第1 插值法
合集下载
第6讲(1)插值
8
其中 Ai 为待定系数，利用li ( xi ) = 1可解得：
Ai = ( xi − x0 )
1 ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 )
(xi − xn )
从而
∏ li ( x) =
j≠i
x − xj xi − x j
基本插值函数 (插值基函数)
9
2-2 Lagrange 插值多项式
数类，插值函数 P( x) 满足 P( xi ) = yi (i = 0, , n) ， 即
a0ϕ0 ( xi ) + a1ϕ1 ( xi ) + + anϕn ( xi ) = yi , i = 0, , n
6
若插值基函数{ϕ
i
(
x
)}n i=
0
线性无关，则上述方程组
有唯一的解{ai
}n i=
0
(3)
P(xk ) = I1,
,n ( xk
)
xk x1
− xn+1 − xn+1
+
I2,
,n+1 ( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f
( xk
)
xk x1
− −
xn +1 xn +1
+
f
( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f (xk )
(2 ≤ k ≤ n)
23
注 由上述性质可知， P(x) 是 f (x) 的关于节点 x1, , xn+1的 n 次插值多项式. 它实质上是对两个 n −1次的插值多项式，再经过线性插值求出的.
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。
在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。
线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。
其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。
通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。
假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。
根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。
通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。
在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。
通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。
通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。
第2章1-4节 插 值 法
12
图2-3
13
2.
n次插值多项式
根据插值的定义
Ln ( x j ) y j
Ln (x) 应满足
( j 0,1, , n).
为构造 L
n
( x)，
先定义 n 次插值基函数.
14
定义1 若
n 次多项式 L j ( x) ( j 0,1, , n) 在 n 1 个节点
x0 x1 xn
b, Ln ( x)
( n1)
定理2 设 f
(n)
( x)
( x ) 在 ( a, b) 内
存在，节点 a x0 x1 xn
是满足条件
的插值多项式，则对任何 x [a, b] ，插值余项
Rn ( x) f ( x) Ln ( x) f
( n 1
( )
(n 1)!
11
显然，lk (x) 及 lk 1 ( x) 也是线性插值多项式，在节点 xk 及 上满足条件
lk ( xk ) 1, lk 1 ( xk ) 0, lk ( xk 1 ) 0, lk 1 ( xk 1 ) 1,
xk 1
称
lk (x) 及 lk 1 ( x) 为线性插值基函数， 图形见图2-3.
( xk 1 , yk 1 )
的直线. 如图2-2.
图2-2
10
由
L1 ( x)
的几何意义可得到表达式
yk 1 y k xk 1 xk ( x xk )
L1 ( x ) yk
（点斜式）， （两点式），
L1 ( x )
xk 1 x xk 1 xk
yk
x xk xk 1 xk
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
Chapter1 插值法 例题
f [ x0 ， 1 ， 2 ]， x x
位于差商表的对角线上。
L 证明： n ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a n ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n 1 ) ； 其中 a n f [ x 0 ， 1 ， ， n ] ；令 R n ( x ) f ( x ) L n ( x ) ， x x 由于 R n ( x k ) 0 ， k 0 ， ， ， ；即： 1 n R n ( x ) 有 n 1 个互异零点，由 R n ( x ) 至少有 n 个互异零点； R n ( x )至少有 n 1 个互异零点； R
6
, x1
4
x0
x1
x2
sin 50 L1 ( 5 ) 0.77614 18
L1 ( x )
x /4
1 2
/6 /4
x /3
x /6
/4 /6
x /4
1 2
利用x
1
, x2 4 3
L1 ( x )
1 2
sin 50 0.76008,
1 x m 1 x0 ( 1
m 1
1
m
(a xi )
1
i1
1
m
)
(a xi )
1 a x0
i0
1 x m 1 x0 1
(
(a xi )
a x m 1
)
i1
m 1
(a xi )
得证。
i0
位于差商表的对角线上。
