曾都一中、枣阳一中、襄州一中、宜城一中四校联考高三(上))期中数学试卷(理科)(解析版2)

2016-2017学年湖北省襄阳市曾都一中、枣阳一中、襄州一中、宜城一中四校联考高三（上））期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请把答案填在答题卷上）
1．（5分）设A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|2x﹣3＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，）C．[1，）D．（，3）
2．（5分）已知1＜x＜10，a=lgx2，b=lg（lgx），c=（lgx）2，那么有（）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
3．（5分）平面向量，满足•（+）=3，||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．﹣D．
4．（5分）角α的终边在第一象限，则+的取值集合为（）
A．{﹣2，2} B．{0，2}C．{2}D．{0，﹣2，2}
5．（5分）设函数f（x）=ln（2+x）+ln（2﹣x），则f（x）是（）
A．奇函数，且在（0，2）上是增函数B．奇函数，且在（0，2）上是减函数
C．偶函数，且在（0，2）上是增函数D．偶函数，且在（0，2）上是减函数
6．（5分）先将函数y=2sinx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图象向左平移个单位，则所得图象的对称轴可以为（）
A．x=B．x=C．x=﹣D．x=
7．（5分）下列命题的叙述：
①若p：∀x＞0，x2﹣x+1＞0，则￢p：∃x0≤0，x02﹣x0+1≤0；
②三角形三边的比是3：5：7，则最大内角为π；
③若•=•，则=；
④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，
其中真命题的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）
A．B．C．D．
9．（5分）θ为锐角，sin（θ﹣）=，则tanθ+=（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知函数f（x）时的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x5﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f （x）；当x＞0时，f（x+1）=f（x），则f（2016）═（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
11．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a=，A=，则b+c的最大值为
（）
A．4 B．3C．2D．2
12．（5分）奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数是f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集为（）
A．（，π）B．（﹣π，﹣）∪（，π）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣，0）∪（，π）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷上）
13．（5分）已知=（3，﹣4），=（2，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t=．
14．（5分）已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=．
15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为．
16．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2（x1＞x2），f（x1）=x1，则关于x的方程[f（x）]2+2af （x）+b=0的不同实数根的个数是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）设p：实数x满足：x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：实数x满足：x=（）m﹣1，m∈（1，2）．（Ⅰ）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知向量=（cos﹣1），=（sin，cos2），函数f（x）=•+1．
（Ⅰ）若x∈[，π]，求f（x）的最小值及对应的x的值；
（Ⅱ）若x∈[0，]，f（x）=，求sinx的值．
19．（12分）已知f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）关于x的不等式2m﹣1＞f（x）有解，求m的取值范围．
20．（12分）高速公路为人民出行带来极大便利，但由于高速上车速快，一旦出事故往往导致生命或财产的重大损失，我国高速公路最高限速120km/h，最低限速60km/h．
（Ⅰ）当驾驶员以120 千米/小时速度驾车行驶，驾驶员发现前方有事故，以原车速行驶大约需要0.9秒后才能做出紧急刹车，做出紧急刹车后，车速依v（t）=﹣t（t：秒，v（t）：米/秒）规律变化直到
完全停止，求驾驶员从发现前方事故到车辆完全停止时，车辆行驶的距离；（取ln5=1.6）
（Ⅱ）国庆期间，高速免小车通行费，某人从襄阳到曾都自驾游，只需承担油费．已知每小时油费v（元）与车速有关，w=+40（v：km/h），高速路段必须按国家规定限速内行驶，假定高速上为匀速行驶，高速上共行驶了S千米，当高速上行驶的这S千米油费最少时，求速度v应为多少km/h？
21．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，sinB=，D为BC边中点，AD=1．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
22．（12分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2（a∈R）．
