2018年人教版数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》第二课时参考学案
高中数学选修1-1教学设计-椭圆的简单几何性质
§2.1.2椭圆的简单几何性质3
【学情分析】：
学生已经掌握了椭圆的概念、标准方程的概念，也能够运用标准方程中的a,b,c的关系解决题目，但还不够熟练。
另外对于求轨迹方程、解决直线与椭圆关系的题目，还不能很好地分析、解决。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步强化学生对于椭圆标准方程中a,b,c关系理解，并能运用到解题当中去。
②强化求轨迹方程的方法、步骤。
③解决直线与椭圆的题目，强化数形结合的运用。
2、过程与方法：
通过习题、例题的练讲结合，达到学生熟练解决椭圆有关问题的能力。
3、情感态度与价值观：
通过一部分有难度的题目，培养学生克服困难的毅力。
【教学重点】：
知识与技能②③
【教学难点】：
知识与技能②③
【课前准备】：
学案
【教学过程设计】：。
高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案
⾼中数学选修1-1《椭圆的简单⼏何性质》教案课题：椭圆的简单⼏何性质（第⼀课时）⼀、教学⽬标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单⼏何性质，初步学习利⽤⽅程研究曲线性质的⽅法；（2）掌握椭圆的简单⼏何性质，理解椭圆⽅程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利⽤数形结合思想⽅法解决实际问题。
2、过程与⽅法（1）通过椭圆的⽅程研究椭圆的简单⼏何性质，使学⽣经历知识产⽣与形成的过程，培养学⽣观察、分析、逻辑推理，理性思维的能⼒。
（2）通过掌握椭圆的简单⼏何性质及应⽤过程，培养学⽣对研究⽅法的思想渗透及运⽤数形结合思想解决问题的能⼒。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统⼀，对学⽣进⾏辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学⽣对美好事物的追求。
⼆、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单⼏何性质及其探究过程2、教学难点：利⽤曲线⽅程研究曲线⼏何性质的基本⽅法和离⼼率定义的给出过程。
三、教学⽅法：本节课以启发式教学为主，综合运⽤演⽰法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学⽅法。
先通过多媒体动画演⽰，创设问题情境；在椭圆简单⼏何性质的教学过程中，通过多媒体演⽰，有指导的发现问题，然后进⾏讨论、探究、总结、运⽤，最后通过练习加以巩固提⾼。
四、教学过程：（⼀）创设情景,揭⽰课题多媒体展⽰：模拟“嫦娥⼀号”升空,进⼊轨道运⾏的动画. 解说：2007年10⽉24⽇，随着中国⾃主研制的第⼀个⽉球探测器——嫦娥⼀号卫星飞向太空，⾃强不息的中国航天⼈，⼜将把中华民族的崭新⾼度镌刻在太空中。
绕⽉探测，中国航天的第三个⾥程碑。
它标志着，在实现⼈造地球卫星飞⾏和载⼈航天之后，中国航天⼜向深空探测迈出了第⼀步。
“嫦娥⼀号”卫星发射后⾸先将被送⼊⼀个椭圆形地球同步轨道，这⼀轨道离地⾯最近距离为200公⾥，最远为5.1万公⾥，,⽽我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹⽅程呢?要想解决这个问题,我们就⼀起来学习“椭圆的简单⼏何性质”。
人教A版高中数学选修1-1 第二章2.1.2椭圆的简单几何性质(一)数学教案
2.1.2椭圆的简单几何性质（一）数学教案教师 科目 数学 上课时间课题椭圆的简单几何性质（一）教学目标知识与能力1．掌握椭圆的简单几何性质,能根据性质正确地作出椭圆的简图； 2．掌握椭圆标准方程中a 、b 、c 、e 的相互关系及其几何意义；3.培养学生观察、分析、概括的逻辑思维能力和数形结合思想的运用能力.过程与方法 以自主探究为主，学生独立思考.、合作交流、师生共同探究相结合. 情感态度 与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和数学方法，从中体味探索中的成功与快乐，由此激发学生更加积极主动的学习精神和探索勇气；教 学 重难点 重点：椭圆的简单几何性质及其性质的初步运用.难点：椭圆几何性质的探究过程、方法及离心率的理解. 教学程序教师指导与学生活动一、.新课导入：请同学们看大屏幕（课件展示“神舟飞船”在变轨前绕地球飞行的模拟图）我们知道飞船在绕地球飞行的过程中，是沿着以地球的中心为一个焦点的椭圆轨道运行的，如果告诉你飞船飞离地球表面的最近和最远距离（即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离），如何确定飞船运行的轨道方程呢？引入课题：要解决这一实际问题就有必要对椭圆做深入地研究，这节课我们就一起来先研究椭圆的一些简单几何性质．复习：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的定义和标准方程是？1.椭圆的定义；2. 椭圆的标准方程（注意椭圆中a,b,c 的关系）.二、新课探究：【自主探究问题1】：观察椭圆 的形状，你能从图上看出它的范围吗？能否根据方程得出结论？辨析与研讨:结论：由椭圆方程知b y a x ≤≤,，由y x ,的范围可得椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(课件展示图形) 。
22221(0)x y a b a b+=>>B 2A 1F 1F 2xB 1A 2y【自主探究问题2】：继续观察椭圆的特点，椭圆的图形给人以视觉上的美感，如果我们沿着焦点所在直线上下对折，或沿着焦点连线的垂直平分线左右对折大家猜想椭圆可能有什么性质？能否用方程来证明你的结论？辨析与研讨:结论：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
《椭圆的简单几何性质》教学设计椭圆的简单几何性质《椭圆的简单几何性质》教学一. 教材分析1. 教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时：椭圆的简单几何性质。
在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。
而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。
2. 教材的内容安排和处理本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。
在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。
3. 重点、难点：教学重点：掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
二. 学生的学情心理分析我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强,但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。
椭圆的简单几何性质第二课时导学案11.17
§2.2.2椭圆的简单几何性质第二课时导学案（理普）命题人：盛俊伟 时间：2010-11-14学习目标：1、进一步掌握椭圆的几何性质。
2、使学生初步能利用椭圆的有关知识来解决有关的实际问题；3、掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题． 学习重点： 椭圆上的点的特性。
学习难点：更加深刻的理解和熟练的掌握椭圆的几何性质。
温故知新：问题1．上节我们学了椭圆的哪些几何性质？问题2：圆的参数方程是什么？新课探究：例1、 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y ab+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．例2、如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则M F =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2ax c=的距离比是常数c e a=()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l：2axc=相应于F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c'-，相应于F'的准线l'：2axc=-．例3 如图，以原点心圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹的参数方程．解：设点的坐标为，是以为始边，为终边的正角．取为参数，那么即这就是所求点．．．．．．的轨迹的参数方程．．．．．．．．．．消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．总结：椭圆(a>b>0) 的参数方程为（其中，是参数）。
最新(选修1-1)《椭圆的简单性质》教案
(选修1-1)《椭圆的简单性质》教案《椭圆的简单性质》教案教学目的：1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
2．掌握标准方程中,,a b c的几何意义，以及,,,a b c e的相互关系。
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。
教学重点：椭圆的几何性质教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质授课类型：新授课。
课时安排：1课时。
教具：多媒体、实物投影仪。
内容分析：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的。
怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位。
通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解。
通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力。
本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。
难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性。
根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用。
教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》名师课件
解得 k 2 1
4
,
同理得 (
1 )2 k
1 4
k2
4
1 4
k2
4 k
(2
1 2
)
(
1 2
2)
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二:直线与椭圆的位置关系
★▲ 重难点
（3）设 A(x1 y1) B(x2 y2 ) M (x0 y0 )
则
x1
x2
3
16k 4k
2
x0
x1
2
x2
8k 3 4k2
探究二:直线与椭圆的位置关系
★▲ 重难点
设右焦点（b,0）关于直线l的对称点为 x, y 则 由点y2（x1y,1xb-2b）b1 在1解椭得圆上yx,得 1:11b 21 b2 2b2
则 b2 9 , a2 9
16
8
所以所求椭圆C的方程为 8x2 16 y2 1
99
直线l的方程为 y x 1
b a
,
x1x2
c a
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
3.平面内两点 A x1, y1, Bx2 y2 之间的距离公式为:
AB x1 x2 2 y1 y2 2
检测下预习效果: 点击“互动训练” 选择“《椭圆的简单几何性质（第2课时）》预习自测”
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
y0
kx0
2
6 3 4k2
M
(
8k 3 4k2
3
6 4k
2
)
同理得N (
8(
1 k
)
3 4( 1)2
k
3
6 4(
1)2 k
