .解法二：由题意，得直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝x ＋1得x 2－2px －2p ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2p ，x 1x 2＝－2p .又∵AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →＝(x 2，y 2－1)，∴－x 1＝2x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2p ，x 1·x 2＝－2p ，－x 1＝2x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－12，p ＝14，∴抛物线C ：x 2＝12y .(2)设抛物线C 上任意一点N (x 0，y 0)，且x 20＝12y 0，∴|MN |＝x 20＋y 0－2＝12y 0＋y 0－2＝y 20－32y 0＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－342＋716(y 0≥0)，∴当y 0＝34时，|MN |min ＝74，∴以MN 为直径的圆的面积S ＝π·⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22≥764π，即S min＝764π.6．已知点F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，点P (3，y 0)(y 0>1)是抛物线C 上一点，且|PF |＝134，⊙Q 的方程为x 2＋(y －3)2＝6，过点F 作直线l ，与抛物线C 和⊙Q 依次交于点M ，A ，B ，N (如图所示)．(1)求抛物线C 的方程；(2)求(|MB |＋|NA |)·|AB |的最小值．解 (1)由P (3，y 0)在抛物线C 上，得2py 0＝9. 又|PF |＝134，得y 0＋p 2＝134.上述两个等式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝1，p ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝94，p ＝2.又y 0>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝94，p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由题意，知直线l 的斜率一定存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝2k 2＋1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝26－4k 2＋1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0，则y 1＋y 2＝4k 2＋2. 由抛物线定义知，|MN |＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2)， ∴(|MB |＋|NA |)·|AB |＝(|MN |＋|AB |)·|AB | ＝|MN |·|AB |＋|AB |2＝8(k 2＋1) 6－4k 2＋1＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫6－4k 2＋1＝8k 2＋2－k 2＋－16k 2＋1＋24. 设t ＝k 2＋1(t ≥1)，则(|MB |＋|NA |)·|AB |＝86t 2－4t －16t＋24＝86⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－23－16t＋24(t ≥1)． ∵函数y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－23和y ＝－16t 在[1，＋∞)上都是单调递增函数，∴当t ＝1，即k ＝0时，(|MB |＋|NA |)·|AB |有最小值82＋8.。

教育最新K122018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何单元质量测试理

单元质量测试(七)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．直线3x ＋3y －1＝0的倾斜角大小为( ) A ．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C 解析 ∵k ＝－33＝－3，∴α＝120°.2．“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a4x －1垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由a ＝2得两直线斜率满足(－2)×24＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a )×a4＝－1，解得a ＝±2，故选A.3．圆锥曲线x 2m 2＋5＋y 2m 2－4＝1的焦距是( )A ．3B ．6C ．3或 2m 2＋1 D ．6或22m 2＋1答案 B解析当m 2－4>0，则方程的曲线为椭圆，a 2＝m 2＋5，b 2＝m 2－4，从而c 2＝a 2－b 2＝9，∴椭圆的焦距为2c ＝6；当m 2－4<0，则方程的曲线为双曲线，其中a 2＝m 2＋5，b 2＝4－m 2，从而c 2＝a 2＋b 2＝9，∴双曲线的焦距也是6.故正确选项为B.4．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0 答案 B解析由直线和圆没有交点可得：4m 2＋n2>2，整理得m 2＋n 2<4，故点P (m ，n )必在椭圆内，于是过点P 的直线与椭圆必有两个交点．5．[2016·湖南六校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 C解析以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，又因为点(3,4)在圆上，所以32＋42＝c 2，所以c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，且点(3,4)在这条渐近线上，所以b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1，故选C.6．[2015·四川高考]过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 答案 D解析双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F (2,0)，其渐近线方程为3x ±y ＝0.不妨设A (2,23)，B (2，－23)，所以|AB |＝43，故选D.7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则弦AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )A.52B.72 C ．2 D ．3 答案 B解析由题设可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.又由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.8．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左右两个焦点，P 是右支上的动点，过F 2作∠F 1PF 2平分线的垂线，交PF 1于M ，交角平分线于Q ，则Q 点轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 ∵PQ 是∠F 1PF 2的平分线且PQ ⊥MF 2， ∴|PM |＝|PF 2|，且Q 是MF 2的中点． ∴|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－|PM |＝|MF 1|＝2a . ∴|OQ |＝a ，∴选A.9．[2017·湖南岳阳模拟]已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0 答案 B解析当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.10．[2017·河北承德质检]椭圆 x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍答案 A解析由题设知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝ 36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32.∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A. 11．