【公开课教案】人教B版选修2-3数学(理)：1.1《基本计数原理》教案设计
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-3)教师用书：第1章 计数原理-章末分层突破
章末分层突破[自我校对]①分类加法计数原理②分步乘法计数原理③排列④排列数公式⑤组合数公式⑥组合数⑦二项展开式的通项⑧对称性⑨增减性两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础，对应用题的考查，经常要对问题进行分类或者分步进而分析求解.(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情.“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件.(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？【精彩点拨】解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分加法原理和乘法原理.【规范解答】(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种).(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种).(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种).应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：(1)要做什么事；(2)如何去做这件事；(3)怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.[再练一题]1.如图1-1为电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电.图1-1【解析】先分三类.第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2＝4(种)方法，所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8.【答案】8排列、组合的应用排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决.(1)某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【精彩点拨】按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般.【规范解答】(1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A38种方法，所以共有3A38种方法；③若乙参加而甲不参加同理也有3A38种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A28种，共有7A28种方法.所以共有不同的派遣方法总数为A48＋3A38＋3A38＋7A28＝4 088种.(2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A7＝5 040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A4＝24种方法.根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960种.②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A6＝720种方法.×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝7×6×5×4＝840种.根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800种.③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A12种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132种排法.解排列、组合应用题的解题策略1.特殊元素优先安排的策略.2.合理分类和准确分步的策略.3.排列、组合混合问题先选后排的策略.4.正难则反、等价转化的策略.5.相邻问题捆绑处理的策略.6.不相邻问题插空处理的策略.7.定序问题除序处理的策略.8.分排问题直排处理的策略.9.“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.10.构造模型的策略.简单记成：合理分类，准确分步；特殊优先，一般在后；先取后排，间接排除；集团捆绑，间隔插空；抽象问题，构造模型；均分除序，定序除序.[再练一题]2.(1)一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A.40B.74C.84D.200 (2)(2016·山西质检)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A.60种B.48种C.30种D.24种【解析】 (1)分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个； 第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个；第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个.由分类加法计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 5C 14＝74.(2)由题意知，不同的座次有A 2A 4＝48种，故选B. 【答案】 (1)B (2)B二项式定理问题的处理方法和技巧对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项.另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.(1)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A.2B.54 C.1D.24(2)已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n (n ∈N ＋)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________.【导学号：62980030】(3)设(3x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 6＋a 4＋a 2＋a 0的值为________. 【精彩点拨】 (1)、(2)利用二项式定理的通项求待定项； (3)通过赋值法求系数和.【规范解答】 (1)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 展开式的通项是T r ＋1＝C r n x n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3r ＝C r n x n －4r ，r ＝0,1,2，…，n ， 由于(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 的展开式中没有常数项，所以C r n x n －4r ，x C r n x n －4r ＝C r n x n －4r ＋1和x 2C r n x n －4r ＝C r n x n －4r ＋2都不是常数，则n －4r ≠0，n －4r ＋1≠0，n －4r ＋2≠0，又因为2≤n ≤8，所以n ≠2,3,4,6,7,8，故取n ＝5.(3)令x ＝1，得a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝26＝64.令x ＝－1，得a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)6＝4 096. 两式相加，得2(a 6＋a 4＋a 2＋a 0)＝4 160， 所以a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝2 080. 【答案】 (1)C (2)5 (3)2 0801.解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式.2.解决二项展开式项的系数(或和)问题常用赋值法.[再练一题]3.(1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A.45B.60C.120D.210(2)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12【解析】 (1)因为f (m ，n )＝C m 6C n 4， 所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)512 016＋a ＝(13×4－1)2 016＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 016＋a 能被13整除.【答案】 (1)C (2)D排列、组合中的分组与分配问题n个不同元素按照条件分配给k个不同的对象称为分配问题，分定向分配与不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某种条件分成k组，称为分组问题，分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使2组元素个数相同，但因所属对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组再排列.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.【精彩点拨】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.【规范解答】(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C16种选法，再从余下的5本中选2本有C25种选法，最后余下3本全选有C3种选法.故共有C16C25C3＝60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C3A3＝360(种).(3)无序均匀分组问题.先分三步，则应是C26C24C2种方法，但是这里出现了重复.不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C2种分法中还有(AB，EF，CD)，(AB，CD，EF)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A3种情况，而这A3种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33＝15(种).(4)有序均匀分组问题.在第(3)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33·A3＝C26C24C2＝90(种).(5)无序部分均匀分组问题.共有C46C12C11A22＝15(种).(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C46C12C11A22·A3＝90(种).(7)直接分配问题.甲选1本有C16种方法，乙从余下5本中选1本有C15种方法，余下4本留给丙有C4种方法.共有C16C15C4＝30(种).均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.[再练一题]4.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？【解】取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有3种情况：1 144,2 233,1 234.所取卡片是1 144的共有A4种排法.所取卡片是2 233的共有A44种排法.所取卡片是1 234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A44种.所以共有18A44＝432种.1. (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60【解析】法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个(x2＋x＋y)之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C13＝30.故选C.【答案】 C2.如图1-2，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图1-2A.24B.18C.12D.9【解析】从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条.如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条).所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.【答案】 B3.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________.【解析】先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字.法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法.故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和34. (2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________.(用数字填写答案) 【解析】 (2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝ C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10. 【答案】 10。
新人教B版高中数学(选修2-3)1.1《基本计数原理》word教案
