2013-2014年河北省衡水中学高一(上)期中数学试卷及参考答案

2013-2014学年河北省衡水中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合U={x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B={2，3}，A∩∁U B={1，5，7}，∁U A∩∁U B={9}，则集合B=（）A．{2，3，4}B．{2，3，4，6}C．{2，4，6，8}D．{2，3，4，6，8} 2．（5分）函数f（x）=+lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4，且x≠2}C．{x|1≤x≤4，且x≠2}D．{x|x ≥4}3．（5分）下列各式正确的是（）A．1.72＞1.73B．1.70.2＞0.93C．log0.31.8＜log0.32.7 D．lg3.4＜lg2.94．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx+2，且f（﹣2）=﹣3，则f（2）=（）A．3 B．5 C．7 D．﹣15．（5分）函数y=﹣x2+2x+1在区间[﹣3，a]上是增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a≤1 B．﹣3＜a≤2 C．a≥﹣3 D．﹣3＜a≤﹣16．（5分）已知x∈[0，1]，则函数的值域是（）A． B．C．D．7．（5分）设f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．C．﹣ D．8．（5分）若是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．29．（5分）若xlog34=1，则4x+4﹣x的值为（）A．B．C．2 D．110．（5分）已知A∩{﹣1，0，1}={0，1}，且A∪{﹣2，0，2}={﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个11．（5分）函数f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．1＜a D．a＜212．（5分）下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．①②④B．④②③C．①②③D．④①②二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知，则a，b，c 的大小关系为．14．（5分）若x≤﹣3，则=．15．（5分）化简=．16．（5分）设偶函数f（x）=log a|x+b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）f（a+1）（填等号或不等号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A=，集合B={x|p+1≤x≤2p﹣1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围．18．（12分）x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0的两个不等实根，且，求y=f（m）的解析式及值域．19．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）在[3，5]上的单调性，并证明；（2）求函数的最大值和最小值．20．（12分）设，（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求的值．21．（12分）已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=ln （x2﹣2x+2），（1）当x＜0时，求f（x）解析式；（2）写出f（x）的单调递增区间．22．（12分）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．（1）证明函数y=f（x）在R上的单调性；（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；（3）若f（x2﹣2）+f（x）＜0，求x的取值范围．2013-2014学年河北省衡水中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合U={x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B={2，3}，A∩∁U B={1，5，7}，∁U A∩∁U B={9}，则集合B=（）A．{2，3，4}B．{2，3，4，6}C．{2，4，6，8}D．{2，3，4，6，8}【解答】解：∵集合U={x|0＜x＜10，x∈N*}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩B={2，3}，A∩∁U B={1，5，7}，∁U A∩∁U B={9}，∴B={2，3，4，6，8}．故选：D．2．（5分）函数f（x）=+lg（x﹣1）+（x﹣2）0的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4，且x≠2}C．{x|1≤x≤4，且x≠2}D．{x|x ≥4}【解答】解：要使函数有意义，只须，即，解得1＜x≤4且x≠2，∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．故选：B．3．（5分）下列各式正确的是（）A．1.72＞1.73B．1.70.2＞0.93C．log0.31.8＜log0.32.7 D．lg3.4＜lg2.9【解答】解：考查函数y=1.7x，是定义域上的增函数，∵2＜3，∴1.72＜1.73，∴A错误；∵1.70.2＞1，0＜0.93＜1，∴1.70.2＞0.93，∴B正确；考查函数y=log0.3x，是定义域上的减函数，∵1.8＜2.7，∴log0.31.8＞log0.32.7，∴C错误；考查函数y=lgx，是定义域上的增函数，∵3.4＞2.9，∴lg3.4＞lg2.9，∴D错误；综上，正确的是B；故选：B．4．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx+2，且f（﹣2）=﹣3，则f（2）=（）A．3 B．5 C．7 D．﹣1【解答】解：由f（x）=x5+ax3+bx+2，得f（x）﹣2=x5+ax3+bx，设F（x）=f（x）﹣2，则F（x）为奇函数，∴F（﹣2）=﹣F（2），即f（﹣2）﹣2=﹣f（2）+2，∴f（2）=﹣f（﹣2）+4=﹣（﹣3）+4=7，故选：C．5．（5分）函数y=﹣x2+2x+1在区间[﹣3，a]上是增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a≤1 B．﹣3＜a≤2 C．a≥﹣3 D．﹣3＜a≤﹣1【解答】解：∵函数y=﹣x2+2x+1在区间[﹣3，a]上是增函数，二次函数的图象开口向下，对称轴x=1，∴﹣3＜a≤1，故选：A．6．（5分）已知x∈[0，1]，则函数的值域是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数y=在[0，1]单调递增（幂函数的单调性），y=﹣在[0，1]单调递增，（复合函数单调性，同增异减）∴函数y=﹣在[0，1]单调递增，∴≤y≤，函数的值域为[，]．故选：C．7．（5分）设f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．C．﹣ D．【解答】解：f（）=，，即f[f（）]=故选：B．8．（5分）若是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴=﹣a+，∴=，解得a=1，故选：B．9．（5分）若xlog34=1，则4x+4﹣x的值为（）A．B．C．2 D．