电磁仿真数值方法
电磁场数值分析方法及其应用
电磁场数值分析方法及其应用电磁场是无处不在的，它在我们的日常生活中也发挥着极其重要的作用，比如说电视、手机、电脑和家用电器等等。
由于电磁现象的特殊性质，使得电磁场的理论计算非常困难，因此需要引入数值计算方法，对电磁场进行模拟分析，这就是电磁场数值分析方法的基本概念。
一、电磁场数值分析方法简介1. 经典电磁场理论在介绍电磁场数值分析方法之前，我们需要先了解一下经典电磁场理论，也即麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组描述了电磁场的本质规律，包括电场E、磁场B、电荷密度ρ和电流密度J等四个基本物理量。
这些物理量之间的关系是非常复杂的，因此对于麦克斯韦方程组的求解，需要引入数值计算方法。
2. 电磁场数值计算方法电磁场数值计算方法是指采用离散化方法，将复杂的连续介质分割成有限的、简单的小单元，通过在每个小单元内求解基本电磁场变量的数值解，再通过数值方法进行拼合，最终得到求解区域内的电磁场分布特征。
3. 数值计算方法分类目前常用的电磁场数值计算方法主要包括有限元法、时域有限差分法、频域有限差分法、矩量法等等。
这些方法各有特点，适用于不同的电磁问题求解。
二、电磁场数值分析方法应用1. 微波器件设计微波器件中电磁场的分布特征是十分重要的，它决定了微波器件的性能。
采用电磁场数值分析方法可以清晰地描述微波场的分布特征，从而进行优化和改进设计，提高微波器件的性能。
2. 汽车电磁兼容性分析汽车中各类电子设备的数量越来越多，它们之间的干扰和互相影响也越来越严重。
采用电磁场数值分析方法可以对汽车中的电磁问题进行深入分析，确定干扰成因，从而提出解决方案。
3. 太阳能电池板设计太阳能电池板在光电转化过程中，需要考虑光的反射、折射和吸收等问题。
而这些问题都涉及到电磁场的分布特征。
因此，采用电磁场数值分析方法可以对太阳能电池板的设计进行优化，并提高其能量转换效率。
三、结论电磁场数值分析方法是一种强大的工具，它可以帮助我们深入了解电磁场的本质规律，并对各类电磁问题进行分析和优化设计。
基于电磁参数测量的电磁场仿真及验证方法研究
基于电磁参数测量的电磁场仿真及验证方法研究电磁参数测量是电磁学领域中的常见研究内容，通过测量电磁场的各种参数，可以深入了解电磁场的特性并验证理论模型的准确性。
本文旨在研究基于电磁参数测量的电磁场仿真及验证方法，以帮助读者更好地理解和应用这一领域的研究成果。
首先，电磁参数测量是实现电磁场仿真及验证的基础。
电磁场的参数包括电场强度、磁场强度、电磁场频率、功率等。
通过适当的电磁参数测量方法，可以得到准确的电磁场参数数据，为后续的仿真和验证工作提供可靠的依据。
在电磁场仿真的过程中，一种常见的方法是使用计算机仿真软件，如有限元法（Finite Element Method, FEM）或有限差分法（Finite Difference Method, FDM）进行电磁场的数值模拟。
这些方法基于数学模型，通过对电磁场方程的离散化计算，得到电磁场在空间中的分布。
仿真结果可以通过可视化技术呈现，以便直观地了解电磁场的特性。
然而，仿真结果的准确性需要通过实验验证来进一步确认。
实验验证是电磁场仿真研究的重要环节，它可以与仿真结果进行对比，并验证仿真模型的可靠性和准确性。
因此，电磁参数测量在实验验证中具有关键作用。
实践中，常用的电磁参数测量方法包括点测法和扫描测量法。
点测法是在空间中选取几个特定的测量点，利用传感器测量电磁参数，并计算得到电磁场的数值。
这种方法适用于需要详细了解特定位置电磁场特性的情况。
扫描测量法则是通过传感器在整个测量区域内移动，定期记录电磁参数，并根据测量数据绘制电磁场的分布图。
这种方法适用于需要了解整个区域内电磁场分布的情况。
在电磁参数测量过程中，选择和校准合适的传感器是关键之一。
传感器的选择应根据需要测量的电磁参数类型和范围来确定，并保证具有足够的灵敏度和精度。
此外，传感器的校准是保证测量结果准确性的重要环节，以避免由于传感器本身误差导致的测量误差。
另外，电磁参数测量还需要注意测量环境的影响。
例如，在电磁场测量中，可能存在干扰源，如其他电子设备、金属结构等，这些干扰源可能改变电磁场的分布。
电磁场数值模拟方法研究与应用
电磁场数值模拟方法研究与应用随着计算机技术和数值模拟方法的不断发展，电磁场数值模拟也越来越成为现代电磁学研究和应用领域中不可或缺的手段。
电磁场数值模拟是通过数学方法和计算机计算，模拟电磁场在空间中的分布、演变和作用规律，从而为电磁场的分析、设计、控制和优化提供基础和依据。
一、电磁场数值模拟方法1. 有限元法有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种广泛应用于电磁学领域的数值模拟方法。
该方法将电磁问题离散化为一系列局部问题，在每个局部问题中，通过解决一个代表导体和介质的区域内所能发生的任何电磁过程的方程，来确定局部场分布。
最后，通过组合这些局部场，来得到整个电磁场分布。
有限元法是一种适应性强的方法，能够处理任意复杂的几何形状和材料特性，广泛应用于电动机、变压器、电力电子器件等领域的设计和分析。
2. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种将区域划分为网格，通过对每个网格内的方程进行差分，建立离散的求解方程组来模拟整个电磁场分布的方法。
该方法简单易行，特别适用于规则区域的情况，如平面波导、电磁谐振腔等的分析和设计。
3. 时域有限差分法时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种基于时域求解Maxwell方程的数值模拟方法。
该方法将Maxwell方程组离散化、网格化后，采用差分法对时间和空间进行离散，通过迭代求解来计算电磁场在时域的分布变化。
FDTD方法具有模拟宽带高频信号、自然分析非线性、高精度等优点，在雷达、无线通信等领域有广泛应用。
