第24课时 图形的变换⑵平移、旋转、翻折(含答案)-郭环

第25课时图形的变换⑵平移、旋转、翻折
郭店中学郭环
【基础知识梳理】
1.平移
在平面内，将一个图形沿着某个移动一定的，这样的图形运动称作平移；平移不改变图形的
和.
2.平移的特征
平移前后的两个图形对应点连线且，对应线段且，对应角 .
3.旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.这个定点称为，转动的角称为.
4.旋转的基本性质
⑴旋转不改变图形的和．
⑵图形上的每一点都绕沿转动了相同的角度.
(3)任意一对对应点与的连线所成的角度都是旋转角.
(4)对应点到旋转中心的距离 .
【基础诊断】
1、如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中
的图形M平移后位置如图②所示，以下对图形M的平移方法
叙述正确的是（）
A．向右平移2个单位，向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，向下平移4个单位
D．向右平移2个单位，向下平移4个单位
2.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是（）
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
3、如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC 边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（）
A. 22cm
B.20cm
C. 18cm
D.15cm
第2题图例1图
【精典例题】
例1、如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（）
A．2 B．3 C．D．
第1题
②
①
M
N
N
M
第3题图
【点拨】由S △ABC=9、S △A′EF=4且AD 为BC 边的中线知S △A′DE=S △A′EF=2，S △ABD=S △ABC=，
根据△DA′E∽△DAB 知（）2=，据此求解可得．
例2、如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ） A ．2
B ．
54 C ．53 D ．7
5
【点拨】1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．
例3、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；
（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ． 问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）。

【点拨】在平面几何证明题.计算题中，多出现旋转地条件，让图形动起来。

A
D
C
E G
例3图①
D
F
A
D
C
E
G
例3图②
F
A
C
E
例3图③
【自测训练】A—基础训练
一、选择题
1、如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是( )．
A．55° B. 60° C. 65°D．70°
2、2、如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（0，
）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’，则点B的对应点B’的坐标是（）
A. （1，0）
B. （，）
C. （1，）
D. （-1，）
3、如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）
A．
4
3
B．
3
5
C．
3
4
D．
4
5
第1题图第2题图第3题图第4题图
4、如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5、若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移
(221)
-个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
6、一张矩形纸片ABCD，已知3
AB=，2
AD=，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG长为（）A．2B．22C．1D．2
二、填空题
7、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为_________.
8、点D 、E 分别在等边△ABC 的边AB 、BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1、EB 1分别交 边AC 于点F 、G ．若∠ADF＝80º，则∠CGE＝ ．
9、如图，EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿AB 方向平移到△EBD 的位置，点D 在BC 上，已知△A EF 的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．
10、在平面直角坐标系中有一点A （﹣2，1），将点A 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后点A 的坐标为________．
11、如图，O 为坐标原点，△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B 的坐标为（0，2），
将该三角形沿x 轴向右平移得到Rt △O ′A ′B ′，此时点B ′的坐标为（2，2
），则
线段OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为_____．
12、如图，面积为12cm 2的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，则图中的四边形ACFD 的面积为__________.
13、把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向平移到正方形A ′B ′C ′D ′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC=2,
则正方形移动的距离A A ′=_______
14、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＞AD ，∠B 与∠C 互余，将AB ，CD 分别平移到EF 和EG 的位置，则△EFG 为_________三角形，若AD=2cm ，BC=8cm ，则FG=____________．
D F
E
A
B C
第9题图 G C
B F A D
E A D
′
D
A ′ C ′
B
′
B C
x
y
–1–2–3–41
2
34
1
234
567B
C
A A'
C 'B'
O
第8题图 B
D
A
C
E
F
三、解答题
15、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．
16、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC
绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1．
（1）线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是．
（2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．
17、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
18.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF,
(1)求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.
①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；
②如限定P，Q分别在BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.
B提升训练
一、选择题
1、如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD
上F处，则DE的长是（）
A．3 B．24
5
C．5 D．
89
16
2、如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）
A. M或O或N
B. E或O或C
C. E或O或N
D. M或O或C
3、如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为
A、
412
()
55
-， B、
213
()
55
-， C
、
113
()
25
-， D、
312
()
55
-，
4、如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；
④△PMN是等边三角形．正确的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
5、如图，将函数y=
1
2
（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A
（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中
的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）
A．y＝
1
2
(x−2)2−2 B．y＝
1
2
(x−2)2+7 C．y＝
1
2
(x−2)2−5 D．y＝
1
2
(x−2)2+4
6、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD 翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为.
第6题图第7题图
7、如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形
绕点逆时针旋转至正方形的位置,与相交于点,则的坐标为____________．第2题图
（第10题）
P
N
E
A
M
第4题图
图
第3题图
8、如图，在△AB C中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B 交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1D =CE，⑤A1F=CE.
其中正确的是 (写出正确结论的序号).
9、图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°,将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，当旋转角α度数为，△ADF是等腰三角形。

