第一课时 两角和与差的余弦
两角和与差的正弦、余弦、正切(一)
一、知识概述（一）、两角和与差的余弦公式在直角坐标系内作出角α、β、-β，得到单位圆内的两条弦长相等，然后运用平面内两点间的距离公式，推导出两角和的余弦公式.cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ在上式中用－β代替β即得到差角的余弦公式.cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ（二）、两角和与差的正弦公式和诱导公式，可推出两角和的正弦公式：运用Cα＋βsin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ用－β代替β可得差角的正弦公式：sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ（三）、两角和与差的正切公式，Cα＋β及商数关系可得到两角和的正切公式.运用Sα＋β同理在上式中用－β代替β，可得.二、重难点知识归纳及讲解（一）、对于正、余弦、正切的和（差）角公式，不仅要会“正用”，而且还要会“逆用”、“变用”。
例1、cos82.5°cos52.5°＋cos7.5°cos37.5°=________.分析：此题考查和（差）角的正、余弦公式的逆用，注意82.5°与7.5°，52.5°与37.5°是互余关系.解法一：解法二：例2、(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°) =________.分析：此题考查和角的正切公式的变形用法，注意到21°＋24°=45°,22°＋23°=45°.解：同理可得(1＋tan22°) (1＋tan23°)=2∴(1＋tan21°) (1＋tan22°) (1＋tan23°) (1＋tan24°)=4.（二）、和（差）角公式在求值、化简、证明中的应用.例3、已知，α，β均为锐角，求cosβ的值.分析：注意已知角与要求的角的关系β =（α＋β）－α故cosβ=cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα.因此要求出sinα、cosα以及sin(α＋β).解：∵tan α =4，α为锐角.又∵，α、β均为锐角.例4、化简.分析：注意观察角之间的联系。
2023年高考数学(文科)一轮复习——三角恒等变换 第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3节三角恒等变换考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tan α1－tan2α.3.函数f(α)＝a sin α＋b cos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)(其中tan φ＝ab).1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z ).2.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝1010，cos β＝255，则α＋β＝( ) A.3π4 B.π4 C.π6 D.3π4或π4 答案 B解析 ∵sin α＝1010，cos β＝255， 又α，β为锐角，∴cos α＝31010，sin β＝55，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝31010×255－1010×55＝22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 3.计算：1＋tan 15°1－tan 15°＝________.答案3解析 1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.4.(易错题)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________. 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°) ＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝3－3tan 10°tan 50°， ∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan10°tan 50°＝ 3. 5.(2020·江苏卷)已知sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是________.答案 13解析 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23， 所以1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α2＝23，即1＋sin 2α2＝23，所以sin 2α＝13.6.函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 的周期为________. 答案 π解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，周期T ＝2π2＝π.第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一 公式的基本应用1.已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.－210 B.210 C.－7210 D.7210 答案 C解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，23，其中x 1<0<x 2，则cos(2α－β)＝________. 答案 75－8227解析 由题意可知，sin α＝13，sin β＝23， 由x 1<0<x 2可知cos α＝－1－sin 2α＝－223，cos β＝1－sin 2β＝53，所以cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79， sin 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－223×13＝－429， 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝75－8227.3.已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan 2θ＝________.答案 －43解析 2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7，解得tan θ＝2，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43. 感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二 公式的逆用、变形用 角度1 公式的活用例1 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°的值为________.(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________. (3)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 (1)12 (2)2 (3)－12 解析 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12×1＝12. (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2， 即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.(3)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.角度2 辅助角公式的运用 例2 化简：(1)sin π12－3cos π12； (2)cos 15°＋sin 15°； (3)1sin 10°－3sin 80°； (4)315sin x ＋35cos x .解 (1)法一 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.法二 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12 ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝－2sin π4＝－ 2. (2)cos 15°＋sin 15°＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) ＝2cos(45°－15°) ＝2×32＝62.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°.＝4sin （30°－10°）sin 20°＝4.(4)315sin x ＋35cos x ＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.