2019-2020学年河北省唐山市路北区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共14小题）
1．下列方程中，为一元二次方程的是（）
A．2x+1＝0B．3x2﹣x＝10C．D．x2+y2＝5．2．若反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则它的图象也一定经过的点是（）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）3．如图，在△ABC中，∠A＝90°．若AB＝12，AC＝5，则cos C的值为（）
A．B．C．D．
4．反比例函数y＝﹣的图象在（）
A．第二、四象限B．第一、三象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（）A．15B．6C．9D．8
6．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
7．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
8．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S
＝（）
△AOB
A．1B．2C．4D．8
9．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（）A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝19C．（x+2）2＝13D．（x+2）2＝7 10．如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（）
A．（2，4）B．（2，6）C．（3，6）D．（3，4）
11．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD＝48°，则∠DCA的大小为（）
A．48°B．42°C．45°D．24°
13．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3 14．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE＝4，S△CDE ＝16，则△ACD的面积为（）
A．64B．72C．80D．96
二．填空题（共4小题）
15．已知二次函数y＝a（x+3）2﹣b（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为．16．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则a2+2ab+b2的值为．17．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．
18．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为．
三．解答题（共8小题）
19．（1）计算：|﹣1|+2sin45°﹣+tan260°
（2）已知：，求
20．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）3x2﹣6x+1＝2
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在BC边，且⊙O经过A，B两点上（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AO，求证：AO平分∠CAB．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y＝（k≠0）相交于A，B 两点，且点A的横坐标是3．
（1）求k的值；
（2）过点P（0，n）作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y＝x﹣2交于点M，与双曲线y＝（k≠0）交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．
23．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；
（2）如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度．
24．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．
25．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3？若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．
（1）当AE＝8时，求EF的长；
（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．下列方程中，为一元二次方程的是（）
A．2x+1＝0B．3x2﹣x＝10C．D．x2+y2＝5．【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【解答】解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程不是分式方程，故本选项错误；
D、该方程属于二元二次方程，故本选项错误．
故选：B．
2．若反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则它的图象也一定经过的点是（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点的横纵坐标之积为6的点在反比例函数图象上，由此分别对各点进行判断．
【解答】解：根据题意得k＝2×3＝6，
所以反比例函数解析式为y＝，
∵﹣3×（﹣2）＝6，2×（﹣3）＝﹣6，3×（﹣2）＝﹣6，﹣2×3＝﹣6，
∴点（﹣3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上．
故选：A．
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°．若AB＝12，AC＝5，则cos C的值为（）
A．B．C．D．
【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边解答．
【解答】解：根据勾股定理得，BC＝＝＝13，
所以，cos C＝＝．
故选：A．
4．反比例函数y＝﹣的图象在（）
A．第二、四象限B．第一、三象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
【分析】直接利用反比例函数图象分布象限规律进而分析得出答案．
【解答】解：反比例函数y＝﹣的图形在：第二、四象限．
故选：A．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（）A．15B．6C．9D．8
【分析】首先根据正弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理求得BC的长．【解答】解：∵sin B＝＝，
∴AC＝AB×＝6，
∴直角△ABC中，BC＝＝＝8．
故选：D．
6．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y＝得﹣1＝﹣1，故A选项正确；
B、∵k＝2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；
D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：C．
7．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，
∴这两个相似多边形的相似比是1：2，
则这两个相似多边形的周长之比是1：2，
故选：A．
8．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S
＝（）
△AOB
A．1B．2C．4D．8
【分析】利用反比例函数k的几何意义求得即可．
【解答】解：根据题意得：S△AOB＝×4＝2，
故选：B．
9．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（）A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝19C．（x+2）2＝13D．（x+2）2＝7【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2+4x＝3，
∴x2+4x+4＝3+4，即（x+2）2＝7，
故选：D．
10．如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（）
A．（2，4）B．（2，6）C．（3，6）D．（3，4）
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：由题意得，点A与点C是对应点，
△AOB与△COD的相似比是3，
∴点A的坐标为（1×3，2×3），即（3，6），
故选：C．
11．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm
【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．【解答】解：根据题意得：l＝＝3πcm，
则重物上升了3πcm，
故选：C．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD＝48°，则∠DCA的大小为（）
A．48°B．42°C．45°D．24°
【分析】连接BD，则可得∠ADB＝90°，在△ABD中求出∠ABD，再由圆周角定理可得出∠DCA．
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝42°，
∴∠DCA＝∠ABD＝42°．
故选：B．
13．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜0，
∵y1＞0，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
14．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE＝4，S△CDE ＝16，则△ACD的面积为（）
A．64B．72C．80D．96
【分析】由S△BDE＝4，S△CDE＝16，得到S△BDE：S△CDE＝1：4，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出＝，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面
积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积．
