专题复习：重庆中考数学第16题专题训练
专题16 相交线与平行线-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(专题测试)(解析版)
专题专题16 相交线与平行线（满分：100分时间：90分钟）班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2020·四川广元市·中考真题）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（）.A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．【详解】解：过点P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°．故选B．2．（2020·河北中考真题）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【答案】D在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D ．3．（2020·山东枣庄市·中考真题）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB//CF ，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．18°D ．30°【答案】B【分析】 直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB ∥CF ，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选B.4．（2020·山东威海市·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上．若直线1234//////l l l l 且间距相等，4AB =，3BC =，则tan α的值为（ ）A ．38 B ．34 C D ．15【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．【详解】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴CE CG CF CB=，∵12 CECF=，∴12 CGCB=，∵BC＝3，∴GB＝32，∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝BGAB=324=38，∴tanα的值为38，故选：A．5．（2020·贵州遵义市·中考真题）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：如图∵AB∥CD，∴∠1＝∠D＝45°，故选：B．6．（2020·山东济南市·中考真题）如图，AB//CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）A．35°B．45°C．55°D．70°【答案】C【分析】由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．【详解】∵AB∥CD，∠BAD=35°，∴∠ADC＝∠BAD＝35°，∵AD ⊥AC ，∴∠ADC+∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝90°﹣35°＝55°，故选：C ．7．（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离，若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20AB cm =，则DAB ∠的度数是（ ）A ．90︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【分析】 如图（见解析），先根据菱形的性质可得,//AB BC AD BC =，再根据全等的性质可得1203AC AE cm ==，然后根据等边三角形的判定与性质可得60B ∠=︒，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】如图，连接AC四边形ABCD 是菱形20,//AB BC cm AD BC ∴==如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，60AE cm =1203AC AE cm ∴== AB BC AC ∴==ABC ∴是等边三角形60B ∴∠=︒//AD BC180********DAB B ∴∠=︒=∠=︒-︒-︒故选：C ．8．（2020·河南中考真题）如图，1234//,//l l l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【答案】B【分析】利用平行线的性质即可求解．【详解】如图，∵34//l l ，∴∠1+∠3=180º，∵∠1=70º，∴∴∠3=180º-70º=110º，∵12l l //，∴∠2=∠3=110º，故选：B ．9．（2020·海南中考真题）如图，已知//,AB CD 直线AC 和BD 相交于点,E 若70,40ABE ACD ∠=︒∠=︒，则AEB ∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C【分析】 先根据//AB CD 得到70CDE ABE ∠=∠=︒，再运用三角形内角和定理求出AEB ∠的度数即可．【详解】∵//AB CD ，∴CDE ABE ∠=∠，∵70ABE ∠=︒，∴70CDE ∠=︒∵180ECD CDE DEC ∠+∠+∠=︒，且40ACD ∠=︒，∴180180704070DEC ECD CDE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．10．（2020·山东淄博市中考真题）如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BC ，若∠B ＝50°，则∠DCA 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【答案】C【详解】 由AC ⊥BC 可得∠ACB ＝90°，又∠B ＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB ＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA ＝∠CAB ＝40°．【解答】解：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，又∵∠B ＝50°，∴∠CAB ＝90°﹣∠B ＝40°，∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠CAB ＝40°．故选：C ．二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点B ，F ．若∠E ＝30°，∠EFC ＝130°，则∠A ＝_____．【答案】20°【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF ＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠ABF +∠EFC ＝180°，∵∠EFC ＝130°，∴∠ABF ＝50°，∵∠A +∠E ＝∠ABF ＝50°，∠E ＝30°，∴∠A ＝20°．故答案为：20°．12．（2020·湖南湘潭市·中考真题）如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且3PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为________．