历届高考中的《导数及其应用》试题精选(AB两份试卷自我测试)[]

3 二
历届高考中的“导数”试题精选（文科自我
测试）
1. (2005全国卷I 文)函数f(x) =x ax ，3x-9,已知f (x)在x =-3时取得极值，则a =()
(A ) 2
( B ) 3
( C ) 4
( D ) 5
2. (2008 海南、宁夏文)设 f (x) =xln X ,若 f '(xj =2，则 x 0 =(
)
2
In 2 . _ A. e B. e C.
D. ln 2
2
3. ( 2005广东)函数f(x)=X 3 - 3x 2
1是减函数的区间为(
)
A . (2, ：：)
B .(-二,2)
C .(-二,0)
D . (0, 2)
1
4. (2008 安徽文)设函数 f(x) =2x 1(x ：：：0),则 f (x)(
)
x
A .有最大值
B .有最小值
C .是增函数
D .是减函数
理)已知对任意实数 x 有 f( — x)= — f(x), g(-x)=g(x)，且 x>0 时，f ' (x)>0 g 'x)>0, ) (x)>0
(2007福建文、 则x<0时( A f ' (x)>0g '
B f ' (x)>, g ' (x)<0
C f ' (x)<0g '
(x)>0
D f ' (x)<0 g ' (x)<0
6.（2008全国n 卷文 ）设曲
线
1
B . 一
2
二ax 在点（1,a ）处的切线与直线 2x - y -6 = 0平行，则a =（）
1
C .
D . -1
(2006浙江文)
(A)-2
f(x)
(B)0
-x ^3x 2
2在区间1-1,11上的最大值是（
）
（C ）2
（D ）4
（2004湖南文科）若函数f （x ）=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数
f /（x ）的图象
是
3 二
1 / 14
函数y = xcosx — sinx 在下面哪个区间内是增函数（ 兀
(A)(—,
2
3兀 5兀
（B ）厂 2
二）
（C ） （3
2，1）
(D ) (2 二，3 二)
9. （ 2004全国卷n 理科）
)
10. (2004浙江理科)设f (X )是函数f(x)的导函数，y f (x)的图象如图所示，贝U y= f(x)的 图象最有可能的是
(
)
12.( 2005重庆文科)曲线y = X ’在点(1， 1)处的切线与x 轴、直线X = 2所围成的三角形的 面积为 ____________ .
13. (2007江苏)已知函数f(x) =x 3-12x ・8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为
M,m ,
贝H M _m = _________ ;
14. (2008北京文)如图，函数f(x)的图象是折线段 ABC,其中A,B,C 的坐标
分别为(0, 4), (2, 0) , (6, 4),则 f(f(0))= ________________ ； 函数f(x)在x=1处的导数f '( 1) = ___________
三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
3
2
15. (2005北京理科、文科) 已知函数f(x)= — x + 3x + 9x + a.
(I) 求f(x)的单调递减区间； (II)
若f(x)在区间［—2, 2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小
16. (2006 安徽文)设函数 f x = x 3 bx 2 cx(^ R)，已知 g(x)二 f(x)-f(x)是奇函数。

(i)求b 、c 的值。

(n)求g(x)的单调区间与极值。

3 2 ..
17. (2005福建文科) 已知函数f(x)=x +bx +cx + d的图象过点P (0, 2),且在点M (— 1, f (- 1))
处的切线方程为6x — y +7 =0.
(i)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y二f(x)的单调区间.
18. (2007重庆文)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 : 1,
问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少?
3 2
19. (2008 全国n卷文)设a R，函数f (x)二ax _3x .
(I)若x 2是函数y = f (x)的极值点，求a的值；
(n)若函数g(x) = f (x) • f (x), x • [0,2]，在x = 0处取得最大值，求a的取值范围.
3 2 2
20. (2008湖北文)已知函数f (x) = x mx -m x 1 (m为常数，且m>0)有极大值9.
(I)求m的值；(n)若斜率为-5的直线是曲线y = f (x)的切线，求此直线方程
历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试) 参考答案
选择题：(每小题5分，计50分)
、填空题：(每小题5分,计20分)
11. 5x y-2=°；12. 8；13. 32 ；14. 2 , -2
3 一
三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15•解：(I) f'(X)= - 3x2+ 6x+ 9•令f (X)<0，解得x< —1 或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(一a,—1), (3,+^).
(II)因为f(—2) = 8+ 12—18+ a=2 + a, f(2) =—8+ 12+ 18+ a = 22 + a,
所以f(2)>f( —2)•因为在(一1, 3) 上f ‘x)>0,所以f(x)在［—1,2］上单调递增, 又由于f(x)在［—2,—1］上单调递减，
因此f(2)和f( —1)分别是f(x)在区间［—2, 2］上的最大值和最小值，
于是有22+ a= 20,解得a=—2.
故f(x)= —x3+ 3x2+ 9x—2,因此f( —1) = 1 + 3—9—2 =—7,
即函数f(x)在区间［—2, 2］上的最小值为一7.
3 2 2
16. 解(I)：f x = x bx cx ,••• f x = 3x 2bx c。

