最新-甘肃省河西五市部分2018届高三第一次联考理科数学试题及答案 精品
(完整版)2018高考1卷理科数学试题及答案word版,推荐文档
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
在平面四边形 ABCD 中，∠ADC 90 ，∠A 45 ， AB 2 ， BD 5 ． ⑴求 cos∠ADB ；
则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
1 / 13
4．记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和．若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a3 （ ）
则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． 2 17
B． 2 5
C． 3
D．2
8．设抛物线 C：y2 4x 的焦点为 F ，过点 2 ，0且斜率为 2 的直线与 C 交于 M ， N 两点，则
3 FM FN （ ）
A．5
B．6
C．7
A． 3 2
B．3
C． 2 3
D．4
12．已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面
2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)
9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的 的值是（）
A. B. C. D.
10.设 ：实数 ， 满足 ； ：实数 ， 满足 ，则 是 的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要的条件
11.已知圆 和点 ，若圆 上存在两点 ， ，使得 ，则实数 的取值范围为（）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
直线与都连位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
利用验我研究务能的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
【答案】
此题暂无答案
2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 ，集合 ，集合 ，则 （）
A. B. C. D.
2.已知复数 （ 是虚数单位），则下列说法正确的是（）
A.复数 的虚部为 B.复数 的实部为
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设过点 的直线 交曲线 于 ， 两点，过点 的直线 交曲线 于 ， 两点，且 ，垂足为 （ ， ， ， 为不同的四个点）．
①设 ，证明： ；
②求四边形 的面积的最小值
21.已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
（1）证明：当 时，① ，② ；
（2）证明：对任意 ， ，有 ．
2018届高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U=R ，集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|x ﹣1≥0}，那么A ∩∁U B=（ ） A ．{x|0＜x ＜1} B ．{x|x ＜0} C ．{x|x ＞2} D ．{x|1＜x ＜2}2．已知复数，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a+bi|=（ ）A ．﹣1﹣3iB ．C ．10D ．3．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为（ ） A ．∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 B ．∀c ≤0，方程x 2﹣x+c=0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 D ．∃c ＜0，方程x 2﹣x+c=0有解4．函数的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．等比数列{a n }中，a 3=9，前3项和为，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．C ．1或D ．﹣1或6．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A．[0，2）B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]7．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．已知函数y=a x，y=x b，y=logcx的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．如图在直角梯形ABCD中AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则=（）A．B．C． D．10．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函数f（x）最小值为C．函数f（x）在（0，）内是减函数D．是函数f（x）的一个周期12．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（）①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=．A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．函数f（x）=的定义域为．14．（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．15．若实数x，y满足约束条件，且z=x+2y有最大值8，则实数k= ．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣π，π）时，求函数g（x）的值域．18．已知数列{an }是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求bn取得最小值时n的值．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a=2，AC边上的垂直平分线交边AB于点D且△DBC的面积为，求边c 的值．20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁B=（）UA．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，B={x|x＜1}，∴∁UB）={x|0＜x＜1}．则A∩（∁U故选：A．2．已知复数，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．﹣1﹣3i B．C．10 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴由，得﹣a﹣2i=1+bi，∴，则a=﹣1，b=﹣2．∴|a+bi|=|﹣2﹣i|=．故选：B．3．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解． 故选：A ．4．函数的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，再由函数图象经过点（，2），代入解析式Φ的值．【解答】解：由函数的图象可知，周期T=，可得T=π，∴ω=2函数图象经过点（，2），可得2=2sin （2×+Φ），∵Φ＜，∴Φ=．故选B ．5．等比数列{a n }中，a 3=9，前3项和为，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．C ．1或D ．﹣1或 【考点】等比数列的通项公式；定积分．【分析】=3×=17=，a 3=9=，联立解出即可得出．【解答】解： =3×=27=，a=9=，3解得q=1或﹣．故选：C．6．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．7．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的垂直求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．【解答】解：向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，∴x﹣3=0，解得x=，∴﹣=（，1）﹣（，﹣3）=（0，4），∴|﹣|=4，||=2，（﹣）•=4，设向量﹣与的夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°．故选：B．8．已知函数y=a x，y=x b，y=logcx的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，用特殊值即可判断a、b、c的大小．【解答】解：根据函数的图象知，函数y=a x是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b是幂函数，且x=2时，y=2b∈（1，2），∴b∈（0，1）；函数y=logc x是对数函数，且x=2时，y=logc2∈（0，1），∴c＞2；综上，a、b、c的大小是c＞a＞b．故选：C．9．如图在直角梯形ABCD中AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则=（）A．B．C． D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】如图所示，利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得【解答】解：如图所示：=+， =， =﹣， =+， =，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选：C10．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】对进行化简，转化为a（x1+x2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：不妨设x2＞x1≥2，====a（x1+x2）﹣1，∵对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，＞0恒成立，∴x2＞x1≥2时，a（x1+x2）﹣1＞0，即a＞恒成立∵x2＞x1≥2∴∴a，即a的取值范围为[，+∞）故本题选D11．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函数f（x）最小值为C．函数f（x）在（0，）内是减函数D．是函数f（x）的一个周期【考点】三角函数的化简求值．【分析】将函数化成只有一个函数名，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数f（x）=cos4x+sin2x=（1﹣sin2x）2+sin2x=sin4x﹣sin2x+1=（sin2x﹣）+．∵f（﹣x）=[（﹣sinx）2﹣]+=f（x），∴f（x）是偶函数．∴A选项对．当sin2x=时，函数f（x）取得最小值为．∴B选项对．当x=和时，f（x）的值相等，函数f（x）在（0，）不是单调函数，．∴C 选项不对．由f（x）的解析式可得，是函数f（x）的一个周期．．∴D选项对．故选：C12．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（）①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=．A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】分段函数的应用．【分析】容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．【解答】解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．函数f（x）=的定义域为（0，）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则∵∴log2x＞1或log2x＜﹣1解得：x＞2或x所以不等式的解集为：0＜x或x＞2则函数的定义域是（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．14．（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．15．若实数x，y满足约束条件，且z=x+2y有最大值8，则实数k= ﹣4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，∵z=x+2y有最大值8，∴平面区域在直线x+2y=8的下方，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大为x+2y=8，由，得，即B（0，4），同时B也在2x﹣y=k上，∴﹣y=4，解得k=﹣4，故答案为：﹣416．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第24 天，两马相逢．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an }，其中a1=193，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn }，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=193m++97m+=290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣1200≥0，解得m≥，取m=24．故答案为：24．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣π，π）时，求函数g（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简函数，利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递增区间；（2）求出g（x）=sin（+），即可求出当x∈（﹣π，π）时，函数g（x）的值域．【解答】解：（1）=sin2ωx+cosωx=sin（2ωx+）…最小正周期为4π，∴=4π，∴ω=，∴f（x）=sin（+），由…得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z…（2）由（1）知f（x）=sin（2ωx+），将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（+）…∵，∴…10分∴函数g（x）的值域为…18．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求bn取得最小值时n的值．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn+1﹣bn=an，利用累加法求得bn，结合二次函数求得bn取得最小值时n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知d=2，再由bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴an=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（Ⅱ）bn+1﹣bn=2n﹣10，∴b2﹣b1=2×1﹣10，b3﹣b2=2×2﹣10，…bn﹣bn﹣1=2（n﹣1）﹣10（n≥2），累加得：bn=b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+=．∴当n=5或6时，bn取得最小值为b5=b6=﹣30．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a=2，AC边上的垂直平分线交边AB于点D且△DBC的面积为，求边c 的值．【考点】余弦定理；三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】（I）利用正弦定理、和差公式即可得出．（II）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，…∴，…∴3sinBcosC+sinBsinC=3sinBcosC+3sinCcosB，∴，∵sinC≠0．∴，即，∴．…（Ⅱ）由，∴BD=1，…∴在△DBC中，，…∴，∴．…20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．21．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在处取得．【解答】解：由题意可知f'（x）=e x（x2+2x﹣a）．（Ⅰ）因为a=1，则f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．即x+y+1=0．（Ⅱ）因为函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，所以当x∈（﹣3，0）时，f'（x）=e x（x2+2x﹣a）≤0恒成立．即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．显然，当x∈（﹣3，﹣1）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递减，当x∈（﹣1，0）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递增．所以要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（Ⅲ）设g（x）=x2+2x﹣a，则△=4+4a．①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）单增，所以函数f（x）没有最小值．②当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，令f'（x）=e x（x2+2x﹣a）=0得x2+2x﹣a=0，解得当x∈时，．所以．所以f（x）=e x（x2﹣a）＞0．又因为函数f（x）的最小值为﹣2e＜0，所以函数f（x）的最小值只能在处取得．所以．所以．易得．解得a=3．以下证明解的唯一性，仅供参考：设因为a＞0，所以，．设，则．设h（x）=﹣xe x，则h'（x）=﹣e x（x+1）．当x＞0时，h'（x）＜0，从而易知g（a）为减函数．当a∈（0，3），g（a）＞0；当a∈（3，+∞），g（a）＜0．所以方程只有唯一解a=3．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1： +y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
2018年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷(理科)
2018年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1. 设全集U=R，A={x|x2−2x>0}，B={x|y=√x−1}，则A∪∁U B=()A.(2, +∞)B.(−∞, 0)∪(2, +∞)C.(−∞, 1)∪(2, +∞)D.(−∞, 0)【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出A={x|x<0, 或x>2}，B={x|x≥1}，然后进行并集、补集的运算即可．【解答】A={x|x<0, 或x>2}，B={x|x≥1}；∴∁U B={x|x<1}；∴A∪∁UB={x|x<1, 或x>2}=(−∞, 1)∪(2, +∞)．2. 已知复数z=31−2i（i是虚数单位），则z=()A.3 5+65i B.35−65i C.15−25i D.15+25i【答案】B【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案案．【解答】∵z=31−2i =3(1+2i)(1−2i)(1+2i)=35+65i，∴z=35−65i，3. 已知向量m→=(λ+1,1),n→=(λ+2,2)，若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则λ＝（）A.−4B.−3C.−2D.−1【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】直接利用向量的数量积化简求解即可．【解答】m→+n→=(2λ+3,3),m→−n→=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3＝0，∴λ＝−3．4. 下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B.“x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件C.命题“∃x>0，使得x2+x+1<0”的否定是：“∀x>0,均有x2+x+1≥0”D.命题“若x>y，则sinx>siny”的逆否命题为真命题【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定【解析】此题主要考查命题的否定以及必要条件、充要条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点.【解答】解：对于A：因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=−1⇒x2−5x−6=0，应为充分条件，故错误．对于D：因为逆否命题为若sinx≤siny，则x≤y,故错误．由排除法得到C正确．故选C．5. 如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S＝−12，则输出的S的值为（）A.4B.5C.8D.9【答案】C【考点】程序框图【解析】关键框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件S≤n，跳出循环，确定输出S的值【解答】由程序框图知：第一次循环S＝−12+2＝−10，n＝2；第二次循环S＝−10+4＝−6，n＝3；第三次循环S＝−6+6＝0，n＝4；第四次循环S＝0+8＝8，n＝5．不满足条件S≤n，跳出循环，输出S＝8．6. 某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A.60B.90C.150D.120【答案】B【考点】计数原理的应用【解析】先分组5个尖子生分为(2, 2, 1)，再分配即可．【解答】5个尖子生分为(2, 2, 1)，故其分组的方法有C52C32C11A22=15种，再分配给3名教师，共有15A33=90种，7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.163π B.112π C.173π D.356π【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】判断三视图对应的解得组合体的形状，利用三视图数据求解几何体的体积即可．【解答】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此V=23πr3=16π3，8. 若(x+1x +1)n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0, π]和[0, n4]内任取两个实数x，y，满足y>sinx的概率为（）A.1−1πB.1−2πC.1−3πD.12【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可【解答】由题意知，令x=1，得到3n=81，解得n=4，∴0≤x≤π，0≤y≤1．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S=π×1=π，满足y≥sinx的点构成区域的面积为：S=∫πsinxdx=−cosx|0π=−cosπ+cos0=2，则满足y>sinx的概率为P=1−2π．故选：B．9. 已知函数f(x)=2√3sin(ωx2−π8)cos(ωx2−π8)(ω>0)的部分图象如图所示，△EFG是正三角形，为了得到g(x)=√3sin(ωx+π4)的图象，只需将f(x)的图象（）A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=2√3sin(ωx2−π8)cos(ωx2−π8)=√3sin(ωx−π4)，由△EFG是正三角形可知|FG|=T2=2，即T=4，得ω=π2．所以f(x)=√3sin(π2x−π4)=√3sin[π2(x−1)+π4]．又g(x)=√3sin(π2x+π4)，故只需将f(x)的图象向左平移1个单位长度，即可得到g(x)的图象．故选C．10. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P−ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A.8πB.12πC.20πD.24π【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】由题意，PC为球O的直径，PC=√4+16=2√5，∴球O的半径为√5，∴球O的表面积为4π⋅5=20π，11. 直线y=2b与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右两支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A.√53B.√52C.√193D.√192【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】根据图形对称性即可求出∠AOC=60∘，求出C点坐标即可得出a，b的关系，从而得出双曲线的离心率．【解答】设直线y=2b与y轴交于D点，由对称性可知∠BOD=∠COD，又∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=2∠COD，又∠AOC+∠COD=90∘，∴∠AOC=60∘，把y=2b代入x2a2−y2b2=1可得x=±√5a，即C(√5a, 2b)，∴√5a =tan60∘=√3，即b2=15a24，∴e=√a2+b2a =√192．12. 已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+2)=f(x)，当−1≤x<1时，f(x)=sinπ2x，若函数g(x)=f(x)−log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A.(0, 15]∪(5, +∞) B.(0, 15)∪[5, +∞) C.(17, 15]∪(5, 7) D.(17, 15)∪[5, 7)【答案】 A【考点】函数零点的判定定理 【解析】分a >1与0<a <1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可． 【解答】当a >1时，作函数f(x)与函数y =log a |x|的图象如下，，结合图象可知， {log a |−5|<1log a |5|<1， 故a >5；当0<a <1时，作函数f(x)与函数y =log a |x|的图象如下，，结合图象可知， {log a |−5|≥−1log a |5|≥−1 ， 故0<a ≤15．