江苏省南通市高三数学学科基地密卷(4)苏教版

2014年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．
=+-i
i i 1)
1(_________． 2．已知3
sin()45
x π-=，则sin 2x 的值为 ．
3．某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1000、1200和1500，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高三年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了 人． 4.一个算法的流程图如图所示，则输出的S 值为 .
、 5. 已知集合{|
2}1
x
M x x =>-，{||21|2}N x x =-<，则M ∩N 等于 ． 6. 函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0,则
n
m 2
1+的最小值为 . 7.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为
为 ．
8. 一个幼儿园的母亲节联谊会上，有5个小孩分别给妈妈画了一幅画作为礼物，放在了5个相同的信封里，可是忘了做标记，现在妈妈们随机任取一个信封，则恰好有两个妈妈拿到了自己孩子的画的概率为 ．
9. 过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A ，B 两点，若||2||FB AF =，则椭圆的离心率e = ．
10．水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是 ．
11．已知函数()sin f x ax x =+的图像在某两点处的切线相互垂直，则a 的值为 .
第4题
12．已知x ∈N *
，f (x )= 235(3)
(2)(3)
x x f x x ⎧-≥⎨+<⎩，其值域记为集合D ，给出下列数值：-26，-1，9，
14，27，65，则其中属于集合D 的元素是__ _______．(写出所有可能的数值)
13．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =__ ． 14．已知数列{} {}n n a b ，的前n 项和分别为n A ，n B ，且A 1000＝2，B 1000＝1007．记n n n n n n n C a B b A a b =⋅+⋅-⋅ （n ∈N *），则数列{C n }的前1000项的和为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15.（本小题满分14分）已知向量m =(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为
4
3π
,且m ·n =-1. (1)求向量n ；
(2)设向量a =(1，0)，向量b =(cos x ,2cos 2
(
2
x 3-π)),其中0<x <32π，若n ·a =0,试求｜
n +b ｜的取值范围．
16.（本小题满分14分）如图,AC ⊥平面α,AB //平面α,CD ⊂平面α,M ,N 分别为AC ,BD 的 中点,若AB =4,AC =2,CD =4,BD =6.
(1)求证:AB ⊥平面ACD ; (2)求MN 的长．
17.（本小题满分14分）如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和CD
，
AB =
，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：
B
A M
N D C
α 第16题图
（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？
（2）如图（2
）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？
18. (本小题满分16分) 已知数列{a n }满足，a n +1+ a n ＝4n －3(n ∈N *
) （1）若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ；
（3）若对任意n ∈N *,都有a 2n + a 2n +1≥20n －15成立，求a 1的取值范围．
19.（本小题满分16分）P 、Q 、M 、N 四点都在以原点为中心 ，离心率2
2
=
e ，左焦点)0,1(-F 的椭圆上，已知0PF FQ MF FN PF MF ⋅=与共线,与共线,，求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值．
A E
D C A
E D C B 图1 图2
20.（本小题满分16分）已知函数f (x )＝(x +1)ln x －a (x －1)在x ＝e 处的切线在y 轴上的截距为2－e ．
(1)求a 的值；
(2)函数f (x )能否在x ＝1处取得极值？若能取得，求此极值，若不能说明理由．
(3)当1<x <2时，试比较2x －1与 1ln x － 1ln(2－x )
大小．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，已知AD 为圆O 的直径，直线BA 与圆O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ,10AB =,12AC =. （1）求证：BA DC GC AD ∙=∙; （2）求BM ．
B ．（选修４－２：矩阵与变换）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵1
M -以及椭圆
22
149
x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=
.（1）写出直
线l 的参数方程；（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.
D ．（选修４－５：不等式选讲）设1,x y z ++=求22223F x y z =++的最大值. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
1
3
，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值. （1）求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；
（2）记“函数f (x )= x 2
－ξx -1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A ，
求事件A 发生的概率P （A ）．
23．过抛物线22y px =(p 为不等于2的素数)的焦点F,作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于
M ,N 两点,线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点,交x 轴于Q 点. (1)求PQ 中点R 的轨迹L 的方程;
(2).证明:L 上有无穷多个整点,但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.
2014年高考模拟试卷(4)参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题 1．1； 2．
7
25； 3. 185 ; 4. 120 ; 5. 3{|1}2
x x << ; 6. 8
; 7. 2
p ; 8.
