人教版高中数学必修五学案5：1.2 应用举例

1.2 应用举例
学习目标：
1．熟练掌握正、余弦定理．
2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题．
学习重难点：
1．求解距离、高度和角度问题．(重点)
2．从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．(难点)
学习过程：
自学导引
测量中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角．如下图①.
(2)方位角
指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．
(3)方向角
从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如下图②所示．
试一试：如图所示，OA，OB的方位角各是多少？如何表示OA，OB的方向角？
名师点睛
1．解三角形应用题的一般思路
(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．
(3)选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求．
这一思路可描述如下：
2．解三角形应用题常见的两种情况
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
课堂讲练互动：
题型一测量距离问题
例1：在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a
2的军事基地C和
D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．
规律方法：解三角形应用问题的一般步骤：
(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；
(2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．变式训练1：如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile，在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东60°.
求：(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
题型二测量高度问题
例2：如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
规律方法：依题意画图是解决三角形应用题的关键．
在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角．同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．
变式训练2：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测
点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
题型三测量角度问题
例3：如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
题后反思：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
变式训练3：甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
课堂小结：
利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．
课堂检测：
1．若a，b，c是△ABC的三边，且
c
a2＋b2
>1，则△ABC一定是()
A．直角三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
2．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是()
A．90°B．120°
C．135°D．150°
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于() A. 6 B．2
C. 3
D. 2
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
5.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？
参考答案
学习过程：
自学导引
试一试：OA 的方位角为60°，OB 的方位角为330°，OA 的方向角为北偏东60°，OB 的方向角为北偏西30°.
课堂讲练互动：
题型一 测量距离问题
例1：解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，
又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°.
∴AD ＝CD ＝AC ＝32
a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∴BC sin 30°＝CD sin 45°
， ∴BC ＝
64a . 在△ABC 中，由余弦定理得
AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38
a 2. ∴AB ＝64
a . ∴蓝方这两支精锐部队的距离为
64a . 变式训练1：解：(1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得
AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×223
2＝24 (n mile)．
所以A 处与D 处的距离为24 n mile.
(2)在△ADC 中，由余弦定理得
CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°， 解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile.
题型二 测量高度问题
例2：解：由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .
因此只需在△ABD 中求出AD 即可，
在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，
由AB sin 15°＝AD sin 45°
， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×2
26－2
4
＝800(3＋1) (m)． 即山的高度为800(3＋1) m.
变式训练2： 解：在△BCD 中，∠BCD ＝α，
∠BDC ＝β， ∴∠CBD ＝180°－(α＋β)，
∴BC sin β＝s sin[180°－(α＋β)]
，即BC sin β＝s sin (α＋β). ∴BC ＝
sin βsin (α＋β)·s . 在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴AB BC
＝tan θ， ∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin (α＋β)
·s . 题型三 测量角度问题
例3：解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船， 则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，
在△ABC 中，由余弦定理，有
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A
＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.
∴BC ＝6海里．
又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC
， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6
＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，
∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，
在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD
， ∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t
＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．
又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，
∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.
∴t ＝
610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 变式训练3：解：如图所示．
设经过t 小时两船在C 点相遇，则
在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里，B ＝90°＋30°＝120°，
由BC sin ∠CAB ＝AC sin B
得： sin ∠CAB ＝BC sin B AC
＝at ·sin 120°3at ＝323＝12
. ∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°.
∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.
所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
课堂检测：
1．【答案】D 【解析】∵c a 2＋b
2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0， 于是cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
<0. ∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．
2．【答案】B
【解析】设中间的角大小为B ，
由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12
. 而0<B <π，∴B ＝π3
. ∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3
＝
120°. 3．【答案】D
4．【答案】A
【解析】由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 2
2bc ＝32
，于是A ＝30°，故选A. 5.解：如图，连接A 1B 2.
由已知A 2B 2＝102， A 1A 2＝302×2060
＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2. 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，
∴△A 1A 2B 2是等边三角形，
∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，
∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，
在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得
B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·
A 1
B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22
＝200， ∴B 1B 2＝10 2.
因此，乙船的速度为10220
×60＝302(海里/时)．。