[2016·山西四校联考]过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，直线F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12答案 D解析设双曲线的右焦点为F 2，则F 2的坐标为(c,0)．由题意知F 2也是C 3的焦点，所以C 3：y 2＝4cx .连接OM ，NF 2，因为O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，所以OM 为△NF 1F 2的中位线，所以OM ∥NF 2.因为|OM |＝a ，所以|NF 2|＝2a .又NF 2⊥NF 1，|F 1F 2|＝2c ，所以|NF 1|＝2b .设N (x ，y )，则由抛物线的定义可得|NF 2|＝x ＋c ＝2a ，所以x ＝2a －c .过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ，由y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)，故选D. 12．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23 答案 B解析抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ：x ＝－1，直线y ＝k(x ＋1)(k >0)恒过定点P (－1,0)．如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N . 由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为12，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，P (－1,0)．∴k ＝2－012＋1＝223. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,3]解析因为直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02＋12－2a ·0＋a 2－2a －4≤0且2a ＋4>0，解得－1≤a ≤3.14．[2016·郑州模拟]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．答案2解析由题意设F (c,0)，相应的渐近线方程为y ＝ba x ，根据题意得k PF ＝－a b，设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，代入k PF ＝－a b 得x ＝a 2c ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，则线段PF 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋c ，ab 2c ，代入双曲线方程得14⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝1，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋e 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1，∴e 2＝2，∴e ＝ 2. 15．[2016·洛阳统考]已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－2解析将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.16．[2017·广西南宁模拟]设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →，知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上，知x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．解 (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，a ＝2，c ＝1，b ＝1，曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223.于是直线AP 方程为y ＝24(x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24x ＋，解得5x 2＋2x －7＝0，x 1＝1，x 2＝－75.由于点M 在线段AP 上，所以点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22. 18．(本小题满分12分) 如图，BC 是半圆的直径，O 是圆心，OA 是与BC 垂直的圆的半径，P 为半圆上一点(P 与A 、B 、C 不重合)．过P 向BC 作垂线，垂足为Q ，OP 和AQ 的交点为M .试问：当P 移动时，M 的轨迹是怎样的曲线？说明理由．解如图，过A 作BC 的平行线l ，分别过P 、M 作l 的垂线，垂足为G 、H .设圆的半径长为r ，则|OP |＝|QG |＝r .∵QP ∥OA ∥MH ，∴|OM ||OP |＝|AH ||AG |，|MH ||QG |＝|AH ||AG |，∴|OM |r ＝|MH |r，∴|OM |＝|MH |，∴M 在以O 为焦点、以l 为准线的抛物线上． ∵P 与A 、B 、C 不重合，∴M 不在OA 、BC 上．∴M 必在圆的内部，∴M 的轨迹是以O 为焦点、以l 为准线的抛物线(去掉抛物线的顶点)在圆内的部分，如图所示．19．[2016·湖北十校联考](本小题满分12分)已知抛物线x 2＝2py 上点P 处的切线方程为x －y －1＝0.(1)求抛物线的方程；(2)设A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)为抛物线上的两个动点，其中y 1≠y 2且y 1＋y 2＝4，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求△ABC 面积的最大值．解 (1)设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p ，由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，所以求导y ′＝x p .因为直线的斜率为1，所以x 0p ＝1且x 0－x 202p－1＝0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y . (2)设线段AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 224－x 214x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝x 02，所以直线l 的方程为y －2＝－2x 0(x －x 0)，即2x ＋x 0(－4＋y )＝0，所以l 过定点(0,4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝x 02x －x 0，x 2＝4y⇒x 2－2xx 0＋2x 20－8＝0，得Δ＝4x 20－4(2x 20－8)>0⇒－22<x 0<22， |AB |＝1＋x 204|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 204－4x 2＝＋x 2－x 20，设C (0,4)到AB 的距离d ＝|CM |＝x 20＋4，所以S △ABC ＝12|AB |·d ＝12＋x 22－x 2＝1212x 20＋x 20＋－2x 2≤1212×⎝ ⎛⎭⎪⎫2433＝8，当且仅当x 20＋4＝16－2x 20，即x 0＝±2时取等号，此时S △ABC 的最大值为8.20．[2015·全国卷Ⅱ](本小题满分12分)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解 (1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx ，设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m－k 3，因此x M ＝kk －mk 2＋.四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km 3k 2＋9＝2×k k －mk 2＋，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．21. [2017·郑州质检](本小题满分12分)已知椭圆W ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，其左顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝16上．(1)求椭圆W 的方程；(2)若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，则是否存在点P ，使得|PQ ||AP |＝3？