【解答】解：∵S△BDE＝4，S△CDE＝16，
∴S△BDE：S△CDE＝1：4，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC＝1：25，
∴S△ACD＝80．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
15．已知二次函数y＝a（x+3）2﹣b（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为（﹣3，1）．
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），依此即可求解．【解答】解：∵二次函数y＝a（x+3）2﹣b（a≠0）有最大值1，
∴﹣b＝1，
根据二次函数的顶点式方程y＝a（x+3）2﹣b（a≠0）知，该函数的顶点坐标是：（﹣3，﹣b），
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
16．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则a2+2ab+b2的值为1．【分析】由x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，可得1+a+b＝0，推出a+b＝﹣1，可得a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，
∴1+a+b＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1．
故答案为1．
17．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m．
【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】解：设这栋建筑物的高度为xm，
由题意得，＝，
解得x＝24，
即这栋建筑物的高度为24m．
故答案为：24．
18．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为4．
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE＝DE，再根据垂径定理可知AE＝BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE 的长，进而可求出AB的长．
【解答】解：如图所示，
连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，
∵折叠后恰好经过圆心，
∴OE＝DE，
∵⊙O的半径为4，
∴OE＝OD＝×4＝2，
∵OD⊥AB，
∴AE＝AB，
在Rt△AOE中，
AE＝＝＝2．
∴AB＝2AE＝4．
故答案是：4．
三．解答题（共8小题）
19．（1）计算：|﹣1|+2sin45°﹣+tan260°
（2）已知：，求
【分析】（1）利用绝对值的意义、特殊角的三角函数值和二次根式的计算；
（2）根据合比性质计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2×﹣2+（）2
＝﹣1+﹣2+3
＝2；
（2）∵，
∴＝＝．
20．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）3x2﹣6x+1＝2
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）整理为一般式，再利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0，x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）方程整理为一般式为3x2﹣6x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1，
∴△＝36﹣4×3×（﹣1）＝48＞0，
则，
即．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在BC边，且⊙O经过A，B两点上（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AO，求证：AO平分∠CAB．
【分析】（1）如图，作AB的垂直平分线交BC于O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆即可；
（2）通过计算∠CAO＝∠BAO＝30°进行证明．
【解答】（1）解：如图，⊙O为所作；
（2）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
而∠CAB＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠CAO＝∠BAO＝30°，
∴OC平分∠CAB．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y＝（k≠0）相交于A，B 两点，且点A的横坐标是3．
（1）求k的值；
（2）过点P（0，n）作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y＝x﹣2交于点M，与双
曲线y＝（k≠0）交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．
【分析】（1）把A横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）根据题意画出直线，根据图象确定出点M在N右边时n的取值范围即可．
【解答】解：（1）令x＝3，代入y＝x﹣2，则y＝1，
∴A（3，1），
∵点A（3，1）在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝3；
（2）联立得：，
解得：或，即B（﹣1，﹣3），
如图所示：
当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣3＜n＜0．
23．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；
（2）如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度．
【分析】（1）根据勾股定理直接求出圆锥的高，再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中∠ABC的度数即可；
（2）首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可．
【解答】解：（1）圆锥的高＝，
底面圆的周长等于：2π×2＝，
解得：n＝120°；
（2）连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝60°．
由AB＝6，可求得BD＝3，
∴AD═3，
AC＝2AD＝6，
即这根绳子的最短长度是6．
24．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．
【分析】（1）根据垂径定理、切线的性质定理证明；
（2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE，
∴AB⊥CD，
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF；
（2）解：连接OD、OC，
∵∠A＝35°，
∴∠BOD＝2∠A＝70°，
∴∠COD＝2∠BOD＝140°，
∴的长＝＝．
25．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3？若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点（0，0）和点A（﹣2，0）分别代入函数关系式来求b、c的值，可得二次函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x）．利用三角形的面积公式得到﹣x2﹣2x＝±3．通过解方程来求x的值，则易求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点（0，0）
∴c＝0
又∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（﹣2，0）
∴﹣（﹣2）2﹣2b+0＝0，
∴b＝﹣2，
∴所求b、c值分别为﹣2，0
∴y＝﹣x2﹣2x，
（2）存在一点P，满足S△AOP＝3．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x）
∵S△AOP＝3
∴|﹣x2﹣2x|＝3
∴﹣x2﹣2x＝±3
当﹣x2﹣2x＝3时，此方程无解；
当﹣x2﹣2x＝﹣3时，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点P的坐标为：（﹣3，﹣3）或（1，﹣3）．
26．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．
（1）当AE＝8时，求EF的长；
（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
【分析】（1）由EF∥BC，可得＝，由此即可解决问题；
（2）①先根据点E为AB上一点得出自变量x的取值范围，根据30°的直角三角形的性质求出EF和AF的长，在
在Rt△ACB中，根据三角函数求出AC的长，计算FC的长，利用矩形的面积公式可求得S的函数关系式；
②把二次函数的关系式配方可以得结论；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB＝12，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，
∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝4．
（2）①∵AB＝12，AE＝x，点E与点A、点B均不重合，
∴0＜x＜12，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，∠CFE＝90°，
∴∠AFE＝90°，
在Rt△AFE中，∠A＝30°，
∴EF＝x，
AF＝cos30°•AE＝x，
在Rt△ACB中，AB＝12，
∴cos30°＝，
∴AC＝12×＝6 ，
∴FC＝AC﹣AF＝6 ﹣x，
∴S＝FC•EF＝x（6 ﹣x）＝﹣x2+3 x（0＜x＜12）；
②S＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+9 ，
当x＝6时，S有最大值为9 ；
（3）①当0≤t＜3时，如图1中，重叠部分是五边形MFPQN，
S＝S矩形EFPQ﹣S△EMN＝9﹣t2＝﹣t2+9．
②当3≤t≤6时，重叠部分是△PBN，
S＝（6﹣t）2，
综上所述，S＝．。