高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修4
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高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教版必修4
2019/7/17
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－π7
＝－tan－π7 ＝tanπ7 ，
∵－π2
π <7
π <5
π <2
，y＝tan
x
在－π2
，π2
上单调递增，
∴tanπ7
π <tan 5
，即
tan65π
>tan－173π
.
[课堂小结] 1.利用正切函数的单调性比较函数值大小的三个步骤
(1)转化：利用诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)比较：利用单调性比较函数值的大小. (3)结论：按一定顺序写出其大小关系.
周期 奇偶性
最小正周期为_π__ _奇__函__数___
单调性 在开区间__k_π__－__π2__，__k_π__＋__π2__(_k_∈__Z_)_内递增
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)类似于画正(余)弦函数简图“五点法”，画正切函数简图有 “三点两线法”.( √ ) (2)y＝tan x 在其定义域上是增函数.( × ) (3)y＝|tan x|的最小正周期是π2 .( × ) (4)y＝sin x 与 y＝tan x 的图象在－π2 ，π2 上有三个交点.( )
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )，
又∵π2 <2<π ，∴－π2 <2－π <0.
∵π2 <3<π ，∴－π2 <3－π <0，
显然－π2
<2－π
<3－π
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修4 (1)
π 4
-2������ 的单调区间;
(2)比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小. π 分析:解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再把 2x- 看作 整体,代入相应的区间,解出 x 的范围;解(2)可先把角化到一个单调区 间中,再利用单调性比较大小.
4
探究一
探究二
探究三
思维辨析
π 4 3π π
(2)函数 y=tan ������4 3π
4 π 3
,������∈Z 的递增区间为
π 2 π 4
.
解析:(1)由 -x≠kπ+ ,得 x≠-kπ- , 即 x≠kπ+ (k∈Z). (2)由 kπ- <x- <kπ+ ,即 kπ- <x<kπ+ π,得递增区间为 ������π- ,������π +
π
π
即定义域是 ������ - + ������π ≤ ������ < + ������π,������∈Z . 答案: ������ - + ������π ≤ ������ < + ������π,������∈Z
6 2 π π 2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二正切函数的单调性及应用 【例 2】 (1)求函数 y=3tan
(2)性质:如下表所示.
函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 对 称 性 R π 奇函数 增区间 减区间 对称中心 对称轴 - + ������π, + ������π (k∈Z)
2 2 π π
y=tan x ������ x x ≠ + k������,k∈Z 2
-2������ 的单调区间;
(2)比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小. π 分析:解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再把 2x- 看作 整体,代入相应的区间,解出 x 的范围;解(2)可先把角化到一个单调区 间中,再利用单调性比较大小.
4
探究一
探究二
探究三
思维辨析
π 4 3π π
(2)函数 y=tan ������4 3π
4 π 3
,������∈Z 的递增区间为
π 2 π 4
.
解析:(1)由 -x≠kπ+ ,得 x≠-kπ- , 即 x≠kπ+ (k∈Z). (2)由 kπ- <x- <kπ+ ,即 kπ- <x<kπ+ π,得递增区间为 ������π- ,������π +
π
π
即定义域是 ������ - + ������π ≤ ������ < + ������π,������∈Z . 答案: ������ - + ������π ≤ ������ < + ������π,������∈Z
6 2 π π 2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二正切函数的单调性及应用 【例 2】 (1)求函数 y=3tan
(2)性质:如下表所示.
函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 对 称 性 R π 奇函数 增区间 减区间 对称中心 对称轴 - + ������π, + ������π (k∈Z)
2 2 π π
y=tan x ������ x x ≠ + k������,k∈Z 2
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象课件1 新人教A版必修4.ppt
(2) tan(11 ) 与 tan( 13 ).
4
5
解:(1) 因为 9 0 1 6 7 1 7 3 1 8 0 ，
ytanx在 (2， )上 是 增 函 数 ，
所 以 tan 1 6 7tan 1 7 3.
说明：比较两个正切值大小,关键是把相应的角转化到y= tan x的同一单调区间内,再利用y=tan x的单调性解决.