感悟提升 1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练1 (1)下列式子化简正确的是( ) A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝12 B.sin 15°sin 30°sin 75°＝14 C.tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝ 3D.cos 215°－sin 215°＝32(2)(2022·郑州模拟)函数f (x )＝cos x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6在[0，π]的值域为________.答案 (1)D (2)[－2，1]解析 (1)选项A 中，cos 82°sin 52°－sin 82°·cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°) ＝－sin 30°＝－12，故A 错误；选项B 中，sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18，故B 错误； 选项C 中，tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－3，故C 错误；选项D 中，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，故D 正确.(2)f (x )＝cos x －32sin x －12cos x －32sin x ＋12cos x ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵0≤x ≤π，∴π3≤x ＋π3≤4π3，则当x ＋π3＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x ＋π3＝π3时，函数取得最大值2cos π3＝2×12＝1， 即函数的值域为[－2，1]. 考点三 角的变换例3 (1)已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6(2)(2022·大庆模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. (3)(2022·兰州模拟)若23sin x ＋2cos x ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝________.答案 (1)C (2)－45 (3)732解析 (1)因为sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以cos α＝55，cos(β－α)＝31010， 所以sin β＝sin [α＋(β－α)] ＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝25250 ＝22，所以β＝π4.故选C.(2)由题意知，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin(α＋β)＝－35＜0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－725， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－45.(3)由题意可得4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，令x ＋π6＝t ，则sin t ＝14，x ＝t －π6， 所以原式＝sin(π－t )cos 2t ＝sin t (1－2sin 2t )＝732.感悟提升 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等.训练2 (1)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin 2α等于( ) A.5665B.－5665C.1665D.－1635(2)(2021·全国大联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.答案 (1)B (2)－45解析 (1)因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2，由cos(α－β)＝1213，得sin(α－β)＝513，由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45， 则sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.故选B. (2)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45.1.已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( ) A.－31010 B.31010C.－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13， 所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 2.已知tan α2＝3，则sin α1－cos α＝( )A.3B.13 C.－3 D.－13答案 B解析 因为tan α2＝3，所以sin α1－cos α＝2sin α2cos α21－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＝cos α2sin α2＝1tan α2＝13，故选B.3.下列选项中，值为14的是( )A.2sin π12sin 5π12B.13－23cos 215°C.1sin 50°＋3cos 50°D.cos 72°·cos 36° 答案 D解析 对于A ，2sin π12sin 5π12＝2sin π12cos π12＝sin π6＝12，故A 错误； 对于B ，13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36，故B 错误；对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 50°＋12cos 50°12sin 100°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4，故C 错误；对于D ，cos 36°·cos 72°＝2sin 36°·cos 36°·cos 72°2sin 36°＝2sin 72°·cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14，故D 正确.4.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 5.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝( ) A.－2425 B.2425 C.－725 D.725答案 D解析 法一 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.故选D. 法二 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝725. 6.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. ∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.故选C. 7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).8.(2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 答案 －35 13解析 由题意，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2 θcos 2θ＋sin 2 θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θ·tan π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.9.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.答案 －1解析 ∵tan 25°－tan 70°＝tan(25°－70°)·(1＋tan 25°tan 70°)＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)＝－1－tan 25°tan 70°，∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.10.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值.解 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 11.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜ π2，求cos(α＋β).解 由已知，得π2＜α－β2＜π，0＜α2－β＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527. 则cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.12.若cos 2 α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A.－a 2B.a 2C.－aD.a答案 C解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2 β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .13.已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________.答案 － 3解析 由题意可得m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.14.(2021·合肥质检)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α.解 (1)∵f (x )＝cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝13，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6. 又∵0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13<12， ∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－223. ∴cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6·sin π6 ＝1－266.。