二、电磁场数值模拟应用1. 电子设备设计电磁场数值模拟可用于电子设备的设计和优化。
例如，可以使用有限元法和时域有限差分法来对电子器件进行仿真模拟，分析其电磁场分布、电场强度等参数，以优化电路传输、EMC抗干扰等性能。
2. 电磁兼容性分析电磁兼容性（Electromagnetic Compatibility，EMC）是评估电子设备互相之间及其周围电子环境中的电磁干扰程度的一种能力。
电磁仿真算中的有限元法
1电磁仿真算法中的有限元法1.1常规的电磁计算方法简介从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。
除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。
本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。
⑴矩量法矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。
该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。
矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。
但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。
(2)单矩法单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。
外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。
此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。
(3)时域有限差分法时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界条件自动满足。
吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播过程的数字拟合,它是法拉第电磁感应定律的很好体现。
电磁场数值计算
电磁场数值计算引言：电磁场是电荷和电流产生的物理现象，它在现代科技和工程中起着至关重要的作用。
对电磁场的数值计算是研究和应用电磁学的基础。
本文将介绍电磁场数值计算的原理和方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、电磁场的数值计算方法：电磁场的数值计算可以通过求解麦克斯韦方程组来实现，这是描述电磁场的基本方程。
麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
通过数值方法求解这些方程，可以得到电磁场在空间中的分布情况。
1. 有限差分法：有限差分法是一种常用的数值计算方法，通过将空间离散化为有限个点，时间离散化为有限个步骤，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以将空间划分为网格，通过有限差分法计算电场和磁场在网格节点上的数值。
2. 有限元法：有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它通过将计算域划分为许多小的有限元，将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。
在电磁场计算中，可以将计算域划分为三角形或四边形网格，通过有限元法计算电场和磁场在每个有限元上的数值。
3. 边界元法：边界元法是一种适用于边界值问题的数值计算方法，它将偏微分方程转化为积分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以通过边界元法计算电场和磁场在边界上的数值，然后利用边界条件求解整个计算域内的电磁场分布。
二、电磁场数值计算的应用：电磁场数值计算在科学研究和工程应用中具有广泛的应用价值，以下是一些常见的应用领域：1. 电磁场仿真：电磁场数值计算可以用于电磁场仿真，模拟和预测电磁场在不同结构和材料中的分布情况。
例如，可以通过数值计算预测电磁波在天线中的传播情况，从而优化天线设计和布局。
2. 电磁场辐射：电磁场数值计算可以用于估计电磁场辐射对人体和环境的影响。
例如，可以通过数值计算评估电磁辐射对人体健康的潜在风险，从而制定相应的防护措施。
3. 电磁场感应：电磁场数值计算可以用于分析电磁感应现象，研究电磁场对电路和设备的影响。
电磁仿真数值方法详解
(m =1, 2, ..., N )
区域的离散化
利用算子线性和内积的性质，得到需要的矩阵方程：
N
∑ an 〈L( fn ),Wm 〉 = 〈g,Wm 〉
n=1
(m =1, 2, ..., N )
写成矩阵形式 = [lmn ][an ] [= gm ] (m 1, 2, ..., N )
a1
高频方法
GO,PO GTD,UTD CT(复射线法),SBR（弹跳射线法）
低频方法
积分方程方法
• 矩量法（MoM） • 多层快速多极子（MLFMM）
微分方程方法
• 有限元方法（FEM） • 有限差分法（EDM）
混合方法
• 高频/低频混合方法 • 微分/积分混合方法
矩量法(MOM)
离散积分方程数学表达形式的离散化方法
Ri−
f2i
=
ln(
Ri+ Ri−
+ +
si+ si−
)
NASA标准模型
Almond不同频率的单站RCS
该模型特点，结构扁平，奇异性强
7GHz测试结果与FEKO仿真结果
9GHz测试结果与FEKO仿真结果
矩量法(MOM)
离散积分方程数学表达形式的离散化方法
矩量法的四要点：
如何选取基函数和试函数 奇异点的处理技术 积分方程形式与离散矩阵性态之关系 矩量法的快速求解技术
dT
Tq
Rp
而具有奇异性部分，解析公式如下：