3.周期性： 正切函数是周期函数，周期为 .
4.奇偶性： 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
5.单调性： 正切函数在开区间 (k,k),k
22
内都是增函数.
10
【即时训练】
求函数 y tan(3x ) 的定义域、值域，并指出 3
它的单调性、奇偶性和周期性.
答案: 定义域：x|x13k158，k.
2
知 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
6
y
T2
思考4：观察图中的正切线，当
角在 ( , ) 内增加时，正切
22
函数值发生什么变化？由此反
O
Ax
映出一个什么性质？
T1
提示:
函数值先由-∞→0再由0→+∞；正切函数在（ - , ）
22
内是增函数.
7
思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的
提示:
当 x 大于
且无限接近 2
时,2正切
线AT向y轴的负方向无限延伸；
y
T2
当 x 小于 且 无限接近 时正切线
2
2
AT向y轴的正方向无限延伸.
O
O
Ax
ta n x 在( ， )内 可以取任意实数，
T1
22
但没有最大值、最小值.
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修40
第二十七页，共31页。
2．“三点两线法”作正切曲线的简图 (1)“三点”分别为(kπ，0)，kπ＋π4，1，kπ－π4，－1，其中 k∈Z；两线为直线 x＝kπ＋π2和直线 x＝kπ－π2，其中 k∈Z(两线也称 为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)． (2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出 三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周 期内即可．
第二十八页，共31页。
|巩固提升| 1．已知 a＝tan2，b＝tan3，c＝tan5，不通过求值，判断下列大 小关系正确的是( ) A．a>b>c B．a<b<c C．b>a>c D．b<a<c 解析：tan5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在π2，π上 为增函数可得 tan3>tan2>tan(5－π)． 答案：C
跟踪训练 1 (1)函数 y＝ta1nx的定义域为( ) A．{x|x≠0}
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C.xx≠kπ＋π2，k∈Z
D.xx≠k2π，k∈Z
(2)求函数 y＝ tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．
第十三页，共31页。
解析：(1)函数 y＝ta1nx有意义时，tanx≠0，所以函数的定义域
第二十九页，共31页。
2．函数 y＝3tan2x 的对称中心为( )
A.k2π，0(k∈Z)
B.k4π，0(k∈Z)
C.k2π＋π4，0(k∈Z)
D.kπ，0(k∈Z)
解析：令 2x＝k2π(k∈Z)，得 x＝k4π(k∈Z)，则函数 y＝3tan2x 的
对称中心为k4π，0(k∈Z)，故选 B. 答案：B
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是k2π，0(k∈Z)，不存在 对称轴．
2．“三点两线法”作正切曲线的简图 (1)“三点”分别为(kπ，0)，kπ＋π4，1，kπ－π4，－1，其中 k∈Z；两线为直线 x＝kπ＋π2和直线 x＝kπ－π2，其中 k∈Z(两线也称 为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)． (2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出 三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周 期内即可．
第二十八页，共31页。
|巩固提升| 1．已知 a＝tan2，b＝tan3，c＝tan5，不通过求值，判断下列大 小关系正确的是( ) A．a>b>c B．a<b<c C．b>a>c D．b<a<c 解析：tan5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在π2，π上 为增函数可得 tan3>tan2>tan(5－π)． 答案：C
跟踪训练 1 (1)函数 y＝ta1nx的定义域为( ) A．{x|x≠0}
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C.xx≠kπ＋π2，k∈Z
D.xx≠k2π，k∈Z
(2)求函数 y＝ tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．
第十三页，共31页。
解析：(1)函数 y＝ta1nx有意义时，tanx≠0，所以函数的定义域
第二十九页，共31页。
2．函数 y＝3tan2x 的对称中心为( )
A.k2π，0(k∈Z)
B.k4π，0(k∈Z)
C.k2π＋π4，0(k∈Z)
D.kπ，0(k∈Z)
解析：令 2x＝k2π(k∈Z)，得 x＝k4π(k∈Z)，则函数 y＝3tan2x 的
对称中心为k4π，0(k∈Z)，故选 B. 答案：B
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是k2π，0(k∈Z)，不存在 对称轴．
高中数学人教A版必修4第一章1.4.3正切函数的性质与图像课件
1.4.2 正切函数的性质与图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重难点：正切函数的图像及性质
探究1：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？
探究2：正切函数的图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重、难点：正切函数的图像及性质
正切函数的性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
1
思考：如何画出正切函数在其他区间上的图像？
可以利用正切函数的周期性
探究3：正切函数的图像与性质
观察正切函数的图像，得到正切函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性：
思考：正切函数在整个定义域上是增函数吗？为什么？
观察正切函数的图像，得到正切 函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重难点：正切函数的图像及性质
