表面式永磁无刷电机电枢反应磁场半解析法

2009年1月电工技术学报Vol.24 No. 1 第24卷第1期TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY Jan. 2009 表面式永磁无刷电机电枢反应磁场半解析法
章跃进1薛波1丁晔1陆国林2
（1. 上海大学机电工程与自动化学院上海 200072
2. 中国电子科技集团公司第二十一研究所上海 200233）
摘要半解析法分析表面式永磁无刷电机电枢反应气隙磁场。

求解区域分为气隙和槽形区域，气隙磁场用解析法求解，槽形区域用差分法计算。

两区域含共有部分，共有部分的磁场计算
结果可作为另一场域的边界条件。

定子开槽以及槽内电流都能以实际情况表示，实例计算与有限
元法计算结果吻合较好，计算值与测量值较为一致，证明了方法的正确性。

关键词：半解析法电枢反应磁场表面式永磁无刷电机
中图分类号：TM301.4
Semi-Analytical Approach for Armature Reaction Field of
Surface Mounted Permanent Magnet Brushless Motors
Zhang Yuejin1 Xue Bo1 Ding Ye1 Lu Guolin2
（1. Shanghai University Shanghai 200072 China
2. China Electronics Technology Group Corporation No.21 Research Institute
Shanghai 200233 China）
Abstract A semi-analytical approach was applied for armature reaction field analysis of surface mounted permanent magnet brushless motors. The field region was divided into air-gap and slot sub-regions. Analytical method was used to solve the air-gap field equation while the difference method to solve the field equation in slot region. Computation results in common parts can be used as boundary conditions for another region. Stator slot opening and slot currents can be presented on fact. The proposed approach is exemplified by using practical permanent magnet brushless machines, and verified by comparing with the finite element method and experiment.
Keywords：Semi-analytical approach, armature reaction field, surface mounted, permanent magnet brushless motors
1引言
气隙磁场分析是永磁无刷电机设计及性能计算的基础。

表面式永磁无刷电机气隙均匀，等效气隙大，气隙磁场必须考虑二维情况。

解析法分析二维气隙磁场[1-3]，计算精度高于一维磁路法，计算过程较有限元法简单、快速。

解析法分析二维气隙磁场时，假设铁心磁导率为无穷大，因此，气隙磁场的计算可以应用叠加原理，即分别计算永磁空载磁场和电枢反应磁场，然后合成为实际气隙磁场[4-5]。

文献[3]通过引入相对磁导函数计及定子开槽的影响。

即根据保角变换原理求得电枢开槽时的气隙相对磁导，用此气隙相对磁导与无槽时的气隙磁场相乘，得到计及开槽效应时的气隙二维磁场。

在此过程中，保角变换求得的气隙磁导函数表达式比较复杂，为简化计算过程，在获得最终结果前还需作一些近似假设；或者直接用数值法计算气隙磁导非线性函数[6]，但所得到的是等位线上的磁通密度值，要获得给定半径处的气隙磁通密度也不方便。

更主要的是，无槽时计算得到的气隙磁场仅反映了场源产生的磁场分布情况，而开槽引起磁场方向的变化则无
浙江省重点科研资助项目（2007C11032）。

收稿日期 2007-09-06 改稿日期 2008-05-23
48 电工技术学报 2009年1月
法反映。

于是，在槽口处磁场切向分量为零。

当用相对磁导函数相乘时合成气隙磁场在槽口处的切向磁场分量仍然为零，导致切向磁场计算产生较大误差。

针对这一问题，文献[7]采用复变量保角变换，克服了切向气隙磁通密度分量被隐没的缺点。

上述采用保角变换分析开槽影响的方法，均是以无限深单槽模型为基础的，没有考虑槽与槽之间的影响。

文献[8]则在实际槽深条件下进行分析，计算中将求解区域划分为气隙区域和槽形区域，两个区域存在互相重叠部分，其目的是借用共同部分的磁场计算结果作为区域的磁场边界值，用于计算各自区域的磁场。

