八年级数学下册 第一章《三角形的证明》回顾与思考教案2 (新版)北师大版
北师大版八年级下册第一章《三角形的证明回顾与思考》教案
-创新思维的激发：学生在解决问题时往往习惯于模仿和重复，缺乏创新尝试的勇气和方法，教师需要提供开放性问题，鼓励学生探索不同的解决方案。
举例解释：
-在逻辑推理和证明过程中，难点在于如何指导学生从已知条件出发，逐步推导出结论。例如，在证明等腰三角形底角相等时，学生需要理解如何利用SSS或SAS定理进行推理。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SSS、SAS、ASA、AAS判定法则以及勾股定理的应用。对于难点部分，我会通过具体的例题和图形分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作三角形模型，演示三角形性质。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生回顾和深化对三角形证明的理解。首先，通过日常生活中的问题导入新课，我发现学生们对三角形的实际应用产生了浓厚的兴趣。他们积极参与讨论，提出了一些很有见解的问题，这让我感到很欣慰。
在理论介绍和案例分析环节，我注意到了一些学生在理解判定方法和证明过程上的困难。我尽量用简明的语言和具体的例子来解释，但可能还需要在今后的教学中加入更多的直观演示和互动环节，帮助学生更好地消化这些知识点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形的证明回顾与思考》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明三角形性质的情况？”比如，在户外活动时，如何确定一个三角形是等腰的或等边的。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明回顾与思考》教案_13
等腰三角形复习课教案一、教学目标1、知识与能力目标（1）理解等腰三角形、等边三角形的概念。
（2）掌握等腰三角形、等边三角形的性质及判定。
（3）能灵活应用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决有关问题。
2、过程与方法目标（1）根据具体几何综合问题，总结基本图形，归纳几何解题策略。
（2）在学习过程中，体会数形结合、分类讨论、转化、化归的数学思想。
3、情感与态度目标（1）在分类讨论中使学生学会周全考虑问题，养成严谨的思维习惯（2）在小组合作学习的过程中，体会学习的乐趣，培养学生的沟通交流，合作学习的能力二、教学重点与难点1、重点：等腰三角形、等边三角形的性质、判定的灵活应用2、难点：分类讨论思想、转化思想、数形结合思想、化归思想的应用三、教学方法教师引导、小组合作，共同探究学习四、教学过程学生活动一：（一）、回顾复习（小组合作交流）1.等腰三角形的性质与判定: 如图，在△ABC中（1）性质：①等腰三角形是轴对称图形，对称轴是②等腰三角形的两腰_________③等腰三角形的两底角相等，简记为__________∵AB=AC∴④等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______互相重合，简称为三线合一∵AB=AC，AD⊥BC ∵AB=AC，BD=CD ∵AB=AC ∠BAD=∠DAC ∴；∴∴（2）判定：①根据定义：有_____ _相等的三角形是等腰三角形。
∵∴△ABC是等腰三角形②有的三角形是等腰三角形，简记为______ __∵∠B=∠C∴2、等边三角形的性质与判定：如图，在△ABC中（1）性质①等边三角形的三边都______，三个内角都_______，并且每个内角都等于_______。
②等边三角形是特殊的等腰三角形，因此也具有“三线合一”的性质。
③等边三角形也是轴对称图形，它有_____条对称轴，（2）判定①根据定义：___ __都相等的三角形是等边三角形。
∵∴△ABC是等边三角形②三个__ _都相等的三角形是等边三角形。
北师大版八年级下册第一章《三角形的证明回顾与思考》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生回顾和巩固三角形的基本概念、性质及判定方法，加深对三角形知识的理解和应用。
2.通过对三角形证明方法的回顾与思考，使学生掌握三角形证明的基本思路和技巧，提高逻辑推理能力和解题能力。
3.引导学生运用三角形的性质和判定方法解决实际问题，培养他们将理论知识运用到实际生活中的能力。
b.引导学生从不同角度分析问题，培养他们的发散思维和创新意识。
5.方法指导，培养习惯：
a.教会学生总结规律，形成自己的解题方法，提高解题效率。
b.引导学生养成良好的学习习惯，如课前预习、课后复习等，提高自主学习能力。
6.评价反馈，促进发展：
a.采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组讨论等，全面评价学生的学习效果。
2.练习题涵盖不同类型的三角形证明题目，使学生在练习中掌握各种证明方法的运用。