探究1：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？
探究2：正切函数的图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重、难点：正切函数的图像及性质
正切函数的性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
1
思考：如何画出正切函数在其他区间上的图像？
可以利用正切函数的周期性
探究3：正切函数的图像与性质
观察正切函数的图像，得到正切函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性：
思考：正切函数在整个定义域上是增函数吗？为什么？
观察正切函数的图像，得到正切 函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
高中数学第一章三角函数143正切函数的性质与图象课件新人教A版必修
其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋
π 2
和直线x＝kπ－
π2 ，其中k∈
Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，
然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平
行移动至各个周期内.
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 D．y＝tan x在区间 kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z)上是增函 数 解析：由正切函数的图象可知D正确． 答案：D
3．函数y＝tan
x2＋π3的单调递增区间是(
定义域 值域 周期
xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z R π
奇偶性
奇
单调性 在区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z) 上都是增函数
温馨提示 函数y＝tan x的对称中心的坐标是k2π，0， (k∈Z)，不是(kπ，0)(k∈Z)．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π.( ) (4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x) ＝－tan x. ( )
②由题意，得tan x≠1，且x≠kπ＋π2，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋
π 2
，且x≠kπ＋
π4，k∈Z}，其不关于原点对称．
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
归纳升华 1．一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T ＝|ωπ |，常常利用此公式来求周期． 2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断 其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性； 若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
高中数学《1.4.3正切函数图象的性质与图象》课件 新人教A版必修4课件
y
的终边
T 的终边
y
A
Ox
A
O
x
yT
A
Ox
T 的终边
y
A
O
x
T
的终边
讲授新课 思考：
1. 正切函数y=tanx的定义域是什么？ 2. 正切函数是不是周期函数？ 3. 正切函数是奇函数还是偶函数？ 4. 正切函数的单调性怎样？ 5. 正切函数的值域是什么？
讲授新课 总结: 正切函数的性质
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边
T 的终边
y
A
Ox
A
O
x
y
y
OxO
x
T 的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边
T 的终边
y
A
Ox
A
O
x
yT
A
Ox
y
O
x
T 的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
讲授新课
作y tan x, x , 的图象.
2 2
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
作y tan x, x , 的图象.
2 2
y
4
6
2
o
6
4
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4
第十三页，共44页。
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图像习题课件 新人教A版必修4
(2)y＝|tanx|＝t－antxa，nx，x∈x[∈kπ（，kπkπ－＋π2π，2 ）kπ（]k（∈kZ∈）Z.）.
可作出其图像(如图)，由图像知函数 y＝|tanx|的单调递减区 π
间 为 (k π － 2 ， k π ](k∈Z) ， 单 调 递 增 区 间 为 [k π ， k π ＋ π 2 )(k∈Z)．
π 是[0，＋∞)；单调递增区间是[kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z)；周期 T＝
π.
课后巩固
1．函数
y＝ta1nx(－π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
答案 B
2．函数 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(π2 ，3π2 )内的图 像大致是( )
π
⇒kπ－
x≠kπ＋ 2 （k∈Z）
2
<x<kπ＋
3
，
π
π
∴定义域为(kπ－ 2 ，kπ＋ 3 )(k∈Z)，值域为 R.
题型二 正切函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4 ≤x<π4 )； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
【思路分析】 先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义 域、值域、单调区间及最小正周期．
【解析】 y＝tanx＋|tanx|＝ 2tanx，tanx≥0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z. 0，tanx<0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z.
