广西省南宁市2019-2020学年中考数学第一次调研试卷含解析

广西省南宁市2019-2020学年中考数学第一次调研试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）
A．B．
C．D．
2．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）
A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0
3．当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（）
A．7 B．3 C．1 D．﹣7
4．在直角坐标系中，已知点P（3，4），现将点P作如下变换：①将点P先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到点P1；②作点P关于y轴的对称点P2；③将点P绕原点O按逆时针方向旋转90°得到点P3，则P1，P2，P3的坐标分别是（）
A．P1（0，0），P2（3，﹣4），P3（﹣4，3）
B．P1（﹣1，1），P2（﹣3，4），P3（4，3）
C．P1（﹣1，1），P2（﹣3，﹣4），P3（﹣3，4）
D．P1（﹣1，1），P2（﹣3，4），P3（﹣4，3）
5．函数y=ax2+1与
a
y
x
（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C． D．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．24+2πB．16+4πC．16+8πD．16+12π7．下列运算正确的是（）
A．a4+a2=a4B．（x2y）3=x6y3
C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．b6÷b2=b3
8．若|x| =－x，则x一定是（）
A．非正数B．正数C．非负数D．负数
9．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为1
3
，在第一象限
内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
10．下列几何体中，其三视图都是全等图形的是()
A．圆柱B．圆锥C．三棱锥D．球
11．如图所示是由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该几何体的主视图是( )
A．B．C．D．
12．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（）
A．CD
BC
B．
AC
AB
C．
AD
AC
D．
CD
AC
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为_____．
14．已知，直接y=kx+b（k＞0，b＞0）与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y=16
x
（x＞0）交于第一
象限点C ，若BC=2AB ，则S △AOB =________.
15．某市居民用电价格如表所示： 用电量
不超过a 千瓦时 超过a 千瓦时的部分 单价（元/千瓦时）
0.5
0.6
小芳家二月份用电200千瓦时，交电费105元，则a=______．
16．图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程______.
17．分解因式：229ax ay -= ____________．
18．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为
12的长方形，再把其中一个面积为1
2
的长方形分成两个面积为14的正方形，再把其中一个面积为14的正方形分成两个面积为1
8
的长方形，如此进行下
去……，试用图形揭示的规律计算：111111
248163264+++
++11128256
++=__________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）已知：二次函数C 1：y 1＝ax 2+2ax+a ﹣1(a≠0)把二次函数C 1的表达式化成y ＝a(x ﹣h)2+b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标；已知二次函数C 1的图象经过点A(﹣3，1)． ①求a 的值；
②点B 在二次函数C 1的图象上，点A ，B 关于对称轴对称，连接AB ．二次函数C 2：y 2＝kx 2+kx(k≠0)的图象，与线段AB 只有一个交点，求k 的取值范围．
20．（6分）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=°，AB=．请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
21．（6分）探究：
在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次若参加聚会的人数为3，则共握手次：；若参加聚会的人数为5，则共握手次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．
拓展：
嘉嘉给琪琪出题：
“若线段AB上共有m个点（含端点A，B），线段总数为30，求m的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，线段总数不可能为30”
琪琪的思考对吗？为什么？
22．（8分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）该超市“元旦”期间共销售个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是度；
（2）补全条形统计图；
（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？
23．（8分）先化简后求值：已知：x=3﹣2，求
2
2
8411
1[(1)()]
442
x
x x x
+
--÷-
-
的值．
24．（10分）某汽车专卖店销售A,B两种型号的汽车．上周销售额为96万元:本周销售额为62万元,销售情况如下表：
A型汽车B型汽车
上周 1 3
本周 2 1
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元
（2）甲公司拟向该店购买A,B两种型号的汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元,则有哪几种购车方案?哪种购车方案花费金额最少?