3.教师针对学生的练习情况进行个别指导，帮助他们找到解题过程中的不足，并及时给予指导。
4.对学生在练习中普遍存在的问题，进行集中讲解，确保每位学生都能掌握本节课的重点内容。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结三角形证明的基本方法和技巧。
2.讲解三角形证明的基本方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS等判定方法，并通过例题进行演示。
3.分析不同证明方法的适用场景和注意事项，引导学生理解证明过程的严谨性。
4.总结三角形证明的常用技巧，如辅助线、角度转化等，帮助学生形成解题思路。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：将学生分成若干小组，针对教师提供的例题和练习题，进行小组讨论。
2.学生分享自己在解决问题过程中的心得体会，以及学习三角形证明的收获。
初中八年级数学下册第一章三角形的证明教案新版北师大版
初中八年级数学下册第一章三角形的证明教案1 等腰三角形一、教学目标1.知识与技能(1)理解公理，能够举一反三，证明等腰三角形的性质定理；(2)能够通过全等三角形的判定定理证明等腰三角形的定理，进一步感受证明过程；(3)熟悉证明的基本步骤和书写格式.2.过程与方法通过诱导、启发学生利用全等三角形证明等腰三角形的定理.发展学生的初步演绎逻辑推理的能力,鼓励学生在交流探索中发现证明的多样性,提高逻辑思维水平.3.情感态度及价值观使学生渗透数学思想，培养学生合作交流的意识，同时使学生通过独立思考去考虑问题的能力加强,培养良好的学习习惯.二、教学重点、难点重点：探索证明等腰三角形的性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法.难点：通过探索利用全等三角形的判定与定义证明等腰三角形的性质定理，明确推理证明的基本要求.三、教具准备（两个等腰三角形、彩色粉笔、教案、尺子）四、教学过程1.复习旧知，引入新知(1)请同学们回忆判定三角形全等的公理有哪些?●公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.●公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.●公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）(2)推论呢?两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).(3)根据全等三角形的定义，我们可以得到定理：全等三角形的对应边相等、对应角相等.学生讨论：等腰三角形有哪些性质吗？根据等腰三角形的性质给予证明.设计意图：为学生对本节课证明等腰三角形的定理作铺垫.2.新授课猜想：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角有什么关系呢?如何证明1。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考(教案)
3.教学过程中，我发现有些学生在解决实际问题时，难以将所学知识运用到具体情境中。为了提高学生的应用能力，我会在课堂上增加一些与生活密切相关的实例，让学生明白所学知识在实际生活中的重要性。
3.直角三角形的性质与判定
-直角三角形的内角和为180°
-直角三角形的斜边最长
-有一个角是直角的三角形是直角三角形
4.三角形全等的判定方法
- SSS（三边全等）
- SAS（两边和夹角全等）
- ASA（两角和边全等）
- AAS（两角和非夹边全等）
5.三角形相似的性质与判定
-对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
同学们，今天我们将要学习的是《三角形的证明回顾与思考》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明三角形全等或相似的情况？”（如拼图游戏、建筑设计等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
- AA（两角对应相等）
- SAS（两边和夹角对应相等）
- SSS（三边对应成比例）
6.三角形在实际问题中的应用
本节课将结合教材内容，通过实例讲解、练习巩固，帮助学生回顾与思考三角形的相关知识，提高学生的几何证明能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握三角形的性质与判定方法，提高空间观念和几何直观能力；
五、教学反思
在本次教学过程中，我深感三角形证明这一章节的内容对于八年级学生来说具有一定的挑战性。从教学实践来看，以下几个方面值得我反思和改进：
北师大版八年级下册数学《直角三角形》三角形的证明教学说课研讨课件复习(第2课时)
6.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE是一条 角平分线,AD,BE相交于点
求∠BAD的度数.
