一次函数提高练习及答案解析

一次函数提高练习及答案解析
一．选择题（共8小题）
1．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其
中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，
中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）
A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3
2．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）
3．如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动
时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是（）
A．5B．4C．3 D．2
4．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包
括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长是（）
A．5B．7.5C．10D．25
5．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB
的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）
A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）
6．如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接PE，PD，PC，DE．设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关
系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段
PD B．线段PC C．线段PE D．线段DE
7．两辆汽车沿同一条路赶赴出发地480km的某地，甲匀速行驶一段时
间出现故障，停车检修后继续行驶，图中折线OABC，线段DE分别表示
甲、乙所行的路程y（km）与甲车出发时间x（h）间的函数关系，以下结论中错误的个数有（）
①乙车比甲车晚出发2h；
②乙车的平均速度为60km/h；
③甲车检修后的平均速度为120km/h；
④两车第二次相遇时，它们距出发地320km；
⑤图中EF=DF．A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（）
A．B．C．D．二．填空题（共8小题）
9．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k=．
10．在下列函数①y=2x+1；②y=x2+2x；③y=；④y=﹣3x中，与众不同的一个是（填序号），你的理由是．
11．若y=（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，则a=．
12．如图，在一次函数y=﹣x+10的图象上取一点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足为B，
且矩形PBOA的面积为9，则点P的坐标为．
13．如图，直线l：y=﹣x+与x轴、y轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直
线l对称，则∠OBC=．点C的坐标为．
14．已知k===，则k=；若n2+16+=8n，则关于x的一次函
数y=kx+n﹣m的图象一定经过第象限．
15．如图，直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段OA
上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t
秒，连接CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为．
16．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（﹣4，0），
点P为直线一动点，当PC+PO值最小时点P的坐标为．
三．解答题（共8小题）
17．综合与探究：如图，直线y=﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BA边向终点A运动，同时点Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点B 运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设△OPQ的面积为S，求S与运动时间t之间的函数关系式；
（3）在点P，Q运动的过程中，是否存在点N，使得以点A，P，Q，N为顶点的
四边形是矩形？若存在，求t的值并直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
18．为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．人均住房面积（平方米）单价（万元/平方米）
不超过30（平方米）0.3
超过30平方米不超过m（平方米）部分（45≤m≤60）0.5
超过m平方米部分0.7
根据这个购房方案：
（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；
（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米左右，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m 的取值范围．
19．为便民惠民，人民公园特推出下列优惠方案：
①普通卡：每人每次20元；
②贵宾卡：年费为200元，每人每次10元；
③至尊卡：年费为500元，但进入不再收费．
设某人参观x次时，所需总费用为y元．
（1）直接写出选择普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，求出点A，B，C的坐标；
（3）根据图象，直接写出选择哪种方案更合算．
20．已知一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是﹣5≤y≤﹣2，求这个一次函数的解析式．
21．如图，直线y=﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，
y）是直线y=﹣x+10在第一象限内一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．
22．如图，直线y=kx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B，边长为2的等边△COD
的顶点C、D分别在线段AB、OB上，且DO=2DB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求直线AB的解析式．