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。
高中数学选修1-1 2.1.2 椭圆的简单几何性质2 教案
课堂教学设计题型二：直线与椭圆的位置关系 例2：已知椭圆x 2+2y 2=a 2(a>0)的左焦点F 1到直线y=x-2的距离为22，求椭圆的标准方程。
解：椭圆的标准方程化为 122222=+a y a x a a a c 22222=-= ）（左焦点为0,22F 1a F 1到直线y=x-2的距离为2211202222=+--=a d 解得 24=a椭圆的标准方程化为 1163222=+y x 题型三：焦点三角形问题16410022=+y x例3：已知F1、F2是椭圆 的两个焦点， P 是椭圆上任意一点（1）若 ，求 的面积 （2）求 的最大值。
321π=∠PF F 21PF F ∆21PF PF ⋅2021=+PF PF 221222163cos2=-+πPF PF PF PF 2212122163cos22)(=--+πPF PF PF PF PF PF 336421=⋅PF PF 解得33913sin 212121=⋅=∆πPF PF S PF F 6,8,10)1(===c b a 解：221212216cos 22))(2(=--+θPF PF PF PF PF PF )cos 1(236421θ+=⋅PF PF 解得182)(,2max 21=⋅=PF PF 时当πθ【板书设计】2.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）题型一: 椭圆的轨迹问题例1题型二:直线与椭圆的位置关系例2题型三: 焦点三角形问题例3。
人教课标版高中数学选修2-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》教学设计
2.2.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）一、教学目标（一）学习目标1.理解直线与椭圆的位置关系；2.会进行位置关系的判断，计算弦长.（二）学习重点理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用（三）学习难点应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系.二.教学设计（一）预习任务设计1.预习任务写一写：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- 若0∆=，则直线和椭圆有唯一公共点，直线和椭圆 相切 ；若0∆>，则直线和椭圆有两个公共点，直线和椭圆 相交 ；若0∆<，则，直线和椭圆没有公共点，直线和椭圆 相离 .2.预习自测（1）直线1y kx k =-+与椭圆22123x y +=的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】直线(1)1y k x =-+恒过定点(1,1).由11123+<可知：点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】A（2）判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>与点(,0)P b ，过点P 可作出该椭圆的一条切线.（ ）②直线()y k x a =-与椭圆22221x y a b+=的位置关系是相交.（ ） 【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】点(,0)P b 在椭圆22221x y a b+=内部，故过P 不能作出椭圆的切线；直线()y k x a =-恒过点(,0)a ，而(,0)a 为椭圆22221x y a b+=的有顶点，过直线()y k x a =-一定与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】①×；②√.（3）直线1y mx =+与椭圆2241x y +=有且只有一个交点，则2m =（ ） A.21 B.32 C.43 D.54 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】联立方程22141y mx x y =+⎧⎨+=⎩得：22(14)830m x mx +++=. 由条件知：226412(14)0m m ∆=-+=，解得：234m =. 【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】C（4）椭圆13422=+y x 长轴端点为M 、N ，不同于M 、N 的点P 在此椭圆上，那么PM 、PN 的斜率之积为（ ）A.34-B.43-C.43D.34 【知识点】直线与椭圆.【解题过程】设00(,)P x y ，则，则2200334x y =-，故00003224PM PN y y k k x x ⋅=⋅=-+- 【思路点拨】按照题意直接代入求解即可.【答案】A（二）课堂设计1. 知识回顾（1）椭圆的简单几何性质；（2）直线与圆的位置关系.2. 新知讲解探究一：探究直线与椭圆的位置关系●活动① 复习回顾，类比学习我们学习过直线与圆的位置关系及判定，请你回忆相关知识.（1）直线与圆有三种位置关系分别是相离（没有公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）.（2）判定方法有两种：代数法、几何法.那么直线与椭圆又有什么样的位置关系呢？又该如何来判定直线与椭圆的位置关系呢？【设计意图】由已有的知识类比迁移到新知识.●活动② 思考交流，结论形成通过画图我们看到，直线与椭圆的位置关系也可以归纳为相离，相切和相交，请你类比直线和圆的相离、相切、相交的定义来对直线和椭圆相离，相切和相交进行定义.学生交流，自由发言，教师适时引导，得出结论.直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离；直线与椭圆有一个公共点⇔直线和椭圆相切；直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交.通过公共点的个数可以判断直线和椭圆的位置关系，如何确定公共点的个数呢？你有什么办法呢？例 1.判断直线123:1;:3;:3l y x l y x l y =+=-+=+与椭圆2214x y +=的位置关系.【知识点】直线与椭圆的位置关系.课堂活动：学生完成练习，根据学生的解题情况引入代数方法.在巡视过程中，大部分学生采用的是代数的方法，及个别的学生画出了图像，但第三条直线与椭圆的位置关系学生画图的很少，但利用代数方法研究的同学也没有得到结论.【解题过程】将直线与椭圆方程联立，根据判别式∆判断，123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切.【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切请你说说如何利用代数方法来进行直线和椭圆的位置关系的判断？直线与椭圆的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.直线与椭圆的位置关系的判定方法：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- （1）0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；（2）0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；（3）0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.【设计意图】以旧带新，学生易于理解.同类训练 已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，当m 为何值时，直线与椭圆相切？【知识点】直线与椭圆的位置关系【解题过程】解方程组2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，消去y ，整理得225210x mx m ++-=， 222420(1)2016m m m ∆=--=-，由0∆=得220160m -=，解得m =【思路点拨】用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法.探究二：计算椭圆的弦长●活动① 互动交流，形成结论例2. 已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=的右焦点2F ，与椭圆交于,A B 两点，求AB 的长.【提出问题】本题的解决需要什么条件？如何由题目所给的条件去求得？前面的学习中遇到过类似的问题吗？当时是怎么解决的，方法能不能拿来一用？【知识点】直线与椭圆相交【解题过程】由条件知2(1,0)F ，故直线AB 方程为：22y x =-.设1122(,),(,)A x y B x y . 联立方程组2222154y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：2350x x -=. 法一：由2350x x -=得：1250,3x x ==，从而54(0,2),(,)33A B -. ||AB ∴== 法二：由2350x x -=得：12125,03x x x x +==. 2||=AB x ∴==-. 【思路点拨】初学者常想到求直线和椭圆的交点，然后利用两点间距离公式求弦长，此种方法仅当直线方程和椭圆方程简单时，易得交点坐标，一般情况不采用此法.弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .【设计意图】由特殊到一般，让学生体会韦达定理的应用及解析几何中“设而不求，整体代入”的解题思路.同类训练 已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，求直线被椭圆截得最长弦所在直线方程.【知识点】直线与椭圆相交弦长公式.【解题过程】由题意2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩得225210x mx m ++-=， 由韦达定理得122122515m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴弦长l === 当0m =时，l， 此时直线方程为y x =. 【思维点拨】当直线与椭圆相交时，求弦长时，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，就可以直接利用弦长公式求得弦长.●活动② 强化提升，灵活应用例3. 已知椭圆2212x y += （1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过(2,1)A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；【知识点】直线与椭圆相交，曲线的方程.【解题过程】解：（1）设斜率为2的直线方程为2y x b =+.由22212y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x bx b ++-=， 由22(8)36(22)0b b ∆=-->，得33b -<<.设该弦的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12429x x b +=-，444393b -<-<. 设弦的中点坐标为(,)M x y ，则1249,294x x b x b x +==-=-， 代入2y x b =+，得4440()33x y x +=-<<为所求轨迹方程. （2）设l 与椭圆的交点为1122(,),(,)x y x y ，弦的中点为(,)x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减并整理得12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=.又12122,2x x x y y y +=+=121212122()4()=0,()20()x x x y y y y y x y x x ∴-+--+⋅=-① 由题意知1212()1()2y y y x x x --=--，代入①得1202y x y x -+⋅=-. 化简得222220x y x y +--=.∴所求轨迹方程为222220x y x y +--=（夹在椭圆内的部分）.