两角和与差的余弦课件
公式意义
两角和的余弦等于两个角 的余弦之积减去两个角的 正弦之积
公式证明
根据三角函数的和差化积 公式和三角函数的积化和 差公式可以证明
两角差的余弦公式
公式定义
$\cos(α-β)=\cos α\cos β+\sin α\sin β$
公式意义
两角差的余弦等于两个角 的余弦之积加上两个角的 正弦之积
公式证明
解决物理问题等。随着科学技术的不断发展，该公式将在更多的领域得
到应用和发展。
THANKS
感谢观看
在信号处理中的应用
信号的合成与分解
使用两角和与差的余弦公式，可以将一 个信号分解为多个信号的叠加，也可以 将多个信号合成为一个信号。
VS
信号的调制与解调
在信号调制过程中，使用两角和的余弦公 式可以将一个低频信号加载到高频载波上 ；在信号解调过程中，使用两角差的余弦 公式可以从高频信号中提取出低频信号。
重要性质
该公式具有一些重要的性质，例如，当两个角度的和或差 为90度时，余弦值为0；当两个角度的和或差为180度时 ，余弦值为-1等。
应用范围
该公式在解决三角形问题、极坐标系问题以及在信号处理 等领域都有广泛的应用。
对两角和与差的余弦公式的展望
01
进一步研究
尽管我们已经得到了两角和与差的余弦公式，但是对该公式的进一步研
05
CATALOGUE
两角和与差的余弦公式的变式与扩展
两角和的余弦公式的变式
公式变形
$\cos(A+B) = \cos A \cos B \sin A \sin B$
证明
利用和差角公式和三角函数的和 角公式进行变形。
应用
用于计算两角和的余弦值，或者 利用已知的两角和的正弦、余弦
《两角和与差的余弦》课件
学生在学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式后，需要进一步探索两角和 与差的余弦公式的推导和应用。
课程目标
知识目标
情感、态度与价值观目标
使学生掌握两角和与差的余弦公式的 推导过程，理解其几何意义。
培养学生对数学的兴趣和热爱，体验 数学在解决实际问题中的价值，培养 团队协作和交流沟通能力。
能力目标
两角差的余弦公式
公式形式
cos(α-β)
公式推导
利用三角函数的差角公式，将cos(α-β)拆解为cosαcosβ+sinαsinβ
公式应用
用于计算两角差的余弦值，是解决三角函数问题的重要公式之一。
公式推导过程
利用三角函数的和角公式，将 cos(α+β)拆解为cosαcosβ-sinαsinβ
通过推导过程，可以发现两角和与差 的余弦公式具有对称性和统一性，是 三角函数知识体系中的重要组成部分 。
实际情境
结合实际情境，设计一些涉及两角和与差的余弦公式的实际问题，让学生在解决实际问题中提高数学应用能力和 问题节课的重点与难点
重点
理解两角和与差的余弦公式，掌握其推导过程和应用。
难点
如何将两角和与差的余弦公式应用于实际问题中，以及公式的变形和拓展。
学习收获与感悟
收获
通过本节课的学习，学生能够熟练掌握两角和与差的余弦公式，了解其在三角函数和解 析几何等领域的应用。
感悟
学生在学习过程中应注重培养自己的逻辑思维和问题解决能力，学会运用所学知识解决 实际问题。
下节课预告
01
下节课将重点讲解三角函数的图 像和性质，包括正弦、余弦、正 切函数的图像和周期性、奇偶性 等性质。
在解决实际问题中的应用
两角和与差的正弦、余弦公式教学设计(第一课))
两角和与差的正弦、余弦公式的教学设计（第一课时）1 内容分析1.1课标要求《普通高中数学课程标准》(2017年版)“内容要求”部分对两角和与差的正弦、余弦和正切公式要求是经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
1.2教材分析本节是人教A版(2019年)高中数学必修第一册第五章第五节第一部分的内容，主要是两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
此前已学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。
1.3学情分析学生已经学习了诱导公式，可以对三角函数式进行恒等变形，但这只是针对特殊角，但是由于学生对这部分内容接收起来比较困难，所以要争取对已学过的内容循序渐进，比较自然地得到所要研究的新知识。
通过类比让学生进行模仿，引导利用单位圆，推导出两角差的余弦公式。
1.4核心素养及蕴含的数学思想方法数学抽象：主要是两角差的余弦公式的推导。
逻辑推理：两角差的余弦公式与两角和的余弦公式之间的联系。
数学运算：在推导出公式之后，运用公式进行解题。
1.5教学目标(1)了解两角差的余弦公式的推导过程．(2)掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．(3)熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．(4)通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。
1.6教学重点与难点教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。
2.教学过程重合．根据圆的旋转对称性可知， (或说明AOP ∆≌11OP A ∆)。
5.5.1两角和差的正弦余弦公式第一课时课件(人教版)
- =-
-()
=-.
因为 tan β=- ,β∈(0,π),所以β∈(,π)且 sin β=- cos β.
2
2
由 sin β+cos β=1 知 sin β=,cos β=-.
所以 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×=.
sin cos cos sin
sin cos cos sin .
故两角差的余弦公式为：
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
3、两角和与差的正弦、余弦角公式：
sin sin cos cos sin
13
13
13
所以 cos( ) cos cos sin sin
3
5
4
12
33
( ) ( ) ( ) .
5
13
5
13
65
思考：由 cos( ) cos cos sin sin 如何
求: cos( ) ?
分析：注意到 （ ）
所以 cos α=- - =- ,sin β= - = ,
所以 tan α=
=- ,tan β=
=- ,所以 tan(α-β)=
-
+
= .
[例 2] 已知 0<α<β<π,且 cos(α-β)=,tan β=,求 tan α的值.
两角和与差的余弦课件
在极坐标系中，我们可以用角度和半径来描述一个点，这种描 述方式在处理一些几何问题时非常方便。
02
在极坐标系中，三角函数如正弦、余弦、正切等可以表示为角
度和半径的函数。
两角和与差的余弦公式在极坐标系下有着直观而简洁的表达形
03
式，可以方便地应用于解决实际问题。
对称性及应用
01
对称性是数学中的一个重要概念，它描述的是在某种变换下，图形或函数的不 变性。
题目6
已知两个角度分别为95度和175度，计算这两个角度的和与差的余弦值，并判断这两个角 度是否互补。
高难度题目
01
题目7
已知两个角度分别为15度和165判断这两个角度是否互补。
02
题目8
已知两个角度分别为70度和110度，计算这两个角度的和与差的余弦
值，并判断这两个角度是否互补。
两角和与差的余弦公式 在数学、物理、工程等 领域都有广泛的应用， 特别是在解决具有周期 性和对称性的问题时非 常有效。
在学习两角和与差的余 弦公式时，需要掌握三 角函数的基本知识，包 括正弦、余弦、正切等 函数的定义、性质和图 像。
另外，还需要了解三角 函数的周期性、对称性 等相关知识，以便更好 地理解和应用两角和与 差的余弦公式。
题目2
已知两个角度分别为60度和90度，计算这两个 角度的和与差的余弦值。
题目3
已知两个角度分别为120度和150度，计算这两 个角度的和与差的余弦值。
中等难度题目
题目4
已知两个角度分别为75度和105度，计算这两个角度的和与差的余弦值，并判断这两个角 度是否互补。
题目5
已知两个角度分别为80度和140度，计算这两个角度的和与差的余弦值，并判断这两个角 度是否互补。
3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你
课时1 两角差的余弦公式
所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝3143，
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝71×1134 ＋4 7 3×3143＝12.
