论文

浅
早在大约公元前450年，古希腊伊利亚学派有一个名叫Zeno的学者,他曾提出过4个著名的悖论，“Achilles（希腊神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。

设乌龟在Achilles前面s
1米处向前爬行，Achilles在后面追赶，当Achilles用了t
1
秒
时间跑完s
1米时，乌龟已向前爬了s
2
米；当Achilles再用t
2
秒时间，跑完s
2
米时，乌
龟又向前爬了s
3
米 这样的过程可以一直继续下去，因此Achilles永远也追不上乌龟。

显然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的，没有人会怀疑，Achilles必将在T 秒时间内跑完S米后追上了乌龟（T和S是常数）。

Zeno的诡辩之处就在于把有限的距
离S(或时间)分割成无穷段s
1，s
2
（或t1，t2 ）（或然后一段一段地加以叙述，
从而造成一种假象：这样“追—爬—追—爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。

事实
上，如果将用掉的跑过的路程s
1，s
2
（或时间t1，t2 ）加起来，即s1+ s2+ +s n+
（或t
1+ t
2
+ +t
n
+ ）尽管相加的项有无限项，但是它们的和确是有限数S（或T ）
(注：设乌龟的速度v
1与Achilles的速度v
2
之比为q=
2
1
v
v
，0<q<1。

Achilles在乌龟后面
s 1处开始追赶乌龟。

当Achilles跑完s
1
时，乌龟已向前爬了s
2
=qs
1
;当Achilles继续跑
完s
2时，乌龟又向前爬了s
3
=q2s
1
当Achilles继续跑完s n时,乌龟又向前爬了
s
1
+
n =q n s
1
显然Achilles要追赶上乌龟，必须跑完上述无限段路程s1，s2， ，s n, ,
由于s
1+s
2
+ +s
n
+ = s
1
（1+q+q2+ +q1-n+ ）=
q
s
-
1
1，
q
s
-
1
1即为S)换言之，经过
时间T秒，Achilles跑完S米后，它已经追上乌龟了。

这里，我们遇到了无限个正数相加的问题。

很自然地，我们要问，这种“无限个数相加”是否一定有意义？若不一定的话，那么怎么来判断，探究他又有什么用呢？这就是本文研究的内容。

一引言
我们首先来回顾一下正项级数的发展史。

为了更好的理解本文我先介绍几个基本概念。

1级数:设x
1,x
2
, ,x
n
, 是无穷可列个实数，我们称他们的“和”
x
1+x
2
+ +x
n
+ 为无穷数项级数（简称级数），其中x
n
称为级数的通项
或一般项。

数项级数x 1+x 2+ +x n + 也常写作∑∞
=1
n n x 或简单写作∑n x 。

数项级数∑∞
=1
n n x 的前n 项之和,记为s n =∑=n
k k x 1
= x 1+x 2+ +x n ,称它为数项
级的第n 个部分和,也简称部分和。

2正项级数:如果级数∑∞
=1
n n u 的各项都是非负实数,即u n ≥0,n=1,2 则称此级数为
正项级数。

3数项级数∑∞
=1
n n u 收敛:若数项级数∑∞
=1
n n u 的部分和数列{s n }收敛于s ，则称数项级
数∑∞
=1
n n u 收敛,称s 为数项级数∑∞
=1
n n u 的和记作s =u 1+u 2+ +u n + 或
s =∑∞
=1
n n u 。

历史上正项级数出现的很早，亚里士多德在公元前4世纪就知道公比小于1（大
于0）的几何级数具有和数。

N.奥尔斯姆在14世纪就证明了调和级数∑
∞
=1
1n n
发散到+∞，
但是，首先是结合着几何量明确到一般级数的和这个概念,进一步脱离几何表示而达到级数和的纯算术概念，以及更进一步地把级数运算视为一种独立的算术运算并正式使用收敛和发散两词却是已经接近于微积分发明的时代了。

从古希腊以来，积分的朴素思想用于求积(面积,体积)问题时,就一直在数量计算上以正项级数的形式出现，收敛的正项级数的结构以及诸项的依次加下去的运算的无限过程展示着极限过程,而以其余项的无限变小揭示出无限小量的作用。

级数收敛的概念的逐渐明确有力地帮助了微积分基本概念的形成。

微积分在创立的初期就为级数理论的开展提供了基本素材。

它通过自己的基本运算与正项级数的形式的结合，得到了一批初等函数的幂级数展开，从此以后，正项级数便作为函数分析的等价物，用以计算函数的值，用以代表函数参与运算，并以所得结果阐述函数的性质。

