高中数学《三角函数应用举例》

脚出发，沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年
春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从到
上升的高度是
米．
【解析】依题意得，∠ACB=90°.所以 sin∠ACB=sin30°= BC BC 1 .
AB 80 2
所以BC=40（米）. 【答案】40
15
3. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶 部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度 （精确到0.1m）
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如 图 所 示 ， 某 地 下 车 库 的 入 口 处 有 斜 坡 AB ， 其 坡 比
i=1∶1.5，则AB= 13 m.
C
22
1.（2010·宿迁中考）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走 了1000m，则他升高了（ A ）
A. 200 5m B. 500m C. 500 3m D. 1000m
北 东
A
60 0
C
B
【解析】∵∠A=60°,∴BC=AB×tanA=500×tan60°=500 3.
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利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三 角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
O
220000米 D
13
B
1.（2010·青海中考）如图，从热气球C上测定建筑物A、B 底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为 150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离
为（ C ）
A.150 3 米
B.180 3 米
C.200 3 米
D.220 3 米
14
2.（2011·株洲中考）如图，孔明同学背着一桶水，从山
16
练习
. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的 另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一 直线（精确到0.1m）
【解析】要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是
△BDE 的一个外角，
视线
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
视线
7
【例4】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高 楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数）.
仰角
B
水平线
αD Aβ
俯角
8
C
Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角 形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
30°
60°
11
【解析】如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,
AB=50m.设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
tan ADC AC , tan BDC BC ,
x
x
AC x tan 60, BC x tan 30.
x tan 60 x tan 30 50.
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【解析】作CF⊥AB于F，则
D A 30°
tan 30 CF , tan 60 CF
AF
BF
∴
AF CF 3CF, BF CF 3 CF
tan 30
tan 60 3
E B 60° F
C
∵ AF BF AB 4000
∴ 3CF 3 CF 4000
3
∴ CF 2000 3(m)
B的对边 斜边
b c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
ALeabharlann Baidu
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
3
【例3】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号 与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道 上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时， 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置? 最远点与P点的距离是多少? (地球半径约为6 400 km， π取3.142，结果取整数)？
2.（2010·达州中考）如图，一水库迎水坡AB的坡度 i 1: 3， 则该坡的坡角α=___3_0_°_.
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2.（2010·鄂州中考）如图，一艘舰艇在海面下500米A点 处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出， 继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角 为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣 子C点距离海面的深度（结果保留根号）．
Q cos a OQ 6400 0.9491
OF 6400 343
a 18.36o
∴弧PQ的长为
F PQ
α
O·
18.36 6400 18.36 3.142 6400 2051(km)
180
180
当组合体在P点正上方时，从组合体观测地球时的最远
点距离P点约2051km.
6
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角 叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，
在Rt△ACD中：
A
tan ADC AC DC
B
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2m
所以AB=AC－BC=55.2－ 答40：=棋15杆.2的m高度为15.2m.
54° 45° D 40m C
28.2.2 应用举例
第1课时
1
1、了解仰角、俯角的概念，能应用锐角三角函数的知识 解决有关实际问题；
2、培养学生分析问题、解决问题的能力.
2
A
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2 b
c
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
Ca
B
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
仰角
B
水平线
αD Aβ
俯角
C
9
【解析】如图，a = 30°,β= 60°，AD＝120．
tan a BD , tan CD
AD
AD
BD AD tan a 120 tan 30
B
120 3 40 3(m) 3
CD AD tan 120 tan 60
αD Aβ
120 3 120 3(m)
它沿正南方向航行一段时间后，到达
P
C
位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处， 这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多
34°
远？（结果取整数）
B
18
【解析】如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
65° A
≈72.505
P C
在Rt△BPC中，∠B＝34°
sin B PC
∴∠BED=∠ABD－∠D=90° cos BDE DE
BD DE COSBDE BD
AB 140°
C
E
cos 50 520 0.64 520 332.8m
50°
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
D
17
【例】如图，一艘海轮位于灯塔P的北
偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处， 65° A
4
【分析】从组合体上能直接看到的地球表面最远的点， 应是视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线， 切点Q是从飞船观测地球时的最远点．弧PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ
（即a）.
F
P Q
α O·
5
【解析】在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
34°
PB
PB PC 72.505 130海里
sin B sin 34
B
答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离
灯塔P大约130海里．
19
1.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群 由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船
27
不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
北
A 60°
B
D
20
坡度(坡比)、坡角： (1)坡度也叫坡比，用i表示. 即i=h/l，h是坡面的铅直高度， l为对应水平宽度，如图所示 (2)坡角：坡面与水平面的夹角. (3)坡度与坡角(若用α表示)的关系：i=tanα. 方向角：指南或北方向线与目标方向线所成的小于90° 的角，叫方向角.
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277(m)
C
答：这栋楼高约为277m.
10
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰 角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°, 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 要解决这问题,我们仍需将其数学化.
∴海底黑匣子C点距离海面的深度 为(500 2000 3)m
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1.（2011·成都中考）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务
的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在
我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至
达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰
行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)
x
50
50 25 3 43m.
tan 60 tan 30 3 3
3
答:该塔约有43m高.
30°
A 50
D 6┌0° BC
m 12
P α β
归纳与提高
P
450 O P
O
45° B
30° A
C
30°60° A
45°45°220000米 B
30° B
450
45°
O
A
P 4455°° 3300°°