高二数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
高二数学向量知识点
高二数学向量知识点1. 向量的定义和表示向量是带有方向和大小的量，通常用箭头来表示。
向量用字母加上一个箭头来表示，例如AB→表示从点A指向点B的向量。
2. 向量的加法和减法向量的加法是指将两个向量的大小和方向相加得到一个新的向量。
向量的减法是指将两个向量的大小和方向相减得到一个新的向量。
3. 向量的数量积向量的数量积也叫点积，表示为两个向量之间的乘积。
向量的数量积等于这两个向量的模长的乘积再乘以它们夹角的余弦值。
4. 向量的向量积向量的向量积也叫叉积，表示为两个向量之间的乘积。
向量的向量积等于这两个向量的模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值，并且结果是一个新的向量。
5. 平面向量的坐标表示平面向量可以使用其在坐标系中的坐标表示。
一般情况下，平面向量的坐标表示为 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的投影，y 表示向量在 y 轴上的投影。
6. 向量的数量积的性质向量的数量积具有交换律、结合律和分配律。
即对于任意向量 a、b 和 c，有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(a + b)·c = a·c + b·c- 分配律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中 k 是一个实数7. 向量的向量积的性质向量的向量积满足反交换律和分配律。
即对于任意向量 a 和b，有以下性质：- 反交换律：a×b = -b×a- 分配律：a×(b + c) = a×b + a×c8. 向量共线与垂直的判定- 共线判定：如果两个向量的数量积为0，则它们共线。
- 垂直判定：如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。
9. 向量的模长和单位向量向量的模长表示向量的大小，用 ||a|| 或 |a| 表示，计算方式为向量的坐标的平方和的开平方。
单位向量是模长为1的向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
例如，物理学中的力、位移、速度等都是向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的大小叫做向量的模，记作a（对于向量a）。
模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。
模为1的向量叫做单位向量。
2. 向量的表示方法几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
例如，以A为起点，B为终点的向量记作AB。
字母表示：用小写字母a,b,c,表示向量。
3. 相等向量与平行向量相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
若a=b，则a=b且a与b方向相同。
例如，在平行四边形ABCD中，AB=DC。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定零向量与任意向量平行。
若a与b是平行向量，则记作ab。
例如，在梯形ABCD中，ADBC。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC=a+b。
例如，若a表示向东3个单位长度的位移，b表示向北4个单位长度的位移，那么a+b表示向东北方向5个单位长度（根据勾股定理3^2+4^2 = 5）的位移。
平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b。
运算律：向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法定义：向量a与b的差ab=a+(b)，其中b是b的相反向量，b与b大小相等，方向相反。
三角形法则：已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度a=a，它的方向当> 0时与a相同，当<0时与a相反，当= 0时，a=0。
高二数学平面向量和线性运算
第01讲 平面向量及其线性运算高考《考试大纲》的要求：① 了解向量的实际背景。
② 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
③ 理解向量的几何表示。
④ 掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义。
⑤掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义;⑥了解向量线性运算的性质及其几何意义； ⑦了解平面向量的基本定理及其意义; （一）基础知识回顾：1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____.2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向.3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______.4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________;5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义.6.向量共线定理:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________.7.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面的两个不共线向量,那么对于这一平面的任一向量,有且只有一对实数21,λλ,使=_____________________.8.三点共线定理:平面上三点A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α,β,使_____________________,其中α+β=____, O 为平面任意一点. 9.①中点公式：若M 是线段AB 的中点, O 为平面任意一点,则OM =__________________ ②在△ABC 中, 若G 为重心,则++ =_________,++ =____________. （二）例题分析：例1.下列命题中，正确的是（ ）A ．若c b b a //,//，则//B ．