从而
g(x)二f(x) -f (x) = x3bx2cx-(3x22bx c) = x3(b-3)x2(c-2b)x「c是一个奇函数，所以g(0) =0得c=0，由奇函数定义得b=3 ;
3 2
(n)由(I)知g(x) = x-6x，从而g (x) = 3x -6，由此可知，
(」：，-&)和是函数g(x)是单调递增区间；(-二八2)是函数g(x)是单调递减区间；
g(x)在x 时，取得极大值，极大值为4丘,g(x)在x 时，取得极小值，极小值为
-4.2。

「3—2b+c = 6, 「b—c = O,—
-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, f (-1)=6, A即解得b=c=-3.
3 2
17. 解：(I )由f(x)=x bx cx d的图象过点P (0, 2) ,d=2知，所以
3 2 f 2
f(X)二X bx cx 2 , f (x)=3x +2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知
-1 + b -c + 2 = 1, 2b - c = -3,
故所求的解析式为f(x)=x 3-3X2-3X+2,
(n ) f (X)=3X 2-6X-3,令3X2-6X-3=O即X2-2X-1=O,解得x i=1-J2 ,X2=1+、2 ,
当X<1-、2或X>1+ J2时，f (x)>0;当1-、、2 <X<1 + 2 时，f (x)<0
A f(x)=x 3-3X2-3X+2在(1 + +g)内是增函数，在(-g, 1-、、2)内是增函数，在(1- 2 ,1 + .2) 内是减函
数•
18.解：设长方体的宽为
X ( m),贝U长为2x(m),高为h J8严=4.5 — 3x(m)
4
3
故长方体的体积为V(x) =2X2(4.5-3X) =9X2-6x3(m3) (0< x v上).
2
从而V (X)=18X -18X2 (4.5 _3x) =18x(1 -x).
令V'( X)= 0,解得x=0 (舍去)或X=1，因此X=1.
当0<X< 1 时，V'( X)> 0;当1< X<-时，V'( X)< 0,
3
故在X=1处V ( x)取得极大值，并且这个极大值就是V ( x)的最大值。

从而最大体积V = V'( X)= 9 x 12-6 x 13( m3),此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为 2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为 3 m3。