解:∵AD是BC边上的高,∠E
7.如图是一个机器零件的示意图,∠ACD=90°是衡量这个零件合格的 一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由. 解:能.理由:在R ∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°, ∴AC= 32＋42 =5(cm). 在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm, ∴AD2=169,CD2+AC2=169, ∴AD2=CD2+AC2,∴∠ACD=90°.
BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.
求证：R
解：在R ∴R ∴DC＝BA 又∵BE⊥AC，DF⊥AC ∴∠AEB＝∠CFD＝90° 在R ∴R
DA＝BC， AC＝CA，
AB＝CD， AE＝CF，
课堂检测，巩固新知
1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( B )
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形
北师大版 八年级下册
第一章 三角形的证明
直角三角形（第2课时）
前言
学习目标
1.掌握“斜边、直角边( 2.能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等． 3.能用尺规解决“已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形”的问题．
学习重点
掌握判定直角三角形全等的条件，并能运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题.
例题讲解
例2 已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm， BC边上的中线AD＝12cm. 求证：AB＝AC.
八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.2《直角三角形》教案1 (新版)北师大版
《2 直角三角形》第1课时教学目标1、知识与技能：（1）掌握直角三角形的性质和判定．（2）掌握勾股定理及其逆定理．2、过程与方法：通过本节的学习掌握勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理判定三角形为直角三角形．3、情感态度与价值观：（1）通过学习进一步培养动手操作的能力和锲而不舍的探索意识．（2）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满了探索性、知识性、趣味性，同时又具有严密的逻辑性，当然，许多数学问题又都源于生活实际，由此引出相关的内容，以培养大家应用数学的意识．教学重难点教学重点：直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理．教学难点：直角三角形的性质和判定以及勾股定理及其逆定理的应用．教学过程1、直角三角形的性质：（1）在直角三角形中，有一个角为90°．（2）在直角三角形中，两锐角互余．（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．2、直角三角形的判定：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形．（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．3、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2．4、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．5、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边．（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系．（3）用于证明线段平方关系的问题．6、勾股定理与勾股定理的逆定理是一对互逆定理，前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理．7、勾股定理的逆定理把数的特征（a2＋b2＝c2）转化为形的特征（三角形有一个角为直角），因此逆定理的作用是提供了一个判定三角形是不是直角三角形的方法，它与前面讲的判定方法不同，它需要通过代数运算“算”出来．第2课时教学目标1、掌握判定直角三角形全等的条件和方法．2、经历探索直角三角形全等条件的过程，把握直角三角形全等的条件，并能灵活地解决一些问题．教学重难点教学重点：直角三角形全等的判定．教学难点：HL定理（或简写成“斜边、直角边”）；直角三角形全等的判定定理及其应用．教学过程一、学习直角三角形全等的判定方法：（1）SAS定理（2）ASA定理（3）AAS定理（4）SSS定理（5）HL定理（或简写成“斜边直角边”）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．二、重点讲解重点讲解HL定理（或简写成“斜边直角边”）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．1、情景创设：（1）直角三角形全等的条件有哪些？（2）你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？2、合作探索：我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等．如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？如图（1）：在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠C＝∠C＇＝90°，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？图1研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起（教师演示）如图1（2），因为∠ACB＝∠A＇C＇B＇＝90°，所以B、C（C＇）、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，可以知道∠B＝∠B＇．