对于任意向量b a ,+≥+ C==或-= D ．对于任意向量b a ,-≥+例2．（2007理)已知O 是ABC △所在平面一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r， 那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r例3．(2008理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ）A ．1142a b +r rB. 2133a b +r rC. 1124a b +r rD. 1233a b +r r（三）基础训练：1.(2006理)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） （A ）→--AB ＝→--DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ； （C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→0．2．（2007文）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u rB . EF OF OE =-u u u r u u u r u u u rC. EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D . EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r3．（2003）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=（ ）ABCDA ．)1,0(),(∈+λλAD ABB ．)22,0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)22,0(),(∈-λλBC AB 4.(2008理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r ,则OC =u u u r（ ）A ．2OA OB -u u u r u u u r B ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u u r u u u rD ．1233OA OB -+u u u r u u u r5．（2003；文、理）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB ACλλ=++∈+∞u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 则的轨迹一定通过ABC V 的( )（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心6．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=u u u r u u u r，其中λ等于( )（A ）２ （B ）12 （C ）－３ （D ）－137．设b a ,是两个不共线的非零向量，若向量b a k 2+与b k a +8的方向相反，则k=__________.8.（2007理）．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ． 9．（2005全国卷Ⅰ理）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =10.（2007文、理）如图，平面有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA ＝OB ＝1，OC ＝22.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .（四）拓展与探究：11、（2006全国Ⅰ卷理）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
中职数学高二知识点大全
中职数学高二知识点大全一、平面向量1. 向量的概念与特点2. 向量的表示与运算3. 向量的数量积与向量积4. 平面向量的坐标表示二、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义与性质2. 三角函数图像与周期性3. 三角恒等式及其应用4. 三角形的面积与周长5. 解三角形的基本原理与方法三、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的定义与性质2. 二次函数图像与性态分析3. 一元二次方程的求解方法4. 一元二次方程的应用问题四、指数与对数函数1. 指数函数的定义与性质2. 指数函数的图像与性态分析3. 对数函数的定义与性质4. 对数函数的图像与性态分析5. 指数与对数函数的方程与不等式五、立体几何1. 球的性质及公式2. 圆锥与圆台的性质及公式3. 圆柱与圆筒的性质及公式4. 空间直线与平面的位置关系六、概率与统计1. 随机事件与概率的基本概念2. 概率的计算方法及性质3. 随机变量与概率分布4. 统计与统计图表七、函数与导数1. 函数的定义与性质2. 函数的图像与性态分析3. 极限与连续性4. 导数的定义与性质5. 函数的导数与求导法则八、立体几何应用1. 空间中点、距离及比例2. 空间中的平行与垂直3. 空间中的角与面4. 空间曲线与曲面以上是中职数学高二的主要知识点大全，通过系统学习和掌握这些知识，你将能够更好地应对数学学科中的各种问题与挑战。
希望你能够认真对待每一个知识点，不断巩固和提升自己的数学水平。
祝你在学业上取得优异的成绩！。
高二数学选修1-1知识点
高二数学选修1－1知识点
一、方程式：
1、一元一次方程的解法
任意一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解可以用公式x=-b/a来求得；当a=0，则方程不是一元一次方程，此时可以通过代入数值来求解；当a=0，b=0时，方程有无数个解，即x任意取值。
二、平面向量
1、平面向量的加法和减法
平面上两个向量可以相加和相减。
如果向量A＝（x1,y1）、向量B＝（x2,y2），则向量A加B＝（x1＋x2,y1＋y2），向量A减B＝（x1－x2,y1－y2）。
2、夹角的余弦定理
夹角的余弦定理：证明两个向量A＝（x1,y1）、B＝（x2,y2）夹角α满足关系A•Bcosα=|A||B|，即向量的乘积cosα等于两个向量的模的乘积。
三、立体几何
2、平面和直线的表示方法
1）任一点加直线的法线向量的表示方法：若直线L上任一点P（x0,y0），其具有直线L的法向量N＝（a，b），则该直线可以用P（x0，y0）和N（a，b）来表示；