【答案】3【分析】根据垂线段最短可知当PM ⊥OC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，当PM ⊥OC 时，又∵OP 平分∠AOC ，PD OA ⊥，3PD =，∴PM=PD=3故答案为：313．（2020·新疆中考真题）如图，若AB ∥CD ，∠A ＝110°，则∠1＝_____°．【答案】70【分析】先根据平行线的性质求出∠2＝∠A ＝110°，再由平角的定义求出∠1的度数即可．【详解】如图，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠A ＝110°．又∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70．14．（2020·湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，则BCD ∠=_____________度．【答案】30【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC ，继而根据邻补角定义求解∠CDE ，最后根据外角定义求解∠BCD ．【详解】令BC 与EF 相交于G 点，如下图所示：∵//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC ，∴∠BCD=75°-45°=30°，故答案：30．15．（2020·山东日照市·中考真题）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是_____．【答案】25°【分析】延长EF 交BC 于点G ，根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：如图，延长EF 交BC 于点G ，∵直尺，∴AD ∥BC ，∴∠2＝∠3＝65°，又∵30°角的直角三角板，∴∠1＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）78°．【分析】（1）由“SAS ”可证△BEF ≌△CDA ，可得∠D ＝∠2；（2）由（1）可得∠D ＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC ＝78°．【详解】证明：（1）在△BEF 和△CDA 中，1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CDA （SAS ），∴∠D ＝∠2；（2）∵∠D ＝∠2，∠D ＝78°，∴∠D ＝∠2＝78°，∵EF ∥AC ，∴∠2＝∠BAC ＝78°．17．（2020·湖北黄石市·中考真题）如图，,//,70,40AB AE AB DE DAB E =∠=︒∠=︒．（1）求DAE ∠的度数；（2）若30B ∠=︒，求证：AD BC =．【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．【分析】（1）根据AB ∥DE ，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE ；（2）证明△DAE ≌△CBA ，即可证明AD=BC ．【详解】（1）∵AB ∥DE ，∴∠E=∠CAB=40°，∵∠DAB=70°，∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，又∵AE=AB ，∠E=∠CAB=40°，∴△DAE ≌△CBA （ASA ），∴AD=BC ．18．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转60度得到DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：//BC AD ；（2）若AB=4，BC=1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．【答案】（1）见解析；（2）53π 【分析】 （1）先利用旋转的性质证明△ABD 为等边三角形，则可证60DAB ︒∠=，即,CBE DAB ∠=∠再根据平行线的判定证明即可．（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．【详解】（1）证明：由旋转性质得：,60ABC DBE ABD CBE ︒∆≅∆∠=∠= ,AB BD ABD ∴=∴∆是等边三角形所以60DAB ︒∠=,CBE DAB ∴∠=∠∴//BC AD ；（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A ，C 两点经过的路径长之和为60460151801803πππ⨯⨯+=． 19．（2020·山东东营市·中考真题）如图，C 处是一钻井平台，位于东营港口A 的北偏东60方向上，与港口A 相距海里，一艘摩托艇从A 出发，自西向东航行至B 时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC 方向行进，此时C 位于B 的北偏西45方向，则从B 到达C 需要多少小时？【答案】从B 到达C 需要1.2小时．【分析】过点C 作CD AB ⊥于点D ，在Rt ACD △与Rt CDB 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 与BC 的长，进而求解．【详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由题意得：//AE CD ，//BF CD ，60ACD CAE ∴∠=∠=，45BCD CBF ∠=∠=︒，在Rt ACD △中，AC =，12CD AC ∴==，在Rt CDB 中，CD =，60BC ∴==，60 1.250∴=（小时）， ∴从B 到达C 需要1.2小时．20．（2020·山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日 星期日没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出30CD cm =，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则DCE ∠必为90︒．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS MN =，得到点S ，作直线SC ，则90RCS ∠=︒．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明90RCS ∠=︒；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析【分析】（1）利用2223040=50+说明△DCE 是直角三角形，说明=90DCE ∠︒，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；（2）由作图的方法可以得出：QR QC =，QS QC =，得出QCR QRC ∠=∠，QCS QSC ∠=∠，利用三角形内角和得出90QCR QCS ∠+∠=︒，即90RCS ∠=︒，说明垂直即可；（3）①以点C 为圆心，任意长为半径画弧，与AB 有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点P ，连接PC 即可；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；（2）证明：由作图方法可知：QR QC =，QS QC =，QCR QRC ∴∠=∠，QCS QSC ∠=∠．又180SRC RCS RSC ∠+∠+∠=︒，180QCR QCS QRC QSC ∴∠+∠+∠+∠=︒．2()180QCR QCS ∴∠+∠=︒．90QCR QCS ∴∠+∠=︒即90RCS ∠=︒．（3）解：①如图，直线CP 即为所求；图③②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或SSS）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．。
