第22讲+转动惯量

rL2 (x2 y2 z2 ) (x cos y cos z cos )2 考虑到 cos2 cos2 cos2 1 ，有 rL2 (x2 y2 z2 )(cos2 cos2 cos2 ) (x cos y cos z cos )2
rz
A
O
z
x
rz
y
x
y
图2
§1 转动惯量的概念
4.极转动惯量(对极坐标原点的转动惯量)
对于平面薄板，使平板表面重合于坐标平面Oxy（如图3），
如果薄板内各点的坐标 z 可以忽略，则式简写成
J x my2
z
此时有
J y mx2
Jz m(x2 y2 )
Jz Jx Jy
图7
d
A
C
O' O
z
y′
x
y
y x′ x
J z JCz md 2
因而yC′=0。于是得关系式 转动惯量的平行轴定理: 刚体对任一轴的转动惯量，等于它对该轴相平行
且通过质心的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两个轴之间距离平方的乘积。
§3 转动惯量的平行轴定理
例题 4
1. 已知杆长l，质量是m。求通过杆端A并与轴z平行的轴z1的转动惯量。
m(x2 y2)cos2 2 myz cos cos 2mzx cos cos 2mxy cos cos
（a）
课外阅读 §4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
J mrL2 m( y2 z2 ) cos2 m(z2 x2 ) cos2
O
l
C1
A
r
R C
图 11
§3 转动惯量的平行轴定理
思考题 2 匀质曲杆OAB如图12所示 。已知质量是m，求曲杆对 通过杆端O并与曲杆面垂直的轴 O z 的转动惯量。
解： J z JOA J AB
J
OA

1

3
(
m a
b
a)a
2

J
AB

1 12

(
a
m
b
b)

b2

( y2 z2 )cos2 (z2 x2 )cos2 (x2 y2 )cos2
2 yz cos cos 2zx cos cos 2xy cos cos
于是，刚体对轴OL的转动惯量是
J mrL2 m( y2 z2) cos2 m(z2 x2 ) cos2
y
O
rA x
y
x
图3
薄板对与板面垂直的轴的转动惯量，称为薄板的极转动惯量。上式 指出，薄平板的极转动惯量，等于薄板对板面内与极轴z共点并相互正 交的任意两轴的转动惯量之和。
转动惯量
§2 简单形状匀质刚体 的转动惯量
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
下面举例说明一些简单形状匀质刚体的转动惯量的积分计算方法。
解： J z1 JCz md 2
J z1

1 12
ml2
m( l )2 2

1 ml2 3
z1
z
A
l/2
C
l
图8
2. 已知半径r，质量是m。求通过点A并与质心轴z平行的轴z1的转动惯量。
解：
J z1

1 2
mr2

mr2

3 2
mr2
z1
z
A
C
图9
§3 转动惯量的平行轴定理
例题 5 冲击摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆盘组成（如图
)2

JR

1 2

(
π(
m2 R2
r2)
πR2)
R2

(
π(
m2 R2
r2)
πR2)(R

l)2
Jr

1 2

(
π(
m2 R2
r2)
πr2 )
r2

(
π(
m2 R2
r2)
πr2 )(R

l)2
Jz

1 3
m1l
2

m2
[(
1 2
(
R
2
r2 ) （r
l）2 ]
转动惯量
§3 转动惯量的平行轴定理
§3 转动惯量的平行轴定理
设刚体的质量为m，对轴 z′的转动惯量是 J。z 轴z与轴z′相平行且相
距d。求此刚体对轴z的转动惯量。取坐标系如图所示，令 OO ，d轴y与
y′轴重合。 设刚体内任一质点A的质量是mi，则:
z′ z
Jz mi (x2 y2) mi x2 ( y d )2
（a）
(1)
课外阅读
§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
J mrL2 m( y2 z2 ) cos2 m(z2 x2 ) cos2
m(x2 y2)cos2 2 myz cos cos
（a）
2mzx cos cos 2mxy cos cos
注:当谈到刚体的转动惯量时，应指出 它是对哪个轴来说的。
● 转轴的位置。
在国际单位制中，转动惯量的常用单位 是kg·m2 。
§1 转动惯量的概念
2.回转半径
刚体对于某轴z的转动惯量与其质量m之比值的平方根为一 个当量长度，称为刚体对于该轴的回转半径。因此，有关系式
z
Jz , m
Jz

