高等代数课本提纲

教学大纲
陕西师范大学本科数学与应用数学专业理论课教学大纲
高等代数
学时：144 学分：8
课程属性：专业必修
开课单位：数学与信息科学学院
先修课程：无
一、课程性质
高等代数是本科数学专业的主要基础课程，作为其中核心部分的线性代数，又是理工科大学各专业的重要数学工具。

高等代数不仅是研究有关数学、物理、化学等理论的重要工具，而且由于它主要是处理线性关系的问题，这就使得很多牵涉到线性关系的实际问题需要用高等代数作为理论工具。

实质上，高等代数目前已在力学、工程、通讯等方面有着广泛的应用。

二、教学目的
通过这门课的学习，使学生不仅能掌握一些处理问题的基本方法，而且能使他们对高等代数的基础理论有一个深刻的了解，从而为进一步
学习专业课打下良好的基础。

培养学生独立思维能力和解决实际问题能力。

三、教学内容
本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。

线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ一矩阵和欧几里得空间。

四、学时分配
8 -矩阵
五、教学方式
讲授；辅导；多媒体；批改作业。

六、考核方式
闭卷
七、教材及教学参考书
1. 张禾瑞，郝炳新.高等代数(第四版)，北京：高等教育出版社,2004。

2. 张贤科，许哺华.高等代数学，北京：清华大学出版社,1998,3。

3. 王正文，高等代数分析与研究，济南：山东大学出版社,1994,6。

4. 陈文灯，黄先开.线性代数复习指导，北京：世界图书出版公司，1998，6。

5. 李志慧，李永明.高等代数分析与选讲,西安: 陕西师范大学出版社，2006,8。

6. 蓝以中. 高等代数简明教程(上下册), 北京: 北京大学出版社,2002,8.
7. 杨子胥. 高等代数习题解(上下册),济南:山东大学出版
社,2001,9.
八、教学基本内容及要求
第一章多项式
1.教学基本要求：熟悉数域上一元多项式的概念、运算及带余除法，并能熟练地运算；能正确理解和应用多项式整除的概念和性质；掌握最大公因式的概念和性质、互素的概念和性质，并能熟练地求出两个多项式的最大公因式以及证明有关互素的习题；掌握不可约多项式的概念和性质，正确理解因式分解定理；掌握重因式的概念以及运用多项式的导数来判断重因式的方法；掌握多项式根的概念和性质；掌握整系数多项式有理根的求法，并能熟练地求出有理系数多项式的有理根。

2.教学内容：
§1.1一元多项式
一元多项式定义，运算规则和算律，一元多项式的次数。

§1.2 多项式的整除性
整除定义和基本性质，带余除法。

§1.3 多项式的最大公因式
最大公因式概念，辗转相除法，互素的定义和重要性质.
§1.4 多项式的分解
不可约多项式的定义和基本性质，分解定理，利用典型分解式求最大公因式，重因式的定义，判定重因式的判定定理.
§1.5 多项式函数
余式定理，多项式的根，因式定理，重根，非零多项式根的最多个数.
§1.6 复数域与实数域上的多项式
代数基本定理，根与系数的关系，实系数多项式的根的定理，实数域上不可约多项式的定理，实数域上多项式的因式分解.
§1.7 有理数域上的多项式
本原多项式，Gauss引理，整系数多项式在有理数域上的可约性问题，艾森施坦因判别法，有理数域上多项式的有理根.
第二章行列式
1.教学基本要求：掌握行列式的定义，会用定义计算低阶的行列式以及一些比较特殊的n阶行列式；掌握行列式的基本性质，并能熟练应用这些性质；掌握计算行列式的基本方法和技巧，并能灵活地应用它们来计算n阶行列式；掌握克莱姆法则，并能应用它来解线性方程组.
2. 教学内容：
§2.1 排列
§2.2 n级行列式定义
（1）复习中学数学中二阶、三阶行列式的定义及计算方法；
2 归纳、总结行列式定义和性质；
二、三阶行列式的计算式，代数余子式概念，二、三阶行列式的抽象定义。