(备选题)若 cos(α－β)＝ 55，cos 2α＝ 1100，并且 α，β 均为锐角且 α＜ β，求 cos(α＋β)的值．
则 cos(α－β)的值为( A )
A．－6635
B．－3635
63 C.65
33 D.65
解析：因为 α 为锐角，且 cos α＝1123，所以 sin α＝ 1－cos2α＝153.因
为 β 为第三象限角，且 sin β＝－53，所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－45，所以
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1123×－45＋153×－35＝－6635.
二、提出问题 1．两角差的余弦公式是怎样推导出来的？ 2．两角差的余弦公式的展开式有什么特征？怎样记忆？ 3．两角差的余弦公式还有哪些方面的应用？
1．了解两角差的余弦公式的推导过程，掌握两角差的余弦公式在求 值、化简中的应用，提高学生数学运算的能力．
2．灵活应用两角差的余弦公式解决求值、求角等问题，培养学生数 学运算的能力.
－8 2＋3 D. 15
解析：因为 cos2π＋β＝－sin β＝－13，所以 sin β＝31.又 α，β 都是锐角，
所以
cos
β＝2
3
2 .
因为 sin32π－α＝－cos α＝－54，所以 cos α＝54.又 α，β 都是锐角，所
以 sin α＝35，
所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×232＋35×13＝8
第4章 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
∴sin 2α＝－79．故选 A．]
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式
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2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
3．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝
．
1 2
[原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式
2．降幂公式 sin2α＝1－c2os 2α； cos2α＝1＋c2os 2α； sin αcos α＝12sin 2α．
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第1课时 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式
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第1课时 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式
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2．(2021·烟台高三期末)已知角 α，β 的顶点为坐标原点，始边与
x 轴的非负半轴重合，若角 α 的终边经过点(2,1)，cos(α＋β)＝45，且
β∈0，π2，则 sin β＝
．
(1)sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ；
(2)cos(α±β)＝ cos αcos β∓sin αsin β ；
(3)tan(α±β)＝
tan α±tan β 1∓tan αtan β
．
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式
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第1课时 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式
专题03 两角和与差的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)
专题3两角和与差的三角函数（一）两角和与差的余弦C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；【点拨】①简记为：“同名相乘，符号反”．②公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．（二）两角和与差的正弦S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；【点拨】①简记为：“异名相乘，符号同”．②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.（三）两角和与差的正切T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；.T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ【点拨】1公式T α±β只有在α≠2π＋k π，β≠2π＋k π，α±β≠2π＋k π(k ∈Z )时才成立，否则就不成立.②当tan α或tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．③变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，如tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)，1－tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ++．1＋tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ--．（四）辅助角公式函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．4sin(2cos sin πααα±=±.题型一公式的正用【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，若点A 、B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则以下结论正确的是（）A ．3cos 5α=B ．3cos 5β=C ．()cos 0αβ+=D ．()cos 0αβ-=【答案】AD(0,π)β∈，则tan()αβ+的值为______．【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知tan ,4αα=-是第四象限角．(1)求cos sin αα-的值；(2)求ππcos ,tan 44αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值”问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．题型二公式的变用、逆用【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知sin100cos100M =︒-︒，44cos 78cos 46cos12)N =︒︒+︒︒，1tan101tan10P -︒=+︒，那么M ，N ，P 之间的大小顺序是（）A ．M N P <<B ．N M P<<C ．P M N<<D ．P N M<<A cos15︒︒B ．2cos 15sin15cos75︒︒︒-C ．2tan 301tan 30︒︒-D ．1tan151tan15︒︒+-【答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.(1)1－tan75°1＋tan75°；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；(3)tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°．【答案】（1）3-；（2）222；（3【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．详解：(1)原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°tan(45°－75°)＝33-．(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式＝222．(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝tan25°＋tan35°1－tan25°tan35°＝，∴tan25°＋tan35°＝3(1－tan25°tan35°)∴tan25°＋tan35°．【规律方法】1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝4π＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．