电磁学第一章习题

不一定。例：等势面上 U 相等，同一 E 线上的
不同点，U 不等。。
⑦ E 相等的场中， U 是否相等？
相等
2 计算
E, U , (F , ,W , A)
（1） E
————
1 E
4 0
dq
r2
rˆ
S
E dS
qi
0
E U
（2）U —— 叠加原理-积分求和：
（a）已知 q 分布——（U∞=0） U
4、dq 2 r dl 2 R sin Rd
r Rdr
R
dq Rd Rsin d
R O
R O
5、 dq 4r 2dr
或：
dq r 2 sin dr d d
例1：求半径为 R 的均匀带电Q半圆形细环
圆心处的场强。
dl
解：建坐标系如图，取微元
d q Rd
R
d
x
由对称性，Ex=0, 而
L
这表明静电力是
保守力
，
也表明 静电场中的电力线 不可能闭合 。
10、有一带电球壳，内、外半径分别为 a 和 b ，
电荷体密度 ρ=A/r ，在球心处有一点电荷 Q ，证 明当 A = Q/(2πa2) 时，球壳区域内的场强 E
的大小与 r 无关。
证：由高斯定理，有
E
1
4 0r 2
Q
r
a
A 4
r
r
p
p0
(b)U p E dl .
p
b
(d )Aab q E dl q U ab .
a
① 如图，
A
B
C
E
若将 q0 >0 放在 B 点，它向何方运动？ 向 C
…… q0 <0 ………… ，………………？向 A
是否恒向电势能低处运动？
是
②如上题图
ABC
E
(a)若将正电荷从 A 移向 C ，电场力作功正负？ 正
R
R
O O
a
r
P
解：（补缺法）设想不带
电的空腔内补上密度相同 的正、负电荷。原场等效 于补后的完整球体正电荷 与空腔球体负电荷的叠加。
R
r
R
r
O O P
a
建坐标系如图，设两球体在P点
产生的场强分别为 E1 和 E2 ，由
高斯定理，有：
E E1 E2
4 R3
3
4 0r 2
rˆ
4 R3
模拟考试题
1 基本概念重点：
（1）电场力 F 与场强 E 的矢量性
例：①距点电荷 Q的半径为 R 的球面上各点 Ei
是否相同？[ 否 ]
②均匀带电球体中哪一点
E0？
[ 球心 ]
③均匀带电球面场中
E0
的区域在哪？
④相距 l 的等量同号点电荷 场中何处 E
[ 0
球内
？[
l 2
]
]
⑤ ………………异……………………………？
dq r
③ 场强与电势的关系
积
分
关系：U
P
P0
E
d
l
P
(U p0 0)
微分关系：E grad U U
④ 电通量
de
E
dS
e
S
E E
d d
S（ S
非闭合面） (闭合面)
S
二、基本规律：
① 库仑定律：
F
1
4 0
q1q2
r
r2
② 电荷守恒定律：
③ 静电场力、场强、电势叠加原理：
很大？ 不一定， 因与 q 有关。
(3) 高斯面的选取
① 闭 S 内的∑qi = 0 , S 上任一点的 E 是否一定 为 0 ？为何？不一定。因（1）面外有 q 产生 E ，
或（2）面内 qi 不均匀。 ② 闭 S 上处处 Ei = 0 , 则 S 内∑qi 是否一定为 0 ？ ③ 某气球表面均匀带电，在其吹胀过程中，一定。
E E x
/ 2 cos d / 2 2 2 0 R
2 0 R
dq
R d
O
dEx
x
y
3、一个锥顶角为θ ，侧面均匀带电（面电荷密度 为σ）的圆台，上下底面半径分别为 R1 和 R2 ，求 顶点O处的电势（选无穷远处为电势零点）。
解：取微分元如图， dq 2r dl
O
由图知：
l
r
/ sin
,
dl
dr
/
s
in
2
2
所以：
Uo
dq
4 0l
2r dr / sin
2
4
0
r
/
sin
2
R2
2 0
dr
R1
2 0
( R2
R1 ) .
2l R1
r dl
R2
4、真空中有一半径为R的圆平面，在通过圆心 O
与平面垂直的轴线上一点 P处，有一电量为q 的点
电荷， OP 距离为 h ，求 通过圆平面的电通量Φ。
A）无限长均匀带电直线。
E
E1 r
B) 无限长均匀带电圆柱体（半径为 R).