2）点斜式：若该直线上任一点P（x0，y0），则该直线可以写成x－x0/a＝y－y0/b ＝k，称为点斜式；
3）参数方程形式：若直线L上任一点A（at，bt），则这条直线可以用参数方程形式x＝at+r，y＝bt+s的形式表示；
2）用平面方程形式：若平面上任一点A（x1，y1，z1），则平面的方程可以写成
ax+by+cz+d=0。
高二数学平面向量知识点
高二数学平面向量知识点一、向量的表示与运算平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量AB的起点为A，终点为B。
向量的表示可以用坐标形式，也可以用向量符号表示。
1. 向量的坐标表示：设向量AB的起点为A(x₁, y₁)，终点为B(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
2. 向量的向量符号表示：设向量AB的起点为A，终点为B，向量AB的向量符号表示为→AB。
3. 向量的加法与减法：向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点连接起来，然后连接两个向量的终点，所得向量为其和向量。
向量的减法即为加法的逆运算。
二、向量的数量运算向量的数量运算包括向量的数乘和向量的数量积。
1. 向量的数乘：向量的数乘即将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量的大小与实数的乘积，方向与原向量相同（当实数为正数时）或相反（当实数为负数时）。
若向量a = (x, y)，实数k，则向量ka = (kx, ky)。
2. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设向量a = (x₁, y₁)，向量b = (x₂, y₂)，则向量a与b的数量积为a·b = x₁x₂ + y₁y₂。
数量积的性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb) （k为实数）- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c三、向量的模与单位向量向量的模即为向量的大小，用符号|a|表示。
设向量a = (x, y)，则向量a的模为|a| = √(x² + y²)。
单位向量是模等于1的向量。
设向量a = (x, y)，则向量a的单位向量为a/|a| = (x/|a|, y/|a|)。
四、向量的夹角设向量a与向量b的夹角为θ，则有以下公式成立：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)- 若cosθ = 0，则称向量a与向量b垂直。
高二数学知识点总结
高二数学知识点总结高二数学知识点总结1考点一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能利用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
高二数学平面向量的性质及定理
高二数学平面向量的性质及定理平面向量考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离、平移.考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式.平面向量知识要点1.本章知识网络结构?2.向量的概念?(1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：几何表示法;字母表示：a;坐标表示法 a=xi+yj=(x，y).?(3)向量的长度：即向量的大小，记作|a|.?(4)特殊的向量：零向量a=O|a|=O.?单位向量aO为单位向量|aO|=1.? (5)相等的向量：大小相等，方向相同?(x1，y1)=(x2，y2)(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.?3.向量的运算?运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则向量的减法三角形法则,数乘向量1.是一个向量,满足:2.>0时,同向; <0时,异向;=0时,.向量的数是一个数1.时，.2.量积4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理?e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.?(2)两个向量平行的充要条件?a∥ba=λb(b≠0)x1y2-x2y1=O.?(3)两个向量垂直的充要条件?a⊥ba·b=Ox1x2+y1y2=O.?(4)线段的定比分点公式?设点P分有向线段所成的比为λ，即=λ，则?=+(线段的定比分点的向量公式)?(线段定比分点的坐标公式)?当λ=1时，得中点公式：?=(+)或(5)平移公式设点P(x，y)按向量a=(h，k)平移后得到点P′(x′，y′)，则=+a或曲线y=f(x)按向量a=(h，k)平移后所得的曲线的函数解析式为：y-k=f(x-h)(6)正、余弦定理?正弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，?b2=c2+a2-2cacosB，?c2=a2+b2-2abcosC.?(7)三角形面积计算公式：设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr③S△=abc/4R④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=[海伦公式]⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：图1中的I为S△ABC的内心，S△=Pr图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2(b+c-a)ra附：三角形的五个“心”;重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即] 则：①AE==1/2(b+c-a) ②BN==1/2(a+c-b) ③FC==1/2(a+b-c)综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边(如图4).。
平面向量知识点整理