25．（10分）在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕着点B顺时针旋转角a（0°＜a＜90°）得到△A1BC；A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论．（2）如图2，当a=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并证明．
（3）在（2）的条件下，求线段DE的长度．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上．
（1）b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数
k
y
x
=（0
x>）的图象G经过点A（4，1），直线
1
4
l y x b
=+
∶
与图象G交于点B，与y轴交于点C．求k的值；横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当1
b=-时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
【分析】
根据三视图的定义即可判断．
【详解】
根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．故选A．
【点睛】
本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．
2．D
【解析】
试题分析：根据题意得a≠1且△=2440ac -≥，解得4ac ≤且a≠1．观察四个答案，只有c ＝1一定满足条件，故选D ．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 3．B 【解析】 【分析】 【详解】
因为当x=1时，代数式的值是7，所以1+1+m=7，所以m=5，当x=-1时，
=-1-1+5=3，
故选B ． 4．D 【解析】 【分析】
把点P 的横坐标减4，纵坐标减3可得P 1的坐标；
让点P 的纵坐标不变，横坐标为原料坐标的相反数可得P 2的坐标； 让点P 的纵坐标的相反数为P 3的横坐标，横坐标为P 3的纵坐标即可． 【详解】
∵点P （3，4），将点P 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到点P 1，∴P 1的坐标为（﹣1，1）． ∵点P 关于y 轴的对称点是P 2，∴P 2（﹣3，4）．
∵将点P 绕原点O 按逆时针方向旋转90°得到点P 3，∴P 3（﹣4，3）． 故选D ． 【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化；用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；两点关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；（a ，b ）绕原点O 按逆时针方向旋转90°得到的点的坐标为（﹣b ，a ）． 5．B 【解析】
试题分析：分a ＞0和a ＜0两种情况讨论：
当a ＞0时，y=ax 2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；a
y x =位于第一、三象限，没有选项图象符合； 当a ＜0时，y=ax 2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；a
y x
=位于第二、四象限，B 选项图象符合．
故选B ．
考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用． 6．D
根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得．【详解】
该几何体的表面积为2×1
2
•π•22+4×4+
1
2
×2π•2×4=12π+16，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算．7．B
【解析】
分析：根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除的性质，逐一计算判断即可.
详解：根据同类项的定义，可知a4与a2不是同类项，不能计算，故不正确；
根据积的乘方，等于个个因式分别乘方，可得(x2y)3=x6y3，故正确；
根据完全平方公式，可得(m-n)2=m2-2mn+n2，故不正确；
根据同底数幂的除法，可知b6÷b2=b4，不正确.
故选B.
点睛：此题主要考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除的性质，熟记并灵活运用是解题关键.
8．A
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质进行求解即可得.
【详解】
∵|-x|=-x，
又|-x|≥1，
∴-x≥1，
即x≤1，
即x是非正数，
故选A．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键.
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；1的绝对值是1．
9．A
根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是1
3
，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【详解】
由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是1
3
，
∴OD DC OB AB
，
又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
【点睛】
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．10．D
【解析】
分析: 任意方向上的视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是圆，其他的几何体的视图都有不同的.
详解:圆柱，圆锥，三棱锥，球中，
三视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是圆，
故选D.
点睛: 本题考查简单几何体的三视图，本题解题的关键是看出各个图形的在任意方向上的视图.
11．C
【解析】
A、B、D不是该几何体的视图，C是主视图，故选C.
【点睛】主视图是由前面看到的图形，俯视图是由上面看到的图形，左视图是由左面看到的图形，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.
12．D
【解析】
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【详解】∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=α，
A、在Rt△BCD中，sinα=CD
BC
，故A正确，不符合题意；
B、在Rt△ABC中，sinα=AC
AB
，故B正确，不符合题意；
C、在Rt△ACD中，sinα=AD
AC
，故C正确，不符合题意；
D、在Rt△ACD中，cosα=CD
AC
，故D错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．5.5×1．
【解析】
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：5.5亿=5 5000 0000=5.5×1，
故答案为5.5×1．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．4 3
【解析】
【分析】
根据题意可设出点C的坐标，从而得到OA和OB的长，进而得到△AOB的面积即可. 【详解】
∵直接y=kx+b与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y=16
x
交于第一象限点C，若BC=2AB，设点C的
坐标为(c,16 c
)
∴OA=0.5c,OB=116
3c
⨯=
16
3c
，
∴S△AOB=1
·
2
OA OB=
116
0.5
23
c
c
⨯⨯=
4
3
【点睛】
此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是根据题意设出C点坐标进行求解. 15．150
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：不超过a 千瓦时的电费+超过a 千瓦时的电费=105元；根据等量关系列出方程，解出a 的值即可. 【详解】
∵0.5×200=100<105， ∴a<200.