1.1 基本计数原理 BCA案教学目标：1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，利用两个原理解决一些简单的实际问题；2.从实例入手体会两个基本计数原理的思想与方法，培养学生分析问题解决问题的能力；3.启发学生发现和提出问题，鼓励学生创造性的利用分类转化等思想和方法解决问题。
教学重点：从实例入手理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
教学难点：在练习中熟练应用两个基本计数原理。
B案（课前预习）使用说明：认真阅读课本第3页，完成以下问题：1.某旅行团从南京到上海，可以乘汽车，也可以乘火车，假定汽车每日有3班,火车每日有2班,那么一天中从南京到上海共有多少种不同的走法?2.后来该旅行团改变行程，增加杭州两日游，先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有３班，杭州至上海的汽车每天有２班，那么该团从南京经杭州到上海有多少种不同的方法？C案（课堂合作探究）合作探究一：一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书:（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？探究成果：合作探究二：用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？探究成果：变式练习：用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？升华提高：合作探究三：我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反面。
现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”。
问一共可以得到多少个不同的这样的序列？探究成果：当堂检测：1. 一个科技小组中有3名女同学，5名男同学。
从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法____种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_____种。
人教B版选修(2-3)1.1《基本计数原理》word教案
1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理课标要求：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）.教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.授课类型：新授课.课时安排：2课时.教具：多媒体、实物投影仪.教学过程：引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识•排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理•这节课, 我们从具体例子出发来学习这两个原理•1分类加法计数原理（1 ）提出问题问题1.1 :用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2 ）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第i类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法.（3 ）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在A,B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件•解：这名同学可以选择A , B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法•又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9 (种).变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学•那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m-i种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有叶种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法”在第n类办法中有m n种不同的方法•那么完成这件事共有N 二 g m2 爲圧m n种不同的方法• 理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2分步乘法计数原理(1 )提出问题问题2.1 :用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A,, A2,,，B, , B2,, 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码:字母得到的号码&Z2AtA*巻A,A*&ya2我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6 X 9 = 54个不同的号码.探究：你能说说这个问题的特征吗？(2 )发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第i类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N = m汉n种不同的方法.(3 )知识应用例2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤•第I步选男生•第2步选女生.解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有30 X 24 =720种不同的选法.探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法,，做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N 二 g m2 ：：m n种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成•3 综合应用例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理•②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理•③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理解：(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N =m, m2 m3=4+3+2=9；(2 )从书架的第1 , 2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N = mi m2 m3 =4X 3X 2=24(3)N =4 3 4 2 3 2 = 26。
最新人教版选修2-3高二数学1.1 2 基本计数原理和排列组合教学设计
一本周教内容：选修2—3 基本计数原理和排列组合二教目标和要求1 掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。
2 理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的实际问题。
3 让生体会思想与方法，培养生分析问题，解决问题的能力，激发生习的兴趣。
注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，会从不同的切入点解决问题。
三重点和难点重点：两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用难点：两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题四知识要点解析[]1 两个基本计数原理（1）分类加法计数原理：做一件事情，完成它有类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法……在第类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋m种不同的方法（2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的办法……做第个步骤有m种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m种不同的方法说明：（1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法（2）考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。
如果完成一件事情有类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理（3）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“分步”或者“分类”的标准是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏2 排列问题（1）排列的定义：一般的，从个不同的元素中任取m （m ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出m 个元素的一个排列说明：①定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”②一个排列就是完成一件事情的一种方法③不同的排列就是完成一件事情的不同方法④两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素相同，二是顺序相同⑤从个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列，记作n n A（2）排列数的定义：从个不同的元素中任取m （m ≤）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中任取m 个元素的排列数。
高二数学(选修2-3人教B版)-基本计数原理
原理初悟
2019年北京“世园会”举世瞩目，李华同学一家打
算去参观“世园会”，在计划出行的方案中有自驾出行，
乘坐“世园会”公交专线出行.自驾去“世园会”有2条
路线可以选择，乘坐“世园会”公交专线出行有4条路
线可以选择，请问李华一家去参观“世园会”共有多少
种出行方案？
2+4=6（种）
例1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3
根据分类加法计数原理从甲地到丁地共有6+8=14
种不同的走法.
甲地
乙地
丙地
丁地
先分类、再分步
练习：某学校的一天的课程表要求如下，每天上午有4节课，
下午有2节课，安排5门不同的课程，其中安排某一门课两
节连在一起上，那么一天不同的课程表安排方案有多少种？
节数 课程
1
2
3
4
5
6
练习：某学校的一天的课程表要求如下，每天上午有4节课，
法……在第n类办法中，有 mn 种不同的方法，
则完成这件事共有N m1 m2 +mn 种不同的方法.
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做
第1步有 m1 种不同的方法，做第2步有 m2 种不同的方
法……做第n步有 mn 种不同的方法，则完成这
件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法.
出公园.只考虑游玩路线的选择，该游客有多少种不同的走
法？
西门
景点A
东门
3×2=6（种）
情境创设
a1
西门
a1
1
a2
a3
b1
景点A
b2
a2
2
1
东门
人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案
XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。
XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。
新教材 人教B版高中数学选择性必修第二册 3.1.1 基本计数原理 精品教学课件
(变条件)若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成 多少个四位数的号码？
[解] 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有 10 种拨号方式，即 m1＝10； 第二步，有 9 种拨号方式，即 m2＝9； 第三步，有 8 种拨号方式，即 m3＝8； 第四步，有 7 种拨号方式，即 m4＝7. 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N＝10×9×8×7＝5 040(个)四位数的号码．
3.1.1 基本计数原理
第1课时 基本计数原理 第2课时 基本计数原理的应用 P41
1．分类加法计数原理 完成一件事，如果有 n 类办法 且：第一类办法中有 m1 种不同的 方法，第二类办法中有 m2 种不同的方法……第 n 类办法中有 mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
后结果，只需一种方法就 不能完成这件事，只有各步都完
可完成这件事
成了，才能完成这件事
各步之间是关联的、独立的，
各类办法之间是互斥的、
区别二
“关联”确保不遗漏，“独立”
并列的、独立的
确保不重复
联系
这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．
2．现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条
长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7
B．12
C．64
D．81
B [先从 4 件上衣中任取一件共 4 种选法，再从 3 条长裤中任选 一条共 3 种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共 4×3 ＝12(种)不同配法．故选 B.]
