两角和差正余弦公式的证明
两角和与差的三角函数公式的证明
两角和与差的三角函数公式的证明数学三角函数两角和与差单位圆托勒密定理利用单位圆方法证明sin（α+β）= …与cos（α+β）= …，是进一步证明大部分三角函数公式的基础。
1、sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段：如图中所示，容易看出：sin（α+β）=CF；sinα=AB；cosα=OB； sinβ=CD；cosβ=OD 则：----------------------------------------------------------------------------------------------平面几何的证明方法：如图所示，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示（非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定理的多种途径，真是妙不可言！）----------------------------------------------------------------------------------附：如何证明托勒密定理？见 /69610635.html/b/2459822.html托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．（具体的推导方法详见数学目录下的博文，来自网友的提供！）思路：托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成两条线段DE和BE。
第一步证明一对旋转的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。
证明：以AB为边，作一个角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；在ΔABE和ΔACD中，∵∠BAE=∠DAC；∠ABE=∠ACD；∴△ABE∽△ACD；∴ AB·DC=BE·AC①∵∠BAE=∠DAC；∴∠DAE=∠CAB；在ΔADE和ΔACB中，∵∠ADE=∠ACB；∠DAE=∠CAB；∴△ADE∽△ACB；∴ AD·BC=DE·AC②∴①+②得：AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。
三角函数两角和差公式证明过程
三角函数两角和差公式证明过程一、两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B的证明。
1. 利用单位圆证明（几何法）- 在单位圆x^2+y^2 = 1上，设角A、B的终边分别与单位圆交于点P_1(cos A,sin A)和P_2(cos B,sin B)。
- 则→OP_1=(cos A,sin A)，→OP_2=(cos B,sin B)。
- 角A + B的终边与单位圆交于点P。
- 根据向量的数量积定义，→OP_1·→OP_2=|→OP_1||→OP_2|cos(A - B)，因为|→OP_1|=|→OP_2| = 1，所以→OP_1·→OP_2=cos(A - B)。
- 又因为→OP_1·→OP_2=cos Acos B+sin Asin B，所以cos(A - B)=cos AcosB+sin Asin B。
- 令B=-B，则cos(A + B)=cos Acos(-B)+sin Asin(-B)。
- 由于cos(-B)=cos B，sin(-B)=-sin B，所以cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B。
2. 利用复数证明（代数法）- 设z_1=cos A + isin A，z_2=cos B + isin B。
- 根据复数乘法法则z_1z_2=(cos A + isin A)(cos B + isin B)- 展开得z_1z_2=cos Acos B-sin Asin B+i(sin Acos B+cos Asin B)。
- 另一方面，根据复数的三角形式乘法z_1z_2=cos(A + B)+isin(A + B)。
- 比较实部可得cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B。
二、两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B的证明。
1. 利用两角和的余弦公式推导。
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
两⾓和与差的余弦公式的五种推导⽅法之对⽐两⾓和与差的余弦公式是三⾓函数恒等变换的基础，其他三⾓函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两⾓和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第⼀个公式，往往得到了⼴⼤教师的关注. 对于不同版本的教材采⽤的⽅法往往不同，认真体会各种不同的两⾓和与差的余弦公式的推导⽅法，对于提⾼学⽣的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能⼒有很⼤的作⽤.下⾯将两⾓和与差的余弦公式的五种常见推导⽅法归纳如下：⽅法⼀：应⽤三⾓函数线推导差⾓公式的⽅法设⾓α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂⾜为M，那么OM即为α－β⾓的余弦线，这⾥要⽤表⽰α，β的正弦、余弦的线段来表⽰OM．过点P作PA⊥OP1，垂⾜为A，过点A作AB⊥x轴，垂⾜为B，再过点P作PC⊥AB，垂⾜为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应⽤三⾓函数线推导差⾓公式这⼀⽅法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导⽅法对于如何能够得到解题思路，存在⼀定的困难. 此种证明⽅法的另⼀个问题是公式是在均为锐⾓的情况下进⾏的证明，因此还要考虑的⾓度从锐⾓向任意⾓的推⼴问题.⽅法⼆：应⽤三⾓形全等、两点间的距离公式推导差⾓公式的⽅法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直⾓坐标系内做单位圆，并做出任意⾓α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导⽅法巧妙的将三⾓形全等和两点间的距离结合在⼀起，利⽤单位圆上与⾓有关的四个点，建⽴起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和⾓与差⾓的三⾓公式. 在此种推导⽅法中，推导思路的产⽣是⼀个难点，另外对于三点在⼀条直线和三点在⼀条直线上时这⼀特殊情况，还需要加以解释、说明.⽅法三：应⽤余弦定理、两点间的距离公式推导差⾓公式的⽅法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两⾓和与差的三⾓函数，所以构造出和⾓和差⾓是必须实现的. 构造出的和⾓或差⾓的余弦函数⼜需要和这两个⾓的三⾓函数建⽴起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建⽴起等式关系容易出现，因此此种⽅法是推导两⾓和与差的余弦的⽐较容易理解的⼀种⽅法. 但此种⽅法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使⽤，因此此种⽅法在必修四中⼜⽆法使⽤. 另外也同样需要考虑三点在⼀条直线上的情况.⽅法四：应⽤三⾓形⾯积公式推导推导差⾓公式的⽅法设α、β是两个任意⾓，把α、β两个⾓的⼀条边拼在⼀起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另⼀边于A，交β另⼀边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三⾓形⾯积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和⾓公式及差⾓公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导⽅法通过三⾓形的⾯积的和巧妙的将两⾓和的三⾓函数与各个⾓的三⾓函数和联系在⼀起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个⾓为锐⾓的情况下进⾏的证明，因此同样需要将⾓的范围进⾏拓展.(五)应⽤数量积推导余弦的差⾓公式在平⾯直⾓坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作⾓α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表⽰，有.于是，有.说明：应⽤数量积推导余弦的差⾓公式⽆论是构造两个⾓的差，还是得到每个⾓的三⾓函数值都是容易实现的，⽽且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将⼆者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作⽤.综上所述，从五种不同的推导两⾓和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导⽅法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果，也进⼀步体验了数学的博⼤精深.。
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照第一种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。
现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2将这两个式子相加，得到：cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)这就是两角和的余弦公式。
第二种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道余弦函数的复合角公式，即：cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2sinθ1 = opp1/hyp1sinθ2 = opp2/hyp2将这些式子代入复合角公式中，得到：cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)这就是第二种推导方式。