C) 无限长均匀带电圆柱面（半径为 R). o R
r
D) 有限长均匀带电圆柱面（半径为 R).
E 0 (r R)
R
E 2 rl l (r R)
r
0
l
1
E
.(r R).
2 0r r
7、带电量分别为q1和q2的两个点电荷
[ 不存在 ]
（2）试探电荷及电场力作功问题 ①非试探电荷 q( >q0>0 ) , 在正电荷 Q 场中，实测 受力大小 f , 则 f/q 是 大于、小于、等于 E？小于
例 （如图）
b
② Aab q E dl (q q0 ) 的物理意义是什么？
a
③电荷在电场中某点受力很大，此点 E 是否一定
x
无限长带电直线在空间产生的
场强：
E
2 0 r
则对于微分元 dl ，有 dE y
d dl R
dE
dq
R d
O
dEx
x
y
dE d dl Rd d 2 0 R 2 2 0 R 2 2 2 0 R 2 2 2 0 R
dE x
dE cos
cos 2 2 0 R
d
所以： dE y
dE
p
p
p1
pn1
b
(3) U ab U a U b E dl
a
(4) Wa q U a
(5) Aab q U ab
★★ 连续体积分问题的微分元取法
1、dq dx
dx
ox
Px
d
y
2、d q d l R d
dl
R
d
x
3、 dq 2 r dr
dq rd dr
dr
r RR
要求 ,作B 图示的高斯面 ,由S高2 斯定理,有:
场力作功为
( A) Qq .
8 0
[
Qq
(B)
.
2 0r
D]
(C ) Qq .
4 0r
(D) 0.
Ua
Ub
1
4 0
Q r
Q
q
•
brOra
Aab qU ab 0
6. 图示一轴对称性静电场的 E~r 关系曲线， E 表示电
场强度大小， r 表示离对称轴的距离。试指出该电场是
由哪种带电体产生的。 [ C ]
3
4 0 (r a)2
rˆ
3 0
R3 r2
R3 (r a)2
rˆ
12、如图两个半径均为R 的非导体球壳，表
面上均匀带电量分别为 +Q 和 -Q, 两球心距
离d >> 2R, 求两球心之间电势差。
解：d >> 2R表明
Q
Q
二球互不感应。
d
U12 U1 U 2
Q
4 0d
Q
4 0
R
Q
4 0
d
Q
E
F
q0
点电荷:
E
1
q
r
4 0 r 2
点电荷系: (1)离散：E＝
1
4 0
i
qi ri 2
ri
(2)连续：E
1
4 0
dq r2
r
② 电势
U P
WP q0
P0
E
d
l
P
(U p0 0)
点 电 荷U 1 q
4 0 r
离 散 系U＝ 1
qi
4 0 i ri
连 续 系U
1
4 0
q
0
a
由对称性知,所求的
e1
1 6
e
q
6 0
O
aq
2
A
思考：若点电荷 q 位于立方体的 A 角上，则通过
立方体各个面上的电通量是多少？
q
24 0
10-17解: 要求 ,作A图示的高斯面 ,由高S1斯定理,有:
S
E
dS
E0
S
3
故有:
E0 S
2 3
E0 S
A
2 3
0
E0
AS 0
A
S1
B
S2
（b）已知 E 分布——
1
4 0
dq r
电荷有限分布时 U p E dl (U 0);
p
p0
电荷无限分布时 U p E dl (U p0 0).
p
注意（1）积分关键——选 dq .
（2）E分 布 区 域 不 同 时 ， 分 段积 分 ：
p0 p1 p2
p0
U p E dl E1 dl E2 dl En dl
下列各点的 E 如何变？（a) 始终在球内的点；
(b) 始终在球外的点；（c)被球面掠过的点。 （a) 为 0 ，不变；（b) 不变 E ；（c) 先 E , 后 0 。
④、判断并说明下列说法是否正确。
①若高斯面内无净电荷，则高斯面上 E 处处为零。 不对，高斯面上的E 与面内外整个场中的电荷都有关。 ②若高斯面上 E 处处为零，则该 面内必无电荷。 不对；只能说面内无净电荷，但可能有等量异号电荷。 ③若高斯面上 E 处处不为零，则该面内 必有净电荷。
dE
y
dEy
d E cos
dq
4 0 R 2
cos
所以
E
Ey
2
/ 2 cos 0 4 0 R
d
2 4 0 R
2
Q
2 0 R2
2、求单位长带电量为λ、半径为 R 的均匀带 z
电无限长半圆柱面轴线上一点的场强
y
解:建立坐标系如图，取沿轴线方向
一宽为 dl 的无限长细条为微元,
由对称性知 ： E y 0, E z 0
2dr
1
4 0r 2
Q
4A (r 2
2
a2)
a
Q•
b
将A
Q
2a 2Biblioteka 代入，得EQ
4 0a2
,
与
r
无关.
