2016年江苏省苏州市工业园区中考数学一模试卷

2016年江苏省苏州市工业园区中考数学一模试卷
D
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（3分）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF 是菱形，则△ABC必须满足的条件是（）
A．AB⊥AC B．AB=AC C．AB=BC D．AC=BC
9．（3分）如图，PA切⊙于点A，OP交⊙O于点B，且点B为OP的中点，弦AC ∥OP．若OP=2，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，已知△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AC=，动点D在边AC 上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧），在点D从点A移动至点C 的过程中，点E移动的路线为（）
A．B．2C．D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上.
11．（3分）计算：（﹣2x）2= ．
12．（3分）有一组数据：3，5，7，6，5，这组数据的中位数是．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b．若∠1=35°，则∠2= °．13．
14．（3分）方程的解是x= ．
15．（3分）若a2﹣3a+2=0，则1+6a﹣2a2= ．
16．（3分）将边长为2的正方形OABC如图放置，O为原点．若∠α=15°，则点B的坐标为．
17．（3分）如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向、距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为h．（结果保留根号）
18．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．
三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19．（5分）计算：|﹣3|+20﹣．
20．（5分）解不等式组：．
21．（6分）先化简，再求值：，其中x=+1．
22．（6分）购买6件A商品和5件B商品共需270元，购买3件A商品和4件B商品共需180元．问：购买1件A商品和1件B商品共需多少元？
23．（8分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠B=38°，求∠CAD的度数．
24．（8分）从1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛的同学．
（1）若抽取1名，恰好是男生的概率为；
（2）若抽取2名，求恰好是2名女生的概率．（用树状图或列表法求解）25．（8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数Y=的图象交开A（﹣2，1），B（1，a）两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出关于x，y的方程组的解．
26．（10分）如图，己知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与
点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD 的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．
（1）若点E是的中点，求∠F的度数；
（2）求证：BE=2OC；
（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？
27．（10分）如图①，已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t= s时，△BPQ为等腰三角形；
（2）当BD平分PQ时，求t的值；
（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．
探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．
28．（10分）如图，已知二次函数y=m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．
（1）①线段AB的长为．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．
2016年江苏省苏州市工业园区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.
1．（3分）计算（﹣2）×3的结果是（）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
【解答】解：（﹣2）×3=﹣6．
故选A．
2．（3分）已知∠α和∠β互为余角．若∠α=40°，则∠β等于（）A．40°B．50°C．60°D．140°
【解答】解：∵∠α，∠β互为余角，且∠α=40°，
∴∠α+∠β=90°，
∴∠β=90°﹣40°
=50°，
故选B．
3．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≥1 D．x≤1
【解答】解：由在实数范围内有意义，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1．
4．（3分）太阳的半径约为696 300km，696 300这个数用科学记数法可表示为（）
A．0.696 3×106B．6.963×105C．69.63×104D．696.3×103
【解答】解：696 300用科学记数法表示应为：6.963×105，
故选：B．
5．（3分）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形．任意旋转这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵圆被等分成6份，其中阴影部分占1份，
∴落在阴影区域的概率=．
故选D．
6．（3分）某校为调查1000名学生对新闻、娱乐、动画、体育四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，并利用调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据图中信息，可以估算出该校喜爱体育节目的学生共有（）
A．300名B．250名C．200名D．150名
【解答】解：∵由图可知，喜欢体育节目人数占总人数的百分比=1﹣30%﹣40%﹣10%=20%，
∴该校喜爱体育节目的学生=1000×20%=200（名）．
故选C．
7．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：将二次函数进行配方为y=（x﹣1）2﹣2，
∴顶点坐标为（1，﹣2），
∴在第四象限．
故选D．
8．（3分）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF 是菱形，则△ABC必须满足的条件是（）
A．AB⊥AC B．AB=AC C．AB=BC D．AC=BC
【解答】解：AB=AC，
理由是：∵AB=AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵D、F分别为AB和AC的中点，
∴DF∥BC，
∴AE⊥DF，
∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，
∴EF∥AD，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵AE⊥DF，
∴四边形ADEF是菱形，
即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形，选项A、C、D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形，
故选B．
9．（3分）如图，PA切⊙于点A，OP交⊙O于点B，且点B为OP的中点，弦AC ∥OP．若OP=2，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：连结OA、OC，如图，
∵PA切⊙于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵点B为OP的中点，
∴OB=PB，
∴OA=OP=1，
∴∠P=30°，∠POA=60°，
∵AC∥OP，
∴∠OAC=∠POA=60°，
而OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴图中阴影部分的面积=S
扇形AOC ﹣S
△AOC
=﹣•12 =﹣．
故选C．
10．（3分）如图，已知△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AC=，动点D在边AC 上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧），在点D从点A移动至点C 的过程中，点E移动的路线为（）
A．B．2C．D．
【解答】解：如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠AB C=60°，
∵△EBD是等边三角形，
∴BE=BD，∠EBD=60°，
∴∠EBD=∠ABC，
∴∠EBF=∠DBC，
在△EBF和△DBC中，
，
∴△EBF≌△DBC，
∴BF=BC，EF=CD，∵∠FBC=60°，
∴△BFC是等边三角形，
∴CF=BF=BC，
∵BC=AB=，
∴BF=AB，
∴AF=FB，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为．
故选A．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上.