在运算过程中，正项级数被视为多项式的直接代数推广，并且也就当作通常的多项式来对待，这些基本观点的运用一直持续到19世纪初年，导致了丰硕的成果。

同时，悖论性等式的不时出现（如
2
1=1-1+1-1+ 之类）促使人们逐渐地意识到级
数的无限多项之和有别于有限多项之和这一事实，注意到函数的级数展开的有效性表现为级数的部分和无限趋近于函数值这一收敛现象，提出了收敛定义的明确陈述，从而开始了分析学的严密化运动。

微积分基本运算与级数运算结合的需要，引导人们加强或缩小收敛性而提出一致收
敛的概念，然而函数的级数展开作为一整个函数的分析等价物在收敛范围以外的不断的成功的使用则又迫使人们推广或扩大收敛的概念。

二 正项级数收敛的判别法
（一） 正项级数的收敛原理
正项级数收敛的充要条件是部分和数列{s n }有上界，即存在某正数M ，对一切自然数n ，有s n <M 。

若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到+∞。

例1判断正项级数)
1)(1(ln
1
2
2+-∑
∞
=n n n
n
n n
的收敛性。

解:正项级数)
1)(1(ln
1
2
2
+-⨯∑
∞
=n n n
n
n n
的部分和数列的通项
s n =
)
1)(1(ln
1
2
1
2
+-∑
+=k k k
k
n k k
<)1ln
1
(ln
1
2
k
k k k n k +--∑+==ln2-ln 1
2++n n <ln2
所以正项级数)
1)(1(ln
1
2
2
+-∑
∞
=n n n
n
n n
收敛。

（二） 通项大小比较法 2.1比较判别法
设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 是两个正项级数, 如果存在某正整数N ，对一切N n >，都
有 n n v u ≤，那么
（1）级数 ∑∞
=1
n n v 收敛，则级数 ∑∞
=1
n n u 也收敛。

（2）若级数∑∞
=1
n n u 发散，则级数 ∑∞
=1
n n v 也发散。

我们称（1）中的∑∞
=1
n n v 与（2）中的∑∞
=1
n n u 为比较级数,一般常用的比较级数如
∑
∞
=1
n n
aq
,∑
∞
=1
1n p
n
,∑
∞
=2
ln
1n p
n
n 等等,在使用比较判别法时经常需要知道以下“级别”关
系lnn<n ε<a n <n!<n n (a>1,ε>0)。

注:删去级数开头的有限项不影响级数的收敛性。

例1讨论级数∑
∞
=1
ln n n
n 的收敛性。

解：当n ≥3时lnn>1。

因而我们有
n
n
n 1ln ≥
，n=3,4 。

然而∑
∞
=1
1n n
是
发散的，由比较判别法知∑
∞
=1
ln n n
n 是发散的。

2.2比较判别法的极限形式
设∑∞
=1
n n u 与∑∞
=≠10,n n n v v 是两个正项级数 且 l
v u n
n n =∞
→lim
(0)+∞≤≤l
1）若级数∑∞
=1
n n v 收敛，且 +∞<≤l 0，则级数∑∞
=1
n n u 也收敛。

2）若级数∑∞=1
n n v 发散，且 +∞≤<l 0，则级数∑∞
=1
n n u 也发散。

所以当0<l <∞+时, 级数∑∞
=1
n n v 与级数∑∞
=1
n n u 同时收敛或同时发散。

例2 讨论级数∑
∞
=-1
2
31n n
n
的收敛性。

解：由于一般项a n =n
n
2
31-=
n
n
)
3
2
(113
1-。

令b n =
n
3
1
因为+∞
→n lim
n
n b
a =+∞
→n lim
n
n
n 3
1231
-=+∞
→n lim
n
)
3
2
(11-=1 ，而∑
∞
=1
3
1n n
收敛 ，故
由比较判别法的极限形式知∑
∞
=-1
2
31n n
n
收敛。

2.3 广义比较判别法1
若正项级数∑+∞
=1
n n x 与∑+∞
=1
n n y 满足条件：对于任意的n ≥N ，
n
n n
n y y x x 11++<
，那么
（1）若∑+∞
=1
n n y 收敛，则∑+∞
=1
n n x 收敛。

（2）若∑+∞=1
n n x 发散，则∑+∞
=1
n n y 发散。

例3 判断正项级数∑
+∞
=++
+1
)
1)11)(log(1(1
n n n 的收敛性
解:由于
n
n x 1x +=
）
）（111(log(1
)
1)1
11(log )1(1
++
+++
+n
n n n =
1
)1
1
1log()1)11(log(1
n +++
+++n n
n ≥n
1
1
n 1
+，
而级数∑
+∞
=1
1n n
发散，故级数∑
+∞
=++
+1
)
1)11)(log(1(1
n n n 发散。