平面向量知识点整理1、概念（1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． （2）单位向量：长度等于1个单位的向量． （3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有零向量)④三点A 、B 、C 共线 AC AB 、共线（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。
a 的相反向量是-a（6）向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. （7）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 222222||,||a x y a a x y =+==+。
） （8）零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____（答：13）；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．baCBAa b C C -=A -AB =B⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 【例题】（1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____ （答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。
高二上数学第三章知识点
高二上数学第三章知识点一、直线的方程直线的方程可以用斜截式、一般式和点斜式表示。
1. 斜截式方程斜截式方程的形式为：y = kx + b，在直线已知截距b和斜率k 的情况下使用。
其中，k代表斜率，b代表与y轴的截距。
2. 一般式方程一般式方程的形式为：Ax + By + C = 0，在直线已知A、B和C的情况下使用。
其中，A、B和C为常数。
3. 点斜式方程点斜式方程的形式为：y - y₁ = k(x - x₁)，在已知直线上的一点(x₁, y₁)和斜率k的情况下使用。
二、平面向量平面向量是一个有大小和方向的量。
1. 向量的表示向量通常使用小写字母加上箭头来表示，例如：→a。
向量还可以使用坐标表示法和行列式表示法。
2. 向量的运算向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘。
- 向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到结果向量。
- 向量的减法：将两个向量的对应分量相减得到结果向量。
- 向量的数乘：将向量的每个分量都乘以一个常数得到结果向量。
- 向量的点乘：将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个数。
3. 向量的性质向量具有多种性质，包括加法交换律、加法结合律、数乘结合律、数量积的交换律和分配律等。
三、平面几何平面几何主要涉及到直线和图形的性质。
1. 直线的性质直线的性质包括垂直、平行和相交等。
- 垂直：两条直线垂直时，它们的斜率的乘积为-1。
- 平行：两条直线平行时，它们的斜率相等。
- 相交：当两条直线不平行且不重合时，它们相交。
2. 圆的性质圆由圆心和半径确定，具有多种性质。
- 圆心角：以圆心为顶点的角度，其角度等于所对弧的一半。
- 弧长：圆的弧长与圆心角度数成正比，弧长等于圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长。
- 正多边形外接圆的半径和内切圆的半径之比约等于1.155。
四、函数与方程函数与方程是数学中的重要概念。
1. 函数的定义函数是一种特殊关系，它将某个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
高二数学下册第二单元知识点：平面向量学习要求
高二数学下册第二单元知识点：平面向量学习要求数学在科学进展和现代生活生产中的应用专门广泛，小编预备了高二数学下册第二单元知识点，具体请看以下内容。
1.平面向量的实际背景及差不多概念(1)了解向量的实际背景.(2)明白得平面向量的概念和两个向量相等的含义.(3)明白得向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)把握向量加法、减法的运算，并明白得其几何意义.(2)把握向量数乘的运算及其几何意义，明白得两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的差不多定理及坐标表示(1)了解平面向量的差不多定理及其意义.(2)把握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)明白得用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1) 明白得平面向量数量积的含义及其物理意义.(2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3) 把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【考纲阐释】我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。
专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
高二数学平面向量知识点总结
高二数学平面向量知识点总结高二数学平面向量知识点总结上学的时候，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。
为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编精心整理的高二数学平面向量知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
1、有向线段的定义线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB 的方向。
像这样，具有方向的线段叫做有向线段。
记作：。
2、有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度。
3、向量的定义：（1）具有大小和方向的量叫做向量。
向量有两个要素：大小和方向。
（2）向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量。
书写时，则用带箭头的小写字母，来表示。
4、向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度（或模），记作||。
5、相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=。
