数据结构PPT第6章树和二叉树

安
徽 理
树的逻辑结构特点
工
大 学 1. 树中只有根结点没有前趋；
2. 除根外，其余结点都有且仅一个前趋；
3. 树的结点，可以有零个或多个后继；
4. 除根外的其它结点，都存在唯一条从
A
根到该结点的路径； 5. 树是一种分支结构。
B
C
D
E
FG H I J
KL
M
安
徽 理
树的应用
工
大 学
▪ 树可表示具有分支结构关系的对象
结论3知，x的右孩子应为2x+1，即2x+1=i，x=(i-1)/2。
故 i的双亲为└i/2┘ 证毕。
安
徽 理
6.2.3 二叉树的存储结构
工
大 学
❖ 顺序存储结构
所谓顺序存储结构，就是用一组连续的存储单元存储二
叉树的数据元素，结点在这个序列中的相互位置能反映出
结点之间的逻辑关系。 二叉树中结点之间的关系就是双亲
例1. 家族族谱
设某家庭有13个成员A、B、C、D、E、F、G、H、I、J
、K、L、M，他们之间的关系可如图所示的树表示。
例2. 单位行政机构的组织关系
A
B
C
D
E
FG H I J
KL
M
安
徽 理
树的应用
工
大 学
▪ 树是常用的数据组织形式
有些应用中数据元素之间并不存在分支结构关系，但是为
了便于管理和使用数据，将它们用树的形式来组织。
A
B
C
D
Ø
E
F
G H ØØØØI J
例如对于B结点而言： bt[2]的双亲为└1/2┘=1，即在bt[1]中 (为A)； 其左孩子在bt[2i]=bt[4]中(为D)； 其右孩子在bt[2i+1]=bt[5]中(为Ø )。
安
徽 理
顺序存储的优缺点
工
大 学
这种存储结构适合于完全二叉树，既不浪费存储空间，
树的最大层次为 l 或 l ＋1。
安
徽 理
两种特殊的二叉树
工 大
1
学
2
3
满
二
4
5
6
7
叉
树
8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
5
6
74
5
4
5
6
8 9 10 11 12
完全二叉树
67
非完全二叉树
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质 4 ：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1。
例3. 计算机ow文件系统，所有的文件
是用树的形式来组织的。
C
文件夹1 文件夹2 文件1 文件2
文件夹11 文件夹11 文件11 文件12
安
徽 理
基本术语
工
大 树的结点：包含一个数据元素的
学 内容及若干指向子树的分支。
A
B
C
D
孩子结点：结点的子树的根称为
证明：设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数
为：
n＝n0＋n1＋n2
二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都有一个
进入分支，设B为二叉树中的分支总数， 则有：n＝B＋1。
由于这些分支都是由度为1和2的结点射出的，所以有：
B＝n1+2 × n2 ; n＝B＋1＝n1＋2×n2＋1 得到：n0＝n2＋1
证明：由性质1可见，深度为k的二叉树的最大结点数为
k
(第i层上的最大结点数）
i 1
＝ k 2 i 1 ＝20 + 21 + … + 2 k-1 = 2 k-1 i1
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质3 对任何一棵二叉树T，如果其叶结点数为 n0，度为2
的结点数为 n2，则n0＝n2＋1。
点2i＋1。
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 证明：此性质可采用数学归纳法证明。因为1与2、3是相对应的， 学 所以只需证明2和3。
当 i=1时 ，根据结点编号方法可知，根的左、右孩子编号分
别是2和3，结论成立。 假定i-1时结论成立，即结点i-1的左右孩子
编号满足：
LCHILD(i-1)=2(i-1)； RCHILD(i-1)=2(i-1)+1
安
徽 理
6.1 树的定义和基本术语
工
大 学
❖ 什么是树？树是由 n (n ≥ 0) 个结点的有限集合。如果 n
= 0，称为空树；如果 n > 0，则
▪ 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直接后继，但
没有直接前驱；
▪ 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不相交的有限
}BiTNode,*BiTree;
安
徽 理
二叉链表
工
大
学
lchild data rchild
结点结构
T
A
A
B D
C E
B^ ^D
C^ ^E ^
F
^F ^
安
徽 理
三叉链表
工
大
lchild data parent rchild
E
该结点的孩子；如E是B的孩子。
FG H I J
双亲结点：B结点是A结点的孩子， K L
M
则A结点是B结点的双亲；如B是E的双亲。
兄弟结点：同一双亲的孩子结点；如H、I、J互为兄弟。
堂兄结点：同一层上结点；如G与E、F、H、I、J互为堂兄。
