初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题

关于折叠问题，我们要理解：

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直均分线，

折叠前后图形的形状和大小不变，地址变化，对应边和对应角相等．

3、关于折叠较为复杂的问题能够实质操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后

的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和地址关系．

4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角

形

5、利用折叠所获取的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，尔后依照轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择合适的直角三角形，运用勾股定

理列出方程求解．

一、矩形中的折叠

1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC， BD为折痕，折叠后 BG和 BH在同一条直线上，∠CBD=度．

BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠ EBD = ∠ HBD

则∠ CBD = 90°

折叠前后的对应角相等

2．以下列图，一张矩形纸片沿BC折叠，极点 A 落在点 A′处，再过点A′折叠使

折痕 DE∥ BC，若 AB=4， AC=3，则△ ADE的面积是．

1 沿 BC折叠，极点落在点A’处，依照对称的性质获取

BC垂直均分 AA’，即 AF =

2 AA’，又 DE∥BC，获取△ ABC ∽ △ ADE，再依照相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面

积

= 24

对称轴垂直均分对应点的连线

3．如图，矩形纸片ABCD中， AB=4，AD=3，折叠纸片

D C

使 AD边与对角线BD重合，得折

痕

DG，求AG 的长．

A'

由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A’ DG，由A’D = AD = 3，AG’= AG，则A’ B A G B = 5 –3 = 2 ，在Rt △ A’BG中依照勾股定理，列方程能够求

出

AG的值

依照对称的性质获取相等的对应边和对应角，再在直角三角形中依照勾股定理列方

程求解即可

4．把矩形纸片ABCD

沿BE折叠，使

得

BA边与BC重合，

尔后再沿着BF折叠，使得折痕BE也

与

BC边重合，张开后以下列图，则∠DFB等于（）

依照对称的性质获取∠ABE=∠ CBE，∠ EBF=∠CBF，据此即可求出∠ FBC的度数，又知道∠C=90°，依照三角形外角的定义即可求出∠DFB= 112.5 °

注意折叠前后角的对应关系

5．如图，沿矩形 ABCD的对角线 BD折叠，点 C落在点 E 的地址，已知 BC=8cm，AB=6cm，

求折叠后重合部分的面积．

∵点 C 与点 E 关于直线 BD对称，∴∠ 1 =∠ 2 ∵AD∥ BC，∴∠ 1 = ∠3

∴∠2 = ∠3

∴FB = FD

设 FD = x ，则 FB = x ， FA = 8 – x

2

2

= BF 2

在 Rt △BAF 中， BA + AF

∴ 62 + (8 - x)

2

= x

2

25

解得 x =

4

所以，阴影部分的面积 S

= 1

1 × 25 × 6 = 75

2

2 FD ×AB =

2

4

4 cm

△ FBD

重合部分是以折痕为底边的等腰三角形

6．将一张矩形纸条 ABCD 按以下列图折叠， 若折叠角∠ FEC=64°，则∠ 1= 度；

△ EFG 的形状

三角形．

∵四边形 CDFE 与四边形 C ’D ’FE 关于直线 EF 对称

∴∠2=

∠3=64 °

∴∠4=180 ° -2

×64°=52 °

∵ AD ∥ BC

∴∠1=

∠4=52 °

∠ 2= ∠5

又∵∠2=

∠3

∴∠3 = ∠5

∴ GE=GF

∴△ EFG 是等腰三角形

对折前后图形的地址变化，但形状、大小不变，注意一般状况下要画出对折前后的

图形，便于搜寻对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF 7．如图，将矩形纸片ABCD按以下的序次进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延 CG折叠，使点 B 落在 EF上的点 B′处，（如图②）；展平，得折痕 GC（如

图③）；沿 GH折叠，使点 C落在 DH上的点 C′处，（如图④）；沿 GC′折叠（如

图⑤）；展平，得折痕 GC′， GH（如图 ?⑥）．

（1）求图 ?②中∠ BCB′的大小；

（2）图⑥中的△ GCC′是正三角形吗？请说明原由．

1 （ 1）由对称的性质可知：B’ C=BC，尔后在 Rt△ B′ FC中，求得 cos ∠B’CF= 2，

利用特别角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60 °；

（2）第一依照题意得： GC均分∠ BCB’，即可求得∠ GCC’= 60 °，尔后由对称

的性质知： GH是线段 CC’的对称轴，可得 GC’ = GC，即可得△ GCC’是正三角

形．理清在每一个折叠过程中的变与不变

8．如图，正方形纸片ABCD的边长为 8，将其沿 EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为

四边形BCFE与四边

形B′ C′ FE关于直

线

EF 对称，则

①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长

折叠前后对应边相等

9．如图，将边长为 4 的正方形ABCD沿着折

痕

EF 折叠，使

点 B落在边AD的中

点

G处，求四边

形

BCFE的面积

设AE = x ，则BE = GE = 4 - x ，