11．（3分）计算：（﹣2x）2= 4x2．
【解答】解：（﹣2x）2=4x2．
故答案为：4x2．
12．（3分）有一组数据：3，5，7，6，5，这组数据的中位数是 5 ．
【解答】解：把这些数据从小到大排列为：3，5，5，6，7，最中间的数是5，则组数据的中位数是5；
故答案为：5．
（3分）如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b．若∠1=35°，则∠2= 145 °．13．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠1=35°，
∴∠3=35°，
∴∠2=180°﹣∠3=145°，
故答案为：145．
14．（3分）方程的解是x= 6 ．
【解答】解：方程两边都乘x（x﹣2），得
3（x﹣2）=2x，
解得x=6．
检验：当x=6时，x（x﹣2）≠0．
∴x=6是原方程的解．
15．（3分）若a2﹣3a+2=0，则1+6a﹣2a2= 5 ．
【解答】解：∵a2﹣3a+2=0，
∴a2﹣3a=﹣2，
∴原式=﹣2（a2﹣3a）+1
=4+1
=5．
故答案为：5．
16．（3分）将边长为2的正方形OABC如图放置，O为原点．若∠α=15°，则点B的坐标为（﹣，）．
【解答】解：连接OB，过B作BE⊥x轴于E，则∠BEO=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴AB=OA=2，∠A=90°，∠BOA=45°，
由勾股定理得：OB==2，
∵∠α=15°，∠BOA=45°，
∴∠BOE=45°+15°=60°，
在Rt△BOE中，BE=OB×sin60°=2×=，OE=OB×cos60°=，
∴B的坐标为（﹣，）．
故答案为：
17．（3分）如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向、距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为9（﹣1）h．（结果保留根号）
【解答】解：设出发t小时后甲船在乙船的正东方向，连接AB在P正南方向取点Q，则PQ⊥BA于Q，
在Rt△PQC中，∠CPB=60°，∴PQ=PBcos60°=×18t=9t，
在Rt△PQB中，∠APQ=45°，∴PQ=APcos45°=（81﹣9t）
则（81﹣9t）=9t，
解得：t==9（﹣1），
答：当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为9（﹣1）h．
故答案为：9（﹣1）．
18．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为﹣2 ．
【解答】解：如图，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，
∴BC===3，
在Rt△BCO′中，BO′===，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E=﹣2，
故答案为：．
三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19．（5分）计算：|﹣3|+20﹣．
【解答】解：原式=3+1﹣2
=2．
20．（5分）解不等式组：．
【解答】解：，
由①式得x＞1；
由②式得x≤4，
所以不等式组的解为1＜x≤4．
21．（6分）先化简，再求值：，其中x=+1．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
当x=+1时，原式=．
22．（6分）购买6件A商品和5件B商品共需270元，购买3件A商品和4件B商品共需180元．问：购买1件A商品和1件B商品共需多少元？
【解答】解：设购买1件A商品需x元，1件B商品需y元，
可得：，
解得：，
答：购买1件A商品需20元，1件B商品需30元，
20+30=50元，
答：购买1件A商品和1件B商品共需50元．
23．（8分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠B=38°，求∠CAD的度数．
【解答】解：（1）如图点D就是所求的点．
（2）∵∠C=90°，∠B=38°，
∴∠CAB=90°﹣38°=52°，
∵DA=DB，
∴∠DAB=∠B=38°，
∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=52°﹣38°=14°．
24．（8分）从1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛的同学．
（1）若抽取1名，恰好是男生的概率为；
（2）若抽取2名，求恰好是2名女生的概率．（用树状图或列表法求解）
【解答】解：（1）∵1名男生和3名女生中随机抽取参加“我爱苏州”演讲比赛，∴抽取1名，恰好是男生的概率为：；
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好是2名女生的有6种情况，
∴恰好是2名女生的概率为：=．