【思路点拨】例3（2）解题方法叫做“点差法”，点差法充分体现了“设而不求”的数学思想.【答案】222220x y x y +--=.同类训练 已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程. 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 将(1)y k x =+代入5322=+y x ，消去y 整理得2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，， 则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， 由线段AB 中点的横坐标是12-， 得2122312312x x k k +=-=-+，解得k =，适合(1). 所以直线AB 的方程为10x +=，或10x ++=.【思维点拨】解决直线和圆锥曲线的相关问题时，韦达定理得应用十分广泛，此题干中涉及中点问题，自然联想到12x x +韦达定理结构.【答案】10x -+=，或10x +=.3.课堂总结知识梳理（1）直线与椭圆的位置关系0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.（2）弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .重难点归纳（1）用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法；（2）涉及弦中点的问题，常用点差法处理.（三）课后作业基础型 自主突破1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为（ ）A.(－233，233)B.(233，＋∞)∪(－∞，－233)C.(43，＋∞)D.(－∞，－43)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.【思路点拨】根据点与椭圆的位置关系建立不等式求解.【答案】B 2.点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为（ ）A.(±152，1)B.(152，±1)C.(152，1)D.(±152，±1)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴12PF F S ∆=12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D.【思路点拨】焦点三角形面积计算以12||F F 为底边.【答案】D3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）A.22B.33C.12D.13【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a ， ∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 2|＝2b 2a ，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ，即3b 2＝2a 2. 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33.【思路点拨】利用椭圆定义和几何关系解题.【答案】B4.如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.32B.12C.22D.3－1【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°，又∵△F 2AB 是等边三角形，∴∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.故选D.【思路点拨】利用圆的几何性质和椭圆离心率的定义. 【答案】D5.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_____________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12， ∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【思路点拨】中点弦问题灵活利用点差法. 【答案】x ＋2y －4＝0.6.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1、F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2. ∴原方程化为：x 24＋y 2b 2＝1， 将A (1，32)代入方程得b 2＝3.∴椭圆方程为：x 24＋y 23＝1，焦点坐标为(±1,0). 【思路点拨】把握椭圆的定义解题. 【答案】x 24＋y 23＝1；(±1,0). 能力型 师生共研7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)（ ） A.必在圆x 2＋y 2＝2上 B.必在圆x 2＋y 2＝2外 C.必在圆x 2＋y 2＝2内 D.以上三种情形都有可能 【知识点】椭圆的几何性质. 【解题过程】e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a2， a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34 ⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a2＝0⇒x 2＋32x －12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2. ∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C.【思路点拨】简化,,a b c 关系将方程具体化. 【答案】C8.如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则有A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF ＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－b c 代入上式得()1b b a c -=-，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －c a ＝1，即1e －e ＝1，解得e ＝－1±52，∵e>0，∴e ＝5－12.【思路点拨】利用椭圆几何性质解题. 【答案】e ＝5－12.探究型 多维突破9.已知过点A (－1,1)的直线l 与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B ，C ，当直线l 绕点A (－1,1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②，得(x 218－x 228)＋(y 214－y 224)＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③当x 1≠x 2时，③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0.∵x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1，∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.当x 1＝x 2时，∵点M (x ，y )是线段BC 中点， ∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式.综上所述，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0. 【思路点拨】弦中点问题灵活利用点差法解题. 【答案】x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.10.已知椭圆方程22123x y +=，试确定m 的范围，使椭圆上存在两个不同点关于直线4y x m =+对称.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设点1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上点，且关于直线4y x m =+对称,另设AB 中点坐标为00(,)M x y则22112222123123x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得1212121211023y y y y x x x x -++⋅=-+ 01212121203322AB y y y y y k x x x x x -+⇒⋅=-⇒⋅=--+ ① 1122(,),(,)A x y B x y 关于直线4y x m =+对称，14AB k ∴=-，代入①式得006y x = ②易知点00(,)M x y 必在直线4y x m =+上，004y x m ∴=+ ③ 联立②③解得(,3)2mM m AB 为椭圆的弦，∴中点M 必在椭圆内， 22()(3)2123m m ∴+<，m <<【思路点拨】注意利用弦的中点在椭圆内部建立不等关系解题.【答案】m <<自助餐1.已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为（ ）A.12B.33C.22D.32【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由已知得⎩⎨⎧2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n .解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝4.∴e ＝n －m n ＝22，故选C.【思路点拨】利用离心率的定义. 【答案】C2.AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是（ ）A.b 2B.bcC.abD.ac 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |， 当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .【思路点拨】椭圆几何性质把握图形中的几何关系. 【答案】B3.在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝（ ）A.34B.37C.38D.318 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ， 由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38.【思路点拨】注意转化为椭圆的定义. 【答案】C4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.8 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )， FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP→＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2 ＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP →取最大值.(OP →·FP →)max＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C. 【思路点拨】数量积问题坐标化处理. 【答案】C5.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. （1）求椭圆C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4， 又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得22(3)12525x x -+=，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65).【思路点拨】直线与椭圆相交注意利用韦达定理解题. 【答案】见上6.设12F F 、是椭圆:E 2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且22||,||,||AF AB BF 成等差数列. （1）求||AB ；（2）若直线l 的斜率为1，求b 得值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由椭圆定义知：22||||||4AF AB BF ++=， 又222||||||AB AF BF =+，得4||3AB =. （2）l 的方程为y x c =+，其中c =设1122(,),(,)A x y B x y ，则2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得222(1)2120b x cx b +++-=，则2121222212,11c b x x x x b b--+==++ 因为直线AB 的斜率为1，所以21|||AB x x =-，即214||3x x -.则224212122222284(1)4(12)8()49(1)(1)(1)b b b x x x x b b b --=+-=-=+++，解得b =【思路点拨】将弦长||AB 从两个不同角度考虑，建立等式解题. 【答案】见上。
