平方根和立方根
平方根与立方根
平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。
它们分别表示一个数的平方和立方的根。
平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。
平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。
一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。
对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。
平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。
（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。
首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。
（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。
首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。
例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。
2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。
例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。
例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。
二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。
对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。
立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。
（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。
（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。
2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。
例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。
例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。
总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。
初中数学平方根和立方根
x 2y ,求 x y 的值.
∵ 2x y2 3 ，∴（2x-y）2=9，2x-y=±3.
∵ 3 x 2 y3 3 ，∴x-2y=-3.
当2x-y=3，x-2y=-3时，解得x=y=3，∴
x2y x y
无意义.
当2x-y=-3，x-2y=-3时，解得x=-1，y=1，∴ x 2 y = 1 .
x y
2
4.算术平方根：把正数的正的平方根叫做算术平方根.即一个正数x的 平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根.
5.立方根: 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，
也叫做a的三次方根．记作３a .
6.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一 个负的立方根，零的立方根是零.
平方根和立方根
1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根或二次方根．这就是说，如果x2 a，那么x 叫做a的平方根．
2平方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
3.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
解：
设正方体铁块的棱长是x厘米，烧杯内部的底面半径是r厘米， 根据题意列方程得x3＝64， 解得x＝4， 所以正方体铁块的棱长是4厘米. 设烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得 πr2×3＝64，所以 r2 64.因为r＞0，解得.
9 所以烧杯内部的底面半径是厘米.
10.已知 (2x y)2 3 ,3 (x 2y)3 3 解：
又因为 SABFE 2SCDEF ，设
所以144 212x， ．
，
B
FC
所以
(cm)．
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中起着重要作用。
首先，平方根是一个数的平方根是指另一个数的平方，例如，
数x的平方根是指另一个数y，使得y的平方等于x。
一般来说，如
果一个数为正数，那么它有两个平方根，一个是正的，一个是负的。
例如，4的平方根是2和-2，因为2的平方等于4，-2的平方也等
于4。
其次，算术平方根是指一个非负数的平方根。
例如，数9的算
术平方根是3，因为3的平方等于9。
在实际应用中，算术平方根常
常用于计算几何问题和物理问题中。
接着，立方根是一个数的立方根是指另一个数的立方，例如，
数x的立方根是指另一个数y，使得y的立方等于x。
和平方根类似，如果一个数为正数，那么它有一个实数立方根，如果这个数为负数，那么它也有一个实数立方根。
最后，二次根式是指包含有平方根的代数式，例如，√2或
3√5。
二次根式在代数中经常出现，在求解方程和进行简化代数式时起着重要作用。
总的来说，平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中有着广泛的应用，对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
希望我对这些概念的解释能够帮助到你。
平方根和立方根的计算
平方根和立方根的计算在数学中，平方根和立方根是非常常见的运算。
平方根表示一个数的平方根，而立方根表示一个数的立方根。
下面将详细介绍如何计算平方根和立方根。
一、平方根的计算平方根是指一个数的二次方根。
计算平方根可以使用数学符号√a表示，其中a为要求平方根的数。
平方根的计算有多种方法，下面列举了两种常见的计算方法：1. 通过公式计算平方根的计算可以使用公式进行计算。
对于给定的数a，平方根的计算公式如下:√a = x其中，x表示平方根的值。
通过使用这个公式，可以计算任何一个数的平方根。