2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：1.1 第一课时 基本计数原理
_1.1基本计数原理第一课时 基本计数原理[对应学生用书P2]分类加法计数原理2014年6月，第20届世界杯足球赛在巴西召开，这是国际体坛的一大盛事．一名志愿者从里约热内卢赶赴圣保罗为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．问题1：该志愿者从里约热内卢到圣保罗的方案可分几类？提示：两类，即乘飞机、坐火车．问题2：这几类方案中各有几种方法？提示：第一类方案(乘飞机)有7种方法，第二类方案(坐火车)有6种方法．问题3：该志愿者从里约热内卢到圣保罗共有多少种不同的方法？提示：共有7＋6＝13种不同的方法．做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.分步乘法计数原理2014年6月，第20届世界杯足球赛在巴西召开，这是国际体坛的一大盛事．一名志愿者从里约热内卢赶赴库里奇巴为游客提供导游服务，但需在圣保罗停留，已知从里约热内卢到圣保罗每天有7个航班，从圣保罗到库里奇巴每天有6列火车．问题1：该志愿者从里约热内卢到库里奇巴需要经历几个步骤？提示：两个，即先乘飞机到圣保罗，再坐火车到库里奇巴．问题2：完成每一步各有几种方法？提示：第一个步骤有7种方法，第二个有6种方法．问题3：该志愿者从里约热内卢到库里奇巴共有多少种不同的方法？提示：共有7×6＝42种不同方法．做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n种不同的方法．两个基本原理的区别：前者——分类加法计数原理每次得到的是最后结果；后者——分步乘法计数原理每次得到的是中间结果.分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类方案中的每种方法都能独立完成这件事每一步完成的只是其中的一个环节，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏[对应学生用书P3]分类加法计数原理[例1] 若x ，y ∈N ＋，且x ＋y ≤6，试求有序自然数对(x ，y )的个数．[思路点拨] 解答本题可按x (或y )的取值分类解决．[精解详析] 按x 的取值进行分类：x ＝1时，y ＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；x ＝2时，y ＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；x ＝3时，y ＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；x ＝4时，y ＝1,2，共构成2个有序自然数对；x ＝5时，y ＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，共有N ＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．[一点通] 利用分类加法计数原理时要注意：(1)要准确理解题意，确定分类的标准．(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性．1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成．从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( )A ．8B ．15C ．16D ．30解析：第一类：会第1种方法的选1人，有3种选法；第二类：会第2种方法的选1人，有5种选法，共有5＋3＝8种选法．答案：A2．若x，y∈N＋，且x，y所满足的不等式组为Error!试求满足条件的点M(x，y)共有多少个？解：结合图像可知当x＝1时，y取1,2；当x＝2时，y取1,2,3,4；当x＝3时，y取1,2,3；当x＝4时，y取1,2；当x＝5时，y取1，共有2＋4＋3＋2＋1＝12(个)．3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个．所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．分步乘法计数原理[例2] 张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？[思路点拨] 张涛要完成人民币定期储蓄和购买国债这两项投资，他的理财目标才算完成，所以用分步乘法计数原理解决．[精解详析] 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．第一步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第二步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．由分步乘法计数原理，知张涛共有2×3＝6种不同的理财方式．[一点通] 利用分步乘法计数原理时要注意：(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A．7B．12C．64D．81解析：要完成配套需分两步，第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．答案：B5．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( ) A．30个B．42个C．36个D．35个解析：第一步取数b，有6种方法；第二步取数a，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．答案：C6．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有多少种？解：以“乘客”来考虑：10名乘客下车可看作10步，每人下车有5种方式，根据分步乘法计数原理，10名乘客不同的下车方式有510种.两个计数原理的初步应用 [例3] (10分)有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？[思路点拨] 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．[精解详析] 第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．[一点通] 在处理比较复杂的有关两个原理的综合题目时，要挖掘条件，先分类，后分步．分类要全，分步要精，确保解题的条理性，化繁为简是此类问题的解题精要所在．7．李芳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有( ) A．24种B．14种C．10种D．9种解析：不选连衣裙有4×3＝12种方法，选连衣裙有2种．共有12＋2＝14种．答案：B8．从1,2,3,5,7,9六个数中任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为________．解析：分两类：第一类取1,1只能为真数，此时对数的值为0；第二类，不取1，分两步．第一步，取底数，有5种方法；第二步，取真数，有4种方法．根据分步乘法计数原理，有5×4个对数值．根据分类加法计数原理，可得不同的对数值有1＋5×4＝21个．答案：21用两个计数原理解决计数问题时，分清是分类还是分步：(1)分类要做到“不重不漏”．分类过程中，自始至终要按同一标准，最忌采用双重或多重标准分类，会出现重漏现象．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成了任务且步与步之间不能“重叠”．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)分类问题中类与类是独立的，分步问题中步与步是连续的，用分类加法计数原理、分步乘法计数原理计数，必须确保类的独立、步的连续．[对应课时跟踪训练(一)]1．从甲地到乙地一天有汽车8班、火车3班、轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的方法种数为( )A．13 B．16C．24D．48解析：根据分类加法计数原理，不同方法的种数为8＋3＋2＝13.答案：A2．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( )A．182B．14C．48D．91解析：由分步乘法计数原理，得不同取法的种数为6×8＝48.答案：C3．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，发送的方法的种数为( ) A．8种B．15种C．243种D．125种解析：每个电子邮件都有3种不同的发送方法，根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3×3＝35＝243(种)．答案：C4．设集合A中有5个元素，集合B中有2个元素，建立A→B的映射，共可建立( ) A．10个B．20个C．25个D．32个解析：根据映射的定义知，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．A中每个元素的像均有两种选择，由分步乘法计数原理知，共可建立25个映射．答案：D5．如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法种数是________．解析：在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，应用分类加法计数原理，共有2＋3＝5种接通电源使电灯发光的方法．答案：56．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种．(用数字作答)解析：分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6种选法，即共有9种不同选法．答案：97．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？解：(1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法．8．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.。
2020人教版高三数学选修2-3(B版)电子课本课件【全册】
1.3 二项式定理
本章小结
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型
2Байду номын сангаас1.3 超几何分布
2.2.2 事件的独立性
2.3 随机变量的数字特征
2.3.1 离散型随机变
2.4 正态分布
阅读与欣赏 关于“玛丽莲问题”的争论
3.1 独立性检验
本章小结
