人教版九年级下册 第二十七章 相似单元练习题(含答案)
人教版九年级下数学第二十七章 相似单元练习题(含答案)
人教版九年级下数学第二十七章相似单元练习题（含答案）.doc一、选择题1.如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是()A．∠C＝∠AEDB．＝C．∠B＝∠DD．＝2.如图，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为()A．(0,3)B．(0,2.5)C．(0,2)D．(0,1.5)3.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是()A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③4.如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有()A．2对B．3对C．4对D．5对5.下列各组图形中可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形6.如图，把一个长方形划分为5个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形的边a，b应满足的条件是()A．a＝5bB．a＝10bC．a＝bD．a＝2b7.如图，己知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是()①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1∶2；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.A．1B．2C．3D．48.如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为()A．B．C．D．9.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，若以点B为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2∶1，则点C′的坐标为()A．(0,0)B．(0,1)C．(1，－1)D．(1,0)10.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是() A．平移B．旋转C．轴对称D．位似二、填空题11.已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.(1)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△DEF∽△ABC；(2)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△FDE∽△ABC.12.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE 交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________.13.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有________对．14.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．15.两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm.16.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2 m，b＝4 m，c＝5 m，则d＝__________ m.17.汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB ＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m.18.△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2.以点C为位似中心将△ABC按∶1放大，A、B 的对应点分别为A′、B′，再将△A′B′C绕点C旋转90°，A′的对应点为P，则点P与B之间的距离为__________．19.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.5 m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2 m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1 m，则塔高AB是__________米．20.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8 m，小华的身高MN＝1.5 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8 m，CN＝1.5 m，且两人相距4.7 m，则路灯AD 的高度是____________．三、解答题21.如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F.请找出一对相似三角形，并加以证明．22.作图：如图所示，O为△ABC外一点，以O为位似中心，将△ABC缩小为原图的.(只作图，不写作法和步骤)23.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.24.如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx＋b 与y＝－2x＋4是“平行一次函数”(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3,1)，求b的值；(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1∶2，求函数y＝kx＋b的表达式．25.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？26.如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：(1)如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．(2)已知三角形ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG的面积．27.如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．28.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,4)，C(－3,2)．(1)画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；(2)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标．答案解析1.【答案】D【解析】∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE.A．∵∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，错误；B．∵＝，∴△ABC∽△ADE，错误；C．∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，错误；D．∵＝，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，正确．故选D.2.【答案】C【解析】连接BF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)，∴点C的坐标为(0,4)，点G的坐标为(0,1)，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为(0,2)，故选C.3.【答案】D【解析】∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，∵AD＝BC，∴AF＝AD，∴＝；故①正确；∵S△AEF＝4，＝＝，∴S△BCE＝36；故②正确；∵＝＝，∴＝，∴S△ABE＝12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选D.4.【答案】C【解析】根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知，图中相似三角形有4对，分别是△ADE∽△BCE，△AEB∽△DEC，△PAD∽△PCB，△PBD∽△PCA.故选C.5.【答案】A【解析】A.不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；B．由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；C．正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；D．正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．故选A.6.【答案】C【解析】∵每一个小长方形与原长方形相似，∴＝，∴a2＝5b2，∴a＝b.故选C.7.【答案】C【解析】根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的，∴△ABC与△DEF的周长比为2∶1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.故选C.8.【答案】A【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠ACE＝90°，∵∠BCF＋∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG＝1，BG＝EF＝CF＋CE＝7，∴AB＝＝5，∵l2∥l3，∴＝＝，∴DG＝CE＝，∴BD＝BG－DG＝7－＝，∴＝＝.故选A.9.【答案】D【解析】如图所示：△A′BC′与△ABC位似，相似比为2∶1，点C′的坐标为(1,0)．故选D.10.【答案】D【解析】平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，故选D.11.【答案】(1)12.515(2)128【解析】(1)∵当＝＝时，△DEF∽△ABC；又∵AB＝4，BC＝5，CA＝6，DE＝10，∴＝＝，解得EF＝12.5，FD＝15；∴当EF＝12.5，FD＝15时，△DEF∽△ABC；(2)∵当＝＝时，△FDE∽△ABC，又∵AB＝4，BC＝5，CA＝6，DE＝10，∴＝＝，解得FD＝8，EF＝12，∴当EF＝12，FD＝8时，△FDE∽△AB C. 12.【答案】【解析】过O点作OM∥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OM是△ABD的中位线，∴AM＝BM＝AB＝，OM＝BC＝4，∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴＝，∴＝，∴AF＝，故答案为.13.【答案】5【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，∴△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∴△ABF∽△CEB，△ABC≌△CDA，∴此图中共有6对相似三角形．但△ABF∽△CEB不是位似．14.【答案】9∶4【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，∴△ABC与△DEF的相似比是3∶2，∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶4.15.【答案】3【解析】如图，OE＝20 cm，OF＝30 cm，AB＝2 cm，∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴＝，即＝，∴CD＝3，即光屏上火焰所成像的高度为3 cm.16.【答案】10【解析】∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴a∶b＝c∶d，而a＝2 m，b＝4 m，c＝5 m，∴d＝＝＝10(m)．17.【答案】1.8【解析】根据题意有AF∥BC，∴∠ACB＝∠GAF，又∠ABC＝∠AFG＝90°，∴△ABC∽△GFA.∴＝，得BC＝3.2(m)，CD＝(2＋3)－3.2＝1.8(m)．18.【答案】4或2【解析】如图所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，∴BC＝1，AC＝，∵以点C为位似中心将△ABC按∶1放大，∴CB′＝，A′C＝3，当将△A′B′C绕点C顺时针旋转90°，则PB＝PC－BC＝3－1＝2，当将△A′B′C绕点C逆时针旋转90°，则P′B＝P′C＋BC＝3＋1＝4，综上所述：点P与B之间的距离为4或2.19.【答案】22.5【解析】过D点作DF∥AE，交AB于F点，如图所示：设塔影留在坡面DE部分的塔高AF＝h1，塔影留在平地BD部分的塔高BF＝h2，则铁塔的高为h1＋h2.∵h1∶18 m＝1.5 m∶2 m，∴h1＝13.5 m；∵h2∶6 m＝1.5 m∶1 m，∴h2＝9 m.∴AB＝13.5＋9＝22.5(m)．∴铁塔的高度为22.5 m.20.【答案】4 m【解析】设路灯的高度为x m，∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴＝，即＝，解得DF＝x－1.8，∵MN∥AD，∴△CMN∽△CAD，∴＝，即＝，解得DN＝x－1.5，∵两人相距4.7 m，∴FD＋ND＝4.7，∴x－1.8＋x－1.5＝4.7，解得x＝4.21.【答案】解①选择：△ABF∽△DEF 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠ABF＝∠E，∠A＝∠FDE，∴△ABF∽△DEF.②选择：△EDF∽△ECB理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠C＝∠FDE.又∵∠E＝∠E，∴△EDF∽△ECB.③选择：△ABF∽△CEB理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A＝∠C.∴∠ABF＝∠E.∴△ABF∽△CEB.【解析】选择△ABF∽△DEF，根据四边形ABCD是平行四边形可知AB∥CD，再由平行线的性质得出∠ABF＝∠E，∠A＝∠FDE，据此可得出结论．22.【答案】解如图，△DEF为所作．【解析】23.【答案】解(1)如图，四边形A′B′C′D′即为所求；(2)如图，四边形A1B1C1D1即为所求．【解析】(1)分别作出点A、B、C、D关于直线l的对称点，顺次连接即可得；(2)延长AB到A1，使BA1＝2BA，同理分别作出点D、C的对应点，顺次连接即可得．24.【答案】解(1)由已知，得k＝－2，把点(3,1)和k＝－2代入y＝kx＋b中，得1＝－2×3＋b，∴b＝7；(2)根据位似比为1∶2，得函数y＝kx＋b的图象有两种情况：①不经过第三象限时，过(1,0)和(0,2)，这时表达示为y＝－2x＋2；②不经过第一象限时，过(－1,0)和(0，－2)，这时表达示为y＝－2x－2；【解析】(1)根据平行一次函数的定义可知：k＝－2，再利用待定系数法求出b的值即可；(2)根据位似比为1∶2可知：函数y＝kx＋b与两坐标的交点坐标，再利用待定系数法求出函数y＝kx＋b的表达式．25.【答案】解是，理由：∵E、F分别是OA、OB的中点，∴FE＝AB，FE∥AB，G、H分别是OC、OD的中点，∴HG＝CD，HG∥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴EF＝HG，FE∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形；∵FE∥AB，∴∠OEF＝∠OAB，同理∠OEH＝∠OAD，∴∠HEF＝∠DAB，同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA，＝＝＝＝，∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD，又∵各组对边对应点得连线相交于点O，∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心．【解析】根据三角形中位线定理得到EF＝HG，FE∥HG，根据平行四边形的判定定理证明四边形EFGH是平行四边形，再根据平行线的性质定理、相似多边形的判定定理证明．26.【答案】解(1)如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；(2)在长方形DEFG中，如果DE＝2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N.∵三角形ABC的面积＝BC·AM＝×12AM＝36，∴AM＝6.设AN＝x，则MN＝6－x，DG＝MN＝6－x，DE＝GF＝2(6－x)＝12－2x.∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝，∴＝，解得x＝3，∴DG＝6－x＝3，DE＝2DG＝6，∴长方形DEFG的面积＝6×3＝18；在长方形DEFG中，如果DG＝2DE，同理求出x＝，∴DG＝6－x＝，DE＝DG＝，∴长方形DEFG的面积＝×＝.故长方形DEFG的面积为18或.【解析】(1)如图2，先画长方形HIJK，使得HI＝2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连接BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK＝2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连接BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；(2)作△ABC的高AM，交GF于N.由三角形ABC的面积为36，求出AM＝6.再设AN＝x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式＝，由此求出x的值，进而求解即可．27.【答案】解∵AB⊥DB，CD⊥DB∴∠D＝∠B＝90°，设DP＝x，当PD∶AB＝CD∶PB时，△PDC∽△ABP，∴＝，解得DP＝2或12，当PD∶PB＝CD∶AB时，△PCD∽△PAB，∴＝，解得DP＝5.6∴DP＝5.6或2或12.【解析】根据已知可以分△PDC∽△ABP或△PCD∽△PAB两种情况进行分析．28.【答案】解(1)如图所示：△A1BC1，即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求，C2点坐标为(－6,4)．【解析】(1)利用关于点对称的性质得出A1，C1，坐标进而得出答案；(2)利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．人教版九年级数学下册同步练习：第二十七章质量评估试卷一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么xy ＝( A )A.32B.38C.23D.85【解析】 由x x ＋y＝35，得5x ＝3(x ＋y )，∴2x ＝3y ，即x y ＝32.故选A.2．如图1，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( C )图1A ．4B ．5C ．6D ．8 【解析】 本题考查平行线分线段成比例定理的运用． ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即13＝2EF ， ∴EF ＝6.故选C.3．[2017·普陀区一模]如图2，在四边形ABCD 中，如果∠D ＝∠BAC ，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是( C )图2A ．∠DAC ＝∠BB ．CA 是∠BCD 的平分线C ．AC 2＝BC ·CD D.AD AB ＝DC AC【解析】在△ADC和△BAC中，∠D＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠B；②CA是∠BCD的平分线；③ADAB＝DCAC.4．[2018·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)，若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的1 2后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为(C) A．(5，1) B．(4，3)C．(3，4) D．(1，5)【解析】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又∵A(6，8)，∴端点C的坐标为(3，4)．5．[2018·贵港]如图3，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝(B)A．16 B．18C．20 D．24【解析】设△AEF的面积为S，则△ABC的面积为(16＋S)，由于在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，∴S16＋S ＝⎝⎛⎭⎪⎫AEAB2＝⎝⎛⎭⎪⎫132＝19，解得S＝2，∴S△ABC＝16＋2＝18，故选B.图3 图46．如图4，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB 于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为(B)A．3 B．3或4 3C ．3或34 D.43【解析】 当△ABC ∽△AQP 时，AQ AB ＝AP AC ，即AQ 6＝24，解得AQ ＝3；当△ABC ∽△APQ 时，AP AB ＝AQ AC ，即26＝AQ 4，解得AQ ＝43.综上所述，AQ ＝3或43.故选B.7. 如图5，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( B ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△ABF . ∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB .因此与△DEF 相似的三角形有△CEB ，△ABF ，共2个．故选B.图5 图68．如图6，已知⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，AP ＝6，BP ＝2，CP ＝4，则PD 的长是( D ) A ．6B ．5C ．4D ．39．[2018·包头]如图7，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F .若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为( D ) A.25 3 B.23 3 C.34 3 D.45 3图7 第9题答图【解析】 如答图，连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∴DE ＝BE ＝12BC ＝2， ∴∠CBD ＝∠EDB ＝30°， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∴AB ∥DE ， ∴△DEF ∽△BAF ，∴DE AB ＝DF BF ， 易求得AB ＝3，∴DE AB ＝DF BF ＝23， ∴DF ＝25BD ＝25×23＝453，故选D.10．[2018·泸州]如图8，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF 的值是( C ) A.43 B.54 C.65 D.76图8 第10题答图【解析】 设正方形的边长为4a ，则AE ＝3a ，ED ＝a ，DF ＝CF ＝2a ，如答图，延长BE ，CD 交于点M ，易得△ABE ∽△DME ，可得MD ＝43a ，∵△ABG ∽△FMG ，AB ＝4a ，MF ＝103a ，∴AG GF ＝AB MF ＝65. 二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图9，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AD ＝3，DF ＝4，BG GE ＝25，那么GD 的长为__1__．图912．如图10，在△ABC 中，P 是AC 上一点，连接BP .要使△ABP ∽△ACB ，则必须有∠ABP ＝__∠C __或∠APB ＝__∠ABC __或__AB AP ＝ACAB __．图10 图1113．如图11，铁道口的栏杆短臂长1 m ，长臂长10 m ，当短臂端点下降0.5 m 时，长臂端点升高__5__m(杆的宽度忽略不计)．【解析】 设长臂端点升高了x m ，由相似三角形对应边成比例，得x 0.5＝101，解得x ＝5.14．[2018·上海]如图12，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__127__．图12 第14题答图【解析】 如答图，作AH ⊥BC 于点H ，交GF 于点I ，设正方形的边长是x . ∵△ABC 的面积是6，∴12×BC ×AH ＝6， 又∵BC ＝4，∴AH ＝3，AI ＝3－x ， ∵正方形DEFG ，∴GF ∥BC ，∴GF BC ＝AI AH ，x 4＝3－x 3，解得x ＝127，∴正方形的边长是127.15．[2018·包头]如图13，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，图13且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连结DF .若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为__52__．【解析】 ∵3AE ＝2EB ，∴AE EB ＝23， ∵EF ∥BC ，易证得△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝425， 又∵S △AEF ＝1，∴S △ABC ＝254， ∵AC 是对角线，∴S △ADC ＝254， 又∵AF FC ＝AE EB ＝23，∴S △ADF ＝25S △ADC ＝25×254＝52.16．[2017·东营]如图14，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连接CD ，BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ；②BD ＝CD ；③CD 2＝CE ·CO ，其中正确结论的序号是__①②③__．图14【解析】 ①∵OC ⊥AB ，∴∠BOC ＝∠AOC ＝90°.∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ＝45°. ∵AC ∥OD ，∴∠BOD ＝∠CAO ＝45°， ∴∠DOC ＝45°，∴∠BOD ＝∠DOC ， ∴OD 平分∠COB .故①正确；②∵∠BOD ＝∠DOC ，∴BD ＝CD .故②正确； ③∵∠AOC ＝90°，∴∠CDA ＝45°＝∠DOC ， ∵∠OCD ＝∠OCD ，∴△DOC ∽△EDC ， ∴DC EC ＝OCDC ，∴CD 2＝CE ·CO .故③正确． 三、解答题(共66分)17．(6分)如图15，AD ，BE 是钝角三角形ABC 的边BC ，AC 上的高，求证：AD BE ＝AC BC .图15证明：∵在△ACD 和△BCE 中， ∠ACD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠BEC ＝90°， ∴△ACD ∽△BCE ，∴AD BE ＝AC BC .18．(8分)[2018·青海]如图16，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 边上的中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点F .(1)求证：AD ＝BF ；(2)若平行四边形ABCD 的面积为32，试求四边形EBCD 的面积． 解：(1)∵证明：点E 是AB 中点， ∴AE ＝BE ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， 又∵点F 在CB ，DE 延长线上， ∴AD ∥BF ，∴∠ADE ＝∠BFE ，在△AED 与△BEF 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠BFE ，∠AED ＝∠BEF ，AE ＝BE ，∴△AED ≌△BEF ，∴AD ＝BF ； (2)∵EB ∥CD ，∴△FEB ∽△FDC ， ∵△AED ≌△BEF ， ∴ED ＝EF ，S △AED ＝ S △BEF ， ∵EF DF ＝12，∴S △BEF S △DCF ＝14， ∴设S △BFE 为x ，则S 四边形EBCD 为3x ， 由4x ＝32，得x ＝8，∴S 四边形EBCD ＝3×8＝24.19．(10分)如图17，在平面直角坐标系网格中，将△ABC 进行位似变换得到△A 1B 1C 1.(1)△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比是__2__； (2)画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2；(3)设点P (a ，b )为△ABC 内一点，则依上述两次变换后，点P 在△A 2B 2C 2内的对应点P 2的坐标是__(－2a ，2b )__．解：(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是A1B1AB＝42＝2；(2)如答图所示，△A2B2C2即为所求；第19题答图(3)点P的对应点P2的坐标为(－2a，2b)．20．(10分)[2017·菏泽改编]如图18，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接P A交⊙O于点C，连接BC.(1)求证：∠BAC＝∠CBP；(2)求证：PB2＝PC·P A；(3)当AC＝6，CP＝3时，求PB的值．图18解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，∵PB与⊙O相切于点B，∴∠PBA＝90°，∴∠PBC＋∠CBA＝90°，∴∠BAC＝∠CBP；(2)证明：∵∠P＝∠P，∠BAC＝∠CBP，∴△APB∽△BPC，∴APPB＝PBPC，∴PB 2＝PC ·P A ； (3)∵AC ＝6，CP ＝3，∴PB 2＝PC ·P A ＝3×9＝27，即PB ＝3 3.21．(10分)[2018·金华、丽水改编]在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12.如图19，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形，直线AB 与直线CE ，DE 的交点分别为F ，G .(1)若点G 为DE 的中点，求FG 的长； (2)若DG ＝GF ，求BC 的长；图19 第21题答图解：(1)在正方形ACDE 中，有DG ＝GE ＝6. 在Rt △AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝122＋62＝6 5. ∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF ， ∴FG AF ＝EG AC ＝12，∴FG ＝13AG ＝25；(2)如答图，连接DF ，在正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF ＝45°， 又∵EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF ， ∴∠EAF ＝∠EDF .∵AE ∥BC ，设∠EAF ＝x ，∴∠B ＝∠EAF ＝x . ∵GF ＝GD ，∴∠BFD ＝∠EDF ＝x .在△DBF 中，∠BFD ＋∠FDB ＋∠B ＝180°， ∴x ＋(x ＋90°)＋x ＝180°，解得x ＝30°， ∴∠B ＝30°.∴BC ＝12 3.22．(10分)[2018·盐城]如图20，在以线段AB 为直径的⊙O 上取一点C ，连接AC ，BC .将△ABC 沿AB 翻折得到△ABD . (1)试说明点D 在⊙O 上；(2)在线段AD 的延长线上取一点E ，使AB 2＝AC ·AE ，求证：BE 为⊙O 的切线；图20(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE ，CB 相交于点F ，若BC ＝2，AC ＝4，求线段EF 的长．解：(1)∵AB 为直径，点C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝90°.将△ABC 沿AB 翻折得到△ABD ，∴∠ADB ＝90°，点D 在⊙O 上；(2)证明：∵AB 2＝AC ·AE ，∴AB AC ＝AE AB ，又∵∠CAB ＝∠BAE ，∴△CAB ∽△BAE ，∴∠ABE ＝∠ACB ＝90°，∴BE 为⊙O 的切线；(3)∵BC ＝2，AC ＝4，∴BD ＝2，AD ＝4，AB ＝25，∵AB 2＝AC ·AE ，∴AE ＝5，DE ＝1，∵在Rt △BDF 中，BD ＝2，DE ＝1，∴BF ＝22＋（1＋EF ）2，∵∠C ＝∠FDB ＝90°，∠F ＝∠F ，∴△FCA ∽△FDB ，∴FD FC ＝DB CA ，即1＋EF 22＋（1＋EF ）2＋2＝24， 整理，得3EF 2－2EF －5＝0，解得EF ＝－1(舍去)，EF ＝53，即线段EF 的长为53.23．(12分)[2018·淮安节选]如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC 是“准互余三角形”，∠C >90°，∠A ＝60°，则∠B ＝__15°__；(2)如图21，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5.若AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边BC 上是否存在点E (异于点D )，使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE 的长；若不存在，请说明理由．图21 第23题答图 解：(1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC 是“准互余三角形”，又∠C ＞90°，则有2∠A ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠A ＝90°，又∵∠A ＝60°，则 2∠A ＋∠B ＝90°不成立，即代入2∠B ＋∠A ＝90°，可得∠B ＝15°.(2)存在，BE ＝95.如答图，∵点E 在BC 边上，∴∠AEB ＞90°，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠BAE ＝90°，∵点E 异于点D ，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°不成立．由答图可知，在Rt △ABC 中，∠BAE ＋∠EAC ＋∠B ＝90°，又由“准互余三角形”定义可知2∠B ＋∠BAE ＝90°，∴∠B ＝∠EAC ，∴△ABC ∽△EAC ，∴AC EC ＝BC AC ，∵AC ＝4，BC ＝5，∴EC ＝165，∴BE ＝BC －EC ＝95.人教版九年级下数学第二十七章 《相似》单元练习题（含答案）一．选择题1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若＝，则下列说法不正确的是（ ）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝2．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AD ＝3ED ，EC 交对角线BD 于点F ，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，有一块三角形余料ABC ，BC ＝120mm ，高线AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，点P ，M 分别在AB ，AC 上，若满足PM ：PQ ＝3：2，则PM 的长为（ ）A ．60mmB ． mmC ．20mmD ． mm4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点（与B 、C 不重合），以D 为顶点作△DEF ，使△DEF ∽△ABC （相似比k ＞1），EF ∥BC ．两三角形重叠部分是四边形AGDH ，当四边形AGDH 的面积最大时，最大值是多少？（ ）A ．12B ．11.52C ．13D ．85．已知线段AB 的长为4，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则PA 的长为（ ）A ．2﹣2B ．6﹣2√5C ．D ．4﹣26．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，正方形OABC 的边长为8，点P 在AB 上，CP 交OB 于点Q ．若S △BPQ ＝，则OQ 长为（ ）A ．6B ．C ．D ．8．在△ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，下列说法错误的是（ ）A ．如果∠BAC ＝90°，AB 2＝BD •BC ，那么AD ⊥BCB ．如果AD ⊥BC ，AD 2＝BD •CD ，那么∠BAC ＝90°C ．如果AD ⊥BC ，AB 2＝BD •BC ，那么∠BAC ＝90°D ．如果∠BAC ＝90°，AD 2＝BD •CD ，那么AD ⊥BC 9．如图，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 两个内角平分线的交点，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F ，已知△ABC 的周长为8，BC ＝x ，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，已知△ABO 与△DCO 位似，且△ABO 与△DCO 的面积之比为1：4，点B 的坐标为（﹣3，2），则点C 的坐标为（ ）A ．（3，﹣2）B ．（6，﹣4）C ．（4，﹣6）D ．（6，4）11．在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm ，该路段实际长度约为（ ）A ．3200mB ．3000mC ．2400mD ．2000m12．如图，△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ，OB ，O C 的中点，若△DEF 的周长是2，则△ABC 的周长是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8二．