23．如图，一次函数y=x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）若点P（﹣1，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？
若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？
（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB
的面积是4，求m的值．
24．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B，已线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°．
（1）分别求点A、C的坐标；
（2）在x轴上求一点P，使它到B、C两点的距离之和最小．
2017年03月01日神州N号的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）
A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，
∴S2=S1﹣S3，
∴S3=2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．
故选A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．
2．（2017•安徽模拟）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）
A．B．C．D．
【分析】过点P作PD⊥AB于点D，分类求出点P从A→C和从C→B函数解析式，即可得到相应的函数图象．
【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D，△ABC是边长为4cm的等边三角形，
则AP=2x，
当点P从A→C的过程中，AD=x，PD=x，如右图1所示，
则y=AD•PD==，（0≤x≤2），
当点P从C→B的过程中，BD=（8﹣2x）×=4﹣x，PD=（4﹣x），PC=2x﹣4，如右图2所示，
则△ABC边上的高是：AC•sin60°=4×=2，
∴y=S
△ABC ﹣S
△ACP
﹣S
△BDP
=﹣=（2＜x≤4），
故选B．
【点评】本题考查了动点函数的图象问题，解决本题的关键是画出相应的图形，求出相应的函数解析式，明确各段对应的函数图象，利用数形结合的思想解答问题．
3．（2017•贾汪区一模）如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是（）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据△ADM和△ABM的面积，即可判定点P不可能在AB或AD边上，由此不能得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，AM=BM，
∴△ADM，△ABM的面积为4，△DMP面积达到5cm2，
∴点P不可能在AD或AB边上，P只有可能在BC或CD边上，
∴当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是2次，
故选D．
【点评】本题考查动点问题、正方形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是求出△ADM、△ABM 的面积，属于基础题，中考常考题型．
4．（2017•东光县一模）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长是（）
A．5B．7.5C．10D．25
【分析】根据待定系数法求得直线AB的解析式y=﹣x+5，设P点坐标为（m，﹣m+5），然后根据周长公式可得出答案．
【解答】解：∵A（5，0），B（0，5），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5，
∵P是线段AB上任意一点（不包括端点），
∴设P点坐标为（m，﹣m+5），
如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
∵P点在第一象限，
∴PD=﹣m+5，PC=m，
∴矩形PDOC的周长为：2（m﹣m+5）=10，
故选C．
【点评】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法求得直线AB的关系是解题的关键．
5．（2016•包头）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB 的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）
A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）
【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
【解答】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y=x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴有，解得：，
∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．
令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选C．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
6．（2017•裕华区一模）如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接PE，PD，PC，DE．设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）
A．线段PD B．线段PC C．线段PE D．线段DE
【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质确定各个线段取最小值时，x的范围，结合图
象得到答案．
【解答】解：设边长AC=a，
则0＜x＜a，
根据题意和等边三角形的性质可知，
当x=a时，线段PE有最小值；
当x=a时，线段PC有最小值；
当x=a时，线段PD有最小值；
线段DE的长为定值．
故选：C．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，灵活运用等边三角形的性质和函数的对称性是解题的关键．
7．（2016•哈尔滨模拟）两辆汽车沿同一条路赶赴出发地480km的某地，甲匀速行驶一段时间出现故障，停车检修后继续行驶，图中折线OABC，线段DE分别表示甲、乙所行的路程y（km）与甲车出发时间x （h）间的函数关系，以下结论中错误的个数有（）
①乙车比甲车晚出发2h；
②乙车的平均速度为60km/h；
③甲车检修后的平均速度为120km/h；
④两车第二次相遇时，它们距出发地320km；