例如，要计算16的平方根，可以将a替换为16，然后计算得出平方根的值x为4。
2. 使用计算器对于一些复杂的数，或者需要高精度计算的情况，可以使用计算器来计算平方根。
现代计算器通常都有平方根按钮，只需输入要计算的数，按下平方根按钮即可获得结果。
这种方法简单快捷，尤其适用于计算较大数的平方根。
二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方根。
计算立方根可以使用数学符号3√a表示，其中a为要求立方根的数。
立方根的计算方法与平方根类似，同样有两种常见的计算方法：1. 通过公式计算立方根的计算可以使用公式进行计算。
对于给定的数a，立方根的计算公式如下:3√a = x其中，x表示立方根的值。
通过使用这个公式，可以计算任何一个数的立方根。
例如，要计算27的立方根，可以将a替换为27，然后计算得出立方根的值x为3。
2. 使用计算器与计算平方根一样，计算器也可以用于计算立方根。
只需输入要计算的数，按下立方根按钮，即可获得结果。
使用计算器计算立方根同样简便易行。
总结：通过以上两种方法，可以计算任何数的平方根和立方根。
计算时，可以根据具体情况选择合适的方法。
如果是简单的数，可以手动计算；如果是复杂的数，或者需要高精度计算，可以使用计算器。
无论使用哪种方法，都可以准确地计算出平方根和立方根的值。
这就是关于平方根和立方根的计算方法的介绍。
希望对您有所帮助！。
平方根与立方根之间的区别与联系
平方根与立方根之间的区别与联系平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误，为此，笔者将其区别与联系小结如下。
一、两者的区别1、定义不同平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根立方根：如果a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根2、表示方法不同正数a 的平方根记为a ±，数a 的立方根记为3a 。
表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了。
3、读法不同正数a 的平方根记为a ± ，读作“正、负根号 a ”。
3a 读作“ 三次根号a 或a的立方根”。
4、被开方数的取值范围不同 在平方根a ±中，被开方数a 是非负数，即 0≥a 。
但在3a 中，a 可以是任意的数。
5、根的个数不同一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。
任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
二、二者的联系求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算。
三、应用举例例1、 求下列各式的值（1）1211- （2） 16.0± （3） 32764- （4）3216125 解：（1）1111211,1211)111(2-=-∴= （2）4.016.0,16.0)4.0(2=±∴=±（3）342764,2764)34(33-=-∴-=- （4）65216125,216125)65(33=∴= 例2、 求下列各式中的x（1）48)43)(43(=-+x x（2）343)35(3=-x解：（1）481692=-x 即9642=x 38964±=±=∴x （2）734335,343)35(33==-∴=-x x 即2,105=∴=x x。
平方根和立方根专题(比较难)
平方根和立方根专题(比较难) 平方根和立方根知识归纳】1.平方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术平方根，记为$\sqrt{x}$。
规定，$\sqrt{1}=1$。
2）一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；只有1个平方根，它是本身；负数没有实数平方根。
3）两个公式：a）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；b）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
2.立方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术立方根，记为$\sqrt[3]{x}$。
2）一个正数的立方根有1个，负数有1个立方根。
3）立方根的性质：a）$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$；b）$a^3=(\sqrt[3]{a})^3$。
4.已知某数有两个平方根分别是$a+3$与$2a-15$，求这个数。
设这个数为$x$，则有$(a+3)^2=x$，$2a-15$也是$x$的平方根，因此$(2a-15)^2=x$。
解得$a=7$，$x=64$。
5.已知：$2m+2$的平方根是$\pm4$，$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，求$m+2n$的值。
由题意可列出方程组：begin{cases}sqrt{2m+2}=4\\sqrt{3m+n+1}=5end{cases}$解得$m=6$，$n=13$，因此$m+2n=32$。
6.已知$a<0$，$b<0$，求$4a^2+12ab+9b^2$的算术平方根。
4a^2+12ab+9b^2=(2a+3b)^2$，因此算术平方根为$|2a+3b|$。
7.甲乙二人计算$a+1-2a+a^2$的值，当$a=3$的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：$a+1-2a+a^2=a+(1-a)^2=a+1-a=1$。
乙的解答：$a+1-2a+a^2=a+(a-1)^2=a+a-1=2a-1=5$。
哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？乙的解答是正确的。
平方根与立方根的异同点
平方根与立方根的异同点
平方根与立方根是数学中常见的运算概念，它们都是求根的运算，但在具体的计算过程中存在着一些异同点。
平方根和立方根的相同之处在于它们都是求根的运算。
平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根，用符号√表示；立方根是指一个数的立方等于该数的正立方根，用符号³√表示。
无论是求平方根还是立方根，都是要找到一个数的根使得运算结果等于原数。
平方根和立方根的不同之处在于它们的次数不同。
平方根是求一个数的二次根，而立方根是求一个数的三次根。
这意味着平方根的运算结果只有两个可能的解，一个是正数，一个是负数；而立方根的运算结果有三个可能的解，一个是正数，一个是负数，一个是零。
平方根与立方根在数值上也存在一些差异。