填空题13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加即可（只需添加一个条件）．14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝．15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为．16．若＝，则＝．17．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF1＝，S1：S2：S3＝．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，E F分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是．19．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．三．解答题20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．21．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE 交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求的值．23．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．24．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形．请在图中找出与△HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由．25．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．参考答案一．选择题1．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，＝＝，＝＝，＝（）2＝，∴＝，故A、B、D选项正确，C选项错误，故选：C．2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AD＝3ED，∴＝，∵AD∥BC，∴△EFD∽△CFB，∴＝＝，故选：A．3．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．4．【解答】解：∵AB2+AC2＝100＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵△DEF∽△ABC，∴∠EDF＝∠BAC＝90°，如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，∵△DEF∽△ABC，∴∠B＝∠E，∵EF∥BC，∴∠E＝∠EMC，∴∠B＝∠EMC，∴AB∥DE，同理：DF∥AC，∴四边形AGDH为平行四边形，∵∠EDF＝90°，∴四边形AGDH为矩形，∵GH⊥AD，∴四边形AGDH为正方形，当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，如图2，点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，如图2，点D在BC上，∵△DEF∽△ABC，∴∠F＝∠C，∵EF∥BC．∴∠F＝∠BDG，∴∠BDG＝∠C，∴DG∥AC，∴△BGD∽△BAC，∴＝，∴＝，∴＝，∴AH＝8﹣GA，S＝AG×AH＝AG×（8﹣AG）＝﹣AG2+8AG，矩形AGDH当AG＝﹣＝3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大＝12．故选：A．5．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴PA＝AB＝×4＝2﹣2．故选：A．6．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE＝CF，∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，设DE＝k，BC＝2k，∴BF＝2k﹣k，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴△DBF∽△ADE，∴＝（）2＝＝﹣1，故选：C．7．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，∴AB∥OC，∴△PBQ∽△COQ，∴＝（）2＝，∴OC＝3PB，∵OC＝8，∴PB＝，∵＝＝，BO＝8，∴OQ＝×8＝6，故选：B．8．【解答】解：A、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；B、∵AD2＝BD•CD，∴＝，又∠ADC＝∠BDA＝90°，∴△ADC∽△BDA，∴∠BAD＝∠C，∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；C、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；D、如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；故选：D．9．【解答】解：∵点O是△ABC的内心，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，∴BE＝OE，CF＝OF，∴△AEF的周长y＝AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AB+AC，∵△ABC的周长为8，BC＝x，∴AB+AC＝8﹣x，∴y＝8﹣x，∵AB+AC＞BC，∴y＞x，∴8﹣x＞x，∴0＜x＜4，即y与x的函数关系式为y＝8﹣x（x＜4），故选：A．10．【解答】解：∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，∴△ABO与△DCO为1：2，∵点B的坐标为（﹣3，2），∴点C的坐标为（6，﹣4），故选：B．11．【解答】解：设它的实际长度为xcm，根据题意得：1：8000＝25：x，解得：x＝200000，∵200000cm＝2000m，∴该路段实际长度约为2000m．故选：D．12．【解答】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，∴DE＝AB，∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，∴△DEF∽△DBA，∴＝，∴△ABC的周长＝2×2＝4．故选：B．二．填空题（共7小题）13．【解答】解：∵∠A是公共角，如果∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ABC；如果＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．14．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD＝4，CD＝2，∴AB＝AC＝6，∠B＝∠C＝∠ADF＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠CDF＝120°，∴∠BAD＝∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴＝，即＝，解得CF＝，∴AF＝AC﹣CF＝6﹣＝，故答案为：．15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∵四边形EFCD是矩形，∴EF＝CD＝2，CF＝DE，∵余下的矩形EFCD∽矩形BCDA，∴，即＝，∴CF＝1，∴EC的长＝＝＝，故答案为：．16．【解答】解：设＝＝k（k≠0），则a＝2k，b＝3k，所以＝＝4．故答案是：4．17．【解答】解：∵AE：ED＝5：4，∴DE：AD＝4：9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝＝，∴＝（）2＝，＝，∴S1：S2：S3＝16：81：36，。
人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 习题练习(附答案)
人教版数学九年级下册第二十七章相似习题练习（附答案）一、选择题1.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值()A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个2.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.其中正确的说法有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个3.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是()A．△AED与△ACBB．△AEB与△ACDC．△BAE与△ACED．△AEC与△DAC4.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()A ． 6米B ． 8米C ． 10米D ． 12米5.如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，则点C 的对应点C ′的坐标为( )A ． (1，32)B ． (2,6)C ． (2,6)或(－2，－6)D ． (1，32)或(－1，−32)6.如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )A ． 540元B ． 1 080元C ． 1 620元D ． 1 800元8.△ABC 的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF 的最短边是9 cm ，则其最长边的长是( ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 15 cm D ． 30 cm9.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中正确的是( )A ．CD EF ＝AD AFB ．AB CD ＝BC ECC．ADBC ＝AFBED．CEBE ＝AFAD10.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A． 4∶9B． 2∶5C． 2∶3D．√2∶√311.若a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是()A． 14 B． 42 C． 7 D．14312.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A． 2或8B． 8 或4.5C． 4.5 或2D． 2,8或4.513.两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为()A． 1∶√2B． 2∶1 C． 1∶4 D． 1∶2二、填空题14.如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM∶MN∶ND等于____________．15.如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是________________．(写出一个即可)16.如图，AD ＝DF ＝FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝__________.17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为______________．18.某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1＝√32a ，D 1D 2＝√34a ，D 2D 3＝√38a ，依此规律，则D 5D 6的长为________．19.如图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10 mm”刻度线，点A 正对“30 mm”刻度线，DE ∥AB .若量得AB 的长为6 mm ，则内径DE 的长为____________ mm.三、解答题20.如图，△ABC 在方格纸中．(1)请建立平面直角坐标系．使A 、C 两点的坐标分别为(2,3)、C (5,2)，求点B 的坐标．(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′.(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .21.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3,2)，则点B 的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP 的周长为____________．23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC 的长．图①图②答案解析1.【答案】B【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或√7.∴x的值可以有2个．故选B.2.【答案】D【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴OCOD ＝OBOA1，由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；∴F1G ＝OCOD＝OB1OA1＝OBOA是定值，∴F1的大小不变，∴F＝F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④.故选D.3.【答案】C【解析】∵斜边中线长为斜边的一半，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，∴∠C＝∠BAE，∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.故选C.4.【答案】B【解析】∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP PD， 即1.4CD ＝2.112，解得CD ＝8米．故选B.5.【答案】D【解析】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，∴点C 的对应点C ′的坐标(1，32)或(－1，−32)．故选D.6.【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵DC ＝8，AD ＝2，BC ＝5，设PD ＝x ，则PC ＝8－x .①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则△PAD ∽△PBC ，则x 8−x ＝25，解得x ＝167；②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则△PAD ∽△BPC ，则x 5＝28−x ，解得PD ＝4±√6，所以这样的点P 存在的个数有3个．故选C.7.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为180÷50＝185元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×185＝1 620元故选C.8.【答案】C【解析】∵△ABC 和△DEF 相似，∴△DEF 的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF 的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x ，则3∶5＝9∶x ，解得x ＝15，∴△DEF 的最长边为15 cm ，故选C.9.【答案】C【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD AF ＝BC BE ，A 错误；AD DF ＝BC EC ，B 错误；AD AF ＝BC BE ，∴AD BC ＝AF BE ，C 正确；CE BE ＝DF AF ，D 错误，故选C.10.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ∶OA ′＝2∶3， ∴DA ∶D ′A ′＝OA ∶OA ′＝2∶3，∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为(23)2＝49， 故选A.11.【答案】D【解析】设a ＝5k ，则b ＝7k ，c ＝8k ，又3a －2b ＋c ＝3，则15k －14k ＋8k ＝3，得k ＝13，即a ＝53，b ＝73，c ＝83，所以2a ＋4b －3c ＝143.故选D.12.【答案】D【解析】设这个数是x ，则3x ＝4×6或4x ＝3×6或6x ＝3×4， 解得x ＝8或x ＝4.5或x ＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.13.【答案】D【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选D.14.【答案】5∶3∶2【解析】如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ，∵D 为BC 的中点，∴PD ∶BF ＝1∶2，∵E ，F 为AB 边三等分点，∴PD ∶AF ＝1∶4，∴DN ∶NA ＝PD ∶AF ＝1∶4，∴ND ＝15AD ，AQ ∶AD ＝QE ∶BD ＝AE ∶AB ＝1∶3， ∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16AD ， ∴AM ＝AQ ＋QM ＝12AD ，MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ，∴AM ∶MN ∶ND ＝5∶3∶2.15.【答案】∠D ＝∠B【解析】这个条件可能是∠D ＝∠B ；理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，即∠DAE ＝∠BAC ，又∵∠D ＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC .16.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD ＝DF ＝FB ，∴AD ∶AF ∶AB ＝1∶2∶3，∴S △ADE ∶S △AFG ∶S △ABC ＝1∶4∶9，∴S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝1∶3∶5.17.【答案】113°或92°【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°. 18.【答案】√364a 【解析】CD 1＝√32a ＝√321a ， D 1D 2＝√34a ＝√322a ， D 2D 3＝√38a =√323a ， 则D 5D 6的长为√326a ＝√364a ， 19.【答案】2【解析】由题意可得DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AD ＝DC AC ， 即DE 6＝1030，解得DE ＝2，20.【答案】解 (1)如图画出原点O ，x 轴、y 轴，建立直角坐标系，可知B 的坐标为(2,1)；(2)如(1)中图，画出图形△A ′B ′C ′，即为所求；(3)S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.【解析】(1)根据A ，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出B 点坐标；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用三角形面积求法得出答案．21.【答案】解在△ABC与△AMN中，ACAB ＝3054＝59，AMAN＝1?0001?800＝59，∴ACAB＝AMAN，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴BCMN ＝ACAM，即45MN＝301?000，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．22.【答案】解(1)如图所示：点B的坐标为(－2，－5)；故答案为(－2，－5)；(2)如图所示：△AB2C2，即为所求；(3)如图所示：P点即为所求，P点坐标为(－2,1)，四边形ABCP的周长为√42+42＋√22+42＋√22+22＋√22+42＝4√2＋2√5＋2√2＋2√5＝6√2＋4√5.故答案为6√2＋4√5.【解析】(1)直接利用已知点位置得出B点坐标即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．23.【答案】(1)证明∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵{BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)；(2)解连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BECQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3√2，∴BC＝6√2【解析】。
人教版九年级下《第二十七章相似》单元测试卷含答案
人教版九年级下《第二十七章相似》单元测试卷含答案一、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分) 1．若y x ＝34，则x ＋y x的值为( )A ．1 B.47 C.54 D.742．已知△ABC∽△A′B′C′且AB A ′B ′＝12，则S △ABC ∶S △A ′B ′C ′为( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶13．如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当她在C 处时，她的影子正好与旗杆的影子重合，并测得AC ＝2米，BC ＝8米，则旗杆的高度是( )A ．6.4米B ．7米C ．8米D ．9米4．如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于点F ，则图中共有相似三角形( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，则AD 为( )A ．2.5B ．1.6C ．1.5D ．16．如图，AD 是△ABC 的角平分线，则AB∶AC 等于( )A ．BD ∶CDB ．AD ∶CDC ．BC ∶AD D ．BC ∶AC7．如图，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE ＝12DB ，作EF⊥DE 并截取EF ＝DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C.设BE ＝x ，BC ＝y ，则y 关于x 的函数解析式为( )A ．－12x x －4B ．－2x x －1C ．－3x x －1D ．－8x x －48．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)9．如果a b ＝c d ＝ef ＝k(b ＋d ＋f≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________.10．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，在△DEF 中，DE ＝4，DF ＝3，要使△ABC 与△DEF 相似，则需要添加一个条件是______________________________．(写出一种情况即可)11．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，OA ＝4，OD ＝6，则△AOB 与△DOC 的周长比是________．12．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2米，BP ＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是________米．(平面镜的厚度忽略不计)13．如图，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上，若BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，那么EH 的长为________．14．如图，一条4m 宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为________m 2.三、解答题(共9个小题，共70分)15．(5分)(2017·长春模拟)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上一点，且∠AED ＝∠B.若AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6，求ED 的长．16．(6分)如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF ＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.17．(7分)如图所示，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE 绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.(1) 求证：△BDG∽△DEG；(2) 若EG·BG＝4，求BE的长．18．(7分)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1) 画出位似中心点O；(2) 求出△ABC与△A′B′C′的位似比；(3) 以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.19．(7分)王亮同学利用课余时间对学校旗杆的高度进行测量，他是这样测量的：把长为3m的标杆垂直放置于旗杆一侧的地面上，测得标杆底端距旗杆底端的距离为15m，然后往后退，直到视线通过标杆顶端正好看不到旗杆顶端时为止，测得此时人与标杆的水平距离为2m，已知王亮的身高为1.6m，请帮他计算旗杆的高度(王亮眼睛距地面的高度视为他的身高)．20．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F 为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1) 求证：∠DFA＝∠ECD；(2) △ADF与△DEC相似吗？为什么？(3) 若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的长．21．(9分)一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1) 求证：△AEF∽△ABC；(2) 求这个正方形零件的边长；(3) 如果把它加工成矩形零件如图②，问这个矩形的最大面积是多少？22．(9分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC ＝PG.(1 )求证：PC 是⊙O 的切线；(2) 当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG 2＝BF·BO.求证：点G 是BC 的中点；(3) 在满足(2)的条件下，若AB ＝10，ED ＝46，求BG 的长．23．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－16x 2＋bx ＋c 过点A(0，4)和C(8，0)，P(t ，0)是x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段AP 的中点，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PB ，过点B 作x 轴的垂线，过点A 作y 轴的垂线，两直线相交于点D. (1) 求b ，c 的值；(2) 当t为何值时，点D落在抛物线上；(3) 是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．答案; 一、1---8 DCCCB AAB 二、 9. 310. ∠A ＝∠D(或BC ∶EF ＝2∶1) 11. 2∶3 12. 8 13. 3214. 80 三、15. 解：∵∠AED＝∠B，∠A ＝∠A，∴△AED ∽△ABC ，∴AE AB ＝DEBC ，∵AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6，∴59＝DE 6，解得DE ＝10316. 证明：(1)∵AB∥CD，∴∠B ＝∠C，又∠C＝∠EAF，∴∠EAF ＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE ＝∠BFA，∴△AFE ∽△BFA ，则AF BF ＝FE FA ，∴AF 2＝FE·FB17. 解：(1)证明：∵BE 平分∠DBC，∴∠CBE ＝∠DBG，∵∠CBE ＝∠CDF ，∴∠DBG ＝∠CDF，∵∠BGD ＝∠DGE，∴△BDG ∽△DEG(2)∵△BDG∽△DEG，DG BG ＝EGDG ，∴DG 2＝BG·EG＝4，∴DG ＝2，∵∠EBC ＋∠BEC＝90°，∠BEC ＝∠DEG，∠EBC ＝∠EDG，∴∠BGD ＝90°，∵∠DBG ＝∠FBG，BG ＝BG ，∴△BDG ≌△BFG ，∴FG ＝DG ＝2，∴DF ＝4，∵BE ＝DF ，∴BE ＝DF ＝4.18. 解：(1) 连接A′A，C ′C ，并分别延长相交于点O ，即为位似中心(2) 位似比为1∶2 (3) 略19. 解：根据题意知，AB ⊥BF ，CD ⊥BF ，EF ⊥BF ，EF ＝1.6 m ，CD ＝3 m ，FD ＝2 m ，BD ＝15 m ，过E 点作EH⊥AB，交AB 于点H ，交CD 于点G ，则EG⊥CD，EH ∥FB ，EF ＝DG ＝BH ，EG ＝FD ，CG ＝CD －EF.因为△ECG∽△EAH，所以EG EH ＝CG AH ，即22＋15＝3－1.6AH ，所以AH ＝11.9 m ，所以AB ＝AH ＋HB ＝AH ＋EF ＝11.9＋1.6＝13.5(m )，即旗杆的高度为13.5 m20. 解：(1)证明：∵∠AFE＝∠B，∠AFE ＋∠DFA＝180°，∠B ＋∠ECD＝180°，∴∠DFA ＝∠ECD(2)△ADF∽△DEC.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠DEC，∴△ADF ∽△DEC(3)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，CD ＝AB ＝4，又∵AE⊥BC，∴AE ⊥AD ，在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝（33）2＋32＝6，∵△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AFCD，∴336＝AF4，AF ＝2 3 21. 解：(1)∵四边形EFHG 为正方形，∴BC ∥EF ，∴△AEF ∽△ABC(2)∵四边形EFHG 为正方形，∴EF ∥BC ，EG ⊥BC ，又∵AD⊥BC，∴EG ∥AD ，设EG ＝EF ＝x ，则KD ＝x ，∵BC ＝120 mm ，AD ＝80 mm ，∴AK ＝80－x ，∵△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AK AD ，即x 120＝80－x 80，解得x ＝48，∴这个正方形零件的边长是48 mm (3)设EG ＝KD ＝m ，则AK ＝80－m ，∵△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AK AD ，即EF 120＝80－m 80，∴EF ＝120－32m ，∴S 矩形EFHG ＝EG·EF＝m·(120－32m)＝－32m 2＋120m ＝－32(m －40)2＋2400，故当m ＝40时，矩形EFHG 的面积最大，最大面积为2400 mm 222. 解：(1)连接OC ，∵ED ⊥AB ，∴∠BFG ＝90°，∴∠B ＋∠BGF＝90°，又∵PC ＝PG ，∴∠PCG ＝∠PGC，而∠PGC＝∠BGF，∴∠B ＋∠PCG＝90°，又∵OB＝OC ，∴∠B ＝∠BCO.∴∠BCO＋∠PCG＝90°，则∠PCO＝90°，即OC⊥PC，而OC 是半径，∴PC 是⊙O 的切线(2)连接OG ，∵BG 2＝BF·BO，∴BG BF ＝BO BG ，而∠B＝∠B，∴△BFG ∽△BGO ，∴∠BGO ＝∠BFG＝90°，∴OG ⊥BC ，∴点G 是BC 的中点(3)连接OE ，∵AB 是⊙O 的直径，ED ⊥AB ，∴EF ＝12ED ，∵AB ＝10，ED ＝46，∴EF ＝26，OE ＝OB ＝12AB ＝5.在Rt △OEF 中，OF ＝OE 2－EF 2＝1，∴BF ＝OB －OF ＝5－1＝4，∴BG ＝BF ·BO ＝2 523. 解：(1)由抛物线y ＝－16x 2＋bx ＋c 过点A(0，4)和C(8，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，－16×64＋8b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4b ＝56(2)∵∠AOP＝∠PEB＝90°，∠OAP ＝90°－∠APO＝∠EPB，∴△AOP ∽△PEB ，且相似比为AO PE ＝AP PB＝2，∵AO ＝4，PE ＝2，OE ＝OP ＋PE ＝t ＋2，又∵DE＝OA ＝4，∴点D 的坐标为(t ＋2，4)，∴点D 落在抛物线上时，有－16(t ＋2)2＋56(t ＋2)＋4＝4，解得t ＝3或t ＝－2，∵t ＞0，∴t ＝3，故当t 为3时，点D 落在抛物线上(3)存在t ，能够使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似．理由：①当0＜t ＜8时，若△POA∽△ADB，则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝44－12t ，整理，得t 2＋16＝0，∴t 无解，若△POA∽△BDA ，同理，解得t ＝－2＋25(负值舍去)；②当t ＞8时，若△POA∽△ADB，则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝412t －4，解得t ＝8＋45(负值舍去)，若△POA∽△BDA，同理，解得t 无解．综上所述，当t ＝－2＋25或t ＝8＋45时，以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似。
人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元练习题（含答案）
第二十七章《相似》单元练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A． 1∶3B． 1∶4C． 1∶8D． 1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是() A． 5 cmB． 10 cmC． 15 cmD． 30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A． 16 cmB． 12 cmC． 24 cmD． 36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A． 2∶5B． 1∶2 500C． 250 000∶1D． 1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．。
人教版九年级下册 第二十七章 相似单元练习题(含答案)