2022年中考数学专题复习第16讲相交线与平行线(含详细参考答案
2022年中考数学专题复习第16讲相交线与平行线（含详细参考答案【基础知识回顾】一、直线、射线、线段线段有个端点，不的度量线比较大小，把线段向两个方向无限延伸，就得到直线，直线端点，将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有个端点，线段、直线、射线都有两种表示方法：不以用表示可以用表示线段工理：直线工理【名师提醒：一条直线上有几个点，则这条直线上存在条线段】二、角1、定义：有公共端点的两条组成的图形叫做角，角也可以一条绕它的从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形【名师提醒：角的表示方法：不的用三个大写字母如∠AOB，也可用一个大写字母∠A或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠2等，注意等于选择合适，简法的方法表示角】2、角的分类：角按照大小可分为：周角、、锐角等。
其中1周角=度=平角直角度=分1分=秒【名师提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：即时针分针转动度，分针每分转动度】3、角的平分线一条射线把一个角分成的角，这条叫做这个角的平分线【名师提醒：1、一个角内有几条射线，则一共可形成角】1、互为余角互为斜角1、互为余角：若∠1+∠2则称∠1与∠2互为余角2、互为补角：若∠1+∠2则称∠1与∠2互为补角3性质：同角或等角的余角同角或等角的余角【名师提醒：1、互补和互余是挡两个角的关系2、一个锐角的补角比它的余角大度】三、相交线1、对顶角及其性质：对顶角：和邻补角两条直线相交所成德四个角中的角是对顶角，的角是邻补角，如图：对顶角有邻补角有对顶角性质2、垂线及其性质互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的性质：1、过一点与已知直线垂直2、直线外点与直线上各点连接的所有线段中，最短，（简称：）【名师提醒：注意三个距离的区别1、两点间的距离是指：2、点到直线的距离是指3、两平行线间的距离是指】四、平行线：1、三线八角：如图：两条直线a与b被第三条直线c所截，构成八个角其中同位角有对，分别是，内错角有对，分别是内错角有对，分别是2、平行线的意义：在同意平面呢的两条直线叫平行线3、平行公理：经过已知直线到一点条直线与已知直线平行4、平行线的性质和判定相等性质两直线平行————→相等【名师提判定醒：平行线的应用判定方同旁内角条：1、平行于同一直线的法还有两两条直线互相2、同一直线的两条直线互相平行】一、命题公理定理和证明1、命题：的语句叫命题，一个命题由和两部分构成，可分为和两类2、公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真伪的原始根据的真命题3、定理：经过证明的命题叫做定理4、互逆命题与互逆定理：⑴在两个命题中，如果一个命题的和事另一个命题的和那么这两个命题称为互逆命题⑵如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个这两个定理称为5、证明：⑴根据题设，定义公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题这一推理过程称为证明⑵命题完整证明的一般步骤：①审题：找出命题的和②根据题意画出③写出和④分析证明的整理⑤写出每一步应有根据，要推理严密【名师提醒：1、判断一个命题是其命题的判断一个命题是假命题可以举出2、任何一个命题一定有它的逆命题：对于任意一个定理有它的逆定理】【重点考点例析】考点一：线与角的概念和性质例1（2022丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）思路分析：首先根据题意可得：∠1=30°，∠2=60°，再根据平行线的性质可得∠4的度数，再根据∠2和∠3互余可算出∠3的度数，进而求出∠ABC的度数解：如图，由题意得：∠1=30°，∠2=60°，∵AE∥BF，∴∠1=∠4=30°，∵∠2=60°，∴∠3=90°-60°=30°，∴∠ABC=∠4+∠FBD+∠3=30°+90°+30°=150°，故选：C．点评：此题主要考查了方位角，关键是掌握方位角的概念：方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．对应训练1．（2022江西）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（）A．南偏西60°B．南偏西30°C．北偏东60°D．北偏东30°1．思路分析：根据方向角的定义进行解答即可．解答：解：由于人相对与太阳与太阳相对于人的方位正好相反，∵在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，∴太阳相对于你的方向是南偏西60°．故选A．点评：本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的概念是解答此题的关键．考点二：余角和补角例2（2022孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°思路分析：根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．解：由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，两式相减可得：∠β-∠γ=90°．故选C．点评：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，是解答本题的关键．对应训练2．（2022南通）已知∠a=32°，则∠a的补角为（）A．58°B．68°C．148°D．168°2．分析：根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解．解：∵∠a=32°，∴∠a的补角为180°-32°=148°．故选C．点评：本题考查了余角与补角的定义，熟记互为补角的和等于180°是解题的关键．3．（2022扬州）一个锐角是38度，则它的余角是度．3．52分析：根据互为余角的两角之和为90°，可得出它的余角的度数．解：这个角的余角为：90°-38°=52°．故答案为：52．点评：此题考查了余角的知识，掌握互为余角的两角之和为90°是解答本题的关键．考点三：相交线与垂线例3（2022北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°思路分析：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解：∵∠BOD=76°，∴∠AOC=∠BOD=76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC=12某76°=38°，∴∠BOM=180°-∠AOC=180°-38°=142°．故选C．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．对应训练4．（2022泉州）（1）如图，点A、O、B在同一直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC=°．4．分析：根据邻补角互补直接求出∠AOC的值．解：∵∠BOC=50°，∴∠A0C=180°-50°=130°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，知道邻补角的和为180°是解题的关键．