高二数学平面向量知识点梳理
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
高二数学平面向量知识点
高二数学平面向量知识点高二数学平面向量知识点1．有向线段的定义线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB 的方向.像这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：.2.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度.3.向量的定义：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和方向.(2)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量.书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示.4.向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||.5．相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=.6．相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-.7．向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量平行于向量，记作//.规定：//.8．零向量：长度等于零的`向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量.9．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量.10．向量的加法运算：(1)向量加法的三角形法则11．向量的减法运算12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||.13．数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作.向量()的长度与方向规定为：(1)||=|(2)当0时，与方向相同;当0时，与方向相反.(3)当=0时，当=时，=.14．数乘向量的运算律：(1))= (结合律)(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)15．平行向量基本定理如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=.如果与不共线，若m=n，则m=n=0.16．非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的单位向量，通常记作.=||，即==(，)17．线段中点的向量表达式点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=(+).18．平面向量的直角坐标运算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，则+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).19．利用两点表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).20.两向量相等和平行的条件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，则=a1=b1且a2=b2.//a1b2-a2b1=0.特别地，如果b10，b20，则// =.21．向量的长度公式：若=(a1，a2)，则||=.22．平面上两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=.23．中点公式若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x=，y= .24．重心公式在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC的重心为G(x，y)，则x=，y=25．（1)两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p.当=0时，与同向;当=p时，与反向当= 时，与垂直，记作.(3)向量的内积定义：=||||cos.其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0.(4)内积的几何意义与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在方向上的正射影数量的乘积当0，90时，0;=90时，90时，0.26．向量内积的运算律：(1)交换率(2)数乘结合律(3)分配律(4)不满足组合律27．向量内积满足乘法公式29．向量内积的应用：【高二数学平面向量知识点】。
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理平面向量是向量的一种特殊情况，它在平面上进行运算和表示。
平面向量的学习是解决平面几何问题的重要基础，同时也是向量的一个重要应用领域。
下面进行平面向量的知识点梳理:一、平面向量的定义和表示方法1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对(a,b)组成。
其中a称为向量的横坐标，b称为向量的纵坐标。
2. 平面向量的表示方法：平面向量可以用有向线段或点表示。
有向线段的起点和终点表示出向量的方向和大小。
二、平面向量的运算法则1. 平面向量的加法：两个向量的加法是将它们的对应坐标相加。
即(A, B) + (C, D) = (A+C, B+D)。
2. 平面向量的减法：两个向量的减法是将它们的对应坐标相减。
即(A, B) - (C, D) = (A-C, B-D)。
3. 常数与向量的乘法：将一个向量的每个坐标与一个常数相乘。
即k(A, B) = (kA, kB)。
4. 向量的数量积：向量的数量积等于它们的模长相乘再乘以夹角的余弦值。
设两个向量为(A, B)和(C, D)，则数量积为AC+BD cosθ，其中θ为两个向量顺时针夹角。
5. 向量的叉积：向量的叉积是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。
设两个向量为(A, B)和(C, D)，则叉积为AD-BC。
三、平面向量的基本性质1. 平面向量的模长：设向量为(A, B)，则向量的模长为|AB| = √(A² + B²)。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 垂直向量：如果两个向量的数量积等于0，则它们是垂直向量。
4. 向量共线：如果一个向量与另一个向量的数量积为0，则它们共线。
5. 向量的方向角：向量的方向角是与x轴的夹角，它可以根据向量的坐标来计算。
四、平面向量的应用1. 向量的分解：将一个向量分解为两个与坐标轴平行的向量，以方便计算。
2. 向量的平移：通过平移向量的起点和终点，将向量沿着平行线移动。
平面向量知识点归纳总结
平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。
例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。
二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。
设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。
新的线段即为向量A + B。
2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。
设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。
即A - B = A + (-B)。
4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。
任何向量与零向量相加等于该向量本身。
四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。
2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。
3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。
4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。
5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。
6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。
五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。