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．asinBcosC +csinBcosA =12b 且a >b ，则∠B =________． 【答案】 30∘【考点】两角和与差的三角函数 正弦定理 【解析】利用正弦定理化简已知等式，整理后求出sinB 的值，由a 大于b 得到A 大于B ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 【解答】利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC +sinCsinBcosA =12sinB ， ∵ sinB ≠0，∴ sinAcosC +cosAsinC =sin(A +C)=sinB =12，∵ a >b ，∴ ∠A >∠B ， ∴ ∠B =30∘．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________． 【答案】 甲【考点】进行简单的合情推理 【解析】利用反证法，即可得出结论． 【解答】假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；已知点P(x, y)满足{x +y ≤7y ≥x x ≥2 ，过点P 的直线与圆x 2+y 2=50相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为________． 【答案】 2√21 【考点】 简单线性规划直线与圆的位置关系 【解析】由约束条件作出可行域，求出可行域内到原点距离最远的点，然后结合弦心距、圆的半径及弦长间的关系得答案． 【解答】由约束条件{x +y ≤7y ≥xx ≥2 作出可行域如图，联立{x =2x +y =7，解得A(2, 5)． 由图可知，可行域内的点中，A 1 到原点的距离最大，为√29， ∴ |AB|的最小值为2√50−29=2√21．设函数f(x)=32x 2−2ax(a >0)与g(x)=a 2lnx +b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为________． 【答案】12e 2【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设公共点坐标为(x 0, y 0)，求出两个函数的导数，利用f ′(x 0)=g ′(x 0)，推出b =32x 02−2ax 0−a 2lnx 0，然后构造函数，利用导函数单调性求解函数的最值即可．【解答】设公共点坐标为(x 0, y 0)，则f ′(x)=3x −2a,g ′(x)=a 2x，所以有f ′(x 0)=g ′(x 0)，即3x 0−2a =a 2x 0，解出x 0=a （x 0=−a3舍去），又y 0=f(x 0)=g(x 0)，所以有32x 02−2ax 0=a 2lnx 0+b ， 故b =32x 02−2ax 0−a 2lnx 0， 所以有b =−12a 2−a 2lna ，对b 求导有b ′=−2a(1+lna)， 故b 关于a 的函数在(0,1e )为增函数，在(1e ,+∞)为减函数， 所以当a =1e 时b 有最大值12e 2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设数列{a n }的前n 项和S n =2a n −a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列{1a n}的前n 项和T n ，求得|T n −1|<11000成立的n 的最小值．【答案】由已知S n=2a n−a1，有a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1(n>1)，即a n=2a n−1(n>1)．从而a2=2a1，a3=4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1)．∴a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n；由（1）得1a n =12n．∴T n=12+122+123+⋯+12n=12[1−(12)n]1−12=1−12n．由|T n−1|<11000，得|1−12n−1|<11000，即2n>1000．∵29=512<1000<1024=210，∴n≥10．于是，使|T n−1|<11000成立的n的最小值为10．【考点】数列的求和【解析】（1）由已知S n=2a n−a1，有a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1(n>1)，得到a n=2a n−1(n>1)．结合a1，a2+1，a3成等差数列列式求得a1=2．再由等比数列的通项公式求数列{a n}的通项公式；（2）由（1）得1a n =12n．利用等比数列的前n项和求得T n，代入|T n−1|<11000，去绝对值后求解指数不等式得答案．【解答】由已知S n=2a n−a1，有a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1(n>1)，即a n=2a n−1(n>1)．从而a2=2a1，a3=4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1)．∴a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n；由（1）得1a n =12n．∴T n=12+122+123+⋯+12n=12[1−(12)n]1−12=1−12n．由|T n−1|<11000，得|1−12n−1|<11000，即2n>1000．∵29=512<1000<1024=210，∴n≥10．于是，使|T n−1|<11000成立的n的最小值为10．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．(Ⅰ)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；(Ⅱ)现从体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，体育成绩在[60, 70)的学生人数X的分布列及数学期望．【答案】(Ⅰ)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为：1000×3040=750人．….. (Ⅱ)体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中各有学生人数为2人和3人，现从体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中随机抽取2人，由题意X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C32C52=310，P(X=1)=C21C31C52=35，P(X=2)=C22C52=110，X的分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．…．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．(Ⅱ)由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】(Ⅰ)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为：1000×3040=750人．…..(Ⅱ)体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中各有学生人数为2人和3人， 现从体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中随机抽取2人， 由题意X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 32C 52=310，P(X =1)=C 21C31C 52=35，P(X =2)=C 22C 52=110，X 的分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．…．如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中，AC =2，CE =1，平面ABC ⊥平面ACEF ． (1)在EF 上找一点M ，使BM ⊥AC ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，求平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角余弦值．【答案】解：(1)M 为线段EF 的中点，理由如下： 分别取AC ，EF 的中点O ，M ，连接OM ， 在等边三角形ABC 中，AC ⊥BO ，又OM 为矩形ACEF 的中位线，AC ⊥OM ， 而OM ∩OB =O ， ∴ AC ⊥平面BOM ， ∴ BM ⊥AC ；(2)由(1)知OA ，OB ，OM 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系O −xyz ，AC =2，CE =1，三角形ABC 为等边三角形，O(0,0,0),B(0,√3,0),C(−1,0,0),E(−1,0,1),A(1,0,0),F(1,0,1)． ∴ CB →=(1,√3,0),CE →=(0,0,1)， 设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z)， ∴ {n →⋅CB →=0,n →⋅CE →=0,得{x +√3y =0,z =0,则平面BCE 的一个法向量n →=(√3,−1,0)， 又M 是线段EF 的中点， 则M 的坐标为M(0, 0, 1)，∴ AM →=(−1,0,1)，且AB →=(−1,√3,0)， 设平面ABM 的法向量m →=(a,b,c)， 由{m →⋅AB →=0,m →⋅AM →=0, 得{−a +c =0,−a +√3b =0,取a =√3，则b =1,c =√3，∴ 平面ABM 的一个法向量m →=(√3,1,√3)， ∴ cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√7=√77， ∴ 平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角的余弦值为√77．【考点】用空间向量求平面间的夹角 两条直线垂直的判定 直线与平面垂直的判定 【解析】（1）分别取AC 、EF 的中点O 、M ，连接OM ，推导出AC ⊥BO ，AC ⊥OM ，从而AC ⊥面BOM ，由此能证明BM ⊥AC ．（2）由OA ，OB ，OM 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，由此能求出平面MAB 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值． 【解答】解：(1)M 为线段EF 的中点，理由如下： 分别取AC ，EF 的中点O ，M ，连接OM ， 在等边三角形ABC 中，AC ⊥BO ，又OM 为矩形ACEF 的中位线，AC ⊥OM ， 而OM ∩OB =O ， ∴ AC ⊥平面BOM ， ∴ BM ⊥AC ；(2)由(1)知OA ，OB ，OM 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，AC =2，CE =1，三角形ABC 为等边三角形，O(0,0,0),B(0,√3,0),C(−1,0,0),E(−1,0,1),A(1,0,0),F(1,0,1)． ∴ CB →=(1,√3,0),CE →=(0,0,1)， 设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z)， ∴ {n →⋅CB →=0,n →⋅CE →=0,得{x +√3y =0,z =0,则平面BCE 的一个法向量n →=(√3,−1,0)， 又M 是线段EF 的中点， 则M 的坐标为M(0, 0, 1)，∴ AM →=(−1,0,1)，且AB →=(−1,√3,0)， 设平面ABM 的法向量m →=(a,b,c)， 由{m →⋅AB →=0,m →⋅AM →=0, 得{−a +c =0,−a +√3b =0,取a =√3，则b =1,c =√3，∴ 平面ABM 的一个法向量m →=(√3,1,√3)， ∴ cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√7=√77， ∴ 平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角的余弦值为√77．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4√3． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM 、BM 分别交椭圆于P 、Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．【答案】（1）根据题意，椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，则有a ＝2c ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4√3，则有2ab ＝4√3， 又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3，c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）由于对称性，可令点M(4, t)，其中t >0． 将直线AM 的方程y =t6(x +2)代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108＝0， 由x A ⋅x P =4t 2−10827+t 2，x A ＝−2得x P =−2t 2−5427+t2，则y P =18t27+t 2． 再将直线BM 的方程y =t2(x −2)代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12＝0， 由x B ⋅x Q =4t 2−123+t 2，x B ＝2得x Q =2t 2−63+t2，则y Q =−6t3+t 2． 故四边形APBQ 的面积为S =12|AB||y P −y Q |＝2|y P −y Q |＝2(18t27+t 2+6t3+t 2)=48t(9+t 2)(27+t 2)(3+t 2)=48t(9+t 2)(9+t 2)2+12t 2=489+t 2t+12t 9+t 2．由于λ=9+t2t≥6，且λ+12λ在[6, +∞)上单调递增，故λ+12λ≥8，从而，有S =48λ+12λ≤6．当且仅当λ＝6，即t ＝3，也就是点M 的坐标为(4, 3)时，四边形APBQ 的面积取最大值6．【考点】 椭圆的离心率 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)根据题意，分析可得a ＝2c 且2ab ＝4√3，解可得a 、b 的值，将其代入椭圆的方程，即可得答案；(Ⅱ)令点M(4, t)，其中t >0，将直线AM 的方程y =t6(x +2)代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108＝0，由根与系数的关系可以用t 表示x P 、y P ．再将直线BM 的方程y =t2(x −2)代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12＝0，同理可以用t 表示x Q 、y Q ．进而可以用t 表示四边形APBQ 的面积为S ，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，则有a ＝2c ， 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4√3，则有2ab ＝4√3，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3，c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）由于对称性，可令点M(4, t)，其中t >0． 将直线AM 的方程y =t6(x +2)代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108＝0， 由x A ⋅x P =4t 2−10827+t 2，x A ＝−2得x P =−2t 2−5427+t2，则y P =18t27+t 2． 再将直线BM 的方程y =t2(x −2)代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12＝0， 由x B ⋅x Q =4t 2−123+t 2，x B ＝2得x Q =2t 2−63+t2，则y Q =−6t3+t 2． 故四边形APBQ 的面积为S =12|AB||y P −y Q |＝2|y P −y Q |＝2(18t27+t 2+6t3+t 2)=48t(9+t 2)(27+t )(3+t )=48t(9+t 2)(9+t )+12t =489+t 2t+12t9+t 2．由于λ=9+t2t≥6，且λ+12λ在[6, +∞)上单调递增，故λ+12λ≥8，从而，有S =48λ+12λ≤6．当且仅当λ＝6，即t ＝3，也就是点M 的坐标为(4, 3)时，四边形APBQ 的面积取最大值6．已知f(x)=xlnx +mx ，且曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线斜率为1． （1）求实数m 的值；（2）设g(x)=f(x)−a2x 2−x +a(a ∈R)在其定义域内有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，已知λ>0，若不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ恒成立，求λ的范围． 【答案】f′(x)=1+lnx +m ，由题意知，f′(1)=1，即：m +1=1，解得 m =0；∵ e 1+λ<x 1⋅x 2λ 等价于1+λ<lnx 1+λlnx 2． g(x)=f(x)−a 2x 2−x +a =xlnx −a2x 2−x +a ，由题意可知x 1，x 2 分别是方程g′(x)=0，即：lnx −ax =0的两个根，即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2．∴ 原式等价于1+λ<ax 1+λax 2=a(x 1+λx 2)， ∵ λ>0，0<x 1<x 2，∴ 原式等价于a >1+λx 1+λx 2．又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2．作差得，ln x 1x 2=a(x 1−x 2)，即a =lnx 1x 2x 1−x 2．∴ 原式等价于lnx 1x 2x 1−x 2>1+λx 1+λx 2，∵ 0<x 1<x 2，原式恒成立，即ln x1x 2<(1+λ)(x 1−x 2)x 1+λx 2恒成立．令t =x 1x 2，t ∈(0, 1)， 则不等式lnt <(1+λ)(t−1)t+λ在t ∈(0, 1)上恒成立． 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，又ℎ′(t)=1t −(1+λ)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2，当λ2≥1时，可得t ∈(0, 1)时，ℎ′(t)>0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上单调增，又ℎ(1)=0， ℎ(t)<0在t ∈(0, 1)恒成立，符合题意．当λ2<1时，可得t ∈(0, λ2)时，ℎ′(t)>0，t ∈(λ2, 1)时，ℎ′(t)<0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, λ2)时单调增，在t ∈(λ2, 1)时单调减，又ℎ(1)=0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ 恒成立，只须λ2≥1， 又λ>0，∴ λ≥1． 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）求出原函数的导函数，得到f′(1)，由f′(1)=1求得m 值；（2）求出g(x)，求其导函数，可得lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ恒成立，转化为lnx 1x 2x 1−x 2>1+λx 1+λx 2恒成立，进一步转化为ln x1x 2<(1+λ)(x 1−x 2)x 1+λx 2恒成立．令t =x 1x 2，t ∈(0, 1)，则不等式lnt <(1+λ)(t−1)t+λ在t ∈(0, 1)上恒成立．令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，求导可得满足条件的λ的范围． 【解答】f′(x)=1+lnx +m ，由题意知，f′(1)=1，即：m +1=1，解得 m =0；∵ e 1+λ<x 1⋅x 2λ 等价于1+λ<lnx 1+λlnx 2． g(x)=f(x)−a 2x 2−x +a =xlnx −a2x 2−x +a ，由题意可知x 1，x 2 分别是方程g′(x)=0，即：lnx −ax =0的两个根，即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2．∴ 原式等价于1+λ<ax 1+λax 2=a(x 1+λx 2)， ∵ λ>0，0<x 1<x 2，∴ 原式等价于a >1+λx 1+λx 2．又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2． 作差得，ln x 1x 2=a(x 1−x 2)，即a =lnx 1x 2x 1−x 2．∴ 原式等价于lnx 1x 2x 1−x 2>1+λx1+λx 2，∵ 0<x 1<x 2，原式恒成立，即ln x1x 2<(1+λ)(x 1−x 2)x 1+λx 2恒成立．令t =x 1x 2，t ∈(0, 1)， 则不等式lnt <(1+λ)(t−1)t+λ在t ∈(0, 1)上恒成立． 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，又ℎ′(t)=1t −(1+λ)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2，当λ2≥1时，可得t ∈(0, 1)时，ℎ′(t)>0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上单调增，又ℎ(1)=0， ℎ(t)<0在t ∈(0, 1)恒成立，符合题意．当λ2<1时，可得t ∈(0, λ2)时，ℎ′(t)>0，t ∈(λ2, 1)时，ℎ′(t)<0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, λ2)时单调增，在t ∈(λ2, 1)时单调减，又ℎ(1)=0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ 恒成立，只须λ2≥1， 又λ>0，∴ λ≥1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知平面直角坐标系中，曲线C:x 2+y 2−6x −8y ＝0，直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3x −y =0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的参数方程以及直线l 1，l 2的极坐标方程；（2）若直线l 1与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 分别交于O ，B 两点，求△AOB 的面积． 【答案】依题意，曲线C ：(x −3)2+(y −4)2＝25，∴ 曲线C 的参数方程是{x =3+5cosαy =4+5sinα （α为参数），∵ 直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3−y =0，∴ l 1，l 2的极坐标方程为l 1:θ=π6(ρ∈R),l 2:θ=π3(ρ∈R)； ∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ1=4+3√3，∴ A(4+3√3,π6)， 把θ=π3代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ2=3+4√3，∴ B(3+4√3,π3)， ∴ S △AOB =12ρ1ρ2sin∠AOB =12(4+3√3)(3+4√3)sin(π3−π6)=12+25√34． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）推导出曲线C ：(x −3)2+(y −4)2＝25，从而能求出曲线C 的参数方程，由直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3−y =0，能求出l 1，l 2的极坐标方程．（2）曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得A(4+3√3,π6)，把θ=π3代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得B(3+4√3,π3)，由此能求出△AOB的面积．【解答】依题意，曲线C：(x−3)2+(y−4)2＝25，∴曲线C的参数方程是{x=3+5cosαy=4+5sinα（α为参数），∵直线l1:x−√3y=0，直线l2:√3−y=0，∴l1，l2的极坐标方程为l1:θ=π6(ρ∈R),l2:θ=π3(ρ∈R)；∵曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ1=4+3√3，∴A(4+3√3,π6)，把θ=π3代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ2=3+4√3，∴B(3+4√3,π3)，∴S△AOB =12ρ1ρ2sin∠AOB=12(4+3√3)(3+4√3)sin(π3−π6)=12+25√34．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知函数f(x)=2−x2，g(x)=|x−a|．（1）若a=1，解不等式f(x)+g(x)≥3；（2）若不等式f(x)>g(x)至少有一个负数解，求实数a的取值范围．【答案】=0，得a=−94，数形结合知，当a≤−94时，不等式无负数解，则−94<a<0．当a=0时，满足f(x)>g(x)至少有一个负数解．当a>0时，g(x)的图象如折线②所示：此时当a=2时恰好无负数解，数形结合知，当a≥2时，不等式无负数解，则0<a<2．综上所述，若不等式f(x)>g(x)至少有一个负数解，则实数a的取值范围是(−94，．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式，解出即可； （2）结合函数的图象以及二次函数的性质求出a 的范围即可． 【解答】若a =1，则不等式f(x)+g(x)≥3化为2−x 2+|x −1|≥3，当x ≥1时，2−x 2+x −1≥3，即x 2−x +2≤0，(x −12)2+74≤0不成立； 当x <1时，2−x 2−x +1≥3，即x 2+x ≤0，解得−1≤x ≤0． 综上，不等式f(x)+g(x)≥3的解集为{x|−1≤x ≤0}． 作出y =f(x)的图象。
2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(理科)