考点四：平行线的判定与性质例4（2022衡阳）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．90°C．110°D．80°思路分析：首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3．根据对顶角相等可得∠2=∠3，利用等量代换可得到∠2=∠1=70°．解：∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，∴a∥b，∴∠1=∠3，∵∠3=∠2，∴∠2=∠1=70°．故选：A．点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．对应训练5．（2022宜宾）如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=．5．121°分析：由∠1=∠3，利用同位角相等两直线平行，得到AB与CD平行，再利用两直线平行同旁内角互补得到∠5与∠4互补，利用对顶角相等得到∠5=∠2，由∠2的度数求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．解：∵∠1=∠3，∴AB∥CD，∴∠5+∠4=180°，又∠5=∠2=59°，∴∠4=180°-59°=121°．故答案为：121°点评：此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．考点五：真假命题的识别例6（2022呼和浩特）下列命题中，真命题的个数有（）①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行②函数y=某2+1某图象上的点P（某，y）一定在第二象限③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面④使得|某|-y=3和y+某2=0同时成立的某的取值为A．3个B．1个C．4个D．2个思路分析：①根据平移的性质以及旋转的性质得出答案即可；②根据二次根式的性质以及点的坐标性质，得出答案；③根据正投影的定义得出答案；④根据使得|某|-y=3和y+某2=0同时成立，即y=|某|-3，y=-某2，故|某|-3=-某2，进而利用绝对值得性质，解方程即可得出答案．解：①平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化，故此选项错误；②根据二次根式的意义得出某＜0，y＞0，故函数y=某2+1某1213．图象上的点P（某，y）一定在第二象限，故此选项正确；③根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面，故此选项正确；222④使得|某|-y=3和y+某=0同时成立，即y=|某|-3，y=-某，故|某|-3=-某，某-|某|-3=0，当某＞0，则某-某-3=0，解得：某1=121322，某2=1132（不合题意舍去），当某＜0，则某2+某-3=0，解得：某1=1213（不合题意舍去），某2=11321，故使得|某|-y=3和y+某2=0同时成立的某的取值为：故正确的有2个，132，-1132，故此选项错误，故选：D．点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．同时也考查了平移的性质以及旋转的性质和二次根式的性质、正投影、解一元二次方程等知识，熟练根据绝对值性质整理出一元二次方程是解题关键．对应训练6．（2022龙岩）下列命题中，为真命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．若a=b，则a=bD．若a＞b，则-2a ＞-2b6．分析：分别判断四个选项的正确与否即可确定真命题．解：A、对顶角相等为真命题；B、两直线平行，同位角相等，故为假命题；C、a2=b2，则a=±b，故为假命题；22D、若a＞b，则-2a＜-2b，故为假命题；故选A．【聚焦山东中考】1．（2022滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A．65°B．75°C．85°D．95°1．思路分析：先分清一副三角尺，各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案．解：利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可，故选：B．点评：此题主要考查了用三角板直接画特殊角，关键掌握用三角板画出的角的规律：都是15°的倍数．2．（2022济宁）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）A．40°B．75°C．85°D．140°2．分析：根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．解：如图：∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE，∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°，∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．故选C．点评：本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．3．（2022日照）如图，DE∥AB，若∠ACD=55°，则∠A等于（）A．35°B．55°C．65°D．125°3．分析：由DE∥AB，∠ACD=55°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数．解：∵DE∥AB，∠ACD=55°，∴∠A=∠ACD=55°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．4．（2022临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°4．分析：先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角形的性质即可得出∠2的度数．解：∵AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°，∵DB⊥BC，∴∠2=90°-∠3=90°-40°=50°．故选B．点评：本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．5．（2022济南）如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=65°，则∠2=（）A．115°B．65°C．35°D．25°5．分析：由直线a∥b，∠1=65°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵直线a∥b，∠1=65°，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=∠3=65°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．6．（2022济南）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组邻边相等的四边形是菱形C．四个角是直角的四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形6．分析：根据矩形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断．解答：解：A、对角线相等的平形四边形是矩形，故选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；D、正确．