10、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD＝22，则△ABC的周长等于 .
三、解答题
11、将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；
（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．
第8题图
B
A
C
D
E
F
）α30°（
第9题图第10题图
12、如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当AP
AB
的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．
13、在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图（1）与（2）是旋转三角板所得图形的两种情况．
（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长），若不能，请说明理由；
（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图（1）或（2）加以证明；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图（3）），当AP：AC=1：4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．
14.在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.
（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.
①求证；
②求点的坐标.
第25课时图形的变换⑵平移、旋转、翻折答案
【基础诊断】1.B 2.C 3.A
【精典例题】例1.A 例2. D
例3. 解：（1）在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG=FD，
同理，在Rt△DEF中，EG=FD，
∴CG=EG；
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG，
连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，
在△DAG与△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG，
∴AG=CG，
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG，
∴MG=NG，
在矩形AENM中，AM=EN，
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，
∵AM=EN，MG=NG，
∴△AMG≌△ENG，
∴AG=EG，
∴EG=CG；
（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG，
其他的结论还有：EG⊥CG。

【自测训练】A—基础训练
一、选择题
1、B
2、C
3、C
4、 C
5、D 6 A
二、填空题
7、（1,2） 8、800 9、10 10、（1,-1) 11、4 12、48cm2
13、1cm 14、直角 6 cm
三、解答题
15、解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；
（3）BC扫过的面积=﹣=﹣=2π．
16、（1）10；135°。

（2）证明：∵∠A1C1B=∠C1BC=90°，∴A1C1∥BC．
又∵A1C1=AC=BC，∴四边形CBA1C1是平行四边形。

17、解：（1）由题意可知：CD=CE，∠D CE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
18.【解析】
试题分析：（1）利用定理:四条边都相等的四边形是菱形，证明四边形BFEP为菱形；
(2)①在直角三角形APE中，根据勾股定理求出EP=5 3
②分两种情况讨论：第一：点Q和点C重合；第二：点P和点A重合
（2）①如图2
∵四边形ABCD是矩形
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°
∵点B与点E关于PQ对称
∴CE=BC=5cm
在RtΔCDE中，DE2=CE2-CD2，即DE2=52-32
∴DE=4cm
∴AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm
在RtΔAPE 中，AE=1，AP=3-PB=3-PE
∴EP 2=12+（3-EP ）2，解得：EP=53cm. ∴菱形BFEP 的边长为5
3cm.
②当点Q 与点C 重合时，如图2，点E 离A 点最近，由①知，此时AE=1cm.
当点P 与点A 重合时，如图3.点E 离A 点最远，此时，四边形ABQE 是正方形.
AE=AB=3cm
∴点E 在边AD 上移动的最大距离为2cm.
B 提升训练
一、选择题
1、C
2、A
3、A
4、C
5、D
二、填空题
6、17-
7、⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-33,1 8、①②⑤ 9、 40°或20°
10、623+
三、解答题
11、解：解：（1）由旋转可得，AE=AB ，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD ，
∴∠AEB=∠ABE ，
又∵∠ABE +∠EDA=90°=∠AEB +∠DEF ，
∴∠EDA=∠DEF，
又∵DE=ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF=AE，
又∵AE=AB=CD，
∴CD=DF；
（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC=GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM=BH=AD=AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD=GA=DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=360°﹣60°=300°．
12、解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD ，∴∠ADP+∠APD=90°。

∵∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPB=90°。

∴∠ADP=∠EPB。

（2）过点E 作EG⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE ，∴△PAD≌△EGP（AAS ）。

∴EG=AP，AD=AB=PG ，∴AP=EG=BG。

∴∠CBE=∠EBG=45°。

（3）当AP 1AB 2=时，△PFD∽△BFP。

理由如下： 设AD=AB=a ，则AP=PB=12a ，∴BF=BP•AP 1AB 4
a =。

∴PD=225AD +AP a =，，PF=225PB +BF a =。

∴PB 5PD PF BF ==。

又∠DPF=∠PBF=90°，∴△PFD∽△BFP。

13、解：（1）△OFC 能成为等腰直角三角形。

①当F 为BC 的中点时，∵O 点为AC 的中点，∴OF∥AB。

∴CF=OF=
52。

∵AB=BC=5，∴BF=52。

②当B 与F 重合时，∵OF=OC=
52，∴BF=0。

（2）OE=OF 。

以图（1）证明如下：
如图，连接OB ，
∵由（1）的结论可知，BO=OC=
52， ∵∠EOB=900－∠BOF =∠FOC，∠EBO=450=∠C，
∴△OEB≌△OFC（ASA ）。

∴OE=OF。

（3）PE：PF=1：4。

证明如下：
如图，过点P作P M⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN。

∵∠FMP=∠FNP=90°，∴△PNF∽△PME。

∴PM：PN=PE：PF。

∵△APM和△PNC为等腰三角形，∴△APM∽△PNC，
∴PM：PN=AP：PC。

∵PA：AC=1：4，∴PE：PF=1：4。

14.
（Ⅱ）①由四边形是矩形，得.
又点在线段上，得.
由（Ⅰ）知，，又，，
∴.
②由，得.
又在矩形中，，
∴.∴.∴.
设，则，.
在中，有，
∴.解得.∴.
∴点的坐标为.。