L 证明： n ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a n ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n 1 ) ； 其中 a n f [ x 0 ， 1 ， ， n ] ；令 R n ( x ) f ( x ) L n ( x ) ， x x 由于 R n ( x k ) 0 ， k 0 ， ， ， ；即： 1 n R n ( x ) 有 n 1 个互异零点，由 R n ( x ) 至少有 n 个互异零点； R n ( x )至少有 n 1 个互异零点； R
6
, x1
4
x0
x1
x2
sin 50 L1 ( 5 ) 0.77614 18
L1 ( x )
x /4
1 2
/6 /4
x /3
x /6
/4 /6
x /4
1 2
利用x
1
, x2 4 3
L1 ( x )
1 2
sin 50 0.76008,
1 x m 1 x0 ( 1
m 1
1
m
(a xi )
1
i1
1
m
)
(a xi )
1 a x0
i0
1 x m 1 x0 1
(
(a xi )
a x m 1
)
i1
m 1
(a xi )
得证。
i0
第1章插值方法
3.一般情况 一般情况 一般情况 我们看到， 我们看到 ， 两个插值点可求出一次插值多项 式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式 2(x)。 ，而三个插值点可求出二次插值多项式p 。 当插值点增加到n+1个时 ， 我们可以利用 个时， 当插值点增加到 个时 我们可以利用Lagrange 插值方法写出n次插值多项 插值方法写出 次插值多项 式pn(x)，如下所示： ，如下所示：
［例６］ 给定
(x∈［-5,5］)。 ∈ ］。
取等距节点x 取等距节点 i=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形 观察 10(x)对f(x)的逼近效果。 并作图形, 观察L 的逼近效果。 对 的逼近效果
图1-3 例6的图形 的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
Aitken插值算法为二重循环。外循 插值算法为二重循环。 插值算法为二重循环 环为k循环 ， 用于计算Aitken插值表中 环为 循环， 用于计算 循环 插值表中 的第k列 内循环为 循环 循环， 的第 列 ； 内循环 为 i循环 ， 用于计算 Aitken插值表中的第 列中的第 个元素。 插值表中的第k列中的第 个元素。 插值表中的第 列中的第i个元素
Newton插值算法中的 循环由 插值算法中的j循环由 三部分组成： 计算(x-xj)的累积 ， 存 的累积， 三部分组成 ： 计算 的累积 单元； 入t单元；内套一个 循环用来依次计 单元 内套一个i循环用来依次计 算差商表中的各阶差商，存入y 单元； 算差商表中的各阶差商，存入 i单元； y单元用于存放 单元用于存放Newton公式中各项累 单元用于存放 公式中各项累 加之和。 加之和。
1.2 牛顿插值公式
差商表
插值法公式简单记忆方法
插值法公式简单记忆方法插值法是一种求取某些数据点之间数值的方法，其公式可以根据不同的情况而有所不同。
以下是一些简单记忆插值法公式的方法：1. 拉格朗日插值法：根据已知数据点的函数值构造一个多项式函数，并使用该函数进行插值计算。
公式为：$$f(x) = sum_{i=0}^n y_i L_i(x)$$其中，$L_i(x)$ 是拉格朗日基函数，表示为：$$L_i(x) = prod_{jeq i} frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$2. 牛顿插值法：通过已知数据点的差商来构造一个插值多项式。
公式为：$$f(x) = f[x_0] + (x-x_0)f[x_0,x_1] +(x-x_0)(x-x_1)f[x_0,x_1,x_2] + cdots +(x-x_0)cdots(x-x_{n-1})f[x_0,cdots,x_n]$$其中，$f[x_i]$ 表示 $i$ 阶差商，$f[x_i,x_{i+1},cdots,x_{i+j}]$ 表示 $i$ 到 $i+j$ 阶差商。
3. 分段线性插值法：将插值区间分成若干个小区间，每个小区间内用一条直线来近似表示函数。
公式为：$$f(x) = begin{cases}frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 + frac{x_1-x}{x_1-x_0}y_0, &x_0leq x leq x_1frac{x-x_1}{x_2-x_1}y_2 + frac{x_2-x}{x_2-x_1}y_1, &x_1leq x leq x_2cdots & cdotsfrac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}y_n +frac{x_n-x}{x_n-x_{n-1}}y_{n-1}, & x_{n-1}leq x leq x_nend{cases}$$其中，$x_i$ 和 $y_i$ 分别表示已知数据点的自变量和因变量。
数值分析 第1章 插值方法讲解
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x
x0
)(x
x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1
第一章插值方法(7-8学时)
m j j
= 2∑ ( yi −
i =1 N
∑ ∑
m
m
j=0
a j x i )( a j x i )(
j
∑ ∑
m
m
j=0
a j xi − a j xi −
j
∑ ∑
m
j=0
b j xi ) + (∑ a j xi −
j=0
∑
m
j=0
b j x ij ) 2
≥ 2∑ ( yi −
i =1
j=0
j=0
j=0
m
j
2
−
∑
m
N
i =1
( yi −
j
∑
m
j=0
a j x ij ) 2
m
∑
N
i =1
( yi − ( yi −
j
∑
m
j=0
