相关与回归分析课后习题解答

又因为
，所以
分析此式：由于第二项 的处理使之最小化。
很明显，若令
是常数，所以
只能通过第一项
可以取最小值，即
所以， βl 2 是标准一元线性回归模型中总体回归系数β2的最优线性无偏估计量。
五、计算题
1.试根据教材 P205 页表 7—8 的资料，要求：
（1）以消费为因变量，国内生产总值为自变量，拟合线性回归方程； （2）计算回归估计的标准误差和决定系数； （3）对回归系数进行显著水平为 5％的显著性检验； （4）假定 2001 年我国的国内生产总值为 104880 亿元，利用拟合的回归方程预测该年可能达到的消 费额，给出置信度为 95％的预测区间。 解：（1）设消费为Y，国内生产总值为X，则线性回归方程为：Y=β1+β2X。 步骤一：构造 Excel 工作表，见图 7—1。 步骤二：回归分析1。 选择“工具”→“数据分析”，再在“数据分析”菜单中选中“回归”，见图 7—2。
图 7—10
图 7—11
图 7—12 最终得出Cf的区间预测结果为 5.见教材 P207 页表 7—9 的资料。要求： （1）试拟合以下总成本函数： （2）根据总成本函数推导出平均成本函数，并描出平均成本函数的图形； （3）试根据以上结果推算总产量为 1550 时的单位产品平均成本。 解：（1）构造 Excel 数据表（见图 7 一 13），并以前面所述的同样步骤进行回归分析，得到相应的回 归分析结果，见图 7—14。
二、选择题
1.变量之间的关系按相关程度分可分为（ BCD ）。
A.正相关 B.不相关 C.完全相关 D.不完全相关
2.复相关系数的取值区间为（ A ）。
A.0≤R≤1 B.－1≤R≤1 C.－∞≤R≤1 D.－1≤R≤∞
3.修正自由度的决定系数（ ABD ）。
A.
2
R
≤
R
2
2
B.有时小于 0 C.0≤ R ≤1
图 7—13
得到的回归方程为
图 7—14
（2）求平均成本函数： 因为平均成本 yt 与总成本 Yt 的关系为
所以， 将产量从 1 到 2000 取值，代入上式，获得 2000 个平均成本的数据点，描出平均成本函数的图形，见 图 7—15。 由图 7 一 15 可知，平均成本随着产量的增加显示下降，达到一最低值之后，又会随着产量的增加而 提高。
在 F5 中输入公式“=MMULT（MMULT（Xf，MINVERSE（MMULT（TRANsPC）SE（X），X）））， TRANSPOSE（Xf））”
然后按“Ctr1+Shift 十 Enter”组合键即可。 再计算Sef在F8 中输入公式“=442.22*SQRT（1+F5）”。442.22 为回归估计标准差。 步骤六：计算置信区间上下限。 在 F9、F10 中分别输入公式“=Cf—t 临界值*Sef”和“=Cf+t 临界值*Sef”。结果见图 7—12。
图 7—5 的消费” 步骤二：进行回归分析。 选择“工具”→“数据分析”→“回归”，在该窗口中选定自变量和因变量的数据区域，最后点击“确 定”完成操作。 得到回归分析的输出结果见图 7—6。
图 7—6 因此，回归方程为Ct=466.7965+0.4471Yt+0.2640Ct-1 （2）随机误差项的标准差估计值为 S=442.2165 （3）修正自由度的决定系数：Adjusted R Squares=0.9994 （4）各回归系数的 t 统计量为 （5）整个方程的显著性检验： F 统计量为 16484.6，远远大于临界值 3.52，说明整个方程非常显著。 （6）预测： 点估计值为 使用 Excel 进行区问估计步骤如下： 步骤一：构造工作表，见图 7—7。
D.比R2更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标
4.下列各项中，与回归预测误差的大小有关的是（ ABCD ）。
A.样本容量 B.自变量预测值与自变量样本平均数的离差
C.自变量预测误差 D.随机误差项的方差项的方差
三、问答题
请举一实例说明什么是单相关和偏相关，以及它们之间的差别。
答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相 关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。然而，如果我们仔细观察， 可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之问事实上应该是负相关。两者之间的 单相关关系出现正相关是因为背后还有天气等因素的影响，天气越热，两种冷饮的消费量都越多。如果设 法将天气等因素固定不变，单纯考察冰激凌与汽水的消费量，则可能出现负相关关系。像这种假定其他影 响因素不变专门考察其中两个因素之间的关系就成为偏相关。
证明： （1）无偏性：
，证明略，参见教材 P173 页，公式 7.29 式的证明。 （2）线性：
令
，则
由此可见， βl 2 是Yt的一个线性函数。它是以kt为权的Yt的一个加权平均，从而 βl 2 是一个线性统计量。
（3）最小方差性：
设
为β2的任意线性无偏估计量。现讨论
的取值情况。