由于立方根的次数更高，所以立方根的值通常会比平方根的值更大。
例如，对于一个正数来说，它的平方根一定是正数，而它的立方根可能是正数、负数或零。
而对于一个负数来说，它的平方根是虚数，而它的立方根可能是复数。
平方根与立方根是数学中常见的求根运算，它们都是通过找到一个数的根使得运算结果等于原数。
它们的主要区别在于次数的不同，平方根是求二次根，而立方根是求三次根。
此外，它们在数值上也存在一些差异，立方根的值通常会比平方根的值更大。
无论是平方
根还是立方根，它们都是数学中重要的概念，对于解决各种实际问题具有重要意义。
数的开方(平方根与立方根)
一、知识点归纳:1、平方根(1) 平方根的意义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根。
a 的平方根记作：±20或±丿5。
求一个数a 的平方根的运算叫做开平方 . (2) 平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数② 0有一个平方根，它是 0本身③负数没有平方根。
(3) 平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根(1)算术平方根的意义：非负数 a 的正的平方根。
一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ j a ”读作：“根号a ”其中a 叫做被开方数 (2) 算术平方根的性质①正数a 的算术平方根是一个正数；② 0的算术平方根是0;③负数没有算术平方根。
3、立方根(1)立方根的意义如果一个数的立方等于 a ,那么这个数叫做 a 的立方根(也叫三次方根)。
如果x3=a ,则x 叫做a 的立方根。
记作：x=需 ,读作三次根号a ”求一个数的立方根的运算叫做开立方。
(2)立方根的性质">0②一个负数有一个负的立方根， 即若a<0,则V^0③0的立方根是0,即若a=0，则3垢=0 。
重要性质：旷弓=-V a (3)立方与开立方互为逆运算。
二、典型例题： 例1、x 为何值时，寸X +1(5)X —1例2、已知2a-1的算术平方根是 3，3a+b-1的平方根是 ±4，求a+2b 的平方根。
例3、若X 、y 都是实数，且y = J x -3 + J 3-X +2，求x+3y 的平方根。
例4、如果M =aP a +b +3是a+b+3的算术平方根, N =2噪a + 2b 是a+2b 的立方根，求M — N 的立方根。
第12章数的开方重要性质：J a 2=a ,(需 $ = a(a >0)下列代数式有意义。
(1W 3 + 2x(2) J x -2 + J 2—X(3) J x 2+31(4) -^= 如一1①一个正数有一个正的立方根， 即若a>0,则 (6) (X-1)2例5、已知a,b,c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简V a 2- a -b + c-a + J (b -C)2三、课堂练习:1、填空：(10)某种洗衣机的包装箱是长方形，其高为1.2m ,体积为1.2 m 3,底面是正方形，则该包装箱的底面边长m.(11)已知△ ABC 的三边长分别为a 、b 、c,,且满足7rW+|b -4+(c -3)2=0,则此△ ABC 的周长= (12 )请你观察、思考下列计算过程：因为112=121，所以 J121=11，同样，因为111^12321 ,所以 J12321 =111,由此猜想 J12345678987654321 =2、选择: (1) (2) 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是( -1 D 、1, -1 或 0 () A 、 1 B 、 0 C 、 下列各式中无意义的是A 、 —J 3B J-32).±J(-3丫(3) A下列说法正确的是( 、4的平方根是2、-16 的平方根是C 、实数a 的平方根是 土 J a 、实数a 的立方根是V a (4)有理数中，算术平方根最小的是)(1) 0.25的平方根是9 2的算术平方根是J 16 的平方根是 - J 2的相反数是,73的倒数是J 3 -1的绝对值是(16=±层，V (」)2(4)时，有意义；若 有意义，则x 时，j3-m 有意义；当m时，3治-3有意义(5)j 81的平方根是 ，74的算术平方根是邸64的平方根是，764的立方根若一个正数的平方根是 2a -1和-a + 2，贝U a =，这个正数是(7) 如果有-是m 的一个平方根，那么m 的算术平方根是 (8) 计算：口 +伙-1)2 + J (-1)2 =(9)已知 j 2a -1 +(b +3)2 =0,则 #竽=；(a+2)2+ |b — 1|+ J 3— C = 0,贝y a + b + c =、0.1A 、1B 、0 C（5）下列说法中，正确的是（ D 、不存在）•A 、27的立方根是3,记作J27=3B 、-25的算术平方根是5C 、a 的三次立方根是 土蚯D 、正数a 的算术平方根是 j a(6) V a 的值是（ ）• （A ） 是正数 (B) 是负数 （C ）是零 以上都可能(7) 若 X 2 =(-0.7 丫，则 X = ( )• (8) (9) (A) -0.7 ( B) ±).7(C ) 0.7 ( D ) 0.49下列等式：① ② y( - 2 ) = -2，③ J( - 2 ) = 2, ⑥-44 = —2;正确的有（ )个. (A) 4 ( B) 3 ( C) 2 ( D) 1 设 x 、y 为实数，且 y =4+J 5-X + J x-5 , 则|x —y 的值是（ (10) (11) (12) (13)下列说法中正确的是（ A 、4是8的算术平方根 下列各式中错误的是（ 下列计算中正确的是（ A 、J T8=J 32X 2=3 运 ).B 、16的平方根是 4C 、).B 、Q 0.36 = 0.6).④审= -V 8 ⑤ 716 = ±4, V 6是6的平方根D 、 -J1.44 = —1.2 D 、 B 、、/皿一心4-3"乎击不改变根式的大小把 （a —q丄 根号外的因式移入根号内，正确的是（(A) J 1-a (B W a —1 (C) -J a —1 -a 没有平方根J1.44 =±1.2莎=2 D、J 4^ =2a(D) - J 1-a).3、求下列各数的平方根和算术平方根: （1）空 4 (-4f(3) (- 2卜(一8 )•4、计算:6、已知实数 a,b,c 满足 一 a-b + J 2b +c +(c -7、a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简： J (a +1)2 + J (b -1)2 - J (a-b)2.abI _ !■ _. I J. ■ 1 •-2-1 0 1 2+------------ + ab (a + 1)(b +1) (a + 2)(b+2)+ 中(a +2004)( b + 2004)的值.(4)7001 5、解方程: (1) 4x 2=9 2(2) (X +1) =1⑶(5-3x(121-——=0 . 493(4)(x+3) =27(5) (2x-1)' =-8(6) 64(x-1)3+125=08、已知 2x-1的平方根是± 3, 3x+y-1的平方根是± 4，求x+2y 的平方根。