m
2 z
(
mb ab
)(a2

b2 4
)
O
a
C
B
A
b
图 12
§3 转动惯量的平行轴定理
例题6 求半径为r、高度是l、质量是m的匀质正圆柱对平行于
底面的质心轴Cx的转动惯量 （如图13）。
解： 取圆柱上由两个平行底面的截面所截出的薄圆盘作为单元体。
此薄圆盘对于轴x的转动惯量等于
z
d
Jx

r2
d 4
m

dm
2、理解刚体的平移轴定理推导，以及平移轴定理的应用。
3、了解刚体对任意轴的转动惯量、惯性积和惯性主轴。
重点：转动惯量的计算 难点：转轴公式 学时安排：2
转动惯量
§1 转动惯量的概念
转动惯量的概念 回转半径 转动惯量的一般表达式 极转动惯量
§1 转动惯量的概念
1.转动惯量的概念
刚体的转动惯量是刚体在转动时惯性的度量，衡量
2 l
1 ml2 12
2
z
l/2
x dx
C x
l
图4
Jz

1 12
ml2
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
例题2 已知匀质矩形薄平板的质量是m，边长为a和b（如图5），求 这薄板对垂直板面中心 C 的轴z转动惯量。
解： 由图可见，矩形板在y方向的尺寸a不影响Jy，故可利用上例的结果。
z2
其中薄圆盘的质量
dm m dz l
整个圆柱体对于轴x的转动惯量是
dz
C
z
y x
图 13
J x
(v) d J x
l
2 l
2
(
r2 4

z2)
m l
d
z

1 4
mr2

1 12
ml2
同理可以求得
Jy

Jz

1 4
mr2
1 12
ml 2
课外阅读
转动惯量
§4 刚体对任意轴的转动惯量 ·惯性积和惯性主轴
m(x2 y2)cos2 2 myz cos cos
2mzx cos cos 2mxy cos cos
式中：
J x m( y2 z2)
J y m(z2 x2)
Jz m(x2 y2)
分别是刚体对轴 x，y 和 z 的转动惯量。
O
l
C1
A r
C2
图 10
§3 转动惯量的平行轴定理
思考题 1 钟摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆环组成（如图
11） 。已知杆长l，质量是m1；环质量是m2。求摆对通过杆端O并与 圆环面垂直的轴 Oz 的转动惯量。
解： J z J1 JR Jr
J1

1 12
m1l 2

m1(
l 2
故得刚体对轴z的转动惯量的计算式
z
J z mrz2 m(x2 y2 )
同理，可得刚体对轴x和轴y的转动惯 量计算式.即
J x mrx2 m( y2 z2 )
J y mry2 m(z2 x2) J z mrz2 m(x2 y2)
OB x cos y cos z cos
因 ( OA )2 x2 y2 z2 ，故
L γ B rL A
O
β
y
α
x
图 14
rL2 (x2 y2 z2 ) (x cos y cos z cos )2
课外阅读 §4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
式中
J yz myz
惯性积
J zx mzx
(2)
J xy mxy
分别称为刚体对轴y和z、对轴z和x以及对轴x和y惯性积。
惯性积也可用转动惯量的同样单位计算，它的大小也决定于刚体 的质量、质量分布以及坐标轴位置这三个因素。但是，惯性积可正、 可负，也可以等于零（转动惯量永远是正）。
§1 转动惯量的概念
转
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
动
惯
§3 转动惯量的平行轴定理
量
§4 刚体对任意轴的转动惯量
§5 质量对称分布刚体的惯性主轴方向的判定
第二十二讲的内容、要求、重难点
教学内容：
转动惯量的定义，均质杆件、圆盘、圆环转动惯量的计算，平 移轴定理
教学要求：
1、掌握均质杆件、圆盘、圆环转动惯量的计算
惯性积 刚体对任意轴的转动惯量 惯性主轴
课外阅读
§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
设Oxyz是固连在刚体上的坐标系，轴线OL与坐标轴x，y，z的交
角用α，β，γ表示 （如图14）。
z
刚体对轴OL的转动惯量
式中
J mrL2
rL2 (OA)2 (OB)2
其中OB是矢 r =OA 在轴OL上的投影。 由矢量投影定理得
例题1 已知匀质细长直杆的质量是m，长度是l（如图4），求它 对于过质心C且与杆相垂直的轴 z 的转动惯量。
解： 在杆沿轴线x上任一小段dx，其质
量 m dx，对轴z的转动惯量元素是 l
dJ z