2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合M={x|4<x<8}，N={x|x2−6x<0}，则M∩N=()A.{x|0<x<4}B.{x|6<x<8}C.{x|4<x<6}D.{x|4<x<8}2. 若(2−i)2=a+bi3(a, b∈R)，则a+b=()A.7B.−7C.1D.−13. 如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温(∘C)的数据一览表．已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A.最低温与最高温为正相关B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D.1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4. 已知tan(π2−θ)=4cos(2π−θ)，|θ|<π2，则tan2θ=()A.−√157B.√157C.−√158D.√1585. 已知双曲线x2m2+12−y25m−1=1的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A.±53B.±35C.±34D.±436. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A.2B.3C.4D.57. 若实数x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥02x +y −6≤00≤y ≤3 ，则z =4x −y 的最大值为（ ）A.3B.−1C.−4D.128. 设A ，B 是椭圆C:x 212+y 22=1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M:x 2+y 2=10的一个交点，则||PA|−|PB||=( ) A.2√2 B.4√3 C.4√2D.6√29. 设ω>0，函数y =2cos(ωx +π7)−1的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A.32 B.23C.43D.3410. f(x)=8(x−sinx)x 2+|x|−2的部分图象大致是（ ）A.B.C.D.11. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）A.52πB.45πC.41πD.34π12. 已知函数f(x)=e4x−1,g(x)=12+ln(2x)，若f(m)=g(n)成立，则n−m的最小值为()A.1−ln24B.1+2ln23C.2ln2−13D.1+ln24二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知向量a→=(6,−2)，b→=(1,m)，且a→⊥b→，则|a→−2b→|=________．若(1−3x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+...+a6x6，则a3a2=________．如图，E是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1 // 平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为________．在△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，则sin∠ACDsin∠DCB=________．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n−2，{b n}为等差数列，b3=a2，b2+b6=10．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n(2b n−3)}的前n项和T n．“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与者投币20元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金10元，两个红球奖金20元，三个全为红球奖金100元．（1）求献爱心参与者中奖的概率；（2）若该次募捐有900位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．如图，四边形ABCD是矩形，AB=3√3，BC=3，ED→=2EC→，PE⊥平面ABCD，PE=√6．（1）证明：平面PAC⊥平面PBE；（2）求二面角A−PB−C的余弦值．设直线l的方程为x=m(y+2)+5，m为实数，该直线交抛物线C:y2=4x于P，Q两个不同的点．(1)若点A(5, −2)为线段PQ的中点，求直线l的方程；(2)证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B(1, 2)．已知函数f(x)=ax2−e x(a∈R)．（1）若曲线y=f(x)在x=1处的切线与y轴垂直，求y=f′(x)的最大值；（2）若对任意0≤x1<x2都有f(x2)+x2(2−2ln2)<f(x1)+x1(2−2ln2)，求a的取值范围．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为θ=π6，曲线C1、C2相交于A、B两点．(p∈R)(1)求A、B两点的极坐标；(2)曲线C1与直线{x=1+√32t,y=12t（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．已知函数f(x)=|x−a|−|x+3|，a∈R．（1）当a=−1时，解不等式f(x)≤1；（2）若x∈[0, 3]时，f(x)≤4，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】分别求出集合M，N，由此能法出M∩N．【解答】∵集合M={x|4<x<8}，N={x|x2−6x<0}={x|0<x<6}，∴M∩N={x|4<x<6}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】自己由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解即可．【解答】∵(2−i)2=3−4i=a+bi3=a−bi，∴a=3，b=4．∴a+b=7．3.【答案】B【考点】相关系数【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，则A正确；对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：−3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，则B错误；对于C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最大值出现在1月，C正确；对于D，有C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D正确；4.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数二倍角的三角函数【解析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求sinθ，进而可求cosθ，tanθ，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．【解答】∵tan(π2−θ)=4cos(2π−θ)，∴cosθsinθ=4cosθ，又∵|θ|<π2，cosθ≠0，∴sinθ=14，cosθ=2θ=√154，tanθ=sinθcosθ=√1515，∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×√15151−(√1515)=√157．5.【答案】C【考点】双曲线的特性【解析】求出双曲线的实轴长，得到m，然后求解双曲线的渐近线方程，得到渐近线的斜率即可．【解答】双曲线x2m2+12−y25m−1=1的实轴长为8，可得：m2+12=16，解得m=2，m=−2（舍去）．所以，双曲线的渐近线方程为：x4±y3=0．则该双曲线的渐近线的斜率：±34．6.【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值，并输出相应的n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得：a=2，s=0，n=1，s=2，a=13，满足条件s <3，执行循环体，n =2，s =2+13=73，a =34， 满足条件s <3，执行循环体，n =3，s =73+34=3712，a =47，此时，不满足条件s <3，退出循环，输出n 的值为3． 7.【答案】 D【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =4x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可． 【解答】实数x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥02x +y −6≤00≤y ≤3，表示的平面区域如图所示，当直线z =4x −y 过点A 时，目标函数取得最大值， 由{y =02x +y −6=0解得A(3, 0)， 在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值：12． 8.【答案】 C【考点】 椭圆的定义 圆锥曲线 【解析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件列出方程，转化求出||PA|−|PB||即可． 【解答】 A ，B 是椭圆C:x 212+y 22=1的两个焦点，可知：A(−√10, 0)、B(√10, 0)，圆M:x 2+y 2=10恰好经过AB 两点，点P 是椭圆C 与圆M:x 2+y 2=10的一个交点，可得PA ⊥PB ，所以{|PA|+|PB|=4√3|PA|2+|PB|2=(2c)2=40，可得：2|PA||PB|=8，||PA|−|PB||2=32， ||PA|−|PB||=4√2． 9.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据三角函数的图象重合，得到平移长度和周期关系，进行求解即可． 【解答】∵函数y=2cos(ωx+π7)−1的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，∴4π3=2πω，则ω=32，10.【答案】D【考点】函数的图象变化【解析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】∵f(−x)=−f(x)∴函数f(x)为奇函数，排除A，∵x∈(0, 1)时，x>sinx，x2+x−2<0，故f(x)<0，故排除B；当x→+∞时，f(x)→0，故排除C；11.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中AB=4，AD=6，侧面PBC⊥底面垂ABCD．设AC∩BD=O，则OA=OB=OC=OD=OP，O该多面体外接球的球心，半径R=OA，即可．【解答】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中AB=4，AD=6，侧面PBC⊥底面垂ABCD．设AC∩BD=O，则OA=OB=OC=OD=√13，OP=√22+32=√13，∴O该多面体外接球的球心，半径R=√13，∴该多面体外接球的表面积为S=4πR2=52π．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的最值函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】根据f(m)=g(n)=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：不妨设f(m)=g(n)=t，∴e4m−1=12+ln(2n)=t，(t>0)∴4m−1=lnt，即m=14(1+lnt)，n=12e t−12，故n −m =12e t−12−14(1+lnt)，(t >0)令ℎ(t)=12e t−12−14(1+lnt)，(t >0)，∴ ℎ′(t)=12e t−12−14t，易知ℎ′(t)在(0, +∞)上是增函数，且ℎ′(12)=0，当t >12时，ℎ′(t)>0， 当0<t <12时，ℎ′(t)<0，即当t =12时，ℎ(t)取得极小值同时也是最小值， 此时ℎ(12)=12−14(1+ln 12)=1+ln24，即n −m 的最小值为1+ln24.故选D .二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 4√5【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】a →⊥b →，可得a →∗b →=0，解得m ．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】∵ a →⊥b →，∴ a →∗b →=6−2m =0，解得m =3．∴ a →−2b →=(6, −2)−2(1, 3)=(4, 8)．∴ |a →−2b →|=√42+82=4√5．【答案】 −4【考点】二项式定理的应用 【解析】求得(1−3x)6的通项公式为T r+1=C 6r(−3x)r ，r =0，1，2，…，6，求得r =2，3时，第三、四项的系数，即可得到所求值． 【解答】若(1−3x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+...+a 6x 6，则(1−3x)6的通项公式为T r+1=C 6r(−3x)r ，r =0，1，2，…，6， 可得a 2=9C 62=135，a 3=−27C 63=−540，可得a3a 2=−4．【答案】√15 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结OE ，由BD 1 // 平面B 1CE ，得到E 是棱C 1D 1的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出异面直线BD 1与CE 所成成角的余弦值． 【解答】连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结OE ，∵ E 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点， ∴ BCC 1B 1是正方形，∴ O 是BC 1中点， ∵ BD 1 // 平面B 1CE ，∴ BD 1 // OE ，∴ E 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则B(2, 2, 0)，D 1(0, 0, 2)，C(0, 2, 0)，E(0, 1, 2)， BD 1→=(−2, −2, 2)，CE →=(0, −1, 2)， 设异面直线BD 1与CE 所成成角为θ， cosθ=|BD 1→∗CE →||BD 1→|∗|CE →|=√12∗√5=√155． ∴ 异面直线BD 1与CE 所成成角的余弦值为√155．【答案】43【考点】 三角形求面积 【解析】直接利用三角形的面积相等转化出结论． 【解答】△ABC 中，AC =3，CB =4，边AB 的中点为D ， 则：S △ACD =S △BCD ，所以：12AC ∗DC ∗sin∠ACD =12BC ∗CD ∗sin∠DCB ， 整理得：sin∠ACDsin∠DCB =BCAC =43．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：【答案】根据题意，等比数列{a n }中S n =2a n −2，当n =1时，有S 1=2a 1−2=a 1，解可得a 1=2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(2a n −2)−(2a n−1−2)，变形可得a n =2a n−1， 则等比数列{a n }的a 1=2，公比q =2，则数列{a n }的通项公式a n =2×2n−1=2n ，对于{b n }，b 3=a 2=4，b 2+b 6=2b 4=10，即b 4=5，则其公差d =b 4−b 3=1，则其通项公式b n =b 3+(n −3)×d =n +1， 由（1）的结论：a n =2n ，b n =n +1， a n (2b n −3)=(2n −1)⋅2n ，则有T n =1×2+3×22+5×23+...+(2n −1)×2n ，① 则有2T n =1×22+3×23+5×24+...+(2n −1)×2n+1，② ①-②可得：−T n =2+2(22+23+...+2n )−(2n −1)×2n+1， 变形可得：T n =(2n −3)⋅2n+1+6． 【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）在等比数列{a n }的递推公式S n =2a n −2中，令n =1可得S 1=2a 1−2=a 1，解可得a 1=2，当n ≥2时，由a n =S n −S n−1分析可得a n =2a n−1，解可得等比数列{a n }的公比，由等比数列的通项公式可得数列{a n }的通项公式，对于{b n }，求出b 3、b 4的值，计算其公差，由等差数列的通项公式可得数列{b n }的通项公式，（2）由（1）的结论可得a n (2b n −3)=(2n −1)⋅2n ，由错位相减法计算可得答案． 【解答】根据题意，等比数列{a n }中S n =2a n −2，当n =1时，有S 1=2a 1−2=a 1，解可得a 1=2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(2a n −2)−(2a n−1−2)，变形可得a n =2a n−1， 则等比数列{a n }的a 1=2，公比q =2，则数列{a n }的通项公式a n =2×2n−1=2n ，对于{b n }，b 3=a 2=4，b 2+b 6=2b 4=10，即b 4=5， 则其公差d =b 4−b 3=1，则其通项公式b n =b 3+(n −3)×d =n +1， 由（1）的结论：a n =2n ，b n =n +1， a n (2b n −3)=(2n −1)⋅2n ，则有T n =1×2+3×22+5×23+...+(2n −1)×2n ，① 则有2T n =1×22+3×23+5×24+...+(2n −1)×2n+1，② ①-②可得：−T n =2+2(22+23+...+2n )−(2n −1)×2n+1， 变形可得：T n =(2n −3)⋅2n+1+6． 【答案】设“献爱心参与者中奖”为事件A ， 则献爱心参与者中奖的概率P(A)=C 31C72+C 32C71+C 33C 103=85120=1724．设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则X =20，10，0，−80，则P(X =20)=C 73C 103=724， P(X =10)=C 31C72C 103=2140，P(X =0)=C 32C71C 103=740，P(X =−80)=C 32C 103=1120，∴ X 的分布列为：若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为E(X)=20×724+10×2140+0×740−80×1120=12512元，所以，此次募捐所得善款的数学期望为12512×900=9375元．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）设“献爱心参与者中奖”为事件A ，利用互斥事件概率能求出献爱心参与者中奖的概率．（2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则X =20，10，0，−80，由此能求出X 的分布列和学校所得善款的数学期望，由此能求出募捐所得善款的数学期望． 【解答】设“献爱心参与者中奖”为事件A ， 则献爱心参与者中奖的概率P(A)=C 31C72+C 32C71+C 33C 103=85120=1724．设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则X =20，10，0，−80， 则P(X =20)=C 73C 103=724，P(X =10)=C 31C72C 103=2140，P(X =0)=C 32C71C 103=740，P(X =−80)=C 32C 103=1120，∴ X 的分布列为：若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为E(X)=20×724+10×2140+0×740−80×1120=12512元，所以，此次募捐所得善款的数学期望为12512×900=9375元． 【答案】证明：连接BE 交AC 于F ，∵ 四边形ABCD 是矩形，AB =√3，BC =1，ED →=2CE →， ∴ CE =√3，则CEBC =BCAB ， ∵ ∠ABC =∠BCD =π2，∴ △ABC ∽△BCE ，则∠BEC =∠ACB ， ∵ ∠BEC +∠ACE =∠ACB +∠ACE =π2，∴ AC ⊥BE ，∵ PE ⊥平面ABCD ，∴ AC ⊥PE ， ∵ PE ∩BE =E ，∴ AC ⊥平面PBE ， ∵ AC ⊂平面PAC ，∴ 平面PAC ⊥平面PBE ；取PB 中点G ，连接FG ，AG ，CG ， ∵ PE ⊥平面ABCD ，∴ PE ⊥DC ，∵ PE =√6，∴ PC =3=BC ，得CG ⊥PB ，∵ CG ∩AC =C ，∴ PB ⊥平面ACG ，则AG ⊥PB ， ∴ ∠AGC 是二面角A −PB −C 的平面角， ∵ AB // CD ，AB =CD ，DE =2EC ， ∴ CEAB =EFFB =CFFA =13，∵ CE =√3，AC =6，∴ CF =32，AF =92， ∵ BC ⊥CD ，BC ⊥PE ，∴ BC ⊥平面PCD ， ∴ BC ⊥PC ， ∴ PB =3√2，则CG =3√22，∵ FG ⊥AC ，∴ FG =FC =32，在Rt △AFG 和Rt △CFG 中，求得tan∠AGF =3，tan∠CGF =1． ∴ tan∠AGC =tan(∠AGF +∠CGF)=tan∠AGF+tan∠CGF1−tan∠AGF∗tan∠CGF =−2． ∴ cos∠AGC =√1+tan 2∠AGC=−√55． ∴ 二面角A −PB −C 的余弦值为−√55．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）连接BE 交AC 于F ，证明△ABC ∽△BCE ，推出∠BEC =∠ACB ，证明AC ⊥BE ，AC ⊥PE ，即可证明AC ⊥平面PBE ，进一步得到平面PAC ⊥平面PBE ；（2）取PB 中点G ，连接FG ，AG ，CG ，证明CG ⊥PB ，然后证明PB ⊥平面ACG ，推出AG ⊥PB ，说明∠AGC 是二面角A −PB −C 的平面角，然后通过求解三角形得tan∠AGC ，利用同角三角函数基本关系式得二面角A −PB −C 的余弦值．【解答】证明：连接BE 交AC 于F ，∵ 四边形ABCD 是矩形，AB =√3，BC =1，ED →=2CE →， ∴ CE =√3，则CEBC =BCAB ， ∵ ∠ABC =∠BCD =π2，∴ △ABC ∽△BCE ，则∠BEC =∠ACB ， ∵ ∠BEC +∠ACE =∠ACB +∠ACE =π2，∴ AC ⊥BE ，∵ PE ⊥平面ABCD ，∴ AC ⊥PE ， ∵ PE ∩BE =E ，∴ AC ⊥平面PBE ， ∵ AC ⊂平面PAC ，∴ 平面PAC ⊥平面PBE ；取PB 中点G ，连接FG ，AG ，CG ， ∵ PE ⊥平面ABCD ，∴ PE ⊥DC ，∵ PE =√6，∴ PC =3=BC ，得CG ⊥PB ，∵ CG ∩AC =C ，∴ PB ⊥平面ACG ，则AG ⊥PB ， ∴ ∠AGC 是二面角A −PB −C 的平面角， ∵ AB // CD ，AB =CD ，DE =2EC ， ∴ CEAB =EFFB =CFFA =13，∵ CE =√3，AC =6，∴ CF =32，AF =92， ∵ BC ⊥CD ，BC ⊥PE ，∴ BC ⊥平面PCD ， ∴ BC ⊥PC ，∴ PB =3√2，则CG =3√22，∵ FG ⊥AC ，∴ FG =FC =32，在Rt △AFG 和Rt △CFG 中，求得tan∠AGF =3，tan∠CGF =1． ∴ tan∠AGC =tan(∠AGF +∠CGF)=tan∠AGF+tan∠CGF1−tan∠AGF∗tan∠CGF =−2． ∴ cos∠AGC =√1+tan 2∠AGC=−√55． ∴ 二面角A −PB −C 的余弦值为−√55．【答案】(1)解：联立方程， 得{x =my +(2m +5),y 2=4x,消去x ，得y 2−4my −4(2m +5)=0， Δ=16m 2+32m +80>0. 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8m −20. 因为A 为线段PQ 的中点， 所以y 1+y 22=2m =−2，解得m =−1.所以直线l 的方程为x +y −3=0． (2)证明：连接BP ，BQ ，由(1)得，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2(2m +5) =4m 2+4m +10， x 1x 2=y 124⋅y 224=(y 1y 2)216=(2m +5)2，所以BP →⋅BQ →=(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+[y 1y 2−2(y 1+y 2)+4]=[(2m +5)2−(4m 2+4m +10)+1]+(−8m −20−8m +4)=0 ， 因此BP ⊥BQ ，即以线段PQ 为直径的圆恒过点B(1,2). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 与抛物线有关的中点弦及弦长问题 圆与圆锥曲线的综合问题数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用. 【解答】(1)解：联立方程， 得{x =my +(2m +5),y 2=4x, 消去x ，得y 2−4my −4(2m +5)=0， Δ=16m 2+32m +80>0. 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8m −20. 因为A 为线段PQ 的中点， 所以y 1+y 22=2m =−2，解得m =−1.所以直线l 的方程为x +y −3=0． (2)证明：连接BP ，BQ ，由(1)得，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2(2m +5)=4m 2+4m +10， x 1x 2=y 124⋅y 224=(y 1y 2)216=(2m +5)2，所以BP →⋅BQ →=(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+[y 1y 2−2(y 1+y 2)+4]=[(2m +5)2−(4m 2+4m +10)+1]+(−8m −20−8m +4)=0 ， 因此BP ⊥BQ ，即以线段PQ 为直径的圆恒过点B(1,2). 【答案】由f ′(x)=2ax −e x ，得，f(1)=2a −e =0⇒a =e2， 令g(x)=f ′(x)=ex −e x ，则g ′(x)=e −e x ，可知函数g(x)在(−∞, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减， 所以g(x)max =g(1)=0．