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为椭圆W 的左顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝16上，令y ＝0，得x ＝±4，所以a ＝4. 又离心率为32，所以e ＝c a ＝32，所以c ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆W 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)不存在点P 满足题意．理由如下：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，设直线AP 的方程为y ＝k (x ＋4)，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 216＋y24＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋32k 2x ＋64k 2－16＝0. 因为－4为方程的一个根，所以x 1＋(－4)＝－32k 21＋4k 2，所以x 1＝4－16k21＋4k 2，所以|AP |＝81＋k21＋4k2.因为圆心到直线AP 的距离为d ＝|4k |k 2＋1，所以|AQ |＝216－d 2＝2161＋k 2＝81＋k2. 因为|PQ ||AP |＝|AQ |－|AP ||AP |＝|AQ ||AP |－1，代入得到|PQ ||AP |＝81＋k 281＋k 21＋4k2－1＝1＋4k 21＋k 2－1＝3k21＋k2＝3－31＋k2.显然3－31＋k 2≠3，所以不存在点P ，使得|PQ ||AP |＝3. 22．[2016·山东高考](本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2.求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．解 (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a ＝2b . 因为抛物线E 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)①证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0)．由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m .因此直线l 方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0，由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)，(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 2m ＋.因为y 0x 0＝－14m，所以直线OD 方程为y ＝－14mx . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上． ②由①知直线l 方程为y ＝mx －m 22. 令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 22. 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 2m 2＋，所以S 1＝12·|GF |·m ＝m 2＋m 4， S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m m 2＋2m 2＋.所以S 1S 2＝m 2＋m 2＋m 2＋2. 设t ＝2m 2＋1. 则S 1S 2＝t －t ＋t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.。

2018年高考数学理科考点过关习题第七章平面解析几何20和答案

考点测试20 三角函数的图象和性质一、基础小题1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g (x )的图象 D ．向右平移π2个单位，得到g (x )的图象答案 D解析因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，所以f (x )向右平移π2个单位，可得到g (x )的图象，故选D.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数答案 D解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－2sin x ，所以函数f (x )是周期为2π的奇函数．3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ． B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54答案 C 解析(数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.4．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33C ． 2D ．22答案 B解析由题意知f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.故选B. 5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6答案 C解析因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡ π3＋k π，⎦⎥⎤5π6＋k π(k ∈Z )，又x ∈，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6. 6．使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2答案 C解析若f (x )是R 上的奇函数，则必须满足f (0)＝0，即sin φ＝0. ∴φ＝k π(k ∈Z )，故选C.7．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 答案 D解析若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，所以要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D. 8．函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为________．答案⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－3≤x <－π2或0<x <π2解析由⎩⎨⎧sin2x >0，9－x 2≥0得⎩⎨⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2. ∴函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－3≤x <－π2或0<x <π2.二、高考小题9．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π答案 B 解析∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.10．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析 f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，若b ＝0，则f (x )＝sin 2x ＋c ＝12(1－cos2x )＋c ，此时f (x )的周期为π；若b ≠0，则f (x )的周期为2π，所以选B.11．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z答案 D解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.12．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析选项A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A.13．定义在区间上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．答案 7解析在同一平面直角坐标系中作出y ＝sin2x 与y ＝cos x 在区间上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．三、模拟小题14．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的图象大致是( )答案 D解析函数f (x )＝2x －4sin x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，故A 、B 错误．