题型三给值求值【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ，则cos()αβ-=（）A ．12-B ．13-C ．12D ．34取得最大值，则πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C D【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知cos 27βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos2αβ+的值；tanαβ+的值.(2)()给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．题型四给值求角【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知()0παβ∈，，，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=（）A ．5π4B ．π4C ．π4-D ．3π4-1,0,,cos 222π2a a βαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求αβ+的值．解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α、sin α、cos α中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．题型五三角函数式化简问题【典例12】（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：70cos10︒︒=︒（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()tan tan αβα+=___________.1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，33,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型六三角恒等式证明问题【典例14】（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）求证：(1)22sin cos 1sin cos 1cot 1tan αααααα+=-++；(2)在非直角三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【典例15】（2023·高一课时练习）求证：(1)当18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 时，(1tan )(1tan )2αβ++=；(2)当180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 时，tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据正切两角和公式求解即可.（2）根据正切两角和公式求解即可.【详解】（1）因为18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 所以(1tan )(1tan )αβ++1tan tan tan tan αβαβ=+++()()1tan 1tan tan tan tan αβαβαβ=++-+()()1tan 451801tan tan tan tan k αβαβ=++⋅-+ ()1tan 451tan tan tan tan αβαβ=+-+ 11tan tan tan tan αβαβ=+-+2=.即证：(1tan )(1tan )2αβ++=.（2）因为180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 所以tan tan tan αβγ++()()tan 1tan tan tan αβαβγ=+-+()()tan 1801tan tan tan k γαβγ=⋅--+ ()tan 1tan tan tan γαβγ=--+tan tan tan αβγ=⋅⋅.即证：tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅.【总结提升】三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）5cos 12π=（）A B C D2．（2023·江苏·高一专题练习）化简tan tan 44A A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2tan AB ．2tan A-C ．2tan 2AD ．2tan 2A-，，1,2b =，且a b ⊥，则()tan 45θ-︒的值是（）A ．1B ．3-C．3D ．134．（2023·江苏·高一专题练习）若1tan θ-=+，则cot 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）．A ．12B C D ．1【答案】C5．（2023·江苏·高一专题练习）在ABC 中，若cos 5A =，cos 13B =-，则cos()A B +等于（）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365-6．（2023·江苏·高一专题练习）若cos 5θ=-且(,π)2θ∈，则πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A B．410+-C D 7．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知02α<<，02β<<，且()sin 5αβ-=-，12sin 13β=，则sin α=（）A ．6365B ．5665C ．3365D ．1665-合，将角α的终边绕O 点顺时针旋转π3后，经过点()3,4-，则sin α=（）A B C D ．9．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角αβ､，下列不等关系恒成立的是（）A ．()sin cos cos αβαβ+<+B ．()cos sin sin αβαβ+<+C ．()sin cos cos αβαβ-<+D ．()cos sin sin αβαβ-<+【答案】ACA ．1sin15222-=-B ．sin20cos10cos160sin102-C ．sin1212ππ=D ．sin105=11．（2023·江苏·高一专题练习）化简：πtan 3π13αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______．12．（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知α，β满足04α<<，44β<<，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=______．13．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）求sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒的值．()cos ,sin b ααβ=- ，且a b ⊥ ．(1)求()cos αβ+的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan 3α=-，求2αβ+的值．︒︒+︒︒+︒︒=，tan10tan20tan20tan60tan60tan101tan20tan30tan30tan40tan40tan201︒︒+︒︒+︒︒=，tan33tan44tan44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒=．(1)尝试再写出一个相同规律的式子；(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．。
人教版必修四3.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（第一课时，正弦、余弦公式）
( )] cos( ) cos[
cos cos( ) sin sin( ) cos cos sin sin
cos 75 cos(45 30) cos45 cos30 sin45 sin30
2 4 2 3 ( ) 2 5 2 5
7 2 , 10
sin( ) cos[
2
( )] ) ]
2 两角差的正弦公式
cos(
2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 ) sin sin(
7 2 sin sin cos cos sin 4 4 10 4
两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
- 代
2
S(-)
C(+)
- 代
C(-)
2
S(+)
计算： (1) cos20 cos70 sin20 sin70
cos[(
2
) cos
sin( ) sin cos cos sin (S(-))
