齐次方程

第三节 齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
积分后再用
y 解法: 令 u , x
代替 u, 便得原方程的通解.
u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x
y 1 y2 tan . 例4. 解微分方程 y 2x 2 y x y2 y2 解: 变形 2 yy tan x x 2 du y 2 设 u, y xu; 求导 2 yy u x dx x du u tan u 代回原方程 u x dx du dx 分离变量 tan u x , 两边积分 ln sin u ln u c1
1 例3. 解微分方程 y ( x y) 2
把 u x y, 代回上式
1 x y 1 x y ln x c1 2 x y 1 x y 1 ln 2 y 2c1 x y 1
即
x y 1 2 y 2c1 2y e ce x y 1
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
例1. 解微分方程 y y tan y . x x y 解: 令 u , 则 y u x u , 代入原方程得 x
例2. 解微分方程 d y y y 解: 方程变形为 2 dx x x

2
y , 令 u , 则有 x
( y 3x )dy 2xydx 0, y |x0 1;
2 2
u x u 2 u u 2
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln 即 ln x ln C , u u
代回原变量得通解
求解过程中丢失了.
x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
du 解: 设 u x y , y x u ; 即 y 1 dx 2 du 1 du u 1 代入原方程: 1 2, 2 , dx dx u u u2 分离变量: du dx, 2 u 1 1 两边积分: (1 2 )du dx u 1 1 u 1 u ln x c1 2 u 1
sin u x c1
xe cx
c1
小结
dy y ( ) 齐次方程 dx x
y 齐次微分方程解法 令 u x
习题
求下列齐次微分方程通解
xy ' y
2 2
y x
2
2
0
( x y )dx xydy 0
求下列齐次微分方程满足所给初始条件的特解