（Ⅰ）当a≤1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的图象上方，求a的取值范围．
2016-2017学年湖北省襄阳市曾都一中、枣阳一中、襄州一中、宜城一中四校联考高三（上））期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请把答案填在答题卷上）
1．（5分）（2016秋•宜城市期中）设A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|2x﹣3＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，）C．[1，）D．（，3）
【分析】阴影部分表示的集合为A∩B，解出A，B，再求交集．
【解答】解：因为A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}=[1，3]，B={x|2x﹣3＜0}=（﹣∞，）
Venn图表示的是A∩B，所以A∩B=[1，），
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
2．（5分）（2016秋•宜城市期中）已知1＜x＜10，a=lgx2，b=lg（lgx），c=（lgx）2，那么有（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【分析】运用对数函数的单调性，以及作差法，即可判断大小．
【解答】解：1＜x＜10，a=lgx2，b=lg（lgx），c=（lgx）2，
可得a﹣c=lgx2﹣（lgx）2=lgx（2﹣lgx），
由1＜x＜10，可得0＜lgx＜1，
1＜2﹣lgx＜2，可得a﹣c＞0，即a＞c＞0；
又b=lg（lgx）＜0，
则a＞c＞b．
故选：C．
【点评】本题考查对数值的大小比较，注意运用对数函数的性质，主要是单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．
3．（5分）（2016秋•宜城市期中）平面向量，满足•（+）=3，||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）
A．B．﹣C．﹣D．
【分析】直接展开•（+）=3，代入||=2，||=1可得向量与夹角的余弦值．
【解答】解：由||=2，||=1，且•（+）=3，得：
，即，
∴4+2cos＜＞=3，得cos＜＞=．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求向量的夹角，是基础题．
4．（5分）（2016秋•宜城市期中）角α的终边在第一象限，则+的取值集合为（）
A．{﹣2，2} B．{0，2}C．{2}D．{0，﹣2，2}
【分析】判断角所在的象限，然后去掉绝对值求解即可．
【解答】解：角α的终边在第一象限，则∈（k），k∈Z，
在第一象限时，+=2，
当在第三象限时，则+=﹣2．
则+的取值集合为：{2，﹣2}．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数化简求值，注意交所在象限，考查计算能力．
5．（5分）（2016秋•宜城市期中）设函数f（x）=ln（2+x）+ln（2﹣x），则f（x）是（）
A．奇函数，且在（0，2）上是增函数B．奇函数，且在（0，2）上是减函数
C．偶函数，且在（0，2）上是增函数D．偶函数，且在（0，2）上是减函数
【分析】判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性判断即可．
【解答】解：函数f（x）=ln（2+x）+ln（2﹣x），的定义域为：（﹣2，2），
f（﹣x）=ln（2﹣x）+ln（2+x）=f（x），
函数是偶函数；
函数f（x）=ln（2+x）+ln（2﹣x）=ln（4﹣x2），在（0，2）上y=4﹣x2是减函数，y=lnx是增函数，
由复合函数的单调性可知函数f（x）=ln（2+x）+ln（2﹣x）在（0，2）上是减函数，
故选：D．
【点评】本题考查复合函数的单调性以及函数的奇偶性的判断，考查转化思想以及计算能力．
6．（5分）（2016秋•宜城市期中）先将函数y=2sinx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图象向左平移个单位，则所得图象的对称轴可以为（）
A．x=B．x=C．x=﹣D．x=
【分析】先根据横坐标变为原来的倍时w变为原来2倍进行变换，然后根据左加右减的原则进行左右平
移，根据上加下减的原则进行上下平移得到平移后的函数解析式，进而根据正弦函数的对称性即可得解．【解答】解：将函数y=2sinx 纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，所得函数解析式为：y=2sin2x，
再将得到的图象向左平移个单位，所得函数解析式为：y=2sin2（x+）=2sin（2x+），
令2x+=kπ+，k∈Z，可得：x=+，k∈Z，
当k=0时，可得所得图象的对称轴可以为．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的平移变换和正弦函数的图象和性质的应用，图象平移的原则是平移时左
加右减上加下减，变换时横坐标变为原来的a倍时w变化为原来的倍，本题属于基础题．
7．（5分）（2016秋•宜城市期中）下列命题的叙述：
①若p：∀x＞0，x2﹣x+1＞0，则￢p：∃x0≤0，x02﹣x0+1≤0；
②三角形三边的比是3：5：7，则最大内角为π；
③若•=•，则=；
④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，
其中真命题的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据命题的否定的定义可知①错误；首先根据三角形大边对大角的性质，确定长度为7的边所对
的角最大，再使用余弦定理求出该角即可判断②正确；将原式移项变形得到，根据向量数
量积的定义可知此时有三种可能，故③错误；若ac2＜bc2，则a＜b，但反之不成立，故④正确．
【解答】解：对于①：根据命题的否定的定义可知，￢p：∃x0≤0，x02﹣x0+1≤0，故①错误；
对于②：根据三角形大边对大角的性质，7所对的角最大，再由余弦定理，得cosα=，故，即最大内角为π，故②正确；
对于③：若，则，此时，，或，有三种可能，
故③错误；
对于④：若ac2＜bc2，则a＜b，故ac2＜bc2是a＜b的充分条件；当a=﹣2，b=3，c=0时，a＜b，但ac2