第三种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：sin²θ + cos²θ = 1现在我们考虑θ1和θ2的和，即(θ1+θ2)。
我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2现在我们将θ1+2表示为(θ1+θ2)的余弦函数和正弦函数：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2= (adj1⋅cosθ2 - opp1⋅sinθ2) / (hyp1⋅cosθ2 + hyp2⋅sinθ2) = (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅ hyp2)这就是第三种推导方式。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(基础知识+基本题型)(含解析)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（基础知识+基本题型）知识点一、两角差的余弦公式 如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==OB OA . 由向量数量积的定义，有)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅OB OA OB OA ，由向量数量积的坐标表示，得βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA . 于是有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-. 由以上的推导过程可知，βα,是任意角，则)(βα-也应为任意角，即对于任意角βα,有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，此公式称为差角的余弦公式，简记为)(βα-C【提示】（1）适用条件：公式中的βα,都是任意角，可以为常量，也可以为变角（2）公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 【拓展】（1）逆用：)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+（2）角变换后使用：ββαββαββααsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+= （3）移项使用：βαβαβαsin sin )cos(cos cos --=；βαβαβαcos cos )cos(sin sin --=（4）特殊化使用导出诱导公式：ααπαπαπsin sin 2sincos 2cos)2cos(=+=-知识点二 两角和的余弦公式 运用)(βα-C 和诱导公式，有)](cos[)cos(βαβα--=+ )sin(sin )cos(cos βαβα-+-= βαβαsin sin cos cos -=，即βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+此公式就是两角和的余弦公式，简记作)(βα+C 提示：（1）公式中的βα,都是任意角（2）两角和与差的余弦公式右边函数名的排列顺序为：余⋅余 正⋅正，左右两边加减运算符号相反 （3）一般情况下，两角和的余弦公式不能按分配律展开，即βαβαcos cos )cos(+≠+ 【拓展】要学会顺用（从左至右，即展开）、逆用（从右至左，即化简）、变用（移项变形）公式()C αβ± （1）顺用公式()C αβ±，如：()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦；()cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβαβ+=-，()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦（2）逆用公式()C αβ±，如：()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ+--+- ()()cos cos 2αβαβα=++-=⎡⎤⎣⎦（3）变用公式()C αβ±，如：()cos sin sin cos cos αβαβαβ++=； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ--=知识点三 两角和与差的正弦公式 运用()C αβ-和诱导公式，有()()sin cos cos 22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-+=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin sin cos cos sin 22ππαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+.这就是两角和的正弦公式，简记作sin cos cos sin αβαβ+()S αβ+. 在公式()S αβ+中，用β-代替β，可得()()()sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦，即()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. 这就是两角差的正弦公式，简记作()S αβ-. 【提示】（1）公式中的,αβ均为任意角.（2）两角和与差的正弦公式右边函数名的排列顺序为：正余±余正，左右两边加减运算符号相同. （3）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即()sin sin sin αβαβ±=±.知识点四 两角和与差的正切公式 ()()()sin sin cos cos sin tan tan tan cos cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--， 即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-.这就是两角和的正切公式，简记作()T αβ+. 以β-代替上式中β，可得 ()()()tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ+--+-==⎡⎤⎣⎦--+，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.这就是两角差的正切公式，简记作()T αβ-. （1）适用条件：公式()T αβ±只有在(),,Z 222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠+±≠+∈时才成立，否则不成立，这是由正切函数的定义域决定的.（2）特殊情况：当tan α或tan β或()tan αβ±的值不存在时，不能使用()T αβ±处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法.例如，化简tan 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为tan 2π的值不存在，不能利用公式()T αβ-，所以改用诱导公式来解.sin cos 2tan 2sin cos 2πβπββπββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. （3）公式()T αβ-也可以这样推导： ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ---==-+若cos cos 0αβ≠，则将上式得分子、分母都除以cos cos αβ，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.【拓展】（1）正切公式的逆用： ()()()tan tan tan tan 1tan tan αβααβαβαβα+-=+-=⎡⎤⎣⎦++；tantan 1tan 4tan 1tan 41tan tan 4πααπαπαα++⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭-（2）正切公式的变形应用：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-； ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-=+；()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+=-知识点五 辅助角公式辅助角公式：()sin cos tan b a x b x x a ϕϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭推导过程：sin cos a x b x x x ⎫+=+⎪⎭令cos ϕϕ==，)sin cos sin cos cos sin a x b x x x ϕϕ++()x ϕ+其中角ϕ所在象限由,a b 的符号确定，角ϕ的值由tan ba ϕ=确定或由cos ϕϕ==共同确定【提示】 （1）关于形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）的式子，引入辅助角可以变形为()sin A x ϕ+的形式，有时也变形为()cos A x ϕ+的形式（2）辅助角公式能将异名三角函数式转化为同名三角函数式，它本身就是一个化简得过程，化简后，可轻松地求出函数的周期、最值、单调区间等考点一 三角函数式的化简 【例1】 化简下列各式 （1）sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）()2sin50sin101⎡⎤︒+︒︒⎣⎦；（3）()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ 解：（1）原式()()sin 158cos15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8tan15cos 158sin15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8︒-︒+︒︒︒︒-︒︒+︒︒==︒︒-︒-︒︒︒︒+︒︒-︒︒()1tan 45tan 30tan 45301tan 45tan 30︒-︒=︒-︒==+︒︒2=-（2）原式2sin 50sin10⎛=︒+︒ ⎝⎭2sin 50cos102sin10cos50cos10︒︒+︒︒⎡⎤=︒⎢⎥︒⎣⎦)sin 50cos10sin10cos50=︒︒+︒︒()5010=︒+︒== （3）原式()()()1sin cos sin sin 2αβαααβαβα=+-++-+-⎡⎤⎣⎦ ()()1sin cos 2sin cos 2αβαααβ=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ ()sin sin αβαβ=+-= 化简三角函数式的标准和要求： （1）能求出值得应求出值；（2）使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少； （3）使三角函数式的次数尽可能低； （4）使分母中尽量不含三角函数式和根式 考点二 三角函数的求值 【例2.】