11、半径为 R，电荷体密度为ρ 的均匀带电球体内，
有一个不带电的球形空腔，空腔半径为 R’ ，其中心 O’ 到球心O 的距离为 a，如图，
求 OO’ 的延长线上距球心O 为 r 的一点 P 处的场强。
④高斯定理：
S
E
d
S
1
0
q
S内
有源场
⑤静电场环路定理：
E d l 0 无旋保守场
L
三、主要的计算类型
① 场强的计算 叠加原理——积分； 高斯定理； 场强与电势的微分关系。
② 电势的计算： 已知电荷分布； (叠加—积分） 已知场强分布：（定义—积分；注意零点选取）
③ 电通量的计算： （叠加——积分）
4 0 R
2Q 1 1 Q d R .
4 0 R d 2 0 Rd
13、有一边长为 a 的正方形平面，在其中心垂线
上距离中心点O为 a / 2 处，有一电量为q 的点电
荷，如图。求通过该平面的电通量。 a
解: 作一以q为中心边长为a的立方
体,以其表面为高斯面,由高斯定理
知:
S
E
dS
单独在空间各点产生的静电场强
分
别
为E1和E
2
,
在空间各点总场强
为E E1 E2 .现在作一封闭曲面S，
如图所示，则以下两式可分别求出
通过S的 电通
E 1
ds
量
q1
/
E ds (q1
0 q2
)
/
0
S
q1
q2
8、描述静电场性质的两个基本物理量是：
电场强度和电势
它们的定义式是：
E F / q0 和
电势能增减？ 减 哪点电势高？ A (b)若反向从 C 移向 A 呢 ？
(c)若将负电荷重复上述过程呢？ ③将一点电荷 q 放在电场中 U=0 的点，其电势能
W=？ 0
④
U不变的三维空间内，
E
是否为 0 ？
是
⑤ U为 0 处，E 是否一定为 0 ?
E………，U ………………？
⑥ E 相等的场中，各点 U 是否相等？
解：（方法 1——积分）
取面积微元如图，
dS
r
d
d
qP
E dS E dS cos
h
1
4 0
(r 2
q r d
h2 )
dr
h r 2 h2
R
O
r
dr
q h R
dr
2
d
4 0 0 (r 2 h2 )3 / 2 0
q
2 0
1
h R 2 h2
dS E
（方法 2——高斯定理）取如图高斯球面， 球冠面积与整个球面积之比为：
b
Ua W / q0 E dl (Ub 0)
a
3、图中所示为静电场的等势（位）线图，已知
U1>U2>U3 . 在图上画出 a、b 两点的电场强度方
向，并比较它们的大小. Ea
Eb （填<、=、>）.
U1 U2 U3
b
a
Eb
Ea
9、在静电场中，场强沿任意闭合路径的线
积分等于零，即 E dl 0 .
S S
2
r (r
4 r 2
h)
1 2
1
h r
1 2
1
h R 2 h2
由高斯定理，有
S q S S 0 S
q
2 0
1
h R2
h2
.
qP
rh
RO
5、真空中，有一电量为 Q 的点电荷，在与它相距
为 r 的 a 点处，有一试探电荷 q . 现在使试探电荷 q
从 a 点沿半圆弧轨道运动到 b 点，如图所示。则电
不对；面上各点E 非零 ，但整个积分通量可能为零。
④若高斯面内有净电荷，则高斯面上 E 处处不为零。 不对；E 是由面内外的电荷共同产生的。
⑤通过高斯面 S 的总电通量仅仅与 S 面内所包围的电荷有关。 正确。
（4）