用- 代得出 两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin (S(+))
3 例：已知 sin , 是第四象限角，请计算 sin( ) 5 4
2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 4
3 例：已知 sin , 是 第 四 象 限 角 ， 请 计cos( 算 ) 5 4
两角和与差的余弦教案(优质教案)
两角和与差的余弦教案(优质教案)第三章：三角恒等变换第一节：两角和与差的余弦一、三维目的：1.知识与技能：学生需要理解两角和与差的余弦公式的推导过程，并掌握它的初步应用（公式的正用和逆用）。
此外，教师需要着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。
2.过程与方法：教学过程中需要启发、讲练结合，合作交流，突破难点。
3.情感、态度与价值观：教师需要培养学生的探索与创新意识，激发学生研究兴趣，提高学生解题的灵活性。
教学重点：余弦的差角公式的推导和应用。
教学难点：余弦的差角公式的推导。
二、教学过程：一）问题情境问题一：我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，但如果不想查表，如何求诸如cos75°、cos15°的值？设问：cos75°=cos（45°+30°）与cos45°+cos30°是否相等？cosl5°=cos（45°-30°）与cos45°-cos30°是否相等？由于cos（45°±30°）≠cos45°±cos30°，所以我们需要研究这个问题。
问题二：一般地，cos(α-β)≠cosα-cosβ，那么cos(α-β)能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？如何表示？我们可以把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。
在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）和P2（cosβ，sinβ）。
则∠P1OP2=α-β。
设向量a=OP1=（cosα，sinα）。
b=OP2=（cosβ，sinβ）。
则a•b=a·b·cosθ=cos(α-β)。
另一方面，a•b=x1x2+y1y2.因此，我们可以得到两角差的余弦公式。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时)
《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》（第1课时）一、学习目标1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.二、思维导图公式cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ简记符号C(α－β)使用条件α，β为任意角三、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读相关材料完成相应练习如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P.P1、A1、P点的坐标如何表示？AP与11A P有什么关系？知识梳理(1)P1(cos_α，sin_α)、A1(cos_β，sin_β)、P(cos(α－β)，sin(α－β))．(2)由AP＝A1P1得对于任意角α，β有cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.[自主检测]1．cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°等于()A.12 B.32 C.33 D.32．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为()A．－14 B.12C．2 D．－13．cos 15°＝________.4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.阅读相关材料完成相应练习探究一两角差的余弦公式的简单应用例：求下列各式的值:(1)cos 105°;(2)cos 46°cos 16°+sin 46°sin 16°.探究二给值(式)求值【例2】(1)已知cos α=35,α∈3π2,2π ,求cos α-π3;(2)已知α,β为锐角,cos(α+β)=1213,cos(2α+β)=35,求cos α的值.1、求下列各式的值：(1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (2)12cos 105°＋32sin 105°.2、cos 263°cos 203°＋sin 83°sin 23°的值为( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－323、3sin π12＋cos π12的值为( ) A.12 B ．1 C. 2 D.34、已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5143，则β＝________.。
第一课时 两角和与差的余弦
第一课时 两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质. 教学重点：余弦的差角公式及简单应用 教学难点：余弦的差角公式的推导 教学过程： Ⅰ.课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系? Ⅱ.讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos （α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.在直角坐标系x O y 中，以O x 轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P 1（cos α，sin α）、P 2（cos β，sin β），则∠P 1OP 2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.设向量a ＝OP 1→＝（cos α，sin α），b ＝OP 2→＝（cos β，sin β），则：a ·b ＝︱a ︱︱b ︱cos （α－β）＝cos （α－β） 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β所以：cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β （C （α－β））两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?cos ［α－（－β）］＝cos αcos （－β）－sin αsin （－β） ＝cos αcos β－sin αsin β即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β （C （α＋β））请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系. (2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系. 请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差. (2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值. 如：求cos 15°可化为求cos （45°－30°)或cos （60°－45°）利用这一式子而求得其值. 即：cos 15°＝cos （45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30° ＝22·32＋22·12 ＝6＋24或：cos 15°＝cos （60°－45°） ＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45° ＝12 ·22＋32·22＝6＋24请同学们将此公式中的α用π2 代替，看可得到什么新的结果?cos （π2 －α）＝cos π2 cos α＋sin π2 sin α＝sin α即：cos （π2－α）＝sin α再将此式中的α用π2 －α代替，看可得到什么新的结果.cos ［π2 －（π2 －α）］＝cos α＝sin （π2 －α）即：sin （π2－α）＝cos αⅢ.课堂练习1.求下列三角函数值 ①cos （45°＋30°）②cos 105° 解：①cos （45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°＝22·32－22·12 ＝6－22②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45° ＝12 ·22－32·22＝2－622.若cos αcos β＝－34 ，cos （α＋β）＝－1，求sin αsin β.