四年级数学数的平方根与立方根
四年级数学数的平方根与立方根数学是一门重要的学科，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
在数学中，有一些概念和运算我们需要特别关注和学习，其中就包括了数的平方根与立方根。
本文将对四年级学生数的平方根与立方根进行详细的介绍和解释。
一、数的平方根数的平方根是指一个数与自己相乘等于这个数的平方根。
平方根可以用符号√来表示。
例如，对于数值16来说，它的平方根就是4，因为4乘以4等于16。
根据这个定义，我们可以得出平方根的公式：√x = y其中，x为被开方数，y为平方根。
在四年级学习中，我们将主要关注正整数的平方根。
下面是几个常见的正整数平方根计算结果：数值x 平方根√x1 1 14 2 29 3 316 4425 55从上表可以看出，当被开方数是完全平方数时，其平方根是一个整数。
否则，平方根将是一个无限不循环小数。
我们可以通过长除法的方法来求非完全平方数的平方根。
例如，我们要求16的平方根，可以按照以下步骤进行计算：Step 1: 先猜一个数字y，将y乘以自己，得到结果z。
Step 2: 若z等于被开方数x，则y就是所求的平方根。
Step 3: 若z大于x，则将y减小一点，重新进行计算。
Step 4: 若z小于x，则将y增大一点，重新进行计算。
Step 5: 重复步骤3和步骤4，直到z等于x为止。
通过这种方法，我们可以逐步逼近平方根的真实值，获得一个近似结果。
二、数的立方根数的立方根是指一个数与自己三次幂等于这个数的立方根。
立方根同样可以用特殊符号∛来表示。
例如，对于数值8来说，它的立方根就是2，因为2的三次幂等于8。
计算立方根的公式如下：∛x = y在四年级学习中，我们将侧重于正整数的立方根。
下面是一些常见的正整数立方根计算结果：数值x 立方根∛x1 1 18 2 227 3364 44125 5 5从上表可以看出，当被开方数是完全立方数时，其立方根是一个整数。
否则，立方根将是一个无限不循环小数。
求非完全立方数的立方根可以使用与平方根类似的方法。
平方根与立方根的计算
平方根与立方根的计算计算平方根和立方根是数学中一种常见的运算方法，通过计算可以得到一个数的平方根和立方根的值。
在数学中，平方根和立方根是指一个数的二次方和三次方的根。
一、平方根的计算平方根是指一个数的二次方的根。
计算平方根的方法有多种，其中比较常用的方法有近似法和公式法。
1. 近似法近似法是一种通过逼近来计算平方根的方法。
例如，对于一个非负数x，可以通过以下步骤进行近似计算：步骤1：选取一个数a作为初始近似值。
步骤2：计算近似值的平方，判断近似值是否接近于x。
步骤3：如果近似值的平方与x相差较大，则调整近似值，并继续迭代计算。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求。
近似法可以通过逐步迭代来逼近平方根的真实值，但是该方法的计算效率相对较低，精度也有一定的限制。
2. 公式法公式法是一种通过数学公式来计算平方根的方法。
其中，最常用的公式是牛顿迭代法。
牛顿迭代法通过迭代来逼近平方根的值，公式如下：设f(x) = x^2 - a，其中a为待求平方根的数。
根据泰勒公式展开，得到f(x)在x0附近的近似式：f(x) ≈ f(x0) +f'(x0)(x - x0)令f(x) ≈ 0，得到x = x0 - f(x0)/f'(x0)将f(x) = x^2 - a代入上述公式中，可以得到如下迭代公式：x = (x0 + a/x0)/2通过不断迭代，可以逐步逼近平方根的真实值。
公式法相对于近似法而言，计算效率更高，精度也更高，但是需要一定的数学知识和计算工具的支持。
二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方的根。
计算立方根的方法也有多种，其中常用的方法有近似法和公式法。
1. 近似法近似法和平方根的计算方法类似，只是将二次方改成了三次方。
通过逐步逼近来计算立方根的值，可以得到一个近似结果。
2. 公式法公式法中，最常用的方法是二分法和牛顿迭代法。
其中，牛顿迭代法的公式如下：设f(x) = x^3 - a，其中a为待求立方根的数。
平方根与立方根
平方根与立方根平方根和立方根是数学中常见的两个运算，它们是求一个数的平方和立方的根。
平方根表示一个数的二次方根，立方根则表示一个数的三次方根。
在实际生活中，平方根和立方根常被应用于各种领域，包括科学、工程和金融等。
本文将介绍平方根和立方根的计算方法、应用以及一些有趣的数学问题。
1. 平方根的计算方法平方根的计算方法有多种，其中最常见的方法是使用开方运算。
假设要计算一个数x的平方根，可以使用以下公式：√x = y，则y*y = x。
例如，要计算25的平方根，可以得到√25 = 5。
这意味着5的平方等于25。
此外，还有一些特殊的数学方法可以用于计算平方根。
例如，牛顿法可以用于近似计算平方根。
此方法利用函数的切线逼近平方根的值，逐步逼近精确解。
2. 立方根的计算方法与平方根类似，立方根的计算也有多种方法。
同样，使用开方运算是最常见的方法之一。
假设要计算一个数x的立方根，可以使用以下公式：³√x = y，则y*y*y = x。
例如，要计算27的立方根，可以得到³√27 =³√(3*3*3) = 3。
这意味着3的立方等于27。
除开方运算外，还有其他方法可以计算立方根，如二分法和牛顿法。
这些方法可以用于逼近立方根的值，以获得更精确的结果。
3. 平方根和立方根的应用平方根和立方根在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些具体的应用示例：3.1 科学在科学领域，平方根和立方根常被用于测量和计算。
例如，在物理学中，平方根可以用于计算速度和加速度等物理量。
立方根则可以用于计算体积和空间结构等概念。
3.2 工程平方根和立方根在工程领域中也有广泛的应用。
例如，建筑设计中常用立方根来计算建筑物的体积和剖面积。
平方根则可以用于计算电路中的电压和电流等参数。
3.3 金融在金融领域，平方根和立方根可以用于计算风险和不确定性。
例如，在股票市场中，平方根可以用于计算波动率和股票价格的波动程度。
立方根则可以用于计算投资组合的收益率和风险调整后的回报率。
平方根与立方根的计算
平方根与立方根的计算在数学中，平方根和立方根是常见的数学运算。
平方根指的是一个数的平方根，即找到一个数使得它的平方等于给定的数。
立方根则是一个数的立方等于给定的数。
在数学中，我们常用符号√ 表示平方根，用符号³√ 表示立方根。
计算平方根和立方根的方法有很多种，下面将介绍几种常用的计算方法。
一、平方根的计算1. 通过公式计算平方根的计算可以通过以下公式来实现：若给定的数为 x ，则其平方根 y 可以通过求解方程 y² = x 来获得。