2
19.解：(I) f (x) =3ax -6x=3x(ax-2).
因为x =2是函数目二f(x)的极值点，所以「(2) =0，即6(2a -2) =0，因此a =1 . 经验证，当a =1时，x = 2是函数y = f (X)的极值点.
(n)由题设，g(x)二ax3 3(a —1)X2—6x. g(0) = 0
当g (X)在区间［0,2］上的最大值为g (0)时，ax3• 3(a-1)X2-6x辽0对一切x三i0,2〕都成
解法一：即a_芈6对一切0,2 1都成立•令：：(x)二卑6,x・0,21，则a/：:(x)L
X 3X X3X
由：：(x)二一3(：2)2一6::: 0，可知：：(x)二卑6在〔0,2 上单调递减，
(X2+3X)2X2+3X
所以；：(x) Ln =即(2)二6,故a的取值范围是i ，6
5 15」
解法二：也即ax2，3(a-1)x-6乞0对一切0,2都成立，
(1)当a=0时，-3x-6<0在X •0,2】上成立；
(2)当a = 0 时，抛物线h(x)二ax2 3(a -1)x -6 的对称轴为x = - ―° ,
2a
当a<0时，- 3旦11- ： 0，有h(0)= -6<0,所以h(x)在(0「：)上单调递减，h(x) <0恒成立;
2a
当a>0时，因为h(0)= -6<0,,所以要使h(x) < 0在X，0,2 上恒成立，只需h(2) < 0成立即可，解得a< -；
5
综上，a的取值范围为 _：：,§ .
I 5」
2 2 1
20.解：(I ) f '(x)= 3x +2mx—m =(x+m)(3x—m)=0,则x=—m 或x= m,
3
当x变化时，
从而可知，当x= —m时，函数f(x)取得极大值9,即f( m)=—m +m +m +仁9, /• m= 2.
2
(H )由(I )知，f(x)=x +2x —4x+1,
1 i 68
依题意知f(x) = 3x2+ 4x—4=—5,.・.x=—1 或x=— - .又f( —1) = 6, f(——)=一,
3 3 27
68 1
所以切线方程为y—6=—5(x+ 1),或y—— =—5(x+ —),
27 3
即5x+ y— 1 = 0,或135x+ 27y —23= 0.
-1
历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)
1. ( 2004湖北理科)函数有极值的充要条件是(
)
(A ) a . 0 (B ) a_0
(C ) a .： 0
( D ) a^O
2
x 已知曲线y
3lnx 的一条切线的斜率为
4
设f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当x v 0时, .则不等式f(x)g(x) v 0的解集是( )
(-3,0) 一 (0,3)
(」：，-3) 一 (0,3)
1 2
8. (2008湖北理)若f(x)= x 2 bln(x • 2)在(-1,+
)上是减函数，则 b 的取值范围是(
2
4. (2008广东理)设a R ，右函数y -e ax • 3x , R 有大于零的极值点，则( )
A . a -3
B. a ：：： -3
厂 1 C. a D.
< - 1
3
3
5. (2001江西、山西、天津理科
3
)函数 y = 1 ■ 3x - x 有(
)
(A )极小值—1,极大值1 (B )极小值—2，极大值 3
(C )极小值—2，极大值2 D )极小值—1，极大值
3
3.(2005 湖南理)设 f o (x) = sinx , 则 f
2005(X)=()
A 、 sinx
B 、一 sinx
C 、 2. (2007全国n 理)
丄，则切点的横坐标为
2
(A) 3 (B) 2
1
(C) 1
(D) 2
f n + 1(x) = f n (x), n € N ,
f 1
(x) = f 0 (x), f 2(x) = f 1 (x), cosx D 、一 cosx 6. ( 2004湖南理科)
f (x)g(x) f (x)
g (x) >0.且 g -3 40, (B)
(D ) (A) (-3,0) 一•(3,二) (C )(一乜,-3) (3,：：)
7.(2007海南、宁夏理)曲线y =e ；
A 9 2
A. — e
2
B. 4e 2
在点(4,
2
e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
2 2
c. 2e D . e
A.[-1 , +8 ]
B. (-1, + ^)
C. ：—1 丨
D. (-8, -1)
A B C D
10. （2000江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（）A--*? f- f-32 35
(A) 2j3 ( B) 9—2j3 ( C) 一( D)—
3 3
:\1
J[\
二、填空题：（每小题5分,计20分）
1
11. （2007湖北文）已知函数y=f（x）的图象在M （1, f（1））处的切线方程是y=—X+2 ,
2
f（1）—f '1）= _________ .
3
12. （2007湖南理）函数f（x）=12x-x在区间［-3,3］上的最小值是
13. （2008全国n卷理）设曲线y = e ax在点（0,）处的切线与直线x + 2y+1=0垂直，则a= ________ .
14. （2006湖北文）半径为r的圆的面积S（r） =r: r2,周长C（r）=2二r,若将r看作（0 ,+^ ）上的变量，则（二『）=2二r ①,3式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的
周长函数。

对于半径为R的球，若将R看作（0 ,+^ ）上的变量，请你写出类似于O 1的式子：___________________ 3式可以用语言叙述为： _____________________________________________ 。

三、解答题：（15,16小题各12分,其余各小题各14分）
15. （2004重庆文）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p （元/吨）1 2
之间的关系式为：p = 24200 x2,且生产x吨的成本为R =50000 200x （元）。

问该产每月生
已知函数y二xf (x)的图像如右图所示(其中y =
f(x)的图象大致是()
f (x)是函数f (x)的导函数), y
4
I
2T T -2 。

2 ：y=xf'(x)
r>1
/ \ I
f \
9. ( 2005江西理科)
下面四个图象中
-2x
5
产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入一成本）
16.（2008重庆文）设函数f（x） =x3• ax2-9x-1（a Y 0）.若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与
直线12x+y=6平行，求：（I）a的值；（n）函数f（x）的单调区间
3 2
17. （2008全国I卷文、理）已知函数f（x）=x ax x 1, a R .
（i）讨论函数f（x）的单调区间；
f 2 13
（n）设函数f（x）在区间f —2，- 1内是减函数，求a的取值范围.
V 3 3丿
18. （2004浙江理）设曲线y=e」（x >0在点M （t, e」）处的切线丨与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）。