⑤图中EF=DF．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】因为（1）坐标系中横坐标表示时间（单位：时），纵坐标表示两车的行程（单位：米），故分析两图象始点坐标即可解①；（2）利用平均速度=可求；
（3）求出F的纵坐标，即可求出甲在6时到8时的速度即可解决问题③④；（4）利用相似三角形的性质解决问题⑤．
【解答】解：①∵点D（2，0）表示2时乙的行程为0米，即：乙车比甲车晚出发2h，
∴①说法正确；
②∵乙总行程为480米=0.48千米，用时10﹣2=8（小时），
∴乙的平均速度=0.48÷8=0.06km/h，
即：结论②错误
③∵乙的平均速度=0.06km/h，当x=6h时，其行路程是：0.06×6=0.36千米=360米，
∴甲检修后行驶480﹣360=120米=0.12千米，所用时间为2小时，
故：甲车检修后的平均速度为：0.12÷2=0.06km/h；
即：结论③错误
④∵点F是两函数图象的交点，表示此刻甲乙两车相遇，
∴由上述分析可知结论④错误
⑤∵由题意可知：，即：DE=2DF，DF=EF，
∴结论⑤正确
故：选C
【点评】本题考查了函数图象的性质及其应用，解题的关键是利用图象特点分析两车的运动状态，理清两车在运动过程中的位置、时间等关系．
8．（2016•南漳县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据动点从点A出发，首先向点B运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在BC上运动时，
y随着x的增大而增大，当点P在CD上运动时，y不变，据此作出选择即可．
【解答】解：当点P由点A向点B运动，即0≤x≤4时，y的值为0；
当点P在BC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；
当点P在CD上运动，即8＜x≤12时，y不变；
当点P在DA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
二．填空题（共8小题）
9．（2017•河北区校级模拟）已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k=﹣1．
【分析】让x的系数不为0，常数项为0列式求值即可．
【解答】解：∵y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴k﹣1≠0，k2﹣1=0，
解得k≠1，k=±1，
∴k=﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0．
10．（2016•海淀区一模）在下列函数①y=2x+1；②y=x2+2x；③y=；④y=﹣3x中，与众不同的一个是③（填序号），你的理由是只有③的自变量取值范围不是全体实数．
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0进行计算即可．
【解答】解：①y=2x+1中自变量的取值范围是全体实数；
②y=x2+2x中自变量的取值范围是全体实数；
③y=中自变量的取值范围是x≠0；
④y=﹣3x中自变量的取值范围是全体实数；
理由是：只有③的自变量取值范围不是全体实数
故答案为：③，只有③的自变量取值范围不是全体实数．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键．
11．（2016•和平区四模）若y=（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，则a=3．
【分析】根据正比例函数的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由y=（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，得
a2﹣9=0且a+3≠0．
解得a=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，利用正比例函数的定义得出方程是解题关键，注意比例系数不能为零．
12．（2016•舟山校级模拟）如图，在一次函数y=﹣x+10的图象上取一点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足为B，且矩形PBOA的面积为9，则点P的坐标为（1，9），（9，1），（5+，5﹣）或（5﹣，5+）．
【分析】设点P的坐标为（m，﹣m+10），根据矩形的面积为9可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可得出m值，将其代入点P坐标中即可得出结论．
【解答】解：设点P的坐标为（m，﹣m+10），
由已知得：|m|•|﹣m+10|=9，
即m2﹣10m+9=0或m2﹣10m﹣9=0，
解得：m1=1，m2=9，m3=5+，m4=5﹣，
∴点P的坐标为：（1，9），（9，1），（5+，5﹣）或（5﹣，5+）．
故答案为：（1，9），（9，1），（5+，5﹣）或（5﹣，5+）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的面积，解题的关键是根据矩形的面积得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据矩形的面积得出方程是关键．
13．（2017春•普陀区校级月考）如图，直线l：y=﹣x+与x轴、y轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线l对称，则∠OBC=60°．点C的坐标为（，）．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，先根据直角三角形的性质求出OA，OB的长度，根据直角三角形特殊角的三角函数值可求得有关角的度数．利用轴对称性和直角三角函数值可求得AE，CE的长度，从而求得点C的坐标．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
由直线AB的解析式可知
当x=0时，y=﹣x+，即OB=
当y=0时，x=1，即OA=1
∵∠AOB=∠C=90°，tan∠3=OB：OA=
∴∠3=60°，
∵△AOB与△ACB关于直线l对称
∴∠2=∠3=60°，则∠OBC=60°，AC=OA=1，
∴∠1=180°﹣∠2﹣∠3=60°，
在Rt△ACE中，
AE=cos60°×AC=×1=，
CE=sin60°×AC=，
∴OE=1+=，
∴点C的坐标是（，）．
故答案为：60°，（，）．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的性质和有关轴对称的性质，熟练运用数形结合的知识解题是关键．
14．（2016秋•温江区校级月考）已知k===，则k=1或﹣2；若n2+16+=8n，则关于x的一次函数y=kx+n﹣m的图象一定经过第一、二象限．
【分析】根据k===即可得出k=1或﹣2，由n2+16+=8n利用偶次方及被开方数非零即可得出m、n的值，进而可得出n﹣m的值，再根据一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数经过的象限，此题得解．