两个区域的磁场依次计算，通过若干次迭代得到最终结果。

该方法考虑了实际槽形分布，计算结果更符合实际，当然槽域数学模型复杂。

文献[9]在解析法的基础上引入差分法计算空载气隙磁场。

求解区域同样分为气隙区和槽形区，气隙磁场用解析法计算，槽形区用差分法计算。

本文用半解析法分析永磁无刷直流电机的电枢反应气隙磁场。

由于考虑了槽形区域，导体电流可直接放在槽内，不必简化为槽口线电流密度。

同时，考虑到存在电流区，采用矢量磁位进行求解。

建立了用矢量磁位表示的气隙磁场解析表达式，槽形区域磁场用差分方程计算。

两个区域磁场计算都需借助另一区域的磁场计算结果，整个过程经过几次迭代即可达到精度要求，与有限元法计算结果比较，两者吻合较好，肯定了半解析法的计算精度。

2求解区域划分
计算电枢反应气隙磁场时，永磁体无磁性。

简化起见，假定永磁体的磁导率与空气相同，因此，整个等效气隙区域包括气隙和永磁体。

本文的磁场计算区域除了等效气隙区域，还包括槽内区域。

由于存在槽区域，难以直接获得整个区域的磁场解析解。

于是将求解区域划分为等效均匀气隙区域以及槽形区域（见图1）。

均匀气隙区域磁场用解析法求解，槽形区域由互相连接的槽形子区域组成，每个槽构成一个槽形子区域，包括槽内区域及一个槽距范围的气隙区域。

每个槽形子区域的磁场用差分法计算。

如此划分，使槽形区域和气隙区域存在共有部分，目的是利用两个区域的磁场计算结果获得各区域的磁场边界条件。

为简单起见，分析中采用矩形槽。

图1 求解区域示意图
Fig.1 Solution region
3电枢反应气隙磁场解析表达式
考虑到槽内有电流，两个区域的磁场统一用矢量磁位A z求解。

极坐标下气隙区域矢量磁位满足拉普拉斯方程
22
2
22
10
2t
11
:
:
z z z
z
z z
z
A A A
A
r r r
r
A A
A
H
n
θ
Γ
Γµ
⎧∂∂∂
∇=++=
⎪
∂
∂∂
⎪⎪
=
⎨
⎪∂
⎪=−
∂
⎪⎩
(1)
式中，Γ1、Γ2分别为第一类和第二类边界条件；n 表示法向；µ为磁导率；H t为磁场强度切向分量。

定子气隙表面开槽，设为第一类边界，其磁位值根据槽域磁场差分计算结果获得。

转子气隙表面为空气与铁心的交界面，因铁心磁导率假设为无穷大，则磁力线垂直进入铁心，磁场切向分量等于零，为第二类齐次边界。

式（1）的通解为
z
1
00
(,)[()cos()
()sin()]ln
pn pn
n n
n
pn pn
n n
A r A r
B r np
C r
D r np A r B
θθ
θ
∞
−
=
−
=++
+++
∑
(2)式中p——周期数，对于整数槽绕组，等于极对数。

定子铁心气隙表面的磁位分布展开成傅里叶级数
s
1
(,)[cos()sin()]
2
z n n
n
a
A R a np b np
θθθ
∞
=
=++
∑ (3)
式中R s——定子气隙表面半径。

差分方程计算得到定子气隙表面离散节点上的磁位值，节点之间磁位用线性插值函数获得，得各系数为
第24卷第1期
章跃进等 表面式永磁无刷电机电枢反应磁场半解析法 49
s
01s 2
()()M i i i i p a A ηηθ+==
+π
∑ (4)
(5)
式中 M s ——定子气隙表面离散节点数，且
11()/2
()/2i i i i
i i ξθθηθθ−−=+⎧⎨
=−⎩ (6) 根据边界条件可解得
r r r 000r s s r ,,0,/2(/)(/)
pn pn
n n n n pn pn r n n n n pn pn R R A a B a R R C b D d A B a R R R R ∆∆∆∆∆−−⎧==⎪⎪
⎪⎪
==⎨⎪
==⎪⎪=+⎪⎩ (7) 式中 R r ——转子气隙半径。

对于槽域磁场尚未计算的初始情况，可先用槽口等效电流密度计算电枢反应气隙磁场。

此时边界条件为
r
s
s
r R r R H
H J ==⎧=⎪⎨⎪=−⎩
(8)
式中 J s ——槽口等效电流密度。

4 槽域磁场差分法分析
槽区域包括槽内及槽下气隙延伸部分。

以单个槽子域为例（如图2所示）。

槽内有电流，矢量磁位满足泊松方程
20102t ::z z
z z z A J A A A H n
µΓΓµ⎧∇=−⎪
⎪=⎨
∂⎪=−⎪∂⎩ (9) 式中，J z 为电流密度。