2.4 广义比较判别法2
设正项级数∑+∞
=1
n n x 与∑+∞
=1
n n y 满足条件：当n →+∞时x n 等价于y n 则∑+∞
=1
n n x 与
∑
+∞
=1
n n
y 有相同的收敛与发散性。

例4 证明正项级数))1
1ln(1(1
n
n n +-∑+∞
=收敛
解: 对ln(1+
n
1)进行二阶展开得到
))
1(211(1)11ln(12
2
n
o n
n n n n
+-
-=
+-=
)1(
212
2
n
o n
+ （n →+∞）
于是当n +∞→时
)11ln(1n
n +
-等价于
2
21n。

而级数∑
+∞
=1
2
21n n
收敛，
故原级数))1
1ln(1(1
n
n n +-∑+∞
=收敛。

（三） 比值型判别法 3.1比式判别法
设∑n u 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数q(0<q<1)， (1)若对一切n> N 0,成立不等式
n
n u u 1+≤q ，则级数∑n
u 收敛。

(2)若对一切n> N 0,成立不等式n
n u u 1+≥1，则级数∑n
u 发散。

3.2比式判别法的极限形式
若∑n u 为正项级数，且+∞
→n lim
n
n u u 1+=q ,则
(1)当q<1时，级数∑n u 收敛。

(2)当q ≥1或q=+∞时，级数∑n u 发散。

例1讨论级数∑∞
=-1
1n n nx (x>0)的收敛性。

解：+∞
→n lim
n
n u u 1+=+∞
→n lim
1
)1(-+n n
nx
x n =x
当0<x<1时 ，级数收敛。

当x ≥1时，级数发散。

3.3广义达朗贝尔判别法1
设∑∞
=1
n n u 为正项级数，k 是某正整数
（1）如果对于一切n ,有
n
k n u u +≤q<1，则级数收敛。

（2）如果n
k n u u +1≥，则级数发散。

例2判断级数
++
+
++
+
+
n
n
3
12
13
12
13
12
12
2
的收敛性 解：取k=2，由于当n 为奇数时，
n
n u u 2+=2
1≤2
1<1，当n 为偶数时
n
n u u 2+=
31≤21<1,根据广义达朗贝尔判别法1知，级数
++
+
++
+
+n
n
3
12
13
12
13
12
12
2
收敛。

3.4广义达朗贝尔判别法2
设∑∞
=1
n n u 为正项级数，k 是某一正整数，+∞
→n lim
n
k n u u +=q ，则
（1）如果q<1,则级数收敛。

（2）如果q>1,则级数发散。

例3 判断正项级数∑∞
=---1
)1(2n n n
的敛散性。

解：取k=2，+∞
→n lim
n
n u u 2+=+∞
→n lim
n
n n n )
1()
1()2(2
2
2
-----+-+=4
1
<1，所以原级数收敛。

3.5广义达朗贝尔判别法3 设正数列{a n }单调递减，若+∞
→n lim
n
n a a 2=ρ，则当ρ<
2
1时，级数∑∞
=1
n n a 收敛；当
ρ>
2
1时∑∞
=1
n n a 发散。

例4 判断正项级数∑
∞
=1
2
ln n n
n 的收敛性。

解：因为+∞
→n lim
n
n a a 2=+∞
→n lim
2
)
2()2ln(n n n
n ln 2
=
4
1<2
1
，
因此原级数∑
∞
=1
2
ln n n
n 收敛。

3.6双比值判别法
设正项级数∑∞
=1
n n a ，如果ρ
==++∞
→∞
→1
122lim
lim
n n n n
n n a a a a 存在,
则当2
1<
ρ时，级数∑∞
=1n n a 收敛；当2
1>
ρ时，级数∑∞
=1
n n a 发散。

例5判断正项级数()∑
∑∞
=--∞
==
1
11
3
5n n
n n n
a 的收敛性。

解：()()()0
5
3
lim
5
3
3
5lim
lim
1
112212==⋅
=--∞
→---∞
→∞→-n
n n
n
n n
n
n n n
n
a a ，
()
()()()
()05
3
lim
5
33
5lim
lim
111121
121
11
2==⋅
=-∞
→+--+-∞
→++∞
→+-+n
n n n n n n n n
n n a a ，
所以由双比值判别法可知级数∑∞
=1
n n a 收敛。

3.7拉贝判别法
设正项级数∑∞
=1n n a ，如果r a a n n n n =⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+∞→1
1lim ， 则当1>r 时，级数∑∞=1
n n a 收敛；当1<r 时，级数∑∞
=1
n n a 发散。