2018版高中数学选修1-1学案：2-2-2 椭圆的几何性质二 精品
2．2.2椭圆的几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点P(1,2)与椭圆x24＋y2＝1的位置关系．思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？梳理设P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二直线与椭圆的位置关系思考1直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？梳理 直线与椭圆的三种位置关系知识点三 直线与椭圆的相交弦思考 若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理 弦长公式：(1)AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； (2)AB ＝ 1＋1k2|y 1－y 2| ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率)．其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到．类型一 直线与椭圆的位置关系命题角度1 直线与椭圆位置关系的判定例1 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．反思与感悟 判断直线与椭圆的位置关系的方法跟踪训练1 当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144. (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点； (3)有两个公共点．命题角度2 距离的最值问题例2 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．反思与感悟 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪训练2 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 引申探究在本例中，若设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4 直线y ＝b 与椭圆x 24＋y 2＝1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S .求在0<b <1的条件下，S 的最大值．1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是__________．2．过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A ，B 两点，则AB ＝________.3．椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为________．4．过点P (－1,1)的直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，则AB所在的直线方程为________________．5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝423，求直线l 的方程．1．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(1＋1k2)(y1－y2)2＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2(k为直线斜率)．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．2．解决椭圆中点弦问题的二种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．提醒：完成作业第2章§2.2 2.2.2(二)答案精析问题导学 知识点一思考1 当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外．思考2 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离． 思考2 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程．知识点三思考 有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得；另一种方法是利用弦长公式可求得． 题型探究例1 解 因为直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1上或其内部就能满足题意，所以⎩⎪⎨⎪⎧025＋12m ≤1，0<m <5，解得1≤m <5.跟踪训练1 解 由⎩⎪⎨⎪⎧9x 2＋16y 2＝144，y ＝x ＋m ，得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0， Δ＝(32m )2－100(16m 2－144) ＝576(－m 2＋25)．(1)由Δ<0，解得m <－5或m >5. (2)由Δ＝0，解得m ＝±5.(3)由Δ>0，解得－5<m <5.例2 解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m .代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 ⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4.显然y ＝32x －4距l 最近，此时最短距离为d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 跟踪训练2 解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3.∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，即P (－83，13)．例3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一 当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 所以直线l 的斜率存在． 设l 的斜率为k ，则其方程为 y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.此时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1.两式相减，得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1).由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12.于是直线AB 的方程为 y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.跟踪训练3 解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.① ∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a .∵直线x ＋y －1＝0的斜率为k ＝－1， 又AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1| ＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0，可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， ∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b .② 将b ＝2a 代入②式， 解得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，且直线AB 的斜率为k ＝－1.∴AB ＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b. ∵AB ＝22， ∴2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b＝22， ∴a ＋b －ab a ＋b＝1.① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b. ∵OC 的斜率为22， ∴y x ＝a b ＝22，将其代入①式， 得a ＝13，b ＝23. ∴所求椭圆的方程为x 23＋2y 23＝1. 例4 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ， 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝25 10－8m 2.所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x . 引申探究解 可求得O 到AB 的距离为d ＝|m |2. 又AB ＝2510－8m 2， ∴S △AOB ＝12AB ·d ＝12·2510－8m 2·|m |2＝25 (54－m 2)m 2 ≤25·(54－m 2)＋m 22＝14， 当且仅当54－m 2＝m 2时，上式取“＝”， 此时m ＝±104∈[－52，52]． 即△AOB 的面积的最大值为14. 此时直线方程为x －y ±104＝0. 跟踪训练4 解 设点A 的坐标为(x 1，b )，点B 的坐标为(x 2，b )． 由x 24＋b 2＝1，解得x 1,2＝±21－b 2， 所以S ＝12b ·|x 1－x 2|＝2b 1－b 2≤b 2＋1－b 2＝1. 当且仅当b ＝22时，S 取到最大值1. 当堂训练1．(1,3)∪(3，＋∞) 2.1 3.534．x －2y ＋3＝05．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0.由MN ＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， 所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，即k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.。
高中数学选修1-1优质学案2：2.1.2椭圆的简单几何性质第2课时