.（1）求sin105︒的值；（2）已知3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，求cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）已知1tan ,tan 20,322ππαβαβπ⎛⎫==-<<<< ⎪⎝⎭，求()tan αβ-及αβ+的值解：（1）()sin105sin 6045︒=︒+︒sin 60cos45cos60sin 45=︒︒+︒︒ （2）因为3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，所以4cos 5θ=-所以413cos cos cos sin sin 666525πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为1tan ,tan 23αβ==-，所以()12tan tan 3tan 721tan tan 13αβαβαβ+--===+- ()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ-++===--+ 因为0,,22ππαβπ<<<<所以 322ππαβ<+<所以34παβ+=三角函数的求值问题主要包括三类：给角求值、给值求值、给值求角 （1）给角求值的求解策略求解的关键是能将所求角转化为特殊角，并注意公式的选用 （2）给值求值的求解策略已知角,αβ的某种三角函数值，求αβ±的余弦、正弦或正切的方法；先根据平方关系求出,αβ的另一种三角函数值，求解过程中应注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，再根据求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的正弦、余弦、正切公式中，求出和角或差角的正弦、余弦、正切（3）给值求角的方法解答这类题目的步骤：①求出角的某一个三角函数值；②确定角所在的范围；③求角 考点三 三角恒等式的证明 【例3】求证：()()sin 2sin 2cos .sin sin αββαβαα+-+=证明：因为sin 0α≠，()()sin 22cos sin αβαβα+-+()()=sin 2cos sin αβααβα++-+⎡⎤⎣⎦()()()sin cos cos sin 2cos sin αβααβααβα=+++-+ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+()sin αβα=+-⎡⎤⎣⎦ sin β=，所以()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=.证明三角恒等式常用以下方法：（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去；（2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边-右边=0. 考点四 辅助角公式的应用【例4】 将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式：（1cos x x -；（2）.4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）12cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭原式2cos sin sin cos 66x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin .6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1sin cos 22424x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式sin sin cos cos 26464x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 246212x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2212x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭5sin .212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 通过引入辅助角ϕ，可以将sin cos a x b x +这种形式的三角函数式化为一个角的一种三角函数的形式.这种变形方法可解决sin cos a x b x +的许多问题，如值域、最值、周期、单调区间等.另外，（2）在解法上充分体现了角的变换和整体思想.。
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程首先，我们假设有两个角α和β，它们的和为α+β，差为α-β。
我们将利用这两个和与差来推导公式。
1.两角和的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ，我们可以将α+β的正弦表示为两个正弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的正弦再次表示为两个正弦的和的形式。
即，sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)。
这样，我们可以得到：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcos(-β) +cosαsin(-β)。
2.两角和的余弦公式的推导：首先，根据三角恒等式cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，我们可以将α+β的余弦表示为两个余弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的余弦再次表示为两个余弦的和的形式。
即，cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ = cosαcos(-β) - sinαsin(-β)。
这样，我们可以得到：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcos(-β) -sinαsin(-β)。
3.两角差的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β)，我们可以将α-β的正弦表示为两个正弦的差的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α-(-β)的正弦再次表示为两个正弦的差的形式。
即，sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
两角和与差的余弦公式的六种推导方法
两角和与差的余弦公式的六种推导方法沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP ＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.附方法六：等积法推导余弦的差角公式广东佛山袁锦前如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E,设∠DAC=α，∠ABD=β,求：cos（α-β）解：在△ABD中,BD=c·cosβ，AD=b·cosα在△ACD中,CD= b c·sinα，AD= c·sinβ11cos cos sin sin 22ABD ACDSSbc bc αβαβ∴+=+ ()1cos cos sin sin 2bc αβαβ=+ …………………………..○1 又∵2BAD πβ∠=-()c sin =c sin 22BE ππβααβ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∴=⋅-+⋅--⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()c cos αβ=⋅-()11cos 22ABCSAC BE bc αβ∴=⋅=- …………………………………………○2 由○1○2可得： ()cos =cos cos sin sin αβαβαβ-+。
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
＝ × ＋ × ＝ ＝ .∵0<β< ，所以β＝ .
变式3．(1)已知tanα＝2，tanβ＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；
(2)已知α，β均为锐角，sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β.
解析：(1)tan ＝ ＝ ＝－1.
∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，由上式知α＋β＝ .
课堂练习：
练习1：cos(450+300)=
练习2：cos200cos700-sin200sin700=
练习3： 练习4：
1．下列式子中，正确的个数为()
①sin ＝sinα－sinβ；②cos ＝cosα－cosβ；
③sin ＝sinαcosβ－cosαsinβ；④cos ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin ＝sin 30°＝ .