例6 讨论级数s
n n ]
)
2(42)12(31[
∑⨯-⨯ 当s=1,2,3时的收敛性。

解：当s=1时，由于+∞
→n lim
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-+n n a a n 11=+∞→n lim n(1-
2
212++n n )=+∞
→n lim
2
2+n n =
2
1
所以由拉贝判别法级数1
]
)2(42)12(31[
∑⨯-⨯n n 是发散的。

当s=2时，由于+∞→n lim ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
-+n n a a
n 11=+∞→n lim n(1-（221
2++n n ）2) =+∞
→n lim
2
)
22()34(++n n n <1，
所以由拉贝判别法级数2
]
)2(42)12(31[
∑⨯-⨯n n 是发散的。

当s=3时，由于+∞→n lim ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-+n n a a
n 1
1 =+∞
→n lim n(1-（
2
212++n n ）
3
)=+∞
→n lim
3
2
)
22()
71812(+++n n n n =2
3
所以由拉贝判别法级数3
]
)
2(42)12(31[
∑⨯-⨯n n 是收敛的。

3.8次数判别法
设1
()()
n Q n P n αβ+∞
=∑
是正项级数，其中()Q n α，()P n β是关于n 的幂函数，α，β分
别是()Q n α和()P n β中n 的最高次数，并且0α≥，0β≥()()
()()
n f n Q n P n n g n α
αββ=
(()f n ,()g n 是关于n 的多项式)。

如满足lim ()n f n →∞
和lim ()n g n →∞
都存在，并且lim ()0n g n →∞
≠,则
(1) 当1βα->时，1()()n Q n P n αβ+∞
=∑
是收敛的。

(2) 当1βα-≤时，1
()()
n Q n P n αβ+∞
=∑
是发散的。

例7：判断级数3
1
25(21)(21)(23)
n n n n n n +∞
=-+-++∑
的敛散性。

. 解：在此级数中()Q n α332
3
2525(1)
n n n n
n
=-+=-
+
，3α=，
2
3
25lim (1)1
n n
n
→∞
-
+
=，
()P n β31
1
3
(21)(21)(23)(2)(2)(2)n n n n n
n
n
=-++=-++，
3β=，113
lim (2)(2)(2)80n n n n
→∞
-++=≠。

而 3301βα-=-=<，故由次数判别法可得，
级数3
1
25(21)(21)(23)
n n n n n n +∞
=-+-++∑
发散。

3.9高斯判别法
设
n
n a a 1+=1-
n
p +
μ
θ+1n
n
（n θ有界，0>μ），则当p>1时，
级数∑∞
=1
n n a 收敛；p ≤1时级数∑∞
=1
n n a 发散。

例8讨论p
n n
n ]
2642)12(531[
1
∑∞
=⨯⨯-⨯⨯ q
n
1（p,q>0为参数）的收敛性。

解：
n
n a a 1+=（1-)
)
1(21+n p
（1-
q
n )
1
1+
=（1-
))
1(1
1))(1(
)
1(22
2
n
o n q n
o n p
++-
++=1-
n
q p 22++
2
n
n
θ， 其中n θ为有界量，故当
12
2>+q p 时收敛，
2
2q p +≤1
时发散。

3.10对数比值型判别法
设有正项级数∑∞
=1
n n a 且存在+∞
→n lim （nln
l
a a n n =+)1
(-∞≤l +∞≤)，
当l>1时，级数收敛；当l<1时，级数发散。

例9 判断级数∑
∞
=1
2
1n n
的敛散性。

解：因为+∞
→n lim nln
1
+n n a a =+∞
→n lim n(1+n -n )ln2=+∞所以级数收敛。

（四） 根式判别法 4.1柯西判别法
设正项级数∑∞
=1
n n u （1）若存在N n N ≥,时有
1<≤q u n
n ，则级数∑∞
=1
n n
u 收敛
(注意1<≤q u n n 不能换为1<n n u )。

（2） 若存在无限个n ，有1≥n n u ，则级数∑∞
=1
n n u 发散。

4.2柯西判别法的极限形式
有正项级数 ∑∞
=1
n n u 且 l
u n
n n =∞
→lim
，
i ）若 1<l ， 则级数∑∞
=1n n u 收敛。

ii ）若 1>l ，则级数∑∞
=1n n u 发散。

例1判断正项级数n
n n
a )
1(1
∑∞
=+
（a ≥0）的敛散性。

解：由于∞
→n lim
n
n
n
a )
1(+
=a 故当0≤a<1时，级数n
n n
a )
1(1
∑∞
=+
收敛；当a>1
时级数n
n n a )
1(1∑∞
=+
发散;当a=1时，由于n
n n
a )
1(+
=1+
n
1>1（)N n ∈∀，
故级数n
n n
a )
1(1
∑∞
=+
发散。