由题意得可知函数ℎ(x)=f(x)+x(2−2ln2)=ax 2+x(2−ln2)−e x 在[0, +∞)上单调递减，从而ℎ′(x)=2ax +(2−2ln2)−e x ≤0在[0, +∞)上恒成立， 令F(x)=2ax +(2−2ln2)−e x ，则F ′(x)=2a −e x ，当a ≤12时，F ′(x)≤0，所以函数F(x)在[0, +∞)上单调递减，则F(x)max =F(0)=1−2ln2<0，当a >12时，F ′(x)=2a −ex =0，得x =ln2a ，所以函数F(x)在[0, ln2a)上单调递增， 在[ln2a, +∞)上单调递减，则F(x)max =F(ln2a)=2aln2a +2−2ln2−2a ≤0， 即2aln2a −2a ≤2ln2−2，通过求函数y =xlnx −x 的导数可知它在[1, +∞)上单调递增，故12<a ≤1，综上，实数a 的取值范围是(−∞, 1]． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）求出导函数，求出函数值，切线的斜率，判断导函数的单调性，然后求解最值即可．（2）函数ℎ(x)=f(x)+x(2−2ln2)=ax 2+x(2−ln2)−e x 在[0, +∞)上单调递减，求出导函数，构造函数，F(x)=2ax +(2−2ln2)−e x ，再求解F ′(x)=2a −e x ，通过当a ≤12时，当a >12时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解实数a 的取值范围． 【解答】由f ′(x)=2ax −e x ，得，f(1)=2a −e =0⇒a =e2， 令g(x)=f ′(x)=ex −e x ，则g ′(x)=e −e x ，可知函数g(x)在(−∞, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减， 所以g(x)max =g(1)=0．由题意得可知函数ℎ(x)=f(x)+x(2−2ln2)=ax 2+x(2−ln2)−e x 在[0, +∞)上单调递减，从而ℎ′(x)=2ax +(2−2ln2)−e x ≤0在[0, +∞)上恒成立， 令F(x)=2ax +(2−2ln2)−e x ，则F ′(x)=2a −e x ，当a ≤12时，F ′(x)≤0，所以函数F(x)在[0, +∞)上单调递减，则F(x)max =F(0)=1−2ln2<0，当a >12时，F ′(x)=2a −ex =0，得x =ln2a ，所以函数F(x)在[0, ln2a)上单调递增， 在[ln2a, +∞)上单调递减，则F(x)max =F(ln2a)=2aln2a +2−2ln2−2a ≤0， 即2aln2a −2a ≤2ln2−2，通过求函数y =xlnx −x 的导数可知它在[1, +∞)上单调递增，故12<a ≤1， 综上，实数a 的取值范围是(−∞, 1]． 【答案】(1)由{ρ2cos2θ=8,θ=π6 得：ρ2cos π3=8， ∴ ρ2=16， 即ρ=±4．∴ A 、B 两点的极坐标为：A(4,π6),B(−4,π6)或B(4,7π6)．(2)由曲线C 1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=8， 得到普通方程为x 2−y 2=8． 将直线{x =1+√32t,y =12t代入x 2−y 2=8，整理得t 2+2√3t −14=0．∴ |MN|=√(2√3)2−4×(−14)=2√17．【考点】双曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】（I ）由{ρ2cos2θ=8θ=π6得：ρ2cos π3=8，即可得到ρ．进而得到点A ，B 的极坐标． (II)由曲线C 1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=8，即可得到普通方程为x 2−y 2=8．将直线{x =1+√32t y =12t代入x 2−y 2=8，整理得t 2+2√3t −14=0．进而得到|MN|．【解答】(1)由{ρ2cos2θ=8,θ=π6 得：ρ2cos π3=8， ∴ ρ2=16，即ρ=±4．∴ A 、B 两点的极坐标为：A(4,π6),B(−4,π6)或B(4,7π6)．(2)由曲线C 1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=8， 得到普通方程为x 2−y 2=8． 将直线{x =1+√32t,y =12t代入x 2−y 2=8，整理得t 2+2√3t −14=0．∴ |MN|=√(2√3)2−4×(−14)=2√17．【答案】当a =−1时，不等式为|x +1|−|x +3|≤1；当x ≤−3时，不等式转化为−(x +1)+(x +3)≤1，不等式解集为空集； 当−3<x <−1时，不等式转化为−(x +1)−(x +3)≤1，解之得−52≤x <−1； 当x ≥−1时，不等式转化为(x +1)−(x +3)≤1，恒成立； 综上所求不等式的解集为[−52,+∞)．若x ∈[0, 3]时，f(x)≤4恒成立，即|x −a|≤x +7，亦即−7≤a ≤2x +7恒成立， 又因为x ∈[0, 3]，所以−7≤a ≤7， 所以a 的取值范围为[−7, 7]． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 函数恒成立问题 【解析】（1）当a =−1时，不等式为|x +1|−|x +3|≤1；去掉绝对值符号，转化求解即可． （2）若x ∈[0, 3]时，f(x)≤4恒成立，即|x −a|≤x +7，即−7≤a ≤2x +7恒成立，通过x 的范围求解a 的范围． 【解答】当a =−1时，不等式为|x +1|−|x +3|≤1；当x ≤−3时，不等式转化为−(x +1)+(x +3)≤1，不等式解集为空集； 当−3<x <−1时，不等式转化为−(x +1)−(x +3)≤1，解之得−52≤x <−1； 当x ≥−1时，不等式转化为(x +1)−(x +3)≤1，恒成立； 综上所求不等式的解集为[−52,+∞)．若x ∈[0, 3]时，f(x)≤4恒成立，即|x −a|≤x +7，亦即−7≤a ≤2x +7恒成立， 又因为x ∈[0, 3]，所以−7≤a ≤7， 所以a 的取值范围为[−7, 7]．。
2018届甘肃省河西五市部分普通高中高三化学第一次联合考试试卷
2018届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试化学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，共100分。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Mg—24 Al—27 Cl—35.5 Fe—56 Cu—64 Ag—108第I卷（选择题共42分）一、选择题（本题包括21小题，每小题2分，共42分。
每小题只有一个选项符合题意）1．中华文化博大精深，下列有关说法不正确．．．的是（）A．“熬胆矾铁釜，久之变化为铜”，该过程发生了置换反应B．《本草纲目》中记载“（火药）乃焰消（KNO3）、硫磺、杉木炭所合，以为烽燧铳机诸药者”，是用了KNO3的还原性C．“青蒿一握，以水二升渍，绞取汁”，屠呦呦对青蒿素的提取属于物理变化D．古剑“沈卢”“以剂钢为刃，柔铁为茎干，不尔则多断折”，剂钢指的是铁的合金2．海洋中有丰富的“食品、矿产、能源、药物和水产资源”等，下列说法正确的是（）A．第①步中除去泥沙及Ca2+、Mg2+等杂质时，不涉及化学变化过程B．工业上，通过电解“精盐”水溶液可以制取金属钠C．第②步的反应条件是“在空气中直接加热”D．第③、④、⑤步中均涉及氧化还原反应3．下列实验中，对应的现象以及结论都正确且两者具有因果关系的是（）4．N A表示阿伏加罗常数的值，下列有关叙述错误．．的个数为（）①1mol苯乙烯中含有的碳碳双键数为4N A②4.2g乙烯和丙烯混合气中含有的极性键数目为0.6N A③高温下，16.8g Fe与足量水蒸气完全反应失去0.8N A个电子．④常温下1L 0.5mol/L NH4Cl溶液与2L 0.25mol/L NH4Cl溶液所含NH4+的数目相同⑤常温下4.6gNO2和N2O4混合气体中所含原子总数为0.3N A⑥在KClO3+6HCl（浓）=KCl+3Cl2↑+3H2O反应中，每生成1mol Cl2转移的电子总数为2N A⑦1mo l铁粉在1mol氯气中充分燃烧，失去的电子数为3N AA．3个B．4个C．5个D．6个5.常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是（）A．使酚酞呈红色的溶液：Na+、NO3﹣、Ba2+、Br﹣B．加水稀释pH减小的溶液：K+、Al3+、Cl﹣、CH3COO﹣C．含有大量Fe（NO3）2的溶液：NH4+、H+、SO42﹣、I﹣D．c（OH﹣）＜的溶液：ClO﹣、NO3﹣、Na+、Ca2+6．下列有关实验误差分析中，错误．．的是（）A.中和滴定实验中，盛装待测液的锥形瓶没有润洗，对实验结果无影响B.用容量瓶配制一定物质的量浓度的溶液，定容时俯视刻度线，所配溶液浓度偏低C.用润湿的pH试纸测某溶液的pH，测定结果不一定有误差D.测定中和热的实验中，将碱液缓慢倒入酸溶液中，所测中和热数值偏低7．分类是化学学习和研究的常用手段。
2018年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)
2018年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x ≥2}，B ＝{x|0≤x <6}，则集合(∁U A)∩B ＝（ ） A.{x|0<x <2} B.{x|0<x ≤2} C.{x|0≤x <2} D.{x|0≤x ≤2} 【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】求出∁U A ，再由交集的定义，可得(∁U A)∩B ． 【解答】全集U ＝R ，集合A ＝{x|x ≥2}， ∁U A ＝{x|x <2}， 又B ＝{x|0≤x <6}，可得(∁U A)∩B ＝{x|0≤x <2}，2. 在复平面内复数z =3+4i i（i 是虚数单位）对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【解答】 ∵ z =3+4i i=(3+4i)(−i)−i 2=4−3i ，∴ 在复平面内复数z 对应的点的坐标为(4, −3)，在第四象限．3. 向量a →=(m, 1)，b →=(1, m)，则“m ＝1”是“a → // b →”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】a → // b →⇔m 2−1＝0，解得m ，即可判断出判断出结论． 【解答】a → // b →⇔m 2−1＝0，解得m ＝±1． ∴ “m ＝1”是“a → // b →”的充分必要条件．4. 若实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +y −1≤0y ≥0 ，则z =x +2y 的最大值是（ ）A.−1B.1C.2D.3【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【解答】作出不等式组对应的平面区域如图： 设z =x +2y 得y =−12x +12z ，平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A(0, 1)时， 直线y =−12x +12z 的截距最大，此时z 最大， 此时z =2，5. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为2π3，则a 的值为（A.2√2B.2C.1D.√23【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】首先根据三视图整理出复原图，进一步利用体积公式求出结果． 【解答】该几何体是由一个圆柱体挖去两个半球， 则：2π3=π∗(a 2)2−4π(a 2)33，解得：a=26. 已知{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和，若a1=1，a3⋅a5=64，则S6=()A.65B.64C.63D.62【答案】C【考点】等比数列的性质等比数列的前n项和【解析】根据题意，数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得a1q2×a1q4=q6=64，解可得q的值，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．【解答】根据题意，各项均为正数的等比数列{a n}中，设其公比为q，若a1=1，a3⋅a5=64，则有a1q2×a1q4=q6=64，又由q>0，则q=2，S6=a1(1−q6)1−q=63；7. 中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明．如图所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”．若cos2∠BAE=725，则在正方形ABCD内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH内的概率为（）A.24 25B.45C.35D.125【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由已知求得cos∠BAE=45，设勾股形的勾股数分别为3，4，则弦为5，利用面积比得答案．【解答】由cos2∠BAE=725，得2cos2∠BAE−1=725，∴cos∠BAE=45，设勾股形的勾股数分别为3，4，则弦为5，故大正方形的面积为25，小正方形的面积为(4−3)2=1，∴在正方形ABCD内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH内的概率为125．8. 过直线y=2x+3上的点作圆x2+y2−4x+6y+12=0的切线，则切线长的最小值为（）A.√19B.2√5C.√21D.√555【答案】A【考点】圆的切线方程直线与圆相交的性质【解析】要使切线长最小，需直线y=2x+3上的点和圆心之间的距离最短，求出圆心到直线y=2x+3的距离d，可得切线长的最小值为√d2−r2．【解答】化圆x2+y2−4x+6y+12=0为(x−2)2+(y+3)2=1，要使切线长最小，需直线y=2x+3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2, −3)到直线y=2x+3的距离d，d=√5=2√5，故切线长的最小值为√d2−r2=√19，9. 如图所示，若程序框图输出的所有实数对(x, y)所对应的点都在函数f(x)=ax2+bx+c的图象上，则∫1f(x)dx=()A.10 11B.1112C.1312D.1211【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图给出满足条件的点，进而求出函数解析式，积分可得答案．【解答】当x =1，y =1时，满足进行循环的条件，输出(1, 1)，x =2，y =2； 当x =2，y =2时，满足进行循环的条件，输出(2, 2)，x =3，y =4； 当x =3，y =4时，满足进行循环的条件，输出(3, 4)，x =4，y =8； 当x =4，y =8时，不满足进行循环的条件， 故{a +b +c =14a +2b +c =29a +3b +c =4，解得：{a =12b =−12c =1故f(x)=12x 2−12x +1，故∫1f(x)dx =(16x 3−14x 2+x)|01=1112，10. 过双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点F(2√2,0)作两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）A.2√2B.√2+1C.√3D.√2【答案】 D【考点】 双曲线的特性 【解析】四边形OAFB 的面积为4，则S △OAF =2，运用三角形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解得a =b =2，即可得到双曲线离心率的值． 【解答】过双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点F(2√2,0)作两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，在Rt △OAF 中，|AF|=c ⋅sin∠AOF =c ⋅b c =b ，同理，|OA|=a ，∴ S △OAF =12|OA|⋅|AF|=12ab ，又S △OAF =2，∴ ab =4，而c =2√2，即a 2+b 2=8，∴ a =b =2，∴ e =√2．11. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝4，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面α // 平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数y ＝f(x)的图象是（ ）A.B.C. D.【答案】D【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】过M作MN⊥平面ABCD，交AB于N，过N作NQ // AD，交CD于Q，过Q作QH // PD，交PC于H，连结MH，则平面MNQH是所求的平面α，由此能求出结果．【解答】过M作MN⊥平面ABCD，交AB于N，过N作NQ // AD，交CD于Q，过Q作QH // PD，交PC于H，连结MH，则平面MNQH是所求的平面α，∵过点M作平面α // 平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，平面α与平面PAD之间的距离为x，∴2−x2=MN4，解得MN＝4−2x，AN AB =PMPB=MHBC，即x2=MH2，∴MH＝x，NQ＝2，∴函数y＝f(x)=x+22⋅(4−2x)=−x2+4，(0<x<2)．∴函数y＝f(x)的图象如下图．12. 对于任意b>0，a∈R，不等式[b−(a−2)]2+[lnb−(a−1)]2≥m2−m恒成立，则实数m的最大值为（）A.√eB.2C.eD.3【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据两点间的距离公式和函数图象求出[b−(a−2)]2+[lnb−(a−1)]2的最小值，再解出m的范围．【解答】令A(b, lnb)，B(a−2, a−1)，则|AB|2=[b−(a−2)]2+[lnb−(a−1)]2．且A在函数y=lnx的图象上，B在直线y=x+1上．设直线y=x+c与y=lnx相切，切点为C(p, q)，则{1p=1q=lnpq=p+c，解得p=1，q=0，c=−(1)∴|AB|的最小值为C(1, 0)到直线y=x+1的距离√2，∴[b−(a−2)]2+[lnb−(a−1)]2≥2，∴2≥m2−m，解得−1≤m≤(2)故选：B．二、填空题：本题共4小题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）二项式(√x−2x)6展开式中常数项为________．【答案】60【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．【解答】二项式(√x−2x )6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−2)r⋅x6−3r2，令6−3r2=0，求得r=2，故展开式中常数项为C62⋅22=60，已知数列{a n}满足a1=15，a n+1−a nn =2，则a nn的最小值为________．【答案】274【考点】数列递推式【解析】把已知数列递推式变形，利用累加法求出数列的通项公式，得到a nn关于n的函数，然后利用函数单调性求得最小值．【解答】由a n+1−a nn=2，得a n+1−a n=2n，∵a1=15，∴a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(a n−a n−1)=15+2+4+...+2(n−1)=15+2×n(n−1)2=n2−n+(15)∴a nn =n+15n−1，令f(x)=x+15x −1，得f′(x)=1−15x2=x2−15x2，∴当n取1，2，3时，n+15n −1减小，当n取大于等于4的自然数时n+15n−1的值增大．∵n=3时，a nn =3+5−1=7；n=4时，a nn=4+154−1=274．∴a nn 的最小值为274．在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物．甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”．如果三人中只有一人说的是真的，请问________（填“甲”、“乙”或“丙”）获得了礼物．【答案】甲【考点】进行简单的合情推理【解析】假设甲说的是真的，即礼物不在甲处，根据三人中只有一人说的是真的推出矛盾结论，可知假设错误，从而得到答案．【解答】假设甲说的是真的，即礼物不在甲处，∵三人中只有一人说的是真的，则乙、丙说的是假的，∴由乙说话可知礼物不在乙处，由并说话可知礼物在乙处，矛盾．故假设错误，即甲说的是假的，则礼物在甲处．抛物线C:y2=4x的焦点为F，过准线上一点N作NF的垂线交y轴于点M，若抛物线C上存在点E，满足2NE→=NM→+NF→，则△MNF的面积为________．【答案】3√22【考点】抛物线的求解【解析】根据抛物线的性质和2NE→=NM→+NF→可知NE // x轴，从而可得E点坐标，求出M、N的坐标，计算MN，NF即可求出三角形的面积．【解答】准线方程为x=−1，焦点为F(1, 0)，不妨设N在第三象限，∵2NE→=NM→+NF→，∴E是MF的中点，∴NE=12MF=EF，∴NE // x轴，又E为MF的中点，E在抛物线y2=4x上，∴ E(12, −√2)，∴ N(−1, −√2)，M(0, −2√2)， ∴ NF =√6，MN =√3， ∴ S △MNF =12×√6×√3=3√22三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m →=(cosB, cosC)，n →=(2a +c, b)，且m →⊥n →． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若b =6，求△ABC 周长的取值范围． 【答案】（1）∵ m ⊥n ，则有cosB ⋅(2a +c)+cosC ⋅b =0， ∴ cosB ⋅(2sinA +sinC)+cosC ⋅sinB =0∴ 2cosBsinA =−(sinC ⋅cosB +cosC ⋅sinB)=−sin(B +C)=−sinA ， ∴ cosB =−12，∴ B =2π3．（2）根据余弦定理可知b 2=a 2+c 2−2accosB ，∴ 36=a 2+c 2+ac ， 又∵ 36=(a +c)2−ac ，∴ (a +c)2−36=ac ≤(a+c 2)2，∴ 6<a +c ≤4√3，则△ABC 周长的取值范围是(12,6+4√3]． 【考点】 余弦定理 【解析】(Ⅰ)利用向量垂直，结合两角和与差的三角函数，转化求解角B 的大小；(Ⅱ)利用余弦定理以及基本不等式求出a +c 的范围，然后求解三角形的周长的范围即可． 【解答】（1）∵ m ⊥n ，则有cosB ⋅(2a +c)+cosC ⋅b =0， ∴ cosB ⋅(2sinA +sinC)+cosC ⋅sinB =0∴ 2cosBsinA =−(sinC ⋅cosB +cosC ⋅sinB)=−sin(B +C)=−sinA ， ∴ cosB =−12，∴ B =2π3．（2）根据余弦定理可知b 2=a 2+c 2−2accosB ，∴ 36=a 2+c 2+ac ， 又∵ 36=(a +c)2−ac ，∴ (a +c)2−36=ac ≤(a+c 2)2，∴ 6<a +c ≤4√3，则△ABC 周长的取值范围是(12,6+4√3]．四棱台被过点A 1，C 1，D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60∘，BB 1⊥平面ABCD ，BB 1=2． (Ⅰ)求证：平面AB 1C ⊥平面BB 1D ；(Ⅱ)若AA 1与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角A 1−BD −C 1的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明：∵ BB 1⊥平面ABCD ，∴ BB 1⊥AC ． 在菱形ABCD 中，BD ⊥AC ，又BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥平面BB 1D ，∵ AC ⊂平面AB 1C ，∴ 平面AB 1C ⊥平面BB 1D ． (Ⅱ)∵ BB 1⊥平面ABCD∴ AA 1与底面ABCD 所成角为∠A 1AB ，∴ tan∠A 1AB =2，∴ A 1B 1=1， 设BD ，AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．则B(0, −1, 0)，D(0, 1, 0)，B 1(0, −1, 2)，A(√3,0,0).B 1A 1→=12BA →⇒A 1(√32,−12,2)，同理C 1(−√32,−12,2)，BA 1→=(√32,12,2)，BD →=(0,2,0)，BC 1→=(−√32,12,2)．设平面A 1BD 的法向量n →=(x,y,z)， ∴ {BA 1→∗n →=0BD →∗n →=0则n →=(−4,0,√3)，设平面C 1BD 的法向量m →=(x ′,y ′,z ′)，{BD →∗m →=0BC 1→∗m →=0则m →=(4,0,√3)，设二面角A 1−BD −C 1为θ，cosθ=|m →∗n →||m →||n →|=1319．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)证明BB 1⊥AC ．BD ⊥AC ，推出AC ⊥平面BB 1D ，然后证明平面AB 1C ⊥平面BB 1D ． (Ⅱ)设BD ，AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，平面A 1BD 的法向量，平面C 1BD 的法向量，二面角A 1−BD −C 1为θ，利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】(Ⅰ)证明：∵ BB 1⊥平面ABCD ，∴ BB 1⊥AC ． 在菱形ABCD 中，BD ⊥AC ，又BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥平面BB 1D ，∵ AC ⊂平面AB 1C ，∴ 平面AB 1C ⊥平面BB 1D ． (Ⅱ)∵ BB 1⊥平面ABCD∴ AA 1与底面ABCD 所成角为∠A 1AB ，∴ tan∠A 1AB =2，∴ A 1B 1=1， 设BD ，AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．则B(0, −1, 0)，D(0, 1, 0)，B 1(0, −1, 2)，A(√3,0,0).B 1A 1→=12BA →⇒A 1(√32,−12,2)，同理C 1(−√32,−12,2)，BA 1→=(√32,12,2)，BD→=(0,2,0)，BC 1→=(−√32,12,2)．设平面A 1BD 的法向量n →=(x,y,z)，∴ {BA 1→∗n →=0BD →∗n →=0则n →=(−4,0,√3)，设平面C 1BD 的法向量m →=(x ′,y ′,z ′)，{BD →∗m →=0BC 1→∗m →=0则m →=(4,0,√3)，设二面角A 1−BD −C 1为θ，cosθ=|m →∗n →||m →||n →|=1319．2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战．某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图． (Ⅰ)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量y （单位：千万立方米）与年份x （单位：年）之间的关系．