1【解答】解：由xlog34=1得x=log43，∴4x+4﹣x==，故选：B．10．（5分）已知A∩{﹣1，0，1}={0，1}，且A∪{﹣2，0，2}={﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【解答】解：∵A∩{﹣1，0，1}={0，1}，∴0，1∈A且﹣1∉A，又∵A∪{﹣2，0，2}={﹣2，0，1，2}，∴1∈A且至多﹣2，0，2∈A，∴0，1∈A且至多﹣2，2∈A，∴满足条件的A只能为：{0，1}；{0，1，﹣2}；{0，1，2}；{0，1，2，﹣2}共有4个．故选：B．11．（5分）函数f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．1＜a D．a＜2【解答】解：令y=log a t，t=2﹣ax，（1）若0＜a＜1，则函y=log a t是（0，+∞）上的减函数，而t为[0，1]上的减函数，此时f（x）不会是[0，1]上的减函数．（2）若a＞1，则函y=log a t是（0，+∞）上的增函数，只需t为[0，1]上的减函数，且t＞0在[0，1]上恒成立，即a＞0且2﹣a×1＞0此时，1＜a＜2，综上：实数a 的取值范围是（1，2）故选：B．12．（5分）下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．①②④B．④②③C．①②③D．④①②【解答】解：离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象④；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象①；最后加速向学校，其距离与时间的关系为二次函数，故应选图象②．故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知，则a，b，c 的大小关系为a=b＞c．【解答】解：∵已知a=log 23+==＞1，b=log 29﹣==＞1，c=log32＜1，∴a=b＞c，故答案为a=b＞c．14．（5分）若x≤﹣3，则=﹣6．【解答】解：∵=|x+3|﹣|x﹣3|，x≤﹣3∴=﹣（x+3）+（x﹣3）=﹣6．故答案为：﹣6．15．（5分）化简=1．【解答】解：==log62•log6（2×18）÷log64=2log62÷log64=1．故答案为：1．16．（5分）设偶函数f（x）=log a|x+b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）＜f（a+1）（填等号或不等号）【解答】解：f（x）=log a|x+b|是偶函数，所以f（﹣x）=log a|﹣x+b|=f（x）=log a|x+b|，所以|﹣x+b|=|x+b|，所以b=0．所以f（x）=log a|x+b|=log a|x|，因为函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以a＞1，所以a+1＞2因为f（b﹣2）=f（﹣2）=f（2），所以f（a+1）＞f（2）=f（﹣2）．故答案为＜．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A=，集合B={x|p+1≤x≤2p﹣1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围．【解答】解：∵，即，解得，故集合A={x|}，∵A∩B=B，∴B⊆A，且集合B={x|p+1≤x≤2p﹣1}，①当B=∅时，p+1＞2p﹣1，解得p＜2，故实数p的取值范围为p＜2；②当B≠∅时，则有1，即，解得p∈∅，故实数p的取值范围为∅．综合①②可得，实数p的取值范围为p＜2．18．（12分）x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0的两个不等实根，且，求y=f（m）的解析式及值域．【解答】解：由△=4（m﹣1）2﹣4（m+1）＞0⇒4m2﹣12m＞0，⇒m＞3或m ＜0，由韦达定理可得x1+x2=2（m﹣1），x1•x2=m+1f（m）=﹣2x1x2=4（m﹣1）2﹣2（m+1）=4m2﹣10m+2=4﹣，∴函数在（﹣∞，0）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∵f（0）=2＜f（3）=8，f（m）＞f（0）=2，故函数的值域为（2，+∞）．19．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）在[3，5]上的单调性，并证明；（2）求函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）在[3，5]上是单调增函数证明：设x1，x2是区间[3，5]上的两个任意实数且x1＜x2（2分）=（5分）∵3≤x1＜x2≤5∴x1﹣x2＜0，2﹣x1＜0，2﹣x2＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[3，5]上是单调增函数（8分）（2）∵f（x）在[3，5]上是单调增函数，所以x=3时，f（x）取最小值﹣4（10分）x=5时f（x）取最大值﹣2（12分）20．（12分）设，（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵，∴f（a）+f（1﹣a）=====1．（2）∵f（a）+f（1﹣a）=1，∴=499×1+．21．（12分）已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=ln （x2﹣2x+2），（1）当x＜0时，求f（x）解析式；（2）写出f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）x＜0时，﹣x＞0∵x≥0时f（x）=ln（x2﹣2x+2）∴f（﹣x）=ln（x2+2x+2）（2分）∵y=f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）（4分）x＜0时，f（x）=ln（x2+2x+2）（6分）（2）由（1）知x＜0时，f（x）=ln（x2+2x+2），根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（﹣1，0）x≥0时f（x）=ln（x2﹣2x+2），根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（1，+∞）所以函数的单调增区间为：（﹣1，0）∪（1，+∞）22．（12分）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．（1）证明函数y=f（x）在R上的单调性；（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；（3）若f（x2﹣2）+f（x）＜0，求x的取值范围．【解答】（1）证明：设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）∴f（x1）﹣f（x2）=f（（x1﹣x2）+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2），又当x＞0时，f（x）＜0恒成立，∴f（x1）＜f（x2），∴函数y=f（x）是R上的减函数；（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）=f（0），而f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），即函数y=f（x）是奇函数．（3）（方法一）由f（x2﹣2）+f（x）＜0，得f（x2﹣2）＜﹣f（x），又y=f（x）是奇函数，即f（x2﹣2）＜f（﹣x），又y=f（x）在R上是减函数，∴x2﹣2＞﹣x解得x＞1或x＜﹣2．（方法二））由f（x2﹣2）+f（x）＜0且f（0）=0，得f（x2﹣2+x）＜f（0），又y=f（x）在R上是减函数，∴x2﹣2+x＞0，解得x＞1或x＜﹣2．。