求强连通分量的几种算法的实现与分析

求强连通分量的几种算法的实现与分析作者：陈燕,江克勤来源：《电脑知识与技术》2011年第09期摘要：有向图的强连通性是图论中的经典问题，有着很多重要的应用。

该文给出了求强连通分量的Kosaraju、Tarjan和Gabow三个算法的具体实现，并对算法的效率进行了分析。

关键词：强连通分量；深度优先搜索；Kosaraju算法；Tarjan算法；Gabow算法中图分类号：TP312文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)09-2140-03The Implementation and Analysis of Several Algorithms About Strongly Connected Components CHEN Yan1, JIANG Ke-qin2(1.Nanjing Health Inspection Bureau, Nanjing 210003, China; 2.School of Computer and Information, Anqing Teachers College, Anqing 246011, China)Abstract: Digraph of strong connectivity is the classic problems in graph theory, which arises in many important applications. In this paper, the detailed implementation of Kosaraju, Tarjan and Gabow algorithms is discussed for solving strongly connected components, and the efficiency of three algorithms is analyzed.Key words: strongly connected components; depth first search; Kosaraju; Tarjan; Gabow图的连通性是图论中的经典问题，所谓连通性，直观地讲，就是“连成一片”。

无向图的连通分量的计算比较容易实现，可以通过对该无向图进行深度优先搜索或广度优先搜索，得到其中的各个连通分量的顶点集。

但对有向图的强连通分量的计算，则比较麻烦，“离散数学”、“数据结构”等课程中也没有详述。

在一些ACM竞赛题中，往往最后是将问题转化为求有向图的强连通分量，另外在2-SAT问题[1]的求解中也用到强连通分量的计算。

强连通分量的计算通常有三种算法：Kosaraju算法、Tarjan算法和Gabow算法。

下面分别给出这三种算法的原理及其实现。

1 有向图的强连通分量及其计算1.1 有向图的强连通性设G为有向图，若G中存在一条以 u为起点 v为终点的有向路P，则称从 u到 v是可达的。

如果G的任何两个顶点都是相互可达的，则称图G是强连通的[2]。

所谓强连通分量（Strongly Connected Components），指的是图中的极大强连通子图。

如果有向图G中只有唯一一个强连通分量，那么G是强连通图。

若有向图G的强连通分量数大于1，则G为非强连通图。

图1的有向图G是非强连通图，它有三个强连通分量，如图2所示。

1.2 Kosaraju算法Kosaraju算法[3]是基于对有向图及其逆图进行两次深度优先搜索的算法。

首先从某个顶点出发沿以该顶点为尾的弧进行深度优先搜索遍历，并按其所有邻接点的搜索都完成（即退出DFS函数）的顺序将顶点排列起来，为此在退出DFS函数之前将完成搜索的顶点号记录在辅助数组finished中；接着从最后完成搜索的顶点（即最后存入finished数组的顶点）出发，沿着以该顶点为头的弧作逆向深度优先搜索遍历，若此次遍历不能访问到有向图中所有顶点，则从余下的顶点中最后完成搜索的那个顶点出发，继续作逆向深度优先搜索遍历，直至有向图中所有顶点都被访问到为止。