(2)原式＝sinxcos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝3sinxcos －cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝ sinx－ cosx
＝－ × ＋ × ＝－ ，故得－sin ＝－ ，即sin ＝ .
变式2．化简求值：
(1)sin 75°；(2)sin 15°；
(3)若α，β均为锐角，sinα＝ ，sin(α＋β)＝ ，求cosβ.
解析：(1)原式＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ × ＋ × ＝ .
课题
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．注意到 ，由公式C(α+β).，可以推出：
两角及差正余弦公式的证明
两角及差正余弦公式的证明两角和差正余弦公式的证明：我们知道，任意角的正弦、余弦等三角函数都可以通过单位圆的定义得到。
所以，为了证明两角和差正余弦公式，我们先来考察它们在单位圆上的几何意义。
一、两角和公式的几何意义：设在单位圆上有点A和点B，OA和OB分别为半径。
假设点A对应的角为θ1，点B对应的角为θ2，那么点P是单位圆上点A和点B对应的角的和，即θ1+θ2、我们要研究的是点P的坐标。
首先，我们可以将圆心O作为直角坐标系的原点，点A和点B所在的直线即为直角坐标系的x轴。
我们知道，点A和点B的坐标分别可以表示为：A(x1, y1) = (cosθ1, sinθ1)B(x2, y2) = (cosθ2, sinθ2)点P的坐标为(x, y) = (cos(θ1 + θ2), sin(θ1 + θ2))。
我们需要推导出点P的坐标。
为此，我们利用三角恒等式：cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβsin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ我们令α=θ1，β=θ2，代入上面的恒等式，得到：cos(θ1 + θ2) = cosθ1cosθ2 - sinθ1sinθ2sin(θ1 + θ2) = sinθ1cosθ2 + cosθ1sinθ2即点P的坐标为：P(x, y) = (cosθ1cosθ2 - sinθ1sinθ2, sinθ1cosθ2 +cosθ1sinθ2)可以看出，点P的坐标与三角函数的和公式是完全对应的。
这就证明了两角和公式的几何意义，也就是说，两个角的正余弦的和等于一个新角的正余弦。
二、两角差公式的几何意义：在上面的单位圆中，点A和点B表示的角分别为θ1和θ2，设点Q 为点A和点B对应的角的差，即θ1-θ2、我们要研究的是点Q的坐标。
同样地，我们可以得到点Q的坐标为(x, y) = (cos(θ1 - θ2), sin(θ1 - θ2))。
仿照上面的方法，我们利用三角恒等式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ令α=θ1，β=θ2，代入上面的恒等式，得到：cos(θ1 - θ2) = cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2sin(θ1 - θ2) = sinθ1cosθ2 - cosθ1sinθ2即点Q的坐标为：Q(x, y) = (cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2, sinθ1cosθ2 -cosθ1sinθ2)可以看出，点Q的坐标与三角函数的差公式是完全对应的。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识归纳1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.基础题必做1． 若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )A ．－22B.22C.32D ．1解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－72105．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－37.答案：－37解题方法归纳1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三角函数公式的应用 典题导入[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.解题方法归纳两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2) 已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7 解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75 (2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223. ∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.解题方法归纳运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1) 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角 的 变 换 典题导入[例3] (1) 若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2) 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. [答案] (1)43 (2)17250解题方法归纳1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α.以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.1． 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2． 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3． 已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，π C.2，2πD.3，2π解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7． 满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12. 答案：129． 已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215.答案：3＋821510．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos (α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315. 12． 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B.110 C ．1或110 D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0， 所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 2．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：123．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425， 又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255 ×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.1． 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.(1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6，π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32. 2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； 解：∵0<β<π2<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.。
第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3 1 4 2 2 8 2－3 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 3 5 3 15
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第三章
三角函数
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1．理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 ①掌握好公式的内在联系及其推导过程，能帮助我们理解和记忆公 式，是学好这部分内容的关键． ②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，α、β 中若有 π 的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便． 2
(3)角的变换 α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)．
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2．理解和运用二倍角公式需注意的几个问题 (1)掌握二倍角公式与两角和公式之间的内在联系能帮助我们理解 与记忆公式． (2)公式的逆用及有关变形 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 sin α＝ ；cos α＝ (降幂公式)； 2 2
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5 又 β 为第一象限角，cos β＝ ， 13 12 12 ∴sin β＝ 1－cos β＝ ，tan β＝ ， 13 5
2
24 12 －7－5 204 ∴tan(2α－β)＝ ＝ . 24 12 253 1＋－ 7 × 5
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sin 50° 1＋ 3tan 10° －cos 20° 求值： . cos 80° 1－cos 20°
1 2× 2 2tan α 4 解析： tan 2α＝ ＝ ＝ . 12 3 1－tan2α 1－2
π 4 ∵α∈0，2，2α∈(0，π)，tan 2α＝3＞0， π ， 0 ， ∴2α∈ 2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式：sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ，
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。
1、两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。
两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。
正弦公式是描述正弦定理的相关公式，而正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
几何意义上，正弦公式即为正弦定理。
2、先利用单位圆（向量）推到两角和与差的余弦公式，再利用诱导公式推导正弦公式，最后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。
3、正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘，sin与sin相乘，两角和与差的正弦公式：正=正余余正符号同两角和与差的余弦公式：余=余余正正符号异。
两角和与差的正弦余弦和正切
两角和与差的正弦余弦和正切首先，我们来看两角和的正弦公式。
假设有两个角A和B，它们的正弦分别为sin(A)和sin(B)。
那么它们的正弦和公式为：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)这个公式告诉我们，两个角的正弦之和等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
我们可以用一个例子来理解这个公式。
假设A = 30°，B = 45°，那么sin(30°) = 0.5，sin(45°) = √2 / 2、将这些值代入公式：sin(30° + 45°) = sin(30°)cos(45°) + cos(30°)sin(45°)sin(75°) ≈ 0.5 × √2 / 2 + √3 / 2 × √2 / 2sin(75°) ≈ √2 / 4 + √6 / 4sin(75°) ≈ (√2 + √6) / 4可以看出，通过两角和公式，我们可以简化计算sin(75°)的过程。
