高考数学一轮复习 第7讲 函数的图象与性质教学案-人教版高三全册数学教学案

第7讲 函数的图象与性质

【学习目标】函数的图象（B 级）函数的基本性质（B 级）

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．

【知识要点】

1．函数单调性：一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，①若则()f x 在区间I 上是增函数，②若则()f x 在区间I 上是减函数

2．偶函数：如果对函数()f x 的定义域内x 都有，

那么称函数()f x 是偶函数。其图象关于对称。

奇函数：如果对函数()f x 的定义域内x 都有，

那么称函数()f x 是奇函数。其图象关于对称。

3.利用导数确定函数单调性

【自主学习】

1. (必修1 P28例6改编)画出函数f (x )=x 2+1的图象，若0<x 1<x 2，

则f (x 1)f (x 2).

2. (必修1 P25复习题3改编)已知函数f (x )=(x -1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}，

则函数的值域为.

3. (必修1 P40练习2改编)已知函数f (x )=|x +1|，则函数f (x )的单调

增区间为.

4. (必修1 P45思考11改编)已知函数y =f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=1，

则函数y =f (x )的解析式为.

5. (必修1 P53拓展15改编)若函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )，

则函数f (x )是函数.

【课堂探究】

例1 (2014·某某一模)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，

f (x )=2x -3

2a x

+1. (1) 求函数f (x )的单调区间；

(2) 若f (x )≥a -1对一切x >0恒成立，某某数a 的取值X 围.

例2.(2015·启东中学)已知定义域为R 的函数f (x )=1-22+++x x b a

是奇函数. (1) 某某数a ，b 的值；

(2) 求证：函数f (x )在R 上是减函数；

(3) 若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，某某数k 的取值X 围.

例3.已知函数f (x )=a -1x

-ln x (a ∈R ). (1) 若a =2，求函数f (x )在(1，e 2)上的零点个数(e 为自然对数的底数)；

(2) 若f (x )恰有一个零点，某某数a 的取值集合.

【针对训练】

1. (2015·某某调研)已知函数y =log 2

-1+a x x

为奇函数，则实数a 的值为.

2. 若函数f(x)=mx2+x+5在[-2，+∞)上是单调增函数，则实数m的取值X围是.

3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)=.

4. (2015·南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，

且在[0，2]上，f(x)=

(1-)01

sinπ12

≤≤

⎧

⎨

<≤

⎩

x x x

x x

，，

，，

那么f

29

4

⎛⎫

⎪

⎝⎭

+f

41

6

⎛⎫

⎪

⎝⎭

=.

5. (2015·海安中学)已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=.

【巩固提升】

6.如图，设函数f(x)=x+a

x

(a∈R)的定义域为(0，+∞)，且f(2)=

5

2

.设点P是函数图象上的任意一点，过点

P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.

(1) 写出f(x)的单调减区间(不必证明)；

(2) 设点P的横坐标x0，求点M的坐标(用x0的代数式表示)；

(3) 设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.