2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）学习目标：1. 掌握椭圆的方程及其性质．2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．预习提示：1.点与椭圆有几种位置关系？2．直线与椭圆有几种位置关系？3．我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？4．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？5．若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？例1、当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1相交、相切、相离？变式训练：已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.m为何值时，直线与椭圆有公共点？例2、已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度．变式训练：过点P(－1,1)的直线与椭圆x24＋y22＝1交于A，B两点，若直线的斜率为12，求弦长|AB|.例3、如图所示，已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程．变式训练：如果椭圆x236＋y29＝1的弦被点(4,2)平分，求这条弦所在的直线方程．例4、如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？变式训练：有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？当堂达标：1．下列在椭圆x24＋y22＝1内部的点为()A．(2，1)B．(－2，1) C．(2,1) D．(1,1)2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是()3．若直线y＝x＋6与椭圆x2＋y2m2＝1(m＞0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为()A．1 B. 5 C．2 D．2 54．直线2x－y－2＝0与椭圆x25＋y24＝1交于A、B两点，求弦长|AB|.[答案]1.【提示】三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．2．【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交． 3．【提示】 不能．4．【提示】 代数法——判断直线与椭圆公共点个数来确定．5．【提示】 方法一：求出两交点坐标，利用两点间距离公式求，如|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2方法二：利用根与系数的关系求|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. (其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线斜率)．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．例1、 【自主解答】 联立方程组得将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0 ③ Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝－5或m ＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．变式训练：【解】 把直线方程y ＝x ＋m 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝1，得4x 2＋(x ＋m )2＝1，即5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，则Δ＝(2m )2－4×5×(m 2－1)＝20－16m 2≥0，解得－52≤m ≤52. 例2、 【自主解答】 方法一：由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，例2、 【自主解答】 方法一：由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. 方法二：由已知得l 的方程y ＝12x ，由⎩⎨⎧y ＝12xx 236＋y 29＝1，例2、 【自主解答】 方法一：由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. 方法二：由已知得l 的方程y ＝12x ，由⎩⎨⎧y ＝12xx 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，解得x 1＝32，x 2＝－32， 于是y 1＝322，y 2＝－322， 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(62)2＋(32)2 ＝310，所以线段AB 的长度为310.变式训练：【解】 由已知条件可得直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋14·243＝303.,4)＋\f(y 2,2)＝1，)) 消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋14·243＝303.例3、 【自主解答】 法一 设通过点M (1,1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，则x 1＋x 22＝－18k(1－k)2(9k 2＋4)＝1，解得k ＝－49.故直线AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1，即4x ＋9y －13＝0.,4)＋\f(y 2,2)＝1，)) 消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋14·243＝303.例3、 【自主解答】 法一 设通过点M (1,1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.设A、B的横坐标分别为x1、x2，则x1＋x22＝－18k(1－k)2(9k2＋4)＝1，解得k＝－49.故直线AB的方程为y＝－49(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0.法二设A(x1，y1)．∵AB中点为M(1,1)，∴B点坐标是(2－x1,2－y1)．将A、B两点坐标代入方程4x2＋9y2＝36，得4x21＋9y21－36＝0，①4(2－x1)2＋9(2－y1)2＝36，化简为4x21＋9y21－16x1－36y1＋16＝0. ②,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得3x2＋6x＋1＝0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝1 3，|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋14·243＝303.例3、【自主解答】法一设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.设A、B的横坐标分别为x1、x2，则x1＋x22＝－18k(1－k)2(9k2＋4)＝1，解得k＝－49.故直线AB的方程为y＝－49(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0.法二设A(x1，y1)．∵AB中点为M(1,1)，∴B点坐标是(2－x1,2－y1)．将A、B两点坐标代入方程4x2＋9y2＝36，得4x21＋9y21－36＝0，①4(2－x1)2＋9(2－y1)2＝36，化简为4x21＋9y21－16x1－36y1＋16＝0. ②①－②得16x1＋36y1－52＝0，化简为4x1＋9y1－13＝0.同理可推出4(2－x1)＋9(2－y1)－13＝0.∵A(x1，y1)与B(2－x1,2－y1)都满足方程4x＋9y－13＝0.∴4x＋9y－13＝0即为所求．变式训练：【解】设弦的两端点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.又由得(x1＋x2)(x1－x2)36＋(y1＋y2)(y1－y2)9＝0.∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12.则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.又由⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)36＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0.∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12.所以弦所在的直线方程为 y －2＝－12(x －4)．则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.又由⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)36＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0.∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12.所以弦所在的直线方程为 y －2＝－12(x －4)．即x ＋2y －8＝0.例4、【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.因此隧道的拱宽约为33.3米．变式训练：【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴都对称．已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，则椭圆的方程为x2502＋y2302＝1.设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴都对称．已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，则椭圆的方程为x2502＋y2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A(x0，y0)，则有1＝x20502＋y20302≥2x20502·y20302＝2x0y01 500，当且仅当x20502＝y20302＝12，即x0＝252，y0＝152时，等号成立，设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴都对称．已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，则椭圆的方程为x2502＋y2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A(x0，y0)，则有1＝x20502＋y20302≥2x20502·y20302＝2x0y01 500，当且仅当x20502＝y20302＝12，即x0＝252，y0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD的面积S＝4x0y0取最大值3 000 m2.这时矩形的周长为4(x0＋y0)＝4(252＋152)＝160 2 (m). 当堂达标：1．[解析]点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x24＋y22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．当堂达标：1．[解析]点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x24＋y22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．[答案] D2．[解析]∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a＝2，b＝1，∴c＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．