附表
后记
第一章 计数原理
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1.2.2 组合
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2020人教版高三数学选修2－3(B 版)电子课本课件【全册】目录
0002页 0065页 0109页 0165页 0242页 0291页 0317页 0352页 0392页 0394页 0447页 0514页 0608页 0652页
第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
1.3 二项式定理
1.1 基本计数原理
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1.2 排列与组合 排列
1.2.1
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高中数学 1.1计数原理教案 新人教B版选修2-3
1.1 基本计数原理一、教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)二、新课探究：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有___________________________种不同的方法.一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有______________________种不同的方法.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 ___________________________种不同的方法.一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有______________________________种不同的方法.①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.三、典例分析例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例5. 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？例6：我们把壹元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面。
最新人教版高中数学选修2-3《计数原理》教学设计
教学设计本章复习整体设计教材分析计数问题是数学的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．通过本章的学习，学生学会了计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解到计数原理与现实生活的联系，会解决一些简单的计数问题．返璞归真地看两个计数原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论依据．排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”．“学以致用”的思想始终贯穿本章内容，我们特别注意选择一些典型的、富有时代气息的应用问题，引导学生进行分析、论证、探索，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．计数原理是高中数学中独立性较强的一部分，也是密切联系实际的一部分，是高考的必考内容，每年都有1～2道与排列、组合有关的试题．题型一般为选择题或填空题，考查排列组合的基础知识、思维能力，多数试题难度与教材习题的难度相当，但又有个别题目难度较大．二项式定理也几乎是每年高考的必考内容，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，常见类型有：应用二项式定理的通项公式求系数或指定项，赋值法在二项展开式中的应用，二项式定理在其他知识方面的应用．课时分配1课时教学目标知识与技能掌握两个计数原理、排列、组合、二项式定理及其展开式，能用计数原理和排列组合、二项式定理解决一些简单问题．过程与方法应用类比、猜想、归纳、推广等数学思想，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，培养学生的抽象概括能力，培养学生的运算能力，分析能力和综合能力．情感、态度与价值观通过最容易理解的两个常识(两个原理)，引出排列、组合、二项式定理，进而升华到解决一些与生活息息相关的实际问题，增加了学生们的求知欲，思考、探究的多次出现，使同学们体会到探索的快乐，提高同学们学习数学的兴趣．重点难点教学重点：计数原理、排列、组合、二项式定理及其应用．教学难点：正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题，恰当地使用二项式定理解决相关问题．教学过程形成网络【本章知识脉络】1．两个计数原理①分类加法计数原理_______________________________________________________；②分步乘法计数原理________________________________________________________；③它们的本质区别是________________________________________________________．2．排列、组合的定义与有关公式①排列的定义：__________________；排列数公式__________________；②组合的定义：__________________；组合数公式__________________；③组合数的两个性质：Ⅰ.________________；Ⅱ.____________________；④排列、组合的本质区别是____________________________．3．二项式定理与杨辉三角的性质①________________________________________________________________________；②________________________________________________________________________；③________________________________________________________________________；④________________________________________________________________________.答案：1.①完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法②完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m×n 种不同的方法③一下子能完成是分类，一下子完不成是分步2．①从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m)！②从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 C m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m)！③Ⅰ.C m n ＝C n －m n Ⅱ.C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n ④有序问题是排列，无序问题是组合3．①C m n ＝C n －m n ②C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n ③当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n 2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大 ④C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n【解题方法、数学思想】作为独立性较强的一章，在学习上可以很容易入手，但是要想掌握并且会做题，就必须体会许多解题方法：优先法、插空法、捆绑法、赋值法等等，在学习知识的过程中注意归纳——类比——证明思想的应用．学好排列组合是学好概率的根本，所以本章有关知识方法的学习，应该引起我们的足够重视．【活动设计】 学生自由发言，讨论，教师进行补充；教师可以让学生填空，然后贯通其脉络．典型示例类型一：两个计数原理的应用例1在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m ＋n ＋1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )A ．C 1m ＋1C 2n ＋C 1n ＋1C 2mB ．C 1m C 2n ＋C 1n C 2mC ．C 1m C 2n ＋C 1n C 2m ＋C 1m C 1nD ．C 1m C 2n ＋1＋C 2m ＋1C 1n思路分析：方法一，分成三类，用分类加法原理；方法二，间接法，去掉三点共线的组合．解析：方法一：第一类：从OA 边上(不包括O)任取一点与从OB 边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有C1m C2n个；第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有C2m C1n个；第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有C1m C1n个．由分类加法计数原理共有N＝(C1m C2n＋C2m C1n＋C1m C1n)个三角形．方法二：从m＋n＋1中任取三点共有C3m＋n＋1种情况，其中三点均在射线OA上(包括O 点)，有C3m＋1个，三点均在射线OB上(包括O点)，有C3n＋1个．所以，三角形的个数为N＝C3m＋n＋1－C3m＋1－C3n＋1.答案：C本题考查组合的概念及加法原理，解题中常用分类讨论思想及间接法【巩固练习】从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车或轮船时，共有不同的走法数为()A．13种B．16种C．24种D．48种答案：A，由分类加法计数原理知，答案为8＋3＋2＝13种．类型二：排列组合综合问题例2(1)A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有()A．60种B．48种C．36种D．24种(2)七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是…()A．1 440 B．3 600 C．4 820 D．4 800思路分析：相邻问题可以考虑捆绑法，不相邻问题用插空法．