【解答】解：∵k===，
∴a=b=c，k=1或a+b=﹣c，k=﹣2．
∵n2+16+=8n，
∴（n﹣4）2+=0，
∴m=﹣6，n=4，
∴n﹣m=10＞0，
∴一次函数y=kx+n﹣m的图象经过第一、二、三象限或第一、二、四象限．
故答案为：1或﹣2；一、二．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及偶次方及被开方数非零，通过解方程组以及偶次方和被开方数非零求出k和n﹣m的值是解题的关键．
15．（2016秋•普宁市期末）如图，直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为2或4．
【分析】分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可．
【解答】解：∵由，得，
∴C（2，2）；
如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ，
∵C（2，2），
∴OQ=CQ=2，
∴t=2，
②如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ，
过C作CM⊥OA于M，
∵C（2，2），
∴CM=OM=2，
∴QM=OM=2，
∴t=2+2=4，
即t的值为2或4，
故答案为：2或4；
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，等腰直角三角形等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．
16．（2016秋•金堂县校级期末）如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C （﹣4，0），点P为直线一动点，当PC+PO值最小时点P的坐标为（﹣，）．
【分析】作点C关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，OC′交直线y=x+6于点P，则点P即为所求．求出AB两点的坐标，据此可得出∠BAO及∠ACC′的度数，根据轴对称的性质得出△ACC′是等腰直角三角形，故可得出C′点的坐标，利用待定系数法求出直线OC′的坐标，进而可得出P点坐标．
【解答】解：如图，作点C关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，
OC′交直线y=x+6于点P，则点P即为所求，
∵直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（﹣6，0），B（0，6），
∴∠BAO=45°．
∵CC′⊥AB，
∴∠ACC′=45°．
∵点C，C′关于直线AB对称，
∴AB是线段CC′的垂直平分线，
∴△ACC′是等腰直角三角形，
∴AC=AC′=2，
∴C′（﹣6，2）．
设直线OC′的解析式为y=kx（k≠0），则2=﹣6k，解得k=﹣，
∴直线OC′的解析式为y=﹣x，
∴，解得，
∴P（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（2016•太原二模）综合与探究：如图，直线y=﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BA边向终点A运动，同时点Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点B运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设△OPQ的面积为S，求S与运动时间t之间的函数关系式；
（3）在点P，Q运动的过程中，是否存在点N，使得以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求t的值并直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于直线解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，即可求出A与B坐标；
（2）如图1所示，过P作PH垂直于x轴，由题意求出OQ=BP=1，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，进而求出sin∠ABO的值，根据BP=t表示出PH，分情况分类讨论表示出S与t的函数关系式即可；
（3）存在点N，使得以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形，分三种情况考虑：①如图2所示，当∠APQ=90°时，∠BPQ=∠AOB=90°；②如果∠PAQ=90°；③如果∠AQP=90°，当Q与O重合时，t=0，此时N 坐标为（4，3），分别求出t的值，进而相应求出N的坐标即可．
【解答】解：（1）对于直线y=﹣x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4，
∴A（0，3），B（4，0）；
（2）如图1所示，过P作PH⊥x轴于H，
由题意得：OQ=BP=t，
由题意得：OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，
根据勾股定理得：AB===5，
∴sin∠ABO=，
在Rt△PHB中，∠PHB=90°，BP=t，
∴PH=BPsin∠ABO=t，
当0≤t＜4时，S=×OQ×PH=×t×t=t2；
当4≤t＜5时，点Q与点B重合，OQ=OB=4，PH=t，
∴S=×OQ×PH=×4×t=t，
综上，S与t的函数解析式为S=；
（3）存在以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形，
①如图2所示，当∠APQ=90°时，∠BPQ=∠AOB=90°，
由（2）得：cos∠PBQ=，即=，
解得：t=，此时N坐标为（﹣，）；
②如果∠PAQ=90°，
∵∠OAB为锐角，∠PAQ＜∠OAB，
∴不成立，∠PAQ≠90°；
③如果∠AQP=90°，当Q与O重合时，t=0，此时N坐标为（4，3），当0＜t≤5时，如图3所示，过P作PM⊥x轴于点M，
由①得：MB=t，
∴QM=OB﹣OQ﹣BM=4﹣t，
∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°，
∴∠OAQ=∠MQP，
∴Rt△AOQ∽Rt△QMP，
∴=，
即=，
解得：t=，此时N坐标为（，），
综上所述，当t的值为0，，时，以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标分别为（4，3），（﹣，），（，）．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
18．（2017•河南模拟）为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．
人均住房面积（平方米）单价（万元/平方米）
不超过30（平方米）0.3
0.5
超过30平方米不超过m（平方米）部分（45≤m≤
60）
超过m平方米部分0.7