由题意得：0.5a+0.6(200-a)=105， 解得：a=150. 故答案为：150 【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确找出题目中的等量关系，列出方程. 16．先将图2以点A 为旋转中心逆时针旋转90︒，再将旋转后的图形向左平移5个单位． 【解析】 【分析】
变换图形2，可先旋转，然后平移与图2拼成一个矩形． 【详解】
先将图2以点A 为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位可以与图1拼成一个矩形．
故答案为：先将图2以点A 为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位． 【点睛】
本题考查了平移和旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 17．
【解析】
试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据平方差公式分解：.
考点：因式分解 18．8
1
12-
【解析】 【分析】
结合图形发现计算方法:11111
=1-+=1-22244
； ，即计算其面积和的时候，只需让总面积减去剩下的面积. 【详解】 解:原式＝12551-
=256256=8112
-
故答案为：8112
【点睛】
此题注意结合图形的面积找到计算的方法:其中的面积和等于总面积减去剩下的面积. 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19． (1)y 1＝a(x+1)2﹣1，顶点为(﹣1，﹣1)；(2)①12；②k 的取值范围是16≤k≤1
2
或k ＝﹣1． 【解析】 【分析】
(1)化成顶点式即可求得；
(2)①把点A(﹣3，1)代入二次函数C 1：y 1＝ax 2+2ax+a ﹣1即可求得a 的值； ②根据对称的性质得出B 的坐标，然后分两种情况讨论即可求得； 【详解】
(1)y 1＝ax 2+2ax+a ﹣1＝a(x+1)2﹣1， ∴顶点为(﹣1，﹣1)；
(2)①∵二次函数C 1的图象经过点A(﹣3，1)， ∴a(﹣3+1)2﹣1＝1， ∴a ＝
1
2
； ②∵A(﹣3，1)，对称轴为直线x ＝﹣1， ∴B(1，1)， 当k ＞0时，
二次函数C 2：y 2＝kx 2+kx(k≠0)的图象经过A(﹣3，1)时，1＝9k ﹣3k ，解得k ＝16
， 二次函数C 2：y 2＝kx 2+kx(k≠0)的图象经过B(1，1)时，1＝k+k ，解得k ＝12
， ∴
16≤k≤12
， 当k ＜0时，∵二次函数C 2：y 2＝kx 2+kx ＝k(x+12)2﹣1
4
k ， ∴﹣
1
4
k ＝1， ∴k ＝﹣1，
综上，二次函数C 2：y 2＝kx 2+kx(k≠0)的图象，与线段AB 只有一个交点，k 的取值范围是16≤k≤1
2
或k ＝﹣1． 【点睛】
本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键．
20．（1）75；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=43，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=43，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【详解】
解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴
1
3 OD OB
OA OC
==．
又∵AO=33，
∴OD=1
3
AO=3，
∴AD=AO+OD=43．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=43．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴BO EO BE DO AO DA
==．
∵BO：OD=1：3，
∴
1
3 EO BE
AO DA
==．
∵，
∴
∴
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=1．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，
解得：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
21．探究：（1）3，1；（2）
(1)
2
n n-
；（3）参加聚会的人数为8人；拓展：琪琪的思考对，见解析.