（3）n行列式定义.
§2.3 n阶行列式的基本性质
§2.3行列式的计算
具体的三、四阶行列式计算，范德蒙行列式及三角行列式，对角行列式和一般n阶行列式的计算方法.
§2.4行列式的一行（列）展开
§2.5克莱姆法则
给出利用行列式求解线性方程组的方法；克莱姆法则及应用（联系中学二元一次方程组求解问题）；给出利用行列式求解线性方程组的方法.
§2.6拉普拉斯定理行列式的乘法规则
给出拉普拉斯定理的介绍并将其应用于得到行列式的乘法规则.
第三章线性方程组
1.教学基本要求：
理解n维向量空间的定义；掌握n维向量的线性相关性，向量组的极大线性无关组的概念。

理解向量组的秩的概念；理解并掌握线性方程组的解法、有解的判别原理、解的结构。

2.教学内容：
§3.1 概念、性质与定理
1．向量组的线性关系；
2．向量组的秩和矩阵的秩；
3．线性方程组的概念；
4．线性方程组解的判定；
5．非齐次与齐次线性方程组解的关系；
6．线性方程组解的性质.
§3.2 重要公式与结论
§3.3典型题型与例题
1判断向量组的线性相关性;
2已知一组向量线性无关,讨论另一组向量线性相关性;
3把一个向量用一组向量线性表示;
4求向量组的极大线性无关组;
5求向量组的秩与矩阵的秩;
6矩阵秩的不等式证法;
7含参数的线性方程组解的求解;
8抽象线性方程组解的求解;
9线性方程组有关命题的证明.
第四章矩阵
1.教学基本要求：熟练掌握矩阵的概念、矩阵的运算；理解逆矩阵的概念并熟练掌握逆矩阵的求法；理解并会熟练应用矩阵乘积的行列式的公式；掌握初等矩阵的概念并会熟练应用初等变换。

掌握分块矩阵及其初等变换的有关结果及其应用；
2.教学内容：
§4.1-2矩阵概念及其运算
矩阵定义，矩阵的运算和算律, 矩阵与行列式的区别及其作用.
§4.3 矩阵乘积的行列式
矩阵乘积的行列式; 矩阵乘积的秩
§4.4矩阵的逆
可逆阵定义及性质，可逆的充要条件，求逆矩阵的方法.
§4.5矩阵的分块
矩阵关于加法、乘法、转置等运算的分块原则；分块矩阵在乘法运算中表现出的优点.
§4.5初等矩阵
初等矩阵及其性质; 初等变换; 矩阵的等价及其判定; 利用初等变换求矩阵的逆.
§4.6分块乘法的初等变换及其应用举例
第五章二次型
1.教学基本要求：通过二次型和正定二次型的概念的讲解，全面讨论二次型化标准形的方法和正定二次型的判定。

熟悉二次型的概念及其矩阵表示，能掌握二次型的标准型的概念而且能熟练的化二次型为标准形、理解二次型的唯一性的概念，能判定一个二次型是否为正定二次型以及对正定矩阵的判定。

2.教学内容：
§5.1二次型及其矩阵表示
二次型概念介绍；二次型的矩阵表示
§5.2标准型
二次型的标准形；化二次型为标准形的方法：配方法、合同法. §5.3唯一性
复数域上二次型的规范形; 实数域上二次型的规范形.
§5.4正定二次型
正定二次型及其例子;正定二次型的判定方法;正定矩阵及其性质;利用二次型的矩阵判定二次型的正定性.;有关概念介绍.
第六章线性空间
1.教学基本要求：深刻理解集合、映射、线性空间的定义与性质。

掌握基、维数与坐标、基变换与坐标变换等概念并会灵活应用；深刻理解线性子空间的定义及判定方法；掌握子空间的交与和以及直和的定义并会应用；理解线性空间同构的定义及判定方法。