61 ；9. 2
3
; 10．3R ； 11．0； 12．-26，14，65； 13． 1； 14．2014. 二、解答题
15. 解：(1)令n =(x ，y )，则⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+-=+143cos ·21
2
2πy x y x
即22
y 1
10
y 0
y 1y 1x x x x +=-=-=⎧⎧⎧∴⎨
⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或，故n =(-1,0)或n =(0，-1) (2)∵a =(1，0)，n ·a =0 ∴n =(0,-1)， n +b =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 32cos cosx,12x 3cos 2cos 2ππ，
x
故22241cos 2x 21cos2x 3cos cos 322n b x x ⎛⎫+- ⎪
+⎛⎫⎝⎭+=+-=+
⎪⎝⎭
ππ
=1+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎪⎭⎫
⎝⎛-+x 23cos x 2cos 211x 234cos x 2cos 21π
π
=1+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-
x 2sin 23
x 2cos 21211x 2sin 23x 2cos 21-cos2x 21
=1+⎪⎭
⎫
⎝⎛+3x 2cos 21π
∵0<x <
25,2x 3333
∴<+<ππππ，则-1≤cos .2
5b n 22 45b n 21 213x 22
<+≤<+≤∴<⎪⎭⎫ ⎝
⎛+故
π
16．（1）证明：如图,作BG α⊥于G,连接DG, 在Rt △BDG 中,BD=6,BG=2,∴DG=24 又AB=CG=4,CD=4,故△CDG 为等腰直角三角形 ∴GC ⊥CD,又AC α⊥,∴GC ⊥AC,AC∩CD=C ∴GC ⊥平面ACD, ∴AB ⊥平面ACD (2)取AD 的中点H,连接MH,NH,
∴NH//AB, ∴NH ⊥平面ACD, ∴NH ⊥MH ∵22,22
1
,221=∴====MN AB NH CD MH ． 17.
A E
C
A E
D C B B
A M N D
C
α
解：（1）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则
1
1tan cos cos y θθθ+==（其中002πθθ<<<，0tan 7θ=），2sin sin cos y θθθ
'=+
当tan θ=34=BE 时，min 8y =.
（2）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则
()1cos sin y θθ=++⎝⎭（其中00θθ<<，0tan 3θ==）.
()()
22cos sin 1sin cos cos sin sin cos y θθθθθθθθ⎫-'=+++++-⎪
⎭⎝⎭
令0y '=得sin cos θθ=，当π4
θ=时，即36=BE 时)
min 2y =.
答：按方法（1），34=BE 米时，钢丝绳最短；按方法（2），36=BE 米时，钢丝绳最短.
18. 解:（1）若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1+(n －1)d ，a n +1
＝a 1+nd ．
由a n +1+ a n ＝4n －3，得(a 1+nd )+[
a 1+(n －1)d ] ＝4n －3，即2d ＝4，2a 1－d ＝4－3，
解得，d ＝2，a 1＝－1
2
．
（2）由a n +1+ a n ＝4n －3，得a n +2+ a n +1＝4n +1(n ∈N *
)．
两式相减，得a n +2－ a n ＝4．
所以数列{a 2n -1}是首项为a 1，公差为4的等差数列， 数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列， 由a 2+a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1．
所以a n ＝⎩⎨⎧2n ， n 为奇数，
2n －5， n 为偶数．
①当n 为奇数时，则a n ＝2n ，a n +1＝2n －3．
所以S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+ …+(a n -2+a n -1)+a n ＝1+9+…+(4n －11)+2n ＝2n 2
－3n +5
2．
②当n 为偶数时，
S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+ …+(a n -1+a n ) ＝1+9+…+(4n －7) ＝2n 2
－3n 2
．
所以S n ＝⎩
⎨⎧2n 2
－3n +5
2， n 为奇数， 2n 2
－3n 2
， n 为偶数．
（3）由（2）知，a n ＝12
22(23(n a n n a n -+⎧⎨-⎩为奇数）
为偶数）
①当n 为奇数时，a n ＝2n －2+a 1，a n +1＝2n －1－a 1．
由a 2n + a 2n +1≥20n －15，得a 12－a 1≥－4n +16n －10．
因为－4n +16n －10＝－4(n －2)2
+6≤2，
当n ＝1，或3时，［－4(n －2)2
+6］max ＝2．
所以 a 12
－a 1≥2．解得 a 1≥2，或a 1≤－1． ②当n 为偶数时，a n ＝2n －a 1－3，a n ＝2n +a 1．
由由a 2n + a 2n +1≥20n －15，得a 12+3a 1≥－4n +16n －12．
－4n +16n －12＝－4(n －2)2
+4≤4． 当n ＝2时，［－4(n －2)2
+4］max ＝4．
所以a 12
+3≥4，解得a 1≥1，a 1≤4．
综合①、②上，a 1的取值范围是(－∞，－4]∪[2，+∞)．
19. 解：椭圆方程为2
212
x y +=. 0·=MF PF , ∴ PQ MN ⊥.
设PQ 的方程为1ky x =+，代入椭圆方程消去x 得2
2
(2)210k y ky +--=. 设1122(,),(,)P x y Q x y ,
则12PQ y y =-=
22)
2k k
+==+. (Ⅰ)当0k ≠时,MN 的斜率为1
k
-
,
同理可得22
1)12k MN k +=+
,
故四边形面积222214(2)12252k k S PQ MN k k
++
=⋅=++. 令2
21u k k =+,则2u ≥,即4(2)12(1)5252u S u u
+=
=-++
当1k =±时,162,9u S ==
.且S 是以u 为自变量的增函数,∴
16
29
S ≤<.