【解析】
【分析】
探究：（1）根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；
（2）由（1）的结论结合参会人数为n，即可得出结论；
（3）由（2）的结论结合共握手28次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；拓展：将线段数当成握手数，顶点数看成参会人数，由（2）的结论结合线段总数为2，即可得出关于m 的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对．
【详解】
探究：（1）3×（3-1）÷2=3，5×（5-1）÷2=1．
故答案为3；1．
（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），
∴每人需跟（n-1）人握手，
∴握手总数为
()1
2
n n-
．
故答案为
()12
n n -．
（3）依题意，得：
()12
n n -=28，
整理，得：n 2-n-56=0， 解得：n 1=8，n 2=-7（舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． 拓展：琪琪的思考对，理由如下： 如果线段数为2，则由题意，得：()12
m m -=2，
整理，得：m 2-m-60=0，
解得m 1=
12
+，m 2=2（舍去）．
∵m 为正整数， ∴没有符合题意的解， ∴线段总数不可能为2． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n 的代数式表示出握手总数；（3）（拓展）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（1）2400，60；（2）见解析；（3）500 【解析】 整体分析：
（1）由C 品牌1200个占总数的50%可得鸡蛋的数量，用A 品牌占总数的百分比乘以360°即可；（2）计算出B 品牌的数量；（3）用B 品牌与总数的比乘以1500. 解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%=2400个， A 品牌所占的圆心角：4002400
×360°=60°； 故答案为2400，60；
（2）B 品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200=800个， 补全统计图如图：
（3）分店销售的B 种品牌的绿色鸡蛋为：
800
2400
×1500=500个． 23343
- 【解析】 【分析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 【详解】
解：原式=1﹣()()8
x 2x 2+-•（2444x x x +-÷x 22x -）=1﹣()()8x 2x 2+-•()2
24x x
-•2x 2x -=1﹣42x +=x 2
2
x -+， 当32时，
原式3322+﹣﹣33
﹣=343
3-．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
24． (1) A 型车售价为18万元,B 型车售价为26万元. (2) 方案一：A 型车2辆,B 型车4辆；方案二：A 型车3辆,B 型车3辆；方案二花费少. 【解析】 【分析】
（1）根据题意列出二元一次方程组即可求解；（2）由题意列出不等式即可求解. 【详解】
解：(1)设A 型车售价为x 元,B 型车售价为y 元,则：
396
262x y x y +=⎧⎨
+=⎩
解得：1826x y =⎧⎨=⎩ 答：A 型车售价为18万元,B 型车售价为26万元. (2)设A 型车购买m 辆,则B 型车购买(6－m)辆,
∴ 130≤18m+26(6－m) ≤140,∴:2≤m≤13
4
方案一：A 型车2辆,B 型车4辆；方案二：A 型车3辆,B 型车3辆； ∴方案二花费少 【点睛】
此题主要考查二元一次方程组与不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组与不等式进行求解.
25．（1）1EA FC =．（2）四边形1BC DA 是菱形.（3）2 【解析】 【分析】
（1）根据等边对等角及旋转的特征可得1ABE C BF ≅V V
即可证得结论； （2）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再得到邻边相等即可判断结论； （3）过点E 作EG AB ⊥于点G ，解Rt AEG V 可得AE 的长，结合菱形的性质即可求得结果． 【详解】 （1）1EA FC =．
证明：（证法一）AB BC A C =∴∠=∠Q ，．
由旋转可知，111,,AB BC A C ABE C BF =∠=∠∠=∠
∴1A BF CBE V V ≌．
∴BE BF ，=又1AB BC =Q ，
∴11A C A B CB ∠=∠=，，即1EA FC =． （证法二）AB BC A C =∴∠=∠Q ，．
由旋转可知，1BA BE BC BF -=-，而1EBC FBA ∠=∠
∴1A BF CBE ∴≅V V
∴BE BF ，=∴1BA BE BC BF -=- 即1EA FC =．
（2）四边形1BC DA 是菱形.