根据AAS公理可知Rt△A＇B＇C＇≌Rt△ABC．上面的实验和操作，说明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”．这就是判定直角三角形的“斜边、直角边”公理（简称HL）．三、应用迁移B图2例：如图2，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF；求证：AB=AC．四、小结关于HL定理应用的注意：1、HL定理是判定直角三角形全等独有的方法，因此在应用这一性质时，必须点明“在Rt△×××和Rt△×××”中．2、由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等．所以判定两个直角三角形全等的方法有五种：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”和“HL”．。
新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明回顾与思考》教案_0
2：探究新知
（ 1）引导学生证明性质定理
请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．
已知：如图， OC 是∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，
A D
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为
1
D、 E．
O
2
P C
求证： PD=PE． 证明：∵∠ 1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠ PEO=9°0 ，
证明如下： 已知：在么 AOB 内部有一点 P，且 PD 上 OA ，PE⊥OB，D、E 为垂足且 PD=PE， 求证：点 P 在么 AOB 的角平分线上． 证明： PD⊥ OA， PE⊥ OB， ∴∠ PDO=∠ PEO=90°． 在 Rt△ODP 和 Rt△OEP 中 OP=OP，PD=PE，∴ Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL 定理 )． ∴∠ 1=∠2(全等三角形对应角相等 )． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了， 那么我们就可以把 这个逆命题叫做原定理的逆定理． 我们就把它叫做 角平分线的判定定 理。
E B
∴△ PDO≌△ PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等 )．
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导 ) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结
论．我们把它叫做 角平分线的性质定理 。 (用多媒体演示 )角平分线
八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形教案(新版)北师大版
八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形教案（新版）北师大版直角三角形课题直角三角形（第一课时）课型新授课教学目标1．知识目标：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．2．能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．重点难点重点：①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．教具 准备学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；课时安排1课时教学过程与教学内容教学方法与学法1：创设情境，引入新课通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。
[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm ，CB 1⊥AB，B 1C⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少? B 1C 1呢?解：在Rt△ABC 中，∠CAB=30°，AB=10 cm ， ∴BC＝12 AB ＝12 ×10＝5 cm ．∵CB 1⊥AB，∴∠B+∠BCB 1＝90° 又∵∠A+∠B＝90° ∴∠BCB 1 ＝∠A＝30°在Rt△ACB 1中，BB 1＝12 BC ＝12 ×5＝ 52cm ＝2．5 cm ．让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明＝12 AB ＝12＝12 (a+b)(a+b) 12 (a+b)∴S△ABE＝12c ∴12 (a+b) 12 c + 12 ab + 12 即12 a + ab + 12 b ＝12 c教学目标1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力重点难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.2《直角三角形》教学设计 (新版)北师大版
《直角三角形》直角三角形是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第二节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求了解勾股定理逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其。
所以本节的重点是进一步掌握演绎推理的方法。
【知识与能力目标】1、了解勾股定理逆定理的证明方法2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。
【过程与方法目标】①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。
