第11章 特殊图

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例11.2.2
用 Fleury 算法 求欧拉 图的一条欧拉回路。
v1 e8 v8 e1 v2 e2 v3 e3 v4
分 析 求 从 v1 出 发 ， 按 照 Fleury 算法，每次走一条边， 在可能的情况下，不走桥。 例如，在得到
11.0 内容提要
1. 几个特殊图的概念：欧拉图、哈密顿图、偶图、 平面图；
2. 欧拉图、哈密顿图、偶图、平面图的判定； 3. 偶图的匹配、图的着色； 4. 欧拉图、哈密顿图、偶图、平面图的应用
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10.1 本章学习要求
重点掌握 一般掌握 了解
b2 b2
Cb6
b1
b5
b5 b6 D
C b3
b3 b4
D
b b47
b7
B
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定义11.2.1
设 G是无孤立结点的图，若存在一条通路 (回路 )， 经过图中每边一次且仅一次，则称此通路(回路)为 该 图 的 一 条 欧 拉 通 路 ( 回 路 )(Eulerian Entry/Circuit) 。具有欧拉回路的图称为欧拉图 (Eulerian Graph)。 规定：平凡图为欧拉图。
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若端点 vi0 ≠ vim ，设 vi0 、vim 在通路中作为非端点 分别出现p1和p2次，则
deg( vi0 )= 2p1+1，deg( vim ) = 2p2+1 因而G有两个度数为奇数的结点。 若端点 vi0 = vi，设在通路中作为非端点出现 p3次， m 则 deg( vi0 )= 1+2p3+1 = 2(p3+1)
P12 = v1e1v2e2v3e3v4e4v5e5v6e6v7e7v8e9v2e10v4e11v6e12v8e8v1
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11.2.3 欧拉图的难点
1. 仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图；
2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路图的判定非 常简单，只需要数一下图中结点的度数即可； 3. 使用 Fleury 算法求欧拉通路 ( 回路 ) 时，每次走 一条边，在可能的情况下，不走桥。
由定理11.2.1的证明知：若连通的无向图有两 个奇度数结点，则它们是 G中每条欧拉通路的端点。
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结论
推论 11.2.1 无向图 G = <V, E> 具有一条欧拉回路， 当且仅当 G 是连通的，并且所有结点的度数均为偶 数。
对欧拉通路 L的任意非端点的结点 vik ，在 L中每出 现 vik 一次，都关联两条边 ejk和 ejk 1，而当 vik 重复 出现时，它又关联另外的两条边，由于在通路 L 中 边不可能重复出现，因而每出现一次都将使获得 2 度。若在L中重复出现p次，则deg(vik )= 2p。
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Fleury算法
算 法 11.2.1 求 欧 拉 图 G = <V, E> 的 欧 拉 回 路 的 Fleury算法： （1）任取v0∈V，令P0 = v0，i = 0； （2）按下面的方法从E-{e1, e2, …, ei}中选取ei+1： a. ei+1与vi相关联； b. 除非无别的边可选取，否则 ei+1 不应该为 G’ = G-{e1, e2, …, ei}中的桥； （ 3 ） 将 边 ei+1 加 入 通 路 P0 中 ， 令 P0 = v0e1v1e2…eiviei+1vi+1，i = i+1； （4）如果i = |E|，结束，否则转(2)。
分析 只要找到了，就是存在的。我们具体找一条 欧拉通路。对于结点的度数，我们在通路中去计算。
证明 若G 为平凡图，则定理显然成立。故我们下 面讨论的均为非平凡图。
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必要性：
设G具有一条欧拉通路L = vi0 ej1 vi1ej2 ...vim -1ejm vim ， 则L经过G中的每条边，由于G中无孤立结点，因而L 经过G的所有结点，所以G是连通的。
P7 = v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v5 e5 v6 e6 v7 e7 v8
e9
e10
