概率论与数理统计课件3-3

一、联合概率密度的相关性质
1．已知随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为
ke ( x y ) , 0 x ,0 y f ( x,y ) 其它 0 ,
（1）试确定常数 k ； （2）求 ( X , Y ) 的分布函数； （3）求 P {0 X 1,0 Y 2 }; （4）求 P { X Y } 。
解： （1）
1



f (x, y)dxdy

0

0
ke( xy )dxdy k k 1
x y e-(u v) dudv (1 e-x )(1 e y ),0 x ,0 y 0 0 (2)F(x, y ) 0, 其它
-1 2
试求X+Y的分布律
P{ Z=zk } = P{ g( X,Y ) = z k } =
p , k 1,2,
ij i, j g ( xi , y j ) zk
概率
1/10
2/10
3/10
2/10 1/10 1/10
（X,Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)
1 | |, 1 | y||,y y |y1| 1 f ( y) ( y dx fY (Yy ) ff( x , y ))dx 0.0. 其它 其它


1 P ( X 1 ,Y 0 ) 3 1 2 Xx x1dy ,Y2x ,0 x 1 P ( X 1 0 ) P ( 1dy 0,0 3 1 |Y 2x ) x f((xX ) 2 | Y(( 0y ) Px( Y2 0 ) ( x ff x ,, y )dy x f X X ) x ) dy P 4 0. . Y 0 ) 其它 2 P( 0 其它1 4 1 P ( X 1 ,Y 1 ) 1 1 1 2 2 P ( Y 1 | X 1 ) P ( X 2 ,Y 2 ) 1 1 P(Y 2 | X 2 ) 6 P(Y 1 ) 2 2 6 2) P( X 2


f ( z y, y )dy
重
点
由对称性，又有
f Z (z)


f ( x, z x )dx
重
特别，当 X 与 Y 相互独立时，有
点
f Z (z)


f X ( z y ) fY ( y )dy f X ( x ) fY ( z x )dx f X * fY
（b）、N min( X, Y) 的分布函数：
Fmin ( z ) P {min( X , Y ) z } 1 P {min( X , Y ) z } 1 P{ X z , Y z } 1 - P { X z }P{Y z } 1 - [1 - P { X z }][1 - P{Y z }] 1 - [1 - FX ( z )][1 - FY ( z ) ]
其中， G 为不等式 g ( x,y) z 所确定的 x 和 y 的范围， 即， G = { (x,y) | g(x,y)≤z}。
2、 Z X Y 的分布
（a）设 (X,Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) ，则 Z X Y 的分布函数
FZ ( z ) P { X Y z }


1 | |, 1 | y||,y y |y1| 1 f ( y) ( y dx fY (Yy ) ff( x , y ))dx 0.0. 其它 其它


则
( 1 ) 对任意的0 x 1有 ( 1 ) 对任意的0 x 1有 1 | y | x f ( x , y ) 1 fY | X ( y | x ) ( x , y ) 2x | y | x f f (x) fY | X ( y | x ) 2x 0 , X 其它 fX ( x ) 其它 0 , 对任意的 | y | 1 对任意的 | y | 1 1 | y | x 1 f ( x , y ) 1 f X |Y ( x | y ) 1- | y || y | x 1 f ( x, y ) ) fY ( y 1- y | | f X |Y ( x | y ) 0 , 其它 fY ( y ) 其它 0 ,
( 3 )P( 0 X 1,0 Y 2 )
1 2
0 0
e
( x y )
dxdy ( 1 e )( 1 e )
1
2
( 4 )P ( X Y )

0

x
e
( x y )
1 dydx 2
二、求边缘分布
2、设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为
例3.5.3.设X和Y独立同正态分布N(1,4), (1)求Z=X+Y的概率密度; (2)求Z=X-Y的概率密度.
（b） ( X, Y )为离散型随机变量，则函数
Z X Y 的概率分布：
例3.5.4：设(X,Y)的分布律为：
X
Y
-1 1/10 2/10
1 2/10 1/10
2 3/10 1/10
令 x u y ，得
z f (u y, y )dudy z f (u y, y )dy du, FZ ( z )

求导，得
f Z (z)


f ( z y, y )dy
f Z (z)

x y z
f ( x, y )dxdy
z y f ( x , y )dxdy, z ,
令 x u y ，得
z z
FZ ( z ) f ( u y, y )dudy
第3.5节、两个随机变量函数的分布
1、求二维随机变量函数的分布函数：
已知二维随机变量 ( X,Y ) 的联合分布函数为 F ( x , y ) ，可 以求出其函数 Z g ( X,Y ) 的分布：
FZ ( z ) P{ Z z} P{ g ( X,Y ) z} P{( X,Y ) G}
X+Y
所以：X+Y P
-2
-2
0
0
1
1 1/2
1
3 4
3
4
1/10 2/10
1/10 1/10
例3.4.3（941）设随机变量X，Y是相互独立的， 且X,Y等可能地取 0，1 为值，求随机变量Z=max(X,Y) 的分布列。
解:
X P 0 1/2 1 1/2 Y P 0 1/2 1 1/2
(X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),k 1,2, P{ Z=zk } = P{ g( X,Y ) = z k } = pij , i, j Z=max(X,Y)的取值为:0,1 g ( x , y ) z

上式中的积分称为 f X 和 fY 的卷积。
例3.5.2
设 X 和Y 是两个相互独立的标准正态变量，
求 Z X Y 的概率密度。
解：
fZ ( z )


f X ( x ) fY ( z x )dx 1 e 2
z2 4 x2 2

1 e 2
z ( x )2 2
（a）设 ( X,Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) ，则 Z X Y 的分布函数
FZ ( z ) P { X Y z }

x y z
f ( x, y )dxdy
z y f ( x , y )dxdy, z ,
考虑：X与Y相互独立情形
（a）、 M
max ( X, Y) 的分布函数：
由 X 和 Y 相互独立，有
P{max ( X,Y ) z} P{ X z, Y z} P{ X z}P{Y z},
即 max( X,Y ) 的分布函数为 Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z )
2 1 x xy, 0 x 1, 0 y 2 f ( x, y ) 3 0 , 其它
求（1） X 和 Y 的联合分布函数； （2）边缘概率密度。
F( x, y )
y x 2
y


x
f ( u , v )dudv
0 , x 0 或y 0 1 1 3 1 2 2 0 0 u 3 uvdudv 3 x y 12 x y ,0 x 1,0 y 2 2 x 1 2 3 1 2 2 0 0 u 3 uvdudv 3 x 3 x ,0 x 1,y 2 y 1 1 1 1 2 2 0 0 u 3 uvdudv 3 y 12 y , x 1,0 y 2 2 1 1 u2 uvdudv 1, x 1, y 2 0 0 3
(2)f X ( x ) f ( x , y )dy x 2 1 xydy 2 x 2 2 x ,0 x 1 0
2

3
3
Байду номын сангаас
0, 其它
1 1 1 f Y ( y ) f ( x, y )dx x xydx y ,0 y 2 0 3 3 6
解：
x x1dy 2x ,0 x 1 x 1dy 2x ,0 x 1 f( x x ) ff(( x ,, y )dy x ( ) x y )dy fX X 0. . 其它 0 其它