其图像如图所示，
π
高中数学 1.4.3正切函数的图像和性质课件 新人教A版必修4
2
(k ,0),kZ ；关于原点对称（奇函数）
2
单调性
在每个分支里是单调递增的
增区间：2 k
,
k
2
kZ
例6
• （1）定义域
y
tan
x
2 3
例6
• （2）周期性
y
tan
x
2 3
周期T ||
例6
y
tan
x
2 3
• （3）单调区间
1 ta n x 0
• 解不等式
方法（1）在
2
, 2
内找到相应的范围
（2）在两边加上 k
小结
(1)定义域： {x|xk,kZ}
2
(2)周 期 T
( 3 )f(x ) t a n x ,x R 为奇函数
(4) 单调性：增区间：
2k
,
k
2
kZ
f(x ) c o sx ,x R为偶函数
f(x)tanx,x k,k z
任 意 xk,k2z
2
f( x )ta n ( x )tanxf (x) f(x ) ta n x ,x R 为奇函数
y
O
x
2
2
值 域 xR
图象
y
3 2
2
3
x
2
2
特征
1.有无穷多支曲线组成，由直线 xk,kZ隔开
性质
• 所谓函数的性质包括 • 定义域 • 值域 • 周期性 • 奇偶性 • 单调性
定义域
ytanx
终边不能落在y轴上。
定义域： {x| xk,kZ}
2
周期性
ysinx T2 ycosx T2
tan(x ) tan(x)
(k ,0),kZ ；关于原点对称（奇函数）
2
单调性
在每个分支里是单调递增的
增区间：2 k
,
k
2
kZ
例6
• （1）定义域
y
tan
x
2 3
例6
• （2）周期性
y
tan
x
2 3
周期T ||
例6
y
tan
x
2 3
• （3）单调区间
1 ta n x 0
• 解不等式
方法（1）在
2
, 2
内找到相应的范围
（2）在两边加上 k
小结
(1)定义域： {x|xk,kZ}
2
(2)周 期 T
( 3 )f(x ) t a n x ,x R 为奇函数
(4) 单调性：增区间：
2k
,
k
2
kZ
f(x ) c o sx ,x R为偶函数
f(x)tanx,x k,k z
任 意 xk,k2z
2
f( x )ta n ( x )tanxf (x) f(x ) ta n x ,x R 为奇函数
y
O
x
2
2
值 域 xR
图象
y
3 2
2
3
x
2
2
特征
1.有无穷多支曲线组成，由直线 xk,kZ隔开
性质
• 所谓函数的性质包括 • 定义域 • 值域 • 周期性 • 奇偶性 • 单调性
定义域
ytanx
终边不能落在y轴上。
定义域： {x| xk,kZ}
2
周期性
ysinx T2 ycosx T2
tan(x ) tan(x)
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2．忽略正切函数中自变量的取值范围 1－cosx 求函数 y＝sinx(1＋tanx· )的定义域． sinx [错解] 由题意，得 sinx≠0.解得 x≠kπ，k．
[错因分析]
该解法只注意到分母不为零的条件，而忽略
了正切函数的自变量本身的取值范围． [思路分析] 要解决此类函数的定义域问题，不仅要考虑
自主预习 认真阅读教材回答下列问题． 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．
正切函数 y＝tanx 的图象叫做 正切曲线
．
(2)性质：如下表所示. 函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性
y＝tanx
π x≠2＋kπ ，k∈Z x
R
π 奇函数
函数 性质 单 调 性 减区间
分母是否为 0，还要注意函数本身隐含的自变量的取值范围．
[正解]
由题意，得 sinx≠0.解得 x≠kπ，k∈Z.又由函数 y
π ＝tanx 有意义，则 x≠ ＋kπ，k∈Z. 2 kπ 故原函数的定义域为{x|x≠ ，k∈Z}． 2
y＝tanx
增区间
π π － ＋kπ， ＋kπ(k∈Z) 2 2
无
kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线x＝ ＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 2 无限接近渐近线． π (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ω|.