故选D．点评：本题考查了真命题的判断，正确掌握定义、定理是关键．7．（2022菏泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=cm．7．5或11分析：点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．因此分类讨论计算．解：根据题意，点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．若点C在线段BC上，则AC=AB-BC=8-3=5（cm）；若点C在BC的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）．故答案为5或11．点评：此题考查求两点间的距离，运用了分类讨论的思想，容易掉解．【备考真题过关】一、选择题1．（2022永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）A．朝阳岩B．柳子庙C．迥龙塔D．朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置1．分析：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，然后对四个答案进行比较即可．解：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5+13=18；B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为5+8=13；C、当旅游车停在迥龙塔时，总路程为13+8=21；D、当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时，总路程大于13．故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，故选B．点评：本题考查了直线、射线及线段的有关知识，用特殊值的方法比较容易说出来．2．（2022长沙）下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（）A．B．C．D．2．分析：根据互补的两个角的和等于180°求出70°角的补角，然后结合各选项即可选择．解：70°角的补角=180°-70°=110°，是钝角，结合各选项，只有D选项是钝角，所以，最有可能与70°角互补的是D选项的角．故选D．点评：本题考查了互为补角的定义，根据补角的定义求出70°角的补角是钝角是解题的关键．3．（2022桂林）如图，与∠1是内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠53．分析：根据内错角的定义找出即可．解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠3．故选B．点评：本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．4．（2022张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）A．当∠1=∠2时，一定有a∥bB．当a∥b时，一定有∠1=∠2C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b4．分析：根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．解：A、若∠1=∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误；B、若a∥b，则∠1+∠2=180°，∠1不一定等于∠2，故本选项错误；C、若a∥b，则∠1+∠2=180°，故本选项错误；D、如图，由于∠1=∠3，当∠3+∠2=180°时，a∥b，，所以当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b，故本选项正确．故选D．点评：本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质是解答此题的关键．6．（2022肇庆）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°6．分析：先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．解：∵DE∥BC，∠AED=40°，∴∠C=∠AED=40°，∵∠B=60°，∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-40°-60°=80°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．7．（2022玉林）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1=50°，则∠2=（）A．40°B．50°C．100°D．130°7．分析：根据两直线平行，同位角相等，即可得出∠2的度数．解：∵a∥b，∴∠1=∠2=50°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，难度一般．1．（2022长春）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上一点，DE∥AB，∠ADE=42°，则∠B的大小为（）A．42°B．45°C．48°D．58°考点：平行线的性质；直角三角形的性质。
重庆中考16题专题含答案
16题专题例1 某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。
已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元， C 水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为 元。
例1 解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x 、y 、z 套，依题意有()⎩⎨⎧=++=++2.4412.216.258.81162322z y x z y x ∴⎩⎨⎧=++=++110353642258232z y x z y x 消去x 得：31(y+z)=465，故y+z=15所以，共卖出C 水果15千克，C 水果的销售额为15⨯10=150 评注：本题列出的是不定方程，要求出x 、y 、z 是不可能的，但本题只要整体地求出y+z 就行了。
例2某班参加一次智力竞赛，共a 、b 、c 三题，每题或者得满分或者得0分。
其中题a 满分20分，题b 、题c 满分分别为25分。
竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。
答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25；答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20。
问这个班平均成绩是 分？例2解：设答对题a 、答对题b 、答对题c 的人数分别为x 、y 、z ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧====+=+=+81217202529z y x z y z x y x 解得 所以答对一题的人数为：37-1⨯3-2⨯15=4 全班人数为：1+4+15=20 故全班平均成绩为()4220258122017=⨯++⨯ 答：这个班平均成绩是42分评注：通过设间接未知数来列方程，设未知数的方法一般和直接和间接两种。