并且已知y 关于x 的线性回归方程是yˆ=6.5x +aˆ，试确定a ˆ的值，并预测2018年该地区的天然气需求量； (Ⅱ)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元，B 类：每车补贴2.5万元，C 类：每车补贴3.4万元．某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如表：源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查．若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”，求ξ的分布列及期望．【答案】(Ⅰ)如折线图数据可知x =2008+2010+2012+2014+20165=2012，y =236+246+257+276+2865=260.2代入线性回归方程yˆ=6.5x +a ˆ可得a ˆ=−12817.8． 将x =2018代入方程可得yˆ=299.2千万立方米． (Ⅱ)根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆 则当A 类抽1辆，B 类抽1辆时，ξ=3.5，此时P(ξ=3.5)=C 11C21C 62=215；当A 类抽1辆，C 类抽1辆时，ξ=4.4，此时P(ξ=4.4)=C 11C31C 62=315； 当B 类抽1辆，C 类抽1辆时，ξ=5.9，此时P(ξ=5.9)=C 21C31C 62=615=25；当B 类抽2辆时，ξ=5，此时P(ξ=5)=C 22C 62=115；当C 类抽2辆时，ξ=6.8，此时P(ξ=6.8)=C 32C 62=315=15．所以ξ的分布列为：∴ Eξ=3.5×215+4.4×315+5.9×25+5×115+6.8×15=275（万元）【考点】求解线性回归方程离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】(Ⅰ)由折线图数据求得样本中心，带入回归直线方程，求出a ，然后将x =2018代入方程可得yˆ=299.2千万立方米． (Ⅱ)根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【解答】(Ⅰ)如折线图数据可知x =2008+2010+2012+2014+20165=2012，y =236+246+257+276+2865=260.2代入线性回归方程y ˆ=6.5x +a ˆ可得a ˆ=−12817.8．将x =2018代入方程可得yˆ=299.2千万立方米． (Ⅱ)根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆 则当A 类抽1辆，B 类抽1辆时，ξ=3.5，此时P(ξ=3.5)=C 11C21C 62=215；当A 类抽1辆，C 类抽1辆时，ξ=4.4，此时P(ξ=4.4)=C 11C31C 62=315； 当B 类抽1辆，C 类抽1辆时，ξ=5.9，此时P(ξ=5.9)=C 21C31C 62=615=25；当B 类抽2辆时，ξ=5，此时P(ξ=5)=C 22C 62=115；当C 类抽2辆时，ξ=6.8，此时P(ξ=6.8)=C 32C 62=315=15．所以ξ的分布列为：∴ Eξ=3.5×215+4.4×315+5.9×25+5×115+6.8×15=275（万元）椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线l与椭圆E 在第一象限交于点P ，若|PF 1|=5，且3a =b 2． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点．若直线AB 过点(1, −1)，且∠APF 2=∠BPF 2，求直线AB 的方程． 【答案】(Ⅰ)由题可得|PF 2|=b 2a=3，因为|PF 1|=5，由椭圆的定义得a =4，所以b 2=12，所以椭圆E 方程为x 216+y 212=1． (Ⅱ)易知点P 的坐标为(2, 3)．因为∠APF 2=∠BPF 2，所以直线PA ，PB 的斜率之和为(0)设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为−k ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则直线PA 的方程为y −3=k(x −2)，由{y −3=k(x −2)x 216+y 212=1可得(3+4k 2)x 2+8k(3−2k)x +4(3−2k)2−48=0， ∴ x 1+2=8k(2k+3)3+4k 2同理直线PB 的方程为y −3=−k(x −2)，可得x 2+2=−8k(−2k−3)3+4k 2=8k(2k+3)3+4k 2，∴ x 1+x 2=16k 2−123+4k 2，x 1−x 2=−48k 3+4k 2，k AB =y 1−y2x 1−x 2=k(x 1−2)+3+k(x 2−2)−3x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4kx 1−x 2=12，∴ 满足条件的直线AB 的方程为y +1=12(x −1)，即为x −2y −3=(0)【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆结合的最值问题 【解析】(Ⅰ)由椭圆的定义以及已知条件求出a =4，b 2=12，可得椭圆E 方程．(Ⅱ)易知点P 的坐标为(2, 3)．通过∠APF 2=∠BPF 2，设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为−k ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则直线PA 的方程为y −3=k(x −2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求出直线的斜率，然后求解直线方程． 【解答】(Ⅰ)由题可得|PF 2|=b 2a=3，因为|PF 1|=5，由椭圆的定义得a =4，所以b 2=12，所以椭圆E 方程为x 216+y 212=1．(Ⅱ)易知点P 的坐标为(2, 3)．因为∠APF 2=∠BPF 2，所以直线PA ，PB 的斜率之和为(0)设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为−k ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则直线PA 的方程为y −3=k(x −2)，由{y −3=k(x −2)x 216+y 212=1 可得(3+4k 2)x 2+8k(3−2k)x +4(3−2k)2−48=0， ∴ x 1+2=8k(2k+3)3+4k 2同理直线PB 的方程为y −3=−k(x −2)，可得x 2+2=−8k(−2k−3)3+4k 2=8k(2k+3)3+4k 2，∴ x 1+x 2=16k 2−123+4k 2，x 1−x 2=−48k 3+4k 2，k AB =y 1−y2x 1−x 2=k(x 1−2)+3+k(x 2−2)−3x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4kx 1−x 2=12，∴ 满足条件的直线AB 的方程为y +1=12(x −1)，即为x −2y −3=(0)已知函数f(x)=alnx ，a ∈R ．(Ⅰ)若曲线y =f(x)与曲线g(x)=√x 在公共点处有共同的切线，求实数a 的值； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，试问函数F(x)=xf(x)−xe 1−x 2+1是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由． 【答案】(Ⅰ)函数f(x)=alnx 的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=ax ，g ′(x)=2√x设曲线y =f(x)与曲线g(x)=√x 公共点为(x 0, y 0)由于在公共点处有共同的切线，所以ax 0=2x ，解得x 0=4a 2，a >(0) 由f(x 0)=g(x 0)可得alnx 0=√x 0．联立{x 0=4a 2alnx 0=√x 0 解得a =e2． (Ⅱ)函数F(x)=xf(x)−xe 1−x 2+1是否有零点，转化为函数H(x)=xf(x)=e2xlnx与函数G(x)=xe 1−x 2−1在区间x ∈(0, +∞)是否有交点，H(x)=xf(x)=e2xlnx ，可得H ′(x)=e2lnx +e2=e2(1+lnx)，令H ′(x)>0，解得x ∈(1e ,+∞)，此时函数H(x)单调递增； 令H ′(x)<0，解得x ∈(0,1e )，此时函数H(x)单调递减．∴ 当x =1e 时，函数H(x)取得极小值即最小值，H(1e)=−12.G(x)=xe 1−x 2−1可得G ′(x)=12(1−x)e 1−x ，令G ′(x)>0，解得0<x <1，此时函数G(x)单调递增； 令G ′(x)<0，解得x >1，此时函数G(x)单调递减．∴ 当x =1时，函数G(x)取得极大值即最大值，G(1)=−12． 因此两个函数无交点．即函数F(x)=xf(x)−xe 1−x 2+1无零点．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ)函数f(x)=alnx 的定义域为(0, +∞)，求出导函数，利用曲线y =f(x)与曲线g(x)=√x 公共点为(x 0, y 0)由于在公共点处有共同的切线，解得x 0=4a 2，a >(0)f(x 0)=g(x 0)解得a =e2即可． (Ⅱ)函数F(x)=xf(x)−xe 1−x 2+1是否有零点，转化为函数H(x)=xf(x)=e2xlnx 与函数G(x)=xe 1−x 2−1在区间x ∈(0, +∞)是否有交点，构造函数H(x)=xf(x)=e2xlnx ，可得H ′(x)=e2lnx +e2=e2(1+lnx)，利用函数的单调性，求解函数的最小值以及极大值，推出结果即可． 【解答】(Ⅰ)函数f(x)=alnx 的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=ax ，g ′(x)=2√x 设曲线y =f(x)与曲线g(x)=√x 公共点为(x 0, y 0)由于在公共点处有共同的切线，所以ax 0=2x ，解得x 0=4a 2，a >(0) 由f(x 0)=g(x 0)可得alnx 0=√x 0．联立{x 0=4a 2alnx 0=√x 0 解得a =e2． (Ⅱ)函数F(x)=xf(x)−xe 1−x 2+1是否有零点，转化为函数H(x)=xf(x)=e2xlnx与函数G(x)=xe 1−x 2−1在区间x ∈(0, +∞)是否有交点，H(x)=xf(x)=e2xlnx ，可得H ′(x)=e2lnx +e2=e2(1+lnx)，令H ′(x)>0，解得x ∈(1e ,+∞)，此时函数H(x)单调递增；令H ′(x)<0，解得x ∈(0,1e )，此时函数H(x)单调递减．∴ 当x =1e 时，函数H(x)取得极小值即最小值，H(1e)=−12.G(x)=xe 1−x 2−1可得G ′(x)=12(1−x)e 1−x ，令G ′(x)>0，解得0<x <1，此时函数G(x)单调递增； 令G ′(x)<0，解得x >1，此时函数G(x)单调递减．∴ 当x =1时，函数G(x)取得极大值即最大值，G(1)=−12． 因此两个函数无交点．即函数F(x)=xf(x)−xe 1−x 2+1无零点．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C 1:(x −√3)2+(y −1)2=4，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 1绕极点逆时针旋转π6后得到的曲线记为C 2． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)射线θ=π3(p >0)与曲线C 1，C 2分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求|AB|． 【答案】(Ⅰ)曲线C 1:(x −√3)2+(y −1)2=4化为极坐标方程是ρ=2√3cosθ+2sinθ， 设曲线C 2上的点Q(ρ, θ)，绕极点顺时针旋转π6后得到P(ρ,θ−π6)， 在C 1上代入可得C 2的极坐标方程是ρ=2cosθ+2√3sinθ． (Ⅱ)将θ=π3(ρ>0)分别代入C 1，C 2的极坐标方程，得到ρ1=2√3，ρ2=4，∴ |AB|=|ρ1−ρ2|=4−2√3． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)曲线C 1化为极坐标方程是ρ=2√3cosθ+2sinθ，设曲线C 2上的点Q(ρ, θ)，绕极点顺时针旋转π6后得到P(ρ,θ−π6)，在C 1上代入可得C 2的极坐标方程．(Ⅱ)将θ=π3(ρ>0)分别代入C 1，C 2的极坐标方程，得到ρ1=2√3，ρ2=4，由此能求出|AB|． 【解答】(Ⅰ)曲线C 1:(x −√3)2+(y −1)2=4化为极坐标方程是ρ=2√3cosθ+2sinθ， 设曲线C 2上的点Q(ρ, θ)，绕极点顺时针旋转π6后得到P(ρ,θ−π6)， 在C 1上代入可得C 2的极坐标方程是ρ=2cosθ+2√3sinθ． (Ⅱ)将θ=π3(ρ>0)分别代入C 1，C 2的极坐标方程， 得到ρ1=2√3，ρ2=4，∴ |AB|=|ρ1−ρ2|=4−2√3．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=m−|x−2|，m∈R，且f(x+2)≥0的解集为[−1, 1]．(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)若a，b，c∈R，且1a +12b+13c=m，求证：a+2b+3c≥9．【答案】(Ⅰ)函数f(x)=m−|x−2|，m∈R，故f(x+2)=m−|x|，由题意可得m−|x|≥0的解集为[−1, 1]，即|x|≤m的解集为[−1, 1]，故m=(1)(Ⅱ)由a，b，c∈R，且1a +12b+13c=m=1，∴a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)=1+2ba +3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba +3ca+a2b+3c2b+a3c+2b3c≥3+6=9，当且仅当2ba=3ca=a2b=3c2b=a3c=2b3c=1时，等号成立．所以a+2b+3c≥9【考点】带绝对值的函数不等式的证明【解析】(Ⅰ)由条件可得f(x+2)=m−|x|，故有m−|x|≥0的解集为[−1, 1]，即|x|≤m的解集为[−1, 1]，故m=(1)(Ⅱ)根据a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)=1+2ba+3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1，利用基本不等式证明它大于或等于(9)【解答】(Ⅰ)函数f(x)=m−|x−2|，m∈R，故f(x+2)=m−|x|，由题意可得m−|x|≥0的解集为[−1, 1]，即|x|≤m的解集为[−1, 1]，故m=(1)(Ⅱ)由a，b，c∈R，且1a +12b+13c=m=1，∴a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)=1+2ba +3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba +3ca+a2b+3c2b+a3c+2b3c≥3+6=9，当且仅当2ba=3ca=a2b=3c2b=a3c=2b3c=1时，等号成立．所以a+2b+3c≥9。
甘肃省2018年高考理科数学试题及答案汇总(word解析版)
绝密★启用前甘肃省2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准备粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不用折叠，不用弄破，弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A. B. C. D.2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 3.函数f（x）=（e ²-e-x）/x ²的图像大致为 A.B.C.D. 4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a²b=-1,则a²（2a-b）= A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 5.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为 A. y=±x B. y=±x C. y=± D. y=± 6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= A. 4 B. C. D. 2 7.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A. i=i+1 B. i=i+2 C. i=i+3 D. i=i+4 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=为则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值A. B. C. D. 10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是 A. B. C. D. π 11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。
甘肃河西五市高三第一次联考数学试题及答案
辽宁省抚顺市08-09学年普通高中高一上学期期末教学质量检测高一数学试卷题号 一 二 三 总分20 21 22 23 24得分试卷满分100分，考试时间90分钟．得分 评卷人 一、选择题：本大题共14个小题，每小题3 分，共42分． 在每小题后的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内．1．将集合“正奇数的全体”用描述法表示正确的是 （） A ．{x |21x n =+，n +∈N } B ．{x |21x n =-，n ∈+N }C ．{x |21x n =-，n ∈Z }D ．{x |21x n =+，n ∈Z }2．已知集合A={2|160x x -=}，B={2|120x x x --=}，则集合A B 是 （ ）A ． {-4，3，4}B ． {-3，-4，4}C ． {3，4}D ． {-3， 4}3．已知函数2f x =，则函数()f x 的表达式为 （） A ．42()21(0)f x x x x =++≥ B ．42()21(0)f x x x x =-+≥C ．42()21(1)f x x x x =++≥D ．42()21(1)f x x x x =-+≥4．如图1，是偶函数()y f x =所给信息，下列结论正确的是（ ） A ．(1)(2)0f f -->B ．(1)(2)0f f --=C ．(1)(2)0f f --<D ．(1)(2)0f f +-<5．已知二次函数2()(1)2f x a x =+-的图象经过坐标原点，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 有最大值2 B ．函数()f x 有最小值2C ．函数()f x 有最大值-2D ．函数()f x 有最小值-26．已知函数3()f x x x =--，若实数1x ，2x ，3x 满足120x x +>，230x x +>， 310x x +>，则下列结论一定正确的是 （） A ．123()()()(0)f x f x f x f ++> B ．123()()()(0)f x f x f x f ++=C ．123()()()(0)f x f x f x f ++<D ．123()()()2(0)f x f x f x f ++=7．函数y = （） A ．{|0x x >}和{|0y y >} B ．{|0x x >}和{|1y y ≥}C ．{|0x x ≥}和{|0y y >}D ．{|0x x ≥}和{|1y y ≥}8．式子832log 9log 27的值为 （ ） A ． 25 B ． 52 C ． 109 D ． 9109．下列判断正确的是 （ ）A ．棱柱中两个互相平行的面间的距离叫做棱柱的高B ．三棱锥的侧面可以都是直角三角形C ．底面是正多边形的棱台是正棱台D ．直平行六面体一定是正四棱柱10．如图2，是将一个正方体沿两个顶点及棱上一点截去一个“大角”后水平放置的直观图，则它的府视图为 （ ）A ．B ．C ．D ．11．下列说法正确的是 （ ）A ．过平面外的一点，可以作无数条直线与这个平面平行B ．过平面外的一点，可以作无数个平面与这个平面平行C ．若一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直D ．过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直12．已知点A （1，2），点B （3，4），则在坐标轴上到点A 与点B 的距离相等的点的坐标是 （ ）A ．（5，0）和（-5，0）B ．（0，5）和（0，-5）C ．（5，0）和（0，5）D ．（5，0）和（0，-5）13．下列各组直线中，互相垂直的一组是 （ ）A ．3470x y --=与121670x y --=B ．3470x y --=与121670x y ++=C ．2560x y +-=与2560x y --=D ．2560x y +-=与5260x y -+=14．已知一条直线经过点P （2，1），且与圆2210x y +=相交，截得的弦长为直线的方程为 （ ）A ．250x y ++=B ．250x y +-=图2C．250x y-+= D．250x y--=得分评卷人二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案直接写在题后的横线上．15．函数23()(1)(1)f x x x=-+的零点是．16．已知函数21(3)()13(3)x xf xx x-⎧=⎨-<⎩≥，则((2))f f-的值是．17．如果二次函数254y x mx=++在区间（-∞，1]-上是减函数，在区间[1-，+∞）是增函数，则m的值是．18．设正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2cm和6cm，侧棱长为5cm，则这个正四棱台的高为 cm．19．已知长方体有正方形的侧面，三条棱AB，AC，AD，若点A（0，0，0），点B（3，0，0），点C（0，2，0），点D（0，0，m）在z轴的正半轴上，则m的值是．三、解答题：本大题共5个小题，满分43分，解答要求写出步骤过程得分评卷人 20．本题满分10分（每小题各5分）（1）试说明函数2()23f x x ax=+-的最小值为负数，并求出当最小值为-4时的a值．（2）计算：12266411 log(6)(0.2)lg4lg25log 3427--+⨯---．得分评卷人 21．本题满分8分如图3：在空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面BCD；（2）若F是AB的中点，BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的长．得分评卷人 22已知圆C经过点A（0，5）、B（1）求圆C的方程；（2）求斜率为2且与圆C得分评卷人 23某服装加工厂对外批发某种服装，生产成本为每件60元．该加工厂为了鼓励零售商大批量购买，推出优惠政策：一次购买不超过50件时，只享受批发价；一次购买超过50件时，每多．购买1件，购买者所购买的所有．．服装可在享受批发价的基础上，每件再降低0.2元，但每件最低价不低于50元．（1）试写出该种服装实际售价()f x与销售数量x的函数关系式；（2）在每件实际售价高于50元时，购买者一次购买多少件，加工厂获得的利润最大？（利润=销售总额－成本）得 分 评卷人 24．本题满分9分已知0a >且1a ≠，211(log )()1a f x x a x=--． （1）求函数()f x 的解析式；（2）试判定函数()f x 的奇偶性与单调性；（3）若对于函数()f x ，当x ∈（-1，1）时，有(1)(32)0f m f m -+-<恒成立，求实数m 的取值范围．抚顺市08-09学年普通高中高一上学期期末教学质量检测高一数学试卷参考答案与评分标准15、二重零点-1和零点1；16、13；17、10；1819、2或3．三、解答题：共5个小题，满分43分．20、本题满分10分．（1）解：因为22()()3f x x a a =+--，所以当x a =-时，()f x 取得最小值23a --，又对于a ∈R ，20a -≤，230a --<，所以()f x 取得最小值为负数……3分当234a --=-时，解得1a =-或1a =……2分（2）解：原式=12264251log 27()()lg(425)345--⨯+⨯-⨯ ……3分 =2262log 625lg102102105+⨯-=+-= ……2分 21、本题满分8分．（1）证明：因为AC=AD ，BC=BD ，且E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ，且AE ⊥CD ，又AE BE=E ，所以CD ⊥平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面BCD ……3分（2）因为E 是CD 的中点，所以CE=ED ，由（1）知BE ⊥CD ，且AE ⊥CD ，所以BC 2=BE 2+CE 2=BE 2+ED 2，AD 2=AE 2+ED 2，因为BC=AD ，所以AE = BE ……3分AB 的中点，所以AF=FB=4，且EF ⊥AB ，所以=2分22、本题满分8分．解：（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则有525025034250E F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+--=⎩，解这个方程组得D=6，E=-2，F=-15……3分所以圆C 的方程为22(3)(1)25x y ++-=……2分（2）由题意设所求直线的方程为2y x b =+5=，得7b =±所以直线方程为27y x =++或27y x =+-3分23、本题满分8分．解：（1）设购买者一次购买x 件，每件实际售价恰好是50元，则由题得：60(50)0.250x --⨯=，解得100x = ……1分 所以60(050)1()70(50100)550(100)x f x x x x <⎧⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎩≤≥ ……3分 （2）当050x <≤时，加工厂的利润为604020x x x -=，最大利润为当50x =时取得，最大利润为20501000⨯=元……1分当50100x <<时，加工厂的利润为211(70)403055x x x x x --=-+， 最大利润为当75x =时取得，最大利润为1125元，答：当购买者一次购买75件时，加工厂获得的利润最大，为1125元……3分24、本题满分9分．解：（1）令log a x t =，则t x a =，得21()()1t t f t a a a -=--， 所以21()()1x x f x a a a -=-- ……2分 （2）因为2211()()()()11x x x x f x a a a a f x a a ---=-=--=---， 所以函数()f x 为奇函数……1分任取12x x <，则2112()2121()()()(1)1x x x x f x f x a a a a -+-=-+- 因为当0a >且1a ≠，恒有21()()0f x f x ->，所以()f x 为增函数……3分（3）因为()f x 为奇函数，所以由(1)(32)0f m f m -+-<得(1)(32)(23)f m f m f m -<--=-，又()f x 为增函数，所以有1111321123m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得1132m << ……3分。