∫ ∑ =I
= 1 dT ′ TR
3
(ti0 f2i − ω0 βi )
i =1
3
∑ = − ω0 β + ti0 f2i i =1
电磁学的数值计算方法
电磁学的数值计算方法电磁学是研究电场和磁场相互作用的学科，它在日常生活和科学研究中起着重要的作用。
随着计算机技术的快速发展，数值计算方法在电磁学中的应用也越来越广泛。
本文将介绍几种常用的电磁学数值计算方法，并探讨其原理和应用。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种基于离散化空间和时间的数值计算方法，常用于求解求解具有边值条件的偏微分方程。
在电磁学中，有限差分法可以用来求解电磁场的静电场、静磁场以及时变电磁场等问题。
该方法通过将空间和时间进行网格离散化，将偏微分方程转化为差分方程，并用迭代方法求解得到数值解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于各种物理问题求解的数值计算方法，电磁学也不例外。
该方法通过将求解区域划分为有限的小元素，并在局部内部逼近真实场量的变化。
在电磁学中，有限元法可以用来求解电场、磁场以及电磁波传播等问题。
通过选择合适的元素类型和插值函数，以及建立元素之间的边界条件，可以得到电磁场的数值解。
三、时域积分法（Time Domain Integral Method）时域积分法是一种基于格林函数的数值计算方法，通过积分形式表示电磁场的边界条件和过渡条件，进而求解电磁场。
时域积分法广泛应用于求解电磁波的辐射和散射问题，如天线辐射和散射、电磁波在介质中的传播等。
该方法通过离散化电磁场的源和观测点，并利用格林函数的性质进行数值积分，得到电磁场的数值解。
四、有限时域差分法（Finite-Difference Time-Domain Method）有限时域差分法是一种基于电磁场的离散化网格和时间的有限差分法，是求解各种电磁问题最常用的数值计算方法之一。
有限时域差分法通过离散化时空域，将麦克斯韦方程组转化为差分方程组，并通过时间步进的方式求解得到电磁场的数值解。
该方法适用于求解各种电磁波传播、辐射和散射等问题。
计算电磁学各种方法和电磁仿真软件
计算电磁学各种方法和电磁仿真软件 计算电磁学中有众多不同的算法，如时域有限差分法（FDTD）、时域有限积分法（FITD）、有限元法（FE）、矩量法（MoM）、边界元法（BEM）、 谱域法（SM）、传输线法（TLM）、模式匹配法（MM）、横向谐振法（TRM）、线方法（ML）和解析法等等。
在频域，数值算法有：有限元法 ( FEM -- Finite Element Method）、矩量法( MoM -- Method of Moments），差分法( FDM -- Finite Difference Methods），边界元法( BEM --Boundary Element Method），和传输线法( TLM -- Transmission-Line-matrix Method）。
在时域，数值算法有：时域有限差分法( FDTD - Finite Difference Time Domain ），和有限积分法( FIT - Finite Integration Technology ）。
这些方法中有解析法、半解析法和数值方法。
数值方法中又分零阶、一阶、二阶和高阶方法。
依照解析程度由低到高排列，依次是：时域有限差分法（FDTD）、传 输线法（TLM）、时域有限积分法（FITD）、有限元法（FEM）、矩量法（MoM）、线方法（ML）、边界元法（BEM）、谱域法（SM）、模式匹配 法（MM）、横向谐振法（TRM）、和解析法。
依照结果的准确度由高到低，分别是：解析法、半解析法、数值方法。
在数值方法中，按照结果的准确度有高到低，分别是：高阶、二阶、一阶和零阶。
时域有限差分法（FDTD）、时域有限积分法（FITD）、有限元法（FEM）、矩量法（MoM）、传输线法（TLM）、线方法（ML）是纯粹的数值方法； 边界元法（BEM）、谱域法（SM）、模式匹配法（MM）、横向谐振法（TRM）则均具有较高的分辨率。
电磁场数值仿真方法研究及其应用
电磁场数值仿真方法研究及其应用随着电子技术与信息技术的快速发展，电磁场问题的数值仿真越来越成为电磁学研究中不可或缺的手段之一。
电磁场数值仿真方法可以帮助设计师进行各种电磁元器件的设计，优化电磁场参数，并且优化电磁场作用下系统的设计方案。
本文将探讨电磁场数值仿真方法的基础概念，以及它在实际应用中的重要性。
一、电磁场数值仿真的基础概念电磁场数值仿真是指使用计算机对电磁场的分布及相互作用进行模拟和计算的方法。
（一）有限元法有限元法是一种将复杂连续体划分成有限个简单的单元，然后用单元间的边角相连来近似代表整个区域的方法。
有限元法是应用最为广泛的数值仿真方法之一，它在计算机辅助设计(CAD)、制造工程、材料科学、结构分析、动力学分析等领域得到了广泛应用。
（二）有限差分法有限差分法是一种将任意点的导数或差商代入微分方程或差分方程之中，以差分代替导数，用数值逼近代替函数分析的方法。
有限差分法在工程实践中被广泛应用于热力学分析、电磁场分析和力学分析等领域。
（三）有限体积法有限体积法是一种将物理问题所在的区域划分成离散的体元（例如长方体、立方体等），并将微分方程转化成离散的代数方程组，最终求解模型的数值方法。
有限体积法可以适应任何不规则形状的区域，是处理非结构区域的方法。
有限体积法在化学、石油、流体、地下水、空气动力学、电磁场问题等领域得到广泛的应用。
二、电磁场数值仿真的应用（一）电子元器件设计电子元器件在设计阶段需要进行电磁场分析，以获得对元器件性能的深刻理解。
电磁场数值仿真可以为工程师提供实际的设计方案，优化设计方案并预测器件性能，从而达到更好的设计成果。
（二）电磁互联电子设备中的电磁互联是电磁场数值仿真的重要应用之一。
在电磁互联中，电磁场分析是一个非常关键的步骤，通过对电磁场分析来控制电磁信号的辐射、耦合、传输和响应来提高电子系统的性能。