例3在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200公里，每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油。
2021年中考数学一轮复习课时训练：第16课时 三角形与全等三角形
第16课时三角形与全等三角形【例题分析】【例1】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【例2】如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（）A．40°B．45°C．50°D．55°【针对训练】1.（2020·宿迁中考）在△ABC中，AB＝1，BC＝5，下列选项中，可以作为AC长度的是（）A．2 B．4 C．5 D．62.（2020·包头中考）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB.若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（）A．50°B．55°C．70°D．75°3.△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A．4 B．4或5C．5或6 D．6【例3】如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．【针对训练】4.（2020·黄石中考）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.（1）求∠DAE的度数；（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC.【考点训练】1.下列图形具有稳定性的是（）2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10 B．4，5，6C．4，4，4 D．3，4，53.（源于沪科八上P73）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D4.（2020·丹东中考）如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为（）A.100°B．110°C．125°D．135°5.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DB D．AB＝DC6.（源于沪科八上P109）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF ＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．15°C．25°D．20°7.（2020·龙东中考）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．8.（2019·梧州中考）如图，已知在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是cm.9.（2020·江西中考）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE 的度数为．10.（2019·桂林中考）如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）求证：BE＝DE.11.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1＝65°，求∠B的大小．答案第16课时 三角形与全等三角形【例题分析】【例1】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ C ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．11【解析】根据三角形的三边关系求解即可．设三角形第三边的长为x ，由题意得7－3＜x ＜7＋3，即4＜x ＜10，由此可选出满足条件的正确选项．【例2】如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD ，若∠A ＝60°，∠B ＝40°，则∠ECD 等于（ C ） A ．40° B ．45° C ．50° D ．55°【解析】根据三角形外角性质求出∠ACD 的度数，根据角的平分线定义即可求出∠ECD 的度数． ∵∠A ＝60°，∠B ＝40°，∴∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝100°.∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD ＝12∠ACD ＝50°.【针对训练】1.（2020·宿迁中考）在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝5 ，下列选项中，可以作为AC 长度的是（ A ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．62.（2020·包头中考）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE ∥AB .若∠ACB ＝75°，∠ECD ＝50°，则∠A 的度数为（ B ）A ．50°B ．55°C ．70°D ．75° 3.（2015·百色中考）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ B ） A ．4 B ．4或5 C ．5或6 D ．6【例3】如图，点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AD ＝CF ，AB ＝DE ，BC ＝EF . （1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）若∠A ＝55°，∠B ＝88°，求∠F 的度数． 【解析】（1）证出AC ＝DF ，结合已知条件根据“SSS ”就可以推出△ABC ≌△DEF ； （2）由（1）中结论利用全等三角形的性质得到∠F ＝∠ACB ，进而得出结果．【解答】（1）证明：∵AC ＝ AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ， 且AD ＝CF ，∴AC ＝DF . 在△ABC 和△DEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；（2）解：由（1）可知，∠F ＝∠ACB .∵∠A ＝55°，∠B ＝88°，∴∠ACB ＝180°－（∠A ＋∠B ）＝180°－（55°＋88°）＝37°. ∴∠F ＝∠ACB ＝37°.【针对训练】4.（2020·黄石中考）如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠DAB ＝70°，∠E ＝40°. （1）求∠DAE 的度数；（2）若∠B ＝30°，求证：AD ＝BC .（1）解∵AB ∥DE ，∠E ＝40°， ∴∠EAB ＝∠E ＝40°. ∵∠DAB ＝70°， ∴∠DAE ＝30°；（2）证明：在△ADE 和△BCA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠B ＝30°，AE ＝BA ，∠E ＝∠BAC ，∴△ADE ≌△BCA （ASA ）. ∴AD ＝BC . 【考点训练】1.下列图形具有稳定性的是（ A ）2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ A ）A ．5，5，10B ．4，5，6C ．4，4，4D ．3，4，53.（源于沪科八上P 73）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ A ）A B C D 4.