当堂达标：1．[解析]点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x24＋y22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．[答案] D2．[解析]∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a＝2，b＝1，∴c＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．[答案] A3．[解析]联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y＝x＋6，x2＋y2m2＝1，消去y得(1＋m2)x2＋26x＋6－m2＝0.当堂达标：1．[解析]点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x24＋y22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．[答案] D2．[解析]∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a＝2，b＝1，∴c＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．[答案] A3．[解析]联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y＝x＋6，x2＋y2m2＝1，消去y得(1＋m2)x2＋26x＋6－m2＝0.由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5或m2＝0(舍)．∴椭圆的长轴长为2 5.当堂达标：1．[解析]点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x24＋y22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．[答案] D2．[解析]∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a＝2，b＝1，∴c＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．[答案] A***************************** 3．[解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋6，x 2＋y 2m 2＝1，消去y 得(1＋m 2)x 2＋26x ＋6－m 2＝0. 由已知Δ＝24－4(1＋m 2)(6－m 2)＝0，解得m 2＝5或m 2＝0(舍)．∴椭圆的长轴长为2 5.[答案] D 4．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0， ∴|AB |＝1＋k 2AB ·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553.人教版高中数学选修1-1学案1111。
人教新课标版数学高二选修1-1导学案 2.1.2椭圆的简单几何性质(一)
2.1.2椭圆的简单几何性质(一)【教学目标】1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.1.2椭圆的简单几何性质(一)》课件“新课导入”部分，带着问题思考与互相交流，引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca叫椭圆的离心率．(2)对于x2a2＋y2b2＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)三、合作探究问题1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．问题2在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．问题3如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．探究点1由椭圆方程研究其简单几何性质例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca ＝74，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．探究点2 椭圆的几何性质的简单应用例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．解 依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形，∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|F A |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1. 反思与感悟 确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a ，b ，c 的等量关系，最后确定a 2与b 2的值即可确定其标准方程．探究点3 椭圆的离心率的求解例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．解 依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )．因为点B 为CF 1的中点，所以B (－c 2，kc 2)．因为点B 在椭圆上，所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1， 即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1， 所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2. 由|k |≤142，得k 2≤72， 即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72， 所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1， 所以12≤e 2<1，即22≤e <1. 反思与感悟 求e 的范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．四、当堂测试1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6答案 B解析 把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1， 知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10,2b ＝6，c a＝0.8. 2．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°答案 B解析 由椭圆的定义得|PF 2|＝2，因为|F 1F 2|＝29－2＝27， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12， 因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________．答案 x 225＋y 216＝1 解析 据题意a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4，又焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案 (0，±69)解析 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．(3)利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．(4)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。
2018版高中数学第二章椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用学案新人教A版
2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点)3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 点与椭圆的位置关系设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是________①点(－2,3)在椭圆外 ②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】 由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上. 【答案】 ④教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得一个一元二次方程.2.弦长公式设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 29＝1的内部.( )(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2＋y 22＝1相交.( )(4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√[小组合作型]圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个D.0个(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点.【答案】 A(2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1，消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2. 当Δ＝0时，得m ＝±52，直线与椭圆相切. 当Δ＞0时，得－52＜m ＜52，直线与椭圆相交.1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，Δ的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解.[再练一题]1.已知椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2.(1)判断直线y ＝x ＋3与椭圆的位置关系； (2)判断直线y ＝x ＋2与椭圆的位置关系；(3)在椭圆上找一点P ，使P 到直线y ＝x ＋2的距离最小，并求出这个最小距离. 【解】 (1)由⎩⎨⎧y ＝x ＋3，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋43x ＋4＝0，∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0， ∴直线y ＝x ＋3与椭圆相切. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋8x ＋6＝0.∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0， ∴直线y ＝x ＋2与椭圆相离.(3)由(1)、(2)知直线y ＝x ＋3与椭圆的切点P 满足条件，由(1)得P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33，最小距离d ＝|2－3|2＝2－62.已知椭圆36＋9＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.【导学号：97792018】【精彩点拨】 (1)设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解； (2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)法一：设l 的斜率为k ， 则其方程为y －2＝k (x －4).