【情感态度价值观目标】①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重点】进一步掌握演绎推理的方法。
【教学难点】进一步掌握演绎推理的方法。
教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；温故知新 新你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？（由学生回顾得出勾股定理的内容。
）定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？阅读课本16，17，18学习目标1 了解勾股定理逆定理的证明方法1、 结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立已知：在ΔABC 中，AB 2+AC 2=BC 2求证：ΔABC 是直角三角形a) （！） （2）（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。
）结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
北师大版八年级下册第一章三角形的证明课程设计
北师大版八年级下册第一章三角形的证明课程设计一、前言三角形是初中数学课程的重点之一，其证明课程更是为高中数学打下扎实的基础。
本文档以北师大版八年级下册第一章三角形的证明为主题，旨在为初学者提供一份详细的课程设计模板。
二、课程概述本课程共分为三个部分：•三角形的基本概念与性质•三角形内部角的性质及其证明•三角形外部角的性质及其证明通过学习这些内容，学生们将能够了解三角形的基本概念与性质，掌握三角形内部角和外部角的性质，以及学习基本的三角形证明方法。
三、课程设计（一）三角形的基本概念与性质1.三角形的定义–定义：三角形是由三条线段组成的图形。
–性质：三角形共有三条边和三个内角，内角和为180度。
2.三角形的分类–根据边的长短，可以将三角形分类为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
–根据角的大小，可以将三角形分类为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
–等边三角形的三个角均为60度。
–等腰三角形的两个底角相等。
–直角三角形的斜边上的高等于另外一条直角边。
–任意一个三角形内部的任意一点到三条边的距离之和等于该三角形的高。
（二）三角形内部角的性质及其证明1.内角和定理–定理：一个三角形的三个内角的和为180度。
–证明：将一个三角形分成两个三角形，证明每个三角形的内角和为180度。
2.同位角定理–定理：同位角是指两条平行线被一条横线截断后，同侧的两个内角或同侧的两个外角，它们的大小相等。
–证明：利用平行线和同位角定义，画出相应的图形。
3.内错角定理–定理：在一个三角形中，任意一内角和其对边上错角的和为180度。
–证明：利用三角形内部角和定理，将内错角分成两个三角形，再运用平行线各自等角原理和对应角相等原理，最终推导出答案。
（三）三角形外部角的性质及其证明1.外角和定理–定理：一个三角形的一个外角等于它的两个不相邻内角的和。
–证明：将三角形外角分成两个内角，然后运用内角和定理，最终得出答案。
–定义：平行线被横线截断时，同位角相等，相邻角互补。
北师大版八年级下册第一章三角形的证明总复习(教案)
解决方法：通过大量练习和变式训练，让学生熟练掌握等腰三角形的性质，提高解题正确率。
（3）三角形的外角性质：学生对于外角性质的理解不够深刻，难以运用到实际问题中。
解决方法：结合实际图形和例题，让学生反复练习，逐步加深对外角性质的理解和应用。
4.在总结回顾环节，我发现部分学生对今天学习的知识点掌握不够牢固。为了帮助学生巩固知识，我计划在课后布置一些针对性的练习题，并鼓励学生在课堂上提问，及时解决他们的疑惑。
5.本次教学中，我注意到学生在学习等腰三角形和全等三角形判定时，容易混淆概念。为了帮助学生理清思路，我将在下一节课中进行针对性的复习和讲解，通过对比分析，让学生更好地理解这些概念之间的联系和区别。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形证明在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
举例：通过具体实例，让学生了解和掌握这些特殊点的位置关系及性质，如内心为三角形内切圆的圆心，外心为三角形外接圆的圆心等。
2.教学难点
（1）三角形全等的判定方法：学生容易混淆SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，难以判断哪些条件可以证明三角形全等。
解决方法：通过对比讲解和练习，让学生明确每种判定方法的条件和特点，提高识别和运用能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明回顾与思考》教案_15
图 G－ 1－ 13
图 G－1－14
(2) 特例启发，解答题目 解：题目中， AE 与 DB 的大小关系是： AE________DB( 填“ >”“ <”或 “＝” ) ．理由如下：如图 G－ 1－ 14，过点 E 作 EF∥ BC，交 AC于点 F.( 请你补 充下面的解答过程 )
【归纳总结】 1. 关于几何推理： 2. 关于分类讨论 :
【复习检测】
图 1－1－25
1. 若实数 x，y 满足 | x－ 5| ＋ y－10＝0，则以 x，y 的值为边长的等腰三
角形的周长为 ________．
2. 如图 1－1－3，AC＝BC＝10 cm，∠ B＝15°， AD⊥BC于点 D，则 AD的长
A．120° B ．° C ．100° D ．60°
5．△ABC中，∠ A，∠ B，∠ C的对边分别记为 a，b，c，由下列条件不能判
定△ ABC为直角三角形的是 ( )
A．∠ A＋∠ B＝∠ C B
C．a2＝c2－ b2
D
．∠ A∶∠ B∶∠ C＝1∶2∶３ ．a∶b∶c＝3∶4∶６
6． (2016 ·泰安 ) 如图，在△ PAB中， PA＝PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB
【重点难点】 1. 会进行推理说明； 2. 运用分类讨论方法解决问题，也是中考的重点又是难点 .
