【全优学案】高中数学人教B版必修4同步训练：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)(含答案解析)

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
一、基础过关
1． 若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2． 函数y ＝2
－cos x
的单调递增区间是
( )
A ．[2k π＋π，2k π＋2π] (k∈Z)
B ．[k π＋π，k π＋2π] (k∈Z) C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2 (k∈Z) D ．[2k π，2k π＋π] (k∈Z)
3． 下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2上为减函数的是
( )
A ．y ＝sin(2x ＋π
2)
B ．y ＝cos(2x ＋π
2)
C ．y ＝sin(x ＋π
2
)
D ．y ＝cos(x ＋π
2)
4． 在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x 的取值范围是
( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π4，3π2
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫π4，π2
D.⎝
⎛⎭⎪⎫5π4
，7π4 5． 要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象
( )
A ．向左平移π
8个单位
B ．向右平移π
8个单位
C ．向左平移π
4
个单位
D ．向右平移π
4
个单位
6． 函数y ＝2cos x ＋1的定义域是______________． 7． 方程x 2
＝cos x 的实数解有________个． 8． 判断下列函数的奇偶性并求最小正周期．
(1)f(x)＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx －π2； (2)f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x ＋32π.
二、能力提升
9． 设0≤x≤2π，且|cos x －sin x|＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 10．已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝－23，则f(0)等于________．
11．已知函数f(x)＝lg cos 2x.
(1)求它的定义域、值域； (2)讨论它的奇偶性； (3)讨论它的周期性； (4)讨论它的单调性． 二、能力提升
12．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．
三、探究与拓展
13．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y
＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
(1)根据以上数据，求函数y ＝Acos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
答案
1．C 2.D 3.A 4.A 5.A
6． ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k∈Z 7.2 8． 解 (1)f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－πx ＝sin πx ，
∴f(－x)＝sin(－πx)＝－sin πx ＝－f(x)．
f(x)是奇函数．最小正周期T ＝2π
π
＝2.
(2)f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x ＋32π ＝－cos 2
3x.
∴f(－x)＝f(x)．
f(x)是偶函数．最小正周期T ＝2π
23＝3π.
9．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，5π4 10.23
11．解 (1)要使函数f(x)＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x>0，
即－π2＋2k π<2x<π
2＋2k π，k∈Z，
－π4＋k π<x<π
4
＋k π，k∈Z， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|－π4＋k π<x<π
4＋k π，k∈Z .
由于在定义域内0<cos 2x≤1， ∴lg cos 2x≤0，
∴函数的值域为(－∞，0]． (2)∵f(－x)＝lg cos[2·(－x)] ＝lg cos 2x ＝f(x)， ∴该函数是偶函数．
(3)∵cos 2x 的周期为π，即cos 2(x ＋π)＝cos 2x. ∴f(x＋π)＝lg cos 2(x ＋π)＝lg cos 2x ＝f(x)． ∴该函数的周期为π. (4)y ＝lg u 是增函数．
当x∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤－π4＋k π，k π (k∈Z )时，u ＝cos 2x 是增函数； 当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，π4＋k π (k∈Z)时，
u ＝cos 2x 是减函数．
因此，函数y ＝lg cos 2x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π4＋k π，k π (k∈Z)上是增函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，π4＋k π
(k∈Z)上是减函数．
12．解 由2k π≤12x ＋π
3
≤2k π＋π(k∈Z)，得
4k π－23π≤x≤4k π＋4
3
π(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k∈Z)，
同理函数的递减区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k∈Z)． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k≤4730，又k∈Z，∴k 不存在．
令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28
5π，223π上是减函数，∴a 的最大值是223π.
13．解 (1)由表中数据知周期T ＝12，
∴ω＝2πT ＝2π12＝π
6
，
由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A＝0.5，b ＝1，∴y＝12cos π
6t ＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π
6
t ＋1>1， ∴cos π6t>0，∴2k π－π2<π6t<2k π＋π
2，k∈Z，
即12k －3<t<12k ＋3(k∈Z)．①
∵0≤t≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，
得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.
∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。