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ＞0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 1y 2＋y 1，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x (或y )的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.2.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.[再练一题]2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆的方程.【解】 ∵e ＝32，∴b 2＝14a 2. ∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2.与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)].∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 236＋y 29＝1.[探究共研型]探究一般思路是什么？【提示】 (1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围.(2)解决椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中的范围问题常用的关系有①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0＜e ＜1；③一元二次方程有解，则判别式Δ≥0.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值.【精彩点拨】 (2)中，设A ，B 坐标→OA →·OB →＝0→|AB |化为关于x 0的函数→求最值. 【自主解答】 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝x 20＋4－x 22＋－x 2x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等，解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.[再练一题]3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值. 【导学号：97792019】【解】 (1)由c a ＝63，a ＝3， 所以c ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由已知|m |1＋k2＝32， 所以m 2＝34(1＋k 2)，联立l ：y ＝kx ＋m 和x 23＋y 2＝1，消去y ，整理可得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k 2，所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝＋k2k 2＋1－m 2＋3k 22＝k 2＋k 2＋＋3k 22＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤4(k ≠0)， 当且仅当k ＝±33时取等号， 验证知k ＝±33满足题意， 显然k ＝0时，|AB |2＝3＜4.所以(S △AOB )max ＝12×2×32＝32.1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则该椭圆的焦点坐标是( )A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±5，0)D.(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1， ∴c ＝ 3.椭圆焦点坐标为(±3，0). 【答案】 A2.若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63B.－63 C.±63D.±33【解析】 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.【答案】 C3.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.m >1B.m >1且m ≠3C.m >3D.m >0且m ≠3【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3，得m <0或m >1且m ≠3， 又∵m >0，∴m >1且m ≠3. 【答案】 B4.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________.【解析】 设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y－4＝0.【答案】 x ＋2y －4＝05.如图214，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x 24＝1的下焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.【导学号：97792020】图214【解】 令点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)， ∵直线过点B (2,0)和点F (0，－2)， ∴直线l 的方程为y ＝x －2. 将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0， ∴x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝－43，∴|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝x 2－x 12＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫432－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝823.。
人教A版高中数学选修椭圆的简单几何性质学案第课时新
§2.1.1椭圆简单的几何性质(第 2课时)[自学目标]:掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题. [重点]: 椭圆的简单几何性质.[难点]:椭圆性质应用及直线和椭圆的位置关系．[教材助读]:(1)点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21。
（2）直线与椭圆的位置关系代数法：由直线方程与椭圆的方程联立消去y得到关于x的方程．(1)△ 0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；(2)△ 0 ⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；(3)△ 0 ⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．[预习自测]1．已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上2．点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2<a<2B．a<－2或a> 2 C．－2<a<2 D．－1<a<13．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．不确定与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：直线与椭圆位置关系的判定例1、当m 取何值直线l : y ＝x ＋m 与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离.探究二：直线与椭圆应用★例2、已知椭圆192522=+y x ，直线l ：04054=+-y x 。
椭圆上是否存在一点，它到直线距离最小？最小距离是多少？[当堂检测]1、直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．2、若直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2t ＝1恒有公共点，则t 的范围为__________．3、椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为( ) A.33 B.13 C.23 D.634、若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆2215x y m+=总有公共点，求m 的取值范围．[拓展提升]1、直线l 经过椭圆1422=+y x 的右焦点且倾斜角为045，则直线l 的方程是2、y=kx+1与椭圆2215x y m+=恰有公共点，则m 的范围（ ） A 、（0，1） B 、（0，5 ）C 、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）D 、（1，+ ∞ ）3.无论k 为何值,直线y=kx+2和曲线22194x y +=交点情况满足( ) A.没有公共点 B.一个公共点C.两个公共点D.有公共点4、椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为22，则m n 的值是________．★5、已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线:40l x y -+=的距离最小，并求出最小距离。
2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)
2.1.2椭圆的简单几何性质(二)[学习目标] 1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.知识点一点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.知识点二直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1.消去y得到一个关于x的一元二次方程.知识点三弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，∴|AB|＝(x1－x2)2＋(kx1－kx2)2＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝(1k y 1－1ky 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋1k 2(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得.题型一 直线与椭圆的位置关系例1 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离.解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 ⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 反思与感悟 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.跟踪训练1 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，即P (－83，13).题型二 直线与椭圆的相交弦问题例2 已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程.解 由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8，所以k ＝－12.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思与感悟 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练2 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率.