（三）电磁故障分析电磁场数值仿真可以为电磁场故障分析提供一种有效的方法，以确定故障的来源和机制。
电磁仿真中的数值计算方法研究与实践
电磁仿真中的数值计算方法研究与实践电磁场仿真在电磁学和电子工程领域发挥着重要作用，可以帮助工程师和研究人员分析、设计和优化电磁设备和系统。
数值计算方法是电磁场仿真中常用的方法之一，本文将对电磁仿真中的数值计算方法进行研究与实践，探讨其原理、特点和应用。
在电磁仿真中，数值计算方法主要包括有限差分法（Finite Difference method，简称FDM）、有限元法（Finite Element Method，简称FEM）和时域积分方程方法（Time Domain Integral Equation method，简称TDIE）。
这些方法都是基于数值离散的原理，通过将连续的电磁场问题离散化为离散网格上的有限点问题，采用数值计算方法求解得到电磁场分布。
首先，我们来研究有限差分法。
有限差分法是一种常用的数值计算方法，其基本原理是对电磁场的微分方程进行近似，将微分算子替换为差分算子，通过离散网格上的节点上的估计值来求解。
有限差分法简单易懂，计算效率高，尤其适用于规则结构网格的情况。
然而，有限差分法需要网格分辨率较高才能得到精确的结果，对于存在复杂几何形状的问题，可能出现数值误差较大的情况。
接下来，我们研究有限元法。
有限元法是一种广泛应用于工程问题的数值计算方法，其基本思想是将求解域划分为多个小区域（有限元），通过在每个小区域上建立局部近似函数，将原始的微分方程转化为多个局部方程组，通过求解这些局部方程组，最终得到整个求解域上的电磁场分布。
有限元法适用于各种复杂几何形状的问题，并且具有良好的数值稳定性和精度。
然而，有限元法的计算量较大，需要较长的计算时间，并且对于非线性和时变问题的处理稍有复杂。
最后，我们来研究时域积分方程方法。
时域积分方程方法是一种基于时域的电磁场求解方法，它将电磁场问题转化为时域的积分方程，并通过在时域上进行数值积分求解得到电磁场分布。
相比于频域方法，时域积分方程方法具有较好的时域分辨率，可以更好地处理信号的时域演化。
电磁场仿真计算中的高效算法研究与实现
电磁场仿真计算中的高效算法研究与实现在电磁场仿真计算的过程中，高效的算法可以有效地提高计算速度和准确率。
本文将对当前电磁场仿真计算中的高效算法进行研究和实现。
一、算法概述电磁场仿真计算主要应用于电磁波传播和电磁场分布分析。
传统的计算方法常使用有限元法或者有限差分法。
这些方法计算精度高，但计算耗时长。
对于电磁场仿真计算，大量的数据需要处理和分析，而高效的算法能有效降低时间成本和计算成本。
针对当前电磁场仿真中常用的算法，本文提出以下几种高效算法：1、快速多极子法快速多极子法是一种基于电磁场分布的数学模型。
该算法通过将电磁场分布转指定为多极子分布，快速计算得到电磁场分布的一种高效算法。
相较于传统的有限元法和有限差分法，该算法具有计算速度快，计算资源占用少、准确度高的特点。
在电磁场模拟计算中得到了广泛的应用。
2、降阶技术降阶技术也称为模型减缩技术，是在无影响计算电磁场仿真结果的前提下，将问题整体或局部减少自由度的一种技术。
其主要性能在于缩短了仿真计算的时间。
具体可以分为两类，即假设边界值不变的绕组模型减缩技术和基于代数方程优化的电磁场方程模型减缩技术。
3、积分方程方法积分方程方法是一种通过分析感应场的变换方式，将推导出具有连通性感应场的微分方程，然后通过对积分方程进行处理来完成仿真计算的方法。
此方法从方程的角度出发，将问题的边界条件分析，并转化成为积分方程求解，相较于其他求解方法，具有简单、快速的优势。
二、实现过程电磁场仿真计算中的高效算法，实现过程既需要考虑计算实现的技术问题，也需要考虑数据组织和存储等问题。
可以从以下几个方面进行研究：1、编写高效的计算程序有些算法比较复杂，计算时需要遍历整个模型，并在每次迭代中计算电场或磁场的变化。
先前针对快速多极子法和积分方程方法已有较丰富的研究，但是针对其他算法可能还需要更多的改进和优化，如基于 GPU 的高性能实现等。
2、了解推算的模型对于电力系统中的电场问题，其边界条件通常由导体表面的电势、电池的正负极电压和现场检测得到的电参数等进行定义。
电磁场数值模拟的研究与应用
电磁场数值模拟的研究与应用随着科学技术的不断进步，电磁场数值模拟技术逐渐成为了一种非常重要的研究方法。
在实际应用中，电磁场数值模拟技术可以广泛应用于电磁场的分析、优化设计和电磁场调控等方面，为相关领域的研究与发展提供了重要的支撑。
本文将从电磁场数值模拟技术的基础概念、数值模拟方法与算法、应用场景及未来研究方向等方面进行探讨。
1. 电磁场数值模拟技术的基础概念电磁场是电荷运动所产生的物理场，是由电场和磁场嵌套在一起形成的。
电磁场数值模拟技术是通过计算机模拟电荷之间的相互作用以及电磁波在各种介质中的传播过程，从而得出电磁场的变化情况。
数值模拟是一种数学与计算机结合的方法，利用数学模型和计算机算法获取物理现象的预测结果。
电磁场数值模拟技术是将数值模拟方法应用到电磁场分析中，通过数学计算和仿真来分析电磁场的分布和变化规律。
2. 数值模拟方法与算法目前，电磁场数值模拟技术的发展已经形成了一套相对成熟的数值模拟方法链。
数值模拟方法主要包括有限元法、边界元法、有限差分法、谱元法等。
这些数值模拟方法在不同的应用场景下，可以计算电磁场在空间和时间上的变化情况。
例如，有限元法是一种常用的数值模拟方法，它通过离散化的方式对电磁场进行建模，将复杂的电磁场问题简化为有限个局部问题。
然后，利用通用的数学软件对每个局部问题进行求解，并通过拼装局部问题的解来得到整个问题的解。
相比较其他方法，有限元法在计算不规则形状和复杂边界问题时的优势更加明显。
在数值模拟算法上，有限元方法中的求解问题是一种典型的大规模稀疏线性方程组求解问题。
目前，常见的求解算法有迭代法、直接求解法、前向回代法等。