甘肃省河西五市部分高中2017-2018学年高三第一次联考化学试卷 Word版含解析
2017-2018学年甘肃省部分普通高中高三第一次联考化学试卷第I卷（选择题共46分）相对原子质量：：H—1 C —12 N —14 O —16 Na —23 Mg —24 Al —27 S —32 Cl —35.5 Fe—56 Cu—64 Br —80 Ag —108 Ti —48 Ca—40一、单项选择题（每题2分，共46分，每小题只有一个选项符合题意）1、化学与社会、生活密切相关，下列说法正确的是A、“歼-20”飞机上使用的碳纤维是一种新型的有机高分子材料B、工业上通常用电解Na、Mg、Al对应的氯化物制取该三种金属单质C、Fe3O4俗称铁红，常做红色油漆和涂料D、燃料电池的燃料都在负极发生氧化反应答案：D【ks5u解析】A．碳纤维是由有机纤维经碳化及石墨化处理而得到的微晶石墨材料，不属于新型有机高分子材料，故A错误；B．工业上通常用电解Al对应的氧化物制取该金属单质，氯化铝为共价化合物，故B错误；C．铁红是指三氧化二铁，常做红色油漆和涂料，故C错误；D．燃料电池的燃料都在负极，化合价升高，失去电子，发生氧化反应，故D正确；故选：D．2.等物质的量的X(g)与Y(g)在密闭容器中进行反应：X(g)+2Y(g)⇌3Z(g)+Q(s) △H >0，下列叙述正确的是：A、当容器中X与Y的物质的量的比满足1：2时反应达到平衡B、达到平衡时X的转化率为25%，则平衡常数K值为9/4C、达到平衡后，反应速率2V正(Y)=3 V逆(Z)D、达到平衡后，加入Q，平衡逆向移动答案：B【ks5u解析】A、当容器中X与Y的物质的量的比满足1：2时，并不一定是物质的量不变的状态，所以反应不一定达到平衡，故A错误；B、设起始时X和Y的物质的量浓度都为1mol/L，则X（g）+2Y（g）⇌3Z（g）+Q（s）初始量：1 1 0变化量：0.25 0.5 0.75 状态1：0.75 0.5 0.75Qc=320.750.750.5=94，所以平衡常数K值为9/4，故B正确；C、达到平衡后，反应速率3V正(Y)=2 V逆(Z)，而不是2V正(Y)=3 V逆(Z)，故C错误；D、到平衡后，加入Q，Q是固体，平衡不移动，故D错误；故选B．3．下列化学用语只能用来表示一种微粒的是：A． B．C．CH4O D．C答案：C【ks5u解析】A．可以是甲烷，也可以是硅烷，故A错误；B．可以用来表示氖原子或钠离子甚至氧离子等，故B错误；C．CH4O无同分异构体，只能用来表示甲醇，故C正确；D．C可以代表金刚石和石墨，故D错误．故选C．4．欲证明一瓶无色液体是纯水，可靠的实验方法是：A．测得其pH=7 B．电解时得到H2与O2的体积比为2：1C．遇钠生成氢气 D．1.01× 105Pa时沸点为100℃答案：D【ks5u解析】A．强酸强碱盐的水溶液pH=7，不能确定是否为纯水，故A错误；B．电解活泼金属的含氧酸盐时，得到H2、O2，体积比为2：1，不能确定是否含有纯水，故B错误；C．只要含有水，就能跟钠反应生成氢气，不能确定是否为纯水，故C错误；D．纯水在常压下的沸点为1000C，可通过测定沸点的方法证明是否为纯水，故D正确．故选D．5．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是：A．使甲基橙变红的溶液：Fe2＋、K＋、SO42－、NO3－B．加入铝粉产生氢气的溶液：Na＋、K＋、SO42－、Cl－C．0.1 mol·L－1NaAlO2溶液：Al3＋、Na＋、Cl－、NO3－D．水电离出的c(H＋)＝10－12mol·L－1的溶液：Na＋、K＋、NH4＋、CO32－答案：B【ks5u解析】A．使甲基橙变红的溶液呈酸性，Fe2＋、NO3－、H＋这几种离子发生氧化还原反应，所以不能大量共存，故A错误；B．在加入铝粉能产生氢气的溶液为强碱性溶液或非氧化性酸溶液，碱性条件下题中离子能大量存在，酸性条件下题中离子能大量存在，故B正确；C．AlO2-与Al3＋发生双水解Al3＋+3AlO2-+6H2O=4Al（OH）↓，故AlO2-与Al3＋不能大量共存，故C错误；D．水电离出的c（H+）=10-12mol•L-1的溶液中可能强酸或强碱性溶液，碱性溶液中NH4＋不能大量存在，酸性溶液中CO32－不能大量存在，故D错误；与故选B.6．下列实验事实不能用勒沙特列原理解释的是：答案：B【ks5u解析】A、二氧化氮生成四氧化二氮是放热反应，温度升高平衡向生成二氧化氮的方向移动，气体颜色加深，能够用勒夏特列原理解释，故A不选；B、该反应前后气体体积不变，加压平衡不移动，碘蒸气浓度增大，颜色加深，不能够用勒夏特列原理解释，故B选；C、沉淀能够转化为更难溶的程度，沉淀转化可用于勒夏特列原理解释，故C不选；D、氯水中含有次氯酸，加水稀释次氯酸电离程度增大，能够用勒夏特列原理解释，故D不选；故选B．7．有五种饱和溶液①Ba(NO3)2②Ca(OH)2③NaAlO2④Na2CO3⑤NH3和NaCl，分别持续通入CO2，最终得到沉淀或析出晶体的是：A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．③④⑤ D．③④答案：C【ks5u解析】：①碳酸比硝酸弱，二氧化碳与Ba（NO3）2溶液不反应，没有沉淀生成，故①错误；②酸性氧化物能与碱反应，过量的CO2与Ca（OH）2 反应：Ca（OH）2+2CO2═Ca（HCO3）2，无沉淀生成，故②错误；③NaAlO2溶液通入过量的二氧化碳，由于碳酸酸性比氢氧化铝强，所以生成氢氧化铝白色沉淀和碳酸氢钠，2H2O+NaAlO2+CO2=Al（OH）3↓+NaHCO3，故③正确；④过量的CO2通入饱和Na2CO3溶液中发生反应：Na2CO3+H2O+CO2═2NaHCO3↓，因为相同条件下碳酸氢钠溶解度比碳酸钠小，所以有NaHCO3晶体析出，故④正确；⑤反应发生NH3+CO2+NaCl+H2O=NaHCO3↓+NH4Cl，所以有NaHCO3晶体析出，故⑤正确；故选C．8．将40℃的饱和硫酸铜溶液升温至50℃，或者温度仍保持在40℃而加入少量无水硫酸铜，在这两种情况下均保持不变的是：A．硫酸铜的溶解度 B．溶液的质量C．溶液中溶质的质量分数D．溶液中Cu 2的数目答案：C【ks5u解析】因温度升高了10℃度，硫酸铜的溶解度增大，溶液变为不饱和的溶液，但是溶液的成分并没有变化，溶质的质量、溶液的质量、溶质的质量分数并没有变化．维持温度不变，硫酸铜的溶解度不变，但无水硫酸铜能与水结合，溶剂减少，析出溶质，溶液仍为饱和溶液，溶液的成分发生变化，溶质的质量、溶液的质量减少，但溶质的质量分数并没有变化．故选：C．9．关于三种有机物叙述错误的是（—SH的性质类似于—OH）：A．都能发生酯化反应B．都能与NaOH反应C．甲的苯环上的一氯代物有4种D．丙的分子式为C10H15ON，苯环上的一氯代物有3种答案：B【ks5u解析】A．甲乙含-COOH、丙中含-OH，均可发生酯化反应，故A正确；B．丙不能与NaOH反应，故B错误；C．甲苯环上有四种H，则甲的苯环上的一氯代物有4种，故C正确；D．由结构可知，丙的分子式为C10H15ON，结构对称，苯环上有3种H，苯环上的一氯代物有3种，故D正确；故选B．10．元素周期表中短周期的一部分如右图，关于X、Y、Z、W、Q说法正确的是：A. 元素Y与元素Z的最高正化合价之和的数值等于9B. 原子半径的大小顺序为：W＞Z＞YC. 离子半径的大小顺序为：W2-＞Y2-＞Z3+D. W的气态氢化物的热稳定性和还原性均比Q强答案：C【ks5u解析】根据元素在周期表中的位置知，X、Y、Z、W、Q分别是N、O、Al、S、Cl元素，A．Y为O元素，O元素非金属性较强，没有最高正化合价，故A错误；B．电子层数越多其原子半径越大，同一周期元素，原子半径随着原子序数增大而减小，所以原子半径大小顺序是Z＞W＞Y，故B错误；C．电子层数越多其离子半径越大，电子层结构相同的离子，离子半径随着原子序数增大而减小，硫离子有3个电子层，氧离子和铝离子有2个电子层，且铝原子序数大于O，所以离子半径大小顺序是W2-＞Y2-＞Z3+，故C正确；D．元素的非金属性越强，其气态氢化物的稳定性越强、还原性越弱，非金属性Q＞W，所以W的气态氢化物的热稳定性比Q弱，但还原性比Q强，故D错误；故选C．11．向含S2—、Fe2+、Br—、I—各0.1mol的溶液中通入Cl2，通入Cl2的体积（标准状况）和溶液中相关离子的物质的量关系图正确的是：答案：C【ks5u解析】离子还原性S2-＞I-＞Fe2+＞Br-，故首先发生反应S2-+Cl2=S+2Cl-，再发生反应2I-+Cl2=I2+2Cl-，然后发生反应2Fe2++Cl2=2Fe3++2Cl-，最后发生反应2Br-+Cl2=Br2+2Cl-，根据发生反应顺序计算离子开始反应到该离子反应完毕时氯气的体积，0.1molS2-完全反应需要消耗0.1mol氯气，0.1molI-完全反应消耗0.05氯气，0.1molFe2+完全反应消耗0.05氯气，0.1molBr-完全反应消耗0.05氯气.A.由S2-+Cl2=S2-+2Cl-可知，0.1molS2-完全反应需要消耗0.1mol氯气，标准状况下的Cl2的体积为0.1mol×22.4L/mol=2.24L，图象中氯气的体积不符合，故A错误；B．0.1molS2-完全反应需要消耗0.1mol氯气，0.1molI-完全反应消耗0.05氯气，故亚铁离子开始反应时氯气的体积为0.15mol×22.4L/mol=3.36L，由2Fe2++Cl2=2Fe3++2Cl-可知，0.1molFe2+完全反应消耗0.05氯气，故Fe2+完全时消耗的氯气体积为0.2mol×22.4L/mol=4.48L，图象与实际不符，故B错误；C．S2-、I-、Fe2+完全时消耗的氯气体积为0.2mol×22.4L/mol=4.48L，即溴离子开始反应时氯气的体积为4.48L，由2Br-+Cl2=2Br2+2Cl-可知，0.1molBr-完全反应消耗0.05氯气，故溴离子完全反应时消耗氯气的体积为4.48L+0.05mol×22.4L/mol=5.6L，图象中氯气的体积与实际符合，故C正确；D．0.1molS2-完全反应后，才发生2I-+Cl2=I2+2Cl-，0.1molS2-完全反应需要消耗0.1mol氯气，故开始反应时氯气的体积为2.24L，0.1molI-完全反应消耗0.05氯气，故0.1molI-完全反应时氯气的体积为0.15mol×22.4L/mol=3.36L，图象中氯气的体积不符合，故D错误；故选C．12．某苯的衍生物，含有两个互为对位的取代基，其分子式为C8H10O，其中不跟NaOH溶液反应的衍生物种类有：A．2种 B．3种 C．4种 D．5种答案：A【ks5u解析】由分子式可知分子中除了含有苯环，取代基中没有不饱和键，用C8H10O减去-C6H4（因为有两个取代基），还有-C2H6O，即其中有两个互为对位的取代基有两个碳，六个氢和一个氧．该物质不溶解于NaOH溶液，说明不含有酚羟基（即没有-OH直接连接在苯环上的结构），所以只能把-C2H6O分为1个-OCH3和1个-CH3或1个-CH2OH和1个-CH3这两种结构．故选A．13．常温时，将某浓度的CH3COOH溶液与pH＝13的NaOH溶液等体积混合后，恰好完全反应生成盐和水(若混合体积变化忽略不计)，则下列有关所得混合液的说法正确的是：A．混合后溶液pH＝7B．所得混合溶液中c(Na＋)>c(CH3COO－)>c(H＋)>c(OH－)C．所得混合溶液中存在c(CH3COOH)＋c(CH3COO－)＝0.05 mol·L－1D．混合后溶液中存在c(Na＋)＋c(H＋)＝c(CH3COOH)＋c(CH3COO－)答案：C【ks5u解析】A、常温时，将某浓度的CH3COOH溶液与pH＝13的NaOH溶液等体积混合后，恰好完全反应生成盐和水，醋酸钠水解溶液显碱性，pH大于7，A错误；B、所得混合溶液中c(Na＋)>c(CH3COO－) >c(OH－) >c(H＋)，B错误；C、二者恰好反应时，醋酸的浓度等于氢氧化钠的浓度，即醋酸浓度是0.1mol/L，则隔绝物料失衡可知所得混合溶液中存在c(CH3COOH)＋c(CH3COO－)＝0.05 mol·L－1，C正确；D、根据电荷守恒可知混合后溶液中存在c(Na＋)＋c(H＋)＝c(OH－)＋c(CH3COO－)，D错误；故选C。
2018甘肃省第一次高三理科诊断考试带解析
2018年甘肃省高三诊断考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集R U =，集合{}2≥=x A ，{}60<≤=x x B ，则集合()B A C U ⋂ A. {}20<<x x B.{}20≤<x x C.{}20<≤x x D.{}20≤≤x x2. 在复平面内复数（是虚数单位）对应的点在A. 第一象限B.第二象限C.第二象限D.第二象限3. 向量()1,m a =，()m b ,1=则“1=m ”是“b a //”的 A. 充分不必要条件 B.必要补充分条件B. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0,01,01y y x y x 则y x z 2+=的最大值是A. 1-B. 1C.2D.35. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为32π，则a 的值为 A.1 B. 2C.6.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若135164a a a =⋅=，，则6SA.65B. 64C.63D.627.中国古代数学家赵爽，创造了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明。
如图所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若7cos 225BEA ∠=，则正方形ABCD 内随机取一点，该店恰好在正方形内的概率为 A.2524 B. 54 C.35 D.1258.过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为A.19B. 529.如图所示，若程序框图输出的所有实数对所(),x y 对应的点都在函数()2f x ax bx c =++的图像上，则()1f x dx =⎰A.1110B.1211C.1312D.121110. 过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点()F 做两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）A .BC D11. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ,且4PA =,M 是PB 上的一个动点，过点M 做平面α平行平面PAD ,截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图像是（ ）12. 对于任意0,b a R >∈，不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A B . 2 C . e D . 3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13. 二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是____________. 14. 已知数列{}n a 满足()*1115,2n n a a a n N n +-==∈，则n an的最小值为____________. 15. 在某班举行的成人礼典礼上，甲乙丙三名同学中的一人获得了礼物，甲说：“礼物不在我这”； 乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问____________.（填“甲”、“乙”或“丙”）获得了礼物. 16. 抛物线2:y 4C x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+,则MNF ∆的面积为____________. 二、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤.17. （本小题满分12分）ABC ∆中，三个内角A B C ，，的对边分别为b c a ，，，若()cos ,cos m B C =,()2,n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围. 18.（本小题满分12分）四棱台被过1A ，1C ，D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，060BAD ∠=，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =.（1）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D（2）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.19.(本小题满分12分)2017年12月,针对国内天然气供应紧张的问题,某市政府及时安排部署,加气站采取了紧急限气措施,全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况,对该地区某些年份天然气需求量进行了统计,并绘制了相应的折线图. (Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合年度天然气需求量y (单位:千万立方米)与年份x (单位:年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5yx a =+,试确定ˆa 的值,并预测2018年该地区的天然气需求量;(Ⅱ)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》,该方案对汽车续航里程做出了严格规定,根据续航里程的不同,将补贴金额划分为三类,A 类:每车补贴1万元,B 类:每车补贴2.5万元,C 类:每车补贴3.4万元.某出租公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计,结果如下表:为了制定更合理的补贴方案,政府部门决定采取分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况,在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本,再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”,求ξ的分布列及期望. 20.(本小题满分12分)椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E 在第一象限交于点P ,若15PF =,且23a b =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ),A B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点()1,1-,且22APF BPF ∠=∠,求直线AB 的方程. 21. (本小题满分12分) 已知函数()ln ,f x a x a R =∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =与曲线()g x =,求实数a 的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,试问函数()()11xxe F x xf x x-=-+是否有零点?如果有,求出该零点;若没有,请说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分,多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线(()221:14C x y +-=,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,将曲线1C 绕极点逆时针旋转6π后得到的曲线记为2C .(Ⅰ)求曲线1C ,2C 的极坐标方程;(Ⅱ)射线()03πθρ=>与曲线1C ,2C 分别交于异于极点O 的A ,B 两点,求AB . 23. (本小题满分10分) 选修45-:不等式选讲已知函数()2f x m x =--,m R ∈,且()10f x +≥的解集为[]0,2. (Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若,,a b c R ∈,且11123m a b c++=,求证:239a b c ++≥.2018甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,只有一项是符合要求的.1.C2.D3.A4.C5.B6.C7.D8.A9.B 10.D 11.D 12.B 12.提示:不等式左侧()()222ln 1b a b a --+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的最小值的几何意义是函数ln y x =上的点(),ln b b 与函数1y x =+上的点()2,1a a --之间距离的最小值的平方,与直线1y x =+平行且与函数ln y x =相切的直线为1y x =-,两线之间距离的所以22m m -≤,解得12m -≤≤,所以m 的最大值为2. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.160- 14.274 15.甲 16.216.提示:由2NE NM NF =+可得点E 为MF 的中点,准线方程1x =-,焦点()1,0F ,不防设点N 在第三象限,因为MNF ∠为直角,所以12NE MF EF ==,由抛物线的定义得//NE x 轴,则可求得((1,,0,,1,2E M N ⎛-- ⎝,即NF =MN =所以2MNF S ∆=. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.17.解: (Ⅰ)m n ⊥,则有()cos 2cos 0B a c C b ⋅++⋅=,()cos 2sin sin cos sin 0B A C C B ∴⋅++⋅=,()()2cos sin sin cos cos sin sin sin B A C B C B B C A ∴=-⋅+⋅=-+=-,1cos 2B ∴=-23B π∴=. …………………………6分(Ⅱ)根据余弦定理可知222222cos ,36b a c ac B a c ac =+-∴=++,……………8分又()()22236,36,62a c a c ac a c ac a c +⎛⎫=+-∴+-=≤∴<+≤ ⎪⎝⎭则ABC ∆的周长的取值范围是(12,6+. …………………………12分18.解： 平面在菱形中，又平面 平面平面平面平面与底面所成角为设交于点以为坐标原点如图建立空间直角坐标系则同理设平面的法向量则设平面的法向量则设二面角为19．解：如折线图数据可知代入线性回归方程可得将代入方程可得千万立方米.根据分层次抽样可知类，类，类抽取人数分别为辆，辆，辆，则当类抽辆，类抽辆时，此时当类抽辆，类抽辆时，此时当类抽辆，类抽辆时，此时当类抽辆时，此时当类抽辆时，此时所以的分布列为：（万元）.20.解：由题可得223,b PE a==因为15PE =，由椭圆的定义得4,a =所以212,b = 所以椭圆E 方程为221.1612x y += ()II 易知点P 的坐标为()2,3.因为22,APF BPF ∠=∠所以直线,PA PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为,k 则直线PB 的斜率为-k ，设()()1122,,,,A x y B x y 则直线PA 的方程为()32,y k x -=-由 ()223211612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()()()22234832432480,k x k k x k ++-+--=()12823234k k x k-∴+=+ 同理直线PB 的方程为()2,y k x -=--可得()()222-8238232,3434k k k k x k k -++==++2121222161248,,3434k kx x x x k k--∴+=-++ ()()()121212121212232341,2AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--====---∴满足条件的直线AB 的方程为()111,2y x +=-即为230.x y --= 21.()I 函数()ln f x a x =的定义域为()0,a x +∞=，，()()'',g a f x x x == 设曲线()y f x =与曲线()g x =()00,x y由于在公共点处有共同的切线，所以0a x =解得204,0.x a a =〉 由()()00f x g x =可得0ln a x =解得.2ea =()II 函数()()112xxe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2e H x xf x x x ==与函数()112xxe G x -=-在区间()0,x ∈+∞是否有交点. ()()ln .2e H x xf x x x ==可得()()ln 1ln 222e e e H x x x +=+‘ 令()0,Hx 〉’解得1,,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭此时函数()H x 单调递增;令()0,Hx 〈’解得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时函数()H x 单调递减.∴当1x e =时，函数()H x 取得极小值即最小值，11=-.2H e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1G 12x xe x -=-可得()()'11G 12x x x e -=-令()'G 0x 〉，解得1x 〈〈0，此时函数()G x 单调递增;令()'G 0x 〈解得1x 〉，此时函数()G x 单调递减.∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，()1G 1=.2-因此两个函数无交点，即函数()()112xxe F x xf x -=-+无零点. 22.解：曲线(()22114C x y +-=：化为极坐标方程是2sin ρθθ+11 设曲线2C 上的点(),Q ρθ绕极点顺时针旋转6π后得到,6P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在1C 上，代入可得2C的极坐标方程是=2cos ρθθ+. ()II 将=3πθ()0ρ〉分别代入12,C C 的极坐标方程，得到1212=4==4AB ρρρρ--23.()I ()101011f x m x m x m +≥⇒--≥⇒-≤≤+ 由()10f x +≥的解集为[]0,2可知=1.m ()II 111123a b c ++=则()11123322323111232233b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c ⎛⎫++=++++=++++++++= ⎪⎝⎭ 233233692323b a c a c b a b a c b c++++++≥+= 当且仅当23a b c ==时等号成立，即33,12a b c ===，时等号成立.。
2018届甘肃省部分普通高中高三2月第一次联考理科数学