时 ， G’ = G-{e1, e2, …, e12 e11 e7 e4 e7} 中的 e8 是桥，因此下一步 v7 e6 v6 e5 v5 选择走e9，而不要走e8。 解 从v1出发的一条欧拉回路为：
v2 (c) v1
v3 v4
欧 拉 图
v2 (d)
v3v2 (e)源自v3v2 (f)v3
不 存 在 欧 拉 通 路
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不是欧拉图，但存在欧拉通路
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11.2.2 欧拉图的判定
定理11.2.1 无向图G = <V, E>具有一条欧拉通路， 当且仅当 G 是连通的，且仅有零个或两个奇度数结 点。
置可用二进制信号表示。试问如何选取鼓轮 16 个部分的材
料才能使鼓轮每转过一个部分得到一个不同的二进制信号， 即每转一周，能得到0000到1111的16个数。
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问题的等价描述与解决方法
问题的等价描述：把 16个二进制数排成一个圆
2016/3/19 110-12
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因为原来的图是连通的，因此，这个子图必与我们 已经过的通路在一个或多个结点相接。从这些结点 中的一个开始，我们再通过边构造通路，因为结点 的度数全是偶数，因此，这条通路一定最终回到起 点。我们将这条回路加到已构造好的通路中间组合 成一条通路。如有必要，这一过程重复下去，直到 我们得到一条通过图中所有边的通路，即欧拉通路。
1 1 各个特殊图 相关基本概念 2 各个特殊图 的性质 3 各个特殊图 的判定方法
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2 1 哈密顿图、
3
平面图的判断
2 证明方法
1 各个特殊图 的应用 2 图的着色
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11.2 欧拉图
11.2.1 欧拉图的引入与定义
A
A
b1
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例11.2.1
判断下面的 6 个图中，是否是欧拉图？是否存在欧 不存在欧 不是欧拉图，但 拉通路 拉通路？ 存在欧拉通路 欧拉图
v1 v4 v1 v4 v1 v4
v2 (a) v1
v3 v4
v2 (b) v1
v3 v4
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3、计算机鼓轮设计
假设一个旋转鼓的表面被等 分为 24 个部分，如图所示，其中 每一部分分别由导体或绝缘体构 成，图中阴影部分表示导体，空 白部分表示绝缘体，导体部分给 出信号 1 ，绝缘体部分给出信号 0 。 根据鼓轮转动时所处的位置， 四个触头 A 、B 、C 、 D 将获得一定的信息。因此，鼓轮的位
圈，使得四个依次相连的数字所组成的 16个四位二
A(甲) C
解 图中仅有两个度数为奇数的结点 B 、 C ，因而存在 从 B 到 C 的欧拉通路，蚂蚁乙走到 C 只要走一条欧拉通 路，边数为9条，而蚂蚁甲要想走完所有的边到达C， 至少要先走一条边到达 B ，再走一条欧拉通路，因而 它至少要走10条边才能到达C，所以乙必胜。
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11.2.4 欧拉图的应用
1、一笔画问题
所谓“一笔画问题”就是画一个图形，笔不离 纸，每条边只画一次而不许重复，画完该图。 “一笔画问题”本质上就是一个无向图是否存 在欧拉通路(回路)的问题。如果该图为欧拉图，则 能够一笔画完该图，并且笔又回到出发点；如果该 图只存在欧拉通路，则能够一笔画完该图，但笔回 不到出发点；如果该图中不存在欧拉通路，则不能 一笔画完该图。
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例11.2.3
图中的三个图能否一笔画？为什么？
v1 v2 v3 (a) v4 v5 v2 v3 (b) v4 v
1
v1 v5 v2 (c)
v4
v3
解 因为图(a)和(b)中分别有0个和2个奇度数结点， 所以它们分别是欧拉图和存在欧拉通路，因此能够 一笔画，并且在(a)中笔能回到出发点，而(b)中笔 不能回到出发点。图 c中有 4个度数为 3 的结点，所 以不存在欧拉通路，因此不能一笔画。
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欧拉通路与欧拉回路判别准则
对任意给定的无向连通图，只需通过对图中各 结点度数的计算，就可知它是否存在欧拉通路及欧 拉回路，从而知道它是否为欧拉图；对任意给定的 有向连通图，只需通过对图中各结点出度与入度的 计算，就可知它是否存在欧拉通路及欧拉回路，从 而知道它是否为欧拉图。