6、相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：—。
7、向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线。
向量平行于向量，记作//。
规定： //。
8、零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：。
零向量的方向是不确定的，是任意的。
由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量。
9、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。
10、向量的加法运算：（1）向量加法的三角形法则1１、向量的减法运算12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系对于任意两个向量，，都有|||—|||||+||。
13、数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作。
向量（）的长度与方向规定为：（1）||=|（2）当0时，与方向相同；当0时，与方向相反。
（3）当=0时，当=时，=。
14、数乘向量的运算律：（1））= （结合律）（2）（+）=+（第一分配律）（3）（+）=+。
高二数学平面向量与空间向量的投影与夹角
高二数学平面向量与空间向量的投影与夹角在高二数学学习中，平面向量与空间向量是必不可少的内容，其中投影与夹角是这两个概念中的重要部分。
接下来，本文将重点讨论平面向量与空间向量的投影与夹角，以帮助同学们更好地理解和应用这一知识点。
一、平面向量的投影与夹角1. 平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
由于向量是具有方向的，因此投影也具有正负之分。
计算平面向量a在平面向量b上的投影的方法如下：设向量a的长度为|a|，向量b的长度为|b|，向量a与向量b的夹角为θ。
则向量a在向量b上的投影长度为|a|cosθ。
2. 平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的夹角，它可以通过内积公式计算得出。
设向量a和向量b分别为AB和AC两条线段的方向向量，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (AB·AC) / (|AB||AC|)，其中AB·AC表示向量AB和向量AC 的内积。
二、空间向量的投影与夹角与平面向量类似，空间向量的投影和夹角也是指一个向量在另一个向量上的投影长度以及两个向量之间的夹角。
1. 空间向量的投影计算空间向量a在空间向量b上的投影的方法与平面向量类似，即投影长度为|a|cosθ。
2. 空间向量的夹角空间向量的夹角可以通过两个向量的点积和模长相除得到：cosθ = (a·b) / (|a||b|)，其中a·b表示向量a和向量b的点积。
三、应用举例现以一个典型的应用举例来加深对平面向量与空间向量的投影与夹角的理解。
例：已知平面向量a = (3, 2) 和平面向量b = (5, -1)，求a在b上的投影长度以及a与b的夹角。
解：首先，计算a在b上的投影长度：|a| = √(3^2 + 2^2) = √13|b| = √(5^2 + (-1)^2) = √26θ = arccos((3*5 + 2*(-1))/(√13 * √26)) ≈ 0.705 弧度因此，a在b上的投影长度为|a|cosθ = √13 * cos(0.705) ≈ 3.61。
成都高二下期数学知识点
成都高二下期数学知识点下面将为你详细介绍成都高二下期的数学知识点。
希望通过这些知识的学习，你能更好地掌握数学的技巧和应用。
一、平面向量1. 平面向量的表示方法：坐标表示法和模长与方向表示法。
2. 平面向量的运算法则：加法、减法、数量乘法和点乘法。
3. 平面向量的性质：平行、垂直、共线、共面等。
二、解析几何1. 空间直角坐标系：直线、平面的方程。
2. 空间几何体的性质：点、直线、平面、球体等的定义和性质。
3. 空间中的位置关系：相交、相切、平行、垂直等。
三、三角函数1. 弧度制和角度制的转换：常见角度的弧度表示。
2. 三角函数的定义和性质：正弦、余弦、正切等的计算和图像表示。
3. 三角函数的基本关系：诱导公式、和差化积、积化和差等的运用。
四、导数与微分1. 函数导数的定义：极限、斜率和切线的概念。
2. 常见函数的导数：多项式函数、指数函数、对数函数等的导数计算。
3. 导数的应用：函数的极值、函数曲线的拐点等。
五、不等式与函数1. 不等式与不等关系的性质：大小关系的推导与应用。
2. 函数的性质与增减性：函数的单调性、极值等的分析与应用。
3. 解不等式和不等式组：绝对值不等式、二次函数不等式等的求解方法。
六、数列和数列极限1. 数列的定义和性质：常数列、等差数列、等比数列等的特征。
2. 数列的运算法则：数列的加法、减法、乘法、除法的性质。
3. 数列极限的概念与计算：数列极限的存在性、计算极限的方法。
七、概率统计1. 随机事件与概率：事件的定义、运算与概率的基本性质。
2. 随机变量与概率分布：离散型随机变量和连续型随机变量的概念和性质。
3. 统计与抽样：样本调查、频率分布、抽样误差等的应用和推断。
这些是成都高二下期的数学知识点。
希望你通过学习，能够熟练掌握这些知识，提升数学学科的理解和应用能力。
祝你学业顺利！。
高二数学平面向量与空间向量的夹角与平行
高二数学平面向量与空间向量的夹角与平行数学中的向量是广泛应用于各个领域的概念，其夹角和平行性是研究向量性质的重要内容。
在高中数学的学习阶段，我们首先学习了平面向量，然后逐渐引入了空间向量。
本文将讨论高二阶段数学中平面向量和空间向量之间夹角的概念和计算方法，以及向量的平行性。
一、平面向量的夹角与平行性在平面上，我们常常遇到两个向量的夹角和平行性的问题。
夹角指的是一个向量与另一个向量之间的角度关系。
平行性则指的是两个向量的方向相同或相反。
1. 夹角的定义与计算两个非零向量A和A在平面上的夹角可以用余弦定理来计算。
假设向量A的模为 |A|，向量A的模为 |A|，两向量的夹角为θ，则有以下公式：A·A = |A||A|cosθ其中，A·A表示向量的数量积或点积。
通过上述公式，我们可以求出两个向量的点积值，由点积值求解出夹角θ。
若两向量的点积为零，则它们垂直；若点积大于零，则它们夹角为锐角；若点积小于零，则它们夹角为钝角。
2. 平行与共线的判定如果两个向量A和A的夹角为0或180度，它们即为平行向量。
要判断两向量是否平行，我们可以计算它们的方向向量，若方向向量相等，则它们平行。
此外，两个非零向量平行的充分必要条件是它们的数量积等于零。