a j xi +
j j 2
∑
j=0
a j xi −
N
∑
j=0
b j xi )
m
j
2
−
∑ ∑
m j=0
N
i =1
( yi −
j
∑
m
j=0
a j x ij ) 2 b j x ij ) +
∑
m j=0
i =1
∑ a x ) + 2∑ ( y − ∑ a 利用正则方程组（43）可
以知道，该项应该为零 m N m j 2
j=0 j i i =1 i j=0
j
x i )(
j
a j xi −
∑
m
j=0
(∑ a j xi −
= 2∑ ( yi −
i =1 N
∑ ∑
m
m
j=0
a j x i )( a j x i )(
j
∑ ∑
m
m
j=0
a j xi − a j xi −
j
∑ ∑
m
j=0
b j xi ) + (∑ a j xi −
j=0
∑
m
j=0
b j x ij ) 2
≥ 2∑ ( yi −
i =1
j=0
j=0
j=0
m
j
2
−
∑
m
N
i =1
( yi −
j
∑
m
j=0
a j x ij ) 2
m
∑
N
i =1
( yi − ( yi −
j
∑
m
j=0
a j xi +
j j 2
∑
j=0
a j xi −
N
∑
j=0
b j xi )
m
j
2
−
∑ ∑
m j=0
N
i =1
( yi −
j
∑
m
j=0
a j x ij ) 2 b j x ij ) +
∑
m j=0
i =1
∑ a x ) + 2∑ ( y − ∑ a 利用正则方程组（43）可
以知道，该项应该为零 m N m j 2
j=0 j i i =1 i j=0
j
x i )(
j
a j xi −
∑
m
j=0
(∑ a j xi −
插值法
§1 插值问题
❖
设函数关系y=f(x)在区间［a,b］
上给出一系列点的函数值
❖
(4―1)
yi=f(xi),
i=0,1,2,…,n
❖ 或者给出一张表函4―数1 表,如表4―1所示。
❖ 这里
❖
a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b
❖ 欲选择一个函数φ(x),使得
❖
φ(xi)=yi,
(4―2)
i=0,1,2,…,n
❖
我们称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余
项。显然有
❖
Rn(xi)=0,i=0,1,2,…,n
❖
下面给出插值多项式Pn(x)余项的表
达式。
❖
定理设函数f(x)在区间［a,b］上具
有n+1阶导数,
❖ Pn(x)为次数不高于n的多项式,且
❖
Pn(x0)=y0
❖
Pn(x1)=y1
❖
…
❖ 则 对 插 值 区 间 上 的 任 何 x, 都 存 在
的形式。假设给定了函数f(x)在两个互异点
x0,x1的值,即
x
x0
x1
y
y0
y1
❖ 现要用一线性函数
❖
φ(x)=P1(x)=ax+b
(4―3)
❖
(4―2近)应似有地aaxx代10
替b f(yx0 )
b y1
。
按
照
插
值
原
则
,
式
因为x0≠x1,所以a,b可唯一确定,且有
a y1 y0 x1 x0
因此,a,b,c可唯一地确定。这样二次函数P2(x)也唯一地
被确定。P2(x)就是我们要求的二次插值多项式。
❖
设函数关系y=f(x)在区间［a,b］
上给出一系列点的函数值
❖
(4―1)
yi=f(xi),
i=0,1,2,…,n
❖ 或者给出一张表函4―数1 表,如表4―1所示。
❖ 这里
❖
a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b
❖ 欲选择一个函数φ(x),使得
❖
φ(xi)=yi,
(4―2)
i=0,1,2,…,n
❖
我们称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余
项。显然有
❖
Rn(xi)=0,i=0,1,2,…,n
❖
下面给出插值多项式Pn(x)余项的表
达式。
❖
定理设函数f(x)在区间［a,b］上具
有n+1阶导数,
❖ Pn(x)为次数不高于n的多项式,且
❖
Pn(x0)=y0
❖
Pn(x1)=y1
❖
…
❖ 则 对 插 值 区 间 上 的 任 何 x, 都 存 在
的形式。假设给定了函数f(x)在两个互异点
x0,x1的值,即
x
x0
x1
y
y0
y1
❖ 现要用一线性函数
❖
φ(x)=P1(x)=ax+b
(4―3)
❖
(4―2近)应似有地aaxx代10
替b f(yx0 )
b y1
。
按
照
插
值
原
则
,
式
因为x0≠x1,所以a,b可唯一确定,且有
a y1 y0 x1 x0
因此,a,b,c可唯一地确定。这样二次函数P2(x)也唯一地
被确定。P2(x)就是我们要求的二次插值多项式。
第一章 插值方法
(100 121)(100 144)
(121 100) (121 144)
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
10.7228
例子插值精度分析
线性插值
(100,10), (121,11)得到
10.71428 误差-0.009525
(121,11),(144,12)
(x 121)(x 144) (100 121)(100 144)
10
(x 100)(x 144) (121 100) (121 144)
11
(x 100)(x 121) 12 (144 100)(144 121)
(115 121)(115 144) 10 (115 100)(115 144) 11
如何解决？
埃特金插值公式
埃 特 金 (Aitken) 插 值 公 式 的 构 造 是 基于这样的直观想象：平面上的两个点 可以连成一条直线, 对应一个线性函数； 把线性函数看作形式点, 经线性组合, 可构成二次函数；把二次函数再看作形 式点, 经线性组合, 可构成三次函数。
Aitken 插值表
x f(x)
点个不n次同插）值，多譬项如式选p取n(2x) (1x, )…。,由xn上,x述n+1定，理再，构我造们一有
f ( x) pn(1) ( x)
f (n1) (n
(1)
1)!