又令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，即cos x ＝12，解得x ＝±π3，所以x ＝±π3为函数的极值点，所以只有D 项符合条件．故选D.15．若函数f (x )＝A sin2ωx (A >0，ω>0)在x ＝1处取得最大值，则函数f (x ＋1)为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数答案 A解析因为f (x )＝A sin2ωx 在x ＝1处取得最大值，故f (1)＝A ，即sin2ω＝1，所以2ω＝π2＋2k π，k ∈Z .因此，f (x ＋1)＝A sin(2ωx ＋2ω)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋2k π＝A cos2ωx ，故f (x ＋1)是偶函数．16．函数f (x )＝sin x ＋x 在区间已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则nm＝( )A ．332 B ． 3C ．－233D ．33答案 C 解析若x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则x ＝π3是函数f (x )的极值点．f ′(x )＝2m cos x ＋n sin x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2m cos π3＋n sin π3＝m ＋32n ＝0，所以n m ＝－233. 18．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x >cos x 时，f (x )＝sin x .给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0； ⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________．答案 ①④⑤解析易知函数f (x )是周期为2π的周期函数．函数f (x )在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.一、高考大题1．已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间上的最小值．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.2．已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，易知函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．二、模拟大题3．已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解由cos2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z .因为f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝6cos 4 －x ＋5sin 2 －x －4cos －2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x＝f (x )．所以f (x )是偶函数，当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝6cos 4x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝ 2cos 2x －1 3cos 2x －1 2cos 2x －1＝3cos 2x －1. 所以f (x )的值域为⎩⎪⎨⎪⎧ y ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－1≤y <12或12<y ≤2.4．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在x ＝x 0处取得最大值，求f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)的值．解 (1)f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)依题意，x 0＝2k π＋3π4(k ∈Z )，由周期性，f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4－cos 3π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2－cos 3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 9π4－cos 9π4 ＝2－1.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝±1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0， ∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z . 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 6．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32 函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。

2018届高考一轮复习文科数学考点通关课件+练习第七章平面解析几何49

解析
由双曲线的定义知，点 M 的轨迹是双曲线的右
支，故排除 A、C；又 c＝5，a＝3，∴b＝ c2－a2＝4. x2 y2 ∵焦点在 x 轴上，∴轨迹方程为 9 －16＝1(x≥3)．故选 D.
x2 y2 2．若双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( A. 5 B．5 C. 2 D．2 )
解析因为 e＝
b2 b 1＋ 2，所以越大，e 就越大，令 λ a a
b＋ m a＋m ab＋am ＝＝ .当 a>b 时，λ>1，e2>e1；当 a<b 时，λ<1， b ab＋bm a e2<e1.故选 B.
x2 y2 10．[2015· 重庆高考]设双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的右 a b 焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点．若 A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( 1 A．± 2 C ．± 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 2 B ．± 2 D ．± 2
2 y 故所求方程为 x2－ 3 ＝1.
x2 y2 8．设 F1，F2 分别为双曲线16－20＝1 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9，则点 P 17 到焦点 F2 的距离为________ ．
解析解法一：∵实轴长 2a＝8，半焦距 c＝6， ∴||PF1|－|PF2||＝8. ∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1 或|PF2|＝17. 又∵|PF2|的最小值为 c－a＝6－4＝2， ∴|PF2|＝17.
第1步狂刷小题· 练基础
一、基础小题 1．已知平面内两定点 A(－5,0)， B(5,0)，动点 M 满足|MA| －|MB|＝6，则点 M 的轨迹方程是( x2 y2 A.16－ 9 ＝1 x2 y2 C. 9 －16＝1 x2 y2 B.16－ 9 ＝1(x≥4) x2 y2 D. 9 －16＝1(x≥3) )

2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第七章平面解析几何 47 Word版含答案