x2
m l
dx
匀质细长直杆对轴z的转动惯量是
l
Jz
l
2 l
2
m l
x2dx

m l

x3 3
可见，如果假想地把刚体的全部质量集中于一点，而不改变 这刚体对于该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离应等于回转 半径。
§1 转动惯量的概念
3.转动惯量的一般表达式
取固连于刚体的坐标Oxyz，设刚体内任一质点A的坐标是（x，y，z），
用rz表示点A到轴z的距离，则
rz2 x2（如y图2 2）。
Jy

1 12
mb2
(垂直的边有平方)
y
dx
x
类似地可得
Jx
1 ma2 12
利用
Jz Jx Jy
C
a
x
薄板的极转动惯量为
Jz

J
x

J
y

1 12
(a2

b2
)
dm m adx m dx
ab
b
Jy
b
2 b
dmx2

2
b 2 0
m b
x2dx

2m x3 3b
b 2 0
又因质心yz于是刚体内每对对称于轴oz的质点质量对称分布刚体的惯性主轴方向的判定课外阅读于是刚体内每对对称于oxy的质点两者定理如刚体具有质量对称平面则垂直于这对称平面的任一直线就是在该直线与对称面的交点处的一根惯性主轴
理论力学
第22讲：1
第二十二讲目录
z
物体转动时难易的物理量。 刚体对轴z的转动惯量，是
刚体内所有各点的质量与其对该轴的转动半径的平方
的乘积的总和。(如图1)
rz
可以表示为: J z mrz2
A
可见：转动惯量永远是正值。
O
z
对于质量连续分布刚体： J z srz2dm
影响转动惯量大小的因素。
rz
y
x
x y
图1
● 整个刚体质量的大小。 ● 刚体各部分的质量分布。

(dm) 2

2m r2
3d
于是，求得圆盘对轴z转动惯量
y
r
ρ
O
x
Jz
r 0
2m r2
3d

m 2r 2


4

r 0

1 mr 2 2
考虑到 Jx=Jy ，即可求得
Jx

J
y

1 2
Jz

1 4
mr2
J
z

1 2
mr2
图6
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
当物体由几个简单几何形状的物体组成时，计算整 体的转动惯量时，可先分别计算每一简单几何形体对同 一轴的转动惯量，然后求和即可。如果物体有空心部分 ，可把这部分的质量视为负值来处理。
1 mb2 12
b
图5
z
l/2
x dx
C
l
x
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
例题 3 已知匀质薄圆盘的半径是r，质量是m （如图6） ，求它 对垂直于盘面质心轴Oz的转动惯量。
解：取任一半径为ρ，宽为dρ的圆环，其质量是
dm

m πr 2
2πd

2m r2
d
对轴z的转动惯量元素是
dJ z
10） 。已知杆长l，质量是m1；圆盘半径是r，质量是m2。求摆对通 过杆端O并与圆盘面垂直的轴z的转动惯量。
解： Jz J1 J2

1 12
m1l
2

m1
(
l 2
)2



1 2
m2r
2

m2
(r

l
)2


1 3
m1l 2

1 2
m2 (3r2

4rl

2l2 )
mi (x2 y2) 2( mi y)d ( mi )d 2
上式右端第一项就是 Jz′ ，第三项是(∑mi)d 2，
至于第二项，根据质心C坐标公式
yC
mi yi mi
2d (