祖先结点：结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点； 如
安
徽 理
两种特殊的二叉树
工
大 学
满二叉树：深度为k的二叉树，有2k-1个结点则称为满二叉
树；
完全二叉树：如果深度为k、由n个结点的二叉树中个结点
能够与深度为k的顺序编号的满二叉树从1到n标号的结点相
对应，则称为完全二叉树。
完全二叉树的特点是：
1. 所有的叶结点都出现在第k层或k－1层。
2. 对任一结点，如果其右子树的最大层次为l ，则其左子
结点与左右孩子结点间的关系。因此，必须把二叉树的所
有结点安排成为一个恰当的序列。具体定义如下：
#define MAX-TREE-SIZE 100
TElemType SqBiTree[MAX-TREE-SIZE];
安
徽 理
二叉树的顺序存储结构
工
大 学
通常是按照二叉树结点从上至下、从左到右的顺序存储，
通过完全二叉树可知，结点 i 或者与结点i-1同层且紧靠其右，
或者结点i-1在某层最右端，而结点i在其下一层最左端。但是，无
论如何，结点i的左孩子的编号都是紧接着结点i-1的右孩子的编号，
故： LCHILD(i)=RCHILD(i-1)+1=2i；
RCHILD(i)=LCHILD(i)+1=2i+1
集 T1, T2 ,…, Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树 (SubTree)。
安
徽 理
树的示例
A
工
B
C
D
大
学
E
FG H I J
KL
M
T = { A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M} A是根，其余结点可以划分为3个互不相交的集合： T1= { B，E，F，K，L } T2 ={ C，G } T3 ={ D，H，I，J，M } 这些集合中的每一集合都本身又是一棵树，它们是A的子树。 对于T1，B是根，其余结点可以划分为2个互不相交的集合： T11 ={ E，K，L } T12 ={ F } T11，T12是B的子树。
工
大 ❖ 线性结构 学 ▪ 第一个数据元素 （无前驱）；
▪ 最后一个数据元素（无后继）；
▪ 其它数据元素（一个前驱、一个后继）。
❖ 树型结构
▪ 根结点（无前驱）；
▪ 多个叶子结点 （无后继）；
▪ 其它数据元素（一个前驱、多个后继）。
安
徽 理
6.2 二叉树
工
大 学
6.2.1 二叉树的定义
或为空树，或由根及至多两棵互不相交的左子树、右子
i …... 2i-2 2i-1
…...
2i 2i+1 …...
i与i+1同层
i与i+1不同层
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
最后证明结论1。
当i=1时，显然根结点无双亲；当i＞1时，结点i可能是
其双亲x的左孩子，也可能是右孩子，若是左孩子，由结论
2知，x的左孩子应为2x，即2x=i，x=i/2；若是右孩子，由
但这样结点在存储位置上的前驱后继关系并不一定就是它们
在逻辑上的邻接关系。依据二叉树的性质，完全二叉树和满
二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地
反映出结点之间的逻辑关系，这样既能够最大可能地节省存
储空间，又可以利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中
的位置，以及结点之间的关系。
安
徽 理
完全二叉树的顺序表示
编号(从第1层到第 log2n +1层，每层从左到右)，则对任
一结点i(1 ≤ i ≤ n)，有：
1. 如果i＝1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1，
则其双亲是结点 i/2 。 2. 如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其
左孩子是结点2i。
3. 如果2i＋1>n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结
树构成(即不存在度大于2的结点)，并且左、右子树本身也
是二叉树。 说明： 1. 二叉树中每个结点最多有两棵子 树，二叉树每个结点度小于等于2；
A
B
D
E
C F
2. 左、右子树不能颠倒——有序树；
G
3. 二叉树是递归结构，在二叉树的定
义中又用到了二叉树的概念。
安
徽 理
二叉树的形态
工
大
学
φ
L
(a)
(b)
KL
M
分支结点：度不为0的结点；如A、B、C、D
结点层次：根结点的层定义为1，根的孩子为第二层结点，依此
类推。
树的高度：树中结点的最大层次；如图所示树的高度为4。
树的度： 树中各结点的度的最大值；如图所示树的度为3。
森林：m(m>=0)棵互不相交的树的集合；
安
徽 理
树型结构和线性结构的结构特点对比
命题成立。
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 分析：根据完全二叉树的结构和编号规则，在i的左孩子前面的 学
两个结点是结点i-1的左、右孩子，由归纳假设有：结点i-1的左
孩子为2(i-1)，右孩子为2(i-1)+1。
…...