不同的算法有着不同的优缺点，根据实际问题的不同，可以选择不同的算法。
3. 应用场景电磁场数值模拟技术在实际应用中有着广泛的应用场景。
在电子、通信、电力、矿业等众多领域中，电磁场数值模拟技术都发挥着重要的作用。
例如，在电力行业中，电磁场数值模拟技术可以用于电网电磁场监测和优化设计。
电磁场仿真方法研究
电磁场仿真方法研究电磁场是物理学中的一个重要概念，它描述了在空间中电荷和电流产生的静电场和磁场。
随着科技的不断发展，电磁场在工业制造、电气自动化等领域得到广泛应用。
为了更好地了解和控制电磁场的性质和特征，科学家们发展出了电磁场仿真方法。
电磁场仿真方法是利用计算机对复杂电磁场进行数值模拟的技术。
它可以在不需要实际建造复杂电磁系统的情况下，预测和分析其电磁特性。
这种方法可以大大缩短实验周期和降低实验成本，提高研究效率，推动科学技术的发展。
目前，电磁场仿真方法主要有两种：有限元法和有限差分法。
下面将分别介绍这两种方法的原理和应用。
一、有限元法有限元法是一种数值方法，其基本思想是把求解区域划分为若干个小单元，然后再对每个小单元进行数值计算。
它适用于对二维或三维电磁场进行分析和仿真，可以精确地求解电磁场的分布和变化规律。
有限元法的仿真过程需要先进行网格划分，将待求解的问题区域分割成离散的小单元，形成一个有限元网格。
然后根据物理问题和边界条件建立数学模型，运用有限元离散化方法将偏微分方程转化为代数方程组，再通过数值解法求解代数方程组，最终得到电磁场的数值解。
有限元法在电气工程、机械制造、材料科学等领域得到广泛应用，如电动机设计、电磁场传感器、电力系统优化等。
二、有限差分法有限差分法也是一种数值方法，它采用差分近似的方式对偏微分方程进行离散化，再对得到的代数方程组进行求解。
它适用于对一维、二维和三维电磁场进行分析和仿真，并且计算速度较快。
有限差分法的仿真过程需要先进行空间和时间的离散化，将电磁场问题转化为差分方程，并通过迭代求解得到电磁场分布。
有限差分法具有较高的精度和计算速度，适用于对电磁场进行实时控制和优化。
有限差分法在电磁波传播、天线设计、电磁计算机辐射等领域得到广泛应用。
总的来说，有限元法和有限差分法都是对电磁场进行仿真的常用方法，各有优点和适用范围。
在具体使用时需要根据具体问题进行选择，以得到最优的仿真结果。
第6章 电磁场数值模拟-有限元素法
v u uv d CD kuvd 0,
A d
n
Ad ,
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.2 虚功原理
与定解问题对应的由虚功原理得到的变分问题：
v u uv d CD kuvd 0 u 1, AB
0
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.4 位能原理
用 u 的变分 δu 乘微分方程两侧并积分 u u 0
vA v A v A
uu u u u u d u u ud uu d u u u u d uu d uu d u u u u d uu d uu d u u u u d
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
Ez 和 H z 应满足的偏微分方程：
可统一表示成 对于 E 型： 对于 H 型：
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
为了求解方程 ，还必须给出边界条件。 ① 外边界条件 E 型波——取图所示的研究区域。上边界 AB 离地面足够远，使异 常场在 AB 上为零，以该处的 u 为 1 单位：
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.3 变分问题
泛函变分的求法： 例 1：求泛函 J u
J u J u u 0
1
0
u 2 dx 的变分。
2
J u
1 0
u u
电磁场数值方法与软件简介
第2章 电磁场数值方法与软件简介
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２.１ 为什么需要数值方法
• 2.1.2 仿真的重要性
• 有了商业化的电磁场数值计算软件平台. 我们就可以干一件重要的工 作: 电磁场数值仿真. 这是电磁场数值方法巨大作用的具体体现之一. 其影响十分深远. 可以说. 计算电磁学给电磁场与电磁波理论在方法上 带来的是革命性的变化. 仿真的重要性体现在以下几个方面.
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２.１ 为什么需要数值方法
• 在一定程度上电磁求解程序必须联合其他工具一起工作. 电磁求解程 序的原始输入数据是几何图形或结构. 而不再是带有各个板层的电材 料特性的电路版图. 在仿真结束时. 电磁求解器将输出Ｓ 参数或一些 其他线性模型表达式. 一些电磁求解器可以直接输出ＳＰＩＣＥ 网表 文件. 但必须在电路仿真器中与其余的电路部分连接. 能够实现联合仿 真功能. 即通过复制几何结构. 或将设计、布局工具中的结构导出. 再 导入至电磁求解器. 然后必须将电磁仿真的结果再导入电路仿真器. 这 些过程必须非常迅速且准确无误. 这样才能完成设计.
• (８) 电磁仿真与电路仿真日益紧密结合. 即微波ＥＤＡ 与电子ＥＤＡ 结合成为必趋势.
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２.１ 为什么需要数值方法
• 在电路设计中. 电磁仿真技术可以使用成熟的智能化设计规范来分析 和引导电路设计.并可提供对平面电路进行电磁场分析和优化的功能. 允许工程师根据实际情况自定义关键器件的工作频率范围、材料特性、 辅助电路参数等. 可在时域或者频域内实现对线性或非线性电路的综 合仿真和分析. 可以进行任意三维无源结构的高频电磁场仿真. 可以直 接得到特征阻抗、传播常数、辐射场、天线方向图等结果.
