三湘名校2019届高三第一次大联考数学文科试卷及答案解析

三湘名校教育联盟•2019届高三第一次大联考
文科数学试卷
本试卷共4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R，集合A=={145|2--x x x <0}，
B={3<<3|x x -}，则图中阴影部分表示的集合为
A.(-3,-2]
B.(-2,3]
C.(2,3]
D.[3,7)
2.若复数z 满足i i z +=+7)2(的共轭复数z 在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知向量)2,2(),2,1(-=+=b a λ,若|2||2|b a b a +=-，则λ
A.-3
B.-1
C.1
D.2
4.函数2|
|ln ||)(x x x x f =的图像大致为
5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*∈=N n a b n ,log 2，且442=+b b ，则3a 的值为
A.1
B.2
C.4
D.16
6.设Z a ∈，函数a x e x f x -+=)(，若命题p ：
“0))(),1,1(≠-∈∀x f x ”是假命题，则a 的取值个数有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.8
B.16
C.24
D.48
8.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线b x y +=与圆a y x x =+2有交点的概率为2
1，则a =A.41 B.21
C.1
D.2
9.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。

其中的“筹”原意是
指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸
长
的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示
就是=||丄|||.执行如图所
示程序框图，若输
人的
x=1,y =2,则输出
的S 用算筹表示为10.将函数)2
<|)(|cos()(πϕϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2
π=x 对称，则ϕ=
A.125π
- B.3π
- C.3π D.12
5π
11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为π4，则正方体外接球的体积为A.π68 B.π36 C.π332 D.π
66412.过抛物线x y 42=的焦点F 且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B 两点，以AF、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M，N，则|MN|=A.33
2 B.
3 C.33
4 D.3
2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知:y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤-+≥--0120301y y x y x ,则y x z -=2的最小值为
.14.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ,1031531=++a a a ,则9S 的值为.
15.已知F 为双曲线122
2
=-b y x 的一个焦点，O 为坐标原点,OF 的中点M 到C 的一条渐近线的距离为23，则C 的离心率为.
16.函数x x x f cos 22sin )(+=在区间[0，π]上的值域为
.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜2〗题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(―)必考题：共60分。

17.(12分）
已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边，且2
222cos 2c b B b a +=+.
（1）证明：A =2B,
（2）若A b c B a b cos )2(cos ,1-==，求△ABC 的外接圆面积。

18.(12分）
如图，四棱锥P-ABCD 的底面四边形ABCD 是梯形，AB//CD，CD=2AB，
M 是
PC 的中点。

（1）证明：BM//平面PMD；
（2）若PB =BC 且平面PBC 丄平面PDC，证明：PA=AD。

19.(12分）
随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯。

由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计,按送餐距离分类统计结果如下表：
以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。

（1）从这80名点外卖的用户中任取一名用户.求该用户的送餐距离不超过3千米的概率；
（2）试估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离；
（3）若该外卖平台给送餐员的送餐贽用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元；超过4千米为远距离，每份9元，若送餐员一天的目标收人不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？
20.(12分）
已知椭圆C:122
22=+b
y a x (a>b>0)的离心率为22,且过点(2,1).（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线：m x y +=2
2交C 于A、B 两点，0为坐标原点，求△OAB 面积的最大值.21.(12分）
已知函数x x x f ln )(=.
（1）证明：1)(-≥x x f ；（2）若当e
x 1≥时，1)(2-+-≤a x ax x f ，求实数a 的取值范围.(二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
直角坐标系xOy 中，曲线C 1:142
2
=+y x ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心极坐标为（3，π)，半径为1的圆。

（1）求曲线C 1的参数方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设M，N 分别为曲线C 1、C 2上的动点，求|MN|的取值范围.
23.[选修4一5:不等式选讲](10分）
已知函数|2||12|)(+--=x x x f .
（1）求不等式)(x f >0的解集；
（2）若关于x 的不等式|5|3)3(|12|+++≥+x x f m 有解，求实数m 的取值范围.。