【知识沙盘】自主归纳
性质
等腰三角形
判定
特
殊
性质
三
等边三角形
角
判定
形
直角三角形
性质
判定
【目标测试】
1.( 2016· 怀化 ) 等腰三角形的两边长分别为 4 cm和 8 cm，则它的周长 ( )
新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明回顾与思考》教案_11
三角形的证明复习课的教学设计（第三课时）一、教学目标1. 熟练地掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理,以及三角形三条边的垂直平分线相交于一点定理。
2. 熟练地掌握角平分线的性质定理和判定定理,以及三角形三条角平分线相交于一点定理。
3. 进一步发展学生的推理证明意识和能力。
二、学情分析虽然对线段垂直平分线和角平分线的性质和判定有所了解,但不能熟练掌握需要加强训练巩固与提高。
三、教学重点难点重点:会运用线段垂直平分线与角平分线的性质定理及判定定理解决问题。
难点:对线段垂直平分线与角平分线的性质定理及判定定理的灵活运用。
四、教学过程通过学生自学后在课堂展示,小组交流合作,共同学习提高19、如图，△ABC中，AC=5, AB 的垂直平分线DE交AB,AC于E,D .（1）若△BCD的周长是8，求BC的长；（2）若BC=4，求△BCD的周长。
?20．如图，AD是∠BAC的角平分线，BE ⊥AD，交AD 胡延长线于E,EF∥AC,交AB于F．求证：AF=BF．21（10分）（2013?沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC 于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD= ，求AD的长．22、如图①，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD（1）求证：BE=CD?（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE．连接BE，CD．BE与CD有什么数量关系？简单说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE．求BE的。
八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.1《等腰三角形》教案2 (新版)北师大版
《等腰三角形》第1课时教学目标1．知识与技能：经历观察实验、猜想证明，掌握等腰三角形的性质，会运用性质进行证明和计算．2．过程与方法：(1)历观察等腰三角形的对称性，发展形象思维．(2)经历观察实验、猜想证明，发展合情推理能力和演绎推理能力．3．情感态度与价值观：经历同学间的合作与交流，体会在解决问题过程中与他人合作的益处．教学重难点1．教学重点：等腰三角形性质的发现、证明及应用．2．教学难点：等腰三角形三线合一的发现、证明及应用．教学过程一．提出问题，创设情境1．①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？2．满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．二．导入新课1．同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ACA B I作一条直线L ，在L 上取点A ，在L 外取点B ，作出点B 关于直线L 的对称点C ，连结AB 、BC 、CA ，则可得到一个等腰三角形．思考：(1)．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．(2)．等腰三角形的两底角有什么关系？(3)．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？(4)．底边上中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．(它的两个底角有什么关系？)3．等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．(这个结论由学生共同探究得出的)等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．2．等腰△的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”)．三．随堂练习四．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等(等边对等角)，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．第2课时教学目标经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．教学重难点教学重点：等边三角形判定定理的发现与证明．教学难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理．教学过程一、复习知识要点1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2．三角形按边分类：三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．二．新课学习1．提出问题，创设情境(1)把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？(2)一个三角形满足什么条件就是等边三角形？(3)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．2．导入新课(1)探索等腰三角形成等边三角形的条件．如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．你能给大家陈述一下理由吗？有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．(2)你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．[师]下面就请同学们来证明这个结论．已知：如图，在△ABC 中，∠A =∠B =∠C ．求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵∠A =∠B ，∴BC =AC (等角对等边)．又∵∠A =∠C ，∴BC =AC (等角对等边)．∴AB =BC =AC ，即△ABC 是等边三角形．等腰三角形的性质和判定方法就可以得到：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；三个角都相等的三角形是等边三角形．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．三．随堂练习四．课时小结这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．第3课时教学目标探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．教学重难点教学重点：A B1．等腰三角形的判定定理及其应用．2．探索等腰三角形的判定定理．教学难点：等腰三角形的判定定理及其应用．教学过程一．提出问题，创设情境1．等腰三角形有些什么性质呢？2．满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？二．导入新课1．思考：如图，位于在海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A =∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？2．在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？例．已知：在△ABC 中，∠B =∠C (如图)．求证：AB =AC ．