电磁场数值模拟与设计优化
电磁场数值模拟与设计优化随着科技的不断进步，电子产品越来越普及，其中的关键元器件电磁场仿真模拟技术也越来越成熟。
电磁场仿真模拟技术可以帮助电子工程师设计更加精确的电子产品，提高产品的性能和可靠性。
本文将从电磁场仿真模拟技术的基础、数值方法、场量测量和设计优化等方面进行探讨。
一、电磁场仿真模拟技术的基础电磁场仿真模拟技术是一种通过计算求解电磁场分布的技术，主要用于解决电磁场的传输和作用问题。
电磁场仿真模拟技术是现代电子设计领域中的重要技术之一，其发展与电子工业的发展密不可分。
在电磁场仿真模拟技术中，电磁场是一个复杂的问题，需要考虑很多因素。
比如，电磁场的起源、传输、吸收、散射等诸多影响因素。
同时，电磁场仿真模拟技术也要考虑材料的特性，因为材料会对电磁场的传输和强度产生影响。
二、电磁场仿真模拟技术的数值方法电磁场仿真模拟技术的数值方法主要分为两类：有限差分法和有限元法。
有限差分法是一种基于差分方程的数值解法，是一种通过将自变量变为离散的方式来求解微分方程的方法。
有限元法则是一种使用网格划分法或网格剖分法对微分方程进行离散化处理的方式，通过对各个网格进行不断的逐步求解得到整体的解。
由于电磁场的复杂性，很多情况下需要使用两种方法结合使用。
有限差分法更加适合求解一些特定形式的微分方程，而有限元法更加适合针对大规模、非线性问题的求解。
而综合使用这两种方法可以提高解决问题的效率和准确率。
三、电磁场仿真模拟技术的场量测量电磁场仿真模拟技术的场量测量主要是针对电磁场的各个指标进行测量和分析。
电磁场测量的方法很多，比如电场强度的测量，磁场强度的测量，电磁波的测量等等。
在电磁场仿真模拟技术的各个环节中，场量测量是非常重要的一环。
通过场量测量，可以获取到实际的电磁场的参数，进而对电磁场仿真模拟的结果进行验证和修正，提高仿真模拟的准确性和可靠性。
四、电磁场仿真模拟技术的设计优化电磁场仿真模拟技术可以帮助电子工程师生成电子产品的设计方案，进而帮助工程师优化电子产品的性能。
fdtd基本仿真流程 -回复
fdtd基本仿真流程 -回复FDTD基本仿真流程FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种常见的电磁场数值计算方法，广泛应用于射频、微波与光学等领域的电磁场仿真。
本文将带您了解FDTD的基本仿真流程，让我们一步一步深入了解这个过程。
第一步：建立仿真模型在进行FDTD仿真之前，首先需要建立一个准确的仿真模型。
这个模型可以包括介质、边界条件、电源和传感器等。
根据实际情况，选择合适的材料参数和几何形状，并确定模型的尺寸。
同时，在建立模型时，还要考虑计算资源的限制和仿真结果的准确性。
第二步：离散化在FDTD中，物理场量是离散在空间网格中的。
因此，需要将仿真模型进行离散化处理。
通常，将模型划分为网格单元（如立方体或平行六面体）并在每个网格节点上记录物理场量的数值。
这个过程也被称为格点化。
第三步：设置边界条件边界条件对于FDTD仿真至关重要。
在仿真模型的边界上，需要为场量的计算设置合适的边界条件。
常用的边界条件包括吸收边界条件、透射边界条件和周期性边界条件等。
这些边界条件的选择与模型和问题的特点密切相关。
第四步：计算时间步进FDTD方法采用时间步进的方式进行计算。
在每个时间步长内，根据物理场量在时空域中的变化情况，通过数值算法计算下一个时间步长的物理场量。
在每个时间步长内，先更新电场分量，再更新磁场分量。
这个过程是根据麦克斯韦方程组进行的。
第五步：添加激励源仿真中常常需要在模型中添加电磁场的激励源。
这可以是点源、线源、面源或体源等。
激励源的添加方式与模型的几何形状和边界条件有关。
在FDTD中，常用的激励源包括高斯脉冲、正弦波等形式。
第六步：设置传感器为了获取模型中感兴趣的电磁场信息，需要在适当的位置上放置传感器。
传感器通常设置在需要观测的区域内，可以测量电场和磁场分量。
传感器的位置和参数的设置对于获取准确的仿真结果至关重要。
第七步：运行仿真完成模型的建立、网格化、设置边界条件、时间步进、添加激励源和传感器后，即可开始进行仿真运算。
电磁振动机的数值模拟与仿真方法探究
电磁振动机的数值模拟与仿真方法探究电磁振动机是一种工业设备，常用于实现振动传递和加工处理等工作。
在设计和优化电磁振动机时，数值模拟与仿真方法是重要的工具。
本文将探究电磁振动机的数值模拟与仿真方法，以帮助设计师和研究人员更好地理解和改进电磁振动机的性能。
首先，我们需要了解电磁振动机的基本原理。
电磁振动机将电能转换为机械能，通过电磁力的作用产生振动。
它由电磁激励系统和振动系统组成。
电磁激励系统包括电磁铁和电源，通过电流激励电磁铁产生磁场，引起振动系统中的感应电流。
振动系统通常由弹性元件和负载组成，通过与弹性元件的相互作用实现振动传递和加工处理。
为了模拟电磁振动机的性能，我们需要考虑以下几个方面：1. 材料特性的建模：首先，我们需要确定振动系统中所使用的材料的特性。
材料的弹性模量、密度和导磁率等参数将直接影响振动系统的振动性能。
通过测量或文献调研，我们可以得到相应的材料数据，并将其输入到数值模拟软件中，进行材料特性的建模。
2. 力学结构的建模：在进行电磁振动机的数值模拟时，我们需要建立力学结构的几何模型。
这包括振动系统中的弹性元件、负载和支撑结构的几何形状和尺寸。
通过计算机辅助设计软件，我们可以绘制三维模型，并导入数值模拟软件进行后续分析。
3. 电磁场的模拟：电磁振动机的核心是电磁激励系统。
为了准确模拟电磁振动机的性能，我们需要进行电磁场的数值模拟。
通过求解麦克斯韦方程组，我们可以得到电磁场分布的数值解，在此基础上计算振动系统中的感应电流和力。
4. 动力学分析：电磁振动机是一个动态系统，通过电磁力的作用产生振动。
为了研究和优化电磁振动机的性能，我们需要进行动力学分析。
通过分析振动系统的位移、速度和加速度等动态参数，我们可以评估振动系统的稳定性和响应特性。
基于以上原理和分析方法，我们可以使用各种数值模拟软件来模拟和仿真电磁振动机的性能。
常用的软件包括ANSYS、COMSOL Multiphysics和MATLAB等，它们提供了强大的建模和求解工具，可以帮助我们更准确地预测和优化电磁振动机的性能。