25．（8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数Y=的图象交开A（﹣2，1），B（1，a）两点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出关于x，y的方程组的解．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数上，
∴1=，
∴m=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵点B在反比例函数上，∴a==﹣2，
∴A（﹣2，1），B（1，﹣2）在一次函数上，
∴，
解得k=﹣1，b=﹣1，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1；
（2）关于x，y的方程组的解为（﹣2，1）（1，﹣2）．
26．（10分）如图，己知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD 的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．
（1）若点E是的中点，求∠F的度数；
（2）求证：BE=2OC；
（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）如图1，连接OE．
∵=，
∴∠BOE=∠EOD，
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）连接OE，过O作OM⊥BE于M，
∵OB=OE，
∴BE=2BM，
∵OD∥BF，
∴∠COD=∠B，
在△OBM与△ODC中，
∴△OBM≌△ODC，
∴BM=OC，
∴BE=2OC；
（3）∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴，
∵AC=x，AB=4，
∴OA=OB=OD=2，
∴OC=2﹣x，BE=2OC=4﹣2x，
∴，
∴BF=，
∴EF=BF﹣BE=，
∴BE•EF=•2（2﹣x）=﹣4x2+12x=﹣4（x﹣）2+9，∴当时，最大值=9．
27．（10分）如图①，已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t= s时，△BPQ为等腰三角形；
（2）当BD平分PQ时，求t的值；
（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．
探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．
【解答】解：（1）当BP=BQ时，60﹣3t=20t，
∴t=，
（2）如图1，
过P作PM∥AD，
∴，
∴，
∴PM=90﹣t，
∵PN=NQ，PM=BQ，
∴90﹣t=20t，
∴t=，
（3）如图2，
作GH⊥BQ，
∴PB=PF=60﹣3t，
∵AE=EF，∠AEP=∠FEG，∠A=∠F，
∴△AEP≌△FEG，
∴PE=EG，FG=AP，
∴AG=PF=60﹣3t=BH，
∴HQ=BQ﹣BH=20t﹣（60﹣3t）=23t﹣60，
GQ=FQ﹣FG=BQ﹣AP=17t，
根据勾股定理得，602=（17t）2﹣（23t﹣60）2
∴t
1=4，t
2
=7.5（舍），
∴t=4
∴存在t=4，使AE=EF．
28．（10分）如图，已知二次函数y=m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．
（1）①线段AB的长为．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．
【解答】解：（1）①令y=0，则（mx﹣3）（mx+1）=0，
∴x=﹣或x=，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB=，
故答案为；
②∵二次函数y=m2x2﹣2mx﹣3，
∴C（0，﹣3），对称轴l：x=，
∴D（，﹣3）
∵AB平分∠DAE，
∴点D关于x轴的对称点Q（，3）在直线AE上，
∴直线AE的解析式为y=mx+1，
∵点E是抛物线和直线AE的交点，
∴E（，5）．
（2）设M（x，m2x2﹣2mx﹣3），N（，a）
∵A（﹣，0），E（，5）．
以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，①以AE，MN为对角线时，
AE，MN的中点重合，
∴﹣+=x+，
∴x=，
∴M（，﹣3），
∵MA2+ME2=AE2，
∴+9++64=+25，
∴m=﹣（舍），或m=，
∴M（4，﹣3），
②以AN，ME为对角线时，
AN，ME的中点重合，
∴﹣+=x+，
∴x=﹣，
∴M（﹣，21），
∵AE2+AM2=ME2，
∴+25++441=+256，
∴m=﹣（舍）或m=
∴，
③以AM，NE为对角线时，
∴AM，NE的中点重合，
∴x+（﹣）=+，
∴x=，
∴M（，21），
∵AE2+EM2=AM2，
∴+25++256=+441，此方程无解，即：存在，M（4，﹣3）或．。