高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》知识点总复习附答案解析

【高中数学】数学高考《推理与证明》复习资料
一、选择题
1．设函数()()02x f x x x =
>+，观察下列各式：()()12
x
f x f x x ==
+，()()()2134x f x f f x x ==
+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516
x
f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，则整数n 的最大值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C 【解析】
分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==
+，()()()2134
x
f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==
+，()()()431516
x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一
次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=
(21)2n n
x
x -+，所以
1
1
1112()(21)22122018
22
n n n n n
f +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103
n
n ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.
2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问
题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】
第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】
本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.
3．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记
()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
由规律得()()()2
2211234
n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=
再解方程即可 【详解】
由已知等式的规律可知()()()2
22
11234
n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=
，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】
本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题
4．已知数列{}n a 满足1
32n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i
行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*
,i j N ∈且j i ≤），则
()21,20a =（ ）
A ．20932⨯
B ．21032⨯
C ．21132⨯
D ．21232⨯
【答案】C 【解析】 【分析】
由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】
由题可知,第i 行有i 个数,
当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,
()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,
则前20行共有
()1+2020=2102
⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a
,
所以()211
21221,2032a a ==⨯,
故选:C 【点睛】
本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.
5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成
()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．
A ．2n
B ．22n n -+
C ．2(1)(2)(3)n n n n ----
D ．325104n n n -+-
【答案】B 【解析】 【分析】
分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】
由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.
即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)
2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计
f f等利用排除法判断.属于中档题.
算(4),(5)
6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）
A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了
【答案】C
【解析】
【分析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
【点睛】
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
7．某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几
A．二B．三C．四D．五
【答案】C
【解析】
分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．
详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，
若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，
与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，
与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．
故今天是周四．
点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．
8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于2 B ．小于2
C ．不小于2
D ．不大于2
【答案】B 【解析】 【分析】
把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到
ab bc ac ++的值的符号． 【详解】
解：2a b c ++=Q ，
2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．
则2()ab bc ac ++
222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++
()()()a b c c b a b a c =+++++
(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-
()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，
2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，
即()222
0a b c -++<，
2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<
即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】
本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．
9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】B 【解析】
结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】
结合题意分类讨论：
若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.
10．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）
A ．55
B ．500
C ．505
D ．5050
【答案】C 【解析】 【分析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2
123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=，
即得解. 【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），
因此，2
123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=，
于是12399100
(10)50510
f +++⋅⋅⋅++==．
故选：C 【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
11．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24
n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )
A ．1
2(1)
k +
B ．
11
2122
k k +++ C ．
11121221k k k +-+++ D ．1111
212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】 【分析】
分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

【详解】 由n=k 时，左边为
11112k k k k
+++++L ， 当n=k+1时，左边为11111
231(1)(1)
k k k k k k k k +++++++++++++L 所以增加项为两式作差得：111
21221
k k k +-+++，选C. 【点睛】
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
12．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C 【解析】 【分析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已
知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
13．已知{}n b 为等比数列，52b =，则9
1292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，
则{}n a 的类似结论为（ ） A ．9
12392a a a a =L B ．9
12392a a a a ++++=L
C ．123929a a a a L =⨯
D ．123929a a a a ++++=⨯L
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列中等差中项性质推导可得. 【详解】
由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确． 【点睛】
等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.
14．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班 D ．15班、14班、7班
【答案】C 【解析】 【分析】
分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级． 【详解】
假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，
14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；
假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，
7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班， 则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，
7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意． 综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ． 【点睛】
本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫
⎪⎝⎭
.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，
333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）
A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++
B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．123413341234
,,
333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】
根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】
该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路
是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.
16．三角形的面积为1
()2
S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）
A ．1
3V abc = B ．13
V Sh = C ．1
()3
V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()12341
3
V S S S S r =
+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径） 【答案】D 【解析】 【分析】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案. 【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴V 1
3
=
（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ． 【点睛】
本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
17．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积
S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A B ．
C
D ．【答案】A 【解析】 【分析】
根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得
sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3
A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=
，代入公式=S . 【详解】 由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，
因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-
， 由余弦定理22222cos 23
a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆
的面积公式得
S ===故选：A
【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．
0=，则0x y ==，假设为( ) A ．,x y 都不为0
B ．,x y 不都为0
C ．,x y 都不为0，且x y ≠
D ．,x y 至少有一个为0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.
【详解】 0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.
【点睛】
本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.
19．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙预测说：我不会获奖，丙获奖
丙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丁预测说：乙的猜测是对的
成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，
已知有两人获奖，则获奖的是（）
A．甲和丁
B．乙和丁
C．乙和丙
D．甲和丙
【答案】B
【解析】
【分析】
从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断
【详解】
若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁
答案选B
【点睛】
真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证
20．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想
甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取
同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取
同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取
同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取
结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对
那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（）
A．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学
B．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学
C．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学
D．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学
【答案】D
【解析】
【分析】
推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.
【详解】
根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，
曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.
故选：D.
【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.。