解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0，且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形. 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.题型三 椭圆中的最值(或范围)问题例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练3 如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围. 解 ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3.(1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1).∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12，∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t . ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.求解椭圆中弦所在的直线方程例4 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程.分析 注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解. 解 方法一 由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为y ＝k (x －2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋1，x 216＋y 24＝1消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.因为点P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二 设所求直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).因为点P 为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法三 设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y ).因为弦中点为P (2,1)，所以另一个交点为B (4－x,2－y ).因为点A ，B 在椭圆上，所以x 2＋4y 2＝16，① (4－x )2＋4(2－y )2＝16，②从而A ，B 在方程①－②所形成的图形上， 即在直线x ＋2y －4＝0上. 又因为过A ，B 的直线只有1条， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.解后反思 解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数.1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.m >1B.m >1且m ≠3C.m >3D.m >0且m ≠3答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1⇒(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，∵Δ>0，∴m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.2.已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13B.33C.22D.12 答案 B解析 将方程化为标准形式x 2m 2＋y 2m 3＝1，因为m >0，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2－m 3＝m6，所以e ＝ca＝m 6m 2＝13＝33. 3.椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( ) A.53B.103C.203D.53 答案 A解析 易知△ABF 2的内切圆的半径r ＝12，根据椭圆的性质结合△ABF 2的特点，可得△ABF 2的面积S ＝12lr ＝12×2c ×|y 1－y 2|，其中l 为△ABF 2的周长，且l ＝4a ，代入数据解得|y 1－y 2|＝53.4.椭圆x 2＋4y 2＝36的弦被点A (4,2)平分，则此弦所在的直线方程为( ) A.x －2y ＝0 B.x ＋2y －4＝0 C.2x ＋3y －14＝0D.x ＋2y －8＝0答案 D解析 设以点A (4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵点A (4,2)为EF 中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，把E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)分别代入椭圆x 2＋4y 2＝36中，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36， ①x 22＋4y 22＝36， ②则①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴8(x 1－x 2)＋16(y 1－y 2)＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴以点A (4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y －2＝－12(x －4)，整理得，x ＋2y －8＝0.5.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________. 答案 0<e <22解析 设点M (x ，y )，∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2，点M 的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F 1F 2为圆的直径. 由题意知，椭圆上的点P 总在圆外， ∴|OP |>c 恒成立，由椭圆性质知|OP |≥b ，∴b >c ，∴a 2>2c 2， ∴(c a )2<12，∴0<e <22.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解.。
人教版高中选修(B版)1-12.1.2椭圆的几何性质教学设计 (2)
人教版高中选修(B版)1-12.1.2椭圆的几何性质教学设计一、教学目标1.了解椭圆的定义以及几何性质。
2.学会使用数学语言和符号来描述椭圆的性质。
3.学会使用几何工具来作椭圆的简单图形分析。
二、教学重点1.椭圆的定义。
2.椭圆的几何性质。
三、教学难点1.椭圆的离心率的概念与计算。
2.椭圆的半长轴与半短轴的计算。
四、课前准备1.翻阅有关椭圆的参考书籍或资料，准备好教学材料。
2.准备一些椭圆的简单实例，以便于后面的课中演示。
3.准备好椭圆的基本绘图工具并进行试用。
五、教学内容及方法1. 椭圆的定义1.讲师先向学生介绍椭圆的定义：椭圆的定义是一个平面上的点 F 与直线 l 上的两个不同的点 A、B 的轨迹，描述了平面上到定点 F 和到定直线 l 的距离之和为定值的点的集合。
2.讲师通过黑板或白板简单画出椭圆的形状，让学生了解椭圆的外貌特征。
3.引导学生思考椭圆的特点：椭圆是否对称？椭圆是否有中心？等等。
2. 椭圆的几何性质1.介绍椭圆的重要性质：椭圆的中心、主轴、焦点以及离心率等数值关系。
2.讲师通过绘制示意图向学生展示椭圆的基本性质，并让学生模仿绘制。
3.讲师通过讲解椭圆的几何性质和数学公式，让学生了解椭圆的各个必要条件和计算方法。
3. 椭圆的图形分析1.让学生分组完成椭圆图形的分析练习，并将所得结果在班级中进行分享。
2.引导学生寻找不同椭圆间的共性与差异性，并尝试运用椭圆性质的知识进行分析，并寻找合适的方法解决问题。
3.鼓励学生进一步深入，从实例出发，进一步探究椭圆相关的性质和规律，为后面的学习积累知识储备。
六、教学总结通过教学内容的讲解和学生的实践演练，使学生更加熟悉椭圆的定义及其几何性质，提高了学生的空间想象力和数学分析能力，也为学生在未来学习数学相关知识打下了基础。
同时，合理运用 PBL（基于问题的学习）和修辞性策略等教学方法，提高了学生的自主学习能力和创新能力。
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§2.1.2 椭圆的简单几何性质(2)
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．
一、课前准备
复习1：椭圆
22
1 1612
x y
+=的
焦点坐标是（）（）；
长轴长、短轴长；
离心率．
复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？
二、新课导学
※学习探究
问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？
※典型例题
例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝
位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个
焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，
已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，
求截口BAC 所在椭圆的方程．
变式：若图形的开口向上，则方程是什么？
小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ；
②注意焦点所在坐标轴．
例2 已知椭圆221259
x y +=，直线l ： 45400x y -+=。
椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？
变式：最大距离是多少？
※ 动手试试
练1.已知地球运行的轨道是长半轴长
81.5010a km =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．
练2.经过椭圆2212
x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．
三、总结提升
※ 学习小结
1.椭圆在生活中的运用；
2.椭圆与直线的位置关系：
相交、相切、相离（用∆判定）．
※ 知识拓展
直线与椭圆相交，得到弦，
弦长12l x -
=
其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．设P 是椭圆 2211612
x y +=，P 到两焦点的距离之差为，则12PF F ∆是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
2．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．
A. B. C. 2 D. 1
3．已知椭圆221169
x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）．
A. 95
B. 3
C. 94
D. 4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率
为 ．
5．椭圆2214520
x y +=的焦点分别是1F 和2F ，过原点O 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若2ABF ∆的面积是20，则直线AB 的方程式是 ．
1．求下列直线310250x y +-=与椭圆221254
x y +=的交点坐标．
2．若椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32 ①这组直线何时与椭圆相交？
②当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？。