2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。
3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。
三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。
2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。
3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。
5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。
四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。
2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。
五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。
2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。
六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。
2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
平面向量知识点归纳总结
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。
●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。
2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。
3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。
●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。
4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。
●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。
●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。
5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。
●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。
●点积满足交换律：a ·b = b ·a。
●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。
●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。
●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。
●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。
●共线向量指在同一直线上的向量。
●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。
8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。
●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。
平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。
一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。
2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。
平行向量的模长相等。
3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。
零向量的模长为0。
4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。
二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。
向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。
3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。
4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。
内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。
5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。
外积的结果是一个向量。
三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。
2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。
3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。
5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。
四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。
2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容之一，它涉及到向量运算、平行四边形法则、数量积、向量共线、向量垂直等多个知识点。
本文将对这些知识点进行详细的归纳和总结。
1. 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，在数学上常用一个有向线段来表示。
用字母加上一个箭头来表示向量，例如：AB→表示从点A指向点B的向量。
向量的大小通常用线段的长度来表示，用两个点表示向量的起点和终点。
2. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数乘运算。
2.1 加法运算向量的加法运算满足平行四边形法则，即如果A、B、C是三个向量的顶点，则从A到C的向量等于从A到B的向量加上从B到C的向量。
表示为AC→ = AB→ + BC→。
2.2 数乘运算数乘运算指的是向量与一个实数的乘积。
当实数大于0时，数乘改变向量的大小；当实数小于0时，数乘改变向量的方向。
3. 平面向量的数量积数量积是平面向量比较重要的运算之一，它可以求出两个向量之间的夹角及其它相关性质。
3.1 定义设有两个向量a→和b→，它们的数量积定义为：a→·b→ =|a→|·|b→|·cosθ，其中|a→|和|b→|分别表示向量a→和b→的模长，θ表示向量a→和b→之间的夹角。
3.2 性质数量积具有以下性质：- 若a→·b→=0，则a→和b→垂直；- 若a→·b→>0，则a→和b→夹角为锐角；- 若a→·b→<0，则a→和b→夹角为钝角。
4. 平面向量的共线和垂直性4.1 共线性如果两个非零向量a→和b→平行或反向，则它们共线。
即存在一个实数k，使得a→=k·b→。
4.2 垂直性如果两个向量a→和b→的数量积a→·b→=0，则a→和b→垂直。
5. 平面向量的定位和坐标表示在坐标平面上，可以利用坐标表示向量。
5.1 向量的定位表示将向量终点的坐标减去向量起点的坐标，得到的差就是这个向量的定位表示。
平面向量知识点总结
平面向量知识点总结平面向量是二维空间中的向量，它在数学中有着广泛的应用。
在平面向量的研究中，我们需要了解平面向量的定义、运算法则、坐标表示、线性相关与线性无关、向量的模和方向、向量的投影、平行四边形法则、平面向量的夹角、向量的数量积等内容。
本文将对这些内容进行详细的总结，以帮助读者更好地理解平面向量的相关知识。
1. 定义：平面向量是一个具有大小和方向的量。
它可以用一个有向线段来表示，也可以用它的坐标来表示。
平面向量的定义包括初始点和终点，表示为AB。
2. 运算法则：平面向量有加法和数乘两种运算方式。
向量的加法规则是将两个向量的横纵坐标分别相加，得到一个新的向量。
向量的数乘规则是将向量的横纵坐标分别与给定的实数相乘，得到一个新的向量。
3. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即用其横纵坐标表示向量的位置。
设向量AB的坐标为(a, b)，则向量AB的终点的坐标为(A.x + a, A.y + b)，其中A.x和A.y分别为点A 的横纵坐标。
4. 线性相关与线性无关：若存在一组实数k1, k2, ... , kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则向量组V1, V2, ... , Vn是线性相关的。