电磁场仿真算法及应用
电磁场仿真算法及应用第一章引言随着现代科技的不断发展，电磁场仿真算法及其应用得到了越来越广泛的关注。
电磁场在电子工程、通信工程、无线电工程等众多领域都有着广泛的应用，因此电磁场仿真算法的研究也具有非常重要的意义。
本文将介绍电磁场仿真算法的基本理论和方法，并探讨其在通信工程、无线电工程、雷达工程等领域的应用。
第二章电磁场的基本概念电磁场指的是带电粒子所产生的电场和磁场的总和，是一种具有波动性的物质场。
电场和磁场是两种基本的物理量，它们的相互作用形成了电磁场。
电场是由静止电荷所产生的空间中的物理量，而磁场是由静止电荷所产生的空间中的物理量。
在电磁场中，电场和磁场是相互耦合的，它们的相互作用非常复杂。
电磁场在电子工程、通信工程、无线电工程、雷达工程等领域中都有着非常广泛的应用。
第三章电磁场仿真算法的基本理论和方法在电磁场仿真中，最基本的算法是有限元法和有限差分法。
有限元法是一种数值解法，将研究区域分成有限个小单元，对每个小单元进行电磁场计算，然后将它们组合得到整个研究区域的电磁场分布。
有限差分法也是一种数值解法，将研究区域分成有限个点，然后求解每个点的电磁场分布。
在这两种方法中，有限元法更加适用于三维场问题，而有限差分法则更加适用于二维场问题。
在电磁场仿真中，还有一种非常重要的算法，即时域有限差分法。
时域有限差分法是一种将电磁场计算问题转化为时域问题的算法，通过求解时域的麦克斯韦方程组，得到电磁场的时域分布。
时域有限差分法在雷达工程和通信工程中有着非常广泛的应用。
第四章电磁场仿真算法的应用在通信工程中，电磁场仿真算法可以用来模拟电磁波在不同环境下的传播特性，计算无线信号的强度、衰减等参数。
在无线电工程中，电磁场仿真算法可以用来模拟射频信号在天线中的传输特性，从而优化天线的设计。
在雷达工程中，电磁场仿真算法可以用来模拟雷达信号的传输特性，计算雷达的探测范围、分辨率等参数。
第五章结论电磁场仿真算法是一种非常重要的数值解法，可以用来模拟电磁场在不同环境下的传播特性和信号的传输特性。
电磁场数值计算方法_工程电磁场讲义
其他的分析软件
除了ANSYS以外，还有许多通用或电 磁分析专业软件，例如： ANSOFT 公司 的Maxwell 2D&3D、HFSS、飞箭公司的 FEPG、COMSOL公司的FEMLAB等等， 它们各有特点。
3.Applications
3.1 应用实例1——准静电场
2 0
架空线路分裂导线表面电场
FEM相比其它数值方法的优点在于： ——理论基础成熟； ——计算格式规范统一，利于编程； ——适应性高，适合各种复杂形状的区域； ——求解精度高；
由于这些优异的特性，在短短几十年时间里， FEM成为了绝大多数物理和工程问题中(机械、 航空、汽车、船舶、土木、海洋工程、电气电 子、压力容器等)应用最广泛的一种计算机辅助 分析方法。 在电磁分析领域，除了FEM以外，也有其 它有效的数值方法，例如：矩量法(MOM)、边 界元法(BEM)、时域有限差分法(FDTD)等等。
七、边界条件
1、狄利克莱边界条件
满足狄利克莱边界条件非常简单，只需要令狄利克莱 边界上的各节点电势为给定的值即可。图1中，若节点1 1 0, 4 1 ， 和节点4上分别有狄利克莱边界条件：
则加入边界条件后的矩阵方程为：
K K 0 0
1 11 1 21
K 1 2 K 22 K 22 2 K32 0
1 K 1 11 K K1 21 1 f 1 1 f f 1 2
1 K12 1 K 22
2 K 2 22 K K 2 32 2 f 2 2 f f 2 3
Ni i i x
由形函数的性质可知：
1 Ni 0 x xi x xi 1
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快速多极子(FMM)算法原理
由加法定理，标量格林函数可以展开为：
ik r + d ∞ e = ik ∑ (−1)l (2l + 1) jl (kd )hl (1) (kr ) Pl (d ⋅ r ) , d < r r+d l =0
其中， jl (kd ) 为球贝塞函数，h P (d ⋅ r ) 为勒让德函数。 其中
电磁兼容培训教程
2.电磁仿真数值方法
MAXWELL方程组
电磁理论的基础 所有电磁仿真软件的最终 目的即为求解麦克斯维方 程组
∂B ∇×E = − ∂t ∂E ∇ × B = µ o J + µ oε o ∂t ρ ∇•E = εo ∇•B = 0
Maxwห้องสมุดไป่ตู้ll
电磁分析方法发展及分类
解析方法（19世纪前）
矩量法(MOM)
离散积分方程数学表达形式的离散化方法 矩量法的四要点：
如何选取基函数和试函数 奇异点的处理技术 积分方程形式与离散矩阵性态之关系 矩量法的快速求解技术
矩量法原理
矩量法的原理是用许多离散的子域来代表整个连续区域，在子域中， 未知函数用带有未知系数的基函数来表示。 用矩量法求解积分方程包括下列步骤:
其中：
2π π = d k ∫ ∫ ∫ sin θ dθ dφ
2 0 0
TL (k = ⋅r)
∑ i (2l + 1)hl (kr ) Pl (k ⋅ r )
EFIE
矩量法(MOM)
离散积分方程数学表达形式的离散化方法 矩量法的四要点：
如何选取基函数和试函数 奇异点的处理技术 积分方程形式与离散矩阵性态之关系 矩量法的快速求解技术
快速多极子(FMM)算法原理
技术背景
由于雷达主要工作在微波频段，常见军用目标如导弹、飞机等均属于电大尺寸复 杂目标。如何高效求解这类三维电大尺寸目标的电磁散射特性(或雷达截面积RCS) 和天线布局是从事雷达总体设计、隐身与反隐身、目标识别等研究的学者、工程 师们所共同关心的问题。复杂三维目标电磁散射和辐射的高效求解包含了精度与 效率两方面的含义。快速多极子算法使高效精确求解电大尺寸成为可能。
L ( f1 ) , W1 L ( f1 ) , W2 [lmn ] = L ( f1 ) , WN
L ( f 2 ) , W1 L ( f 2 ) , W2 L ( f 2 ) , WN
L ( f N ) , W1 L ( f N ) , W2 L ( f N ) , WN