人教版九年级下册第二十七章相似单元练习题（含答案）一、选择题1.在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是()A．＝B．＝C．∠A＝∠ED．∠B＝∠D2.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为()A．B．C．D．3.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是()A．6B．8C．9D．124.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是()A．相似B．平移C．轴对称D．旋转5.下列各组图形相似的是()A．B．C．D．6.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)＝，(2)＝；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有()A．1组B．2组C．3组D．4组7.如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为()A．1B．C．D．28.下列说法中正确的是()①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A．①②B．②③C．③④D．②④9.已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为()A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶110.若△ABC～△A′B′C′，面积比为1∶4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为()A．16∶1B．1∶16C．2∶1D．1∶2二、填空题11.如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC∶BC＝2∶3，D为AB的中点，且CD＝2 cm，则AB＝________ cm.12.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为(2,4)，点E的坐标为(－1,2)，则点P的坐标为________．13.在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__________．14.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形．15.在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝5 cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝__________ cm.16.如果两个相似三角形周长的比是2∶3，那么它们的相似比是____________．17.如图，AD为△ABC的中线，AE＝AD，BE交AC于点F，DH∥BF，则＝__________.18.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为______________尺．19.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是______________．20.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.三、解答题21.如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB＝AD，连接BC、D C.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)延长AB、DC交于点E，若EC＝5 cm，BC＝3 cm，求四边形ABCD的面积．22.问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息如图1：甲组：测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm；如图2：乙组：测得学校旗杆的影长为900 cm；如图3：丙组：测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为350 cm，影长为300 cm.解决问题：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度？(2)如图3，设太阳光线MH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径？23.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE·CD＝AD·CE.(1)求证：DE∥AB；(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，连接AF.求证：DF＝AF.24.如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE＝BD，BE、AD相交于点F.求证：(1)△ABD≌△BCE；(2)△AEF∽△ABE.25.如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD∶DB＝1∶3，DE＝2，求BC的长．26.将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可得到的矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN.(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比变了吗？(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？27.如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°.(1)若将△DEP的顶点P放在BC上(如图1)，PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证：△PBG∽△FCP；(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图2)，PD、PE与BC相交于点F、G.试问△PBG与△FCP 还相似吗？为什么？28.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.答案解析1.【答案】B【解析】在△ABC和△DEF中，∵＝＝，∴△ABC∽△DEF，故选B.2.【答案】B【解析】作DK∥BC，交AE于K.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC，∠ABC＝∠C＝60°，∵∠AMD＝60°＝∠ABM＋∠BAM，∵∠ABM＋∠CBD＝60°，∴∠BAE＝∠CBD，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD，∴BE＝CD，CE＝AD，∵BM＝DM，∠DMK＝∠BME，∠KDM＝∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE＝DK＝CD，设BE＝CD＝DK＝a，AD＝EC＝b，∵DK∥EC，∴＝，∴＝，∴a2＋ab－b2＝0，∴＋－1＝0，∴＝或(舍弃)，∴＝＝，故选B.3.【答案】D【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴BC＝8，∴AC＝AB＋BC＝12，故选D.4.【答案】A【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A.5.【答案】B【解析】A.形状不同，大小不同，不符合相似定义，故错误；B．形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；C．形状不同，不符合相似定义，故错误；D．形状不同，不符合相似定义，故错误．故选B.6.【答案】C【解析】共有3组，其组合分别是(1)和(2)三边对应成比例的两个三角形相似；(2)和(4)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)和(4)两角对应相等的两个三角形相似．故选C.7.【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，∵∠E＝90°，∴∠EFG＋∠EGF＝90°，∴∠AFB＋∠DGC＝90°，∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DGC，∴△AFB∽△DCG，∴＝，∵AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，∴AF＝3，DG＝1，∴AB2＝AF·DG＝3，∴AB＝.故选C.8.【答案】D【解析】①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．故选D.9.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.故选A.10.【答案】D【解析】∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1∶4，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.故选D.11.【答案】20【解析】∵AC∶BC＝2∶3，∴设AC＝2x，则BC＝3x，AB＝5x，∵D为AB的中点，∴AD＝2.5x，∴CD＝0.5x，∵CD＝2 cm，∴x＝4，∴AB＝5x＝5×4＝20 cm；12.【答案】(－2,0)【解析】∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(2,4)，∴OC＝AB＝4，OA＝2，∴点C的坐标为(0,4)，∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为(－1,2)，∴位似比为1∶2，∴OP∶AP＝OD∶AB＝1∶2，设OP＝x，则＝，解得：x＝2，∴OP＝2，即点P的坐标为(－2,0)．13.【答案】1【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，∴MN＝1，故答案为1.14.【答案】相交于一点【解析】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．15.【答案】2或【解析】∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9，∴△ADE与△ABC相似比为∶1∶3，①若∠AED对应∠B时，则＝，∵AC＝5 cm，∴AD＝cm；②当∠ADE对应∠B时，则＝，∵AB＝6 cm，∴AD＝2 cm；16.【答案】2∶3【解析】∵两个相似三角形周长的比是2∶3，∴两个相似三角形相似比是2∶3.17.【答案】【解析】∵DH∥BF，AD为△ABC的中线，∴CH＝FH，∵DH∥BF，AE＝AD，∴AF＝FH.∴＝，18.【答案】45【解析】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴＝，解得x＝45.19.【答案】(4,2)或(－4，－2)【解析】位似图形如图所示，B1(4,2)，B2(－4，－2)，故答案为(4,2)或(－4,2)．20.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.21.【答案】(1)证明∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝∠D＝90°，在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC；(2)解由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADC，∴CD＝BC＝3，AD＝AB，∴DE＝5＋3＝8，∵∠EAD＝∠ECB，∠D＝∠EBC＝90°，∴△EAD∽△ECB，∴＝，∵BE＝＝4，∴＝，∴AD＝6，∴四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ACD＝2××3×6＝18 cm2【解析】22.【答案】解(1)∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得DE＝1 200 cm；(2)连接OM，设OM＝r，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得NG＝400 cm，在Rt△NGH中，NH＝＝＝500 cm，设⊙O的半径为r，∵MH与⊙O相切于点M，∴OM⊥NH，∴∠NMO＝∠NGH＝90°，又∵∠ONM＝∠GNH，∴△NMO∽△NGH，∴＝，即＝，又∵NO＝NK＋KO＝(NG－KG)＋KO＝400－350＋r＝50＋r，∴500r＝300(50＋r)，解得r＝75 cm.故景灯灯罩的半径是75 cm.【解析】(1)根据同一时刻物高与影长成正比即可求出旗杆的高度；(2)先根据同一时刻物高与影长成正比求出NG的长，再连接OM，由切线的性质可知OM⊥NH，进而可得出△NMO∽△NGH，再根据其对应边成比例列出比例式，然后用半径表示出ON，进行计算即可求出OM的长．23.【答案】证明(1)∵AE·CD＝AD·CE，∴＝，∵∠DAB＝∠B，∴AD＝BD，∴＝，∴DE∥AB；(2)∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2＝DF·AB，∵AD＝BD，∴AD2＝DF·AB，∴＝＝1，∵DE∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴＝，∴DF＝AF.【解析】24.【答案】证明(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE(SAS)；(2)∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠EAF＝∠ABE，∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△ABE.【解析】(1)由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，继而根据SAS即可证得△ABD≌△BCE；(2)由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD＝∠CBE，进一步得到∠EAF＝∠ABE，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△AEF∽△ABE.25.【答案】解∵AD∶DB＝1∶3，∴AD∶AB＝1∶4，∵△ABC∽△ADE，∴AD∶AB＝DE∶BC，∵DE＝2，∴BC＝8.【解析】先根据AD∶DB＝1∶3，变形得到AD∶AB的值，再根据相似三角形对应边成比例求解即可．26.【答案】解(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比不变；(2)在这些矩形中，有成比例的线段．(3)这些大小不同的矩形相似．【解析】(1)所有矩形的长、宽之比为；(2)第一个矩形的宽为对折后矩形的长，则得到成比例的线段；(3)根据相似多边形的定义回答．27.【答案】(1)证明如图1，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∴∠BPG＋∠CPF＝135°，在△BPG中，∵∠B＝45°，∴∠BPG＋∠BGP＝135°，∴∠BGP＝∠CPF，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP；(2)解△PBG与△FCP相似．理由如下：如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∵∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，∠CPF＝∠FPG＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∴∠AGP＝∠CPF，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP.【解析】(1)如图1，先根据等腰直角三角形的性质，得∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，再利用平角定义得到∠BPG＋∠CPF＝135°，利用三角形内角和定理得到∠BPG＋∠BGP＝135°，根据等量代换得∠BGP＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；(2)如图2，由于∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，利用三角形外角性质，得∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，而∠CPF＝45°＋∠CAG，所以∠AGP＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是可判断△PBG∽△FCP.28.【答案】证明如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1＋∠2＝180°－∠B＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠2＋∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE.【解析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B＝∠C＝45°，再利用三角形内角和得到∠1＋∠2＝135°，利用平角定义得到∠2＋∠3＝135°，则∠1＝∠3，于是可根据有两角对应相等的两个三角形相似得到结论．人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试一、选择题1、已知=，则的值是( )A． B． C． D．2、如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于（）A． B． C．5 D．63、已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（）A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：54、如图所示的三个矩形中，是相似的是（）A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．甲乙丙都相似5、下列各组线段中，成比例线段的组是( )A．3cm，4cm，5cm，8cm B．1cm，3cm，4cm，8cmC．2.1cm，3.2cm，5.4cm，6.5cm D．0.15cm，0.18cm，4cm，4.8cm．6、如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为( )A. B. C．4 D．67、．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则的值为（）A． B． C． D．8、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）； B．（3，1）； C．（2，2）； D．（4，2）；9、为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组10、如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（）A．8 B．10 C．11 D．1211、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）.A． B． C． D．12、如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（）A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m13、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是( )A.(-2，3)B.(2，-3)C.(3，-2)或(-2，3)D.(-2，3)或(2，-3)14、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是 ( )。
最新人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试试题(含解析)
人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A．2：3 B．4：9 C D．16：812、如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF 的长是（）A．92B．4 C．6 D．23、一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cmA．B．26 C．D．134、某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB ，AC ，ACB ∠的平分线交边AB 于点D ，则点D 就是线段AB 的一个黄金分割点，即0.618AD AB≈，已知10cm AC =，那么该正五边形的周长为（ ）A ．19．1cmB ．25cmC ．30．9cmD ．40cm5、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝4，CD ＝12，那么EF 的长是（ ）A ．2B ．2.5C ．2.8D ．36、在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个点，并且DE ∥BC ，AD ：BD ＝3：2，则ADE 与四边形BCED 的面积之比为（ ）A ．3：5B ．4：25C ．9：16D ．9：257、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ．BC ＝8，则AC ＝（ ）A ． 4B ． 4C ．16D ．128、如图, 点 E 是线段 BC 的中点, B C AED ∠∠∠==, 下列结论中, 说法错误的是（ ）A ．ABE △ 与 ECD 相似B ．ABE △ 与 AED 相似C ．AB AE AE AD = D ．BAE ADE ∠=∠9、如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ，(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（ ）A ．(3,3)B ．(4,3)C ．(3,1)D ．(4,1) 10、如图，H 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且12AH DH =，BH 与AC 相交于点K ，那么AK ：KC 等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知O是坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得△AOB和△OAD相似（不包括全等），则点D的坐标为__________．2、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点；下列结论：①∠AMD=45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3;④S△ACD＝2S△DNE．其中正确的结论有 _____．（填写序号即可）3、如图，在ABC中，D为AB边上的一点，要使BAC EAD△∽△成立，还需要添加一个条件，你添加的条件是__________4、如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 为AB 上一点，4BD AD =，连接CD ，45BCD ︒∠=，132AC =，则BC 的长为________．5、若3x ＝7y ，则x y＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小豪为了测量某塔高度，把镜子放在离塔（AB ）50m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到塔尖A ，再测得DE ＝2.4m ，小豪目高CD ＝1.68m ，求塔的高度AB ．2、阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P 是线段AB 上一点（AP ＞BP ），若满足BP AP AP AB=，则称点P 是AB 的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．（1）理解：如图（1），请将内角分别36°，36°，108°的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数；（2）运用：如图（2），已知等腰三角形ABC 为“黄金三角形”，AB=AC ，∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线．求证：点D 是AC 的黄金分割点．3、如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点C 作射线CP AB ∥，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与,B C 重合）且45DAE ∠=︒，AC 与DE 交于点O ．（1）求证：ADC AEB △△；（2）求证：ADE ACB ；（3）如果CD CE =，求证：2CD CO CA =．4、如图，在ABCD 中，BE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，且:1:2AE EB =．（1）求证：AEF CDF∽△△；（2）求AEF与AFD的面积比．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC BC＝DF＝CE的长．---------参考答案-----------一、单选题1、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴这两个相似多边形的相似比是2：3，∴它们的面积比是4：9，故选B．【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．2、A【解析】【分析】由直线////a b c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF=，又由4AC=，6CE=，3BD=，即可求得DF的长即可．【详解】解：////a b c，∴AC BDCE DF=，4AC=，6CE=，3BD=，∴436DF=， 解得：92DF =，故选择A ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．3、D【解析】【分析】根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长:1=⎝⎭，由此求解即可． 【详解】解：∵一种数学课本的宽与长之比为黄金比，∴宽：长:1=⎝⎭， ∵长是26cm ，∴宽2613==，故选D ．【点睛】本题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．4、C【解析】【分析】根据正五边形各边相等，各内角相等，得到ADC AEC ≅△△ ，得到AE AD = ，再根据0.618AD AB≈求出AD 即可求解 ．【详解】解：∵正五边形每个内角＝540=1085︒︒ ，每条边相等，AB AC = ， ∴108AEC ECB ∠=∠=︒ ，∵AE EC = ， ∴180108362EAC ECA ︒-︒∠=∠==︒ ， ∴1083672ACB ECB ECA ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ，∵DC 为∠ACB 的平分线，∴1362ACD ACB ∠=∠=︒ ， ∵AB AC = ，∴72ABC ACB ∠=∠=︒ ， ∴36BAC ∠=︒ ， ∵AC AC = ，∴()ADC AEC ASA ≅ ， ∴AE AD = ， ∵0.618ADAB≈，10cm AB AC ==， ∴100.618 6.18cm AE AD ==⨯= ， ∴该五边形周长=6.185=30.9cm ⨯ ， 故选：C ． 【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形全等的判定与性质，黄金比例，通过全等求出正五边形边长是解题关键． 5、D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定得出△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ，根据相似得出比例式，求出1EF EFAB DC+=，代入求出即可． 【详解】解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥EF ∥CD ，∴△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ， ∴EF DF AB BD =，EF BFDC BD =， ∴1EF EFAB DC+=， ∵AB =4，CD =12， ∴EF =3， 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能根据相似三角形的性质得出比例式是解此题的关键． 6、C 【解析】 【分析】根据题意先判断△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD ：BD ＝3：2， ∴:3:5AD AB =， ∴22:3:59:25ADE ABCSS==，∴ADE 与四边形BCED 的面积之比为9：16.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方．7、A【解析】【分析】根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出AC的长．【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=180362︒-︒=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°，∴∠BDC=∠C=72°，∴AD=BD=BC=8．∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共角，∴△ABC∽△BDC，∴BC ACCD BC=，即888ACAC=-，整理得：AC2-8AC-64=0，解方程得：AC AC舍去)，故选：A．本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出AC 的长． 8、D 【解析】 【分析】根据外角的性质可得BAE DEC ∠=∠，结合已知条件即可证明ABE ECD ∽△△，从而判断A ，进而可得AB AEEC ED=，根据E 是中点，代换BE CE =，进而根据两边成比例夹角相等可证ABE △∽AED ，进而判断B ，C ，对于D 选项，利用反证法证明即可． 【详解】解：AEC BAE B AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠，AED B ∠=∠BAE DEC ∴∠=∠又B C ∠=∠ABE ECD ∴∽故A 选项正确ABE ECD ∽△△AB AEEC ED∴= E 为BE 的中点∴BE CE =AB AEBE ED∴= 又B AED ∠=∠∴ABE △∽AED故B 、C 选项正确ABE △∽AEDDAE BAE ∴∠=∠若BAE ADE ∠=∠ 则DAE ADE ∠=∠AE DE ∴=根据现有条件无法判断AE DE =，故BAE ADE ∠∠≠ 故D 选项不正确 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9、A 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C 点坐标． 【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半， ∴端点C 的坐标为：（3，3）． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．10、C【解析】【分析】根据AH=12DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．【详解】解：∵AH=12DH，∴AH：AD=13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴AH：BC=1 3∴△AHK∽△CBK，∴13 AK AHKC BC==故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．二、填空题1、（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【解析】【分析】点D 在y 轴上，根据△AOB ∽△DOA ，可得BO OA AO OD=，即211OD =；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，根据△AOB ∽△D 1AO ，1BO OA OA D A =，即1211D A =；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，ABOD 2A ∽△AOB ，2BO ABAD OA =，即22AD △D 2EA ∽△DOA ，22AD D E AE AD AO OD ==2112D E AE ==，求出AE =45，D 2E =25，当点D 3在0D 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3，根据△OD 3A ∽△BOA ，3BO ABOD AO =，即32OD，3OD =△D 3FO ∽△D 1AO ，3311OD D F OF OD OA AD ==3112D F OF ==，求出OE =45，D 3F =25即可． 【详解】解：点D 在y 轴上，△AOB ∽△DOA ， ∴BO OA AO OD=，即211OD =，解得OD =12， 点D （0，-12）；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，△AOB ∽△D 1AO ，∴1BO OA OA D A =，即1211D A =， 解得D 1A =12， 点D 1（1，-12）；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，AB= ∵△OD 2A ∽△AOB ，∴2BO AB AD OA =，即22AD =∴2AD =在Rt △OAD 中，AD= ∵D 2E ⊥x 轴于E ，，OD ⊥x 轴， ∴D 2E∥OD ，∴∠AD 2E =∠ADO ，∠D 2EA =∠DOA =90°， ∴△D 2EA ∽△DOA ，∴22AD D EAE AD AO OD ==2112D E AE ==， ∴AE =45，D 2E =25，∴OE =OA -AE =1-45=15，∴D 2（15，25-）当点D 3在OD 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3， ∵△OD 3A ∽△BOA ，∴3BO AB OD AO =，即32OD ，∴3OD =在Rt △OAD 1中，0D 1=， ∵D 3F ⊥x 轴于F ，OD ⊥x 轴， ∴D 3F∥OD ，∴∠OD 3F =∠QD 1A ，∠D 3FO =∠D 1AO =90°， ∴△D 3FO ∽△D 1AO ，∴3311OD D F OF OD OA AD ==3112D FOF ==， ∴OE =45，D 3F =25，∴D 3（45，25-）；△AOB 和△OAD 相似（不包括全等），则点D 的坐标为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）． 故答案为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握三角形相似判定与性质是解题关键．2、①②③【解析】【分析】①利用ASA证明△BDN≌△CDM，再证明△DMN是等腰直角三角形，即可判断结论①正确；②过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE＝90°＝∠CME，可利用AAS证明△DEF≌△CEM，即可判断结论②正确；③先证明△BDE∽△CME，可得出CMEM＝BDDE＝2，进而可得CM＝2EM，NE＝3EM，即可判断结论③正确；④先证明△BED≌△CAD（ASA），可得S△BED＝S△CAD，再证明BN＜NE，可得S△BDN＜S△DEN，进而得出S△BED＜2S△DNE，即可判断结论④不正确．【详解】解：①∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴BD=CD，∵BM⊥AC，∴∠AMB=∠ADC=90°，∴∠A+∠DBN=90°，∠A+∠DCM=90°，∴∠DBN=∠DCM，∵DN⊥MD，∴∠CDM+∠CDN=90°，∵∠CDN+∠BDN=90°，∴∠CDM=∠BDN，∴△BDN≌△CDM（ASA），∴DN =DM ，∵∠MDN =90°，∴△DMN 是等腰直角三角形，∴∠DMN =45°，∴∠AMD =90°-45°=45°，故①正确；②如图1，由（1）知，DN =DM ，过点D 作DF ⊥MN 于点F ，则∠DFE =90°=∠CME ，∵DN ⊥MD ，∴DF =FN ，∵点E 是CD 的中点，∴DE =CE ，在△DEF 和△CEM 中，DEF CEM DFE CME DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ），∴ME =EF ，CM =DF ，∴FN =CM ，∵NE-EF=FN，∴NE-EM=MC，故②正确；③由①知，∠DBN=∠DCM，又∵∠BED=∠CEM，∴△BDE∽△CME，∴CMEM＝BDDE＝2，∴CM=2EM，NE=3EM，∴EM：MC：NE=1：2：3，故③正确；④如图2，∵CD⊥AB，∴∠BDE=∠CDA=90°，由①知：∠DBN=∠DCM，BD=CD，∴△BED≌△CAD（ASA），∴S△BED=S△CAD，由①知，△BDN≌△CDM，∴BN=CM，∴BN=FN，∴BN＜NE，∴S△BDN＜S△DEN，∴S△BED＜2S△DNE．∴S△ACD＜2S△DNE．故④不正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．3、AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【解析】【分析】根据图形可以看出两个三角形有一个公共角A∠，相似证明中，有两个角对应相等即可证明两三角形相似，即添加对应角相等即可．【详解】解：由图可知，在BAC EAD∠=∠△与△中，BAC EAD∴添加的条件为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB故答案为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的条件是解题的关键．4、【分析】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC，得到BH=CH，△ABH∽△DBE，设BC=10a，求出BE=4a、DE=6a，根据Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，求出a，故可求解．【详解】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC∵AB AC=∴BH=CH，设BC=10a∴BH=CH=5a∵132AC==AB，4BD AD=∴BD=426 55 AB=∵AH⊥BC，DE⊥BC ∴DE∥AH∴△ABH∽△DBE∴AB HBDB EB=∵4BD AD=∴5=4 AB HB DB EB=∴BE=4a∴CE=10a-4a=6a∵45BCD︒∠=，DE⊥BC∴∠CDE=180°-45°-90°=45°∴△ADE是等腰直角三角形∴DE=CE=6a在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2即（265）2=（6a）2+（4a）2解得a∴BC=10a=故答案为：【点睛】此题主要考查三角形内线段求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理的运用．5、7 3【解析】【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答．【详解】解：若3x＝7y，则73 xy故答案为：7 3【点睛】此题主要考查比例的基本性质，掌握比例的性质是解题的关键．三、解答题1、35m【解析】【分析】根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BB=50m BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，从而得到△ABE∽△CDE，再由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴BBBB=BBBB，∴BB1.68=502.4，解得：BB=35m，即塔的高度为35m．【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，明确题意，准确得到相似三角形是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据“黄金三角形”的定义进行分割即可；（2）证明△CBD∽△CAB，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．【详解】解：（1）如图，（2）∴∠ABC=∠C=72°又∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°∴∠BDC=180°－∠C－∠CBD＝72°∴AD＝BD，BC＝BD即AD＝BC＝BD·又∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A∴△CBD∽△CAB∴BBBB=BBBB∴BBBB=BBBB·即D点是AC的黄金分割点【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB 和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．【详解】解：（1）证明：∵ABC是等腰直角三角形，∴∠BBB=∠B=45°，∵∠BBB=45°，BB∥BB，∴∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB=∠B=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（2）证明：∵ΔBBB∼ΔBBB∴BBBB=BBBB，即BBBB=BBBB，∵∠BBB=∠BBB=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（3）∵∠BBB=45°,∠BBB=90°，∴∠BBB+∠BBB=180°−90°−45°=45°，∵CD CE=，∴∠BBB=∠BBB=22.5°，∵ΔBBB∼ΔBBB，∴∠BBB=∠BBB=90°，∴∠BBB=180°−∠BBB−∠BBB−∠BBB=180°−90°−22.5°−45°=22.5°∴∠BBB=∠BBB，又∵∠BBB=∠BBB，∴ΔBBB∼ΔBBB，∴BBBB=BBBB，∴2CD CO CA=【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似．4、（1）见解析；（2）1:3【解析】【分析】（1）由ABCD得出BB∥BB，由平行线的性质得∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB，即可证明△BBB∼△BBB；（2）由:1:2AE EB=得出BB:BB=1:3，由相似三角形的性质得BBBB =BBBB=13由BE AB⊥得∠BBB=90°，由三角形的面积公式得B△BBB=12×BB×BB，B△BBB=12×BB×BB，即可求出B△BBB:B△BBB．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BB ∥BB ，∴∠BBB =∠BBB ，∠BBB =∠BBB ，∴△BBB ∼△BBB ；（2）∵BB :BB =1:2，∴BB :BB =BB :BB =1:3，∵△BBB ∼△BBB ，∴BB BB =BB BB =13，∵BB ⊥BB ，∴∠BBB =90°，∵B △BBB =12×BB ×BB ，B △BBB =12×BB ×BB ，∴B △BBB :B △BBB =BB :BB =1:3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键．5、（1）1；n m ；（2）①n m ；②n m ；（3）CE =CE =【解析】【分析】（1）先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（2）方法和()1一样，先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（3）由()2的结论得出ADE ∽CDF ，判断出2CF AE =，求出DE ，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：()1当m n =时，即：BC AC =，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，1AD AC DC BC ∴==，1DE DF∴= ()290ACB ∠=①，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m ∴==，DE n DF m∴= ②成立.如图3，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，又CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠+∠=∠+∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m∴==， DE n DF m∴=． ()3由()2有，ADE ∽CDF ， 12DE AC DF BC ==， 12AD AE DE CD CF DF ∴===， 2CF AE ∴=，如图4图5图6，连接EF ．在Rt DEF △中，DE =DF =EF ∴= ①如图4，当E 在线段AC 上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=CE ∴=CE =舍) ②如图5，当E 在AC 延长线上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==+=，EF = 根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴CE =-舍)，③如图6，当E 在CA 延长线上时，在Rt CEF 中，()(222CF AE CE AC CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，(22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴=CE =，综上：CE =CE =【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE 是本题的难点．。