接下来，我们来看两角和的余弦公式。
假设有两个角A和B，它们的余弦分别为cos(A)和cos(B)。
那么它们的余弦和公式为：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)这个公式告诉我们，两个角的余弦之和等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，减去第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
同样以前面的例子来说明，cos(30°) = √3 / 2，cos(45°) = √2 / 2、将这些值代入公式：cos(30° + 45°) = cos(30°)cos(45°) - sin(30°)sin(45°)cos(75°) ≈ √3 / 2 × √2 / 2 - √2 / 2 × √2 / 2cos(75°) ≈ √6 / 4 - 1 / 4cos(75°) ≈ (√6 - 1) / 4这个公式同样帮助我们简化了计算cos(75°)的过程。
两角和与差的余弦公式的推导
两角和与差的余弦公式的推导余弦公式是三角形中的一项基本公式，用于计算三边长度和夹角的关系。
两角和与差的余弦公式是在余弦公式的基础上，推导出两个角度和的余弦公式和两个角度差的余弦公式。
设三角形的边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。
1.推导两角和的余弦公式首先，根据余弦定理，我们有以下关系式：a² = b² + c² - 2bc cosAb² = a² + c² - 2ac cosBc² = a² + b² - 2ab cosC现在我们考虑求解cos(A+B)的值。
根据三角函数的和差化积公式，我们有：cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB首先，我们考虑cosA*cosB的项。
将上述余弦定理的第一个式子代入，我们有：cosA*cosB = [b² + c² - a²]/[2bc] * [a² + c² - b²]/[2ac]= (b² + c² - a²)(a² + c² - b²) / (4abc²)接下来，我们考虑sinA*sinB的项。
由正弦定理可得：sinA = a sinC / csinB = b sinC / csinA*sinB = (a sinC / c) * (b sinC / c)= (a b sin²C) / c²将上述两个项代入cos(A+B)的式子中，我们有：cos(A+B) = (b² + c² - a²)(a² + c² - b²) / (4abc²) - (a b sin²C) / c²整理上述式子，可以得到两角和的余弦公式：cos(A+B) = (b² + c² - a²)(a² + c² - b²) - a² b² sin²C / c²) / (4abc²)2.推导两角差的余弦公式同样地，根据三角函数的和差化积公式，我们有：cos(A-B) = cosA cos(-B) - sinA sin(-B)由于sin(-B) = -sinBcos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB利用余弦定理，我们可以将cosA和cosB表示为：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)cosB = (c² + a² - b²) / (2ac)将上述两个项代入cos(A-B)的式子中，我们有：cos(A-B) = [(b² + c² - a²) / (2bc)] * [(c² + a² - b²) /(2ac)] + [(a sinC / c) * (b sinC / c)]= [(b² + c² - a²)(c² + a² - b²) + ab sin²C] / (2abc²)整理上述式子，可以得到两角差的余弦公式：cos(A-B) = [(b² + c² - a²)(c² + a² - b²) + ab sin²C] /(2abc²)通过上述推导，我们得到了两角和与差的余弦公式。
两角和与差的正弦余弦正切
在三角函数图象与性质中的应用
两角和与差的正弦、余弦、正切公式在研究三角函数的图象和性质时也起着重要作用。通过这些公式 ，可以推导出三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，并进一步研究其图象特征。
例如，利用两角和的正弦公式，可以将sin(α+β)转化为sinαcosβ+cosαsinβ，从而简化表达式。同样地，余弦和正切公式也有类 似的作用。
在三角函数求值中的应用
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 在三角函数求值中也有广泛应用。通 过这些公式，可以求解一些特定角度 的三角函数值，或者计算一些复杂三 角函数的值。
tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
02 公式推导
两角和的公式推导
三角函数的加法公式
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
3 两角和的正切公式
tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)
两角差的的正弦、余弦、正切公式
两角差的正弦公式
sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ
两角差的余弦公式
cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ
两角差的正切公式
应用
在三角函数计算中，该公式常用于求解两角和的余弦、正切值。
两角和差正余弦公式的证明
两角和差正余弦公式的证明两角和差的正余弦公式是三角函数中非常重要的公式之一、下面将证明这个公式。
假设有两个角A和B，我们要证明两角和的正余弦公式：1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB2.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB证明两角和的正弦公式：根据正弦函数的定义，我们有：sinA = y1 / r1 ，sinB = y2 / r2其中y1和y2分别为角A和B的对边长度，r1和r2分别为角A和B 的斜边长度。
由三角形的性质可知，两角和C=A+B，对应的三角形的对边为y=y1+y2，斜边为r=r1+r2根据正弦函数的定义，sin(A + B) = y / r。
将y和r的表达式代入，我们得到：sin(A + B) = (y1 + y2) / (r1 + r2)将分子进行展开，我们有：sin(A + B) = y1 / (r1 + r2) + y2 / (r1 + r2)由于 r1 / (r1 + r2) = cosB ，r2 / (r1 + r2) = cosA ，根据三角函数的定义，我们可以将上式写成：sin(A + B) = y1 / r1 * cosB + y2 / r2 * cosA即：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB因此，两角和的正弦公式得证。
证明两角和的余弦公式：根据余弦函数的定义，我们有：cosA = x1 / r1 ，cosB = x2 / r2其中x1和x2分别为角A和B的邻边长度，r1和r2分别为角A和B 的斜边长度。
对于两角和C=A+B，对应的三角形的邻边为x=x1+x2，斜边为r=r1+r2根据余弦函数的定义，cos(A + B) = x / r。
将x和r的表达式代入，我们得到：cos(A + B) = (x1 + x2) / (r1 + r2)将分子进行展开，我们有：cos(A + B) = x1 / (r1 + r2) + x2 / (r1 + r2)由于 x1 / (r1 + r2) = cosA ，x2 / (r1 + r2) = cosB ，根据三角函数的定义，我们可以将上式写成：cos(A + B) = cosA * cosB + sinA * sinB即：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB因此，两角和的余弦公式得证。
两角和差正余弦公式的证明
（方法1）如图所示，在直角坐标系妨中作单位圆O ,并作角起，"和一“，使 角优的始边为。
T ，交［0于点A ，终边交L "于点B ;角0始边为（旳，终边交两角和差正余弦公式的证明两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。
法进行探讨。
F 面我们就它们的推导证明方 由角d , 0的三角函数值表示 的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公 式的功能。
换言之，要推导两角和差的正余弦公式 ，就是希望能得到一个等式或方程 将CLIS （（T t 小或GMa F ”）与（I , P 的三角函数联系起来。
根据诱导公式，由角0的三角函数可以得到 0的三角函数。
因此，由和角公式容 易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。
又因为 即原角的余弦等于其余角的正弦 据此，可以实现正弦公式和余弦 公式的相互推导。
因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。
（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 SlH 和 α±0 ，而且角的终边与单位圆的交点坐标可 以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系 “呦I 列与CE ，E 的三角 函数值的等式。
1.和角余弦公式角 "始边为（ZL ,终边交[0于点。
从而点A, B, C和D的坐标分别为XiL(IO, B(C(K亿dace) ,C(攻α+E f⅛a(cc+∕5) ,Q伽霸-dn∕J) O由两点间距离公式得Q =(CDS(α+∕J)-l)3+≡Λ2(tt+∕5 = 2-2cαs(α+/!)；BD I =(C os∕l-OTsα)2+(-⅛ι∕J-anα)2= 2-2(CDSaelK/J-si∩csh∕J) O 注意到& 跖，因此c□sσtos^ SinaEin0 o注记：这是教材上给出的经典证法。
它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角函数两角和与差及二倍角公式一、知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α．3．注意：1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． [试一试]1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22 B ．22 C ．32D ．1 答案：B2．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23答案：C解析：因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝13二、方法归纳 1．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭2．角的变换技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝22βααβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．三角公式关系[练一练]1．已知tan 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝37，tan 6πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A ．2941 B ．129 C ．141 D ．1答案：D2．已知sin 2α＝23，则cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23答案：A解析：法一：cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝121cos 22πα⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝12(1－sin 2α)＝16． 法二：cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝22cos α－22sin α， 所以cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16 三、考点精讲考点一 三角函数公式的基本应用1．已知sin α＝35，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos 22sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________． 