2022年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第351—355题 Word版含解析

感知高考刺金351题
对任意实数11,2x y >>，不等式()()
22
2
241211x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值为 ． 解：令10,210m x n y =->=->
则
()()22
22221142121448211m n x y m m n n m n
y x n m n m n m +++++++=+=+≥+≥-- 当且仅当1m n ==，即2,1x y ==时取得等号。

故222
min
48211x y a y x ⎛⎫
≤+= ⎪--⎝⎭
，即a -≤点评：本题由于分母比较简单不洁净，所以将分母进行换元是常见的方法。

感知高考刺金352题
若向量,a b 满足2
2
41a a b b ++=，则2a b +的最大值为 。

解：由极化恒等变形得
22222282a b a b a b ++-=+，22
228a b a b a b +--= 故22
22
222212
8
a b a b
a b a b
++-+--+
=
即
2
2
523218
8
a b
a b
+-+
=
即2
23288
2555a b a b -+=-≤
故210
25
a b +≤
感知高考刺金353题
已知函数()(
)20f x ax bx c a =++≠，且a b <。

()0f
x ≥对x ∀∈R 恒成立，则24a b c
M b a
++=-的最小值
为。

解法一：齐次化思想
依据条件有0,0a >∆≤，则1b a <≤因此4433
24221c c
a b c a b b a a ++++=+≥--
1
2t =>，则
()()
224434242182121a b c t t b a t t +++≥+=+-+≥--- 解法二：由题意可知240b ac ∆=-≤，即24ac b ≥
()()222
222424242a a b c a b c a ab ac a ab b M b a a b a ab a ab a ++++++++===≥
---- 此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除2a 则22222214
14811
a a
b b t t M t ab a t t ++++≥==-++≥---
当且仅当3b
t a ==准时24ac b =，即93,4a b a c ==时取得。

解法三：依据条件有0,0a >∆≤，则2
4b c a
≥
故
2
224b a b a b c a b a b a
++
++≥-- 令()0b a t t =+>得
2
2448b a b a b c t a a b a b a a t
++
++≥=++≥-- 当且仅当2t a =准时2
4b c a
=取得最小值，即93,4a b a c ==时取得。

解法四：令
()240a b c
t t b a
++=>-，得()()24t b a b a c --+=
，代入240b ac ∆=-≤ 得()()()()()()22
2
2
8121
22
22
a b a b a b t a b a a b a a b a
+++≥=≥
=-+-⎡⎤⋅⋅-⋅
⎢⎥⎣
⎦
解法五：待定系数法 假设
24a b c
t b a
++≥-，化简为()()1240t a t b c ++-+≥
又24440x a xb c ++≥
故比对系数得241,42x t x t =+=-，得3,82
x t =-=
由于302f ⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭
，所以()93024842a b c a b c b a -+≥⇒++≥-
由于b a >，所以
248a b c
b a
++≥-
感知高考刺金354题
空间四点,,,A B C D 满足2AB =，3BC =，4CD =，7DA =，则AC BD 的值为 。

解：
()
222222
22
AC BD DC DA BD DC DB DA DB DC DB BC DA DB AB =-=-++-+-=-+
2
2
2222
43721922
DB DB +-+-=-+=
点评：这里用到了向量点积的余弦定理形式， 即2
2
2
cos 2
AC AB BC
AB AC AB AC A +-=⋅=
感知高考刺金355题
已知圆22:4O x y +=，()1,0M ，直线:l x y b +=，P 在圆O 上，Q 在直线l 上，
满足0MP MQ =，MP MQ =，则b 的最大值为 ． 解：设(),Q x b x -，()1,0M ，所以()1,MQ x b x =-- 由于0MP MQ =，MP MQ =，
故知MP 就是围着M 顺时针或逆时针旋转90得到 所以(),1MP b x x =--或(),1MP b x x =-+- 即()1,1P b x x +--或()1,1P b x x -++-
P 在圆22:4O x y +=上，
所以()()22114b x x +-+-=或()()22
114b x x -+++-= 即()()
22224220x b x b b -+++-=或()
2222220x bx b b -+--= 两个方程中有一个有解即可，
所以()()
2
22124822082222b b b b b ∆=+-+-≥⇒≤⇒-≤≤ 或
()()2
22128220440222222b b b b b b ∆=---≥⇒--≤⇒-≤≤+
综上， 22222b -≤≤+。