人教版九年级数学下册第27章相似单元达标训练试题(含答案)
人教版九年级数学下册第27章相似单元达标训练一．选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( )图K－6－3图K－6－48．如图K－10－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )图K－10－6A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)9．如图K－14－4所示，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( )图K－14－4A．2∶3 B．3∶2C．4∶5 D．4∶910．观察图K－6－1中各组图形，其中相似的图形有( )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－412．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－513．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－816.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－1119．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－1120．如图K－12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A，B两点间的距离．图K－12－821. 如图K－7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB＝20米，AD＝30米，试问当小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？(A′B′与AB是对应边)图K－7－422．如图K－12－9 所示，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K－12－9参考答案一、选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( C )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( B )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( A )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( B ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( A )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( D )图K－6－3图K －6－48．如图K －10－6，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是( A )图K －10－6A ．(2，7)B ．(3，7)C ．(3，8)D ．(4，8)9．如图K －14－4所示，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A ′B ′C ′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB ′∶OB 为( A )图K －14－4A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶5D ．4∶910．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有( B )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－4[答案] (1，2)12．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－5[答案] 2913．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－2[答案].5＋1214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．[答案] (4，6)或(－4，－6)15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－8[答案] 616.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)[答案] 是 不是 三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形． (2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－11[解析] (1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF ∽△CEB ；(2)由△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF 和△BCE 的面积，从而▱ABCD 的面积可求．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB 綊CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF.∵DE ＝12CD ，∴EC ＝3DE ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE EC )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8,∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16，∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.19．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－11解：∵矩形ABCD 的周长为24， ∴AB ＋AD ＝12.设AB ＝x ，则AD ＝12－x ，AB′＝x ＋4，AD′＝14－x. ∵矩形ABCD 与矩形AB′C′D′是位似图形， ∴AB AB′＝AD AD′， 即x x ＋4＝12－x 14－x， 解得x ＝8，∴AB ＝8，AD ＝12－8＝4.20．如图K －12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA ，OB 表示铁夹的两个面，C 是轴，CD ⊥OA 于点D ，已知DA ＝15 mm ，DO ＝24 mm ，DC ＝10 mm ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A ，B 两点间的距离．图K －12－8解：如图，连接AB ，同时连接OC 并延长交AB 于点E ，∵铁夹的侧面是轴对称图形，故OE 是对称轴，∴OE ⊥AB ，AE ＝BE. ∵∠COD ＝∠AOE ，∠CDO ＝∠AEO ＝90°，∴Rt △OCD ∽Rt △OAE ，∴OC OA ＝CDAE ，而OC ＝OD 2＋DC 2＝242＋102＝26，∴2624＋15＝10AE ，∴AE ＝39×1026＝15，∴AB ＝2AE ＝30(mm)．答：A ，B 两点间的距离为30 mm.21. 如图K －7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB ＝20米，AD ＝30米，试问当小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？(A ′B ′与AB 是对应边) 图K －7－4[解析] 若矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似，由相似多边形的性质可知，这两个矩形的对应边成比例，即可求出相似比，再由相似比求出x 与y 的比值．解：由题意可知，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似(A′B′与AB 是对应边)，则应有AB A′B′＝BC B′C′，即2020＋2y ＝3030＋2x ，从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，解得x y ＝32.22．如图K －12－9 所示，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10米，CD 与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K －12－9解：如图所示，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，延长AD 交BC 的延长线于点E.∵∠DCF ＝30°，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD 2－DF 2＝2 3 米． 根据已知条件，1米高的标杆的影长为2米，可求得EF ＝2DF ＝4米，∴BE ＝(14＋2 3)米．∵DF ⊥BE ，AB ⊥BE ，∴△DFE ∽△ABE ，∴DF AB ＝EF BE，∴2AB ＝4BE， ∴AB ＝12BE ＝7＋3≈8.7(米)． 即电线杆的高度约为8.7米．1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。
人教版九年级数学下第二十七章 相似单元练习题(含答案)含答案
人教版九年级数学下第二十七章相似单元练习题（含答案）含答案一、选择题1.如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为()A．12.5B．12C．8D．42.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A．2或8B．8 或4.5C．4.5 或2D．2,8或4.53.如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB 内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为()A．(－x，－y)B．(－2x，－2y)C．(－2x,2y)D．(2x，－2y)4.在下列图形中，不是位似图形的是()A．B．C．D．5.如果两个相似三角形的周长比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶166.已知图(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是()A．只有(1)相似B．只有(2)相似C．都相似D．都不相似7.如图，在直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(0,2)，连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为()A．(1，)B．(，)C．(，2)D．(，2)8.已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为()A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶19.如图，直角坐标系中，线段AB两端点坐标分别为A(4,2)、B(8,0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(－4,0)，则A1的坐标为()A．(2,1)B．(－2，－1)C．(－1,2)D．(－4，－2)10.两个相似三角形的最短边分别是5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么小三角形的周长为()A．14 cmB．16 cmC．18 cmD．30 cm二、填空题11.如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn－1Dn＝Dn－1B，且DnEn∥BC，则DnEn ＝____________(用含n的式子表示)．12.小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图1.图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm.垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于__________ cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．图1图213.如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°.若PF＝，则CE＝________.14.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是______________．15.若＝＝，且a＋b＋c＝6，则a－b＋c＝________.16.如图，在△ABC中，AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)17.已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A2B2C2的相似比为__________．18.如图，点A1，A2在射线OA上，B1在射线OB上，依次作A2B2∥A1B1，A3B2∥A2B1，A3B3∥A2B2，A4B3∥A3B2，….若△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1,9，则△A1007B1007A1008的面积是__________．19.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连接CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD＝CD；③CD2＝CE·CO，其中正确结论的序号是________．20.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则＝__________.三、解答题21.如图，点C为线段AB上任意一点(不与A、B两点重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC.(1)求证：△ACE≌△DCB；(2)请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系，并说明理由．22.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．23.如图，延长△ABC的边BC到D，使CD＝BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.求EC∶AC 的值．24.已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长．25.如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．26.如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC＝6，BD＝4，F是BC上一点，S△BEF∶S△EFC ＝2∶3.(1)求EF的长；(2)如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．27.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F＝∠C.(1)若BC＝8，求FD的长；(2)若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE.28.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝A D.(1)判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由．(2)AF与DF相等吗？为什么？答案解析1.【答案】C【解析】∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得EF＝8，故选C.2.【答案】D【解析】设这个数是x，则3x＝4×6或4x＝3×6或6x＝3×4，解得x＝8或x＝4.5或x＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.3.【答案】B【解析】∵P(x，y)，相似比为1∶2，点O为位似中心，∴P′的坐标是(－2x，－2y)．故选B.4.【答案】D【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选D.5.【答案】B【解析】∵两个相似三角形的周长比为1∶4，∴这两个三角形的相似比为1∶4，故选B.6.【答案】C【解析】对于图(1)：180°－75°－35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以(1)图中的两个三角形相似；对于(2)图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB.故选C.7.【答案】B【解析】∵A(－4,0)，B(0,2)，∴OA＝4，OB＝2，∵△COB∽△CAO，∴＝＝＝＝，∴CO＝2CB，AC＝2CO，∴AC＝4CB，∴＝，过点C作CD⊥y轴于点D，∵AO⊥y轴，∴AO∥CD，∴△AOB∽△CDB，∴＝＝＝，∴CD＝AO＝，BD＝OB＝，∴OD＝OB＋BD＝2＋＝，∴点C的坐标为.故选B.8.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.故选A.9.【答案】B【解析】∵线段AB两端点坐标分别为A(4,2)、B(8,0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(－4,0)，∴对应点在原点的两侧，且位似比为2∶1，则A1的坐标为(－2，－1)．故选B.10.【答案】C【解析】根据题意，得两三角形的周长的比为5∶3，设两三角形的周长分别为5x cm,3x cm，则5x－3x＝12，解得x＝6，所以3x＝18，即小三角形的周长为18 cm.故选C.11.【答案】1－【解析】∵D1E1∥BC，∴△AD1E1∽△ABC，∴＝，∵BC＝1，AD1＝AB，∴D1E1＝；∵D1D2＝D1B，∴AD2＝AB，同理可得：D2E2＝＝1－＝1－，D3E3＝＝1－，∴DnEn＝1－.12.【答案】120【解析】∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠BOD)，同理可证：∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)，∴∠OAC＝∠OBD，∴AC∥BD，在Rt△OEM中，OM＝＝30(cm)，过点A作AH⊥BD于点H，同理可证：EF∥BD，∴∠ABH＝∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，∴＝，AH＝＝＝120(cm)，所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．13.【答案】【解析】如图，连接EF.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°，∴AM＝BM＝1，在Rt△ADM中，DM＝＝＝，∵AM∥CD，∴＝＝，∴DP＝DM＝，∵PF＝，∴DF＝DP＝PF＝，∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP，∴△DEF∽△DPC，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴CE＝CD－DE＝2－＝.故答案为.14.【答案】(a＋3)【解析】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为－1－x，B′、C间的横坐标的长度为a＋1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2(－1－x)＝a＋1，解得x＝(a＋3)．15.【答案】3【解析】设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝7k，∵a＋b＋c＝6，∴2k＋3k＋7k＝6，解得k＝，所以，a＝2×＝1，b＝3×＝，c＝7×＝，所以，a－b＋c＝1－＋＝3.16.【答案】DF∥AC(或∠BFD＝∠A)【解析】DF∥AC，或∠BFD＝∠A.理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD.②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED.17.【答案】2∶5【解析】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，∴AB∶A1B1＝2∶3，A1B1∶A2B2＝3∶5，设AB＝2x，则A1B1＝3x，A2B2＝5x，∴AB∶A2B2＝2∶5，∴△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.18.【答案】34 031【解析】∵△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1,9，A3B3∥A2B2，A3B2∥A2B1，∴∠B1B2A2＝∠B2B3A3，∠A2B1B2＝∠A3B2B3，∴△A2B1B2∽△A3B2B3,∴＝＝＝＝，∵A3B2∥A2B1，∴△OA2B1∽△OA3B2，∴＝＝＝，∴△OB1A2的面积为，△A1B1A2的面积为，△A2B2A3的面积为3，△A3B3A4的面积为27，…∴△A1 007B1 007A1 008的面积为×3(2 017－1)＝34 031，故答案为34 031.19.【答案】①②③【解析】①∵OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∵AC∥OD，∴∠BOD＝∠CAO＝45°，∴∠DOC＝45°，∴∠BOD＝∠DOC，∴OD平分∠COB.故①正确；②∵∠BOD＝∠DOC，∴BD＝CD.故②正确；③∵∠AOC＝90°，∴∠CDA＝45°，∴∠DOC＝∠CDA.∵∠OCD＝∠OCD，∴△DOC∽△EDC，∴＝，∴CD2＝CE·CO.故③正确．故答案为①②③.20.【答案】【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵＝，∴＝.21.【答案】(1)证明∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．(2)解△AMC∽△DMP.理由：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，又∵∠AMC＝∠DMP，∴△AMC∽△DMP.【解析】(1)证明∠ACE＝∠DCB，根据“SAS”证明全等；(2)由(1)得∠CAM＝∠PDM，又∠AMC＝∠DMP，所以两个三角形相似．22.【答案】解(1)如图1，设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x，∴AE＝AD－ED＝80－x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48.∴加工成的正方形零件的边长是48 mm；(2)如图2，设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80－x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，∴2x＝，∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；(3)如图3，设PN＝x(mm)，矩形PQMN的面积为S(mm2)，由条件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得PQ＝80－x.则S＝PN·PQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2 400，故S的最大值为2 400 mm2，此时PN＝60 mm，PQ＝80－×60＝40(mm)．【解析】(1)设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x，AE＝AD－ED＝80－x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到＝，然后根据比例性质求出x即可；(2)由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80－x，然后与(1)的方法一样求解；(3)设PN＝x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．23.【答案】解取BC中点G，则CG＝BC，连接GF，如图所示：又∵F为AB中点，∴FG∥AC，且FG＝AC，∴EC∥FG，∴＝，∵CG＝BC，DC＝BC，设CG＝k，那么DC＝BC＝2k，DG＝3k，∴＝＝即EC＝FG，∵FG＝AC∴EC＝AC，∴EC∶AC＝1∶3.【解析】取BC中点G，则CG＝BC，连接GF，得出FG∥AC，FG＝AC，证出EC＝FG，进而得出答案．24.【答案】解∵△ABC∽△A′B′C′，面积比为4∶1，∴相似比为2∶1，周长比为2∶1.∵周长比相差1，而周长之差为20，∴每份周长为20，∴△ABC的周长是2×20＝40，△A′B′C′的周长是1×20＝20.【解析】根据面积的比等于相似比的平方可求出相似比的值，相似三角形周长的比等于相似比可分别求出周长．25.【答案】解∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝3，AD＝2，DE＝4，∴＝，解得BC＝6，∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，解得BF＝2.5.【解析】由平行线分线段成比例解答即可．26.【答案】解(1)∵AC∥BD，∴＝，∵AC＝6，BD＝4，∴＝＝.∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF∶S△CEF＝2∶3，∴＝，∴＝.∴EF∥BD，∴＝，∴＝，∴EF＝.(2)∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴＝.∵＝，∴＝.∵S△BEF＝4，∵＝，∴S△ABC＝25.【解析】27.【答案】解(1)∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC.∴∠AED＝∠C.∵∠F＝∠C，∴∠AED＝∠F，∴FD＝DE＝BC＝4；(2)∵AB＝AC，DE∥BC.∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE，∵∠AED＝∠F，∴∠ADE＝∠F，又∵∠AED＝∠AED，∴△ADE∽△DFE.【解析】(1)利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，进而得出∠AED＝∠F，即可得出FD＝DE，即可得出答案；(2)利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE，即可得出∠ADE ＝∠F，即可得出△ADE∽△DFE.28.【答案】解(1)∵DE是BC垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∴△FDB∽△ABC；(2)∵△FDB∽△ABC，∴＝＝，∴AB＝2FD，∵AB＝AD，∴AD＝2FD，∴DF＝AF.【解析】(1)易证∠EBC＝∠ECB和∠ABC＝∠ADB，即可判定△FDB与△ABC相似；(2)根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求得DF＝AB，即可解题．九年级数学第27章《相似》同步提高测试（有答案）一、选择题：1、观察下列每组图形，相似图形是（）2、（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3 C．4：9 D．8：273、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）4、（2018•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：95、如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：46、已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．167、如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度()A．变长了1.5米B．变短了2.5米C．变长了3.5米D．变短了3.5米8、（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=10、如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S211、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．1612、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1二、填空题：13、已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为14、（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．15、已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为16、（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．17、学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD 为18、如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝19、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为。
人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元练习题含答案