解：(1)把A、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人全排列，共有A44＝24种排法，故选D.(2)除甲、乙外，其余5个全排列为A55种，再用甲、乙去插6个空位有A26种，所以不同排法种数是A55A26＝3 600种，所以选B.点评：无论相邻还是不相邻，都是建立在对应用题的审题基础上的，通过认真读题，体会题目的要求，就能解决相应的数列问题．【巩固练习】A、B、C、D、E五人排成一排，A、B不相邻，C、D要相邻，有________种排法．答案：24例3由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A．210个B．300个C．464个D．600个思路分析：元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．解：按题意，个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况，分别有A55个，A14A13A33个，A13A13 A33个，A12A13A33个，A13A13A33个，A13A33个，合计得300个，所以选B.点评：优先考虑限制条件是解决此类问题的根本，在此题中，还要考虑0的分类．【巩固练习】从1,2,3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？解：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I，能被7整除的数的集合记作A，则A＝{7,14，…98}共有14个元素，不能被7整除的数的集合B中共有86个元素，由此可知，从A中任取两数的取法，共有C214种，从A中任取一个数又从B中任取一个数的取法，共有C114C186种，两种情形共得符合要求的取法有C214＋C114C186＝1 295种．例4四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种．思路分析：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．解：先取四个球中的两个为一组，另二组各有一个球的方法有C24种；再排：在四个盒中每次排三个有A34种，故共有C24A34＝144种．点评：对于选排问题一般的解法是先选后排．【巩固练习】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解：先取男、女运动员各二名，有C25C24种方法；这四名运动员混双练习有A22种排法，故共有C25C24A22种方法．【变练演编】将6本不同的书按下列分法，(1)分给学生甲3本，学生乙2本，学生丙1本；有________种分法．(2)分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2本、1人得1本；有________种分法．(3)若分法总数是C 26C 24C 22种，则可能的分法情况是________．(4)分成3堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；有________种分法．(5)若分成3堆，共有分法C 26C 24C 22÷A 33种，则可能的分法情况是________． (6)分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；有________种分法． 同学们，将你能想到的所有情况写出来或计算出来吧！答案：(1)是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为C 36C 23C 11；(非等分无序)(2)是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为C 36C 23C 11×A 33；(非等分，有序) (3)分给甲、乙、丙3人，每人2本；(4)是分堆的非均匀问题(与(1)等价)：方法数为C 36C 23C 11；(非等分无序)(5)每堆2本；(6)是部分均匀地分给人的问题：方法数为C 46C 12C 11×A 33A 22.(局部等分有序) 设计意图：课堂教学中，通过变练演编环节的实施，使得学生能够最大限度地理解本节所学，最大限度地发挥主观能动性，使得课堂充满活力．在教学中，教师尽量不要照搬教材上的原例题，而是在尊重原例题编写意图，保证其训练的技能技巧、解题思路、数学思想方法、能力不变的前提下，改变原例题中的数值，或字母，或已知条件，或求解目标等等，即表面上换一个例题，但其实质并没有变化．可以说是换又没有换，这就是很多专家所讲的“换一个的策略”．目的还是保证让全体学生真正做到不仅动手，而且动脑，还又不偏离教学目标，是对学习真实性的保障．类型三：二项式定理与二项展开式例3已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求(2x －1x)2n 的展开式中：①二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项．思路分析：先由赋值法列出方程，解出n 的值，然后根据二项式的有关性质解题． 解析：由题意22n －2n ＝992，解得n ＝5.①(2x －1x)10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝T 5＋1＝C 510·(2x)5·(－1x)5＝－8 064. ②设第r ＋1项的系数的绝对值最大，则T r ＋1＝C r 10·(2x)10－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r≥2r ，2(r ＋1)≥10－r ， ∴83≤r≤113，∴r ＝3，故系数的绝对值最大的是第4项． 即T 4＝C 310(2x)7(－1x)3＝－15 360x 4. 点评：对于二项展开式，二项式系数的性质是常考的内容．对于赋值法的考查，在近几年成为一个热点，还应注意的是，二项式系数与系数是两个截然不同的概念，有时候相等，有时候不等，它们之间没有必然的联系．【巩固练习】设(32＋133)n 展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项． 解：T 7＝C 6n (32)n －6(133)6，T n －7＋2＝T n －5＝C 6n (32)6(133)n －6. 由C 6n (32)n －6(133)6C 6n (32)6(133)n －6＝16，化简得6n 3－4＝6－1，∴n 3－4＝－1.∴n ＝9. ∴T 7＝C 69(32)9－6(133)6＝C 39·2·19＝563. 【拓展实例】4如果今天是星期一，那么对于任意自然数n ，经过23n ＋3＋7n ＋5天后的那一天是星期几？思路分析：先将此题转化为数学问题，即本题实际上是寻求对于任意自然数n,23n ＋3＋7n ＋5被7除的余数．受近似计算题目启发，23n ＋3＝8n ＋1＝(7＋1)n ＋1，这样就可以运用二项式定理了．解：由于23n＋3＋7n＋5＝8n＋1＋7n＋5＝(7＋1)n＋1＋7n＋5＝7n＋1＋C1n＋17n＋C2n＋17n－1＋…＋C n n＋17＋C n＋1n＋1＋7n＋5＝7(7n＋C1n＋17n－1＋C2n＋17n－2＋…＋C n n＋1＋n)＋6，则23n＋3＋7n＋5被7除所得余数为6.所以对于任意自然数n，经过23n＋3＋7n＋5后的一天是星期日．点评：二项式定理是与数有关的问题，可以解决类似于周期性的问题．【巩固练习】求0.955精确到0.01的近似值．答案：先将0.95化为二项代数和1－0.05，再利用二项式定理计算．∵0.955＝(1－0.05)5＝1＋C15·(－0.05)＋C25·(－0.05)2＋C35·(－0.05)3＋C45·(－0.05)4＋C55·(－0.05)5∵C35×0.053＝0.001 25<0.005，而以后各项的绝对值更小．∴从第4项起，均可忽略不计．∴0.955≈1－5×0.05＋10×0.002 5＝0.775≈0.78.【达标检测】1．火车上有10名乘客，沿途有7个车站，乘客下车的可能方式有()A．710种B．107种C．70种D．以上都不对2．下面几个问题：①由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数；②从40人中选5人组成篮球队；③8个人进行单循环乒乓球比赛；④从40人中选5人担任班长、团支书、副班长、学习委员、体育委员．其中属于排列的有()A．①②B．②④C．①③D．①④3．(|x|＋1|x|＋3)5的展开式中的x2的系数是()A．275 B．270 C．540 D．545答案：1.A 2.D 3.C课堂小结活动设计：可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．小结：①理解两个计数原理，并能解决相应的实际问题；②理解排列组合的有关定义公式，并能解决相应的问题，理解相应的解题方法，如捆绑法、插空法、优先法等等；③理解二项式定理，会用二项式展开，并能解决相应的问题，理解有关的解题方法，如赋值法、求最值项等等．补充练习【基础练习】1．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98 765)，若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数为________．2．在(1＋ax)7的展开式中，x 3项的系数是x 2项系数与x 5项系数的等比中项，则a 的值为( ) A.105 B.53 C.259 D.2533．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案种数为( )A ．C 412C 48C 44B ．3C 412C 48C 44 C ．C 412C 48C 44A 33 D.C 412C 48C 44A 334．某餐厅供应顾客饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备几种不同的素菜品种？答案：1.76 542 2.C 3.A4．解：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有C 25＝10种，设素菜为x 种，则 C 2x ·C 25≥200.解得x≥7，∴至少应有7种素菜．【拓展练习】5．已知{a n }(n 是正整数)是首项是a 1，公比是q 的等比数列．(1)求和：a 1C 02－a 2C 12＋a 3C 22，a 1C 03－a 2C 13＋a 3C 23－a 4C 33；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明；(3)设q≠1，S n 是等比数列的前n 项的和，求S 1C 0n －S 2C 1n ＋S 3C 2n －S 4C 3n ＋…＋(－1)n S n ＋1C n n .6．