二、空间向量的夹角与平行性当我们进一步学习空间向量时，针对夹角和平行性的概念也需要进行拓展。
1. 夹角的定义与计算对于空间中的两个向量A和A，它们的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·A) / (|A||A|)其中，(A·A) 表示向量的数量积或点积，|A| 和 |A| 分别表示向量的模。
通过该公式，我们可以求出两个向量的点积，从而计算出夹角的值。
同样，若点积为零，则两向量垂直；若点积大于零，则夹角为锐角；若点积小于零，则夹角为钝角。
2. 平行与共线的判定空间中的两个向量A和A，若满足以下条件，则它们平行或共线：a) 两向量的方向向量相等；b) 两向量的数量积等于零。
高二数学平面向量知识点总结
设 P1、P2 是直线 上两个点，点 P 是 上不同于 P1、P2 的任意一
向量加法有如下规律： + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合
点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点 P 分有向线段 所成的比。
律);
当点 P 在线段 上时， 当点 P 在线段 或 的延长线上时，
3.实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。
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高二数学平面向量知识点总结
两个向量共线的充要条件： (1) 向量 b 与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，
使得 b=பைடு நூலகம்.
1.基本概念：
(2) 若 =( ),b=( )则 ‖b .
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、
平面向量基本定理：
数的运算处理几何问题，特殊是处理向量的相关位置关系，正确运用 共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量 的夹角，推断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会 与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是学问 的交汇点。
魏
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相等向量。
若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
2. 加法与减法的代数运算：
的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2.
(1)若 a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则 a b=(x1+x2,y1+y2 ).
4.P 分有向线段 所成的比：
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
分点坐标公式：若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( );则 ( -1)， 中
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⇔ a一．【课标要求】平面向量的概念及运算（1） 平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义， 理解向量的几何表示；（2） 向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3） 平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。
以选择 题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。
此类题难度不大，分值 5~9 分。
预测 2010 年高考： （1） 题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题；（2） 出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。
三．【要点精讲】1. 向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点 a , b , c的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ， a ；坐标表示法 a = xi + y j = (x , y ) 。
向量的大小即向量的模（长度），记作| AB |即向量的大小，记作｜ a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小②零向量长度为 0 的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ⇔ ｜ a ｜＝0。
由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与 0 的区别）③单位向量模为 1 个单位长度的向量，向量 a 为单位向量 ｜ 0｜＝1。
高中数学平面向量知识点总结 高二数学平面向量知识点总结
《高中数学平面向量知识点总结高二数学平面向量知识点总结》摘要：对任两向量都有||||||||+||，向量()长与方向规定()|||，+(分配律)(3)(+)+(二分配律)平面向量是二维平面既有方向又有量物理学叫也称作矢量与相对是只有、没有方向数量高二数学平面向量知识总结我们看看下．有向线段定义线段端始端B终这线段B具有射线B方向像这样具有方向线段叫做有向线段记作有向线段三要素有向线段包含三要素始、方向和长3向量定义()具有和方向量叫做向量向量有两要素和方向()向量表示方法①用两写英母及前头表示有向线段表示向量也称其向量写则用带箭头写母表示向量长（模）如向量那么有向线段长表示向量叫做向量长(或模)记作||5．相等向量如两向量和方向相且长相等则称和相等记作6．相反向量与向量等长且方向相反向量叫做相反向量记作7．向量平行（共线）如两向量方向相或相反则称这两向量平行向量平行也称向量共线向量平行向量记作规定8．零向量长等零向量叫做零向量记作零向量方向是不确定是任由零向量方向特殊性答问题定要看清题目是零向量还是非零向量9．单位向量长等向量叫做单位向量0．向量加法运算()向量加法三角形法则１．向量减法运算、两向量和差模与两向量模和差关系对任两向量都有||||||||+||3．