什么是平方根
什么是一个数的算术平方根
1 a 1 3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根。
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
x0
(6)
1 x2
x0
x0
1.若 (a 5)2 (2b 3)2 =0，则 ab2 =_____。
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1 ，你能求出a及 a+b 的值吗？
3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 二 象限.
a
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
21.1二次根式定义,取值范围,性质
检测：指出下列哪些是二次根式？
1 5 2 3 4 b b 0 5 a 2a 2
3
3
21
6 7
3
a b ab 2 2 8 x 1 5m
检测：2 要使下列式子有意义，x需要满 足什么条件？
(1) 3 x
1 (3) 2x 5
0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
创设情境
50米
?米
20米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边 长为______________米。 2900
2 2
2 2
10 (3) ( 3 ) 10 27 17
探究
2 2
2
0.1 0.1
2
2 2 3 3
2
0 0
2
一般地，根据算术平方根的意义，
a a
2
a (a≥0)
-a (a≤0)
例题讲解
化简：
(1) 8
解： (1)
( 2 ) ( 5)
1 p (2 p) p 1 2 p 1
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
( x 4) 2 ( x 1) 2 的结果是＿＿＿＿＿ 3
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c) (b a c) (c b a) 2a+2b+2c
2
a≥0
a2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
16.1.1二次根式的概念与性质
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例题学习 1
例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) a 1
(2) 1 1 2a
(3) 3 2a a1
(4) a2 1 (5) 1 3x (6) (1 a)2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ； 当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
算一算：(1) （-9）2 (2)
(
1 3
)2
(3) 64
(4) (x2+1)2
a (a 0)
a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
53 53
5:已知:x<0,化简: 16x2
解: 16x2 (4x)2 4x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a )2 a
(2) (a)2 a
(3) (a 2)2 2 a
化简：
(1) 210 （2） a4
a b (3) 2 2 (a＜0,b＞0)
(2) [ 2 (2)2 ] 2 2 2
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
2开平方的计算方法
2开平方的计算方法平方根是数学中常见的运算之一，它的计算方法也是我们在学习数学时接触到的。
而以2开平方就是求解2的平方根的过程。
下面将介绍一种常见的计算方法。
我们需要了解什么是平方根。
平方根是指一个数的平方等于给定数的运算，即对于任意实数x，如果x的平方等于给定数a，那么x就是a的平方根。
在数学中，平方根用符号√a表示，其中a为被开方数。
接下来，我们来介绍求解2的平方根的计算方法。
步骤一：估算我们可以先估算出2的平方根的大致范围。
由于2介于1和3之间，所以2的平方根应该介于1和2之间。
步骤二：逼近法接下来，我们可以使用逼近法来求解2的平方根。
假设x为2的平方根，我们可以通过逼近来找到一个越来越接近真实平方根的值。
我们可以先假设一个初始值，比如1.5。
然后，我们将这个初始值代入平方根的定义式中，即计算1.5的平方。
如果计算结果小于2，说明初始值偏小，需要增大初始值；如果计算结果大于2，说明初始值偏大，需要减小初始值。
通过不断调整初始值，直到计算结果足够接近2，我们就可以得到2的平方根的近似值。
步骤三：迭代计算在逼近法的基础上，我们可以使用迭代计算的方法来不断逼近2的平方根的真实值。
迭代计算的思想是通过多次迭代，每次迭代都对当前值进行微小的调整，最终得到一个足够接近真实值的结果。
我们可以使用以下迭代公式来计算2的平方根：x = (x + 2/x) / 2。
其中，x为当前的近似值，将其代入公式中，计算得到新的近似值。
通过不断迭代，我们可以逐渐接近2的平方根的真实值。
通过多次迭代，我们可以得到越来越精确的结果。