(
x
x0
)(
x
x1)(
x
xn
)
f ( x) pn(2) ( x)
f
( ( n 1) 2
(n 1)!
)
(
x
x1)(
x
近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真 误 差 ： ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851 ，
第一讲 插值法
O
x0
x
x1
x 值没有误差
2) f(x) 为非线性函数，求得 的y值有df误差
①：只要在误差允许的范围内，均可采用线性
内插。
②：对非线性函数， 表间距越小，利用线 性内插求得的函数值 的误差越小。但是表 的篇幅会增大。
y y0 y f(x )
y1
d f a x0 e
c
b x
O
x
x1
例2－1－1：设物标高h，垂直角α，水平距
（1） 用比例内插 y＝5.5 （2） 用x＝2变率内插 y＝4＋4（2.3－2）＝5.2 （3） 用x＝3变率内插 y＝9＋6（2.3－3）＝4.8 （4） 用y＝x2直接计算 y＝5.29
x
y
dy dx
2 3 4
4 9 16
4 6 8
分析：
① 比例内插误差大；
② x＝2的变率内插较准。 结论：
例2－1－3：由例2－1－1的计算结果，求h ＝13.5m，α＝3.5时的D？
α h 3 3.5 4 5 10 6.2 4.6 3.7 13.5 8.3 20 12.3 9.3 7.4
7.3 6.2
第二节 变率内插 (Interpolation by Rate of Change)
当函数是非线性函数时，如果用比例内插
α h 3 4 5 10 6.2 4.6 3.7 6.2 5.0 13.4 20 12.3 9.3 7.4
例2－1－2：由例2－1－1的计算结果，求h ＝13.4m，α＝4.4时的D？
α h 3 4 4.4 5 10 6.2 4.6 3.7 6.2 13.4 20 12.3 9.3 7.4
5.7 5.0
第一章插值方法(3-4学时)
问题
l 求作二次式1 ( x )
，使满足条件
p2 ( x0 ) = y0 , p2 ( x1 ) = y1 , p2 ( x2 ) = y 2
二次插值的几何解释是用通过三个点 ( x0 , y0 ),( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 的抛物线 y = p2 ( x ) 插值，令
l0 ( x ) l0 ( x0 ) = 1, l0 ( x1 ) = l0 ( x2 ) = 0
问题
≤ 求作次数 n
pn ( x ) 多项式
Байду номын сангаас，使满足条件
这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。点 xi （它们互不相同） 拉格朗日（Lagrange）插值 拉格朗日 称为插值节点。 用几何语言来描述，就是，通过曲线y=f(x)上给定的n+1个点 ，求作一条n次代数曲线 作为 Y=f(x)的近似。
问题： 问题：
选取什么函数作为近似的函数 误差如何？
数值分析简明教程 2.<# >
f ( x )
，如何求得其具体表达式，
王能超 编著
插值问题
设函数f(x)在区间[a ，b]上有定义，且已知在一组互异 点 上的函数 值 ，寻求一个简单的函数p(x)，使满足 （1.1） 并用p(x)近似代替f(x)，上述问题称为插值问题 插值问题。 插值问题
类似的可以构造出
2.<# >
王能超 编著
拉格朗日插值的一般情形
≤n 仿照前述作法，对于求作次数 ，使满足条件
pn ( x ) 多项式
lk ( x ) , k = 0,1, 2,L , n
的问题，我们可构造插值基函数 ≤n ，它们都是次 数小于 这表明，除
计算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)
2019/1/15
26
证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为 Ln ( x) 令
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
(k 0,1,2,, n)
且