＜bc2不成立．所以ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，故④正确；
综上可知，真命题的个数为2个，
故选：B．
【点评】本题考查了命题的否定，余弦定理，向量的数量积以及不等式的基本性质，属于知识的简单综合应用．
8．（5分）（2016秋•宜城市期中）已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）
A．B．C．D．
【分析】去绝对值，化为分段函数，根据导数和函数单调性关系即可求出．
【解答】解：当x＞0时，f（x）=x﹣lnx，
∴f′（x）=1﹣=，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x），
∴f′（x）=1﹣＞0恒成立，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
故选：A．
【点评】本题考查了导数和函数单调性关系，需要分类讨论，属于中档题．
9．（5分）（2016秋•宜城市期中）θ为锐角，sin（θ﹣）=，则tanθ+=（）A．B．C．D．
【分析】由已知利用两角差的正弦函数公式化简可得sinθ﹣cosθ=，平方后整理可求sinθcosθ，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵θ为锐角，sin（θ﹣）=，
∴sinθ﹣cosθ=，可得：sinθ﹣cosθ=，
∴两边平方可得：1﹣2sinθcosθ=，可得：sinθcosθ=，
∴tanθ+===．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．（5分）（2016秋•宜城市期中）已知函数f（x）时的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x5﹣1；当﹣1
≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，f（x+1）=f（x），则f（2016）═（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】当x＞0时，f（x+1）=f（x），求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x5﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，化简求解即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞0时，f（x+1）=f（x），∴当x＞0时，f（x）的周期为1．
∴f（2016）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0时，f（x）=x5﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．（5分）（2016秋•宜城市期中）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a=，A=，
则b+c的最大值为（）
A．4 B．3C．2D．2
【分析】由正弦定理可得：===2，于是
b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin=2sin，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：===2，
∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin
=2sinB+2cosB+=3sinB+cosB
=2sin≤2，当且仅当B=时取等号．
∴b+c的最大值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）（2016秋•宜城市期中）奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数是f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集为（）A．（，π）B．（﹣π，﹣）∪（，π）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣，0）∪（，π）
【分析】设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集
【解答】解：设g（x）=，
∴g′（x）=，
∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（﹣x）===g（x）
∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．
∵f（）=0，
∴g（）==0，
∵f（x）＜f（）sinx，即g（）＞g（x）；
①当sinx＞0时，即x∈（0，π），所以x∈（，π）；
②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（）=g（﹣）＜g（x）；
所以x∈（﹣，0）；
即不等式f（x）＜f（）sinx的解集为解集为（﹣，0）∪（，π），
故选：D
【点评】求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷上）
13．（5分）（2016秋•宜城市期中）已知=（3，﹣4），=（2，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t=
．
【分析】直接由向量在向量方向上投影的概念列式求得t值．
【解答】解：∵=（3，﹣4），=（2，t），且向量在方向上的投影为﹣3，
∴||cos＜＞=，
解得：t=．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．
14．（5分）（2016秋•宜城市期中）已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣
a）=．
【分析】利用分段函数求出a的值，然后求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=，且f（a）=﹣3，
可知a＞1，﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，