当两次迭代的结果非常接近时，我们可以认为已经找到了2的平方根的近似值。
总结：通过上述的计算方法，我们可以求解2的平方根。
首先，我们通过估算确定了2的平方根的大致范围，然后使用逼近法找到一个初始值，最后通过迭代计算逼近真实值。
这个方法可以用于求解其他数的平方根，只需要将给定数代入计算即可。
需要注意的是，由于平方根是一个无限不循环小数，所以我们求得的平方根值只是一个近似值。
二次根式的概念和性质
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
3 a32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使
x-2 x-1
有
意
义
，
字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什 么 条 件 ？ x≥2
想 一 想 ： 一 个 正 数 的 算 术 平 方 根 是 正数。
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
想一想：
10 、
3 -5 、 8
5 3、
(-2)2
a (a＜ 0﹚ 、
a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3 , 1
平方根与立方根有什么不同
平方根与立方根有什么不同？
[解答] 平方根与立方根的不同点主要反映在如下的几个方面．
1．意义不同．
如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根，例如：因为(－5)2＝25，所以－5就叫做25的平方根．
如果x3＝a，那么x就叫做 a的立方根，例如：因为(－5)3＝－125，所以－5就叫做－125的立方根．
2．被开方数的取值范围不同．
负数没有平方根，负数有一个负的立方根．即
3．方根的数目不同．
正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根，如
64的平方根是±8
64的立方根是4
4．算术根不同
比较平方根与立方根的突出不同之处，有利于深刻理解和应用平方根与立方根的概念．而且可以推广应用于偶次方根与奇次方根的比较，有利于对n次方根和n次算术根的理解．。
平方根与算术平方根立方根无理数
什么叫开平方？
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 开平方与平方是什么关系？
指数
根号 互为
平 方 运 算
x a
2
底数
逆运算
x a
被开方数
开 平 方 运 算求幂
已知幂和指数求底数
自学并讨论？
例2 . 求下列各数的平方根： 16 （1）81；（2） ； （3）0.49; 25 解：(1)∵ (±9)2=81， ∴81的平方根为±9．
(4) -0.064
(5)0
通过对以上问题的解答，你能总 结出立方根有什么样的性质？
立方根的性质：
正数的立方根是正数;负数的立方 根是负数;零的立方根是0.
说明:立方根的个数的性质可以概括为 立方根的唯一性,即一个数的立方根是 唯一的.
思考： 平方根与立方根的区别和联系
平方根与立方根的区别和联系
3 B. 5
C.0
D. √— 3
2.下列各组数中，互为相反数的一组是（ D ）
1 B. -3 与 3 2 D. -3与 √ （-3） —的点表示的数 3.在数轴上与原点距离等于√ 7 ±√— ） 是（ 7
这一秒不放弃！
下一秒有奇迹！
探究一
3 = 3.0 9 ～ 0.81 ～ 11 3 = -0.6 5
质疑点拨
47 = 5.875 8
5～ ～ 0.5 9
使用计算器，把下列有理数化成小数的形式：
11 ～ ～ 0.12 90
任何一个有理数都能写成有限小数或无限循环小数的形式 反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数；
、 2
5的平方根表示为： 5，
25 的平方根表示为： 25 25 5 36 36 36 6
人教版七年级数学下册第六章 第3课时 平方根
1.下列说法正确的是_①__④__⑤___ ① -3 是 9 的平方根；② 25 的平方根是 5；③ -36 的 平方根是 -6；④ 平方根等于 0 的数是 0；⑤ 64 的算 术平方根是 8. 2.下列说法不正确的是（ B ） A. 0 的平方根是 0
第六章 实数
6.1 平方根
第3课时 平方根
回顾与思考 1. 什么叫做算术平方根？
2. 判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请 求出它们的算术平方根. 100；1； 36 ；0；－0.0025；(-3)2；－25.
121
3. 填空：
（1）32 = 9 ，(－3)2 = 9 ；
（2）
2 3
2
4 9
（2）295 ； 有两个平方根
解：由于
=
5
2
3
25 9
，
因此
25 9
的平方根是
5 3
与
-
5 3
.
即±
25 9
=±
5 3
.
（3）1.21. 有两个平方根
解：由于 1.12 = 1.21，
因此 1.21 的平方根是 1.1 与 -1.1.
即 ± 1.21 = ± 1.1 .
三、平方根的数学符号表示 一个非负数的平方根的表示方法：
（3）
121 = 11 . 196 14
平方根的概念
平方根
平方根的性质
开平方及相关运算
a 表示 a 的正的平方根 (算术平方根) a 表示 a 的负的平方根
记作 a
a﹙a≥0﹚的平方根表示为 a.