否则，向量组V1, V2, ... , Vn是线性无关的。
线性无关的向量组在平面向量的研究中具有重要的作用。
5. 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，即向量的长度。
向量的方向表示向量的朝向，即向量的角度。
向量的模可以用勾股定理计算，即v的模等于√(x^2 + y^2)，其中x 和y分别为向量v的横纵坐标。
6. 向量的投影：向量的投影指的是一个向量在另一个向量上的投影长度。
设向量A在向量B上的投影为P，且向量A 和向量B的夹角为θ，则投影P的长度等于A在B上的模乘以cosθ。
7. 平行四边形法则：平行四边形法则是用来计算两个向量的和的规则。
根据平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。
平面向量知识点总结
平面向量知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学中的基础知识之一。
它在几何、代数、物理等方面有着广泛的应用，因此对平面向量的理解和掌握是非常重要的。
接下来，我将对平面向量的基本概念、性质和运算进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 平面向量的基本概念。
平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y 轴上的投影。
平面向量的模可以表示为|AB|，方向可以用角度或者方向角来表示。
2. 平面向量的性质。
平面向量具有以下性质：平行向量，如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。
相等向量，具有相同大小和方向的向量称为相等向量。
零向量，模为0的向量称为零向量，记作0。
共线向量，如果存在实数k，使得向量a=kb，则称向量a与b共线。
3. 平面向量的运算。
平面向量具有加法、数乘和数量积等运算。
加法，向量a和向量b的和记作a+b，其坐标分别相加。
数乘，实数k与向量a的数乘记作ka，其坐标分别乘以k。
数量积，向量a与向量b的数量积记作a·b，其大小为|a|·|b|·cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。
4. 平面向量的应用。
平面向量在几何、代数和物理等方面有着广泛的应用。
几何，平面向量可以用来表示线段、向量共线、向量共面等几何性质。
代数，平面向量的运算可以用来解决代数方程组、向量方程等问题。
物理，平面向量可以用来表示力、速度、位移等物理量，并且可以进行运算和分解。
总结，平面向量是数学中的重要内容，它具有基本概念、性质和运算，应用广泛。
通过对平面向量的学习，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高数学解决问题的能力。
希望以上内容能够帮助大家更好地理解和掌握平面向量的知识点，欢迎大家在学习过程中多加练习，加深对平面向量的理解和运用。
高二数学平面向量知识点
高二数学平面向量知识点一、向量的表示与运算平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量AB的起点为A，终点为B。
向量的表示可以用坐标形式，也可以用向量符号表示。
1. 向量的坐标表示：设向量AB的起点为A(x₁, y₁)，终点为B(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
2. 向量的向量符号表示：设向量AB的起点为A，终点为B，向量AB的向量符号表示为→AB。
3. 向量的加法与减法：向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点连接起来，然后连接两个向量的终点，所得向量为其和向量。
向量的减法即为加法的逆运算。
二、向量的数量运算向量的数量运算包括向量的数乘和向量的数量积。
1. 向量的数乘：向量的数乘即将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量的大小与实数的乘积，方向与原向量相同（当实数为正数时）或相反（当实数为负数时）。
若向量a = (x, y)，实数k，则向量ka = (kx, ky)。
2. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设向量a = (x₁, y₁)，向量b = (x₂, y₂)，则向量a与b的数量积为a·b = x₁x₂ + y₁y₂。
数量积的性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb) （k为实数）- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c三、向量的模与单位向量向量的模即为向量的大小，用符号|a|表示。
设向量a = (x, y)，则向量a的模为|a| = √(x² + y²)。
单位向量是模等于1的向量。
设向量a = (x, y)，则向量a的单位向量为a/|a| = (x/|a|, y/|a|)。
四、向量的夹角设向量a与向量b的夹角为θ，则有以下公式成立：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)- 若cosθ = 0，则称向量a与向量b垂直。
平面向量知识点总结(精华)
平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
例如，物理学中的力、位移等都是向量。
我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。
字母表示：用小写字母a、b、c等表示。
2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。
模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。
3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。
零向量的方向是任意的。
4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。
对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。
例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。
5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
若向量a与b平行，记作a。
例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。
6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。
平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。
结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。
向量减法的定义：ab=a+(b)。
其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容，也是大学数学中的基础知识，它是向量的一种。
向量是数学中的一个概念，它有方向和大小，用有向线段表示。
平面向量是指在平面中的向量，以下是平面向量的知识点归纳。
一、平面向量的定义平面向量是表示平面上有大小和方向的箭头的数学概念。
平面向量AB用符号→AB表示，它的长度表示向量大小，而方向则由方向角表示。
二、平面向量的加减法1. 平面向量的加法平面向量加法是指将一条平面向量按照另一条向量的方向和大小来平移，并合成为一条新的向量。
记作→AB+→BC=→AC。
向量加法满足交换律、结合律、分配律。
2. 平面向量的减法平面向量减法是将另一向量的方向翻转，依次相加，得到一个新向量。
记作→AB-→AC=→CB。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积是指两个向量之间相乘得到的标量。
记作→a⋅→b=a·b·cosθ，其中a、b是两个向量，θ是它们之间的夹角。
四、平面向量的叉积平面向量的叉积是在二维平面内的两个向量所形成的向量垂直于平面，大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。
记作→a×→b，其中a、b是两个向量。
五、平面向量的共线、垂直及夹角1. 平面向量的共线两个向量共线的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即→a//→b，当且仅当a·b=|a||b|。
2. 平面向量的垂直两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于0，即→a⊥→b当且仅当a·b=0。
3. 平面向量的夹角两个向量的夹角是指它们之间的夹角，记作θ，其中θ的范围是0≤θ≤π。