第二十七章相似一、选择题1.如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度()A．变长了1.5米B．变短了2.5米C．变长了3.5米D．变短了3.5米2.若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是() A． 1∶1B． 1∶2C． 1∶3D． 1∶43.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是()A． 8 cmB． 10 cmC． 20 cmD． 60 cm4.下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是()A．点EB．点FC．点GD．点D5.如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，不能添加的条件是()A．DE∥BCB．AD·AC＝AB·AEC．AD∶AC＝AE∶ABD．AD∶AB＝DE∶BC6.下面各组的两个比不能组成比例的是()A． 8∶7和16∶14B． 0.6∶0.2和3∶1C． 19∶110和10∶9D． 0.2∶1.2和∶2.47.在比例尺是1∶500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是()A． 20平方米B． 500平方米C． 5 000平方米D． 500 000平方米8.如图，线段BC的两端点的坐标分别为B(3,7)，C(6,3)，以点A(1,0)为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为()A． (1，)B． (2，)C． (1,2)D． (2,2)9.已知2∶x＝3∶9，则x等于()A． 2B． 3C． 4D． 610.已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为()A． 1∶4B． 4∶1C． 1∶2D． 2∶1二、填空题11.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8 m，小华的身高MN＝1.5 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8 m，CN＝1.5 m，且两人相距 4.7 m，则路灯AD的高度是____________．12.已知P是x轴的正半轴上的点，△ADC是由等腰直角三角形EOG以P为位似中心变换得到的，如图，已知EO＝1，OD＝DC＝2，则位似中心P点的坐标是____________．13.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是______________．14.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲乙丙丁四点中的__________．15.下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是__________．16.如图，根据所给信息，可知的值为______________．17.已知△ABC的三边之比为2∶3∶4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为__________．18.如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)，在方格纸中把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，则点B的对应点B′的坐标为______________．19.一个矩形的长为a，宽为b(a＞b)，如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么＝__________.20.如图是临时暂停修建的一段乡村马路，高的一边已经修好，低的一边才刚做好路基．一辆汽车在高的一边沿箭头方向行驶时偏离了正常行驶路线后停止，但一侧的两个轮子已经驶入低的一边，经检查，地板AB刚接触到高的一边的路面边缘P，已知AB＝130 cm，轮子A、B处在地板以下部分与地面的距离AC＝BD＝30 cm，两路面的高度差为50 cm.设路面是水平的，则PC的长是____________ cm.三、解答题21.如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE.22.如图所示，Rt△ABC～Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB ＝12 cm，DE＝3 cm.(1)求CM和EN的长；(2)你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？23.将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来：24.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1.(3)求出A2B2、C2三点的坐标．25.如图，△ABC三边长分别为AB＝3 cm，BC＝3.5 cm，CA＝2.5 cm；△DEF三边长分别为DE＝3.6 cm，EF＝4.2 cm，FD＝3 cm.△ABC与△DEF是否相似？为什么？26.如图，已知，直线l1，l2，l3依次截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点E、B、F，截直线l6于点G、H、F，且l1∥l2∥l3，BE＝2，BF＝4，AB＝2.5，FG＝9.求BC、FH、GH的长．27.如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AE＝AD，连接EC分别交AB，BE于点F、G.(1)求证：BF＝AF；(2)若BD＝12 cm，求DG的长．28.如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连结BD、CD，AC、BD交于点E.(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明(不添加其他线条的情况下)；(2)若∠D＝45°，BC＝4，求⊙O的面积．答案解析1.【答案】D【解析】设小明在A处时影长为x，B处时影长为y.∵AD∥OP，BC∥OP，∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，∴＝，＝，即＝，∴x＝5；又＝，∴y＝1.5，∴x－y＝3.5，故变短了3.5米．故选D.2.【答案】D【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′面积比是1∶4.故选D.3.【答案】A【解析】∵DE∥AB，∴CD∶AC＝DE∶AB，∴40∶60＝DE∶12，∴DE＝8 cm，故选A.4.【答案】D【解析】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D.故选D.5.【答案】D【解析】A.当DE∥BC，则△AED∽ACB，所以A选项错误；B．当AD·AC＝AB·AE，即AD∶AB＝AE∶AC，而∠A公共，则△AED∽ACB，所以B选项错误；C．当AD∶AC＝AE∶AB，而∠A公共，则△AED∽△ABC，所以C选项错误；D．AD∶AB＝DE∶BC，而它们的夹角∠ADE和∠ABC不确定相等，则不能判断△AED与△ABC相似，所以D选项正确．故选D.6.【答案】C【解析】8∶7＝16∶14,0.6∶0.2＝3∶1,0.2∶1.2＝0.4∶2.4，而19∶110≠10∶9，所以A、B、D选项中的比可组成比例，而C选项中的比不能组成比例．故选C.7.【答案】B【解析】∵比例尺是1∶500，长方形的土地长5厘米，宽4厘米，∴实际长为5÷＝2 500厘米＝25米，宽为4÷＝2 000厘米＝20米，∴实际面积为25×20＝500平方米，故选B.8.【答案】B【解析】∵将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，以点A(1,0)为位似中心，点B的坐标为(3,7)，∴点D的坐标为(4×，7×)，即(2，)，故选B.9.【答案】D【解析】∵2∶x＝3∶9，∴3x＝18，∴x＝6，故选D.10.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶4，故选A.11.【答案】4 m【解析】设路灯的高度为x m，∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴＝，即＝，解得DF＝x－1.8，∵MN∥AD，∴△CMN∽△CAD，∴＝，即＝，解得DN＝x－1.5，∵两人相距4.7 m，∴FD＋ND＝4.7，∴x－1.8＋x－1.5＝4.7，解得x＝4.12.【答案】(，0)【解析】∵EO＝1，DC＝2，∴△ACD与△GOE的位似比是2∶1，∴AD∶OG＝2∶1，∵△ADC是等腰直角三角形，∴AD⊥x轴，∴AD∥OG，∴△OPG∽△DPA∴PD∶OP＝2∶1，∵OD＝2，∴OP＝，∴位似中心P点的坐标是(，0)．13.【答案】(4,2)或(－4，－2)【解析】如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是(4,2)或(－4，－2)．14.【答案】丙【解析】应该为丙，因为当R在丙的位置时，若设每一个小正方形的边长为1，则△PQR的三边分别为4,2，2.△ABC的各边分别为2，，.各边对应成比例且比例相等均为2，则可以得到两三角形相似．15.【答案】②③【解析】①所有的等腰三角形都相似，错误；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误．16.【答案】【解析】由题意可得：△ABC∽△A′B′C′，且＝，故的值为.17.【答案】45【解析】∵△DEF∽△ABC，△ABC的三边之比为2∶3∶4，∴△DEF的三边之比为2∶3∶4，又∵△DEF的最大边长为20，∴△DEF的另外两边分别为10,15，∴△DEF的周长为10＋15＋20＝45，18.【答案】(－5，－5)或(11,11)【解析】当B在第三象限，点B的对应点B′的坐标为(－5，－5)，当B在在第一象限，点B的对应点B′的坐标为(11,11).19.【答案】【解析】由题意，得＝，整理，得a2－ab－b2＝0，解得a＝b，则＝，20.【答案】72【解析】已知如图：由题意可知四边形BEFD是矩形，AC＝30 cm，CF＝50 cm，∴BD＝EF＝30 cm，∴CE＝20 cm，∵AB＝130 cm，AE＝50 cm，∴BE＝＝120 cm，∵CP∥BE，∴△ACP∽△AEB，∴＝，∴＝，∴CP＝72 cm.21.【答案】解∵△ADE∽△ABC，∴S△ABC∶S△ADE＝，∴20∶S△ADE＝，解得S△ADE＝.【解析】由于△ADE∽△ABC，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，可求S△ADE.22.【答案】解(1)在Rt△ABC中，AB＝＝＝15，∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝AB＝7.5，∵Rt△ABC～Rt△DFE，∴＝，即＝＝，∴DF＝5，∵EN为斜边DF上的中线，∴EN＝DF＝2.5；(2)∵＝＝，相似比为＝＝，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；(2)根据相似三角形的性质解答即可．23.【答案】解【解析】旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同；平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫作图形轴对称变换．24.【答案】解(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求；(3)A2、(3,6)；B2(5,2)；C2(11,4)；【解析】(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；(3)直接利用图形得出各点坐标即可．25.【答案】解△ABC∽△DEF.理由如下：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△DEF.【解析】三边对应成比例的两个三角形是相似三角形，根据题目给出的三角形的三边长可求出解．26.【答案】解∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，即＝，∴BC＝5，＝.∵FG＝9，∴GH＝3，HF＝6.【解析】由l1∥l2∥l3，得到＝＝，代入数据即可得到结果．27.【答案】(1)证明∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠E＝∠BCF.∵AE＝AD，∴AE＝BC.∵∠AFE＝∠BFC，∴△AEF≌△BCF.∴BF＝AF.(2)解∵BC∥DE，∴BC∶DE＝BG∶DG.∵DE＝2BC，∴DG＝2BG.∴DG＝BD.∵BD＝12，∴DG＝8.【解析】(1)欲证BF＝AF，只需证△AEF≌△BCF即可．(2)DG是BD的一部分，要找DG与BD的关系，可找DG与BG的关系，由BC∥DE可以得出．28.【答案】解(1)结论：△ABE∽△DCE，证明：在△ABE和△DCE中，∵∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.(2)作⊙O的直径BF，连接CF，∴∠F＝∠D＝45°，∠BCF＝90°.∴△BCF是等腰直角三角形．∵FC＝BC＝4，∴BF＝4.∴OB＝2.∴S⊙O＝OB2·π＝8π.【解析】(1)容易发现：△ABE与△DCE中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它们相似；(2)求⊙O的面积，关键是求⊙O的半径，为此作⊙O的直径BF，连接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC＝2，求出BF的长，从而求出⊙O的面积．。
九年级数学(下)第二十七章《相似》单元测试含答案
c b a 第2题图n m F E D C B A 第3题图E D C B A第4题图F E D C B A 第7题图PD C BA E 第8题图DC B A九年级数学（下）第二十七章《相似》单元测试一、 选择题：（本大题共12小题，每小题2分，共24分)1.下列四组线段中，不能成比例的是.A. a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B. a ＝1，b ＝3，c ＝4，d ＝12C. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝62.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ， AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝.A. 7B. 7.5C. 8D. 8.53.如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝3，DB ＝6，DE ＝2，则BC ＝. A. 4 B. 6 C. 10 D. 84.如图，E 是□ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形.A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对 5.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是. A. ∶1 B. 4∶1 C. 3∶1 D. 2∶1 6.已知a 、b 、c 为正数，且＝＝＝k ，下列四个点中，在正比例函数y ＝k x 的图像上的是. A.（1，） B.（1，2） C.（1，－） D.（1，－1）7.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4，CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于. A. B. C. D.8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点， AE ⊥AD 交CB 的延长线于E ，则下列结论正确的是 A.△AED ∽△ACB B. △AEB ∽△ACDC.△BAE ∽△ACED.△AEC ∽△DAC9.要作一个多边形与已知多边形相似，且使面积 扩大为原来16倍，那么边长为原来.A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍10.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，则下列结论：①AC 2＝AD ·AB ； ②CD 2＝AD ·BD ；③BC 2＝BD ·AB ；④CD ·AD ＝AC ·BC ；⑤＝.第10题图D C BA 第11题图第12题图F ED C B A第14题图E D C B A第16题图ED C B A 第15题图E D C B A QKGF D AG D A E D A正确的个数有.A.2个B.3个C.4个D.5个11.如图，△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（－1，0），以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A /B /C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍.设点B 的对应点B /的横坐标是a ，则点B /的横坐标是. A. －a B. － C. － D. －12.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交DC于点F ，设BE ＝x ，FC ＝y ，则当点E 从点B 运动到点C 时，关于x 的函数图像是二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）13.如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们对应边的比是. 14.如图，DE 是△ABC 的中位线，已知＝2，则四边形BCED 的面积为.15.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 上一点，∠DAE ＝∠BAC ， 则EC 长为.16.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金的三角形，已知AB ＝1，则DE ＝.17.如图，Rt △ABC 内有三个内接正方形，DF ＝9cm ，GK ＝6cm ，则第三个正方形的边长PQ 的长是.第22题图P E D C B A 第23题图D C B A P M F D C18.如图，已知△ABC 中，若BC ＝6，△ABC 的面积为12，四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形，则正方形DEFG 的边长是.19.如图，以A 为位似中心，将△ADE 放大2倍后，得位似形△ABC ，若S 1表示△ADE的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，则S 1∶S 2＝.20.直角三角形的两条直角边的长分别为a 和b ，则它的斜边上的高与斜边比为21.如图，直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 是坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y轴上，如果矩形OA /B /C /与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA /B /C /的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B /的坐标是.22.△ABC ≌Rt △ADE ，∠A ＝90°，BC 和DE 交于点P ，若AC ＝6，AB ＝8， 则点P 到AB 边的距离是. 三、解答题：（本大题共56分）23.（6分）如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形. ⑴当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ？ ⑵当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数.24.（10分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M. ⑴求证：△EDM ∽△FBM ； ⑵若DB ＝9，求BM.第26题图B25.（10分）已知△ABC 的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，求另外两边的长度（单位：cm ）26.（10分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 上一点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点M ，交取于点N ， ⑴求证：BA ·BM ＝BC ·BN ；⑵如果CM 是⊙O 的切线，N 是OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值.第27题图F E D C BAC27.（10分）如图，已知△ABC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，取AB 的中点F ，连结FD 交AC于点E. ⑴求AE ∶AC 的值；⑵若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长.28.（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝10cm ，BC ＝20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似.F第22题图PE DC B A第23题图DC BA P D C第11题图第12题图F EDCBA参考答案：一、 选择题：1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.A ；7.C ；8.C ；9.C ；10.C ；11.D ；12.A ； 二、填空题：13. 1∶；14. 6；15. 25；16.；17. 4cm ；18. 2.4；19. 1∶3；20.；21.（3，2）或（－3，－2）；22.；11.解：把图形向右平移1个单位长度，则点C 的坐标 与原点O 重合，与B /的对应点B //的横坐标变为a ＋1，此时△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形是△A //B //C ，则与点B //对应的点的横坐标为－（a ＋1） 一个单位，则得到B 的横坐标为－（a ＋1.选择D.12.解：特别的，当BE ＝0和4时，FC ＝0.当0＜BE ＜4时，易证： Rt △ABE ∽Rt △ECF ∴＝ ∴＝∴y ＝x 2＋x ∴y 是x 的函数.当x ＝2时，y 有最大值，最大值是1. 选择A. 22题：解：作PF ⊥AB 于点F设PF ＝x ，由题意：BE ＝CD ＝2， ∴Rt △EFP ∽Rt △EAD. ∴＝∴EF ＝x∴Rt △BFP ∽Rt △BAC ∴＝∴＝∴x ＝三、解答题：23.解：⑴∵△PCD 是等边三角形∴∠PCD ＝∠PDC ＝60°PC ＝PD ＝CD ∴∠PCA ＝∠PDB ＝120° ∴当AC 、CD 、DB 满足 CD 2＝AC ·BD即 ＝ 时，△ACP ∽△PDB⑵当△ACP ∽△PDB 时由∠A ＝∠BPD ，∠B ＝∠APC∴∠PCD ＝∠A ＋∠APC ＝60°＝∠A ＋∠B ∠PDC ＝∠B ＋∠BPD ＝60°∴∠APB ＝60°＋∠APC ＋∠BPD ＝60°＋60°－∠A ＋∠60°－∠B ＝180°－（∠A ＋∠B ）＝180°－60°＝120° 24.解：⑴∵AB ＝2CD AE ＝BEB G第27题图F E D C B APA ∴CD ＝BE又∵AB ∥CD ∴CD ∥BE 且CD ＝BE ∴四边形EBCD 是平行四边形 ∴DE ∥BC∴△EDM ∽△FBM ⑵∵△EDM ∽△FBMFB ＝BC ＝DE ∴＝＝∴＝∴＝ ∴BM ＝3.25.解：⑴如果将长度为60cm 木条作为其中一边，把30cm 木条截成两段，其三角形不存在；⑵如果将长度为30cm 的木条作为其中一边，把60cm 的木条截成两边，则：①将30cm 的木条作最长边，于是有 ＝＝ 三边成比例.此时三角形木架与△ABC 相似；②将30cm 的木条作为第二长的边，于是有 ＝＝ 三边成比例，此时三角形木架与△ABC 相似；③将30cm 的木条作为最短边，则三边对应不成比例； 因此，另外两边的长度分别为10cm 、25cm 或12cm 、36cm.26.解：⑴证明：连NM∵NB 是⊙O 的直径 ∴NM ⊥BM 在△ACB 和△NMB 中∠ACB ＝∠NMB ＝90°∠ABC ＝∠NBM ∴△ACB ∽△NMB∴＝ 即 BA ·BM ＝BC ·BN ⑵连OM ∵CM 是⊙O 的切线 ∴CM ⊥OM ∴△CMO 是直角三角形 ∵CN ＝ON ∴MN ＝OC ＝ON ∵ON ＝OM ∴△OMN 是等边三角形 ∴∠MON ＝60°∵OM ＝OB ∴∠B ＝30°∴在Rt △ACB 中，AB ＝6. 27.解：⑴证明：过点C 作CG ∥AB 交DF 于G则 △EAF ∽△ECG △DCG ∽△DBF ∴＝＝又∵AF ＝BF ∴＝ ∵BC ＝CD ∴＝ ∴＝ 即＝⑵∵AB ＝a ，BF ＝AB ＝a ，又∵FB ＝EC ，∴EC ＝a ∵＝ ，∴AC ＝3EC ＝a.28.解：设经过t s 时，△PBQ ∽△ABC ，则 AP ＝2t ，BQ ＝4t ，BP ＝10－2t⑴ 如图①第28题图②QPCBA 当△PBQ ∽△ABC 时，有 ＝即 ＝∴t ＝2.5⑵ 如图②当△QBP ∽△ABC 时，有＝ 即 ＝ ∴t ＝1综合以上可知：经过2.5秒或1秒时， △QBP 和△ABC 相似.。
人教版九年级下数学第二十七章 《相似》单元练习题(含答案)
人教版九年级下数学第二十七章 《相似》单元练习题（含答案）一．选择题1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若＝，则下列说法不正确的是（ ）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝2．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AD ＝3ED ，EC 交对角线BD 于点F ，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，有一块三角形余料ABC ，BC ＝120mm ，高线AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，点P ，M 分别在AB ，AC 上，若满足PM ：PQ ＝3：2，则PM 的长为（ ）A ．60mmB ． mmC ．20mmD ． mm4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点（与B 、C 不重合），以D 为顶点作△DEF ，使△DEF ∽△ABC （相似比k ＞1），EF ∥BC ．两三角形重叠部分是四边形AGDH ，当四边形AGDH 的面积最大时，最大值是多少？（ ）A ．12B ．11.52C ．13D ．85．已知线段AB 的长为4，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则PA 的长为（ ）A ．2﹣2B ．6﹣2√5C ．D ．4﹣26．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，正方形OABC 的边长为8，点P 在AB 上，CP 交OB 于点Q ．若S △BPQ ＝，则OQ 长为（ ）A ．6B ．C ．D ．8．在△ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，下列说法错误的是（ ）A ．如果∠BAC ＝90°，AB 2＝BD •BC ，那么AD ⊥BCB ．如果AD ⊥BC ，AD 2＝BD •CD ，那么∠BAC ＝90°C ．如果AD ⊥BC ，AB 2＝BD •BC ，那么∠BAC ＝90°D ．如果∠BAC ＝90°，AD 2＝BD •CD ，那么AD ⊥BC 9．如图，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 两个内角平分线的交点，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F ，已知△ABC 的周长为8，BC ＝x ，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，已知△ABO 与△DCO 位似，且△ABO 与△DCO 的面积之比为1：4，点B 的坐标为（﹣3，2），则点C 的坐标为（ ）A ．（3，﹣2）B ．（6，﹣4）C ．（4，﹣6）D ．（6，4）11．在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm ，该路段实际长度约为（ ）A ．3200mB ．3000mC ．2400mD ．2000m12．如图，△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ，OB ，O C 的中点，若△DEF 的周长是2，则△ABC 的周长是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8二．填空题13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加即可（只需添加一个条件）．14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝．15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为．16．若＝，则＝．17．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF1＝，S1：S2：S3＝．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，E F分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是．19．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．三．解答题20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．21．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE 交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求的值．23．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．24．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形．请在图中找出与△HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由．25．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．参考答案一．选择题1．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，＝＝，＝＝，＝（）2＝，∴＝，故A、B、D选项正确，C选项错误，故选：C．2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AD＝3ED，∴＝，∵AD∥BC，∴△EFD∽△CFB，∴＝＝，故选：A．3．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．4．【解答】解：∵AB2+AC2＝100＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵△DEF∽△ABC，∴∠EDF＝∠BAC＝90°，如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，∵△DEF∽△ABC，∴∠B＝∠E，∵EF∥BC，∴∠E＝∠EMC，∴∠B＝∠EMC，∴AB∥DE，同理：DF∥AC，∴四边形AGDH为平行四边形，∵∠EDF＝90°，∴四边形AGDH为矩形，∴四边形AGDH为正方形，当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，如图2，点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，如图2，点D在BC上，∵△DEF∽△ABC，∴∠F＝∠C，∵EF∥BC．∴∠F＝∠BDG，∴∠BDG＝∠C，∴DG∥AC，∴△BGD∽△BAC，∴＝，∴＝，∴＝，∴AH＝8﹣GA，S＝AG×AH＝AG×（8﹣AG）＝﹣AG2+8AG，矩形AGDH当AG＝﹣＝3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大＝12．故选：A．5．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴PA＝AB＝×4＝2﹣2．故选：A．6．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE＝CF，∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，设DE＝k，BC＝2k，∴BF＝2k﹣k，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴△DBF∽△ADE，∴＝（）2＝＝﹣1，故选：C．7．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，∴AB∥OC，∴△PBQ∽△COQ，∴＝（）2＝，∴OC＝3PB，∵OC＝8，∴PB＝，∵＝＝，BO＝8，∴OQ＝×8＝6，故选：B．8．【解答】解：A、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；B、∵AD2＝BD•CD，∴＝，又∠ADC＝∠BDA＝90°，∴△ADC∽△BDA，∴∠BAD＝∠C，∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；C、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；D、如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；故选：D．9．【解答】解：∵点O是△ABC的内心，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，∴BE＝OE，CF＝OF，∴△AEF的周长y＝AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AB+AC，∵△ABC的周长为8，BC＝x，∴AB+AC＝8﹣x，∴y＝8﹣x，∵AB+AC＞BC，∴y＞x，∴8﹣x＞x，∴0＜x＜4，即y与x的函数关系式为y＝8﹣x（x＜4），故选：A．10．【解答】解：∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，∴△ABO与△DCO为1：2，∵点B的坐标为（﹣3，2），∴点C的坐标为（6，﹣4），故选：B．11．【解答】解：设它的实际长度为xcm，根据题意得：1：8000＝25：x，解得：x＝200000，∵200000cm＝2000m，∴该路段实际长度约为2000m．故选：D．12．【解答】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，∴DE＝AB，∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，∴△DEF∽△DBA，∴＝，∴△ABC的周长＝2×2＝4．故选：B．二．填空题（共7小题）13．【解答】解：∵∠A是公共角，如果∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ABC；如果＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．14．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD＝4，CD＝2，∴AB＝AC＝6，∠B＝∠C＝∠ADF＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠CDF＝120°，∴∠BAD＝∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴＝，即＝，解得CF＝，∴AF＝AC﹣CF＝6﹣＝，故答案为：．15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∵四边形EFCD是矩形，∴EF＝CD＝2，CF＝DE，∵余下的矩形EFCD∽矩形BCDA，∴，即＝，∴CF＝1，∴EC的长＝＝＝，故答案为：．16．【解答】解：设＝＝k（k≠0），则a＝2k，b＝3k，所以＝＝4．故答案是：4．17．【解答】解：∵AE：ED＝5：4，∴DE：AD＝4：9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝＝，∴＝（）2＝，＝，∴S1：S2：S3＝16：81：36，故答案为：4：9，16：81：36．18．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，∵EM：BC＝2：5，∴＝＝，设AM＝2x，则AC＝5x，故MC＝3x，∴＝＝，故答案为：．19．【解答】证明：∵AB＝6，D是边AB的中点，∴AD＝3，∵AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠EAF，∵∠ADE＝∠C，∴△ADF∽△ACG；∴＝＝，故答案为：．三．解答题（共6小题）20．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DCE．又∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△AED∽△DEC，∴＝，∴DE•CD＝AD•CE；（2）∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC．∵F为DE的中点，∴DE＝2DF．∵DE•CD＝AD•CE，∴2DF•BC＝AD•CE，∴＝．又∵∠BCE＝∠ADF，∴△BCE∽△ADF，∴＝，∴AF•BC＝AD•BE．21．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴＝，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴＝，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．22．【解答】解：∵BG：GH：HC＝2：4：3，∴设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，（k≠0）∵DE∥BC，FG∥AB，∴四边形BDFG是平行四边形，∴DF＝BG＝2k，∵DE∥BC，FH∥AC∴四边形EFHC是平行四边形，∴EF＝HC＝3k，∴DE＝5k∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，∵FG∥AB∴∠FGH＝∠B，∴∠ADE＝∠FGH，同理可得：∠AED＝∠FHG∴△ADE∽△FGH∴＝（）2＝，23．【解答】解：（1）设BC＝3x，则AD＝2x，∵△ABC的面积为12，∴×3x×2x＝12，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），则AD的长＝2x＝4；（2）设GF＝y，则HG＝2y，∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，y＝，HG＝2y＝，则矩形EFGH的面积＝×＝．24．【解答】解：△DBH∽△HBC，理由：∵四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，∴A，B，C，D在一条直线上，∠A＝90°，设AB＝x，则AH＝BC＝CD＝x，∴BH＝x，BD＝2x，∴，∵∠HBC＝∠HBC，∴△DBH∽△HBC．25．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即 ED ＝AD ，又∵ED ＝BE ＝BD ， ∴BD ＝AD ，∴AB ＝BD ．人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试一、选择题1、已知=，则的值是( )A． B． C． D．2、如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于（）A． B． C．5 D．63、已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（）A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：54、如图所示的三个矩形中，是相似的是（）A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．甲乙丙都相似5、下列各组线段中，成比例线段的组是( )A．3cm，4cm，5cm，8cm B．1cm，3cm，4cm，8cmC．2.1cm，3.2cm，5.4cm，6.5cm D．0.15cm，0.18cm，4cm，4.8cm．6、如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为( )A. B. C．4 D．67、．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则的值为（）A． B． C． D．8、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）； B．（3，1）； C．（2，2）； D．（4，2）；9、为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组10、如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（）A．8 B．10 C．11 D．1211、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）.A． B． C． D．12、如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（）A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m13、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是( )A.(-2，3)B.(2，-3)C.(3，-2)或(-2，3)D.(-2，3)或(2，-3)14、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是 ( )。