说一说
平方根的意义和作用是什么
平方根的意义和作用是什么平方根，这玩意儿在数学里可有着特别的地位呢！咱们先来说说平方根的意义。
你看哈，比如说一个数 9，它的平方根是啥？那就是正负3 嘛。
这就好像给一个数字找到了它的“双胞胎”，一个正的，一个负的。
为啥会有正负两个呢？就像你有一双鞋子，左右两只，平方根也是这样，有正有负，才完整。
那平方根有啥作用呢？这用处可大了去啦！想象一下，你在盖房子，要计算一块正方形土地的边长。
如果告诉你这块地的面积是 25 平方米，那怎么算出边长呢？这时候平方根就派上用场啦！因为 25 的平方根是正负 5，但是边长不能是负数呀，所以边长就是 5 米。
这不就轻松搞定了嘛！再比如说，你和小伙伴们一起做游戏，要把一堆糖果平均分。
假如总共有16 颗糖果，要平均分成几个小组，每个小组的糖果数量一样多。
这时候就得想想 16 的平方根，是正负 4，那可能就是分成 4 个小组，每个小组 4 颗糖。
还有啊，我之前教过一个学生，叫小明。
有一次做作业，碰到一道题，是计算一个圆形花坛的半径。
题目给了花坛的面积是36π 平方米。
这小明一开始就懵了，不知道从哪儿下手。
我就提醒他，想想面积和半径的关系，那不就是用到平方根嘛！算出半径是 6 米的时候，小明那高兴劲儿，就像解开了一个超级大谜团。
在日常生活里，平方根也常常藏在一些小细节中。
比如你买了个正方形的桌布，知道面积想知道边长，就得靠平方根来帮忙。
又或者你要在墙上挂一幅正方形的画，根据给定的面积来确定边框的长度，平方根又闪亮登场啦！总之，平方根就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多问题的大门，解决各种各样的实际问题。
虽然它看起来有点神秘，但只要你掌握了它，就能在数学的天地里畅游无阻！所以呀，可别小瞧了这平方根，它的意义和作用真的是无处不在，能让我们的生活和学习都变得更加精彩！。
初二数学平方根与立方根的题
初二数学平方根与立方根的题哎呀，今天我们聊聊数学里那些让人又爱又恨的东西——平方根和立方根。
说到这俩，可能有些同学会皱起眉头，心里想着：“又是这些烦人的根，我能不能逃过这一关？”但是，别担心，今天咱们就以一种轻松愉快的方式把它们搞懂。
你要是能把它们搞明白，以后绝对有成就感，保证走路都带风，谁都不敢笑话你数学差。
先说说什么是平方根吧。
想象一下，咱们有一个数字，譬如16。
你知道，平方根就像是一个谜题——"16是谁的平方呢？" 你就要反过来问，这个数字可以通过哪个数的平方（乘自己）得到。
拿16举例，4×4=16。
所以16的平方根就是4。
简单吧？你看，平方根就像是你倒着走回家，回到最初的位置。
比如25的平方根是5，因为5×5=25。
这里有个小窍门，如果你看到一个数是正方形的，那它的平方根就很容易找出来。
就像你知道9的平方根是3，16的平方根是4，根本不需要太费劲。
记住了，平方根就相当于是“反向”运算。
有些人可能会问：“那负数的平方根呢？”这就得说说了。
负数的平方根是没有实数解的。
你听到这里，可能心里又开始冒出疑问：“为什么？”你想，任何正数和负数相乘都不能得到负数，那负数的平方根怎么算呢？所以，数学上就规定，负数的平方根是“虚数”，这也是为啥有时候你看到“i”这个字母，表示的是虚数单位。
这一块儿内容，暂时不必太纠结，记住一个大原则：平方根基本上就适用于正数和零。
接下来说说立方根。
你要是觉得平方根简单，那立方根可就有点意思了。
立方根就是给一个数字找一个数，让这个数的三次方（也就是自己乘自己三次）能得到原来的那个数字。
举个例子，8的立方根是2。
怎么得出来的呢？2×2×2=8。
你看，立方根就好比一个“开锁器”，你要找到那个正确的数字才能把锁打开。
对于一些大数的立方根，你可能得借助计算器，手算起来真的是一顿乱折腾。
不过，如果是像27、64、125这些数，咱就能直接猜出来，27的立方根是3，64的立方根是4，125的立方根是5，怎么样，感觉是不是有点小激动？说到这里，有个问题不得不提：你是不是常常会遇到这样的情形？老师一写出一个数，比如“216”，然后问你：“那它的立方根是多少？”你一脸懵逼，心里嘀咕：“这数太大了，怎么办啊？”别怕，立方根也有窍门。
√x等于什么