对于正实数 x ，可以使用牛顿迭代法或二分法来逼近方程的解。
2. 借助计算器计算在现代科技的进步下，我们可以直接使用计算器来计算平方根。
大多数计算器都内置了平方根计算功能，只需输入待计算的数值，按下相应的运算键即可得到平方根的结果。
3. 利用近似方法计算对于平方根的近似计算，可以使用牛顿迭代法或二分法。
这些方法可以通过多次逼近来得到一个足够接近实际值的结果。
二、立方根的计算1. 通过公式计算立方根的计算可以通过以下公式实现：若给定的数为 x ，则其立方根 y 可以通过求解方程 y³ = x 来获得。
对于正实数 x ，可以使用牛顿迭代法或二分法来逼近方程的解。
2. 借助计算器计算类似于平方根的计算，现代计算器也常常内置了立方根的计算功能。
只需输入待计算的数值，按下相应的运算键即可得到立方根的结果。
3. 利用近似方法计算与计算平方根类似，立方根的近似计算也可以使用牛顿迭代法或二分法来实现。
通过多次逼近，我们可以得到一个足够接近实际值的结果。
综上所述，平方根和立方根的计算可以通过多种方法来实现。
无论使用公式、计算器还是近似方法，我们都能够得到所需的结果。
计算器的出现使我们计算平方根和立方根变得更加简便快捷，而数学中的方法则为我们提供了一种深入了解计算过程的途径。
无论是在日常生活还是学术研究中，平方根和立方根的计算都是十分重要的基本运算，它们深刻影响了数学和科学的发展与应用。
平方根与立方根有什么不同
平方根与立方根有什么不同？
[解答] 平方根与立方根的不同点主要反映在如下的几个方面．
1．意义不同．
如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根，例如：因为(－5)2＝25，所以－5就叫做25的平方根．
如果x3＝a，那么x就叫做 a的立方根，例如：因为(－5)3＝－125，所以－5就叫做－125的立方根．
2．被开方数的取值范围不同．
负数没有平方根，负数有一个负的立方根．即
3．方根的数目不同．
正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根，如
64的平方根是±8
64的立方根是4
4．算术根不同
比较平方根与立方根的突出不同之处，有利于深刻理解和应用平方根与立方根的概念．而且可以推广应用于偶次方根与奇次方根的比较，有利于对n次方根和n次算术根的理解．。
平方根与立方根的计算
平方根与立方根的计算计算一个数的平方根和立方根是数学中常见的操作之一。
平方根指的是一个数的二次方为该数的算术平均根，而立方根则是一个数的三次方为该数的算术平均根。
本文将介绍平方根和立方根的计算方法以及它们在现实生活中的应用。
一、平方根的计算方法平方根的计算可以使用数学中的开方运算，常用的方法有估算法和牛顿迭代法。
估算法：当要计算一个数的平方根时，我们可以先估算一个大致的值。
接着，使用这个估值和被开方数进行迭代运算，直到得到一个接近精确值的结果。
例如，要计算数a的平方根，我们可以先估算一个值x0，然后使用下面的迭代公式来逐渐逼近平方根的准确值：xn+1 = (xn + a/xn) / 2其中，xn是第n次迭代得到的值，xn+1是下一次迭代得到的值。
当xn+1和xn的差距小到我们认为已经足够精确时，即可得到数a的平方根。
牛顿迭代法：这是一种使用导数来逼近函数零点的方法。
计算平方根时，我们可以将平方根的计算转化为求解方程x^2-a=0的解。
我们可以从一个初始值x0开始，然后使用下面的迭代公式：xn+1 = xn - (xn^2 - a)/(2*xn)类似于估算法，通过不断迭代，直到求得足够精确的解。
二、立方根的计算方法立方根的计算与平方根类似，也可以使用估算法和牛顿迭代法。
估算法：当要计算一个数的立方根时，我们可以先估算一个大致的值。
接着，使用这个估值和被开方数进行迭代运算，直到得到一个接近精确值的结果。
例如，要计算数a的立方根，我们可以先估算一个值x0，然后使用下面的迭代公式来逐渐逼近立方根的准确值：xn+1 = (2*xn + a/(xn^2)) / 3其中，xn是第n次迭代得到的值，xn+1是下一次迭代得到的值。
当xn+1和xn的差距小到我们认为已经足够精确时，即可得到数a的立方根。
牛顿迭代法：类似于平方根的计算，我们可以将立方根的计算转化为求解方程x^3-a=0的解。
我们可以从一个初始值x0开始，然后使用下面的迭代公式：xn+1 = xn - (xn^3 - a)/(3*xn^2)通过不断迭代，直到求得足够精确的解。
平方根和立方根的计算
平方根和立方根的计算计算平方根和立方根是数学中常见的运算问题。
平方根指的是一个数的平方等于另一个给定的数，而立方根则是一个数的立方等于另一个给定的数。
在日常生活和科学领域中，计算平方根和立方根是非常有用的，下面将介绍几种常见的计算方法。
一、平方根的计算1. 近似计算法近似计算法是最简单的计算平方根的方法之一。
我们可以通过不断逼近来得到一个数的平方根。
假设要计算数a的平方根，可以从一个任意猜测值x0开始，通过以下迭代公式来逼近平方根的值：xn+1 = (xn + a/xn)/2其中，xn+1是下一个近似值，xn是当前的近似值。
通过不断迭代计算，当xn+1与xn的差值足够小（通常小于一个给定的精度要求）时，取xn+1作为a的平方根的近似值。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法也是一种近似计算平方根的方法。
我们可以通过在二次函数f(x) = x^2 - a上进行迭代来逼近平方根。
具体步骤如下：a) 随机选择一个初始猜测值x0b) 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)c) 通过以下公式计算下一个近似值：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)d) 重复步骤b和c，直到近似值的差异小于给定的精度要求。
3. 牛顿拉夫逊方法牛顿拉夫逊方法是一种通过迭代来计算平方根的方法。
这种方法同时使用了牛顿迭代法和拉夫逊法。
具体步骤如下：a) 随机选择一个初始猜测值x0和y0b) 通过以下公式计算下一个近似值：xn+1 = (xn + y(xn))/2yn+1 = a / xn+1c) 重复步骤b，直到近似值的差异小于给定的精度要求。
二、立方根的计算计算立方根是计算平方根的拓展。
与计算平方根类似，我们可以采用迭代法来计算立方根。
1. 近似计算法类似于计算平方根的近似计算方法，我们可以通过不断逼近来得到一个数的立方根。
假设要计算数a的立方根，可以从一个任意猜测值x0开始，通过以下迭代公式来逼近立方根的值：xn+1 = (2xn + a/(xn^2))/3其中，xn+1是下一个近似值，xn是当前的近似值。
平方根和立方根