答案：－75解析：cos 22sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝22cos sin 222sin cos 22αααα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝－45，∴原式＝－75．2．设sin 2α＝－sin α，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是________． 答案： 3解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝()223313-=--3．已知函数f (x )＝2sin 136x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R ． (1)求f 54π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 解：(1)∵f (x )＝2sin 136x π⎛⎫-⎪⎝⎭，∴f 54π⎛⎫⎪⎝⎭＝2sin 5126ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2sin π4＝2． (2)∵α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin 2πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝65，即sin α＝513，cos β＝35．∴cos α＝1213，sin β＝45∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665．[解题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．考点二 三角函数公式的逆用与变形应用(1)在△ABC 中，若tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( ) A ．－22 B ．22 C ．12 D ．－12(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－32答案：(1)B (2)B解析：(1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22，故选B ．(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12． [解题通法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． [针对训练] 1．已知sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＋cos α＝435，则sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．45 B ．35 C ．32 D ．35答案：A 解析：由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45，∴sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45． 2．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．答案：2解析：－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β．∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2． 考点三 角的变换已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13．(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． 解：(1)∵α，β∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，从而－π2<α－β<π2 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0．∴sin(α－β)＝－1010． (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010． ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45，∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝91050变式练习：在本例条件下，求sin(α－2β)的值 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010， cos β＝91050，sin β＝131050．∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425．[解题通法]1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；3．注意角变换技巧． [针对训练]1．设tan ()α＋β＝25，tan 4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．1318B ．1322C ．322D ．16答案：C解析：tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝()tan 4παββ⎡⎤⎛⎫+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()()tan tan 34221tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭2．设α为锐角，若cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________． 答案：17250解析：因为α为锐角，cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝45， 所以sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝35，sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2425， cos 26πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝725， 所以sin 212πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin 264ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2425×22－725×22＝17250． 考点四 三角函数式的化简1．化简：2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝________．答案：22cos α解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22α－cos α＝22cos α．2．化简：42212cos 2cos 22tan sin 44x x x x ππ-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式＝()222221112sin cos 1sin 2cos 22222sin cos 2sin cos sin 244442cos 4x x x x x x x x x x ππππππ-+-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=1cos 22x 3．化简：1tan 1tan tan 22tan 2αααα⎛⎫ ⎪⎛⎫-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解：1tan 1tan tan 22tan 2αααα⎛⎫⎪⎛⎫-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭＝cos sin sin sin 2221cos sin cos cos222αααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅+⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2⋅cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α⋅cos α2cos αcosα2＝2sin α[解题通法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．考点五 三角函数式的求值研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．归纳起来常见的命题角度有：给值求值； 给角求值； 给值求角． 角度一 给值求值1．已知函数f (x )＝2cos 12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R ． (1)求f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，求f 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 解：(1)因为f (x )＝2cos 12x π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以f 3π⎛⎫⎪⎝⎭＝2cos 312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2cos π4＝2×22＝1． (2)因为θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，cos θ＝35， 所以2234sin 1cos 155θθ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭．所以f 6πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝2cos 612ππθ⎛⎫--⎪⎝⎭＝2cos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝2×22cos sin 22θθ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－15．角度二 给角求值2．(1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A ． 2 B ．2＋32C ． 3D ．22－1 答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°·cos 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－＋cos 40°＝32cos 10°－32sin 10°cos 40°＝330°cos 10°－cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3．(2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________． 答案：1解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°00sin1013cos10⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×000132cos10sin1022cos10⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1．角度三 给值求角3．已知α，β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，求2α＋β．解：∵sin α＝35，α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×45⎛⎫- ⎪⎝⎭＋45×35＝0．又2α＋β∈30,2π⎛⎫⎪⎝⎭，∴2α＋β＝π． 4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭＝34>0，∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1．∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4．[解题通法]三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．考点六 三角恒等变换的综合应用 已知函数f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，g (x )＝2sin 2x 2． (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解：f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x ．