2.教学内容：
§6.1-2 定义及例子
线性空间定义、例子及其性质.
§6.3 维数、基与坐标
基、维数与坐标的定义.
§6.4 基变换与坐标变换
过度矩阵及其性质; 坐标变换公式.
§6.5线性子空间
线性子空间及其判定，生成子空间的概念，一般n维空间表示成生成子空间，基的扩充定理.
§6.6子空间的交与和
子空间的交与和;维数公式.
§6.7子空间的直和
子空间的直和及其判别，子空间的补.
§6.8线性空间的同构
线性空间的同构、例子及其判定方法.
第七章线性变换
1.教学基本要求：深刻理解线性变换的概念，掌握它的运算及基本性质；理解线性变换矩阵表示的意义并会计算；掌握线性变换的特征根和特征向量的定义；掌握线性变换可对角化的判定方法.掌握不变子空间的定义并会灵活应用;理解不变子空间的作用.
2.教学内容：
§7.1线性变换的定义和例子
线性变换的概念，线性变换的判别，例子
§7.2线性变换的运算
线性变换运算的加法、数乘、乘法、幂、逆运算的定义及其运算律。

（二）主要内容：
7.3线性变换的矩阵
线性变换和矩阵之间的关系；象向量坐标的计算公式；线性变换在不同基下矩阵之间的关系.
§7.4特征根和特征向量
特征根和特征向量的定义; 特征根和特征向量的求法;特征子空间;特
征多项式;Hamilon-Cayley介绍.
§7.5 对角矩阵
线性变换可对角化的判定方法.
§7.6线性变换的值域，线性变换的核
线性变换的值域和线性变换的核的定义; 线性变换的值域和核维数之间关系
§7.7不变子空间
不变子空间的定义;不变子空间的作用.
§7.8若当标准形介绍
若当标准形的定义
第八章-矩阵
1.教学基本要求：熟练掌握-矩阵的定义、运算以及-矩阵可逆的判定方法.能对低阶的-矩阵求其标准形；掌握初等因子、行列式因子、不变因子的定义，并能给予区别；掌握矩阵相似的几个判定方法；对数字矩阵会求其若当标准形.
2.教学内容：
§8.1 -矩阵
-矩阵的定义、运算、可逆的判定方法.
§8.2-矩阵在初等变换下的标准型
-矩阵意义下的初等变换;标准形及其求法.
§8.3不变因子
行列式因子的定义; 标准形的唯一性; 不变因子的定义及其求法§8.4矩阵相似的条件
矩阵相似的几个判定方法.
§8.5 初等因子
初等因子的定义; 初等因子、行列式因子、不变因子的区别与联系.
§8.6若当标准形理论推导
若当块、若当矩阵的定义；若当标准形理论推导.
第九章欧几里得空间
1.教学基本要求：在实线性空间引入内积，得到欧几里得空间，进而对欧几里得空间的结构及变换进行了讲解。

深刻理解内积、欧氏空间定义，向量的长度，向量的夹角等概念；度量矩阵的概念及其性质；理解和掌握标准正交基的概念及其性质，并能熟练求出标准正交基；理解和掌握对称变换及其性质以及与对称矩阵之间关系；理解和掌握正交变换及其性质以及与正交矩阵之间关系；理解和掌握欧氏空间同构的定义, 欧氏空间同构的判定方法
2.教学内容：
§9.1定义和例子
内积、欧氏空间定义；欧氏空间的性质；向量的夹角；度量矩阵及其性质.
§9.2标准正交基
标准正交基及其性质;标准正交基的求法;正交矩阵.
§9.3同构
欧氏空间同构的定义, 欧氏空间同构的判定方法.
§9.4正交变换
正交变换的定义; 正交变换的刻画; 正交变换的几种性质.
§9.5子空间
正交的子空间及其性质;正交补.
§9.6对称矩阵的标准形
对称变换及其性质; 对称矩阵及其性质;实对称矩阵正交对角化的方法.
§9.7向量到子空间的距离, 最小二乘法
向量到子空间的距离；最小二乘法
第十章双线性函数与辛空间
1.教学基本要求：掌握线性函数，对偶空间，双线性函数的概念及其有关结果，了解辛空间的概念。

2.教学内容：
§10.1定义和例子
线性函数的定义及其有关例子
§10.2对偶空间
对偶空间定义及其特性
§10.3双线性函数
双线性函数的定义及其例子,反双线性函数的定义及其有关结果
§10.4辛空间
了解辛空间的概念。