n1 ( x) Ln ( x) yk ' ( x x ) k 0 k n 1 ( xk )
n
2019/1/15
18
总 结
于是, y f ( x)在节点xi (i 0 ,1, , n)上, 以l j ( x) (i 0 ,1, , n) 为插值基函数的插值多 项式(记为Ln ( x))为
本章只讨论多项式插值与分段插值
2019/1/15 7
§ 2.2
拉格朗日插值
• 此插值问题可表述为如下： • 问题 求作次数 n 多项式 Ln ( x) ，使满足条件
Ln x yi , (i 0,1,, n)
• 这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。
2019/1/15
8
§ 2.2.1
线性插值的局限性
2019/1/15
12
三、抛物插值
问题 求作二次式 L2 ( x) ，使满足条件
L2 ( x j ) y j
( j k 1, k , k 1)
二次插值的几何解释是用通过三个点
的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性 插值，构造基函数，要求满足下式：
L2(x) yk 1lk 1 ( x) yklk ( x) yk 1lk 1 ( x)
数值分析课件-第02章插值法
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
第1章 插值法教案
第二章 插值法教学目的 1. 掌握拉格朗日插值多项式的构造方法、唯一性、余项及唯一性和余项表达式的证明；2. 理解差商的概念，掌握牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；3. 了解差分概念及等距节点插值多项式的有关知识；4. 掌握埃尔米特插值多项式的构造方法、余项及余项表达式的证明；5. 了解插值多项式之间的改进关系从而掌握该思想方法。
教学重点及难点 重点是 1. 拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明； 2. 牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；3. 埃尔米特插值多项式的构造、余项及余项表达式的证明；难点是 1. 拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明； 2. 埃尔米特插值多项式的构造及余项表达式的证明。
教学时数 14学时 教学过程§1 引言数学问题 已知)(x f y =的一张函数表)()()()(1100n x n x f x f x f f x x x xs（1.1）其中，j i x x ≠，当j t ≠，且),,1.0(,)(n t y x f i t ==值比较准确，[]b a ,为包),,1,0(n t xi =的区间或有表达式的函数（但比较复杂）。
寻求一个次数n ≤的多项式n n H x P ≤)(使满足：)2.1(),,1,0(),()(n t xi P x f n i ==解决思路 寻求一个简单且便于计算的函数)(x P 来近似)(x f ，即),()(x P x f ≈当[]),,1,0(,,n i x x b a x i =≠∉，一般)(x P 可选为多项式，三角多项式，有理函数或样条函数等。
次数小于、等于n 的多项式集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==∑=n j j jj n n a x a x n P x P H 0,)()(实数1. 定义1 （1）如果满足插值条件（1.2）的多项式)(x P n 存在，称)(x P n 为)(x f 的插值多项式，),,1,0(n i x i =称为插值节点，)(x f 称为被插函数（如图2-1）(2)求插值多项的方法称为插值法。
插值法
l0(x) = A (x - x1)(x - x2)。
由条件：l0(x0) = 1，得
A
1
,
( 1 .3 )
证明 因为L(xi)= f(xi),i=0,1,所以，R1(x0)=R1(x1)=0,
即 x0,x1为R1(x)的两个根。因此，可设R1(x)为
.
可设
R1(x) = k(x)(x-x0)(x-x1).