六、平面向量的投影与单位向量1. 平面向量的投影平面向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，也是向量的一个重要应用。
投影的值等于向量的模与夹角的余弦的乘积。
记作pr→a。
2. 平面向量的单位向量单位向量是模等于1的向量，它表示的方向与原向量相同。
单位向量是向量的一种特殊情况，用符号→e表示。
平面向量知识点整理
平面向量知识点整理平面向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
下面是关于平面向量的知识点整理。
一、平面向量的定义和表示平面向量是指在平面上一个具有大小和方向的量。
平面向量可以表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量通常表示为有序对(a,b)，其中a和b是实数。
二、平面向量的运算1.加法：平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量。
加法运算满足交换律和结合律。
2.数乘：将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量，标量可以是实数。
数乘的结果是将向量的大小和方向进行相应的调整。
3.减法：将一个向量减去另一个向量等于将第二个向量取相反数后与第一个向量相加。
减法运算可以转化为加法运算。
三、平面向量的性质1.平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向量的大小可以不同。
2.零向量：大小为零的向量称为零向量，用0表示。
任何向量与零向量相加的结果仍为原向量本身。
3.负向量：一个向量的大小和方向相同但方向相反的向量称为它的负向量。
4.共线向量：两个或更多个向量都平行于同一条直线时，它们是共线向量。
5.非共线向量：不在同一直线上的向量是非共线向量。
6. 数量积：两个非零向量a和b的数量积（也称为点积或内积）是一个标量，定义为a·b= ，a，，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
7. 向量积：两个非零向量a和b的向量积（也称为叉积或外积）是一个向量，定义为 a × b = ，a，，b，sinθ n，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角，n为一个与a和b都垂直的单位向量。
8.向量共线条件：两个向量共线的充要条件是它们的向量积等于零向量。
四、平面向量的应用1.几何问题：平面向量可以用于解决距离、角度等几何问题，如计算点的坐标、计算直线的夹角等。
2.物理问题：平面向量常用于物理学中的力学问题，如计算物体的合力、分解力等。
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。
2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。
（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。
（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。
2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。
3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。
4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。
（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。
2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。
平面向量知识点整理
平面向量知识点整理1、概念（1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． （2）单位向量：长度等于1个单位的向量． （3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有零向量)④三点A 、B 、C 共线 AC AB 、共线（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。
a 的相反向量是-a（6）向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. （7）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 222222||,||a x y a a x y =+==+。
） （8）零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____（答：13）；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．baCBAa b C C -=A -AB =B⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 【例题】（1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____ （答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。
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高二数学平面向量知识点梳理平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中叫也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
小编准备了高二数学平面向量知识点，具体请看以下内容。
平面向量
1.基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2. 加法与减法的代数运算：
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律：+ = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
3.实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
(1)| |=| |
(2) 当a0时，与a的方向相同;当a0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0.
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .
(2) 若=( ),b=( )则‖b .
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得= e1+ e2.
4.P分有向线段所成的比：
设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使= ，叫做点P分有向线段所成的比。
当点P在线段上时，当点P在线段或的延长线上时，分点坐标公式：若= ; 的坐标分别为( ),( ),( );则( -1)，中点坐标公式：.
5. 向量的数量积：
(1).向量的夹角：
已知两个非零向量与b，作= , =b,则AOB= ( )叫做向量与b的夹角。
(2).两个向量的数量积：
已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则b=| ||b|cos . 其中|b|cos 称为向量b在方向上的投影.
(3).向量的数量积的性质：
若=( ),b=( )则e = e=| |cos (e为单位向量);
b b=0 ( ，b为非零向量);| |= ;
cos = = .
(4) .向量的数量积的运算律：
b=b( )b= ( b)= ( b);( +b)c= c+bc.
6.主要思想与方法：
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且
会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。
由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
高二数学平面向量知识点介绍到这里就结束了，希望对你有所帮助。
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名
家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效
甚微,没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强
语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作
中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。