(Ⅱ) 当0k =时,MN 为椭圆的长轴,MN PQ ==
1
22
S PQ MN =
⋅= 综合(Ⅰ) (Ⅱ)知,四边形PQMN 面积的最大值为2,最小值为169
. 20. 解：(1) f′(x )＝ln x +1
x
+1－a ．
依题设，得
f (e)－(2－e)
e －0
＝f′(e)，即
e+1－a (e －1)－(2－e)＝e(1+1
e +1－a )，解得a ＝2．
(2)不能．
因为f′(x )＝ln x +1x －1， 记g (x )＝ln x +1x －1，则g ′(x )＝x －1
x
2．
①当x >1时，g ′(x )>0，所以g (x )在(1，+∞)是增函数，所以g (x )> g (1)＝0，所以f′(x )>0； ②当0<x <1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，1)是减函数，所以g (x )>g (1)＝0，所以f′(x )>0． 由①、②得f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以函数f (x )不能在x ＝1处取得极值． (3)当1<x <2时，
2x －1>1ln x －1ln(2－x )
．证明如下： 当1<x <2时，由(2)得f (x )在(1，2)为增函数，所以f (x )>f (1)＝0． 即(x +1)ln x >2(x －1)，
所以 1ln x <x +12(x －1)
①
当0<x <1时，由(2)得f (x )在(0，1)为增函数，所以f (x )<f (1)＝0． 即(x +1)ln x <2(x －1)，
所以1ln x >x +12(x －1)
． ②
当1<x <2时，0<2－x <1，由②得1ln(2－x )>3－x 2(1－x )，即－1ln(2－x )<3－x
2(x －1)
③
①+③得1ln x －1ln(2－x )<2
x －1
．得证．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21. A.（1）因为AC OB ⊥，所以0
90AGB ∠=
又AD 是圆O 的直径，所以0
90DCA ∠=
又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对圆周角） 所以Rt AGB Rt DCA ∆∆和所以
BA AG
AD DC
=
又因为OG AC ⊥，所以GC AG =相似
所以
BA GC AD DC
=，即BA DC GC AD ∙=∙ （2）因为12AC =，所以6AG =， 因为10AB =
，所以8BG ==
由（1）知：Rt AGB ∆～Rt DCA ∆。

所以
AB BG AD AC = 所以15AD =，即圆的直径215r =
又因为()2
2AB BM BM r =∙+，即2151000BM BM +-= 解得5BM =
B ．（1）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦
，它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 椭圆22
149
x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=． C.（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即12112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． （2
）把直线1112
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ，
得2221(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．
(
)()2
2222222D.11111232362311x y z z x y z F x y z ⎫=++=+∙⎪⎭⎛⎫≤++++ ⎪⎝⎭
∴=++≥
1z == 且3261,,,111111
x y z x y z ++==== F 有最小值611
22.（1）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4．
“ξ=0”指的是实验成功2次 ，失败2次；
()2224111424016339981P C ξ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. “ξ=2”指的是实验成功3次 ，失败1次或实验成功1次 ，失败3次； ()3331441111211333312184044.27332781
P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯+⨯⨯=
“ξ=4”指的是实验成功4次 ，失败0次或实验成功0次 ，失败4次；
()444
04
411116174133818181P C C ξ⎛⎫⎛⎫∴==+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24401714802481818181
E ξ∴=⨯+⨯+⨯=. 故随机变量ξ的数学期望E(ξ)为14881
. （2）由题意知：f(2)f(3)=(3-2ξ)(8-3ξ)0<，故3
823<<ξ . 3840()()(2)2381P A P P ξξ∴=<<===，故事件A 发生的概率P （A ）为81
40. 23.(1)抛物线22y px =的焦点为(,0)2p ,设l 的直线方程为()2
p y k x =-(0)k ≠.
由22()2
y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得222221(2)04k x pk p x p k -++=,设M,N 的横坐标分别为12,x x , 则21222pk p x x k ++=,得2122222P x x pk p x k ++==,222()22P pk p p p y k k k
+=-=, 而PQ l ⊥,故PQ 的斜率为1k -,PQ 的方程为22
12()2p pk p y x k k k +-=--. 代入0Q y =得222223222Q pk p pk p x p k k
++=+=.设动点R 的坐标(,)x y ,则 21()21()22P Q P Q p x x x p k p
y y y k ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩
,因此222()4(0)p p x p y y k -==≠, 故PQ 中点R 的轨迹L 的方程为24()(0)y p x p y =-≠.
(2)显然对任意非零整数t ,点2((41),)p t pt +都是L 上的整点,故L 上有无穷多个整点. 假设L 上有一个整点(x ,y )到原点的距离为整数m,不妨设0,0,0x y m >>>,则 2222()4()()
x y m i y p x p ii ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,因为p 是奇素数,于是p y ,从()ii 可推出p x ,再由()i 可推出 p m ,令111,,x px y py m pm ===,则有222111211()41()
x y m iii y x iv ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩, 由()iii ,()iv 得2211114
x x m -+=,于是2211(81)(8)17x m +-=,即 1111(818)(818)17x m x m +++-=,于是1181817x m ++=,118181x m +-=, 得111x m ==,故10y =,有10y py ==,但L 上的点满足0y ≠,矛盾!
因此,L 上任意点到原点的距离不为整数.。