注1：当∞
→n lim
n
n
u =1时，级数可能收敛也可能发散。

注2：凡能用比式判别法的极限形式判别的级数它也能由根式判别法的极限
形式来证明，也就是说，根式判别法的极限形式较之比式判别法的极限形式更有
效。

例2 判断正项级数 ()∑
∑∞
=--∞
==
1
11
3
n n
n n n a 的收敛性。

解：我们有
++
+
++
+
=
∑∞
=5
6
3
4
1
2
1
3
13
13
13
13
13
1n n a
因为n
n n a a 1lim +∞
→不存在，即不能由比式判别法判别其敛散性。

而()13
13
lim
1<=
--∞
→n
n
n n 所以由根式判别法知此级数收敛。

4.3广义柯西判别法1
设∑∞
=1
n n u 为正项级数，如果它的通项u n 的an+b(a>0)次方根的极限等于r ，即
∞
→n lim
b
an n
u +=r ，则当r<1时，级数收敛；当r>1时，级数发散；当r=1时，可能
收敛也可能发散。

例3 判别级数∑∞
=--1
1
2)
1
31(
n n n 的敛散性。

解：因为∞
→n lim
1
2-n n
u =∞
→n lim
1
31-n =0<1,由广义柯西判别法1知，
级数∑∞
=--1
1
2)
1
31(
n n n 收敛。

4.4广义柯西判别法2
设∑∞
=1
n n u 为正项级数，如果它的一般项u n 的n m (m 是大于1的正整数)次根的
极限等于r ,即∞
→n lim
m
n
n
u =r ,则当r<1时，级数收敛；当r>1时，级数发散；当
r=1时，级数可能收敛也可能发散。

例4判断级数∑∞
=+1
2
)
1
2(
n n
n n 的收敛性。

解:因为∞
→n lim
2
n
n
u =∞
→n lim
2
2
)
1
2(
n
n
n n +=∞
→n lim
1
2+n n =2
1
<1由广义柯西判别
法2知，级数∑∞
=+1
2
)
1
2(
n n
n n 收敛。

4.5广义柯西判别法3
设n ω=u n v n , u n ≥0, v n ≥0,(n=1,2 )若∞
→n lim
n
n
u =u, ∞
→n lim
1
-n n v v =v ,则当uv<1时，
级数∑∞
=1
n n ω收敛；当uv>1时，级数∑∞
=1
n n ω发散。

例5判断级数∑
∞
=+1
)
12(!n n
n n （
2
)
1n
n
n +的敛散性。

解：设u n =(
2
)
1n
n
n +，v n =
n
n n )
12(!+则∞
→n lim
n
n
u =
∞
→n lim
（
n
n
n )
1+=e,∞
→n lim
1
-n n
v v = ∞
→n lim
12-n n
(
n
n n )
1
21
2+-
=∞
→n lim
1
2-n n ∞
→n lim
n
n
n n )
211()211(+
-=
e
21由于e ⨯
e
21=2
1
<1,根据广义柯西判别
法3知，级数∑
∞
=+1
)
12(!
n n
n n （
2
)
1n
n
n +收敛。

（五） 积分判别法
设f 为[)+∞,1上非负减函数，那么正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞
1
)(dx x f 同时
收敛或同时发散。

例1讨论级数∑
∞
=2
)
(ln 1n p
n n 的收敛性，其中p>0为常数。

解：取f(x)=
p
x x )
(ln 1,p>0,它在[]+∞,3上非负，单调减少且连续，令
u n =f(n)=
p n n )
(ln 1，
当p=1时，∞
→x lim
dt
t
t x
⎰
3
ln 1=∞
→x lim [lnlnx-lnln3]=+∞；当p ≠1时，
∞
→x lim
dt t t x
p
⎰
3
)
(ln 1=∞
→x lim
p
-11[（lnx ）p -1-(ln3)p -1]
=⎪
⎩⎪
⎨⎧>-<<∞+-1,1
)3(ln 1
0,1p p p p。

（六） 对数判别法
若有α>0,使得当n>n 0时有
)0(1ln 1ln
>+≥n n
a n a α，则级数∑∞
=1
n n
a 收敛（a n >0）
若有α>0,使得当n>n 0时有
n
a n
ln 1ln
1≤，则级数∑∞
=1
n n
a 发散。