考点测试圆与方程一、基础小题．圆心在轴上，半径为，且过点()的圆的方程为( )．＋(＋)＝．＋(－)＝．＋(－)＝．(－)＋(－)＝答案解析设圆心坐标为(，)，则由题意知＝，解得＝，故圆的方程为＋(－)＝.．若曲线：＋＋－＋－＝上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为( )．(－∞，－)．(－∞，－)．(，＋∞)．(，＋∞)答案解析曲线的方程可以化为(＋)＋(－)＝，则该方程表示圆心为(－)，半径等于的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以>.．已知直线：＝与圆：(－)＋＝，则“＝－”是“直线与圆相切”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．既不充分又不必要条件．充要条件答案解析直线：＝与圆：(－)＋＝相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得＝±.故由＝－可推得直线与圆相切；反之，若直线与圆相切，不能推得＝－，即“＝－”是“直线与圆相切”的充分而不必要条件．．对任意的实数，直线＝－与圆＋－－＝的位置关系是( )．相切．相离．相交．以上三个选项均有可能答案解析直线＝－恒经过点(，－)，＋(－)－×－＝－<，∴点在圆内，故直线＝－与圆＋－－＝相交，故选.．设圆的方程是＋＋＋＋(－)＝，若<<，则原点与该圆的位置关系是( )．原点在圆外．原点在圆上．不确定．原点在圆内答案解析将圆的方程化成标准方程为(＋)＋(＋)＝，因为<<，所以(＋)＋(＋)－＝(－)>，即>，所以原点在圆外．．若圆＋＝与圆＋＋－＝的公共弦长为，则的值为( )．±．．．±答案解析设圆＋＝的圆心为，半径＝，将＋＝与＋＋－＝联立，可得＋－＝，即公共弦所在的直线方程为＋－＝，原点到直线＋－＝的距离为，根据勾股定理可得＝＋，解得＝±.．一束光线从圆的圆心(－)出发，经轴反射到圆：(－)＋(－)＝上的最短路程刚好是圆的直径，则圆的方程为( )．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝答案解析圆的圆心的坐标为()，半径为＝.点(－)关于轴的对称点′的坐标为(－，－)．因为′在反射线上，所以最短路程为′－，即－＝.故圆的半径为＝×＝，所以圆的方程为(＋)＋(－)＝，故选.．圆：＋－＝和圆：＋－＝的位置关系是．答案相交解析由已知得()，＝，()，＝，∴＝<＋＝，且＝>－＝，故两圆相交．。

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考点测试47 圆与方程一、基础小题1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案 A解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知 0－1 2＋ b－2 2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)答案 D解析曲线C的方程可以化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a>2.3．已知直线l：y＝x与圆C：(x－a)2＋y2＝1，则“a＝－2”是“直线l与圆C相切”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析直线l ：y ＝x 与圆C ：(x －a )2＋y 2＝1相切的充要条件是圆心C 到直线l 的距离等于半径，即|a －0|2＝1，解得a ＝± 2.故由a ＝－2可推得直线l 与圆C 相切；反之，若直线l 与圆C 相切，不能推得a ＝－2，即“a ＝－2”是“直线l 与圆C 相切”的充分而不必要条件．4．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能答案 C解析直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，02＋(－1)2－2³0－2＝－1<0，∴点A 在圆内，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.5．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即 0＋a 2＋ 0＋1 2>2a ，所以原点在圆外．6．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．1 D ．±1答案 B解析设圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为O ，半径r ＝|a |，将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0联立，可得a 2＋ay －6＝0，即公共弦所在的直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点O 到直线a 2＋ay －6＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a ，根据勾股定理可得a 2＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6a－a 2，解得a ＝±2.7．一束光线从圆C 的圆心C (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程刚好是圆C 的直径，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝16 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25答案 A解析圆C 1的圆心C 1的坐标为(2,3)，半径为r 1＝1.点C (－1,1)关于x 轴的对称点C ′的坐标为(－1，－1)．因为C ′在反射线上，所以最短路程为|C ′C 1|－r 1，即[2－－1 ]2＋[3－－1 ]2－1＝4.故圆C 的半径为r ＝12³4＝2，所以圆C 的方程为(x＋1)2＋(y －1)2＝4，故选A.8．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________．答案相交解析由已知得O 1(1,0)，r 1＝1，O 2(0,2)，r 2＝2， ∴|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，且|O 1O 2|＝5>r 2－r 1＝1，故两圆相交．二、高考小题9．[2016²浙江高考]已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则a 2＝a ＋2，故a ＝－1或2.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，亦即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不成立，故舍去；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.10. [2015²湖北高考]如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1解析 (1)过点C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ，则|CM |＝|OT |＝1，|AM |＝12|AB |＝1，所以圆的半径r ＝|AC |＝|CM |2＋|AM |2＝2，从而圆心C (1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x ＝0，得y ＝2±1，则B (0，2＋1)，所以直线BC 的斜率为k ＝ 2＋1 －20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1³(x －0)，即y ＝x ＋2＋1，令y ＝0，得x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.11．[2016²全国卷Ⅰ]设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析把圆C 的方程化为x 2＋(y －a )2＝2＋a 2，则圆心为(0，a )，半径r ＝a 2＋2.圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|a |2.由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，得a 2＋2＝a 22＋3，解得a 2＝2，则r 2＝4，所以圆的面积S ＝πr 2＝4π.12．[2016²天津高考]已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝9解析设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)，由题意可得⎩⎨⎧|2a |5＝455，－a 2＋5 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝9，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.13．[2016²全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案 4解析由题意可知直线l 过定点(－3，3)，该定点在圆x 2＋y 2＝12上，不妨设点A (－3，3)，由于|AB |＝23，r ＝23，所以圆心到直线AB 的距离为d ＝ 23 2－ 3 2＝3，又由点到直线的距离公式可得d ＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，所以直线l 的斜率k ＝－m ＝33，即直线l 的倾斜角为30°.