f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣2=﹣．
故答案为：．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查计算能力．
15．（5分）（2015•金凤区校级一模）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为2．
【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x﹣4的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，
点P到直线y=x﹣4的距离最小．
直线y=x﹣4的斜率等于1，
y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣
令y′=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），
故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣4平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x﹣4的距离d=，
故点P到直线y=x﹣4的最小距离为d==2，
故答案为：2．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查点到直线的距离公式的应用，求出函数的导数及运用两直线平行的条件是解题的关键，体现了转化的数学思想．
16．（5分）（2016秋•宜城市期中）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2（x1＞x2），f（x1）=x1，
则关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实数根的个数是3．
【分析】首先对f（x）求导，则关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b=0，则有f（x）=x1或f（x）=x2；再利用方程的根与图形交点的关系来判断交点个数．
【解答】解：对f（x）求导得：f'（x）=x2+2ax+b；
f（x）有极值点x1，x2对应于f'（x）=0的两个零点；
关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b=0，则有f（x）=x1或f（x）=x2；
由图形知y=x1与f（x）有2个交点；
∵x1＞x2，故y=x2与f（x）有1个交点；
故答案为：3
【点评】本题主要考查了方程与函数的转化关系与根个数问题，以及数学结合思想的应用，属中等偏上题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2016秋•宜城市期中）设p：实数x满足：x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：实数x满足：x=（）m﹣1，m∈（1，2）．
（Ⅰ）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将a=代入求出p为真时，x的范围，由指数函数的图象和性质，求出q为真时，x的范围，再由p∧q为真，求出两个范围的交集，可得实数x的取值范围；
（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即，解得实数a的取值范围．
【解答】解：（I）p：a＜x＜3a（a＞0），
时，…（1分）…（2分）
∵p∧q为真
∴p真且q真…（3分）
∴，得，
即实数x的取值范围为…（5分）
（II）q是p的充分不必要条件，记，B={x|a＜x＜3a，a＞0}
则A是B的真子集…（7分）
∴或…（9分）
得，即a的取值范围为…（10分）
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次不等式的解法，指数函数的图象和性质，难度中档．
18．（12分）（2016秋•宜城市期中）已知向量=（cos﹣1），=（sin，cos2），函数f（x）=•+1．（Ⅰ）若x∈[，π]，求f（x）的最小值及对应的x的值；
（Ⅱ）若x∈[0，]，f（x）=，求sinx的值．
【分析】（I）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最小值及对应的x的值．
（II）由条件求得sin（x﹣），再利用同角三角函数的基本关求得cos（x﹣）的值，利用两角和的正
弦公式求得sinx=sin[（x﹣）+]的值．
【解答】解：（I）由题意f（x）=•+1=sin•cos﹣cos2+1
==，
∵，∴，∴，
即x=π时，f（x）min=1．
（II），即，得．
∵，∴，∴，
∴
=．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
19．（12分）（2016秋•宜城市期中）已知f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）关于x的不等式2m﹣1＞f（x）有解，求m的取值范围．
【分析】（I）利用函数是奇函数，得到f（x）+f（﹣x）=0恒成立，推出a=0，b=0，化简函数的解析式，求出函数的导数，由f'（x）＞0，由f'（x）＜0，求解函数的单调区间．
（II）利用2m﹣1＞f（x）有解，推出2m﹣1＞f（x）min即可，利用函数的单调性求解函数的最值，求解即可．
【解答】解：（I）∵是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0恒成立…（1分）
∴（a+b）x2+a=0恒成立，∴a=0，b=0…（3分）
∴，…（4分）
由f'（x）＞0，得﹣1＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1或x＜﹣1 …（5分）
故函数f（x）的增区间为（﹣1，1），f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）…（6分）．
（II）∵2m﹣1＞f（x）有解，∴2m﹣1＞f（x）min即可…（7分）
当x＞0时，f（x）＞0；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，f（x）＜0…（8分）
由（I）知f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，在（﹣1，0）上为增函数