规定C m x ＝x(x －1)…(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n(n ，m 是正整数，且m≤n)的一种推广． (1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：C m n ＝C n －m n ；C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；是否都能推广到C m x (x ∈R ，m ∈N *)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由；(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z .答案：5.解：(1)a 1C 02－a 2C 12＋a 3C 22＝a 1－2a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1－q)2；a 1C 03－a 2C 13＋a 3C 23－a 4C 33＝a 1－3a 1q ＋3a 1q 2－a 1q 3＝a 1(1－q)3.(2)归纳概括出关于正整数n 的一个结论是：已知{a n }(n 是正整数)是首项是a 1，公比是q 的等比数列，则a 1C 0n －a 2C 1n ＋a 3C 2n －a 4C 3n ＋…＋(－1)n a n ＋1C n n ＝a 1(1－q)n .证明如下：a 1C 0n －a 2C 1n ＋a 3C 2n －a 4C 3n ＋…＋(－1)n a n ＋1C n n ＝a 1C 0n －a 1qC 1n ＋a 1q 2C 2n －a 1q 3C 3n ＋…＋(－1)n a 1q n C n n ＝a 1[C 0n －C 1n q ＋C 2n q 2－C 3n q 3＋…＋C n n (－q)n ]＝a 1(1－q)n . (3)因为S n ＝a 1(1－q n )1－q， 所以S k ＋1C k n ＝a 1(1－q k ＋1)1－qC k n ， S 1C 0n －S 2C 1n ＋S 3C 2n －S 4C 3n ＋…＋(－1)n S n ＋1C n n ＝a 11－q [C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ]－a 1q 1－q [C 0n－qC 1n ＋q 2C 2n －…＋C n n (－q)n ] ＝－a 1q 1－q(1－q)n . 6．解：(1)C 5－15＝(－15)(－16)…(－19)5！＝－C 519＝－1 1628. (2)性质：C m n ＝C n －m n不能推广，例如x ＝2时，； 性质：C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1能推广，它的推广形式为C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1，x ∈R ，m ∈N *， 证明如下：当m ＝1时，有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1；当m≥2时，有C m x ＋C m －1x ＝x(x －1)…(x －m ＋1)m ！＋x(x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！＝x(x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！(x －m ＋1m ＋1)＝x(x －1)…(x －m ＋2)(x ＋1)m ！＝C m x ＋1. (3)当x≥m 时，组合数C m x ∈Z ；当x<0时，∵－x ＋m －1>0，∴C m x ＝x(x －1)…(x －m ＋1)m ！＝(－1)m (－x ＋m －1)…(－x ＋1)(－x)m ！＝(－1)m C m －x ＋m －1∈Z . 设计说明1．解排列组合的应用题，要注意四点：(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；“先选之，再排队”；(2)深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑；(3)对于有附加条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干个简单的基本问题后应用加法或乘法原理来解决；(4)在检查排列组合结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏；也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类的标准应统一，否则易出现遗漏或重复．2．高考对二项式定理的考查，以二项展开式及其通项公式内容为主，要有目标意识和构造意识，要注意展开式的通项公式正、反两方面的应用，此类题也可分两类：(1)直接运用通项公式求特殊项的系数或与系数有关的问题；(2)常用转化思想化归为二项式问题来处理，试题常以选择、填空的形式出现，有时解答题也会涉及这些内容，常与数列、不等式等联系在一起，难度与课本习题相当．3．通过一组题目，我们既复习了排列组合，又复习了二项式定理及其性质，同时还考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，赋值法等，培养了学生预习复习的学习习惯．4．只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题的能力．因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与．另外需要注意的是，学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力，这一点需要教师多多引导．备课资料《排列、组合、二项式定理》检测题一、选择题1．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数是()A．160 B．240 C．360 D．8002．从a，b，c，d，e五个字母中任取四个排成一列，b不排第二的不同排法有________种()A．A14A35B．A13A23C．A45D．A34A343．从7个同学中选出3人参加校代会，其中甲、乙两人至少选一人参加，不同选法有________种()A．C12C25B．C12C26C．C37－C35D．C12C24＋C22C144．有3本不同的书，10个人去借，每人至多借一本，每次全部都借完，则不同的借法有________种()A．80 B．240 C．360 D．7205．若正整数x，y满足x＋y≤6，则可组成________个不同的有序数对(x，y)()A ．15B ．16C ．17D ．186．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有( )A ．1 260种B ．2 025种C ．2 520种D ．5 040种7．(x －1x)9的展开式中x 3的系数是( ) A ．C 39 B ．－C 39 C ．C 29 D ．－C 29二、填空题8．有十级台阶，一个人一步上一级，二级或三级，7步上完，则不同上法共有________种．9．(x ＋2)2n ＋1(n ∈N *)的展开式中，含x 的整数幂的各项系数和为____________．三、解答题10．将4个有编号的球随机地放入3个有编号的盒中，对每一个盒来说，所放的球数k 满足0≤k≤4.假定各种放法是等可能的，试求：(1)“第一盒中没有球”的概率；(2)“第一盒中恰有一球”的概率；(3)“第一盒中恰有两球”的概率；(4)“第一盒中恰有三球”的概率．11．已知(1＋2x)n 展开式中，某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍，且等于它后一项系数的56，试求该展开式二项式系数最大的项． 12．设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1(n ∈N *，q≠±1)，A n ＝C 1n a 1＋C 2n a 2＋…＋C n n a n ， (1)用q 和n 表示A n .(2)又设b 1＋b 2＋…＋b n ＝A n 2n .求证：数列{b n }是等比数列． 《排列、组合、二项式定理》检测题答案一、选择题1．B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.C 7.B二、填空题8．77 9.12(32n ＋1＋1) 三、解答题10．解：(1)P(A)＝2234＝1681；(2)P(B)＝C 14·2334＝3281；(3)P(C)＝C 24·2234＝2481；(4)P(D)＝C 34·234＝881. 11．解：设第r ＋1项系数为C r n 2r ，第r 项系数为C r －1n 2r －1，第r ＋2项系数为C r ＋1n 2r ＋1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧ C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n .化简得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝12(n ＋1)，5(n －r)＝3(r ＋1).解之得n ＝7. 故二项式系数最大的项为T 4＝280x 32，T 5＝560x 2. 12．解：(1)q≠1，∴a n ＝1－q n1－q. A n ＝1－q 1－q C 1n ＋1－q 21－q C 2n ＋…＋1－q n1－q C n n ＝11－q[(C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )－(C 1n q ＋C 2n q 2＋…＋C n n q n )]＝11－q[2n －(1＋q)n ]． (2)∵b 1＋b 2＋…＋b n ＝11－q [1－(1＋q 2)n ](n≥2)，∴b 1＋b 2＋…＋b n －1＝11－q [1－(1＋q 2)n －1]．两式相减得：b n ＝12(1＋q 2)n －1(n≥2)．∴b n ＋1b n ＝1＋q 2≠0，∴{b n }是等比数列． (设计者：毕晓岩)。
【人教B版】高中选修2-3数学(理)：1.1《基本计数原理》教案设计