这样，每一次作逆向深度优先搜索遍历所访问到的顶点集就是有向图的一个强连通分量的顶点集。

为了方便进行两次正向和逆向的深度优先搜索，这里采用十字链表作为有向图的存储结构，建立有向图的算法参见“数据结构”教材[4]的算法7.3。

Kosaraju算法的实现如下（分别调用DFSTraverse1_1(G)和DFSTraverse1_2(G)）：void DFS1_1(OLGraph G,int i){visited[i]=TRUE; // 访问标志数组置1(已被访问)p=G.xlist[i].firstout; // p指向以i为弧尾的第一个顶点while(p){if(!visited[p->headvex]) // 该弧的头顶点未被访问DFS1_1(G,p->headvex);p=p->tlink; }finished[count++]=i;}void DFSTraverse1_1(OLGraph G) // 产生数组finished[]的值{ for(v=0;vvisited[v]=FALSE; // 访问标志数组置初值0(未被访问)for(v=0;vif(!visited[v]) DFS1_1(G,v);}void DFS1_2(OLGraph G,int i){visited[i]=TRUE; // 访问标志数组置1(已被访问)coutp=G.xlist[i].firstin; // p指向以i为弧头的第一个顶点while(p){if(!visited[p->tailvex]) // 该弧的尾顶点未被访问DFS1_2(G,p->tailvex);p=p->hlink; }}void DFSTraverse1_2(OLGraph G){ // 从finished[G.vexnum-1]中的顶点开始，逆向深度优先遍历有向图G int v,n=0;for(v=0;vvisited[v]=FALSE; // 访问标志数组置初值0(未被访问)for(v=G.vexnum-1;v>=0;v--) // 由finished[G.vexnum-1]至finished[0]，查找 if(!visited[finished[v]]){ coutDFS1_2(G,finished[v]); cout}1.3 Tarjan算法Tarjan算法[5]也是基于对有向图进行深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。

搜索时，把当前搜索树中未处理的顶点入栈Stack，回溯时再判断栈顶到栈中的顶点是否构成一个强连通分量。

为此定义两个数组DFN和LOW，DFN[u]记录顶点u搜索的次序编号（时间戳），LOW[u]记录u或u的子树能够追溯到的最早的栈中顶点的次序号。

Tarjan算法的实现如下（调用DFSTraverse2(G)）：int instack[MAX_VERTEX_NUM]; // 判断是否在栈Stack中的标志数组int index=0,top=0,n=0;void DFS2(OLGraph G,int i){ visited[i]=TRUE; // 访问标志数组置1(已被访问)DFN[i]=LOW[i]=++index;Stack[++top]=i; instack[i]=TRUE; // i在栈中p=G.xlist[i].firstout; // p指向以i为弧尾的第一个顶点while(p){if(!visited[p->headvex]) // 该弧的头顶点未被访问{ DFS2(G,p->headvex);if(LOW[p->headvex]LOW[i]=LOW[p->headvex];}else if(instack[p->headvex]&&DFN[p->headvex]LOW[i]=DFN[p->headvex]; // 若顶点p->headvex还在栈中，修改LOWp=p->tlink; }if(DFN[i]==LOW[i]) // 此时顶点i是强连通分量的根{coutdo { j=Stack[top--]; // 退栈的j为该强连通分量中的顶点instack[j]=FALSE; // j不在栈中cout}while(j!=i);cout}void DFSTraverse2(OLGraph G) // Tarjan算法{for(v=0;vvisited[v]=FALSE; // 访问标志数组置初值0(未被访问)for(v=0;vif(!visited[v]) DFS2(G,v);}1.4 Gabow算法Gabow算法是对Tarjan算法的改进，通过两个栈来维持一个不断增加的路径，其中一个栈用来存储路径上的顶点，另外一个栈用来存储边界，即不用LOW数组，增加辅助栈Stack2存储边界，数组DFN和instack及栈Stack的定义同Tarjan算法。

Gabow算法的实现如下（调用DFSTraverse3(G)）：void DFS3(OLGraph G,int i){ visited[i]=TRUE; // 访问标志数组置1(已被访问)DFN[i]=++index; Stack2[++top2]=i;Stack[++top]=i; instack[i]=TRUE; // i在栈Stack中p=G.xlist[i].firstout; // p指向以i为弧尾的第一个顶点while(p){if(!visited[p->headvex]) // 该弧的头顶点未被访问DFS3(G,p->headvex);else if(instack[p->headvex])// 若该点访问过，但还在栈Stack中未删除，则修改栈Stack2 { while(DFN[Stack2[top2]] >DFN[p->headvex]) top2--; }// 删除Stack2中构成环的顶点p=p->tlink; }if(i==Stack2[top2]) // 此时顶点i是强连通分量的根{top2--; coutdo { j=Stack[top--]; // 退栈的j为该强连通分量中的顶点instack[j]=FALSE; // j不在栈Stack中cout}while(j!=i);cout}void DFSTraverse3(OLGraph G) // Gabow算法{for(v=0;vvisited[v]=FALSE; // 访问标志数组置初值0(未被访问)for(v=0;vif(!visited[v]) DFS3(G,v);}2 结论为了统一，这里三个算法的实现都采用了十字链表作为有向图的存储表示，其实后两个算法用邻接表存储有向图即可。