因为
也即作为β2的任意线性无偏估计量，必须满足下列约束条件：
四、证明题
1.试证明教材P171 的（7.21）式给出的S2是标准一元线性回归模型中随机误差项的方差σ2的无偏估计 量。
证明：总体回归函数为
Yt = β1 + β2 X t + ut （7.1）
求样本平均数，有
Y = β1 + β2 X + u （7.2）
（7.1）－（7.2）式，得
( ) ( ) Yt − Y = β2 Xt − X + ut − u （7.3）
（注意：由于 t=1，…，n，未必代表总体中全部的随机误差项，故 u ≠0）
样本回归函数为 （7.4）
求平均数，有 （7.5）
（注意，根据假定条件： e =0）
（7.4）－（7.5）式，得 （7.6）
将（7.6）式代入（7.3）式，经整理后可得
平方后再求和：
取上式数学期望：
令
则（7.7）式等于： 教材 P173 页公式 7.30 为
图 7—9 最后，采用同样方法，将 B26：D26 定义为“Xf”，将 F2：F4 定义为“B”。 步骤三：计算点预测值Cf。 在 F6 中输入公式“=MMULT（Xf，B）”，按回车键即可。 步骤四：计算 t 临界值。 在 F7 中输入公式“=TINV（1－0.95，22－3）”，按回车键即可。 步骤五：计算预测估计误差的估计值Sef。
因为国内生产总值包括三次产业，所以工业总产值、农业总产值和全部的国内生产总值为正相关关系， 同时即便某些特殊地区没有工业和农业，仍然有国内生产总值，所以β1＞0。
4.利用本章计算题 1 图 7—1 中给出的我国 GDP 和消费的资料，要求： （1）拟合以下形式的消费函数：
式中，Ct是t期消费；Ct-1是t－1 期的消费，Yt是t期的GDP； （2）计算随机误差项的方差估计值； （3）计算修正自由度的 t 统计量； （4）计算各回归系数的 t 统计量； （5）对整个回归方程进行显著性检验； （6）假设 2001 年的国内生产总值为 95350 亿元，试利用拟合的消费函数预测当年的消费总额，并给 出置信度为 95％的预测区间。 解：（1）回归分析的 Excel 操作步骤如下： 步骤一：首先对原 Excel 数据表作适当修改，添加“滞后一期的消费”数据见图 7—5。
第七章 相关与回归分析
一、判断题
1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。（ × ） 答：错。应是相关关系。单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。 2.相关系数为 0 表明两个变量之间不存在任何关系。（ × ） 答：错。相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的 关系。 3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。（ √ ） 答：对。因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。 4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。（ × ） 答：错。两者是精确的函数关系。 5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。（ √ ） 答：对。 6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。（ √ ） 答：对。因为估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同， 估计的结果仍然不一样。
所以，Yf的置信度为 95％的预测区间为
所以，区间预测为
3.讨论以下几种场合的回归方程：
中回归系数的经济意义和应取的
符号。
（1）Yt为商业利润率；X2t他为人均销售额；X3t为流通费用率； （2）Yt为粮食销售量；X2t为人口数；X3t为人均收入； （3）Yt为工业总产值；X2t为占用的固定资产；X3t为职工人数； （4）Yt为国内生产总值；X2t为工业总产值；X3t为农业总产值。 答：
所以，Yf的置信度为 95％的预测区间为：
所以，区间预测为： 2.设销售收入 X 为自变量，销售成本 Y 为因变量。现已根据某百货公司 12 个月的有关资料计算出以 下数据（单位：万元）：
利用以上数据，要求： （1）拟合简单线性回归方程，并对方程中回归系数的经济意义作出解释； （2）计算决定系数和回归估计的标准误差；
构造 t 统计量： 查t分布表可知：显著性水平为 5％，自由度为 21 的双测t检验的临界值为 2.080，t值小于临界值，故 无法拒绝零假设，说明β1在 5％的显著性水平下没有通过检验。 同理，可对β2进行显著性检验： t值远大于临界值 2.080，故拒绝零假设，说明β2在 5％的显著性水平下通过了显著性检验。 （4）预测： 点估计：Xf=104880 亿元，代入回归方程，Yf=62024.16 亿元。 置信度 95％的预测区间为： 计算Sef：