(1)由f (α)＝335得sin α＝35．又α是第一象限角，所以cos α>0．从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15．(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12， 从而522666k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 即2223k x k πππ≤≤+，k ∈Z ． 故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为222,3x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． [解题通法]三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． [针对训练]设函数f (x )＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋33sin 2x －33cos 2x ． (1)求f (x )的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图像，求g (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．解：(1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π． 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin 236x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－33cos 2x 的图像． 即g (x )＝－33cos 2x ． 当x ∈,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，2x ∈2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，得cos 2x ∈1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以－33cos 2x ∈33,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即函数g (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是33,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦课后作业课后练习一、选择题1．已知sin3πα⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin α＝－435，则cos23πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于()A．－45B．－35C．35D．45答案：D2．已知cos6πα⎛⎫+⎪⎝⎭－sin α＝233，则sin76πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值是()A．－233B．233C．－23D．23答案：D3．已知向量a＝sin,16πα⎛⎫⎛⎫+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，b＝(4,4cos α－3)，若a⊥b，则sin43πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于() A．－34B．－14C．34D．14答案：B4．函数y＝sin x＋cos x图象的一条对称轴方程是()A．x＝5π4B．x＝3π4C．x＝－π4D．x＝－π2答案：A5．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C的大小为()A．π6B．56πC．π6或56πD．π3或23π答案：A6．已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于()A．13B．－13C．16D．－16答案：D解析：∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－167．已知tan(α＋β)＝25，tan4πβ⎛⎫-⎪⎝⎭＝14，那么tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于()A ．1318B ．1322C ．322D ．16答案：C解析：因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝tan ()()()tan tan 344221tan tan 4παββπαββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+--== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭8．已知cos 2α＝12 (其中α∈,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭)，则sin α的值为 ( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案：B解析：∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14．又∵α∈,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴sin α＝－129．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx2，则f 12π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ( )A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3 答案：B解析：f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x∴f 12π⎛⎫⎪⎝⎭＝4sinπ6＝8 10．在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( ) A ．12B ．22C ．32D ．1答案：C解析：由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴sin B ＝32二、填空题 1．如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－ sinα13·sin α2＋α33＝________ 答案：－122．设sin α＝352παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________答案：－2113．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________． 答案：3 －23π4．已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________．答案：－247解析：因为α为第二象限的角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247． 5．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 答案：1－ 2解析：∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 26．若cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22，则cos α＋sin α的值为________．答案：12解析：∵cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 2α－sin 2α22α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12．三、解答题 1．(1)已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513．求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：(1)∵β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，cos β＝－513，∴sin β＝1213又∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝233165⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝－5665 ∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝33556123651365135⎛⎫⎛⎫⋅---⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝13＋121－13×12＝1∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0，∴0<α<π4，π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π42．(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． （2）已知△ABC 的面积S =12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C解：(1)①证明：如上图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4．则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))， 由|P 1P 3|＝|P 2P 4|及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ②解 由①易得，cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α， sin 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝cos α． sin(α＋β)＝cos ()2παβ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦＝cos ()2παβ⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝cos 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭cos(－β)－sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β． ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(2)解：由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ． 则S ＝12bc sin A ＝12，AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，cos A ＝3sin A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴sin A ＝1010，cos A ＝31010， 由cos B ＝35，得sin B ＝45，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010．故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－10103．设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R ．(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1． 由2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋1＝1－3， 得sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝－32∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6．∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z )，即36k x k ππππ-+≤≤+ (k ∈Z )，得函数单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 列表：x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－12描点连线，得函数图象如图所示：4．设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭－12． (1)求f (x )的最小正周期； (2)当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：f (x )＝3sin x cos x －cos x sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭－12 ＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭－1 (1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6．所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32．6．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x ． (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73．。