人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元测试题含答案
的A 处，则小明的影子 AM 的长为m.第二十七章相似一、填空题（每题3分，共18分） 1. 若两个相似六边形的周长比是3 : 2,其中较大六边形的面积为81，则较小六边形的面积为 _________ .2. ________________________________________________________________________ 如图27— Z — 1，在△ ABC 中，点D ,E 分别在边 AB,AC 上，请添加一个条件： _______________ 使厶ABC s△ AED.3. ________________________ 如图27 — Z — 2, AE , BD 相交于点C , BA 丄AE 于点A , ED 丄BD 于点D 若AC = 4, AB = 3, CD = 2,贝U CE = .图 27 — Z — 24. 如图27— Z — 3,以点0为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形 AB'C'D E ' 已知0A = 10 cm , OA ' = 20 cm ,则五边形 ABCDE 的周长与五边形 A B C D E 的周长的比 值是 _________ .图 27 — Z —35.如图27 — Z — 4,路灯距离地面 8 m ,身高1.6 m 的小明站在距离灯的底部 （点 0）20 m图 27 — Z — 1图 27 — Z — 66.如图27— Z — 5,矩形ABCD 中，AB = 3, BC = . 6,点E 在对角线 BD 上，且BECF=1.8,连接AE 并延长交DC 于点F ,则 —= ________________ .二、选择题（每题4分，共32分）7.由5a = 6b （a ^ 0, b 丰0）,可得比例式（）F 列各组中的四条线段成比例的是 （ ）9.如图27 — Z — 6，△ ACD 和厶ABC 相似需具备的条件是 （ ）AC _ AB CD _ BC A.CD = BC B.AD = ACC . 4 cm , 5 cm , 6 cm 2 cm , 3 cm , 5 cm 4 cm , 5 cm , 6 cm2 cm , 2 cm , 4 cm图 27 — Z — 4A MB图 27 — Z —54 cm , 1 cm , 3 cm , 1 cm , B2 2C . AC 2= AD AB D • CD 2= AD BD10•如图27- Z — 7,在厶ABC 中，点D , E , F 分别在边CFEF // AB.若 AD = 2BD ,贝U 的值为()B F1112B.3C.4 D ・3中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）12. 已知△ ABC 在直角坐标系中的位置如图 27 — Z — 10所示，以O 为位似中心，把△ ABC 放大为原来的2倍得到△ A'B'C',那么点A 的坐标为（）图 27 — Z — 10A . (— 8, — 4)B . (— 8, 4)C . (8, — 4)D . (— 8, 4)或(8, — 4)AB , AC , BC 上，且 DE // BC,11. 如图 27 — Z — 8, △ ABC 中，/A = 78° ,AB = 4, AC = 6•将△ ABC 沿图 27— Z —9 图 27 — Z — 7图 27 — Z —8图 27 — Z — 9图 27 — Z — 1313.将两个三角尺（含45°角的三角尺 ABC 与含30°角的三角尺 DCB ）按图27- Z — 11 所示方式叠放,斜边交点为0,则厶AOB 与厶COD 的面积之比等于（）图 27— Z — 1114. 如图27 — Z — 12,已知O 0是等腰直角三角形 ABC 的外接圆，D 是AC 上一点，BD 4交AC 于点E ,若BC = 4, AD =,则AE 的长是（）5图 27 — Z — 12A . 3B . 2C . 1D . 1.2 三、解答题（共50分）15. （10 分）已知：如图 27 — Z — 13 , △ ABC 中，/ ABC = 2/ C , BD 平分/ ABC. 求证：AB BC = AC CD.16. （12分）如图27- Z — 14，在平面直角坐标系中，将△ ABC 进行位似变换得到△ A i B i C i . ⑴△ A i B i C i 与厶ABC 的相似比是 _________ ； （2）画出△ A i B i C i 关于y 轴对称的厶A 2B 2C 2；⑶设P （a ,力为厶ABC 内一点，则依上述两次变换后，点P 在厶A 2B 2C 2内的对应点 P 2 的坐标是 _________________.B图27 —Z —i4i7. （i2分）如图27 —Z —i5, AB是半圆0的直径，P是BA的延长线上一点，PC是O O 的切线，切点为C,过点B作BD丄PC交PC的延长线于点D,连接BC.求证：⑴/PBC=Z CBD;(2)BC2= AB BD.图27 —Z —i518. (16 分)如图27 —Z—16,在Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° , AC = 5 cm,/ BAC = 60° , 动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C 出发，在CB 边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(0<t<5)秒，连接MN.(1) 若BM = BN ,求t的值；(2) 若厶MBN与厶ABC相似，求t的值；(3) 当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小面积.图27 —Z —16教师详解详析1. 36 ［解析］•••两个相似六边形的周长比是 3 : 2,•••它们的面积比为9 : 4.•••较大六边形的面积为81,•较小六边形的面积为81 X 4= 36.故答案为36.2. / B =/AEB（答案不唯一）［解析］I/B = /AEB, / A =Z A,• △ABC s^ AED.故添加条件/ B=/ AEB即可使得厶ABCAED.3. 2.5 ［解析］T BA丄AE, AC = 4, AB = 3, • BC = .32+ 42= 5.•/ BA丄AE, ED 丄BD,A=/ D = 90° .又•••/ ACB =/ DCE ,• △ABC s^ DEC ,•AC=CD'BC= CE，即4= 2CE，• CE= 2.5. 故答案为2.5.14i5. 5 ［解析］如图，设路灯为点C.由题意可得△ MAB s\ MOC ,所以ABCOAMO M，即譽悬，解得AM = 5.163［解析「•四边形ABCD是矩形，•••/ BAD = 90° .又T AB=, BC= ：J6,•AD = BC = .；6,•BD = AB2+ AD2= 3.•/ BE= 1.8,•DE = 3 — 1.8 = 1.2.T AB// CD ,•DF = DE 即DF = 12…AB = BE，即3= 1.8，解得DF = 23&,3贝U CF = CD —DF =学,3•CF = 3_ = 1•CD — 3 = 3.7. D 8.D9. C ［解析］•••在△ ACD 和厶ABC 中，/ A=Z A,•根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出需添加的条件是ACABADAC，• AC2= AD AB.故选C.10. A ［解析］V DE // BC, EF // AB,•••四边形BDEF是平行四边形，/ FEC = Z A, / C=Z AED ,•••△EFCADE ,.CF _ EF■D E=A D，• CF _ CF _ EF _ BD _ 1…BF =DE =AD =AD =2.故选A.11. C ［解析］A项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似, 故本选项不符合题意；B项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C项，两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D项，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意.故选C.12. D13. D ［解析］由题意，知/ABC = Z BCD = 90° ,• AB// CD ,• △AOB s^ COD.设BC = a,贝V AB = a, CD = 3a,• AB : CD = 1 : .3,S A AOB :S A COD = 1 : 3.故选D.14. C ［解析］•••△ ABC是等腰直角三角形，BC = 4,• AB 为O O 的直径，AC = 4, AB = 4 2,4在Rt△ ABD 中，AD = 5 AB = 4 2,BD = 285 '•••/ D =Z C, / DAC = Z CBE,• △ADE s\ BCE.4•/ AD : BC = : 4= 1 : 5,5•△ ADE与厶BCE的相似比为1 : 5.设AE= x,则BE= 5x,28 =--DE = ——5x,5• CE= 28 —25x.•/ AC= 4,• x+ 28 —25x= 4,解得x= 1.15. 证明：•••/ABC = 2/ C, BD 平分/ ABC, •/ ABD = Z DBC = Z C,• BD = CD.在厶ABD和厶ACB中，/ A=Z A, / ABD = Z C,•△ ABDACB ,• AB = BD…AC= BC ,即AB BC= AC BD ,• AB • BC = AC CD.16•解：⑴△ A i B i C i与厶ABC的相似比=欝 =4=2•故答案为2.AB 2⑵如图所示:(3)P(a, b)为厶ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点P2的坐标为(—2a, 2b).故答案为(—2a, 2b).17.证明：(1)如图，连接0C,••• PC与O 0相切，••• OC X PC ,即/ OCP = 90•/ BD 丄PD ,•••/ BDP = 90° ,•••/ OCP=Z BDP,• OC // BD ,•••/ BCO=Z CBD.•/ OB= OC,•••/ PBC=Z BCO,•••/ PBC=Z CBD.⑵如图，连接AC,•/ AB为O O的直径，•••/ ACB= 90°=/ CDB.又•••/ ABC =/ CBD ,•••△ ABC s^ CBD ,.BC = AB…BD = BC ，即 BC 2= AB BD.18.解：⑴•••在 Rt △ ABC 中，/ACB = 90 AC = 5 cm , / BAC = 60° ,• AB = 10 cm , BC = 5 3 cm.由题意知 BM = 2t cm , CN = 3t cm ,• BN = (5 3— 3t)cm.由 BM = BN ,得 2t = 5 .3— . 3t ,⑵①当△ MBNABC 时,MB = BNAB = BC ，即 2t = 5 3— 3t10 5 ,'3.•.当 t = 5或 t = 15时,△ MBN 与^ ABC 相似. ⑶过点M 作MD 丄BC 于点D ,可得MD = t.设四边形ACNM 的面积为y cm 2,5解得t=]②当△ NBM ABC 时, NB = BM AB = BC ， 5 ,3— .‘3t 10 2t 5 .3，解得t =157 . 解得t =5 .3 2+ .3 =10 3 — 15. (ii)则y = &ABC—BMN=2AC BC- 2BN MD1 1=2X5X 5 3-2X(5 3- 3t)t宁t+专=承-1)2+75 3.根据二次函数的性质可知，当t= 2时,y的值最小，为785 3,四边形ACNM的面积最小，最小面积为75 3 cm2.即当t=8 、。
人教版九年级数学下册第二十七章 相似 单元测试题(含答案)
人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试题（含答案）一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)1．如图1，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )图1A．4 B．5 C．6 D．82．如图2，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，则△ADE的面积与四边形BCED 的面积的比为( )图2A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶13．如图3所示，P是△ABC的边AC上的一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是( )图3A.ABAP＝ACABB.ACAB＝BCBPC．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC4．已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．125．如图4所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )图4A.ADDB＝DEBCB.BFBC＝EFADC.AEEC＝BFFCD.EFAB＝DEBC6．如图5所示，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的点P共有( )图5A．1个B．2个C．3个D．4个7．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图6，如果扇形OAB与扇形O1A1B1相似，且半径OA∶O1A1＝k(k为不等于0的常数)，连接AB，A1B1.那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③ABA1B1＝k；④扇形OAB与扇形O1A1B1的面积之比为k2.其中正确的有( )图6A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，则∠B＝________°，∠B′＝________°.9．若两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，则较大三角形的周长为________cm.10．如图7，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD.若S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝________．图711．如图8所示，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好在地面的同一点O，此时点O与竹竿的距离DO＝6 m，竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为________ m.图812．将三角形纸片(△ABC)按图9所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF 的长是__________．图9三、解答题(本大题共4小题，共47分)13．(11分)如图10，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)将△ABC向左平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度，请画出经过两次平移后得到的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．图1014．(12分)如图11所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．图1115．(12分)如图12所示，BE是锐角三角形ABC的外接圆⊙O的直径，CD是△ABC的高．(1)求证：AC·BC＝BE·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，BD＝3，求⊙O的直径BE.图1216．(12分)如图13所示，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P从点A出发，沿AB边以每秒4 cm的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA边以每秒3 cm的速度向点A运动，设运动时间为x秒．(1)当x为何值时，PQ∥BC?(2)△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．图13答案1．C2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．D 8．[答案] 60 60 9．2510．[答案] 4∶3 11．[答案] 9 12．[答案] 127或213．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示．(2)△A 2B 2C 2如图所示，点A 2的坐标为(－1，－4)．14．解：(1)当CD 2＝AC ·DB 时，△ACP ∽△PDB . ∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD ＝∠PDC ＝60°， ∴∠ACP ＝∠PDB ＝120°.若CD 2＝AC ·DB ，则由PC ＝PD ＝CD 可得PC ·PD ＝AC ·DB ，即PC BD ＝AC PD. 又∵∠ACP ＝∠PDB ， ∴△ACP ∽△PDB .(2)当△ACP ∽△PDB 时，∠APC ＝∠PBD .由题意可知∠PDC ＝60°， ∴∠BPD ＋∠PBD ＝60°， ∴∠APC ＋∠BPD ＝60°，∴∠APB ＝∠CPD ＋∠APC ＋∠BPD ＝120°，即∠APB 的度数为120°. 15．解：(1)证明：连接CE .由BE 为⊙O 的直径知∠ECB ＝90°. ∵∠A ＝∠E ，∠ADC ＝∠ECB ＝90°， ∴△ADC ∽△ECB ， ∴AC BE ＝CD BC， ∴AC ·BC ＝BE ·CD .(2)由勾股定理，知AC ＝AD 2＋CD 2＝10，BC ＝BD 2＋CD 2＝3 5. 又∵AC ·BC ＝BE ·CD ，∴3 5×10＝6BE ，解得BE ＝5 5. 16．解：(1)∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AB ＝AQ AC ，即4x 20＝30－3x 30， 解得x ＝103.即当x ＝103时，PQ ∥BC .(2)能相似．∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ， ∴△APQ 和△CQB 相似可能有以下两种情况： ①若△APQ ∽△CQB ，则AP CQ ＝AQCB，即4x 3x ＝30－3x 20，解得x ＝109. 经检验，x ＝109是上述方程的解且符合题意．∴当AP ＝409 cm 时，△APQ ∽△CQB ；②若△APQ ∽△CBQ ，则AP CB ＝AQCQ，即4x 20＝30－3x 3x，解得x ＝5或x ＝－10. 经检验，x ＝5是上述方程的解且符合题意x ＝－10不合题意，舍去． ∴当AP ＝20 cm 时，△APQ ∽△CBQ .综上所述，当AP 的长为409cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似．人教版九年级下册数学《相似》单元测试（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( )A.34B.43C.916D.169 2．已知b a ＝513，则a －b a ＋b的值是( )A.23B.32C.94D.493．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O.若AD ＝1，BC ＝3，则AO CO 的值为( )A.12B.13C.14D.194．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E.若AD ＝12，DB ＝4，则DE ∶BC 的值为( )A.23B.12C.34D.355．如图，不能判定△AOB 和△DOC 相似的条件是( )A ．AO ·CO ＝BO ·DO B.AO DO ＝ABCD C ．∠A ＝∠D D ．∠B ＝∠C6．如图，矩形ABCD ∽矩形ADFE ，AE ＝1，AB ＝4，则AD ＝( )A ．2B ．2.4C ．2.5D ．37．已知如图①，②中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图①，②中的两个三角形，下列说法正确的是( )A ．只有①相似B ．只有②相似C ．都不相似D ．都相似8．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1.若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D ，E ，F 也都在格点上，则下列与△ABC 相似的三角形是( )A ．△ACDB ．△ADFC ．△BDFD ．△CDE9．如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM ＝CN ，AM AN ＝BMCM，下列结论正确的是( )A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，EG ∥AB ，且AE ∶EC ＝3∶2.若BC ＝10，则FG 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC ＝8.7米，窗口高AB ＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC 为( )A ．4米B ．3.8米C ．3.6米D ．3.4米12．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，已知∠C ＝∠F ＝90°，在下列条件中：①∠A ＝30°，∠E ＝60°；②AC ＝5，BC ＝4，DF ＝15，EF ＝12；③AB ＝5，AC ＝3，DE ＝10，DF ＝6；④AC ∶AB ＝1∶3，DF ＝a ，DE ＝3a.能够判断Rt △ABC ∽Rt △DEF 的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合．若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△DGB ′的面积之比为( )A ．9∶4B ．16∶9C ．4∶3D ．3∶214．如图，将△ABC 的高AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1∶S 2∶S 3∶S 4等于( )A ．1∶2∶3∶4B ．2∶3∶4∶5C ．1∶3∶5∶7D ．3∶5∶7∶915．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 是边AB 上的高线，且有2CD ＝3AB ＝6，CE ＝EF ＝DF ，则下列判断中不正确的是( )A ．∠AFB ＝90° B ．BE ＝ 5C ．△EFB ∽△BFCD ．∠ACB ＋∠AEB ＝45°16．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 以每秒1 cm 的速度从点A 出发，沿折线AC —CB 运动，到点B 停止，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y(cm)与点P 的运动时间x(秒)的函数图像如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是( )A ．1.5 cmB ．1.2 cmC ．1.8 cmD ．2 cm二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，且AB ＝4，BC ＝5 ，EF ＝4，则DE ＝ ．18．如图，已知△OAB 与△OA ′B ′是位似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心．若△OAB 内一点P(x ，y)与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，则点P ′的坐标是 ．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E.则当BD ＝4时，CE ＝ ；当∠AED ＝90°时，BD ＝ ． 三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，求CFCD的值．21．(本小题满分9分)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)．(1)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且位似比为2；(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．22．(本小题满分9分)已知：如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB 上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F，点D为BC上一点，连接DE，DF，△DEF的面积为4，求点E到BC的距离．23．(本小题满分9分)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于点E，交AC延长线于点F.求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2＝DE·DF.24．(本小题满分10分)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE ＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1 m)25．(本小题满分10分)如图，在△ABC中，BC＝8 cm，AC＝6 cm，点P从B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度移动，若P，Q分别从B，C同时出发，设运动的时间为t s，则△CPQ能否与△CBA相似？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．26．(本小题满分11分)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．答案一、选择题二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上) 17．165．18．(－2x ，－2y)．19．CE ＝4.8；当∠AED ＝90°时，BD ＝8． 三、解答题20．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°.又∵AB ＝3，AD ＝BC ＝6，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝3. ∵BE ＝1.8，∴DE ＝3－1.8＝1.2.∵AB ∥CD ，∴DF AB ＝DE BE ，即DF 3＝1.21.8.解得DF ＝233.∴CF ＝CD －DF ＝33.∴CF CD ＝333＝13.21．点M ′的坐标为(2a ，2b)或(－2a ，－2b)．解：如图，△DEF 和△D ′E ′F ′为所作． 22．解：设点E 到BC 的距离为x.∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC. ∴EF BC ＝5－x 5.∴EF ＝10－2x. ∴S △DEF ＝12(10－2x)·x ＝4.解得x 1＝4，x 2＝1.∴点E 到BC 的距离为4或1.23．证明：(1)在Rt △ABC 中，∠B ＋∠A ＝90°. ∵DF ⊥AB ，∴∠BDE ＝∠ADF ＝90°. ∴∠A ＋∠F ＝90°.∴∠B ＝∠F. ∴△ADF ∽△EDB.(2)由(1)可知∠B ＝∠F ，∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ＝DB. ∴∠DCE ＝∠B.∴∠DCE ＝∠F.又∵∠CDE ＝∠FDC ，∴△CDE ∽△FDC. ∴CD DF ＝DE CD ，即CD 2＝DE ·DF. 24．解：过点D 作DG ⊥AB ，分别交AB ，EF 于点G ，H ，则EH ＝AG ＝CD ＝1.2 m ，DH ＝CE ＝0.8 m ，DG ＝CA ＝30 m. ∵EF ∥AB ，∴FH BG ＝DHDG.由题意，知FH ＝EF －EH ＝1.7－1.2＝0.5(m)． ∴0.5BG ＝0.830，解得BG ＝18.75. ∴AB ＝BG ＋AG ＝18.75＋1.2＝19.95(m)≈20.0 m. 答：楼高AB 约为20.0 m. 25．解：设经过t s 时△CPQ 与△CBA 相似，此时BP ＝2t ，CQ ＝t ，CP ＝8－2t ，①当△CPQ ∽△CBA 时，CP CB ＝CQ CA ，即8－2t 8＝t6，解得t ＝2.4；②当△CPQ ∽△CAB 时，CP CA ＝CQ CB ，即8－2t 6＝t 8，解得t ＝3211.综上可知，经过2.4 s 或3211s 时，△CPQ 与△CBA 相似．26．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB. 又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB.∴AD AC ＝AC AB，即AC 2＝AB ·AD. (2)证明：∵E 为AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝AE.∴∠EAC ＝∠ECA.由(1)知∠DAC ＝∠CAB. ∴∠DAC ＝∠ECA.∴CE ∥AD. (3)∵CE ∥AD ，∴△AFD ∽△CFE.∴AD CE ＝AFCF .∵CE ＝12AB ，∴CE ＝12×6＝3.∴43＝AF CF. ∴AF AC ＝47，即AC AF ＝74.人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试（含答案）一、选择题1、如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）A．12.5 B．12 C．8 D．42、已知线段AB=4，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，则PB=（）A． B． C．2﹣4 D．6﹣23、已知=，那么的值为（）A． B． C． D．4、矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣15、正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2 B．1 C．4 D．6、如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．7、如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：98、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（）A．∠B=∠D B． = C．AD∥BC D．∠BAC=∠D9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（）A． B． C． D．二、填空题10、已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．11、在比例尺为1：1000 000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是__________千米．12、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE=2，则OD的长为．13、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，A P= ．14、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，四边形DEFB是菱形，AB=6，BC=4，那么AD= ．15、如图，点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为．16、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．17、如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE= .三、简答题18、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2．（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比．19、如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．20、如图：△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°求证：（1）△PAC∽△BPD；（2）若AC=3，BD=1，求CD的长．21、已知，如图，Rt△ABC中∠B=90°，Rt△DEF中∠E=90°，OF=OC，AB=6，BF=2，CE=8，CA=0，DE=15．（1）求证：△ABC∽△DEF；（2）求线段DF，FC的长．22、我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.(1) 等边三角形“內似线”的条数为；(2) 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.参考答案一、选择题1、C解：∵AD∥BE∥CF，∴=，即=，解得，EF=8，2、D解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，AB=4，∴PB=4×=6﹣2；3、B解：∵=，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．4、D解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，∴=，∴a=2，b=﹣1，5、B解：如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC=90°∠APB+∠BAP=90°∴∠BAP=∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴当x=2时，y有最大值1cm易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO=CQ=，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM=1，6、D解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，∴，A错误；∴，C错误；∴，D正确；不能得出，B错误；7、A解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴=8、A解：∵∠C=∠AED=90°，∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故A选项不能证明相似；∵∠C=∠AED=90°，，∴，即sin∠B=sin∠DAE，∴∠B=∠DAE，∴△ABC∽△DAE，故选项B可以证明相似；∵AD∥BC，∴∠B=∠DAE，∵∠C=∠AED=90°，∴△ABC∽△DAE，故选项C可以证明相似；∵∠BAC=∠D，∠C=∠AED=90°，∴△ABC∽△DAE，故选项D可以证明相似；9、C二、填空题10、6．解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则b===6．11、30 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，可知实际距离=图上距离÷比例尺．【解答】解：根据题意，3÷=3000 000厘米=30千米．即实际距离是30千米．故答案为：30．【点评】本题考查了比例线段的定义及比例尺，属于基础题型，比较简单．12、2．【解答】解：连接BO并延长交AC于F，如图，∵BA=BC，∴=，∴BF⊥AC，∵直径MN⊥BC，∴BD=CD，∵∠BOD=∠EOF，∴Rt△BOD∽Rt△EOF，∴===，设OF=x，则OD=x，∵∠DBO=∠DEC，∴Rt△DBO∽Rt△DEC，∴=，即=，而BD=CD，∴DB2=x（x+2）=3x2+2x，在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2=（2）2，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴OD=x=2．故答案为13、3【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．14、；解：∵四边形DEFB是菱形，∴BD=BF=DE，DE∥BF，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD=15、45解：∵点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为：1：3，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为：1：9，∵四边形ABCD的面积为5，∴四边形A1B1C1D1的面积为：5×9=45．16、（3，4）或（0，4）．【解答】解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=2x﹣8，同理可得：直线AB的解析式为：y=x﹣2，直线BC的解析式为：y=﹣x+10，∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），∴过这两点的直线为：y=2x+1，∴过这两点的直线与直线AC平行，①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5），则B1C1∥BC，B1A1∥BA，设直线B1C1的解析式为y=﹣x+a，直线B1A1的解析式为y=x+b，∴﹣2+a=5，+b=3，解得：a=7，b=，∴直线B1C1的解析式为y=﹣x+7，直线B1A1的解析式为y=x+，则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（3，4）；②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5），则B1A1∥BC，B1C1∥BA，设直线B1C1的解析式为y=x+c，直线B1A1的解析式为y=﹣x+d，∴×2+c=5，﹣1+d=3，解得：c=4，d=4，∴直线B1C1的解析式为y=x+4，直线B1A1的解析式为y=﹣x+4，则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（0，4）．∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．故答案为：17、6．解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，∴DE=6．三、简答题18、【解答】解：（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′，∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，∴得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2．19、（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，在△ABM和△BCP中，AB=BC，∠ABC=∠C，CP=BM，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠ABM=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．20、证明：（1）∵△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，∴∠APC+∠BPD=45°，又∠PAB+∠PBA=45°，∠PBA+∠PBD=45°，∴∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，∵∠PCA=∠PDB，∴△PAC∽△BPD；（2）∵=，PC=PD，AC=3，BD=1∴PC=PD=，∴CD==．21、（1）证明：∵OF=OC，∴∠OCF=∠OFC，∵∠B=90°，∠E=90°，∴△ABC∽△DEF；（2）解：∵△ABC∽△DEF，∴==，∵AB=6，DE=15，AC=10，BF=2，CE=8，∴==，∴DF=25，CF=2．22、(1) 解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；故答案为：3；(2) 证明：∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∴△BCD∽△ABC，∴BD是△ABC的“內似线”；(3) 解：设D是△ABC的内心，连接CD，则CD平分∠ACB，∵EF是△ABC的“內似线”，∴△CEF与△ABC相似；分两种情况：①当==时，EF∥AB，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，作DN⊥BC于N，如图2所示：则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，∴DN=（AC+BC﹣AB）=1，∵CD平分∠ACB，∴=，∵DN∥AC，∴=，即，∴CE=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，即，解得：EF=；②当==时，同理得：EF=；综上所述，EF的长为．。