平方根和立方根【知识要点】一、平方根1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根，即如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根.2.正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记做a .0的算术平方根为0.3.平方根与算术平方根的联系与区别联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.4.性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.二、立方根1.定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，即如果a x =3，那么x 就叫做a 的立方根.2.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫做被开方数.3.性质：每个数a 都有且仅有一个立方根.正数的立方根为正数；0的立方根为0；负数的立方根为负数.【例题精讲】例1.求下列各数的平方根和算术平方根. (1)12149；(2)0.0004；(3)(－25)2；(4)11.例2.求下列各数的立方根：－6427，6，－1000125，0.001例3.求下列各式的值： ().___)278(___;2___;)2(___;1251___;1___;027.0___;)12149(___;)64(___;94___;163223333322=-=-=-=-=-===== 例4.下列说法对不对？9的平方根是3 ( ) 16的平方根是4± （ ）25-的算数平方根是5 （ ） 36的算术平方根是6± （ ）－4没有立方根 （ ） 1的立方根是±1 （ ）【随堂操练】一、填空1．如果92=x ，那么=x ________.2．如果x 的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________．3．一个正数a 的两个平方根的和是________．一个正数a 的两个平方根的商是________．4．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ；6．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ；7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 8．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；9．已知0)3(122=++-b a ，则=332ab ； 10．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．二、选择题11．下列说法错误的是（ ）. A.1)1(2=- B.()1133-=- C.2的平方根是2± D.81-的平方根是9±12.下列等式正确的是（ ）.A. 64=±8；B. 2)5(-=－5；C.28=8D. 16)16(2±=-13.下列说法正确的是（ ）.A. 8的立方根是±2；B. 负数没有立方根；C.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数； D.立方根是它本身的数是014.下列说法错误的是（ ）.A.任何数都只有一个立方根B. 064.0-的立方根是4.0-C. 16的立方根是316D. 2-的立方根是8-15.下列计算正确的有（ ）. ①1251144251=②4)4(2=-③22)2(22-=-=-④2095141251161=+=+ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个16．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）A 、1B 、9C 、4D 、517.若23-=a ,2--=b ，33)2(--=c ,则c b 、、a 的大小关系是（ ）.A.c b a >>B.b a c >>C.c a b >>D.a b c >>三、计算题 (18)914414449⋅ (19)41613+-(20）25520-+ (21)71+63-112（22）)31)(31(-+ （23）298312-⨯四、求下列各式中的x .（24）()10252=+x （25）()27103-=+x。
平方根函数与立方根函数的性质
平方根函数与立方根函数的性质平方根函数和立方根函数是数学中常见的一类函数，它们分别以平方根和立方根的形式来描述数值之间的关系。
本文将从定义、图像、性质等几个方面来介绍平方根函数和立方根函数的特点。
一、平方根函数的性质平方根函数是指数函数的特例，数学上表示为y = √x。
它的定义域为非负实数集，即x≥0。
平方根函数的图像通常是一条从坐标原点开始，并向右上方逐渐逼近y轴的曲线。
在了解平方根函数的图像形态之后，我们可以来探讨其性质。
首先是单调性，我们可以观察到，在定义域上，当x1 < x2时，y1 = √x1 <y2 = √x2，所以平方根函数是单调递增的。
其次是奇偶性，当x > 0时，有√x = -√x，所以平方根函数是关于y轴对称的。
此外，平方根函数的导函数为f'(x) = 1 / (2√x)，即它的导数与自变量x的关系为倒数函数。
这一点在求解平方根函数的导数、极值等相关问题时具有重要的应用。
二、立方根函数的性质立方根函数是指数函数的另一种特例，数学上表示为y = ∛x。
与平方根函数类似，立方根函数的定义域为全体实数集。
立方根函数的图像通常是一条从坐标原点开始，并从左下方逐渐逼近y轴的曲线。
在了解立方根函数的图像形态之后，我们可以来探讨其性质。
与平方根函数类似，立方根函数也是单调递增的，并且关于y轴对称。
这一点可以通过观察函数的图像或者运用类似的方法来证明。
立方根函数的导函数为f'(x) = 1 / (3∛x^2)，从导数的表达式可以看出，立方根函数的导数与自变量x的关系也具有倒数函数的特点。
三、平方根函数与立方根函数的比较平方根函数和立方根函数都是指数函数的特例，它们在图像、定义域、单调性、对称性等方面都有很多相似之处。
然而，也存在一些不同之处。
首先，在图像形态上，平方根函数的曲线相较于立方根函数更加陡峭，变化速率更快。
这是由于平方根的幂次较小，渐进趋向于y轴。
平方根与立方根的计算方法总结
平方根与立方根的计算方法总结计算平方根和立方根是数学中常见的运算方法，可以通过不同的算法和公式来实现。
本文将对平方根和立方根的计算方法进行总结和介绍。
1. 平方根的计算方法:平方根表示一个数的算术平方根，即对于任意非负数x，其平方根为y，满足y * y = x。
平方根的计算方法有以下几种：1.1 牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种通过不断逼近来计算平方根的方法。
具体步骤如下：1) 初始化猜测值y为x的一半；2) 根据公式y = (y + x/y) / 2进行迭代计算，直到满足精度要求为止。