两角和与差的三角函数公式的证明
两角和与差的三角函数公式的证明.doc两角和与差的三角函数公式证明（1）正弦余弦定理将△ABC投影到x轴，得出△ABC的正弦余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA（2）正弦余弦反比定理正弦余弦反比定理：sinA/a=sinB/b=sinC/c（3）根据正弦余弦定理、正弦余弦反比定理，可以得出：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA即：a^2=(b*sinA)*(b*sinA)+(c*sinA)*(c*sinA)-2bc*cosA由正弦余弦反比定理可知：b*sinA=c*sinB即：a^2=(c*sinA)*(c*sinB)+(c*sinA)*(c*sinB)-2bc*cosA化简得：a^2=2c^2*sinA*sinB-2bc*cosA（4）根据正弦余弦定理、正弦余弦反比定理，可以得出：b^2=a^2+c^2-2ac*cosB即：b^2=(a*sinB)*(a*sinB)+(c*sinB)*(c*sinB)-2ac*cosB由正弦余弦反比定理可知：a*sinB=c*sinC即：b^2=(c*sinB)*(c*sinC)+(c*sinB)*(c*sinC)-2ac*cosB化简得：b^2=2c^2*sinB*sinC-2ac*cosB（5）两角和与差的三角函数公式将（3）式和（4）式相加得：a^2+b^2=2c^2*[sinA*sinB+sinB*sinC]-2(bc*cosA+ac*cosB)根据正弦余弦反比定理，有：a*sinA=b*sinB=c*sinC即：a^2+b^2=2c^2*[sinA*sinB+sinB*sinC]-2c^2*[cosA+cosB]化简得：a^2+b^2=2c^2*[sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB)]即：sin(A+B+C)=sinA+sinB+sinC-cosA-cosB又因为：sin(A-B-C)=sinA-sinB-sinC+cosA-cosB所以，两角和与差的三角函数公式为：sin(A+B+C)=sin(A-B-C)=sinA+sinB+sinC-cosA-cosB。
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两角和差正余弦公式的证明
北京四中数学组皇甫力超
论文摘要：
本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。
在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。
在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。
关键词：
两角和差的正余弦公式
正文：
两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。
下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。
由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。
换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 ,
将或与, 的三角函数联系起来。
根据诱导公式 , 由角的三角函数可以得到的三角函数。
因此 , 由和角公式容
易得到对应的差角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。
又因为
, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。
因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。
(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式
注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可
以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系与, 的三角函数值的等式。
1. 和角余弦公式
(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系中作单位圆, 并作角, 和, 使
角的始边为, 交于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交
于点C；角始边为, 终边交于点。
从而点A, B, C和D的坐标分别为,
,,。
由两点间距离公式得
；。
注意到, 因此。
注记：这是教材上给出的经典证法。
它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公
式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。
注意, 公式中的和为任意角。
2. 差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。
这就是
(方法2) 如图所示, 在坐标系中作单位圆, 并作角和, 使角和
的始边均为, 交于点C, 角终边交于点A,角终边交于点。
从而点A, B的坐标为,。
由两点间距离公式得。
由余弦定理得。
从而有。
注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于是三角形的内角。
因此, 还需
要补充讨论角和的终边共线, 以及大于的情形。
容易验证 , 公式在以上情形中依然成立。
在上边的证明中 , 用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。
(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。
1. 和角正弦公式 (一)
(方法3) 如图所示, 为的边上的高 , 为边上的高。
设, , , 则。
从而有
, ,
,。
因此,。
注意到,
从而有
, 整理可得。
注记：在方法 3 中 , 用和与底角, 相关的三角函数, 从两个角度来表示边上高, 从而得到所希望的等式关系。
这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 ,
对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。
利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的
(方法 4) 如图所示, 为的边上的高 , 为边上的高。
设
, , 则。
注意到, 则有,即。
从而有。
利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。
注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。
(方法 5) 如图所示 , 为的边上的高。
设, ,
则有,。
由正弦定理可得
,
其中d为的外接圆直径。
由得
,
从而有。
2. 和角正弦公式 ( 二 )
方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角, 放在三角形的两个底角上。
如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法 ( 方法 6~11)。
(方法 6) 如图所示 , 作于D, 交外接圆于E, 连和。
设
, , 则, ,。
设的外接圆直径为d, 则有,
,,。
所以有。
注意到, 从而。
(方法 7) 如图所示 , 为的边上的高 , 为边上的高。
设
, , 则。
设, 则
, , ,,。
又
从而。
整理可得。
(方法 8) 如图所示 , 作于D, 过D作于F, 于G。
设,, 则,设, 从而
,,,。
所以。
注意到, 则有。
注记：我们用两种不同的方法计算, 得到了和角的正弦公式。
如果我们用两种方
法来计算, 则可以得到和角的余弦公式。
由上图可得
,
,
从而有。
注意到 , 从而可得。
方法 6,7 和 8 都是用角, 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。
(方法9 ) 如图所示, 设为的边上的高。
设,
,, , 从而有
方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。
下面这两个证法的思路则有所不同。
(方法 10) 如图所示 , 设为的外接圆直径d, 长度为d。
设,
, 则, 从而
注记：这一证明用到了托勒密定理：若和是圆内接四边形的对角线 , 则有。
(方法 11) 如图所示 , 为的边上的高。
设, ,
则。
设, 则
方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角, 相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 构造出我们希望的等式关系。
3. 差角正弦公式
仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。
方法 12 和 13 便
是用这种想法来证明的。
(方法 12) 如图所示 ,。
设, , 记, 作
于E, 则, , 从而有
(方法 13) 如图所示 , 为的外接圆直径 , 长度为 d。
设,
, 则, 。
从而
方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。
很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。
换言之 , 这两种方法中出
现的角, 是任意角。
而其余方法中 , 角和则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角 ( 甚至都是锐角 )。
因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角和
是任意角的情形。
具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意成立 , 则对任意角也成立。
容易验证 , 角和中至少有一个是轴上角 ( 即终边在坐标轴上的角 ), 我们的
公式是成立的。
下面证明 , 角和都是象限角 ( 即终边在坐标系的某一象限中的角 ) 时 , 我们的公式也成立。
不妨设为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有
从而
同理可证, 公式对于象限角和的其它组合方式都成立。
因此 , 我们可以将方法3~13 推导的公式推广到角, 是任意角的情形。
两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。
其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。
从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：
(1) 明确推导证明的目标：构造联系和三角函数与或的等式或方程；
(2) 简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出；
(3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系和三角函数与或
的工具 , 寻找我们希望的等式关系；
(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。
如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。
参考文献：
1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。
2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 << 数学 ( 第一册下 )>>( 必修 ), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。