证明：作∠BAC 的平分线AD ．在△BAD 和△CAD 中 12,,,B C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAD (AAS )∴AB =AC ． 3．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．4．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC (如图)．求证：AB =AC ．21D CA21EDA B证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B (两直线平行，同位角相等)，∠2=∠C (两直线平行，内错角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B =∠C ，∴AB =AC (等角对等边)．练习：已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB =AD ．DCA B证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC (两直线平行，内错角相等)．又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC ，∴∠ABD =∠ADB ， ∴AB =AD (等角对等边)．三．随堂练习四．课时小结本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，•在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．第4课时教学目标1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．教学重难点教学重点：含30°角的直角三角形性质定理发现与证明．教学难点：含30°角的直角三角形性质定理发现与证明及应用．教学过程一．提出问题，创设情境1．用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．2．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？二．导入新课1.用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．(1)DC A B(2)D CAB其中，图(1)是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB =AC ，又因为Rt △ABD 中，∠BA D =60°，所以∠ABD =60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．图(1)中，已经知道它是等边三角形，所以AB =BC =AC ．•而∠ADB =90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD =DC =12BC ．所以BD =12AB ，即在Rt △ABD 中，∠BA D =30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°．求证：BC =12AB ． ADC AB 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ．练习：下图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，A B =7.4m ，∠A =30°，立柱BD 、DE 要多长？DC A E B分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A =30°，所以DE =12AD ，BC =12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE =14AB ． 三．随堂练习四．课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．。
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《回顾与思考》
教学目标
1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
教学重点
通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 教学难点
本章知识的综合性应用。
教学过程
第一环节：知识回顾 1.
第二环节：题组训练 （一）.等腰三角形
1.等腰三角形的一边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）． A 、9 B 、12 C 、15 D 、12或15
2．等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______． 3．等腰三角形的一个角是80°，则它的另两个角是 ． 4.等腰三角形底边长为
，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为
.
则腰长为 . 5.如图，在
中，D 是AC 上的一点，且 ， ，则
通过探索、猜测、计算、证明得到的定理
与等腰三角形、等边三角形有关的结论
与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论
命题的逆命题及其真假
尺规作图
线段的垂直平分线 角的平分线
_______， ______， ________.
6.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上, ∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD,求∠EDC的度数
（二）等边三角形
1.如图，等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若△ABC 的周长为12，则△DCE的周长为___________．
2.如图，已知：在等边三角形ABC中，D、E分别在AB和AC上，且，BE和CD 相交于点P.求：的度数.
（三）线段的垂直平分线
1.如图，，AB的垂直平分线交AC于D，则．
2如图，中，DE垂直平分的周长为13，那么的周长为__________．
3.如图,△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,EF垂直平分AB, EF=2．求AB与BC的长．
（四）角平分线
1.如图，在△ABC中，∠A的平分线交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则△BDE的周长为_________.
2.如图，已知：在中，，AD=BD=BC,求∠A的度数
3.．如图，中，，试说明：．
（五）命题
1.下列命题中正确的是 ( )
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等 B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等 D．一边对应相等的两个等边三角形全等
2.下列定理中，没有逆定理的是 ( )
A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形两腰上的高相等
C．全等三角形的周长相等 D．有一个锐角对应相等的两直角三角形相似（六）作图
如图，求作一点P ，使，并且使点P 到的两边的距离相等，并说明你的理由．
三：综合练习
1.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？
2. 如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G
求证：EG=FG E
A
A B
C
D
E
F
1
2
F。