1.2 二分法：二分法是一种通过将待求平方根的范围逐渐缩小，再进行逼近的方法。
具体步骤如下：1) 初始化左边界为0，右边界为x；2) 将平方根的猜测值设置为(left + right) / 2；3) 根据猜测值的平方与x的大小关系，不断调整左右边界，直到满足精度要求为止。
1.3 数字解析法：数字解析法是一种通过数值分析来计算平方根的方法。
具体步骤如下：1) 将待求平方根的数x表示为10的幂次和一个系数的乘积形式，即x = a * 10^n；2) 根据公式sqrt(x) = sqrt(a) * 10^(n/2)进行求解，其中sqrt(a)可通过查表或其他方法获得；3) 通过数值分析的技巧对n/2进行修正，得到更精确的结果。
2. 立方根的计算方法:立方根表示一个数的算术立方根，即对于任意数x，其立方根为y，满足y * y * y = x。
立方根的计算方法有以下几种：2.1 牛顿迭代法：与计算平方根类似，牛顿迭代法也可以用于计算立方根。
具体步骤与平方根的计算方法一致，只是迭代的公式变为y = (2 * y + x/y²) / 3。
2.2 二分法：二分法同样适用于计算立方根。
具体步骤与平方根的计算方法相似，只是运算符号和迭代的公式发生改变。
2.3 立方根的展开公式：立方根还可以通过展开公式来计算。
对于任意数x，其立方根可以展开为泰勒级数的形式。
八年级数学第二章平方根立方根
第二章 第一节 平方根【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。
2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。
3、开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。
4、开平方与平方的关系：互为逆运算。
5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。
6、形如()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。
①259； ②64； ④0.09； ⑤49151； ⑥0。
例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；例2、填空：（1）23= ； （2）()231-= ；（5）210= ； （6）()2101-= ；（9）对于任意数x ，2x = ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1）()0064252<=-x x （2）()4912=+x（3）()()3252100-=--x（4）13=x例4、已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。
例5、已知()02132=++-+-z y x ，求xyz 的值。
例6、x 为何值时，x x +-1有意义。
例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。
例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。
请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【随堂练习】一、选择题：1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。
平方根与立方根的计算
平方根与立方根的计算在数学中，平方根和立方根是常见的运算。
平方根是指一个数的平方等于该数的正数解，记作√x，其中x为非负实数。
立方根则是指一个数的立方等于该数的正数解，记作∛x，其中x可以是任意实数。
如何计算平方根和立方根，是我们在日常生活和学习中经常遇到的问题。
一、平方根的计算方法计算平方根有多种方法，其中较为常见的方法是借助算术平方根表及使用计算器。
下面将介绍这两种方法的具体步骤。
1. 基于算术平方根表的计算方法在没有计算器或电子设备的情况下，我们可以使用算术平方根表来计算平方根。
算术平方根表列出了0到100的数的平方根值。
具体计算步骤如下：（1）找到目标数在表中的范围。
例如，要计算√50，我们可以发现50位于7的平方49和8的平方64之间，因此√50的范围在7和8之间。
（2）根据目标数所在范围，估计出平方根的整数部分。
在本例中，√50的整数部分应该接近于7。
（3）利用平方根的整数部分与目标数的差值和表中的数值来得出更精确的结果。
在本例中，7.07的平方约等于49.84，而8.02的平方约等于64.32。
因此，我们可以得出结论，√50约等于7.07。
2. 基于计算器的计算方法在现代科技的帮助下，使用计算器是最直接和准确的计算平方根的方法。
计算器可以帮助我们迅速得出平方根的结果，无需繁琐的手动计算。
以下是使用计算器计算平方根的步骤：（1）打开计算器。
（2）输入要求平方根的数值，例如50。
（3）按下计算器上的平方根（√）按钮。
（4）计算器将立即显示出结果，例如√50≈7.07。
二、立方根的计算方法计算立方根也有多种方法，其中较为常见的方法是使用计算器和借助手算方法。
下面将介绍这两种方法的具体步骤。
1. 使用计算器的计算方法如同计算平方根时一样，计算器是计算立方根的最直接和快速的方法。
以下是使用计算器计算立方根的步骤：（1）打开计算器。
（2）输入要求立方根的数值，例如27。
（3）按下计算器上的立方根（∛）按钮。
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第一次数学危机之无理数的发现大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机． 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处． 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！小故事中考要求平方根和立方根一平方根、算术平方根1、平方根:如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．也就是说，若2x a=，则x就叫做a的平方根．一个非负数a的平方根可用符号表示为“．2、算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a≥，0．3、平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．二立方根1、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也就是说，若3,x a=则x 就叫做a的立方根。
一个数a，其中“3”叫做根指数，不能省略．2”a”a”a”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根。