图2中边界1、2满足第一类边界条件，其磁位值由解析法获得。

其他边界均为空气与铁心的交界面，为第二类齐次边界。

极坐标下式（9）的差分离散化
[10]
1,1,,1,1ij i j ij i j ij
i j ij i j ij ij ij a A c A a A c A b A d −+−+′′++++= (10) 式中
01,,11,1121()2()4
j j j i
ij ij ij
i i
j
j j i
ij
ij ij ij ij
ij j
j i j
ij ij i j i j i j k k k h a c a h h k r k h c b a c a c k r h k d J J J J µ++++⎛⎞′==
=−⎜
⎟⎜⎟⎝
⎠
⎛⎞
′′′=+=−+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠=−+++ 其中，下标i 、j 对应网格右上角的节点编号，取周向等角度、径向等距剖分；h i 、k j 分别是周向和径向的网格宽度；r j 为节点处的半径；J ij 表示网格内的电流密度。

结合边界条件，即可形成线性方程组，求得磁位值。

图2 槽子域示意图 Fig.2 Slot sub-region
5 计算实例
一台6极18槽永磁无刷直流电机，取一对极范围作为求解区域（如图3所示），图中电流对应永磁无刷直流电机两两导通运行模式。

图3 一对极求解区域 Fig.3 One pair pole solution region
定子槽口宽度b 0=1.6mm ，电枢电流I a =1.95A ，槽内导体数N s =46。

初始计算时以槽口电流密度分布为已知量，获得均匀气隙时的电枢磁场，图4为光滑定子气隙表面处磁通密度分布。

图中可见，无电流的两个槽的槽口处气隙磁通密度切向分量为零。

这时引入相对磁导函数将无法反映该两处的气隙磁通密度切向分量。

本文采用解析和差分法交替求解，将解析法计算的每槽气隙左
s 11s 21211s 212sin sin sin sin 1()()cos sin cos sin 1()()s
M i i i i n i i i i M i i i i n i i i i np np np np a A pn np np np np b A pn ξηξηθηηξηξηθηη+++=+++=⎧=−−⎪π⎪⎨⎪=−⎪π⎩
∑
∑
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图4 光滑定子气隙表面磁通密度分布Fig.4 Armature reaction field with smooth air gap
右边界处的磁位值代入差分方程，解得每个槽域内的磁位分布。

然后将电枢气隙表面磁位作为均匀气隙的边界条件，由气隙磁场解析式解得气隙磁位分布。

两区域磁场经若干次交替计算，求得最终结果。

本例经3次计算即可。

图5为半解析法和有限元法电枢反应磁场计算结果比较（B r径向分量、B t切向分量），两者吻合较好。

图5 半解析法和有限元法磁场计算结果比较
Fig.5 Field computation result comparison between semi-analytical and finite element method
从图5可见，原本无电流的两个槽的槽口处气隙磁通密度切向分量已得到较准确地计算。

为了进行计算值与实际值的比较，专门将一台4极15槽的永磁无刷电机转子永磁体去掉，并减小转子铁心外径，以便气隙磁场测量。

该电机定子内径39mm，转子外径31mm，定子槽口宽度b0= 1.6mm，电枢电流I a=2.3A，线圈匝数=20。

图6为半解析法磁通密度计算值与测量值的比较。

由图6可见，计算值与测量值在变化趋势上基本一致。

该被试电机为分数槽结构，证明本文方法同样可以应用于分数槽电机。

图6 半解析法计算值与测量值比较Fig.6 Comparison between values by semi-analytical
approach and by test
6结论
解析法与差分法结合，交替求解表面式永磁无刷电机的电枢反应气隙磁场，更符合定子开槽和槽内电流分布的实际情况，并消除了气隙磁场切向分量被隐没的现象。

差分网格分布规则，剖分容易。

计算值与有限元法以及实际测量值对比，取得较为一致的结果。

本文方法对于整数槽和分数槽电机均适用。

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作者简介
章跃进男，1956年生，教授，主要研究方向为特种电机与电机
电磁场、电机动态过程。

薛波男，1981年生，硕士研究生，主要研究方向为特种电机
与电机电磁场。

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作者简介
刘素贞女，1969年生，博士，教授，主要从事工程电磁场与磁技术方面的研究工作。

杨庆新男，1961年生，教授，博士生导师，主要从事电磁场数值计算、磁技术及应用和磁性材料建模等方面的研究。