解：由cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β得：sin αsin β＝cos αcos β－cos （α＋β）将cos αcos β＝－34 ，cos （α＋β）＝－1代入上式可得：sin αsin β＝143.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值.解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos （23°＋22°）＝cos 45°＝224.若点P (－3，4)在角α终边上，点Q （－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值. 解：由点P （－3，4）为角α终边上一点；点Q （－1，－2)为角β终边上一点，得：cos α＝－35 ，sin α＝45 ；cos β＝－255，sin β＝－55.∴cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝（－35 ）×（－255）－45 ×（－55）＝2555.已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113 ，求：tan α·tan β的值.解：由已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113可得：cos （α－β）＋cos （α＋β）＝1213 －113 ＝1113即：2cos αcos β＝1113①cos （α－β）－cos （α＋β）＝1 即：2sin αsin β＝1 ② 由②÷①得2sin αsin β2cos αcos β ＝tan α·tan β＝1311∴tan α·tan β的值为1311.6.已知cos α－cos β＝12 ，sin α－sin β＝－13 ，求：cos （α－β）的值.解：由已知cos α－cos β＝12得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14 ①由sin α－sin β＝－13得：sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝19②由①＋②得：2－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1336即：2－2cos （α－β）＝1336∴cos （α－β）＝5972Ⅳ.课时小结两公式的推导及应用. Ⅴ.课后作业课本P 96习题 1，2，3两角和与差的余弦1．下列命题中的假命题．．．是 （ ） A.存在这样的α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βB.不存在无穷多个α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βC.对于任意的α和β，都有cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin βD.不存在这样的α和β值，使得cos （α＋β）≠cos αcos β－sin αsin β 2．在△ABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则△AB Ｃ一定是钝角三角形吗？3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值.4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4 ＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.5．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665 ，求cos β的值.6．在△ABC 中，已知sin A ＝35 ，cos B ＝513 ，求cos C 的值.两角和与差的余弦答案1．B2．在△ABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则△AB Ｃ一定是钝角三角形吗？ 解：∵在△ABC 中，∴0＜C ＜π，且A ＋B ＋C ＝π即：A ＋B ＝π－C 由已知得cos A ·cos B －sin A ·sin B ＞0，即：cos （A ＋B ）＞0 ∴cos （π－C ）＝－cos C ＞0，即cos C ＜0 ∴C 一定为钝角∴△ABC 一定为钝角三角形. 3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值. 分析：令cos α＋cos β＝x ，然后利用函数思想. 解：令cos α＋cos β＝x ，则得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝x ①sin α＋sin β＝22 ② ①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x 2＋12∴cos (α－β)＝2x 2－34∵|cos (α－β)|≤1， ∴| 2x 2－34 |≤1解之得：－142≤x ≤142∴cos α＋cos β的最大值是142，最小值是－142. 4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4 ＋β）＝－1213求：cos （α＋β）. 解：由已知：α∈（π4 ，3π4）⇒－α∈（－3π4 ，－π4 ）⇒π4 －α∈（－π2 ，0）又∵cos （π4 －α）＝35 ， ∴sin （π4 －α）＝－45由β∈（0，π4 ）⇒π4 ＋β∈（π4 ，π2）又∵sin （5π4 ＋β）＝sin ［π＋（π4 ＋β）］＝－sin （π4 ＋β）＝－1213即sin （π4 ＋β）＝1213 ， ∴cos （π4 ＋β）＝513又（π4 ＋β）－（π4－α）＝α＋β∴cos （α＋β）＝cos ［（π4 ＋β）－（π4－α）］＝cos （π4 ＋β）cos （π4 －α）＋sin （π4 ＋β）sin （π4 －α）＝513 ×35 ＋1213 ×（－45 ）＝－33655．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665 ，求cos β的值.解：∵0＜α·β＜π2，∴0＜α＋β＜π由cos （α＋β）＝－1665 ，得sin （α＋β）＝6365又∵cos α＝45 ，∴sin α＝35∴cos β＝cos ［（α＋β）－α］＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α ＝（－1665 ）×45 ＋6365 ×35 ＝513评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系. 6．在△ABC 中，已知sin A ＝35 ，cos B ＝513，求cos C 的值.分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错. 解：由sin A ＝35 ＜22知0°＜A ＜45°或135°＜A ＜180°，又cos B ＝513 ＜12 ，∴60°＜B ＜90°，∴sin B ＝1213若135°＜A ＜180°则A ＋B ＞180°不可能. ∴0°＜A ＜45°，即cos A ＝45 .∴cos C ＝－cos （A ＋B ）＝1665.。
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第一课时 两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：余弦的差角公式及简单应用教学难点：余弦的差角公式的推导教学过程：Ⅰ.课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?Ⅱ.讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos （α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.在直角坐标系x O y 中，以O x 轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P 1（cos α，sin α）、P 2（cos β，sin β），则∠P 1OP 2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.设向量a ＝OP 1→＝（cos α，sin α），b ＝OP 2→＝（cos β，sin β），则：a ·b ＝︱a ︱︱b ︱cos （α－β）＝cos （α－β）另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β所以：cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β （C （α－β））两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?cos ［α－（－β）］＝cos αcos （－β）－sin αsin （－β）＝cos αcos β－sin αsin β即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β （C （α＋β））请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如：求cos 15°可化为求cos （45°－30°)或cos （60°－45°）利用这一式子而求得其值. 