如图，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，所以|CH |＝23，在Rt △CHD 中，∠HCD ＝30°，所以|CD |＝23cos30°＝4.三、模拟小题14．[2017²深圳五校联考]已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P、Q关于直线l对称，则m的值为( )A．2 B．－2C．1 D．－1答案 D解析因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P、Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1，故选D.15．[2016²湖南四地联考]若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是( )A．2 B．3C．4 D．6答案 C解析圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为 2.因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离d＝ a＋1 2＋ b－2 2＝ a＋1 2＋ a－3－2 2＝2a2－8a＋26＝2 a－2 2＋18.所以当a＝2时，d取最小值18＝32，此时切线长最小，为 32 2－ 2 2＝16＝4，所以选C.16．[2016²福建福州八中六模]已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )A．(－32，32)B．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C．(－22，22)D．[－32，32]答案 A解析由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，即d＝|－a|12＋12＝|a|2<3，解得a∈(－32，32)，故选A.17．[2016²湖南长郡中学月考]两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A．1 B．3C.19D.49答案 A解析由题意知两圆的标准方程为(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，圆心分别为(－a,0)和(0,2b)，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有a2＋4b2＝3，即a2＋4b2＝9，所以1a2＋1b2＝19⎝⎛⎭⎪⎫9a2＋9b2＝19⎝⎛⎭⎪⎫1＋4b2a2＋a2b2＋4≥19³(1＋4＋4)＝1.当且仅当4b2a 2＝a 2b 2，即|a |＝2|b |时取等号，故选A.一、高考大题1．[2015²全国卷Ⅰ]已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →²ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4 1＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →²ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k 1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.2．[2015²广东高考]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)>0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t2.因为x 2＋y 20＝9 1＋t 2 2＋9t 2 1＋t 2 2＝9 1＋t 21＋t 2 2＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2<45，又t 2≥0，所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，F (3，0)，直线L 过定点G (4,0)．联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0. 令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈[k DG ，k EG ]∪{k GH ，k GI }，k DG ＝253－053－4＝－257，k EG ＝－253－053－4＝257，即k ∈⎣⎢⎡ －257，⎦⎥⎤257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 二、模拟大题3．[2016²天津南开模拟]在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．解 (1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ， ∵圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， ∴圆心(－2,1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ，∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0，∵|MN |＝23，半径r ＝2，∴圆心(－2,1)到直线MN 的距离为22－ 3 2＝1，即|－4－1＋c |5＝1，∴c ＝5±5，∴直线MN 的方程为2x －y ＋5±5＝0.4．[2016²河南中原名校联考]已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解 (1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a,2a )，则a 2＋ 2a －4 2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125.(2)证明：设P (a,2a )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －a )＋(y －4)(y －2a )＝0，整理得x 2＋y 2－ax －4y －2ay ＋8a ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－a (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，∴该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.5．[2017²东城模拟]已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解 (1)将圆C 配方，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，由|k ＋2|1＋k2＝2，得k ＝2±6，∴切线方程为y ＝(2±6)x .②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0(a ≠0)，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ， ∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.6．[2017²常州模拟]如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为A ，B ，另一圆N 与圆M 相切，且与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为C ，D .(1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦长．解 (1)由于圆M 与∠BOA 的两边相切，故M 到OA ，OB 的距离相等，则点M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且直线ON 为∠BOA 的平分线，因为M (3，1)，所以M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，所以圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接AM ，CN ，则Rt △OAM ∽Rt △OCN ，得OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r，解得r＝3，OC ＝33，所以圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求弦长为过点A 的MN 的平行线被圆N 截得的弦长，此弦所在直线的方程为y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝ |33－33－3|1＋3＝32，故弦长为2r 2－d 2＝33.。