O
矩量法(MOM)
离散积分方程数学表达形式的离散化方法 矩量法的四要点：
如何选取基函数和试函数 奇异点的处理技术 积分方程形式与离散矩阵性态之关系 矩量法的快速求解技术
奇异性的处理
奇异性
场点和源点在同一个三角形中，格林函数中存在 R = 0 ，即自阻抗 计算时，因场点与源区重合故存在奇异性积分问题。 奇异性引起问题：数值积分方法进行求解往往不收敛。
f ( x) =
n n N = n 1= n 1
∑a
∞
f ≈ f ( x) =
∑a
N
n n
f
则算子方程化为代数方程
∑a
n =1
N
n
L( f n ) = g
选择测试函数
Wm
，对方程内积测试
(m = 1, 2, ..., N )
〈 L( f n ), Wm 〉 = 〈 g , Wm 〉
区域的离散化
区域的离散或目标的剖分； 基函数和权函数的选择； 阻抗元素的求解； 方程组的求解 ,求解结果即为—电流系数 后处理：通过电流分布，可计算其他感兴趣的参数，如雷达散射截面RCS、近场， 远场，输入阻抗，S参数 等
矩量法(MOM)
离散积分方程数学表达形式的离散化方法 矩量法的四要点：
计算结果的精度高； 阻抗矩阵计算的简单； 阻抗矩阵的阶数即未知量的少； 阻抗矩阵的条件数小，矩阵求解收敛性好
RWG基函数
RWG基函数
Rao, Wilton, Glisson于1982年提出定义在相邻平面三角贴 片上的基函数，又称为广义屋脊基函数。
伽略金法
试函数与基函数形式一样。
电场积分方程与磁场积分方程
电场积分方程（EFIE）
i E 0 + ZL( J ) t=
由于是根据电场边界条件建立的，被称 为电场积分方程
算子L为
1 L( X ) = − jk ∫ X + 2 ∇ ( ∇′ ⋅ X ) Gdτ ′ k
磁场积分方程 J − n × K ( J ) = n × Hi
MIE理论 WKB法
高频方法
GO,PO GTD,UTD CT(复射线法),SBR（弹跳射线法）
低频方法
积分方程方法
• 矩量法（MoM） • 多层快速多极子（MLFMM）
微分方程方法
• 有限元方法（FEM） • 有限差分法（EDM）
混合方法
• 高频/低频混合方法 • 微分/积分混合方法
lm
d
ρm −
Tm −
( lm 2 Am ) ρ m (r ) r in Tm f m (r )= ( lm 2 Am − ) ρ m − (r ) r in Tm 0 otherwise
+ + +
Tm +
ρm +
rm
c+
rm c −
− vm
rm
+ vm
第n条边上的基函数定义
RWG三角形对及其几何参数
算子K为
K ( X ) = − ∫ X × ∇Gdτ ′
理想导体(PEC)
离散积分方程及性态分析
待求的等效电流J可表示为：
J = ∑ J i gi
i =1 Ns
Ns是求解域S剖分成三角形后的边总数，gi是RWG矢量基 函数，Ji是三角形每条边上的基函数。
将上式代入电场积分方程，按伽略金法选择试函数，有：
FEKO中的混合积分方程
对闭合的理想导体，通过EFIE和MFIE线性组合可以得到 CFIE (混合场积分方程)
α η EFIE + (1 − α ) MFIE
系数可以在0至1之间选择，当系数为1的时就是EFIE， 0.5时就是CFIE FEKO中同时提供了混合CFIE+EFIE技术
CFIE
国内外发展动向
1989 年 ， 耶 鲁 大 学 V.okhlin 教 授 提出 了 快 速 多 极子 法 ， 在 其 问世 不 久 ， 包括 V.Rokhlin在内的众多学者如 L. R. Hamilton, C. C. Lu, M., W. C. Chew, J. M. Jin等等就对其进行了研究。特别是由于美国依利诺依大学W. C. Che研究组的工 作。使得快速多极子法在电磁散射领域获得了极大发展与完善。 国内，东南大学崔铁军教授，电子科技大学聂在平教授领导的课题组以及南京理 工大学陈如山教授课题组在多层快速多极子的研究方面也取得了丰硕的成果。
S i j j i S i
离散积分方程及性态分析
P
TE
源于电场积分方程，是第一类弗雷德霍姆积分方程 源于磁场积分方程，是第二类 弗雷德霍姆积分方程 比 P
TE
P P
TH
TH
具有好得多的条件数
如果采用迭代方法求解最终离散方程，求解离散磁场积分 方程的收敛速度要快的多
快速多极子(FMM)算法原理
快速多极子技术的基本思路
首先将未知等效电流分成小组。分小组可按如下方式进行：首先用一个适当大 小的长方体将物体刚好包住; 然后将此长方体分成小长方体，并将非空的小长方体标出储存,对任何一个非 空小长方体，其他的非空小的长方体可分两类：
• • 一类为近相互作用， 一类为远相互作用。
奇异性的处理
根据罗毕塔法，下式没有奇异性，所以用高斯积分易于计算，积分核 已连续变化。
I num 1 = 2 Aq exp(ikR p ) − 1 dT ∫T q Rp
而具有奇异性部分，解析公式如下：
= I 1 = dT ′ ∫ R T
∑ (t
i =1 3 i =1
3
0 i 2i
f − ω0 β i )
三维导电目标散射的快速多极子分析
聚合 i 直接作用 j 配置
m′
转移
m
框表示分组。i，j为子散射体， m′, m 分别为各自得组中心 在上图中，对于场点 rj 与源点 ri 有
rji = rj − ri = rj − rm + rm − rm′ + rm′ − ri =rjm + rmm′ − rim′
l
(1)
l
(kr )
为第一类球汉克尔函数，
4π i jl (kd= ) Pl (d ⋅ r )
l
ik ⋅d ∫ d ke Pl (k ⋅ r )
2
快速多极子(FMM)算法原理
格林函数得到：
ik r + d ik ⋅d ∞ l e ik 2 (1) d ke i l h kr P k = (2 + 1) ( ) ( ⋅r) ∑ l l r + d 4π ∫ l =0 ik ⋅d ik 2 d ke T k ≈ ( ⋅r) L 4π ∫
利用算子线性和内积的性质，得到需要的矩阵方程：
∑ a 〈 L( f
n =1 n N n
), Wm 〉 = 〈 g , Wm 〉