（i）求切线丨的方程；（n）求S（t）的最大值。

— 2
19. (2007海南、宁夏文)设函数f(x) =1 n(2x 3) x -3 i "i
(i)讨论f (x)的单调性；(n)求f (x)在区间,一的最大值和最小值.
1 4 4」
20. .(2007 安徽理)设a>0, f (x)=x- 1 -In2x+ 2a In x (x>0).
(i)令F (x)= xf/ (x),讨论F (乂)在(0. + ^ )内的单调性并求极值;
(n)求证：当x>1 时，恒有x>ln2x-2a In x+ 1.
历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试) 参考答案
二、 填空题：(每小题5分,计20分)
(4 S 2
11. 3 ； 12. -16 ; 13. 2 ; 14. —nR 3 I =4nR 2，球的体积函数的导数等于球的表面积 — ----- <3 丿
函数
三、 解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
3 2
由 f (x) x 24000 =0解得 X 1 =200,X 2 - -200(舍去). 5
因f(x)在［0,=)内只有一个点x 二200使f (x)二0 ,故它就是最大值点，且最大值为:
1 3
f (200) = (200) 24000 200 - 50000 工 3150000(元)
5 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为 315万元. 解：(I )因为 f (x) = x 2 ax 2 - 9x -1,所以 f (x)二 3x 2 2ax - 9 二 3(x -中)2 - 9
2 即当x =时，f (x)取得最小值—9 —
3 3 因斜率最小的切线与12x ^6平行，即该切线的斜率为-12 ,
2
15•解：每月生产x 吨时的利润为 f(x) =(24200 - 2 x )x -(50000 200x) 二-lx 3
24000x -50000 5 (x -0)
16.
所以-9-—12,即a2=9.解得a =3由题设a ：：： 0,所以a = -3.
3
(n)由(I)知a =—3,因此f (x) =x3 -3x2-9x-1,
f (x) =3x? —6x-9 =3(x-3(x 1)
令f (x) =0,解得：x 1 - -1,x 2 = 3.
当x ・(一：：,一1时，「匕)0,故f(x)在(-：:，-1)上为增函数； 当x. (一1,3时，f (x) ：：：0,故f(x)在(-1,3)上为减函数;
当x ・(3,+ ：J 时，f(x) .0,故f(x)在(3,：：)上为增函数.
由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(-：：,-1) 和 (3,：); 单调递减区间为(-1,3).
所以，a 的取值范围2, •：：。

18.解：(i)因为f (x) = (e») - -e ： 所以切线I 的斜率为-e 」,
故切线I 的方程为y _e 」=_e±(x _t).即e 」x ■ y _ e 」(t ■
1) = 0。

(n)令 y= 0 得 x=t+1, x=0 得 y 二 e 丄(t 1)
1 1
所以 S (t ) = (t 1) e 丄(t 1)= (t - 1)2e 4
2 2 从而 S (t)二 —t)(1 t).
2 •••当 t ( 0，1)时，S (t)>0,当 t (1,+a)
所以S(t)的最大值为S(1)=2。

e 19.解: f(x)的定义域为 -3，* .
1 2 丿
2
(I) f(x)亠 2x
二坐亠^=2(2x 1)(x 1
. 2x+3 2x+3 2x+3 3 1 1
17.解：(1) f (x) = x 3 ax 2 x 1 求导：f (x) =3x 2 2ax 1 < 3时—V 0 — f (x) > 0, f (x)在 R 上递增
2 -a 二 * a 2 〜3
a 3 — f (x) = 0求得两根为x =
3
-a -va —3，+ va —3
3 3
f (x)在 f2 ----- \ 沪―a —v a —3 …，3 递增， (2)要使f(x)在在区间 一2，— 1内是减函数，当且仅当,
I 3 3丿 '(2、
r — <0 < 3丿 f (X )::： 0 在--，一-恒成立,
I 3 3丿
由f (x)的图像可知，只需
2 _4a
3 3
4 2a
3 3
当x ：： -1 时，f (x) 0 ；当T ：：： x 时，f (x) ::： 0 ；
当x 时，f (x) 0 .
从而，f(x)分别在区间i 3, -1 , | -，•比单调增
加，在区间i 1,--单调减少.
I 2丿I 2 丿J 2丿
(n)由(I)知f(x)在区间-？丄的最小值为f
[4 4」
―心)#)' 9 ,7 1 ,3 1
又f f In In In
V 4 丿(4 丿2 16 2 16 7 2
所以f(x)在区间」4，的最大值为f 4诂吩.
2In x 2 a 20. (I)解：根据求导法则得f(X)=1
,x -0.
x x 2 x—2
故F(x)二xf (x) =x - 21 n x 2a,x - 0,于是F (x) =1 -=^^,x - 0.
x x
列表如下:
x(0,2)2(2,+ ) F'( x) -0+
F(x)J极小值F (2):
故知F (乂)在(0, 2)内是减函数，在(2, + 8)内是增函数，
所以，在x= 2处取得极小值
=2-2In2+2 a.
(n)证明：由a_0知，F(x)的极小值F(2) = 2-2In2,2a-0.
于是由上表知，对一切(0「：),恒有F(x) xf (x) ' 0.
从而当x「0时，恒有f (x) - 0,故f (x)在(0, •：：)内
单调增加.
所以当x 1 时，f(x) - f (1) = 0,即x-1 -I n2x 2aI nx ' 0. 故
当x -1 时，恒有x ■ In2 x - 2a In x 1. F (2)
=ln 2 -
4。