例1判断∑
∞
=2
ln ln )
(ln 1n n
n 的收敛性。

解：
n
a n
ln 1ln
=
n
n n
ln )
ln(ln ln ln =
n
n ln )ln (ln 2
∞
→x lim
x x ln )ln (ln 2
=0，由归结原则知
∃N 0，当n> N 0时
n
n ln )ln (ln 2
<1 即∑
∞
=2
ln ln )
(ln 1n n
n 发散。

（七） 柯西凝聚判别法
设{a n }是单调减少的正项数列，则正项级数∑∞
=1
n n a 收敛的充分必要条件是：凝
聚项级数∑∞
=1
2n n a n
2=a 1+2a 2+4a 4+ +n 2a n
2+ 收敛。

例1判断∑
∞
=1
1n n
的收敛性。

解： a n =
n
1，∴n
2a n 2=1，
∑∞
=1
1n 发散∴由柯西凝聚判别法
∴ ∑
∞
=1
1n n
发散。

（八） 周氏判别法
设正数列{a n }单调递减，若∞
→n lim n
n
n a a 2=ρ,则当ρ<
2
1时级数∑∞
=1
n n a 收敛；当
ρ>2
1
时∑∞
=1
n n a 发散。

例1判断∑
∞
=1
2
ln
1n n
n 的收敛性
解：ρ=∞
→n lim n
n
n a a 2=∞
→n lim n
2
2
2
2ln
ln n
n n n =4
1<
2
1故∑
∞
=1
2
ln
1n n
n 收敛
（九）Riemann 判别法
设正项级数∑+∞
=1
n n x 满足∞
→n lim n αx n =λ≥0，
（1）若1>α且+∞<λ，则级数∑+∞
=1n n x 收敛。

（2）若1≤α且λ≠0，则级数∑+∞
=1
n n x 发散。

例1判断正项级数∑
+∞
=+1
3
1
n n n 的敛散性。

解：因为∞
→n lim n 2
5
x n =∞
→n lim
1
3
21
2
5
+n n n =∞
→n lim
1
3
3
+n n
=1,所以由Riemann 判别法知，
此级数∑
+∞
=+1
3
1
n n n 收敛。

三 级数在生活中的应用
正项级数在生活中有许多应用，我们来看一下正项级数在生活中的几个简单应用。

（一） 级数在公司销售上的应用
为了更好的理解我们先看一个基本概念。

数列2，5，8，11，14，17具有这样的一个性质，即每一项都等于前一项加3，这样的数列称为等差级数（也叫算术级数）。

一般，如果数列中的每一项都等于前一项加上同一个常数d ，就称为等差级数。

d 称为公差。

如果a 是公差为d 的等差级数的首项，则前n 项为a ，a+d,a+2d, ，a+(n-1)d 第n 项等于
l=a+（n-1）d 设s n 表示等差级数前n 项的和,则
s n =a+(a+d)+(a+2d)+ +（l-d ）+l 或s n =l+(l-d)+(l-2d)+ +（a-d ）+a 这里诸项排列顺序和上面的相反，将其上下对准相加，得 2 s n =(a+l)+ (a+l) (a+l)+
+ (
（a+l ）这样，2s n = n[a+l] ， 所以s n =
2
n [a+l]
由于l=a+（n-1）d ，代入l 后得 s n =2
n [2a+（n-1）d]这就是公差为d ，首项为a 的等差级数的和。

例1某公司第一年销售额是100000美元，以后每年销售额递增20000美元，求第10年的销售额和该公司的10年总销售额。

解：该公司的销售情况，可用a=100000，d=20000的等差级数描述，
第10年的销售额是等差级数的第10项。

取n-1=9由
l=a+（n-1）d 得l=100000+9⨯（20000）= 280000这样，第10年的销售额为280000美元。

10年的总销售额为 s 10=
2
10[2⨯（100000）+9⨯（20000）]=1900000美元。

（二）级数在生物工程上的应用
如果一个数列中的每一项都是由前一项乘以常数r 而得，则称为等比级数
（也叫做几何级数），常数r 叫做公比。

如果a 是公比为r 的等比级数的首项，则
前n 项为a ,ar, ar 2，ar 3， ，ar 1-n ，第n 项为l= ar 1-n
设s n 表示等比级数的前n 项和，则s n =a+ar+ar 2+ + ar 1-n （1）两边都 乘以r ，得r s n = ar+ar 2+ + ar 1-n +ar n （2）由（1）减去（2），左边得 s n - r s n ，右边得a- ar n ，因为ar ，ar 2， ，ar 1-n 诸项已相互抵消， 于是得s n - r s n =a- ar n ，s n （1-r ）= a- ar n 两边都除以1-r 得 s n =
r
ar a n
--1=
r
r a n
--1)1(这就是以a 为首项，r 为公比的等比级数前n 项和。