1.1 基本计数原理【教学目标】①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的问题；②培养归纳概括能力；③养成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习习惯【教学重点】分类计数原理与分步计数原理的应用【教学难点】分类计数原理与分步计数原理的准确理解一、课前预习1.分类加法计数原理:做一件事,完成它有____办法，在第一类办法中有___种不同的方法，在第二类办法中有___种不同的方法……在第n类办法中有___种不同的方法.那么完成这件事共有___________________种不同的方法.2.分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成____个步骤，做第一个步骤有___种不同的方法，做第二个步骤有___种不同的方法……做第n个步骤有___种不同的方法.那么完成这件事共有___________________种不同的方法.3.[思考]①如何理解“分类”和“分步”？②两个计数原理的联系与区别是什么？二、课上学习例1、（1）某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有多少种不同的选派方法？（2）8本不同的书，任选3本分给3名同学，每人一本，有多少种不同的分法？（3）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？（4）3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？例2、三层书架的上层放有10本不同的语文书，中层放有9本不同的数学书，下层放有8本不同的外语书.（1）从书架上任取一本书有多少种取法？（2）从书架上任取语、数、外各一本，有多少种取法？（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种取法？例3、用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？（4）四位偶数？（5）能被5整除的四位数？三、 课后练习1. 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数字有多少个？2.某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法种数有 .A 48种 .B 24种 .C 14种 .D 12种3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？（3）从这些画中选出两幅不同的画布置房间，有几种不同的选法？4.由电键组A ，B 组成的串联电路中，如图，要接通电源使电灯发光的方法有几种？5.某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有（ ）105.A 种 510.B 种 .C 50种 .D 以上都不对6.已知集合}3,2,1,2,1{--=A ，}8,6,4,2,0{=B .现从B A ,中各任取一个元素作为直角坐标系中的点的横坐标和纵坐标，则在第二象限中不同点的个数有（ ）.A 48种 .B 24种 .C 14种 .D 12种7.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号.从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号码买全，至少要花（ ）.A 3360元 .B 6720元 .C 4320元 .D 8640元8.有一个圆被两相交弦分成四块，现在用5种不同颜料给四块涂色，要求共边两快颜色互异，每块只涂一色，共有多少种涂色方法？9.用5种不同的颜色给下图中A,B,C,D 四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，分别求甲、乙中不同的涂色方法.10.我们把一元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面.现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”.问：一共可以得到多少个不同的这样的序列？。
人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿
人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿各位老师，大家好，我今天说课的课题是《基本计数原理》，我将从教材、学情、教学策略、教学过程、板书设计、教学反思等几个方面对本节课进行说明。
一、教材分析本节课是人教B版的数学教材选修2-3第一章第一节第一课，本节课所讲授的两个基本计数原理，即分类加法原理与分步乘法原理，是本章继续学习排列、组合的基础，学生能否理解并能应用两个基本原理，是学好本章知识的一个关键，本节课建议安排两课时，本节为第一课时，根据其在教材中的地位，结合课标的要求，设置了如下的教学目标：1、知识目标理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用两个基本原理分析、解决一些简单的应用问题。
2、能力目标在概念形成的过程中培养学生的总结与概括能力，在解决实际问题过程中锻炼学生逻辑思维能力。
3、情感目标让学生体验知识从生活中来又应用到生活中去得过程，培养学生用数学的眼光观察世界和用数学的思想思考世界的习惯。
教学重点是两个基本计数原理的内容。
难点是如何正确是用两个基本计数原理来解决实际问题。
二、学情分析高二学段的高中生已经具备较好的计算能力和基本的逻辑思维能力，但是对于实际问题的生活背景了解不多，对问题中创设的实际背景和如何完成一件事的含义的理解将成为学生运用两个基本计数原理解决问题是的瓶颈，所以找到如何完成一项实际任务的方法，是应用过程中难点。
三、教学策略本课由于内容比较简单学生通过预习多都能够看懂，在实际授课时，我将使用更能贴近学生生活的实例，以激发学生的求知欲和学习热情。
采用教师启发、学生小组合作学习方式进行教学，利用多媒体课件展示引例的问题环境，引导学生思维，具体的分析比较进而归纳出两个基本计数原理，遵循从特殊到一般的思维过程，在学生现有的认知基础上，促使其获取知识，让学生始终保持高水平的思维活动水平，增强学习效果。
四、教学过程1、设置情景，引入新课使用多媒体课件展示郑板桥《咏雪》让学生齐读古诗并请学生对古诗进行自由鉴赏。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.1 基本计数原理》1
1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m2×…×mn种不同的方法二、建构数学在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理探究方式：自主探究，代表发言，共同总结探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结探究结果：1、明确要完成什么事2、判断分类还是分步3、计算总方法数（一）两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 m2……m n种不同的方法2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n 步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法（二）例题分析例书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.1 基本计数原理》5
§分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、内容与解析（一）内容：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
（二）解析：本节课要学的内容分类加法计数原理与分步乘法计数原理指的是分类加法计数原理的定义、分步乘法计数原理的定义、两个原理应用，其核心是两个计数原理,理解它关键就是要体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。
学生已经学过加法、乘法，本节课的内容要与之建立相关联系。
由于它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终,所以在本章有重要的地位，是本学科的重要内容。
教学的重点是两个计数原理，解决重点的关键是结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原理的条件和结论，特别是要注意使用对比的方法，引导学生认识它们的异同。
二、目标及其解析：（一）教学目标1理解分类加法计数原理；2理解分步乘法计数原理；3会应用两个计数原理解决简单的实际问题（二）解析（1）理解分类加法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；（2）理解分步乘法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“步骤”，先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程；（3）会应用两个计数原理解决简单的实际问题就是指根据具体问题的特征选择对应的原理。
三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这一问题的原因是学生无法把具体的问题特征与两个计数的基本思想联系起来。
要解决这一问题，在本节教学时先采取通过典型的、学生熟悉的实例，经过抽象概括而得出两个计数原理，然后按照从单一至综合的方式，安排比较多的例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。
四、教学支持条件分析五、教学过程一引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识 排列组合是一种重要的数学计数方法 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法设计意图:在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理问题1分类加法计数原理师生活动:问题：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车如果一天中火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题：你能说说以上两个问题的特征吗？结论:分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法 那么完成这件事共有n m N += 种不同的方法问题：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？问题：如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n 类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事问题2分步乘法计数原理师生活动:问题：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以,,…，,,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：分析：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9 = 54 个不同的号码．