即：cos 15°＝cos （45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30° ＝22·32＋22·12 ＝6＋24或：cos 15°＝cos （60°－45°）＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45°＝12 ·22＋32·22＝6＋24请同学们将此公式中的α用π2 代替，看可得到什么新的结果? cos （π2 －α）＝cos π2 cos α＋sin π2sin α＝sin α 即：cos （π2－α）＝sin α 再将此式中的α用π2－α代替，看可得到什么新的结果. cos ［π2 －（π2 －α）］＝cos α＝sin （π2－α） 即：sin （π2－α）＝cos α Ⅲ.课堂练习1.求下列三角函数值①cos （45°＋30°）②cos 105°解：①cos （45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°＝22·32－22·12 ＝6－22②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45°＝12 ·22－32·22＝2－622.若cos αcos β＝－34，cos （α＋β）＝－1，求sin αsin β. 解：由cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β得：sin αsin β＝cos αcos β－cos （α＋β）将cos αcos β＝－34 ，cos （α＋β）＝－1代入上式可得：sin αsin β＝143.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值.解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos （23°＋22°）＝cos 45°＝224.若点P (－3，4)在角α终边上，点Q （－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值. 解：由点P （－3，4）为角α终边上一点；点Q （－1，－2)为角β终边上一点，得：cos α＝－35 ，sin α＝45 ；cos β＝－255，sin β＝－55. ∴cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝（－35 ）×（－255）－45 ×（－55）＝2555.已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113，求：tan α·tan β的值. 解：由已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113可得：cos （α－β）＋cos （α＋β）＝1213 －113 ＝1113即：2cos αcos β＝1113 ①cos （α－β）－cos （α＋β）＝1即：2sin αsin β＝1 ②由②÷①得2sin αsin β2cos αcos β ＝tan α·tan β＝1311∴tan α·tan β的值为1311. 6.已知cos α－cos β＝12 ，sin α－sin β＝－13，求：cos （α－β）的值. 解：由已知cos α－cos β＝12得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14① 由sin α－sin β＝－13得：sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝19 ②由①＋②得：2－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1336即：2－2cos （α－β）＝1336∴cos （α－β）＝5972Ⅳ.课时小结两公式的推导及应用.Ⅴ.课后作业课本P 96习题 1，2，3两角和与差的余弦1．下列命题中的假命题．．．是 （ ） A.存在这样的α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βB.不存在无穷多个α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βC.对于任意的α和β，都有cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin βD.不存在这样的α和β值，使得cos （α＋β）≠cos αcos β－sin αsin β2．在△ABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则△AB Ｃ一定是钝角三角形吗？3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值.4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4 ＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.5．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665，求cos β的值.6．在△ABC 中，已知sin A ＝35 ，cos B ＝513，求cos C 的值.两角和与差的余弦答案1．B2．在△ABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则△AB Ｃ一定是钝角三角形吗？ 解：∵在△ABC 中，∴0＜C ＜π，且A ＋B ＋C ＝π即：A ＋B ＝π－C由已知得cos A ·cos B －sin A ·sin B ＞0，即：cos （A ＋B ）＞0∴cos （π－C ）＝－cos C ＞0，即cos C ＜0∴C 一定为钝角∴△ABC 一定为钝角三角形.3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值. 分析：令cos α＋cos β＝x ，然后利用函数思想.解：令cos α＋cos β＝x ，则得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝x ①sin α＋sin β＝22 ② ①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x 2＋12∴cos (α－β)＝2x 2－34∵|cos (α－β)|≤1， ∴| 2x 2－34|≤1 解之得：－142≤x ≤142∴cos α＋cos β的最大值是142，最小值是－142. 4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4 ＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.解：由已知：α∈（π4 ，3π4） ⇒－α∈（－3π4 ，－π4 ）⇒π4 －α∈（－π2 ，0）又∵cos （π4 －α）＝35 ， ∴sin （π4 －α）＝－45由β∈（0，π4 ）⇒π4 ＋β∈（π4 ，π2） 又∵sin （5π4 ＋β）＝sin ［π＋（π4 ＋β）］＝－sin （π4 ＋β）＝－1213即sin （π4 ＋β）＝1213 ， ∴cos （π4 ＋β）＝513又（π4 ＋β）－（π4－α）＝α＋β ∴cos （α＋β）＝cos ［（π4 ＋β）－（π4－α）］ ＝cos （π4 ＋β）cos （π4 －α）＋sin （π4 ＋β）sin （π4－α） ＝513 ×35 ＋1213 ×（－45 ）＝－33655．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665，求cos β的值. 解：∵0＜α·β＜π2，∴0＜α＋β＜π 由cos （α＋β）＝－1665 ，得sin （α＋β）＝6365又∵cos α＝45 ，∴sin α＝35∴cos β＝cos ［（α＋β）－α］＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝（－1665 ）×45 ＋6365 ×35 ＝513评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.6．在△ABC 中，已知sin A ＝35 ，cos B ＝513，求cos C 的值. 分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.解：由sin A ＝35 ＜22知0°＜A ＜45°或135°＜A ＜180°， 又cos B ＝513 ＜12 ，∴60°＜B ＜90°，∴sin B ＝1213若135°＜A ＜180°则A ＋B ＞180°不可能.∴0°＜A ＜45°，即cos A ＝45. ∴cos C ＝－cos （A ＋B ）＝1665.。