人教版初中数学九年级下册《第27章相似》整章测试题(含答案)
人教版初中数学九年级下册《第27章相似》整章测试题（含答案）（时间90分钟，满分120分）一、填空题（每小题3分，共30分）1、如图1，在△ABC 中，AD ：DB=1：2，DE ∥BC ，若△ABC 的面积为9，则四边形DBCE 的面积为 。
2、如图2，D 、E 两点分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE 与BC 不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，△ADE ∽△ACB 。
图23、如图3，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△的位似比为2：1。
图34、在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，D 是AC 的中点，过D 作直线l ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l 有 条。
5、如图4，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长 。
A BCDE图1图46、雨后天晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远处的一块小积水里，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该学生的眼部高度为1.5m ，那么旗杆的高为 。
7、已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 和 。
8、如图5，已知在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，四边形EFDH 为内接正方形，则AE ：AB= 。
9、如果点C 是线段AB 靠近B 的黄金分割点，且AC=2，那么AB= 。
10、如图6，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分面积为 cm 2。
二、选择题(每小题4分，共40分)11、如图7，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸上的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ）A 、F B 、G C 、H D 、KABCDFEH图5ABCFED图6图712、已知△ABC ∽△DEF ，AB ：DE=1：2，则△ABC 与△DEF 的周长比等于（ ）A 、1：2 B 、1：4 C 、2：1 D 、4：113、如图8，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（ ）A 、4对B 、5对C 、6对D 、7对14、已知==，且a-b+c=10，则a+b-c 的值为（ ）4a 5b 6cA 、6B 、5C 、4D 、315、两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积之和是78cm 2，则较大的五边形面积是（ ）cm 2。
人教版数学九年级下册 第27章 相似 单元练习题 含答案
人教版数学九年级下册第27章相似单元练习题含答案第27章 相似 单元练习题1. 已知a 5＝b 7＝c 8，且3a －2b ＋c ＝9，则2a ＋4b －3c 的值为( ) A ．14 B ．42 C ．7 D ．1432．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB BC ＝23，DE ＝4，则EF 的长是( ) A.83 B ．203C ．6D ．10 3. 如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是( )A ．∠ABD ＝∠CB ．∠ADB ＝∠ABC C.AB BD ＝CB CD D ．AD AB ＝AB AC4. 满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形有( )①∠A ＝60°，AB ＝5cm ，AC ＝10cm ，∠A′＝60°，A′B′＝3cm ，A′C′＝6cm ； ②∠A ＝45°，AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，∠D ＝45°，DE ＝2cm ，DF ＝3cm ；③∠C ＝∠E ＝30°，AB ＝8cm ，BC ＝4cm ，DF ＝6cm ，FE ＝3cm ；④∠A ＝∠A′，且AB·A′C′＝AC·A′B′.A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5．如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CE 交AD 于E ，点F 是AB 的中点，则S △AEF ∶S 四边形BDEF 为( )A ．3∶4B ．1∶2C ．2∶3D ．1∶36. 为了测量被池塘隔开的A 、B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，点C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC 、∠ACB ；②CD 、∠ACB 、∠ADB ；③EF 、DE 、BD ；④DE 、DC 、BC.根据所测数据，可以求出A 、B 间距离的有( )14．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是.(写出一个即可)15. △ABC和△A′B′C′中，ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝35，且△A′B′C′的周长为50cm，则△ABC的周长为.16. 一个花坛为长方形，长为20米，宽为10米，今在它的四周种植上一宽度为2米的草坪，花坛矩形和外围的矩形是的(填“相似”或“不相似”)．17.如图所示，AB＝2AC，BD＝2AE，又因为BD∥AC，点B、A、E在同一条直线上．试说明△ABD∽△CAE.18. 如图，△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B、C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.19. 如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．20. 如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端点D与电线杆顶端点B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，恰好看到竹竿顶端点D1与电线杆顶端点B重合．小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE ＝2m，EC1＝6m，C1E1＝3m.(1)△FDM∽________，△F1D1N∽________；(2)求电线杆AB 的高度．参考答案：1---10 ACCCD CCCDA11. (3,4)或(0,4)12. 1813. 1214. AF ＝12AC 或∠AFE ＝∠ABC 15. 30cm16. 不相似17. 解：因为BD ∥AC ，点B 、A 、E 在同一条直线上，所以∠DBA ＝∠EAC ，又因为AB ＝2AC ，BD ＝2AE ，所以AB AC ＝BD AE＝2，所以△ABD ∽△CAE. 18. (1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，又∵∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△BDE ∽△CEF ；(2)解：∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF ，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DE EF，∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠CFE ，∴FE 平分∠DFC.19. (1)证明：∵AG ⊥BC ，AF ⊥DE ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°，∵∠EAF ＝∠GAC ，∴∠AED ＝∠ACB ，∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ；(2)解：由(1)可知：△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ＝35，由(1)可知：∠AFE ＝∠AGC ＝90°，∴∠EAF ＝∠GAC ，∴△EAF ∽△CAG ，∴AF AG ＝AE AC ，∴AF AG ＝35. 20. 解：(1)△FBG ，△F 1BG ；(2)电线杆AB 的高度为15m.。
人教版九年级数学下册第二十七章 相似单元练习(含答案)
人教版九年级数学下册第二十七章相似单元练习（含答案）一、选择题1.在平面直角坐标系中，已知点A(－2,4)，B(－3,1)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点A的对应点A′的坐标是()A． (－4,8)B． (－1,2)C． (－4,8)或(4，－8)D． (－1,2)或(1，－2)2.如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是()A．P1B．P2C．P3D．P43.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2∶1，则点B1的坐标可以为()A． (3，－2)B． (4,0)C． (5，－1)D． (5,0)4.如图所示，△ABC中，DE∥BC，AC＝9，CE＝6，AD＝4，则BD的值为()A． 4B． 6C． 8D． 125.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA ＝3OC，OB＝3OD)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD＝1.8 cm时，则AB的长为()A． 7.2 cmB． 5.4 cmC． 3.6 cmD． 0.6 cm6.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A． 4∶9B． 2∶5C． 2∶3D．∶7.如图，△ABC≌△ADE且∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，BC、DE交于点O.则下列四个结论中，①∠1＝∠2；②BC＝DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个8.已知2∶x＝3∶9，则x等于()A． 2B． 3C． 4D． 69.下列图形中一定相似的是()A．所有矩形B．所有等腰三角形C．所有等边三角形D．所有菱形10.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费()A． 540元B． 1 080元C． 1 620元D． 1 800元11.若2a＝3b，则a∶b等于()A． 3∶2B． 2∶3C．－2∶3D．－3∶212.如图，已知点E(－4,2)，F(－2，－2)，以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为()A． (2，－1)或(－2,1)B． (8，－4)或(－8，－4)C． (2，－1)D． (8，－4)二、填空题13.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC∶CD为__________．14.如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为__________．15.如图，△ABC与△FAG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠F＝90°，BC分别与AF、AG相交于点D、E.则图中不全等的相似三角形有____________对．16.如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是__________．17.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE∶S△ABC＝________.18.下图中，形状相同的图形有哪些．__________________19.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝1，OC＝，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再以原点O为位似中心将矩形OC1B1放大为原来的倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A100OC100B100的对角线交点的纵坐标为__________．20.如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝__________.21.如图，AD＝DF＝FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝__________.22.在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2,3)，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于2∶1，则点A′的坐标____________．23.如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O.若AD＝AO，则△ABC与△DEF的位似比为__________．24.有一支夹子如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ为6 cm，如果想用夹子的尖端A、D两点夹住P、Q两点，那么手握的地方EC至少要张开________ cm.三、解答题25.深圳市民中心广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16米，落在斜坡上的影长CD为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°.1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2米，求旗杆的高度．26.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,3)、B(－1,0)、C(4,0)．(1)经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，请直接写出此时点C的对应点C1坐标；(不必画出平移后的三角形)(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；(3)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为1∶4，请你在网格内画出△A2B2C2.27.如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下：(1)图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明；(2)若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形．28.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)．(1)△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请以△ABC的B点为位似中心画相似三角形，使得该三角形与△ABC的相似比为1∶2.29.如图，△ABC∽△A′BC′，AD、A′D′分别是这两个三角形的高，EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，与相等吗？为什么？30.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)，按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2.(1)以A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB1C1D1；(2)以A为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，且放大到原来的两倍，得到四边形AB2C2D2.31.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上(BC)，有一部分落在斜坡上(CD)，他测得落在地面上影长为10米，留在斜坡上的影长为2米，∠DCE为45°，则旗杆的高度约为多少米？(参考数据：≈1.4，≈1.7)32.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1,2)、B(2,1)、C(4,5)．(1)画出△ABC关于x对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．答案解析1.【答案】C【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大为△OA′B′，点A(－2,4)，∴A′点的坐标为(－4,8)，B′(4，－8)．故选C.2.【答案】C【解析】∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．∴它们的位似中心是P3.故选C.3.【答案】D【解析】由图可知，点B的坐标为(3，－2)，以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2∶1，则点B1的坐标为(5,0)或(1，－6)，故选D.4.【答案】C【解析】∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得BD＝8，故选C.5.【答案】B【解析】∵OA＝3OC，OB＝3OD，∴OA∶OC＝OB∶OD＝3∶1，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴＝＝，∴AB＝3CD＝3×1.8＝5.4( cm)．故选B.6.【答案】A【解析】∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA∶OA′＝2∶3，∴DA∶D′A′＝OA∶OA′＝2∶3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为＝，故选A.7.【答案】D【解析】∵△ABC≌△ADE且∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，∴∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，故②正确；∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠1＝∠2，故①正确；∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∴＝，∵∠1＝∠2，∴△ABD∽△ACE，故③正确；∵∠ACB＝∠AEF，∠AFE＝∠OFC，∴△AFE∽△OFC，∴＝，∠2＝∠FOC，即＝，∵∠AFO＝∠EFC，∴△AFO∽△EFC，∴∠FAO＝∠FEC，∴∠EAO＋∠ECO＝∠2＋∠FAO＋∠ECO＝∠FOC＋∠FEC＋∠ECO＝180°，∴A、O、C、E四点在同一个圆上，故④正确．故选D.8.【答案】D【解析】∵2∶x＝3∶9，∴3x＝18，∴x＝6，故选D.9.【答案】C【解析】A.所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B．所有等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C．所有等边三角形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；D．所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误．故选C.10.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，∴每平方厘米的广告费为180÷50＝元，∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×＝1 620元故选C.11.【答案】A【解析】∵2a＝3b，∴a∶b＝3∶2.故选A.12.【答案】A【解析】以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为(－4×，2×)或，即(2，－1)或(－2,1)，故选A.13.【答案】2∶1【解析】过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，∵PC∥AE，∴＝，而AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即BC∶CD为2∶1，14.【答案】(－4，－3)或(2,3)【解析】∵直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0，可得y＝1；令y＝0，可得x＝－1，∴点A和点B的坐标分别为(－1,0)；(0,1)，∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，∴＝＝，∴O′B′＝3，AO′＝3，∴B′的坐标为(－4，－3)或(2,3)．15.【答案】3【解析】图中不全等的相似三角形有3对．∵△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠F＝90°，∴∠C＝∠B＝∠FAG＝∠G＝45°，∵∠CEA＝∠B＋∠EAB，∠DAB＝∠FAG＋∠EAB，∴∠CEA＝∠BAD，∴△CAE∽△BDA；∴△BDA∽△ADE；∴△CAE∽△ADE.16.【答案】(－2，)【解析】由题意，得△A′OB′与△AOB的相似比为2∶3，又∵B(3，－2)∴B′的坐标是，即B′的坐标是(－2，)．17.【答案】1∶4【解析】∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝＝，故答案为1∶4.18.【答案】(1)和(9)，(2)和(4)，(3)和(10)，(5)和(7)【解析】通过观察：(1)和(9)的形状相同．(2)和(4)的形状相同．(3)和(10)的形状相同．(5)和(7)的形状相同．19.【答案】【解析】∵OA＝1，OC＝，∴点B的坐标为(－1，)，∴矩形AOCB的对角线交点的坐标为(，)，则矩形A1OC1B1的对角线交点的纵坐标为×＝＝，则矩形A100OC100B100的对角线交点的纵坐标为.20.【答案】【解析】∵线段AD、BE是△ABC的中线，∴＝，＝，∵EF∥BC，＝，∴＝.21.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD＝DF＝FB，∴AD∶AF∶AB＝1∶2∶3，∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC＝1∶4∶9，∴SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝1∶3∶5.22.【答案】(1，)或(－1，)【解析】在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2∶1，A坐标为(2,3)，∴则点A′的坐标为(1，)，不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2∶1，A坐标为(2,3)，∴则点A′的坐标为(－1，).23.【答案】【解析】∵O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF 是位似三角形，位似中心为O.AD＝AO，∴＝，则△ABC与△DEF的位似比为.24.【答案】3【解析】∵AB＝2BC，BD＝2BE，∴△ADB∽△CEB，∴AD∶EC＝AB∶BC，当AD＝PQ＝6 cm时，∴6∶EC＝2∶1，解得EC＝3 cm.25.【答案】解如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N.∵△MCD∽△PQR，∴＝，即＝，CM＝4(米)，又∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是矩形，∴MN＝BC＝16米，BN＝CM＝4米．∵在直角△AMN中，∠AMN＝45°，∴AN＝MN＝16米，∴AB＝AN＋BN＝20米．【解析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据＝，求出CM，在Rt△AMN中利用等腰直角三角形的性质求出AN即可解决问题．26.【答案】解(1)∵经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，∴A点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，故C1坐标为(1，－3)；(2)如图所示：△A′BC′即为所求，A′点的坐标为(－4,4)；(3)如图所示：△AB2C2，即为所求．【解析】(1)直接利用平移的性质得出A点平移规律，进而得出答案；(2)直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；(3)直接利用位似图形面积比得出相似比为1∶2，即可得出对应点位置．27.【答案】解(1)图中共有三对全等三角形：①△ADB≌△DAC，②△ABE≌△DCE，③△ABC≌△DCB；选择①△ADB≌△DAC证明：在⊙O中，∠ABD＝∠DCA，∠BCA＝∠BDA，∵BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD.∴∠CAD＝∠BDA.在△ADB与△DAC中，∵∴△ADB≌△DAC.(2)图中与△ABE相似的三角形有△DCE，△DBA，△ACD.【解析】(1)已知BC∥AD，可得出的条件有＝，＝；即AB＝CD、AC＝BD、∠BAC＝∠CDB、∠BCA＝∠CBD；再根据AD＝AD、∠AEB＝∠CED，可得出的全等三角形有：①△ADB≌△DAO(SSS)；②△ABE≌△DCE(AAS)；③△ABC≌△DCB(AAS)．(2)BD平分∠ADC，那么＝＝.可根据圆周角定理得出的相等角进行判断．28.【答案】解(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△BEF和△BDN即为所求．【解析】(1)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)利用位似图形的性质结合位似中心得出对应点位置进而得出答案．29.【答案】解与相等．理由如下：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝，∵EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，∴＝＝，∴＝，∴＝，∵AD、A′D′分别是这两个三角形的高，∴＝，∴＝.【解析】先根据相似的性质，由△ABC∽△A′B′C′得到＝，再根据三角形中位线性质，得＝＝，利用比例性质变形为＝，所以＝，然后根据相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比得到＝，于是有＝.30.【答案】解(1)如图，四边形AB1C1D1为所作；(2)如图，四边形AB2C2D2为所作．【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点B、C、D的对应点B1、C1、D1即可得到四边形AB1C1D1；(2)延长BA到B2，使B2A＝2BA，则点B2为点B的对应点，同样方法作出点C和D的对应点C2、D2，则四边形AB2C2D2满足条件．31.【答案】解延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，∵CD＝2米，∠DCE＝45°，∴DE＝CE＝米，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，解得EF＝2DE＝2米，∵DE⊥BC，AB⊥BC，∴△EDF∽△ABF，∴＝，即＝，∴AB＝5＋≈7.1米．答：旗杆的高度约为7.1米．【解析】延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求出ED的长，再由同一时刻物高与影长成正比得出EF的长，根据DE∥AB可知△EDF∽△ABF，由相似三角形的对应边成比例即可得出AB的长．32.【答案】解(1)如图所示，△A1B1C1就是所求三角形(2)如图所示，△A2B2C2就是所求三角形∵A(－1,2)，B(2,1)，C(4,5)，△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，∴A2(－2,4)，B2(4,2)，C2(8,10)，∴S△A2B2C2＝8×10－×6×2－×4×8－×6×10＝28.【解析】(1)画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；(2)连接OB延长OB到B2，使得OB＝BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形．。
人教版九年级下册第二十七章相似单元练习题(含答案解析)
人教版九年级下册第二十七章相似单元练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知23a c eb d f===(0)b d f++≠，且6a c e++=，则b d f++的值为（）A．4 B．6 C．9 D．122．如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/秒，点E运动的速度为2 cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()A．2.5秒B．4.5秒C．2.5秒或4.5秒D．2.5秒或4秒3．下列两个图形一定相似的是()A．两个矩形B．两个等腰三角形C．两个五边形D．两个正方形4．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝50 cm，EF＝25 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6 m，CD＝10 m，则树高AB等于()A．4 mB．5 mC．6.6 mD．7.7 m5．如图，三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2∶3，若三角尺的一边长为8 cm，则这条边在投影中的对应边长为()A．8 cmB．12 cmC．16 cmD．24 cm6．下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．7．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF ＝∠A，EF与BD相交于点M，以下结论：①△BDE是等腰三角形；②四边形AFED 是菱形；③BE＝AF；④若AF∶BF＝3∶4，则△DEM的面积：△BAD的面积＝9∶49，以上结论正确的是()A．①②③④B．①③④C．①③D．③④8．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A．1:2B．1:4C．1:5D．1:69．如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()A．6米B．8米C．10米D．12米10．如图，直角坐标系中，线段AB两端点坐标分别为A(4,2)、B(8,0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(－4,0)，则A1的坐标为()A．(2,1)B．(－2，－1)C．(－1,2)D．(－4，－2)二、填空题11．如图，以O为位似中心，将五边形ABCDE放大得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA ＝10 cm，OA′＝30 cm，若S五边形A′B′C′D′E′＝27 cm2，则S五边形ABCDE＝__________.12．若ab＝34，则a bb＝__________.13．如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE∶EB＝3∶2，CP∶CE＝5∶6，那么DB∶CD＝__________.14．如图，O点是△ABC与△D1E1F1的位似中心，△ABC的周长为1.若D1、E1、F1分别是线段OA、OB、OC的中点，则△D1E1F1的周长为12；若OD2＝13OA、OE2＝13OB、OF2＝13OC，则△D2E2F2的周长为13；…若ODn＝13OA、OEn＝13OB、OFn＝13OC，则△DnEnFn的周长为__________．(用正整数n表示)15．如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)，在方格纸中把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，则点B的对应点B′的坐标为______________．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．17．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点A为位似中心，把△ABC放大3倍后得到△AEF，则∠E＝__________.18．如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且AEEB＝16，射线CF 交AB 于E 点，则AF FD等于____________．19．如图是临时暂停修建的一段乡村马路，高的一边已经修好，低的一边才刚做好路基．一辆汽车在高的一边沿箭头方向行驶时偏离了正常行驶路线后停止，但一侧的两个轮子已经驶入低的一边，经检查，地板AB 刚接触到高的一边的路面边缘P ，已知AB ＝130 cm ，轮子A 、B 处在地板以下部分与地面的距离AC ＝BD ＝30 cm ，两路面的高度差为50 cm.设路面是水平的，则PC 的长是____________ cm.20．如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 上的一点(不与点A 、B 重合)，DE ∥BC ，交AC 于点E ，则DEC ABC S S 的最大值为________．三、解答题21．在边长为1的正方形网格中有A 、B 、C 、D 、E 五个点，问△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由．22．深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为16米，落在斜坡上的影长CD 为8米，AB ⊥BC ；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°.1米的标杆EF 竖立在斜坡上的影长FG为2米，求旗杆的高度．23．如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE＝BD，BE、AD相交于点F.求证：(1)△ABD≌△BCE；(2)△AEF∽△ABE.24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；(1)以O为位似中心，在点O的同侧作△A1B1C1，使得它与原三角形的位似比为1∶2；(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，并求出点A旋转的路径的长．25．杨洋同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，BO∶OD＝4∶5.AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D．