∴f（x）min=f（﹣1）=﹣1…（10分）
∴2m﹣1＞﹣1，∴m＞0 …（12分）
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
20．（12分）（2016秋•宜城市期中）高速公路为人民出行带来极大便利，但由于高速上车速快，一旦出事故往往导致生命或财产的重大损失，我国高速公路最高限速120km/h，最低限速60km/h．
（Ⅰ）当驾驶员以120 千米/小时速度驾车行驶，驾驶员发现前方有事故，以原车速行驶大约需要0.9秒后才能做出紧急刹车，做出紧急刹车后，车速依v（t）=﹣t（t：秒，v（t）：米/秒）规律变化直到
完全停止，求驾驶员从发现前方事故到车辆完全停止时，车辆行驶的距离；（取ln5=1.6）
（Ⅱ）国庆期间，高速免小车通行费，某人从襄阳到曾都自驾游，只需承担油费．已知每小时油费v（元）与车速有关，w=+40（v：km/h），高速路段必须按国家规定限速内行驶，假定高速上为匀速行驶，高速上共行驶了S千米，当高速上行驶的这S千米油费最少时，求速度v应为多少km/h？
【分析】（I）令，解得t=4秒或t=﹣5秒（舍），利用积分求出从发现前方事故到车辆完全停止行驶距离；
（II）设高速上油费总额为y，速度v满足60≤v≤120，则==，即可得出结论．
【解答】解：（I）令，解得t=4秒或t=﹣5秒（舍）…（2分）
从发现前方事故到车辆完全停止行驶距离为s=+…（4分）
=30+=30+=70（米）…（6分）
（II）设高速上油费总额为y，速度v满足60≤v≤120，则…（7分）
==…（9分）
当且仅当，v=100时取等号…（10分）
由v=100∈[60，120]，即v=100km/h时，高速上油费最少…（12分）
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查积分知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．
21．（12分）（2016秋•宜城市期中）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，sinB=，D为BC边中点，AD=1．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【分析】（I）由题意可直接求出cosB，sinA，cosA值，sinC=sin（A+B）求出sinC值，利用正弦定理
即可；
（II）因为D为BC中点，所以有，结合余弦定理可求出三角形的面积．
【解答】解：（I）在△ABC中∵，；
∴；
；
∴．
（II）∵D为BC中点，∴；
即；
化简：①；
由（I）知②，联立①②解得b=2，；
∴．
【点评】本题主要考查了三角恒等变换，正弦定理、余弦定理以及向量等相关知识点，属中等题．22．（12分）（2016秋•宜城市期中）已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2（a∈R）．
（Ⅰ）当a≤1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的图象上方，求a的取值范围．【分析】（1）首先求出f（x）的导函数，分类讨论a的大小来判断函数的单调性；
（2）利用转化思想：当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xe x ﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即e x﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；
【解答】解：（I）f'（x）=xe x﹣ax=x（e x﹣a）
当a≤0时，e x﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当0＜a≤1时，令f'（x）=0得x=0或x=lna．
（i）当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
（ii）当a=1时，lna=0，f'（x）=xe x﹣ax=x（e x﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；
综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；
当a=1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．
（II）由（I）知f'（x）=xe x﹣ax
当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；
即xe x﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；
即e x﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；
记g（x）=e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），
∴g'（x）=e x﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=e x﹣2a；
（i）当时，h'（x）=e x﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g'（x）＞g'（0）=0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴g（x）＞g（0）=0，符合题意；
（ii）当时，令h'（x）=0得x=ln（2a）；
∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，
∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；
∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）=0；
∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，
∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意；
综上可得a的取值范围是．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等偏上题型．。