√x等于什么研究x的平方根，也就是求出x开方等于什么，一直是数学领域中一个重要的知识点，在实际应用中也有着广泛的应用。
许多研究者们都想研究出x的平方根到底是什么，让我们今天一起来全面的研究这个问题吧。
首先，要弄清楚x的平方根，就需要了解什么是平方根。
平方根定义为：若x是正数，那么正数y的平方与x相等，则称y为x的平方根。
因此，如果要求出x的平方根，就需要把平方式的x和另一个未知数（y）相等。
接下来，就是如何求解x的平方根了。
主要有两种方法：完全平方和求根公式。
首先，完全平方法是利用完全平方或组合完全平方的方法来找出x的平方根。
这种方法要求x是一个可以表示为某两个完全平方数之和的数字，具体的方法就是：如果x可以表示为两个完全平方数相加，则把此两个完全平方数分别开方，将开方和即为x的平方根。
其次，求根公式法是求解一元二次方程式的有效方法，它可以求解x的平方根，具体的方法就是：写出一元二次方程式，应用求根公式求出它的平方根。
最后，需要注意的是，x的平方根有很多可能的值，其中分为实数和虚数两种情况，实数的情况下，x的平方根也可能有两个结果，分别为正值和负值。
至此，我们了解了关于x的平方根的内容，有了解了这些基本知识，就可以把理论付诸实践，解决实际中给出的x的平方根问题了。
此外，x的平方根还有一些其他的应用，比如用来计算三角形的面积，或者作为多项式的系数，可以开发出一套数学规律来求出一般多项式的值。
其次，x的平方根也有着比较广泛的应用，比如在金融领域，可以利用x的平方根来计算投资回报率，也可以利用它计算股票池的相对波动率。
综上所述，x的平方根是一个相当重要的数学概念，在实际生活中有着比较重要的意义，可以帮助人们解决实际问题，也可以用来优化金融投资，有助于人们做出更智能的投资决策。
6个数学问题
6个数学问题
问题1：什么是质数？
质数是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。
例如，2、3、5、7等都是质数，因为它们不能被其他数整除。
问题2：什么是最大公约数和最小公倍数？
最大公约数是指能够同时整除两个或多个数的最大正整数。
最
小公倍数是指能够被两个或多个数同时整除的最小正整数。
问题3：什么是平方根和立方根？
平方根是指一个数的二次方等于该数的正平方根。
立方根是指
一个数的三次方等于该数的正立方根。
问题4：什么是相反数和倒数？
相反数是指与一个数的值相加等于零的数，例如5的相反数是
-5.倒数是指一个数与其倒数相乘等于1，例如2的倒数是1/2.
问题5：什么是等差数列和等比数列？
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
例如，1，3，5，7就是一个等差数列，差值为2.
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
例如，2，4，8，16就是一个等比数列，比值为2.
问题6：什么是圆周率和自然对数？
圆周率是指一个圆的周长与其直径的比值，通常用π表示。
自然对数是以纳皮尔常数“e”为底的对数。
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什么是平方根?
疑点：什么是平方根?
解析： 1.定义：一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根。
比如：32=9，3就是9的平方根。
2.正负数的平方根：因为32=9，(-3)2=9，由此可见，一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数。
负数没有平方根。
3、求平方根：求一个正数a的平方根，表示为：，如：9的平方根等于，16的平方根等于例：求(-3)2，0,-25,36/49 的平方根
解：1.(-3)2=9，因为(±3)2=9，所以(-3)2的平方根是±3 2.0的平方根是0
3.-25，负数没有平方根。
4.(±6/7)2=36/49，所以36/49的平方根是±6/7
结论：正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数;0的平方根为0;负数没有平方根。
本文由索罗学院整理。