甘肃省部分普通高中2018届高三2月第一次联考数学 试题（理科） 命题学校：嘉峪关市酒钢三中本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,总分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）一.选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.设集合}023|{2<++=x x x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 则=N M （ ）A ．{|2}x x ≥-B ．}1|{->x xC ．}1|{-<x xD ．}2|{-≤x x 2.下面是关于复数iz -=12的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为i +-1 4:p z 的虚部为1其中真命题为( ) A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3.已知平面向量b a 与的夹角为3π，==+=,321（ ）A ．1B ．3 C ．3 D ．24.下列推断错误的是( )A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A ．312B ．336C ．327D ．6 6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．4lg 1+7.若实数y x 、满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则y x z 2||+=的最大值是（ ） A ．10 B ．11 C ．13 D ．14 8.抛物线y x 212=在第一象限内图象上一点)2,(2i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1+i a ，其中i N *∈，若322=a ，则=++642a a a （ ） A ．64 B ．42 C ．32 D ．219.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin ()1x f x =向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π10.设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y = 的图像所围成的阴影部分为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ,则点),(y x 恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A ．9617B ．325C ．61 D ．48711.已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．3 C ．2 D ．212.已知实数,,,a b c d 满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数,则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．18第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二.填空题（本大题共4个小题, 每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在各小题的横线上.）13．定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如右图：则式子5324⊗+⊗=_________.14.正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为62，则此球的表面积___________.15.从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是____.三、解答题（本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.） 17.(本题满12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且B c B a C b cos cos 3cos -= (1)求B cos 的值；(2)若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值.18.（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率p 1()2p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .19.（本题满分12分）己知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角 形，侧面11A ACC 为菱形，160A AC ∠= ，平面11A ACC ⊥ 平面ABC ，N 是1CC 的中点． （1）求证：1AC ⊥BN ； （2）求二面角1B A N C --的余弦值．20.（本题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln(1)2af x x x =+++ （1）当254a =时，求()f x 的单调递减区间；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示,PA 为圆O 的切线,A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1）求证AB PC PA AC ⋅=⋅ （2）求AD AE ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=:3OM πθ=与圆C 的交点为P 、O ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 已知函数错误！未找到引用源。
甘肃高考理科试题全套2018年(精校 Word版含答案)语文数学英语文综理综试卷
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考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）所谓“被遗忘权”，即数据主体有权要求数据控制者永久删除有关数据主体的个人数据，有权被互联网遗忘，除非数据的保留有合法的理由，在大数据时代，数字化，廉价的存储器，易于提取、全球覆盖作为数字化记忆发展的四大驱动力，改变了记忆的经济学，使得海量的数字化记忆不仅唾手可得，甚至比选择性删除所耗费的成本更低，记忆和遗忘的平衡反转，往事正像刺青一样刻在我们的数字肌肤上；遗忘变得困难，而记忆却成了常态，“被遗忘权”的出现，意在改变数据主体难以“被遗忘”的格局，对于数据主体对信息进行自决控制的权利，并且有着更深的调节、修复大数据时代数字化记忆伦理的意义。
2018届甘肃省河西三校普通高中高三上学期第一次联考化学试题及答案 精品
可能用到的相对原子质量： H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32K39 Cl 35. 5Ca 40 Mn 55 Fe 56 Cu 64 Ag 108 I 127 Ba 137第I卷（选择题共42分）一、选择题:本题包括14 小题, 每小题3 分, 共计42分。
每小题只有．．一个．．选项符合题意。
1．化学与人类生活、社会可持续发展密切相关，下列措施有利于节能减排、保护环境的是①加快化石燃料的开采与使用；②研发易降解的生物农药；③应用高效洁净的能源转换技术；④田间焚烧秸秆；⑤推广使用节能环保材料；⑥2M+N=2P+2Q ，2P+M= Q（M、N为原料，Q为期望产品），其中符合“化学反应的绿色化”的要求的是A. ①③④⑤B. ②③⑤⑥C. ①②③④D. ②④⑤⑥2．下列有关化学用语表示正确的是A．苯甲醛： B． Mg2+的结构示意图：C．CO 2的电子式： D．核内有8个中子的碳原子：8C63．常温下，在下列给定条件的各溶液中，一定能大量共存的离子组是A．使酚酞变红色的溶液：Na＋、Ba2+、I－、Cl－B．使甲基橙变红色的溶液：Fe2＋、K＋、NO3－、SO42－C．含有0.1 mol·L－1 Fe3＋的溶液：Na＋、K＋、SCN－、NO－3D．由水电离产生的c(H+)=10－12mol·L－1的溶液：NH4+、SO42－、HCO3－、Cl－4. 下列有关物质性质的描述和该性质的应用均正确的是（）A．氨气具有氧化性，用浓氨水检验氯气管道是否泄漏B．氢氟酸具有强酸性，用氢氟酸蚀刻玻璃C．二氧化硫具有还原性，用二氧化硫水溶液吸收溴蒸气D．铜的金属活动性比铝弱，可用铜罐代替铝罐贮运浓硝酸5．下列有关实验装置进行的相应实验，能达到实验目的的是A．用图1装置制取并收集干燥纯净的NH3B．用图2所示装置可除去NO2中的NOC．用图3所示装置可分离CH3COOC2H5和饱和碳酸钠溶液D．用图4装置制备Fe(OH)2并能较长时间观察其颜色6．设N A为阿伏伽德罗常数的值。
甘肃省河西五市部分普通高中高三数学第一次联考试题
2013年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式 13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 柱体体积公式 V Sh =其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积，体积公式 24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径。
第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每题5分，总分60分） 1．已知复数11,则()z z z i z ⋅=-=-A. 2B. －2C. i 2D. i 2-2．设集合M={x ∣x<2},集合N={x ∣0<x<1},则下列关系中正确的是（ ） A. M ∪N=R B. M ∪СR N=R C. N ∪СR M=R D. M ∩N=M 3．下列命题中，是真命题的是（ ） A. 212cos 2sin,x 22=+∈∃x x R B.x x x cos sin ),,0(>∈∀π C. x e x x+>+∞∈∀1),,0( D.1,2-=+∈∃x x R x 4．函数221()log 的零点必落在区间f x x x =+-（ ）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛4181，B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2141，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛121，D. ()21， 5. 已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆2220x y x +-=上任意一点，则ABC ∆面积的最小值是（ ）.A. 3B. 3C. 32-D.326.已知060,3,2===∆B b a ABC 中，，则A= （ ）A.045135或 B.030150或 C.030 D.0457．已知双曲线2222100(,)y x a b a b-=>>的右焦点是F, 过点F 且倾角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的范围是（ ）A. (]21，B. (1,2)C. [)∞+，2D. ()∞+，2 8．若函数82cos 2sin )(π-=+=x x a x x f 的图像关于直线对称，那么a =( )A. 2B.－2C. 1D. －19．一空间几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为（ ）A. 322+πB. 324+πC. 3322+πD. 3324+π10．已知O 是坐标原点，()11,A -,若点(),B x y 为平面区域212x y x y ⎧+≥⎪≤⎨⎪≤⎩上一动点，则OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围是（ ） A. 10,⎡⎤-⎣⎦ B. 01,⎡⎤⎣⎦ C. 02,⎡⎤⎣⎦ D. 12,⎡⎤-⎣⎦11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为∆ABC 的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A.31 B. 32 C. 33 D.3212.在函数是等差数列，若数列的图象上有点列}{),,()(n n n x y x x f y =数列{n y }是等比数列，则函数)(x f y =的解析式可能为（ ）A.12)(+=x x fB.24)(x x f =C.x x f 3log )(=D.xx f )43()(=第Ⅱ卷二、填空题（共4小题，每题5分，总分20分）13．已知b a ρρ,均为单位向量，且3=+b a ρρ，则的夹角大小为与b a ρρ_________.14．函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=43,8,1)cos (sin cos 2)(ππx x x x x f 的值域是_________ 15．已知某程序框图如图2，运行此程序结束后， 输出n 的值是________16. 若函数21()xf x =-的值域和定义域均为,a b ⎡⎤⎣⎦，则a b +=_______。
甘肃省河西五地市高三数学第一次联考试题 理
俯视图侧视图正视图2015年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考数学 试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,总分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）一.选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.设集合}023|{2<++=x x x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 则=N M （ ） A ．{|2}x x ≥- B ．}1|{->x x C ．}1|{-<x x D ．}2|{-≤x x2.下面是关于复数i z -=12的四个命题:1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为i +-1 4:p z 的虚部为1其中真命题为( ) A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3.已知平面向量b a 与的夹角为3π，==+=,321（ ）A ．1B ．3C ．3D ．2 4.下列推断错误的是( )A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠” B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥ C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A ．312B ．336C ．327D ．66.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．4lg 1+7.若实数y x 、满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则y x z 2||+=的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．13D ．148.抛物线y x 212=在第一象限内图象上一点)2,(2i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1+i a ，其中i N *∈，若322=a ，则=++642a a a （ ）A ．64B ．42C ．32D ．219.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin ()1x f x =m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π10.设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y = 的),(y x 图像所围成的阴影部分为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ,则点恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A ．9617B ．325C ．61D ．48711.已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．3C ．2D ．212.已知实数,,,a b c d 满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数,则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．18第Ⅱ卷（非选择题,共90分） 二.填空题（本大题共4个小题, 每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在各小题的横线上.）13．定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如右图： 则式子5324⊗+⊗=_________.14.正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为62，则此球的表面积___________.15.从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是____. 三、解答题（本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）17.(本题满12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且B c B a C b cos cos 3cos -= (1)求B cos 的值；(2)若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值.18.（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率p1()2p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .19.（本题满分12分）己知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11A ACC 为菱形，160A AC ∠=，平面11A ACC ⊥平面ABC ，N 是1CC 的中点．（1）求证：1AC ⊥BN ； （2）求二面角1B A N C --的余弦值．20.（本题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln(1)2a f x x x =+++（1）当254a =时，求()f x 的单调递减区间；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示,PA 为圆O 的切线,A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . （1）求证AB PC PA AC ⋅=⋅ （2）求AD AE ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为P 、O ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 已知函数错误！未找到引用源。
2018年甘肃省河西五市部分普通高中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＞0}，，则A∪∁U B＝（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）2．（5分）已知复数（i是虚数单位），则＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量，若，则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题5．（5分）如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S＝﹣12，则输出的S 的值为（）A．4B．5C．8D．96．（5分）某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A．60B．90C．150D．1207．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）若（x++1）n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实数x，y，满足y＞sin x的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．9．（5分）已知函数的部分图象如图所示，△EFG是正三角形，为了得到的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度10．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．（5分）直线y＝2b与双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC＝∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝sin x，若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．a sin B cos C+c sin B cos A＝且a＞b，则∠B＝．14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．15．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线与圆x2+y2＝50相交于A，B两点，则|AB|的最小值为．16．（5分）设函数与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求得成立的n的最小值．18．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，体育成绩在[60，70）的学生人数X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，矩形ACEF和等边三角形ABC中，AC＝2，CE＝1，平面ABC ⊥平面ACEF．（1）在EF上找一点M，使BM⊥AC，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面ABM与平面CBE所成锐二面角余弦值．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x＝4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．21．（12分）已知f（x）＝xlnx+mx，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2﹣6x﹣8y＝0，直线，直线，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线C的参数方程以及直线l1，l2的极坐标方程；（2）若直线l1与曲线C分别交于O，A两点，直线l2与曲线C分别交于O，B 两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝2﹣x2，g（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）+g（x）≥3；（2）若不等式f（x）＞g（x）至少有一个负数解，求实数a的取值范围．2018年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＞0}，，则A∪∁U B＝（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）【解答】解：A＝{x|x＜0，或x＞2}，B＝{x|x≥1}；∴∁U B＝{x|x＜1}；∴A∪∁U B＝{x|x＜1，或x＞2}＝（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故选：C．2．（5分）已知复数（i是虚数单位），则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝，∴，故选：B．3．（5分）已知向量，若，则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【解答】解：，∴（2λ+3）×（﹣1）﹣3＝0，∴λ＝﹣3．故选：B．4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x ≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件．因为x＝﹣1⇒x2﹣5x ﹣6＝0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故选：D．5．（5分）如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S＝﹣12，则输出的S 的值为（）A．4B．5C．8D．9【解答】解：由程序框图知：第一次循环S＝﹣12+2＝﹣10，n＝2；第二次循环S＝﹣10+4＝﹣6，n＝3；第三次循环S＝﹣6+6＝0，n＝4；第四次循环S＝0+8＝8，n＝5．不满足条件S≤n，跳出循环，输出S＝8．故选：C．6．（5分）某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A．60B．90C．150D．120【解答】解：5个尖子生分为（2，2，1），故其分组的方法有＝15种，再分配给3名教师，共有15A33＝90种，故选：B．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此，故选：A．8．（5分）若（x++1）n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实数x，y，满足y＞sin x的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．【解答】解：由题意知，令x＝1，得到3n＝81，解得n＝4，∴0≤x≤π，0≤y ≤1．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S＝π×1＝π，满足y≥sin x的点构成区域的面积为：S＝sin xdx＝﹣cos x|＝﹣cosπ+cos0＝2，则满足y＞sin x的概率为．故选：B．9．（5分）已知函数的部分图象如图所示，△EFG是正三角形，为了得到的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度【解答】解已知函数＝sin （），∵△EFG是正三角形，∴sin×GF＝．即GF＝2．∴周期T＝4．那么ω＝＝．∴f（x）＝sin（）＝sin（x）得到＝sin（x）＝sin（x）的图象，∴只需x向左平移1个单位长度即可．故选：C．10．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC＝＝2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5＝20π，故选：C．11．