根据这个购房方案：
（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；
（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米左右，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m 的取值范围该．
【分析】（1）根据房款=房屋单价×购房面积就可以表示出应缴房款；
（2）由分段函数当0≤x≤30，当30＜x≤m时，当x＞m时，分别求出y与x之间的表达式即可；（3）当50≤m≤60和当45≤m＜50时，分别讨论建立不等式组就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90+0.5×30=42（万元）．
（2）由题意，得
①当0≤x≤30时，y=0.3×3x=0.9x；
②当30＜x≤m时，y=0.3×3×30+0.5×3×（x﹣30）=1.5x﹣18；
③当x＞m时，y=0.3×3×30+0.5×3（m﹣30）+0.7×3×（x﹣m）=2.1x﹣0.6m﹣18．
∴y=；
（3）由题意，得
①当50≤m≤60时，y=1.5×50﹣18=57（舍）；
②当45≤m＜50时，y=2.1×50﹣0.6m﹣18=87﹣0.6m．
∵57＜y≤60，∴57＜87﹣0.6m≤60，∴45≤m＜50．
综合①②得45≤m＜50．
【点评】本题考查了房款=房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，求分段函数的解析式的运用，建立不等式组求解的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
19．（2016•驻马店模拟）为便民惠民，人民公园特推出下列优惠方案：
①普通卡：每人每次20元；
②贵宾卡：年费为200元，每人每次10元；
③至尊卡：年费为500元，但进入不再收费．
设某人参观x次时，所需总费用为y元．
（1）直接写出选择普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，求出点A，B，C的坐标；
（3）根据图象，直接写出选择哪种方案更合算．
【分析】（1）根据：总费用=每人次费用×参观次数与总费用=年费+每人次费用×参观次数可分别普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；
（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；
（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．
【解答】解：（1）普通卡：y1=20x；贵宾卡：y2=10x+200；
（2）令y1=500得：20x=500，解得：x=25，
∴点B坐标为（25，500）；
令y2=500得：10x+200=500，解得：x=30，
∴点C的坐标为（30，500）；
联立y1、y2得：，
解得：，
∴点A的坐标为（20，400）；
∴A（20，400），B（25，500），C（30，500）．
（3）①当0＜x＜20时，选择普通卡更合算；
②当x=20时，选择普通卡和贵宾卡的总费用相同，均比至尊卡合算；
③当20＜x＜30时，选择贵宾卡更合算；
④当x=30时，选择贵宾卡和至尊卡的总费用相同，均比普通卡合算；
⑤当x＞30时，选择至尊卡更合算．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．
20．（2016秋•安庆期末）已知一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是﹣5≤y≤﹣2，求这个一次函数的解析式．
【分析】根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当k＞0时，y随x的增大而增大，把x=﹣3，y=﹣5；x=6，y=﹣2代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当k＜0时，y随x的增大而减小，把x=﹣3，y=﹣2；x=6，y=﹣5代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式．
【解答】解：分两种情况：
①当k＞0时，把x=﹣3，y=﹣5；x=6，y=﹣2代入一次函数的解析式y=kx+b，
得，
解得，
则这个函数的解析式是y=x﹣4（﹣3≤x≤6）；
②当k＜0时，把x=﹣3，y=﹣2；x=6，y=﹣5代入一次函数的解析式y=kx+b，
得，
解得，
则这个函数的解析式是y=﹣x﹣3（﹣3≤x≤6）．
故这个函数的解析式是y=x﹣4（﹣3≤x≤6）或者y=﹣x﹣3（﹣3≤x≤6）．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，注意要分情况讨论．
21．（2016春•潮南区期末）如图，直线y=﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y=﹣x+10在第一象限内一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．
=OA•y，然后把y转换成x，即可求得△OPA的面积S与x 【分析】（1）根据三角形的面积公式S
△OPA
的函数关系式；
（2）把s=10代入S=﹣4x+40，求得x的值，把x的值代入y=﹣x+10即可求得P的坐标．
【解答】解（1）∵A（8，0），
∴OA=8，
S=OA•|y P|=×8×（﹣x+10）=﹣4x+40，（0＜x＜10）．
（2）当S=10时，则﹣4x+40=10，解得x=，
当x=时，y=﹣+10=，
∴当△OPA的面积为10时，点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，把求三角形的面积和一次函数的图象结合起来，综合性比较强．
22．（2016春•潮南区期末）如图，直线y=kx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B，边长为2的等边△COD 的顶点C、D分别在线段AB、OB上，且DO=2DB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求直线AB的解析式．
【分析】（1）作CH⊥OD于H，如图，根据等边三角形的性质得OH=DH=OD=1，再根据勾股定理计算出CH=，则可得到C点坐标为（1，）；然后利用OD=2DB得到DB=1，则可得到B点坐标为（3，0）；（2）把C（1，），B（3，0）代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：（1）作CH⊥OD于H，如图，
∵△OCD为等边三角形，
∴OH=DH=OD=1，
在Rt△OCH中，∵OC=2，OH=1，
∴CH==，
∴C点坐标为（1，）；
∵OD=2DB，
∴DB=1，
∴OB=3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）把C（1，），B（3，0）代入y=kx+b得，
解得．
故直线AB的解析式为y=﹣x+．。