…...
…... i-1
i …...
…... i-1
2(i-1) 2(i-1)+1 2i 2i+1
安
徽 理
一般二叉树的顺序表示
工
大 一般二叉树也按完全二叉树形式存储，只有增添一些并不存 学 在的空结点(用Ø表示，Ø 表示该处没有元素存在，仅仅为了好理
解)，使之成为一棵完全二叉树的形式，然后再用一维数组顺序
存储。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ABCDØE F GHØØØØ I J
(c)
L
R
R
(d)
(e)
(a) 空树
(b) 只含根结点
(d) 左右子树均不为空树
(c) 右子树为空树 (e) 左子树为空树
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质1 在二叉树的第 i 层上至多有 2i - 1个结点。(i ≥ 1)
[证明用归纳法]
证明：当i=1时，只有根结点，2 i-1=2 0=1。
证明：设完全二叉树的深度为 k，则根据性质2和完全二叉
树的定义有
2k-1 - 1 < n ≤ 2k- 1或 2k-1 ≤ n < 2k
取对数 k-1 < log2n ≤ k，又k是整数， 因此有 k = log2n ＋1
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质5： 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序
来指示着元素的逻辑关系。通常采用二叉链表来存储。
链表中每个结点由三个域组成，除了数据域外，还有
两个指针域，分别用来给出该结点左右孩子所在的结点的
存储地址。其定义如下：
typedef struct BiTNode{
TElemType data;
struct BiTNode *lchild, *rchild;
H的祖先为A、D。
子孙结点：以某结点为根的子树中的任一结点称为该结点的子孙；
如A的子孙为B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M。
安
徽 理
基本术语
工
大 结点的度：结点子树的个数； 学 如D的度为3。
叶子结点：也叫终端结点，是
A
B
C
D
E
FG H I J
度为0的结点；如K、L、F、G 、M、I、J。
工
大
如何反映结点之
学
间的逻辑关系？
A
B
C
DE
F
G
例如：
H I JK L
bt[3]的双亲为└3/2┘=1，即在
bt[1]中；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 其左孩子在bt[2i]=bt[6]中； A B C D E F G H I J K L 其右孩子在bt[2i+1]=bt[7]中。
又能很快确定结点的存放位置、以及结点的双亲和左右孩
子的存放位置，但对一般二叉树，可能造成存储空间的浪
费。
例如，深度为k，且只有k个结
1
点的右单支树(每个非叶结点只
2
有右孩子)，也需2k-1个单元，
即有(2k-1)- k个单元被浪费。
k
安
徽 理
链式存储结构
工
大 学
❖ 所谓链式存储是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链
假设对所有j， 1≤j﹤i，命题成立，即第j层上至多有2 j-1 个
结点。
由归纳假设第i-1 层上至多有 2i -2个结点。
由于二叉树的每个结点的度至多为2，故在第i层上的最大结
点数为第i-1层上的最大结点数的2倍，即2×2i -2= 2 i-1。
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质2 深度为 k 的二叉树至多有 2 k-1个结点(k ≥1)。