固定任一 x，作辅助函数，令
( t ) f( t ) L 1 ( t ) k ( x ) ( t x 0 ) ( t x 1 ) ,
线性插值误差
易知满足插值条件： L1(xi) = yi , i=0,1
定理 1 设L1(x)为一次Lagrange插值函数, 若 f (x) 一阶连续可
导，f "(x)在(a, b)上存在，则对任意给定的x∈(a ,b),
至少存在一点ζ∈(a,b),使得
R 1 ( x ) f( x ) L 1 ( x ) f" 2 ( !) ( x x 0 ) ( x x 1 )
则Ψ (xi )=0, i =1,2, Ψ (x)=0, 即Ψ (t)有3个零点x0, x1, x。
假定，x0 < x < x1 , 分别在[x0，x]和[x，x1]上应用洛尔 （Rolle）定理，可知， Ψ′(t)在每个区间上至少存在一个零
点，ζ1，ζ2，使Ψ′(ζ1)=0，Ψ′(ζ2)=0(此即Ψ′(t)有2个零点)。 再利用洛尔定理知， Ψ′(t)在[ζ1,ζ2]上至少有一个零点ζ， 使Ψ″ (ζ)=0。
便于计算的近似函数(x)，来逼近函数 f(x)。
常用的函数逼近方法有： ► 插值法； ► 最小二乘法（或称均方逼近）； ► 一致逼近等。
插值法第一次(new)
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
2.1.1 插值问题的提出
设函数 y f (x) 在区间[a,b]上有定义，且已知在点
a x0 x1 xn b 上的值 y0 , y1,, yn ，若存在一简 单函数 P( x)，使
P(xi ) yi (i 0,1,, n),
（1.1）
成立，就称 P(x)为 f (x) 的插值函数，点 x0, x1,, xn称为插
插值函数：Lagrange, Newton, Hermite, Spline
2.1.2 多项式插值
设在区间 [a,b]上给定 n 1 个点
a x0 x1 xn b
上的函数值 yi f (xi )(i 0,1,, n),求次数不超过 n 的多项式
P(x) ，使
P(xi ) yi (i 0,1,, n),
多项式，其中 p( x)可以是任意多项式。
➢ 1.4 插值余项 (Remainder)
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) f ( x) Ln( x)
n
RRno(lxl)e’至s T少h有eornem+1:个若根( x) 充分Rn光(x)滑 ，K(x() xi00)(x (xxi )1 ) 0 ，则
本节课主要内容
插值问题的描述 Lagrange插值多项式的存在唯一性，构造形式，基函
数性质 误差分析 应用
§0 引言
描述事物之间的数(2量) 在关x系为：特殊函值数。
有两种情况： 时, 是好计算的,
则 (2)可转化为(1)
一是表格形式——一组离散的数据来表示函数关系；另
x0
x1
x2
x
x3
x4
2.1.1 插值问题的提出
设函数 y f (x) 在区间[a,b]上有定义，且已知在点
a x0 x1 xn b 上的值 y0 , y1,, yn ，若存在一简 单函数 P( x)，使
P(xi ) yi (i 0,1,, n),
（1.1）
成立，就称 P(x)为 f (x) 的插值函数，点 x0, x1,, xn称为插
插值函数：Lagrange, Newton, Hermite, Spline
2.1.2 多项式插值
设在区间 [a,b]上给定 n 1 个点
a x0 x1 xn b
上的函数值 yi f (xi )(i 0,1,, n),求次数不超过 n 的多项式
P(x) ，使
P(xi ) yi (i 0,1,, n),
多项式，其中 p( x)可以是任意多项式。
➢ 1.4 插值余项 (Remainder)
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) f ( x) Ln( x)
n
RRno(lxl)e’至s T少h有eornem+1:个若根( x) 充分Rn光(x)滑 ，K(x() xi00)(x (xxi )1 ) 0 ，则
本节课主要内容
插值问题的描述 Lagrange插值多项式的存在唯一性，构造形式，基函
数性质 误差分析 应用
§0 引言
描述事物之间的数(2量) 在关x系为：特殊函值数。
有两种情况： 时, 是好计算的,
则 (2)可转化为(1)
一是表格形式——一组离散的数据来表示函数关系；另
计算方法插值法(一)
精度提高的条件： ➢ 插值点与节点靠近 ➢ 内插精度一般比外推高 ➢ 插值点适当多
高次插值通常优于 低次插值
19
2.1.2 拉格朗日n次插值多项式
线性插值
L1(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
二次插值
L2 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
助教：赵渊明
上机实习作业
１.提交时间：作业布置下来两周内（如无特殊情况，晚交的作业做 零分处理。有特殊情况的，需要提前得到授课老师许可，一事一议） （一般是周三）。 ２.提交内容：书面报告、源代码、源代码流程图及运行结果截图 ３.源代码要求：简洁、清楚、有较好的注释（助教能够运行程序并 复制结果）。 ４.完成作业要求：鼓励同学之间讨论、合作完成作业，但最终程序、 报告需要自己独立完成。如和别的同学交流过，请在上交作业中列 出一起合作交流过的同学名字。如发现上交作业雷同，雷同作业做 零分处理。 5. 编程语言：尽量选择Fortran或C语言，不建议使用Matlab。
y0
