21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)

2
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
2. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
第二十一章
一次二次方程
21.2 解一元二次方程
识回顾
配方法
公式
− ± 2 − 4
=
2
① a≠0
公式法
ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0)
注意
步骤
② Δ = b2 − 4ac≥0
1. 变形；2. 定数；3. 判定；4. 计算
用公式法解下列方程
A. k > −1
B. k > −1 且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
变式 若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( A )
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
例4 .若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴ 方程无实数根．
（3） x2 − x + 1 = 0.
若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值
范围.
解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0．
Δ = 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0.
D．m＜1
关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个实根，则 m 的取值范围是______
m≤1
不解方程，判断下列方程的根的情况：
（2）x2 −
3x − 4 = 0；
解：（1）a = 2，b = 3，c = −4，
（1）2x2 +
1
x + = 0；
4
∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41＞0.
我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希
腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac.
针对练习
按要求完成下列表格：
3x
Δ 的值
根的情况
2
4
4x
3
0
0
有两个相等的实
数根
1 2
x x 1 0
3
1
3
没有实数根
x2 1 0
4
有两个不相
等的实数根
典例讲解
2
ax
bx c.
解：移项，得
b
c
方程两边都除以 a，得 x x .
a
a
2
2
b
c b
b
2
配方，得 x x .
a
a 2a
2a
2
b
b 2 4ac

.①
x 2a
2
4a


2
即
∵ a≠0，∴ 4a2 > 0.
由三角形的三边关系，得 c = 5，
∴△ABC 的三边长为 5，2，5，其周长为 5 + 2 + 5 = 12.
解下列方程
(1) x2 + 7x – 18 = 0.
x1 = −9， x2 = 2 .
(2) (x - 2) (1 - 3x) = 6.
∴ 原方程没有实数根.
(3)
2x2
- 3 3 x + 3 = 0.
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2 + 4x − 3 = 0；
（2）4x2 = 12x − 9； （3）7y = 5( y2 + 1 ).
解：（1）a = 3，b = 4，c = −3，
∴ Δ = b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0.
∴ 方程有两个不相等的实数根．
3
即 x1 3，x2
.
2
无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答
案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
∴Δ>0
∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.
x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：∵关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 − b = 0 有两个相等的实数根，
∴ Δ = (b + 2)2 − 4(6 − b) = b2 + 8b − 20 = 0.
解得 b1= −10（舍去），b2 = 2.
(1) x2 − 4x − 7 = 0；
x1
(2) 2x2 − 2 2 x + 1 = 0；
x1 = x2
(3)
5x2－3x
= x + 1；
(4) x2 + 17 = 8x.
2
11 ，x2
1
x1 1, x2 .
5
方程没有实数根.
2
11.
课堂导问
✓ 不解一元二次方程，判断根的情况？
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
∴ 方程没有实数根．
例2 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q
的取值范围是 ( C )
A. q≤4
B. q≥4
C. q＜16
D. q＞16
例3 若关于 x 的一元二次方程 kx2 − 2x − 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k
的取值范围是 ( B )
∴ 方程有两个不等的实数根．
1
（2）a = 1，b = −1，c = ，
4
∴Δ=
b2 −
4ac =
(−1)2 −
1
4×1× 4 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）x2 − x + 1 = 0，a = 1，b = −1，c = 1，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1×1 = −3 < 0.
而 b2－4ac 的符号有以下三种情况：
(1) b2－4ac ＞0，
(2) b2－4ac ＞0，
(3) b2－4ac ＞0，
(1) b2－4ac ＞0，
则方程有两个不相等的实数根
(2) b2 - 4ac = 0，
方程有两个相等的实数根
x1 = x2 = -
.
(3) b2 - 4ac ＜0，
方程无实数根.