线段和椭圆的位置关系 专题练习题 含答案

线段和椭圆的位置关系专题练习题含答
案
题目一
设直线方程为 `y = 2x + 3`，椭圆的标准方程为 `4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。

解答
首先，我们可以观察到直线方程的斜率为 2，表示直线的倾斜
程度。

而椭圆的标准方程可以转化为 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (2, -1)，长轴为 6，短轴为 4。

根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：
1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `y = 2x + 3`
和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有解。

我们可以将直线方程代入椭
圆方程，得到一个二次方程，求解该方程即可得到交点的坐标。

2. 直线与椭圆相切：当直线与椭圆只有一个交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有且仅有一个解。

我们可
以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程的根
的个数即可。

3. 直线与椭圆不相交也不相切：当直线与椭圆没有交点时，方
程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 无解。

我们可以将
直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程无解即可。

根据以上思路，我们可以进一步分析出直线与椭圆的具体位置
关系。

题目二
设直线方程为 `4x - 3y + 6 = 0`，椭圆的标准方程为 `9(x + 2)^2
+ 4(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。

解答
首先，我们可以观察到直线方程的系数相对较大，表示直线的倾斜程度较小。

而椭圆的标准方程可以转化为 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (-2, -1)，短轴为 6，长轴为 4。

根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：
1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `4x - 3y + 6 = 0` 和 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1` 有解。

我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，求解该方程即可得到交点的坐标。

2. 直线与椭圆相切：当直线与椭圆只有一个交点时，方程组`4x - 3y + 6 = 0` 和 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1` 有且仅有一个解。

我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程的根的个数即可。

3. 直线与椭圆不相交也不相切：当直线与椭圆没有交点时，方程组 `4x - 3y + 6 = 0` 和 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1` 无解。

我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程无解即可。

根据以上思路，我们可以进一步分析出直线与椭圆的具体位置关系。

题目三
设直线方程为 `y = 3`，椭圆的标准方程为 `9(x - 2)^2 + 16(y + 1)^2 = 144`，求直线与椭圆的位置关系。

解答
首先，我们可以观察到直线方程的常数项为 3，表示直线的位置在 y 轴的位置。

而椭圆的标准方程可以转化为 `(x - 2)^2/16 + (y + 1)^2/9 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (2, -1)，长轴为 6，短轴为8。

根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：
1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `y = 3` 和 `(x -
2)^2/16 + (y + 1)^2/9 = 1` 有解。

由于直线方程的特殊性，我们可以
将直线方程代入椭圆方程，得到一个一次方程和一个二次方程，从而求解该方程组即可得到交点的坐标。

2. 直线与椭圆相切：当直线与椭圆只有一个交点时，方程组 `y = 3` 和 `(x - 2)^2/16 + (y + 1)^2/9 = 1` 有且仅有一个解。

由于直线方程的特殊性，我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个一次方程和一个二次方程，判断该方程组的根的个数即可。

3. 直线与椭圆不相交也不相切：当直线与椭圆没有交点时，方程组 `y = 3` 和 `(x - 2)^2/16 + (y + 1)^2/9 = 1` 无解。

由于直线方程的特殊性，我们可以直接将直线方程代入椭圆方程，判断该方程无解即可。

根据以上思路，我们可以进一步分析出直线与椭圆的具体位置关系。

参考答案
1. 题目一的参考答案：直线与椭圆相交。

2. 题目二的参考答案：直线与椭圆相切。

3. 题目三的参考答案：直线与椭圆不相交也不相切。