例2在某段时间间隔内，某培养基中细菌数每小时增加一倍。

如果开始时
培养基中有100个细菌，求描述培养基中t 小时后细菌数目的函数。

4小 时后培养基中有多少细菌？
解：在培养基中，开始时（t=0），一小时后（t=1），2小时后（t=2），3
小时后（t=3）以及k 小时后（t=k ）的细菌数目，由下列等比级数
描述：100，100⨯（2），100⨯（2）2， ，100⨯（2）k 这样 f （t ）=100⨯（2）t 描述t 小时后培养基中细菌的数目， f （t ）的定义域由指定时间间隔中非负整数组合（t=0，1，2等等） 4小时后培养基中细菌数目为f （4）=100⨯（2）4=1600个
（三）级数在医药方面的应用
例3一慢性病人需每天服用某种药物，按医嘱每天服用0.05mg ，设体内的
药物每天有0.2通过各种渠道排泄掉，问长期服药后体内药量维持在怎样的水平？
解：服药第一天，病人体内药量为0.05mg ；服药第二天，病人体内药
量为0.05（1-0.2）+0.05=0.05（1+
5
4）mg ；服药第三天，病人体
内药量为[0.05（1-0.2）+0.05](1-0.2)+0.05=0.05[1+5
4
+(
5
4)2]mg
按此推下去，长期服药后，体内药量为
0.05[1+54+(5
4)2
+（
5
4）3
+ ]=0.05n
n ∑∞
=0
)5
4
(=0.25mg
（四）正项级数在计算机上的应用
计算机在进行计算时所处理的数据都是二进制的，并且通常是无限循环的，而我们生活中所处理的数据大多是十进制的。

所以就要经常的将二进制无限循环小数转换为十进制
例4求二进制无限循环小数（110.110110 ）2的值。

解：（110.110110 ）2=22+21+21
+
2
2
1+
4
2
1+
5
2
1+
7
2
1+
8
2
1+
设上述无穷级数的部分和数列为{s n },则
s n 2=])8
1(1[76
6)2
12
1(
4
31
5
3n
k n
k k -=+
-=-∑,s 12+n = s n 2+
2
32
1-n ,
令n ∞→,得∞
→n lim s n =67
6
，即二进制无限循环小数（110.110110 ）
2
的值为67
6。

（五） 级数对金融业务的应用
由于正项级数在金融业务中的应用涉及到一些专业术语因此我们先通过一个生活中的例子来初步了解简单的金融业务。

假定从现在起6个月投资1000美元，以后每6个月投资1000美元，再投资三次，利率为年利率0.06，每半年复利计算一次，每次投资1000美元的时间和复利计算的时间一致。

投资期满（从现在起两年后），本利和分别为 1000⨯(1.03)3=1000⨯ (1.09273)=1092.73美元
1000⨯ (1.03)2 =1000⨯（1.06090）=1060.90美元 1000⨯ (1.03)=1030.00美元 1000⨯ (1.03)0=1000.00美元
这样，在投资期结束时，投资的总未来值为 1092.73+1060.90+1030.00+1000.00=4183.63美元 这一例子说明了很多财务问题的若干典型特征：
（1）在规定的时间间隔上，依次进行等量R 的支付（在上例中R=1000美元），这样一组支付称为年金；
（2）一次支付叫期款，在满期时支付，这样一段时间叫支付期（在上例中支付期为6个月）虽然年金这一术语是指每年支付，但年金的支付期可以是任意时间间隔; （3）利计算的利息期和年金的支付期相一致。

年金期限指的是第一支付期开始到最末一个支付期结束。

上例中年金期限是两年。

年金的本利和（或叫做未来值）是在年金满期时积累的总本利和（假定每次支付期的复利率 都是已给定的）上例中的年金未来值F=4183.63美元
一般，假定n 个支付期的每个在期满时支付R 美元，每个支付期复利率为i ，第一
支付期的期款为R 美元，将为后面n-1个支付期带来复利，而在年金期满时达到本利和R(1+i)1-n 美元，第二个支付期的期款为R 美元，为后面n-2个支付期带来利息，而在年金期满时达到本利和R(1+i)2-n 美
n-1个支付期（倒数第二
个支付期）的期款R 美元，为最后一个支付期带来利息，其本利和达R （1+i ）美金。