已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点26．如图，在66处的三角形，ABC是一个格点三角形．()1在图①中，请判断ABC与DEF是否相似，并说明理由；()2在图②中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与ABC的位似比为2：1()3在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与ABC相似，且有一条公共边和一个公共角．27．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC 上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：(1)如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E 位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．(2)已知三角形ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG的面积．28．已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB．参考答案1．C【解析】【分析】运用等比性质求解即可.【详解】解：由23a c eb d f===，得23a c eb d f++=++，因为6a c e++=，所以3692b d f++=⨯=.故选C.【点睛】本题主要考查等比性质，解题的关键是熟知等比性质的内容，即若a c e md n b f====(0)b d f n++++≠，则aba c e mb d f n++++=++++，具体运用时，要特别注意条件b d f n++++≠.2．D【分析】运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似, AD＝t，CE＝2t，AE＝10－2t，分两种情况①△ADE∽△ABC②△ADE∽△ACB进行讨论即可求出时间t.【详解】如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC－CE＝10－2t.①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC.∴AD∶AB＝AE∶AC，∴t∶5＝(10－2t)∶10，∴t＝2.5；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB.∴AD∶AC＝AE∶AB，∴t∶10＝(10－2t)∶5，∴t＝4.∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2.5秒或4秒．故选D.【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.3．D【解析】【分析】根据相似多边形的判定方法依次进行判断即可.【详解】A.两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B ．两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；C ．两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；D ．两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意． 故选D.【点睛】此题主要考查相似多边形的判定，解题的关键是熟知相似多边形的判定方法. 4．C【分析】根据△DEF ∽△DCB ，结合已知条件即可求得树的高度.【详解】∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ，∴△DEF ∽△DCB ， ∴BC EF ＝CD DE ， ∵DE ＝50 cm ＝0.5 m ，EF ＝25 cm ＝0.25 m ，AC ＝1.6 m ，CD ＝10 m ， ∴0.25BC ＝100.5， ∴BC ＝5米，∴AB ＝AC ＋BC ＝1.6＋5＝6.6米．故选C.【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是找到对应线段的关系. 5．B【详解】试题分析：利用相似比为2：3，可得出其对应边的比值为2：3，进而求出即可．解：∵三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，三角尺的一边长为8cm，∴设这条边在投影中的对应边长为：x，则=，解得：x=12．故选B．考点：位似变换．6．D【分析】根据位似图形的定义解答即可，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】根据位似图形的定义，可得A，B，C是位似图形，B与C的位似中心是交点，A的位似中心是圆心；D不是位似图形．故选D．【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．7．B【分析】根据BD是△ABC的角平分线与DE∥AB易证∠DBE＝∠BDE，故△BDE是等腰三角形；可证EF∥AD，四边形ADEF为平行四边形而不是菱形，即可得BE＝AF，再连接DF，得△DEM∽△BFM，再求出相似比，利用面积比等于相似比的平方即求得△DEM的面积与△BAD的面积之比.【详解】∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠ABD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE 是等腰三角形，故①正确；∵DE ∥AB ，∴∠BAC ＋∠ADE ＝180°，∵∠DEF ＝∠BAC ，∴∠DEF ＋∠ADE ＝180°，∴EF ∥AD ，∴四边形ADEF 为平行四边形，故②错误；∴AF ＝DE ，∴BE ＝AF ；故③正确；如图，连接DF ，∵DE ∥AB ，∴△DEM ∽△BFM ， ∴DEM BFM S S ＝2DE BF ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵DE ＝AF ，AF ∶BF ＝3∶4，∴DEM BFM S S＝2DE BF ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝916，EM FM ＝DE BF ＝34， ∴DFM DEM S S ＝43， ∴S 四边形AFMD ＝113S △DEM ，S △BFM ＝169S △DEM ， ∴△DEM 的面积∶△BAD 的面积＝9∶49，故④正确，故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键熟知三角形内的证明关系.8．B【详解】由题意可知△DEF 与△ABC 的位似比为1︰2，∴其面积比是1︰4，故选B ．9．B【详解】解：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，∴△ABP∽△CDP，∴AB：CD=BP：PD，即1.4：CD=2.1：12，解得：CD=8米．故选B．点睛：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．10．B【分析】根据题意得出位似比以及两图形的位置关系，进而得出对应点坐标．【详解】解：∵线段AB两端点坐标分别为A（4，2）、B（8，0），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为（-4，0），∴对应点在原点的两侧，且位似比为2：1，则A1的坐标为：（-2，-1）．故选B．【点睛】此题主要考查了位似变换，根据题意得出位似比是解题关键．11．3 cm2【分析】根据五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，求出相似比，再利用面积比等于相似比的平方即可求出.【详解】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA＝10 cm，OA′＝30 cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为OA∶OA′＝10∶30＝1∶3，∴五边形ABCDE的米面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比为(OA∶OA′)2＝1∶9，∵S五边形A′B′C′D′E′＝27 cm2，∴S五边形ABCDE＝3cm2.【点睛】此题主要考查位似的性质，解题的关键是求出相似比.12．7 4【分析】由比例的性质即可解答此题. 【详解】∵34ab=，∴a=34 b，∴a bb+=3744b b bb b+=，故答案为7 4【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这个性质是解答此题的关键.13．1：3【分析】过E点作EF∥BC，根据平行线间的对应线段成比例知EF∶BD＝3∶5，EF∶CD3∶15，即可求出DB∶CD的值.【详解】过E点作EF∥BC，交AD于F.∵AE∶EB＝3∶2，CP∶CE＝5∶6，∴EF∶BD＝3∶(3＋2)＝3∶5，EF∶CD＝(6－5)∶5＝1∶5＝3∶15，∴DB∶CD＝5∶15＝1∶3.【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线.14．1 n【分析】根据位似图形的性质得出周长与边长之间的关系，即可求出△DnEnFn的周长. 【详解】∵O 点是△ABC 与△D 1E 1F 1的位似中心，△ABC 的周长为1，当D 1、E 1、F 1分别是线段OA 、OB 、OC 的中点，则△D 1E 1F 1的周长为12； 当OD 2＝13OA 、OE 2＝13OB 、OF 2＝13OC ，则△D 2E 2F 2的周长为13； …故当OD n ＝1n OA 、OE n ＝1n OB 、OF n ＝1n OC ，则△DnEnFn 的周长为1n. 【点睛】此题主要考查位似的性质，解题的关键是利用周长比等于相似比.15．()5,5--或（11，11）【分析】延长AB 到B′或延长BA 到B′，使AB′=2AB ，根据点B′所在的象限及距离坐标轴的距离可得点B′的坐标．【详解】如图，当B 在第三象限，点B 的对应点B′的坐标为（-5，-5），当B 在第一象限，点B 的对应点B′的坐标为（11，11），【点睛】解决本题的关键是得到画出点B′，可在点A 的右上方和左下方，应根据在格点范围内确定其具体位置．16．4.8或6411【分析】根据题意可分两种情况，①当CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA 与②CP 和CA 是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可. 【详解】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以CPCB＝CQCA，即16216t-＝12t，解得t＝4.8；②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以CPCA＝CQCB，即16212t-＝16t，解得t＝64 11.综上所述，当t＝4.8或6411时，△CPQ与△CBA相似．【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.17．72°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠B的度数，再根据位似三角形的对应角相等即可得出∠E的度数.【详解】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°∵△ABC∽△AEF，∴∠E＝∠B＝72°.【点睛】此题主要考查位似的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求出角度.18．1 3【分析】过点D作EC的平行线DG，得到BE的中点G，再用平行线分线段成比例定理得到AE：EG=AF：FD，然后求出AE AFEB FD=的值．【详解】如图：过点D作DG∥EC交AB于G，∵AD是BC边上的中线，∴GD是△BEC的中位线，∴BD=CD，BG=GE．∵16AEEB=，∴13 AEEG=,∵DG∥EC，∴13 AE AFEB FD==．故答案为1 3【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、三角形中位线定理．解题时利用了“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”.19．72【分析】依题意作图，先根据勾股定理求出BE，再根据△ACP∽△AEB，对应线段成比例求出CP. 【详解】已知如图：由题意可知四边形BEFD是矩形，AC＝30 cm，CF＝50 cm，∴BD＝EF＝30 cm，∴CE＝20 cm，∵AB＝130 cm，AE＝50 cm，∴BE120 cm，∵CP ∥BE ，∴△ACP ∽△AEB ， ∴AC AE ＝CP BE ， ∴3050＝120CP ， ∴CP ＝72 cm.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出图像进行解答.20．14【分析】设AD ＝x ，DEC ABC S S ＝y ，由△ADE ∽△ABC 知ADE ABC S S ＝116x 2①，又CE=AC-AE ，故AE CE ＝4x x - 由△ADE 的边AE 上的高和△CED 的边CE 上的高相等，得ADE DEC S S ＝AE EC ＝4x x -②，由①②得y ＝DEC ABC S S ＝－116x 2＋14x ，再根据0＜x ＜4即可求出最大值. 【详解】设AD ＝x ，DEC ABC SS ＝y ，∵AB ＝4，AD ＝x ，∴ADE ABC S S ＝2AD AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴ADE ABC S S ＝116x 2①， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC， ∵AB ＝4，AD ＝x ，∴AE AC ＝4x ， ∴AE CE ＝4x x-， ∵△ADE 的边AE 上的高和△CED 的边CE 上的高相等， ∴ADE DEC S S ＝AE EC ＝4x x-②， ①÷②，得∴y ＝DEC ABC S S ＝－116x 2＋14x ， ∵AB ＝4，∴x 的取值范围是0＜x ＜4；∴y ＝DEC ABC S S ＝－116(x －2)2＋14≤14， ∴DEC ABC S S 的最大值为14. 故答案为14. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意列出二次函数求出最值. 21．△ABC ∽△ADE ，△ABD ∽△ACE ；理由见解析.【分析】连接BD 、CE ，先根据边长为1的正方形网格分别求出AB 、BC 、AC 、AE 、AD 、DE 、CE 、BD ，再通过计算相互的比值来进行证明三角形相似.【详解】解：连接BD 、CE ，ABBC ＝10，ACAE ＝2，ADDECEBD∴AB AD ＝AC AE ＝BC DE CEBD ＝AC AB ＝AE AD ∴△ABC ∽△ADE ，△ABD ∽△ACE.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是找到对应线段成比例. 22．20米．【详解】如图作CM ∥AB 交AD 于M ，MN ⊥AB 于N ，根据=，求出CM ，在RT △AMN中利用等腰直角三角形的性质求出AN 即可解决问题． 解：如图作CM ∥AB 交AD 于M ，MN ⊥AB 于N ． ∵△MCD ∽△PQR ，∴=，即=，CM=4（米），又∵MN ∥BC ，AB ∥CM ，∴四边形MNBC 是矩形，∴MN=BC=16米，BN=CM=4米．∵在直角△AMN 中，∠AMN=45°，∴AN=MN=16米，∴AB=AN+BN=20米．23．（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)由△ABC是等边三角形,根据等边三角形的性质可得: AB＝BC , ∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°,继而根据SAS即可证得△ABD≌△BCE ;(2)由△ABD≌△BCE ,可证得∠BAD＝∠CBE ,进一步得到∠EAF＝∠ABE ,然后根据有两角对应相等的三角形相似,即可得△AEF∽△ABE .【详解】证明(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，,,,AB BCABD CBD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD≌△BCE(SAS)；(2)∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠EAF＝∠ABE，∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△ABE.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意有两角对应相等的三角形相似定理的应用.24．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接三角形各顶点与位似中心得线段AO，BO，CO，再将其减半，可得A1，B1，C1点，再连接各点即得△A1B1C1，（2）将连接的线段AO，BO，CO，绕点O顺时针旋转90°得到A2O,B2O,C2O,再连接各点即可，根据方格求出OA的长，再利用弧长公式求出A旋转的路径的长.【详解】解(1)如图所示：(2)如图所示：∵OA∴点A运动的路径为弧AA2【点睛】此题主要考查位似图像的作图，解题的关键是熟知位似图像的特点. 25．25 m.【分析】根据AB∥OH∥CD，得△ABO∽△CDO，根据相似三角形对应线段成比例得ABCD＝OBOD，代入数值即可求出CD的长. 【详解】解∵AB∥OH∥CD，∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，∴ABCD＝OBOD＝45，∵AB＝20米．∴CD＝25米．即标语CD的长度的长为25 m.【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形对应线段成比例. 26．（1）相似；（2）见解析；（3）见解析【详解】试题分析：（1）利用网格结合勾股定理得出三角形各边长，进而得出对应边的比相等，进而得出答案；（2）利用位似图形的性质结合位似比得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合有一条公共边和一个公共角进而得出答案．试题解析：：()1如图①所示：ABC 与DEF 相似，理由：1AB BC AC ，==4DE EF DF =，AB BC AC DE EF DF ∴=== ABC ∴与DEF 相似；()2如图②所示：'''A B C 即为所求； ()3如图③所示：ADC 和CEB 即为所求．点睛：三条边对应成比例，两个三角形相似.27．(1)见解析;(2) 18或28825. 【分析】（1）如图2，先画长方形HIJK ，使得HI=2HK ，并且H ，I 位于射线BC 上，K 位于射线BA 上，连结BJ 并延长交AC 于点F ，再将长方形HIJK 通过放大可得到满足要求的长方形DEFG ；如备用图，先画长方形HIJK ，使得HK=2HI ，并且H ，I 位于射线BC 上，K 位于射线BA 上，连结BJ 并延长交AC 于点F ，再将长方形HIJK 通过放大可得到满足要求的长方形DEFG ；（2）作△ABC 的高AM ，交GF 于N ．由三角形ABC 的面积为36，求出AM=6．再设AN=x ，由GF ∥BC ，得出△AGF ∽△ABC ，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式GF AN BC AM =，由此求出x 的值，进而求解即可． 【详解】解 (1)如图2与备用图1，长方形DEFG 即为所求作的图形；(2)在长方形DEFG中，如果DE＝2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N.∵三角形ABC的面积＝12BC·AM＝12×12AM＝36，∴AM＝6.设AN＝x，则MN＝6－x，DG＝MN＝6－x，DE＝GF＝2(6－x)＝12－2x. ∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴GFBC＝ANAM，∴1212x12＝x6，解得x＝3，∴DG＝6－x＝3，DE＝2DG＝6，∴长方形DEFG的面积＝6×3＝18；在长方形DEFG中，如果DG＝2DE，同理求出x＝65，∴DG＝6－x＝245，DE＝12DG＝125，∴长方形DEFG的面积＝245×125＝28825.故长方形DEFG的面积为18或288 25.故答案为(1)见解析;(2) 18或288 25.【点睛】本题考查位似变换，熟练掌握位似图形的性质是解答本题的关键. 28．证明见解析【分析】根据已知的线段长度知ADAC＝AEAB，又∠DAE＝∠CAB可得△ADE∽△ACB.【详解】证明∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，∴ADAC＝AEAB＝12，又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是找到公共角.。
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第二十七章相似一、选择题1.在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是()A．＝B．＝C．∠A＝∠ED．∠B＝∠D2.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为()A．B．C．D．3.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是()A． 6B． 8C． 9D． 124.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是()A．相似B．平移C．轴对称D．旋转5.下列各组图形相似的是()A．B．C．D．6.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)＝，(2)＝；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有()A． 1组B． 2组C． 3组D． 4组7.如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为()A． 1B．C．D． 28.下列说法中正确的是()①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A．①②B．②③C．③④D．②④9.已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为()A． 1∶2B． 1∶4C． 2∶1D． 4∶110.若△ABC～△A′B′C′，面积比为1∶4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为()A． 16∶1B． 1∶16C． 2∶1D． 1∶2二、填空题11.如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC∶BC＝2∶3，D为AB的中点，且CD＝2 cm，则AB＝________ cm.12.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为(2,4)，点E 的坐标为(－1,2)，则点P的坐标为________．13.在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__________．14.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形．15.在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝5 cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝__________ cm.16.如果两个相似三角形周长的比是2∶3，那么它们的相似比是____________．17.如图，AD为△ABC的中线，AE＝AD，BE交AC于点F，DH∥BF，则＝__________.18.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为______________尺．19.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B 的对应点B1的坐标是______________．20.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.三、解答题21.如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB＝AD，连接BC、D C.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)延长AB、DC交于点E，若EC＝5 cm，BC＝3 cm，求四边形ABCD的面积．22.问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息如图1：甲组：测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm；如图2：乙组：测得学校旗杆的影长为900 cm；如图3：丙组：测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为350 cm，影长为300 cm.解决问题：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度？(2)如图3，设太阳光线MH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径？23.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE·CD＝AD·CE.(1)求证：DE∥AB；(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，连接AF.求证：DF＝AF.24.如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE＝BD，BE、AD相交于点F.求证：(1)△ABD≌△BCE；(2)△AEF∽△ABE.25.如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD∶DB＝1∶3，DE＝2，求BC的长．26.将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可得到的矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN.(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比变了吗？(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？27.如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°.(1)若将△DEP的顶点P放在BC上(如图1)，PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证：△PBG∽△FCP；(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图2)，PD、PE与BC相交于点F、G.试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？28.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.答案解析1.【答案】B【解析】在△ABC和△DEF中，∵＝＝，∴△ABC∽△DEF，故选B.2.【答案】B【解析】作DK∥BC，交AE于K.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC，∠ABC＝∠C＝60°，∵∠AMD＝60°＝∠ABM＋∠BAM，∵∠ABM＋∠CBD＝60°，∴∠BAE＝∠CBD，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD，∴BE＝CD，CE＝AD，∵BM＝DM，∠DMK＝∠BME，∠KDM＝∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE＝DK＝CD，设BE＝CD＝DK＝a，AD＝EC＝b，∵DK∥EC，∴＝，∴＝，∴a2＋ab－b2＝0，∴＋－1＝0，∴＝或(舍弃)，∴＝＝，故选B.3.【答案】D【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴BC＝8，∴AC＝AB＋BC＝12，故选D.4.【答案】A【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A.5.【答案】B【解析】A.形状不同，大小不同，不符合相似定义，故错误；B．形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；C．形状不同，不符合相似定义，故错误；D．形状不同，不符合相似定义，故错误．故选B.6.【答案】C【解析】共有3组，其组合分别是(1)和(2)三边对应成比例的两个三角形相似；(2)和(4)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)和(4)两角对应相等的两个三角形相似．故选C.7.【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，∵∠E＝90°，∴∠EFG＋∠EGF＝90°，∴∠AFB＋∠DGC＝90°，∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DGC，∴△AFB∽△DCG，∴＝，∵AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，∴AF＝3，DG＝1，∴AB2＝AF·DG＝3，∴AB＝.故选C.8.【答案】D【解析】①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．故选D.9.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.故选A.10.【答案】D【解析】∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1∶4，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.故选D.11.【答案】20【解析】∵AC∶BC＝2∶3，∴设AC＝2x，则BC＝3x，AB＝5x，∵D为AB的中点，∴AD＝2.5x，∴CD＝0.5x，∵CD＝2 cm，∴x＝4，∴AB＝5x＝5×4＝20 cm；12.【答案】(－2,0)【解析】∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(2,4)，∴OC＝AB＝4，OA＝2，∴点C的坐标为(0,4)，∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为(－1,2)，∴位似比为1∶2，∴OP∶AP＝OD∶AB＝1∶2，设OP＝x，则＝，解得：x＝2，∴OP＝2，即点P的坐标为(－2,0)．13.【答案】1【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，∴MN＝1，故答案为1.14.【答案】相交于一点【解析】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．15.【答案】2或【解析】∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9，∴△ADE与△ABC相似比为∶1∶3，①若∠AED对应∠B时，则＝，∵AC＝5 cm，∴AD＝cm；②当∠ADE对应∠B时，则＝，∵AB＝6 cm，∴AD＝2 cm；16.【答案】2∶3【解析】∵两个相似三角形周长的比是2∶3，∴两个相似三角形相似比是2∶3.17.【答案】【解析】∵DH∥BF，AD为△ABC的中线，∴CH＝FH，∵DH∥BF，AE＝AD，∴AF＝FH.∴＝，18.【答案】45【解析】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴＝，解得x＝45.19.【答案】(4,2)或(－4，－2)【解析】位似图形如图所示，B1(4,2)，B2(－4，－2)，故答案为(4,2)或(－4,2)．20.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.21.【答案】(1)证明∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝∠D＝90°，在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC；(2)解由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADC，∴CD＝BC＝3，AD＝AB，∴DE＝5＋3＝8，∵∠EAD＝∠ECB，∠D＝∠EBC＝90°，∴△EAD∽△ECB，∴＝，∵BE＝＝4，∴＝，∴AD＝6，∴四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ACD＝2××3×6＝18 cm2【解析】22.【答案】解(1)∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得DE＝1 200 cm；(2)连接OM，设OM＝r，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得NG＝400 cm，在Rt△NGH中，NH＝＝＝500 cm，设⊙O的半径为r，∵MH与⊙O相切于点M，∴OM⊥NH，∴∠NMO＝∠NGH＝90°，又∵∠ONM＝∠GNH，∴△NMO∽△NGH，∴＝，即＝，又∵NO＝NK＋KO＝(NG－KG)＋KO＝400－350＋r＝50＋r，∴500r＝300(50＋r)，解得r＝75 cm.故景灯灯罩的半径是75 cm.【解析】(1)根据同一时刻物高与影长成正比即可求出旗杆的高度；(2)先根据同一时刻物高与影长成正比求出NG的长，再连接OM，由切线的性质可知OM⊥NH，进而可得出△NMO∽△NGH，再根据其对应边成比例列出比例式，然后用半径表示出ON，进行计算即可求出OM的长．23.【答案】证明(1)∵AE·CD＝AD·CE，∴＝，∵∠DAB＝∠B，∴AD＝BD，∴＝，∴DE∥AB；(2)∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2＝DF·AB，∵AD＝BD，∴AD2＝DF·AB，∴＝＝1，∵DE∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴＝，∴DF＝AF.【解析】24.【答案】证明(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE(SAS)；(2)∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠EAF＝∠ABE，∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△ABE.【解析】(1)由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，继而根据SAS即可证得△ABD≌△BCE；(2)由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD＝∠CBE，进一步得到∠EAF＝∠ABE，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△AEF∽△ABE.25.【答案】解∵AD∶DB＝1∶3，∴AD∶AB＝1∶4，∵△ABC∽△ADE，∴AD∶AB＝DE∶BC，∵DE＝2，∴BC＝8.【解析】先根据AD∶DB＝1∶3，变形得到AD∶AB的值，再根据相似三角形对应边成比例求解即可．26.【答案】解(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比不变；(2)在这些矩形中，有成比例的线段．(3)这些大小不同的矩形相似．【解析】(1)所有矩形的长、宽之比为；(2)第一个矩形的宽为对折后矩形的长，则得到成比例的线段；(3)根据相似多边形的定义回答．27.【答案】(1)证明如图1，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∴∠BPG＋∠CPF＝135°，在△BPG中，∵∠B＝45°，∴∠BPG＋∠BGP＝135°，∴∠BGP＝∠CPF，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP；(2)解△PBG与△FCP相似．理由如下：如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∵∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，∠CPF＝∠FPG＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∴∠AGP＝∠CPF，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP.【解析】(1)如图1，先根据等腰直角三角形的性质，得∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，再利用平角定义得到∠BPG＋∠CPF＝135°，利用三角形内角和定理得到∠BPG＋∠BGP＝135°，根据等量代换得∠BGP＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；(2)如图2，由于∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，利用三角形外角性质，得∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，而∠CPF＝45°＋∠CAG，所以∠AGP＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是可判断△PBG∽△FCP.28.【答案】证明如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1＋∠2＝180°－∠B＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠2＋∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE.【解析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B＝∠C＝45°，再利用三角形内角和得到∠1＋∠2＝135°，利用平角定义得到∠2＋∠3＝135°，则∠1＝∠3，于是可根据有两角对应相等的两个三角形相似得到结论．。