数乘向量定义实数和向量乘积是向量这种运算叫做数乘向量记作向量()长与方向规定()|||()当0与方向相;当0与方向相反(3)当0当．数乘向量运算律()) (结合律)()(+) +(分配律)(3)(+)+(二分配律)5．平行向量基定理如向量则充分必要条件是存唯实数使得如与不共线若则06．非零向量单位向量非零向量单位向量是指与向单位向量通常记作||即()7．线段向量表达式是线段B是平面任则(+)8．平面向量直角坐标运算如()(bb)则+(+b+b);(bb);()9．利用两表示向量如(x)B(x)则(xx)0两向量相等和平行条件若()(bb) 则b且bbb0特别地如b0b0则．向量长公式若()则||．平面上两距离公式若(x)B(x)则||3．公式若(x)B(x)(x)是线段B则x．重心公式△B若(x)B(x)(x33)△B重心G(x)则x５．（)两向量夹角取值围是[0]即0当0与向;当与反向当与垂直记作(3)向量积定义||||其||叫做向量向量方向上正射影数量规定0()积几何义与积几何义是模与方向上正射影数量或模与方向上正射影数量乘积当0900;909006．向量积运算律()交换率()数乘结合律(3)分配律()不满足组合律7．向量积满足乘法公式9．向量积应用编提供数学高二级平面向量知识仔细了吗?祝学们学习进步。
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高二数学平面向量知识点总结
高二数学平面向量知识点总结
上学的时候，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。
为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编精心整理的高二数学平面向量知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
1、有向线段的定义
线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB 的方向。
像这样，具有方向的线段叫做有向线段。
记作：。
2、有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度。
3、向量的定义：（1）具有大小和方向的量叫做向量。
向量有两个要素：大小和方向。
（2）向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量。
书写时，则用带箭头的小写字母，来表示。
4、向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度（或模），记作||。
5、相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=。
6、相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：—。
7、向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线。
向量平行于向量，记作//。
规定： //。
8、零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：。
零向量的方向是不确定的，是任意的。
由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量。
9、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。
10、向量的加法运算：
（1）向量加法的三角形法则
1１、向量的减法运算
12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系
对于任意两个向量，，都有|||—|||||+||。
13、数乘向量的定义：
实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作。
向量（）的长度与方向规定为：（1）||=|
（2）当0时，与方向相同；当0时，与方向相反。
（3）当=0时，当=时，=。
14、数乘向量的运算律：（1））= （结合律）
（2）（+）=+（第一分配律）（3）（+）=+。
（第二分配律）
15、平行向量基本定理
如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=。
如果与不共线，若m=n，则m=n=0。
16、非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的单位向量，通常记作。
=||，即==（，）
17、线段中点的向量表达式
点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=（+）。
18、平面向量的直角坐标运算：如果=（a1，a2），=（b1，b2），则
+=（a1+b1，a2+b2）；—=（a1—b1，a2—b2）；=（a1，a2）。
19、利用两点表示向量：如果A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2—x1，y2—y1）。
20、两向量相等和平行的条件：若=（a1，a2），=（b1，b2），则
=a1=b1且a2=b2。
//a1b2—a2b1=0。
特别地，如果b10，b20，则// =。
21、向量的长度公式：若=（a1，a2），则||=。
22、平面上两点间的`距离公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），则||=。
23、中点公式
若点A（x1，y1），点B（x2，y2），点M（x，y）是线段AB 的中点，则x=，y= 。
24、重心公式
在△ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），A（x3，y3），△ABC的重心为G（x，y），则
x=，y=
2５、（1）两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p。
当=0时，与同向；当=p时，与反向
当= 时，与垂直，记作。
（3）向量的内积定义：=||||cos。
其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量。
规定=0。
（4）内积的几何意义
与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在方向上的正射影数量的乘积
当0，90时，0；=90时，
90时，0。
26、向量内积的运算律：
（1）交换率
（2）数乘结合律
（3）分配律
（4）不满足组合律。