问题：你能说说这个问题的特征吗？结论：分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法那么完成这件事共有=N⨯mn种不同的方法问题：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？问题：如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事问题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点？①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 54=9（种）变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？例2一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类, m1 = 1×2 = 2 条第二类, m2 = 1×2 = 2 条第三类, m3 = 1×2 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有N = 2 2 2 = 6 条例3设某班有男生30名，女生24名现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第步选男生．第2步选女生．解：第1步，从30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =72021不同的选法．例4 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种,第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种,第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6变式1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？六、小结1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法那么完成这件事共有=N+nm种不同的方法2．分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法那么完成这件事共有N⨯=mn种不同的方法七、目标检测1．填空：1 ）一件工作可以用2 种方法完成，有5 人只会用第1 种方法完成，另有4 人只会用第2 种方法完成，从中选出人来完成这件工作，不同选法的种数是＿;2 ）从A 村去B 村的道路有3 条，从B 村去C 村的道路有2 条，从A 村经B 的路线有＿条．2．现有高一年级的学生3 名，高二年级的学生5 名，高三年级的学生4 名． 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？。
人教B版选修2-3高中数学1.1《基本计数原理》word教案
一、教课目的：进一步学习两个计数原理，能进步性合理的分类与分步二、要点难点：分类分步的划分、优先法三、教课过程环节一【课前达标】1．从甲地到乙地有2条路, 从甲地到乙地有 2 条路 ; 从甲地到丁地有 4 条路 , 从丁地到丙地有 2 条路.(1) 则从甲地经乙地到丙地有条路 ;(2) 从甲地到丙地有条路 .2. 现有一年级学生代表 3 名 , 二年级学生代表 5 名 , 三年级学生代表 2 名 .(1) 从中选一人担当学生会主席, 共有种方法 ;(2) 从每个年级代表中任选一人构成校学生会主席团 , 共有种选法 ;(3) 从一、二年级中各选一人, 与高三年级两名学生代表共四人构成学生会主席团共有种选法 .环节二【典例研究】例 1 用 0,1,2,9 十个数字 , 能够构成多少个(1) 三位数 ;(2)无重复数字的三位数 ;(3)小于 500 的无重复数字的三位数 ;(4) 小于 500 且末位数字是8 或 9 的无重复数字的三位数;(5)小于 100 的无重复数字的三位数 .变式 :有三项体育运动项目, 每个项目均设冠军和亚军各一名奖项.(1)学生甲参加了这三个运动项目, 但只获取了一个奖项 , 学生甲获取的不一样状况有多少种?(2) 有 4 名学生参加了这三个运动项目 , 若一个学生能够获取多项冠军 , 那么各项冠军获取者的不一样状况有多少种 ?例 3、 (1) 同室 4 个各写一张贺卡, 先集中起来 , 而后每人从中拿一张他人送出的贺卡,则 4张贺卡的不一样分派方式有（）种 .(2) 、若x, y N* 且 x y 6 , 则有序数对 (x, y) 有( ) 个 .【双基达标】1、某电脑用户计划使用不超出500 元的资本 , 购置单价分别为 60 元 ,70 元的单片软件和盒装磁盘 ,依据需要 , 软件起码买 3 盒 , 磁盘起码买 2 盒 , 则不一样的选购方式（）A.5 种种种种2、 3 位游客到 4 个旅店住宿 , 有种不一样的住宿方法 .3、在所有的两位数中 , 个位数字大于十位数字的两位数有个 .4、三边长均为整数, 且最大边为11 的三角形有个 . 、5、从正方体的 6 个面中选用 3个面, 此中 2 个面相邻的选法共有 ( ).A.8 种B. 12 种C. 16 种D. 20 种 6、若直线方程ax by 0 中的 a,b 能够从 0,1,2,3,4 这五个数中任取两个不一样的数字 , 则该方程表示的不一样直线有 ( ) 条 B. 14 C. 15 D. 207、某商场有 4 个门，某人进去后在出来 , 共有 种不一样走法 . 8、将 5 本不一样的书 , 所有分给 4 个学生 , 有 种不一样的分法 .9、一辆汽车上有 10 名乘客 , 沿途有 7 个车站 , 则乘客下车的可能方式共有 种 .10、若 m {2, 1,0,1,2,3} , n3, 2, 1,0,1,2 , 且方程 x2y 2 1是表示中心在原点的双曲线, 则表示不一样的双曲线最多有 条 .mn11、等腰三角形的三边均为正整数 , 它们的周长不大于 10, 这样不一样形状的三角形种数为.12、用 1,2, 3,4,5 这 5 个数字 , 构成没有重复数字的三位数 , 此中组数有 种 . 13、已知会合 M1,2,3 , N { 2,3,4,5} .(1) 任取一个奇数 n ,n M N ,共有种不一样取法 .(2) 设点 Q (x, y) , x M , y N , 问可表示个不一样点 . (3) 在(2) 问中 , 有 个点不在直线 y x 上 .。
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1.1 基本计数原理
【教学目标】
①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的问题；②培
养归纳概括能力；③养成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习习惯
【教学重点】
分类计数原理与分步计数原理的应用
【教学难点】
分类计数原理与分步计数原理的准确理解
一、课前预习
1.分类加法计数原理:做一件事,完成它有____办法，在第一类办法中有___种不同的方法，在第二类办法中有___种不同的方法……在第n类办法中有___种不同的方法.那么完成这件事共有___________________种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成____个步骤，做第一个步骤有___种不同的方法，做第二个步骤有___种不同的方法……做第n个步骤有___种不同的方法.那么完成这件事共有___________________种不同的方法.
3.[思考]①如何理解“分类”和“分步”？
②两个计数原理的联系与区别是什么？
二、课上学习
例1、（1）某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有多少种不同的选派方法？
（2）8本不同的书，任选3本分给3名同学，每人一本，有多少种不同的分法？
（3）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
（4）3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
例2、三层书架的上层放有10本不同的语文书，中层放有9本不同的数学书，下层放有8本不同的外语书.
（1）从书架上任取一本书有多少种取法？
（2）从书架上任取语、数、外各一本，有多少种取法？
（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种取法？
例3、用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？
（2）四位数？
（3）四位奇数？
（4）四位偶数？
（5）能被5整除的四位数？
三、 课后练习
1. 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数字有多少个？
2.某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法种数有 .A 48种 .B 24种 .C 14种 .D 12种
3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
（3）从这些画中选出两幅不同的画布置房间，有几种不同的选法？
4.由电键组A ，B 组成的串联电路中，如图，要接通电源使电灯发光的方法有几种？
5.某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有（ ）
105.A 种 510.B 种 .C 50
种 .D 以上都不对
6.已知集合}3,2,1,2,1{--=A ，}8,6,4,2,0{=B .现从B A ,中各任取一个元素作为直角坐标系中的点的横坐标和纵坐标，则在第二象限中不同点的个数有（ ）
.A 48种 .B 24种 .C 14种 .D 12种
7.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号.从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号码买全，至少要花（ ）
.A 3360元 .B 6720元 .C 4320元
.D 8640元
8.有一个圆被两相交弦分成四块，现在用5种不同颜料给四块涂色，要求共边两快颜色互异，每块只涂一色，共有多少种涂色方法？
9.用5种不同的颜色给下图中A,B,C,D 四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，分别求甲、乙中不同的涂色方法.
10.我们把一元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面.现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”.问：一共可以得到多少个不同的这样的序列？。