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．2、立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．平方根与立方根的区别与联系：1、区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略．（2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数．（3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．知识点睛（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1，1-；2、联系：（5）平方根与立方根相等的数是0．（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．一、对平方根的定义和性质的考察【例1】 |9|-的平方根是（ ）A ．81B ．3±C ．3D ．3-【例2】 下列命题中，真命题是（ ）A ．22001的平方根是2001 B ．49-的平方根是7±C8=± D ．若22a b=【例3】 判断题：（1 ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （36，则6a =-．( )（4）若264x =，则8x =±． ( ) （58±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等．( )【例4】 当0m <，2m 的算术平方根是 .【例5】 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .【例6】 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .【巩固】若A =A 的算术平方根是_________．【巩固】设a 为最小正整数的a 的值是________．例题精讲【例7】 x 为何值时，下列各式有意义？（1； （2； （3（4）； （5； （6二、对平方根的计算的考察【例8】 求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______； （3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______．【例9】 求下列各式的值（1） （2）（3） （4）（5）（6）【巩固】求下列各式中x 的值．（1）29x =；（2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【例10】 设a a 的值是________。
是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【例11】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．【例12】 已知a b ，为两个连续整数，且a b <，则a b +=_______。
三、对平方根的非负性的考察【例13】 如果3a b -+【例14】 已知2b =，求11ab+的平方根．【巩固】已知x ，y ，z 满足21441()02x y z -++-=，求()x z y -的值．一、对立方根的定义和性质的考察【例15】 （1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ．的立方根是a（2）61164-的立方根是（ ）A ． 4- B ．114± C ． 114D ．114-（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对 （6）下列运算中不正确的是（ ）A ．= B ．3C 1=-D ．4=【巩固】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27的立方根与______．（4）若0=则x 与y 的关系是______．（5）如果4=那么(66)2a -⋅的值是______．（6）若=则x ＝______．（7）若m ＜0，则m -．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．二、对立方根的计算的考察【例16】求下列等式中的x：（1）若x3＝0．729，则x＝______；（2）x3＝6427-，则x＝______；（3）若52，则x＝______；（4）若x3＝3(2)--，则x＝______．【例17】求下列各式的值（1）（2）（3）（4）3（5）（6）（7）【巩固】（1）填表：（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．（3）根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；②7.696，= ．【例18】的相反数是；的立方根是.【例19】 若 1.22== _____.【例20】-【例21】 若22(3)x =-，33(2)y =-，求x y +所有可能值．三、立方根的综合应用【例22】 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .【例23】 若2(27)b +的立方根．【例24】 已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．【例25】 已知3(2)27a b +=-5=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).【例26】 已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．【例27】 已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根.【例28】 已知a =，2y b=(y <)8=(4b a >)18=，求xy 的值.【例29】 2a b x -=3a +的算术平方根，3b a y -=3b -的立方根，求y x -的立方根.【例30】 若xy 的值.1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=± （3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =3.已知实数a，满足0a +=，求11a a -++的值．4.先阅读理解，再回答下列问题：，且12<<1；23<<2；34<<的整数部分为3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．5.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．课后作业。