证明：111130,A ABA AC AB ︒
∠=∠=∴Q ‖同理
1AC BC ‖ ∴四边形1BC DA 是平行四边形. 又1AB BC =Q ，
∴四边形1BC DA 是菱形 （3）过点E 作EG AB ⊥于点E ，则1AG BG ==．
在EG AB ⊥中，
AE =
.由（2）知四边形1BC DA 是菱形， ∴1AG BG ==．
∴2ED AD AE =-= 【点睛】
解答本题的关键是掌握好旋转的性质，平行四边形判定与性质，的菱形的判定与性质，选择适当的条件解决问题.
26．（1）2-，3-，（-1,0）；（2）存在P 的坐标是(14)-，或(-25)，；（1）当EF 最短时，点P 的坐标是：
（
22+，32-）或（22
，32-）
【解析】 【分析】
（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b 、c 的值，然后令y=0可求得点B 的坐标； （2）分别过点C 和点A 作AC 的垂线，将抛物线与P 1，P 2两点先求得AC 的解析式，然后可求得P 1C 和P 2A 的解析式，最后再求得P 1C 和P 2A 与抛物线的交点坐标即可；
（1）连接OD ．先证明四边形OEDF 为矩形，从而得到OD=EF ，然后根据垂线段最短可求得点D 的纵坐标，从而得到点P 的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P 的坐标． 【详解】
解：（1）∵将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：3
930c b c =-⎧⎨++=⎩
，
解得：b=﹣2，c=﹣1，
∴抛物线的解析式为223y x x =--．
∵令2230x x --=，解得：11x =-，23x =， ∴点B 的坐标为（﹣1，0）． 故答案为﹣2；﹣1；（﹣1，0）． （2）存在．理由：如图所示：
①当∠ACP 1=90°．由（1）可知点A 的坐标为（1，0）． 设AC 的解析式为y=kx ﹣1．
∵将点A 的坐标代入得1k ﹣1=0，解得k=1， ∴直线AC 的解析式为y=x ﹣1， ∴直线CP 1的解析式为y=﹣x ﹣1．
∵将y=﹣x ﹣1与223y x x =--联立解得11x =，20x =（舍去）， ∴点P 1的坐标为（1，﹣4）．
②当∠P 2AC=90°时．设AP 2的解析式为y=﹣x+b ． ∵将x=1，y=0代入得：﹣1+b=0，解得b=1， ∴直线AP 2的解析式为y=﹣x+1．
∵将y=﹣x+1与223y x x =--联立解得1x =﹣2，2x =1（舍去）， ∴点P 2的坐标为（﹣2，5）．
综上所述，P 的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）． （1）如图2所示：连接OD ．
由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD=EF ．根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即
EF 最短．
由（1）可知，在Rt △AOC 中，∵OC=OA=1，OD ⊥AC ， ∴D 是AC 的中点． 又∵DF ∥OC ， ∴DF=
12OC=32
， ∴点P 的纵坐标是3
2
-， ∴2
3232x x --=-
，解得：x=2102
±， ∴当EF 最短时，点P 的坐标是：（
210+，32-）或（210
-，32-）．
27．（1）4；（2）①3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②514b -≤<-或711
44
b <≤． 【解析】
分析：（1）根据点A （4，1）在k
y x
=
（0x >）的图象上，即可求出k 的值； （2）①当1b =-时，根据整点的概念，直接写出区域W 内的整点个数即可.
②分a ．当直线过（4，0）时，b ．当直线过（5，0）时，c ．当直线过（1，2）时，d ．当直线过（1，3）时四种情况进行讨论即可. 详解：（1）解：∵点A （4，1）在k
y x
=（0x >）的图象上． ∴
14
k
=， ∴4k =．
（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）． ② a ．当直线过（4，0）时：
1
404b ⨯+=，解得1b =- b ．当直线过（5，0）时：1504b ⨯+=，解得5
4
b =-
c ．当直线过（1，2）时：1124b ⨯+=，解得7
4
b =
d．当直线过（1，3）时：1
13
4
b
⨯+=，解得
11
4
b=
∴综上所述：
5
1
4
b
-≤<-或
711
44
b
<≤．
点睛：属于反比例函数和一次函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握整点的概念是解题的关键,注意分类讨论思想在解题中的应用.。