(x ( x1
x0 )( x x2) x0 )( x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
y2
n次插值
Ln (x)
(x x1)( x x2)(x xn ) (x0 x1)( x0 x2 )(x0 xn )
y0
(x x0)( x x2)(x xn ) (x1 x0 )( x1 x2 )(x1 xn )
教学安排
1、1-18周，每周五课堂教学，逢双周五上机实习。 2、最终成绩由期中考试(30%)、期末考试(30%)、上机作业（8次） ＋课堂出勤率(40%)三部分组成。 3、上机作业及考试通知等发到公邮中。
高次插值通常优于 低次插值
19
2.1.2 拉格朗日n次插值多项式
线性插值
L1(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
二次插值
L2 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
助教：赵渊明
上机实习作业
１.提交时间：作业布置下来两周内（如无特殊情况，晚交的作业做 零分处理。有特殊情况的，需要提前得到授课老师许可，一事一议） （一般是周三）。 ２.提交内容：书面报告、源代码、源代码流程图及运行结果截图 ３.源代码要求：简洁、清楚、有较好的注释（助教能够运行程序并 复制结果）。 ４.完成作业要求：鼓励同学之间讨论、合作完成作业，但最终程序、 报告需要自己独立完成。如和别的同学交流过，请在上交作业中列 出一起合作交流过的同学名字。如发现上交作业雷同，雷同作业做 零分处理。 5. 编程语言：尽量选择Fortran或C语言，不建议使用Matlab。
y0
(x ( x1
x0 )( x x2) x0 )( x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
y2
n次插值
Ln (x)
(x x1)( x x2)(x xn ) (x0 x1)( x0 x2 )(x0 xn )
y0
(x x0)( x x2)(x xn ) (x1 x0 )( x1 x2 )(x1 xn )
教学安排
1、1-18周，每周五课堂教学，逢双周五上机实习。 2、最终成绩由期中考试(30%)、期末考试(30%)、上机作业（8次） ＋课堂出勤率(40%)三部分组成。 3、上机作业及考试通知等发到公邮中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
二、三点插值（二次插值）
x x2 x1 x2 x1 x D0 0 D x0 x2 x1 x2 x1 x0 x x2 x x1 x0 x2 x0 x1
1.2 Lagrange插值
二、三点插值（二次插值）
根据式(1-2)，L2 x 0 y0 1 y1 2 y2
根据式(1-3)，有： 0 1 2 1
0 x0 1 x1 2 x2 x 2 2 2 2 x x x x 1 1 2 2 0 0
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y y0 y1 y2 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
教材91页，例6-2
通 过 已 知 的 n+1 个 点 (xi,yi)(i=0, 1, … , n)，并 用Pn(x)近似表示f(x)。
4
第1章
插值法
1.1 引言
三、插值问题的近似关系式
考虑： f(x)的插值多项式 P(x)是所有已知值 f(xi)的线性
组合，即
Pn x i f xi
i 0 n
x x0 x x1 L1 x y 0 y0 1 y1 y0 y1 x0 x1 x1 x0
教材89页，例6-1
11
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
见教材P89
二、三点插值（二次插值）
问题：作二次式L2(x)使满足条件
L2 x0 y0 , L2 x1 y1 , L2 x2 y2
令：yf(x)，可得近似关系式
y f x i f x i
i 0 n
1 2
问题：如何确定系数0, 1, …, n，以保证“尽可能高” 的插值精度？
5
第1章
插值法
1.1 引言
四、代数精度的概念
根据微积分中的 Taylor分析：一般函数都可用代数多 的精度，就要令它对“尽可能多”的代数多项式均能 准确成立。
18
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
三、多点插值（n次插值， Lagrange插值公式一般式） 基函数的性质： 1. 基函数的个数等于结点的个数。
2. n+1个结点的基函数是n次代数多项式。
3. 基函数和每一个结点都有关。如果结点确定了，
那么基函数就唯一确定了。
4. 基函数和被插函数无关。 5. 基函数之和为1。
范德蒙行列式
n
n
( x j xi )
ji
xn xn
D x0 x2 x1 x2 x1 x0 D0 x x2 x1 x2 x1 x D1 x0 x2 x x2 x x0 D2 x x x1 x x1 x
L1 x1 y1y源自 x0 , y0 y= f(x)
x1 , y1
0
x0
x1
x
9
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
见教材P88
一、两点插值（线性插值）
根据式(1-2)，L1 x 0 y0 1 y1
根据式(1-3)，有： 0 1 1 0 x0 1 x1 x
y f x i f xi i yi
i 0 i 0 n n