（5分）直线y＝2b与双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC＝∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线y＝2b与y轴交于D点，由对称性可知∠BOD＝∠COD，又∠AOC＝∠BOC，∴∠AOC＝2∠COD，又∠AOC+∠COD＝90°，∴∠AOC＝60°，把y＝2b代入可得x＝±a，即C（a，2b），∴＝tan60°＝，即b2＝，∴e＝＝．故选：D．12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝sin x，若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y＝log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故a＞5；当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y＝log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故0＜a≤．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．a sin B cos C+c sin B cos A＝且a＞b，则∠B＝30°．【解答】解：利用正弦定理化简得：sin A sin B cos C+sin C sin B cos A＝sin B，∵sin B≠0，∴sin A cos C+cos A sin C＝sin（A+C）＝sin B＝，∵a＞b，∴∠A＞∠B，∴∠B＝30°．故答案为：30°14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．15．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线与圆x2+y2＝50相交于A，B两点，则|AB|的最小值为2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，5）．由图可知，可行域内的点中，A1到原点的距离最大，为，∴|AB|的最小值为2．故答案为：．16．（5分）设函数与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．【解答】解：设公共点坐标为（x0，y0），则，所以有f'（x0）＝g'（x0），即，解出x0＝a（舍去），又y0＝f（x0）＝g（x0），所以有，故，所以有，对b求导有b'＝﹣2a（1+lna），故b关于a的函数在为增函数，在为减函数，所以当时b有最大值．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求得成立的n的最小值．【解答】解：（1）由已知S n＝2a n﹣a1，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n＝2a n﹣1（n＞1）．从而a2＝2a1，a3＝4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3＝2（a2+1）．∴a1+4a1＝2（2a1+1），解得a1＝2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；（2）由（1）得．∴．由，得，即2n＞1000．∵29＝512＜1000＜1024＝210，∴n≥10．于是，使成立的n的最小值为10．18．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，体育成绩在[60，70）的学生人数X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为：1000×＝750人．…..（5分）（Ⅱ）体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中各有学生人数为2人和3人，现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，由题意X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，X的分布列为：E（X）＝＝．…．（12分）19．（12分）如图，矩形ACEF和等边三角形ABC中，AC＝2，CE＝1，平面ABC ⊥平面ACEF．（1）在EF上找一点M，使BM⊥AC，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面ABM与平面CBE所成锐二面角余弦值．【解答】解：（1）M为线段EF的中点，理由如下：分别取AC、EF的中点O、M，连接OM，在等边三角形ABC中，AC⊥BO，又OM为矩形ACEF的中位线，AC⊥OM，而OM∩OB＝O，∴AC⊥面BOM，∴BM⊥AC．（2）由（1）知OA，OB，OM两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，AC＝2，CE＝1，三角形ABC为等边三角形，．∴，设面BCE的法向量，∴，得，则面BCE的一个法向量，又M是线段EF的中点，则M的坐标为M（0，0，1），∴，且，又设面ABM的法向量，由，得，取，则，面ABM的一个法向量＝（），∴cosθ＝＝＝，平面MAB与平面BCE所成锐二面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x＝4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，则有a＝2c，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4，则有2ab＝4，又a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝，c＝1，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）由于对称性，可令点M（4，t），其中t＞0．将直线AM的方程y＝（x+2）代入椭圆方程+＝1，得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108＝0，由x A•x P＝，x A＝﹣2得x P＝﹣，则y P＝．再将直线BM的方程y＝（x﹣2）代入椭圆方程+＝1得（3+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣12＝0，由x B•x Q＝，x B＝2得x Q＝，则y Q＝．故四边形APBQ的面积为S＝|AB||y P﹣y Q|＝2|y P﹣y Q|＝2（+）＝＝＝．由于λ＝≥6，且λ+在[6，+∞）上单调递增，故λ+≥8，从而，有S＝≤6．当且仅当λ＝6，即t＝3，也就是点M的坐标为（4，3）时，四边形APBQ的面积取最大值6．21．（12分）已知f（x）＝xlnx+mx，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，已知λ＞0，若不等式e 1+λ＜x 1•x 2λ恒成立，求λ的范围． 【解答】解：（1）f ′（x ）＝1+lnx +m ，由题意知，f ′（1）＝1，即：m +1＝1，解得 m ＝0； （2）∵e 1+λ＜x 1•x 2λ等价于1+λ＜lnx 1+λlnx 2．g （x ）＝f （x ）﹣x 2﹣x +a ＝xlnx ﹣x 2﹣x +a ，由题意可知x 1，x 2 分别是方程g ′（x ）＝0，即：lnx ﹣ax ＝0的两个根， 即lnx 1＝ax 1，lnx 2＝ax 2．∴原式等价于1+λ＜ax 1+λax 2＝a （x 1+λx 2）， ∵λ＞0，0＜x 1＜x 2，∴原式等价于．又由lnx 1＝ax 1，lnx 2＝ax 2．作差得，，即．∴原式等价于，∵0＜x 1＜x 2，原式恒成立，即恒成立．令，t ∈（0，1），则不等式在t ∈（0，1）上恒成立． 令，又h ′（t ）＝，当λ2≥1时，可得t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0， ∴h （t ）在t ∈（0，1）上单调增，又h （1）＝0， h （t ）＜0在t ∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可得t ∈（0，λ2）时，h ′（t ）＞0，t ∈（λ2，1）时，h ′（t ）＜0， ∴h （t ）在t ∈（0，λ2）时单调增，在t ∈（λ2，1）时单调减，又h （1）＝0， ∴h （t ）在t ∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，∴λ≥1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2﹣6x﹣8y＝0，直线，直线，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线C的参数方程以及直线l1，l2的极坐标方程；（2）若直线l1与曲线C分别交于O，A两点，直线l2与曲线C分别交于O，B 两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）依题意，曲线C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，∴曲线C的参数方程是（α为参数），∵直线，直线，∴l1，l2的极坐标方程为；（2）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得，∴，把代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝2﹣x2，g（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）+g（x）≥3；（2）若不等式f（x）＞g（x）至少有一个负数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a＝1，则不等式f（x）+g（x）≥3化为2﹣x2+|x﹣1|≥3，当x≥1时，2﹣x2+x﹣1≥3，即x2﹣x+2≤0，（x﹣）2+≤0不成立；当x＜1时，2﹣x2﹣x+1≥3，即x2+x≤0，解得﹣1≤x≤0．综上，不等式f（x）+g（x）≥3的解集为{x|﹣1≤x≤0}．（5分）（2）作出y＝f（x）的图象如图所示：，当a＜0时，g（x）的图象如折线①所示：由，得x2+x﹣a﹣2＝0，若相切，则△＝1+4（a+2）＝0，得a＝﹣，数形结合知，当a≤﹣时，不等式无负数解，则﹣＜a＜0．当a＝0时，满足f（x）＞g（x）至少有一个负数解．当a＞0时，g（x）的图象如折线②所示：此时当a＝2时恰好无负数解，数形结合知，当a≥2时，不等式无负数解，则0＜a＜2．综上所述，若不等式f（x）＞g（x）至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（﹣，2）．（10分）。
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2018年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合{| lg(1)0}A x x =-≤，={|13}B x x -≤≤，则A B ⋂= （ ） A ．[1,3]-B ．[1,2]-C ．1,3]（D ．1,2]（2．复数z 满足1+)|i z i =（，则=z （ ） A ．1+i B ．1i -C ．1i --D ．1+i -3．设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==- 且a b ⊥ ,则||a b +=（ ）A B C ． D ．104．已知2:,10p m R x mx ∀∈--=有解，2000:,210q x N x x ∃∈--≤,则下列选项中是假命题的为 （ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧（）C ． p q ∨D ．p q ⌝∨（）5．函数||cosxy ln x =的图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．6．设k 是一个正整数，1+)k x k （的展开式中第四项的系数为116，记函数2y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点)x y （，恰好落在阴影区域S 内的概率是 （ ）A ．23B ．13C ．25D ．167．正项等比数列 {}n a 中的 1a ，4031a 是函数 321()4633f x x x x =-+-的极值点，则2016= （ ）A ．1-B ．1 CD ．2 8．一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A+π8） B2)π+ C+2π8） D+π6）9．阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 （ ）A ．7B ．9C ．10D ．1110．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ） ABC1 D111．体积为43π的球O 放置在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -上，且与上表面1111A B C D 相切，切点为该表面的中心，，则四棱锥O ABCD -的外接球的半径为 （ ） A ．103B ．3310C ．2D ．23612．已知函数3||,03()cos(),393log x x f x x x π<<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩.若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，当1234x x x x <<<时 满足1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围是 （ ） （ ）A ．2974（，）B ．135214（，）C ．[27，30）D ．135274（，）第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13．已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为 14．若实数(0,0)a b >>，且12=1a b +，则当28a b+的最小值为m ，函数()||1mx f x e lnx -=-的零点个数为15．已知不等式组002x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的区域为D ，(,)M x y 是区域D 内的点，点(12)A -，，则z OA OM =的最大值为 .16．方程()f x x =的根称为函数()f x 的不动点，若函数()(5)xf x a x =+有唯一不动点，且11613x =，111()n nx f x +=()n N *∈，则2016x = . 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)． 17．(本小题满分12分)已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且22,b c 是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若a ==B θ，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值．18．(本小题满分12分)在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示: (Ⅰ)根据表中数据，求物理分y 对数学分x 的回归直线方程；(Ⅱ)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X 表示选中的同学中 物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望(X)E附：回归方程ˆˆˆybx a =+，12()(y )ˆ()niii nix x y b x x =--=-∑∑，ˆˆay bx =-，其中,x y 为样本平均数.19．(本小题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中,12AB BC CA AA ====, 侧棱1AA ⊥平面ABC ，且D ,E 分别是棱11A B ,1AA 的中点,点F 在棱AB 上,且14AF AB =. (Ⅰ)求证：||EF 平面1BDC ；(Ⅱ)求二面角1E BC D --的余弦值. 20．(本小题满分12分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.21．(本小题满分12分)已知函数2()(sin 2)x f x e x ax a e =-+-，其中a R ∈， 2.71828e = 为自然对数的底数. (Ⅰ)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； (Ⅱ)当112a ≤≤时，求证：对任意的[0,)x ∈+∞，()0f x <请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点M ，BAC ∠的平分线分别交圆O 和BC 于点D ,E ,若5152MA MB ==. (Ⅰ)求证：52AC AB =(Ⅱ)求AE ·DE 的值.23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．(第19题图)（第22题图）已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，在直角坐标系o x y 中，以o 点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-． (Ⅰ)求圆M 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 截圆M a 的值.24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知不等式|2||2|18x x ++-<的解集为A ． (Ⅰ)求集合A ；(Ⅱ)若,a b A ∀∈，(0,)x ∈+∞，不等式4a b x m x+<++ 恒成立，求实数m 的取值范围.2018年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学试卷(理科)参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．13．45-； 14．1； 15．2； 16．2016.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）(Ⅰ)解：在△ABC 中，依题意有：222b c a bc +=+ 2分∴2221cos 22b c a A bc +-==，又(0)A π∈，，∴3A π= 6分(Ⅱ)解：由3a A π==及正弦定理得：2sin sin sin b c a B C A=== ∴222sin 2sin 2sin 2sin()2sin()33b Bc C B ππθθ====-=-， 8分故22sin 2sin()3y a b c πθθ=++=+- 即)6y πθ=+10分由203πθ<<得：5666πππθ<+<∴当62ππθ+=，即3πθ=时，max y = 12分 18. （本小题满分12分）解答：(Ⅰ) 1(8991939597)935x =++++=，1(8789899293)905y =++++= 2分∴52222221()=++0+2+4=40i i x x =-∑（-4）（-2）51()y )=30ii i xx y=--∑（ ∴30ˆ=0.75,40b=ˆˆ20.5a y bx =-= 故物理分y 对数学分x 的回归直线方程是ˆ0.7520.25yx =+ 6分(Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为0,1,3. 7分22241P(X 0)6C C === 1122242P(X 1)3C C C === 22241P (X 2)6C C === 9分故X 的分布列为：∴121(X)0121636E =⨯+⨯+⨯= 12分19. （本小题满分12分）解答：(Ⅰ)证明(证法一)：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点， 又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ．又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1．∴EF ∥平面DBC 1． 6分(证法二)建立如图所示的坐标系．(坐标系建立仅为参考) ∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点， AF =14AB ． E (-1，0，1)，F (-12，0，0)，B (1，0，0)，D (0，0，2)，C 1(0． 设平面DBC 1的法向量为n =(x ，y ，z )． yEF =(12，0，-1)，BD =(-1，0，2)，1BC=(-12)．BD ·n =-x +2z =0，1BC ·n =-x+2z =0，令z =1，则y =0，x =2，∴n =(2，0，1)．EF ·n =12×2+0×0+(-1)×1=0，∴EF ⊥n ．又EF ⊄平面BDC 1，∴EF ∥平面BDC 1． 6分(Ⅱ)解：设平面EBC 1的法向量为m =(x ，y ，z )．BE =(-2，0，1)，1BC =(-12)．BE ·m =-2x +z =0，1BC ·n =-x+2z =0，令x =1，则z =2，ym =(1，2)．cos< m ，n>=||||⋅==m n m n ||．∴二面角E －BC 1－D． 12分 20．(本小题满分12分) 解答：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += 3分 （Ⅱ）因为直线的倾斜角为45 ,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y ,得到27880x x +-= 5分所以121288288,,77x x x x ∆=+=-=所以1224||||7CD x x =-=6分（Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= 7分 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠, 设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++ 8分 此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k=++=+ 10分 因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+（k =所以12||S S -12分 （Ⅲ）另解：设直线l 的方程为：1-=my x ()R m ∈，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x my x 得，()0964322=--+my y m ．设()11y ,x C ，()22y ,x D ，则436221+=+m m y y ，0439221<+-=⋅m y y ． 8分 所以，2121y AB S ⋅=，1221y AB S ⋅=， ()21122142121y y y y AB S S +⨯⨯=-=-43122+=m m 10分 当0m ≠时，=-21S S 343212431222=⨯≤+=mmm m ()R m ∈． 由432=m ，得 332±=m ．当0=m 时，3021<=-S S 从而，当332±=m 时，21S S -取得最大值3． 12分 21．(本小题满分12分) 解答：(Ⅰ)当0a =时，()(sin )x f x e x e =-，x R ∈()(sin cos ))]4x x f x e x x e e x e π'=+-=+-， 2分当x R ∈)4x π+∴()0f x '<，∴()f x 在R 是单调递减的函数. 4分(Ⅱ)设2()sin 2g x x ax a e =-+-，[0,)x ∈+∞()cos 2g x x ax '=-，令()()cos 2h x g x x ax '==-，[0,)x ∈+∞则()sin 2h x x a '=--当112a ≤≤时，[0,)x ∈+∞，有()0h x '≤，∴()h x 在[0,)+∞上是减函数，即()g x '在[0,)+∞ 上是减函数. 6分又 (0)10g '=>，2()042g ππ'=<，∴()g x '存在唯一的0(0,)4x π∈，使得000()cos 2=0g x x ax '=-， 所以当00(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间0(0,)x 单调递增； 当00(,+)x x ∈∞时，()0g x '<，()g x 在区间0(+)x ∞，单调递减.因此在区间[0,)+∞ 2max 000()()sin 2g x g x x ax a e ==-+- 8分因为00cos 2=0x ax -，所以001=cos 2x x a，将其代入上式得 max ()=g x 220000111sin cos 2sin sin 2444x x a e x x a e a a a-+-=+-+-令00sin ,(0,)4t x x π=∈，则t ∈，即有()p t =211244t t a e a a +-+-,t ∈ 因为()p t 的对称轴20t a =-<，所以函数()p t在区间上是增函数，且112a ≤≤所以115()(2022828p t p a e e a <=-+-<+-<，（112a ≤≤），即任意[0,)x ∈+∞，()0g x <，所以()()0x f x e g x =<，因此任意[0,)x ∈+∞，()0f x < 12分 22．(本小题满分10分)解答:(Ⅰ)因为AM 是圆O 的切线，所以MAB ACB ∠=∠,且M ∠是公共角，所以ABM CAM ∆∆ ,所以52AC AM AB MB ==,所以52AC AB = 5分 (Ⅱ)由切割线定理得2MA MB =·MC ,所以75=2MC ，又6MB =,所以63=2BC又AD 是BAC ∠的角平分线，所以52AC CE AB BE ==,所以52CE BE =,所以452CE =, 9BE =.所以由相交弦定理得AE ·DE CE =·25405922BE =⨯= 10分23．(本小题满分10分)解答：(Ⅰ) 因为26sin 8ρρθ-=-⇒222268(3)1x y y x y +-=-⇒+-=所以圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-= 5分 (Ⅱ) 把直线l 的参数方程431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)化为普通方程得： 34340x y a +-+=因为直线l 截圆M 所得弦长为，且圆M 的圆心M （0,3）到直线l 的距离|163|19522a a -=⇒=d=或376a = ，所以376a =或 92a = 10分 注：只要写对圆的方程，可以不化为标准方程，就可得5分，其它解法斟酌给分24．(本小题满分10分) 解答：(Ⅰ)若|2||2|18x x ++-<，则2(2)(2)18x x x <-⎧⎨-+--<⎩或22(2)(2)18x x x -≤≤⎧⎨+--<⎩或2(2)(2)18x x x >⎧⎨++-<⎩，解得99x -≤≤，(9,9)A ∴=- 5分(Ⅱ) ,,a b A a b ∀∈⇒∀∈ （-9,9），(18,18)a b ∴+∈-4x m m x ++≥ ， min 4()4x m m x∴++=+，由题可知，418m +≥，14m ∴≥ 10分。