第n 个支付期的期款R 美元没有利息，本利和仍为R 美元，总起来说，设F 表示这个年金的未来值（n 个支付期后的总本利和），则有F=R+R(1+i)+R(1+i)2+ + R(1+i)2-n + R(1+i)1-n 这是首项为R ，公比为（1+i ）的等比级数前n 项和，由正项等比级数前n 项和的公式可得
s
n
=
r
r a n
--1)1(由于a=R,r=1+i 得
F=)
1(1])1(1[i i R n
+-+-=
i
i R n -+-]
)
1(1[用-1乘分子和分母，重新组合各项，得
F=R[
]1
)1(i
i n
-+，其中
i
i n
1
)1(-+表示一个年金的未来值，其中n 个支付期的每一支
付期期满时，期款为R 美元，而每个支付期的复利率为i 。

例5 为了延期付房款，罗伯特一家打算每3个月存款300美元，利率为年利率
0.08。

每季复利计算一次，5年后存款本利和将是多少？
解：这一年金的期款R=300，复利为每个期款期0.02，共20个支付期，5
年后存款的本利和为F=300⨯[
02
.01
)
02.01(20
-+]=300⨯24.29737=7289.21
美元。

例6某公司打算用6000美元在5年后更换汽车，如果利率为年率0.08，每半年
复利计算一次，那么为了在5年后达6000美元，现在需要存入多少？ 解：支付期利率为0.04，支付期有10个，本利和F 为6000美元，现在要确
定存款为R ，因为6000= R ⨯（
)04
.01
)
04.01(10
-+
∴R=6000⨯0.08329=499.74
美元。

这种问题常叫做偿债基金问题。

我们再来研究每个支付期满时支付R 美元的年金（支付期利率为i ）已考虑过的一个问题是：
n 个支付期后年金的未来值是多少？现在研究的问题则是年金的现值为多少？即为了使每一支付期结束时(支付期利率为i)能支付R ，初始存款和应为多少？初始存款和称为年金的现值，为求此现值，需要求出每一个期款的现值，并使其相加第一个期款R 的现值在第一支付期结束时是R(1+i)1-，第二个期款的现值是R(1+i)2-，第n 个期款（最后一次支付的）的现值是R(1+i)n -，总起来，设P
表示年金的现值，有P= R(1+i)1-+ R(1+i)2-+ R(1+i)3-+ + R(1+i)n -这是首项为R(1+i)1
-,公比为(1+i)1
-的等比级数和，由等比级数前n 项和公式s n =
r
r a n
--1)1(取
a= R(1+i)1
-和r=(1+i)1
-得p=
1
1
1)
1(1]
])
1[(1[)1(---+-+-+i i i R n
=
1
1
)
1(1]
)
1(1[)1(---+-+-+i i i R n
对分子
分母同乘（1+i ）以消除(1+i)
1
-得P=
1
)1(]
)
1(1[-++--i i R n
P=R[
i
i n
-+-)
1(1]，其中
i
i n
-+-)
1(1表示年金的现值，对n 个支付期的每个支付期期满时期款为R 美元，
而每个支付期的复利率为i 。

例7一项年金在10年内每4个月支付600美元，利率为年率0.09，每年复利计算3次，求该年金的现值？
解：支付期的利率i 为0.03，支付期数n=30，期款为600美元，
P=
03
.0]
)
03.01(1[60030
-+-⨯=600⨯19.60044=11760.26，所以应初始应
存入11760.26美元才能使在年率0.09每年复利计算3次的条件下，10年内每4个月拿到600美元。

例8某公司有10000美元的抵押，需要在5年内每季度分期交付等量的一笔钱以便赎回，如果利率为年率0.08，每季度复利计算一次，每期付款后的本利和是多少？
解：支付期利率是0.02，支付期数是20，年金现值是P =10000美元，
本利和已到期，但需要分期付款，每期付的款R 的本利和是待定
的期款，R=
i
i P n
]
)
1(1[-+-于是R=10000⨯(0.06116)=611.60美元.
这类问题称为偿还问题。

四参考文献：
1华东师范大学数学系编 《数学分析》 高等教育出版社 2004 2宋国柱编 《分析中的基本定理和典型方法》 科学出版社 2004 3谢惠民等编 《数学分析习题课讲义》高等教育出版社 2004 4陈纪修等编 《数学分析》高等教育出版社 2006
5王承国等编 《数学分析学习指导》科学出版社 2004 6李忠等编 《高等数学》北京大学出版社 2004 7邹应编 《数学分析》 高等教育出版社 1995 8刘三阳等编 《数学分析选讲》 科学出版社 2007
9 W.J.亚当斯编《数学在社会科学中的应用》中国社会科学出版社1988。