项式来近似刻画，为保证函数关系式具有“尽可能高”
1 2
定义：式(1-2)有m阶精度，如果它对于次数m的多项
式 均 能 准 确 成 立 ， 或 者 说 ， 它 对 于 幂 函 数 y=1, x, x2, ……, xm，均能准确成立，而对于y=xm+1不准确。
Cramer法则
1 D x0 2 x0
1 x1 2 x1
1 x2 x0 x2 x1 x 2 x1 x 0 2 x2
13
第1章
插值法
1 x0 1 x1 1 xn x0 x 0 x1 x1
2 2 2 n
1.2 Lagrange插值
二、三点插值（二次插值）
n n
优点:
结构紧凑, 编程、
理论分析方便
缺点: 改变一个节点则全 部的插值基函数都改变,即 节点增加,基函数失效
21
第1章
插值法
1.3 埃特金(Aitken)插值
埃特金 (Aitken) 插值公式 ( 以下统称为 Aitken 插 值公式)的构造是基于这样的直观想象：平面上的两 个点可以连成一条直线，对应一个线性函数；把线 性函数看作形式点，经线性组合，可构成二次函数； 把二次函数再看作形式点, 经线性组合，可构成三次 函数。
j 0 ji n
(x xj ) ( xi x j )
( i 0,1,
, n)
推导过程见参 考书5，P23
16
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
三、多点插值（n次插值， Lagrange插值公式一般式） n=1时的一次基函数为:
y 1
x x1 l0 ( x ) , x0 x1
代数多项式 代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数
1
第1章
插值法
1.1 引言
一、插值问题定义
设 y=f(x) 是区间 [a, b] 上的一个实函数， xi(i=0,
1, ... , n)是[a, b]上n+1个互异实数，已知y=f(x)在xi 的值yi=f(xi)(i=0, 1, ..., n)，求次数不超过n的多项式 Pn(x)使其满足
1 3
7
第1章
插值法
1.1 引言
五、插值多项式的存在性和唯一性
见教材87页，6.1
8
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
见教材P88
一、两点插值（线性插值）
问题：作一次式L1(x)使满足条件
L1 x0 y0 ,
从几何图形上看，最 简单的方法就是，令 y=L1(x) 表 示 过 两 点 (x0, y0)、(x1, y1)的直线。
15
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
见教材P91
三、多点插值（n次插值， Lagrange插值公式一般式） 设xi (i=0,1, … ,n)互异, 插值条件Ln(xi)=yi 引入拉格朗日基函数式l i(x), 构造多项式
n
Ln ( x ) yi li ( x )
i 0
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x ) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
19
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
三、多点插值（n次插值， Lagrange插值公式一般式） 教材93页，例6-3
20
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
三、多点插值（n次插值， Lagrange插值公式一般式）
n x x j Ln x yi li x yi j 0 x x i 0 i 0 i j j i
例：将三点插值化为两点插值。
22
其中的第一列指定值 f i ，后面的每一个元素是从同一 行中的前一个元素和前一列中顶上的元素来导出的。
( x x0 ) p1 ( x) ( x (x x1 x) pp (x x)) ( x x2 ) p01 ( x) 1) 02 0( p01 ( x) p012 ( x) x1 x0 xx xx x1 x2 20 11
几何解释是用通过 三个点 (x0, y0)、(x1, y1) 、 (x2, y2) 的抛物 线 y=L2(x) 来 近 似 考察曲线，故也称 为拋物插值。
y
y L2 x
x1 , y1
x0 , y0
y f x
x 2 , y2
0
x0
x1
x2
x
12
第1章
插值法
克莱姆法则
x x0 x x1 L1 x y 0 y0 1 y1 y0 y1 x0 x1 x1 x0
因此，
x x1 0 , x0 x1
x x0 1 x1 x0
10
第1章
插值法
1.2 Lagrange插值
一、两点插值（线性插值）
6
第1章
插值法
y f x i f xi i yi
i 0 i 0 n n
1.1 引言
四、代数精度的概念
1 2
设式(1-2)有m阶精度，则有：
n i 1 i 0 0 x0 1 x1 n xn x 2 2 2 2 x x x x 1 1 n n 0 0 m m m m x x x x 1 1 n n 0 0
y
x x0 l1 ( x ) . x1 x0
l0 ( x )
O
l1 ( x)
O
x0
x1 x
x0
x1 x
17
n=2时的二次基函数为 :
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l1 ( x ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) . ( x2 x0 )( x2 x1 )