（2020·丹东中考）如图，CO 是△ABC 的角平分线，过点B 作BD ∥AC 交CO 延长线于点D ，若∠A ＝45°，∠AOD ＝80°，则∠CBD 的度数为（ B ）A.100° B ．110° C ．125° D ．135°5.（源于沪科八上P 102）如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是（ C ） A ．∠A ＝∠D B ．∠ACB ＝∠DBC C ．AC ＝DB D ．AB ＝DC6.（源于沪科八上P 109）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，∠CAD ＝25°，则∠ABE 的度数为（ D ）A ．30°B ．15°C ．25°D ．20°7.（2020·龙东中考）如图，Rt △ABC 和Rt △EDF 中，BC ∥DF ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB ＝ED （BC ＝DF 或AC ＝EF 或AE ＝CF 等） ，使Rt △ABC 和Rt △EDF 全等．8.（2019·梧州中考）如图，已知在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F ，G 分别是AD ，AE 的中点，且FG ＝2 cm ，则BC 的长度是 8 cm.9.（2020·江西中考）如图，AC 平分∠DCB ，CB ＝CD ，DA 的延长线交BC 于点E ，若∠EAC ＝49°，则∠BAE 的度数为 82° ．10.（2019·桂林中考）如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，点E 在AC 上． （1）求证：AC 平分∠BAD ； （2）求证：BE ＝DE .证明：（1）在△ABC 和△ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）. ∴∠BAC ＝∠DAC ， 即AC 平分∠BAD ；（2）由（1）知，∠BAE ＝∠DAE . 在△BAE 和△DAE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△BAE ≌△DAE （SAS ）. ∴BE ＝DE .11.已知平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD 且交AD 于点E ，AF ∥CE ，且交BC 于点F . （1）求证：△ABF ≌△CDE ；（2）如图，若∠1＝65°，求∠B 的大小．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠B ＝∠D .∴∠1＝∠ECB .∵AF ∥CE ，∴∠AFB ＝∠ECB . ∴∠AFB ＝∠1.在△ABF 和△CDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠AFB ＝∠1，AB ＝CD ，∴△ABF ≌△CDE （AAS ）；（2）解：由（1）知，∠1＝∠ECB . ∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠ECB . ∴∠1＝∠DCE ＝65°.∴∠B ＝∠D ＝180°－2×65°＝50°.。
重庆中考16题专题
重庆中考第16题专题题型一、方程问题1、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。
甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙咱盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成。
这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，由黄花一共用了___4380_________朵。
2、山脚下有一个池塘，山泉以固定的流量向池塘里流淌，现在池塘中有一定的水，若一台A 型抽水机1小时刚好抽完，若两台A 型抽水机20分钟刚好抽完，若三台A 型抽水机同时抽_____12____分钟可以抽完。
3、甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往重庆，这样两厂的产品就能占有重庆市场同类产品的43。
然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品、乙厂仅有31的产品销到了重庆，两厂的产品仅占了重庆市场同类产品的31。
则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为_____2:1______。
4、一农场的工人们要把两片草地的草锄掉，大的一片是小片的2倍，上午工人们都在大的一片地上锄草，午后工人们对半分开做，一半人留在大的草地上，工作到傍晚恰好把草锄完；另一半人到小片草地上去锄，到傍晚还剩下一小块，正好是两个工人一天的工作量。
如果工人们每人每天的锄草量是相等的，且上午、下午工作时间相同，则这个农场有___16_______个工人。
题型二、行程问题1、已知AB 是一段只有3米宽的窄道路，由于一辆小汽车与一辆大卡车在AB 段相遇，必须倒车才能继续通行。
如果小汽车在AB 段正常行驶需10分钟，大卡车在AB 段正常行驶需20分钟，小汽车在AB 段倒车的速度是它正常行驶速度的51，大卡车在AB 段倒车的速度是它正常行驶速度的81，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍。
问两车都通过AB 这段狭窄路面的最短时间是_____50______ 分钟。
2、小王骑自行车在环城公路上匀速行驶，每隔6分钟有一辆公共汽车从对面想后开过，每隔30分钟又有一辆公共汽车从后面向前开过，若公共汽车也是匀速行驶，且不计乘客上、下车的时间，那么公交站每隔___10_______分钟开出一辆公交车。
专题16 截长补短问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题16 截长补短问题【规律总结】“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“a ＋b ＝c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。
①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：a ＋b ＝c 。
②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。
即延长a ，得到c ，证：b ＝c-a 。
【典例分析】例1．（2020·广州大学附属中学八年级月考）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，5AB =，6CD =，则AC 的长为（ ）A ．3B ．9C ．11D ．15【答案】C【分析】 在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，证明△ABD△△AED ，得到△B=△AED ，AB=AE ，再证明CD=CE ，进而代入数值解答即可．【详解】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，△AD 平分△BAC ，△△BAD=△DAC ，在△ABD 和△AED 中，BAD DA AE AB AD AD C =⎧=∠=∠⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△AED （SAS ），△△B=△AED ，△ADB =△ADE ， AB=AE ，又△B=2△ADB△△AED=2△ADB ，△BDE=2△ADB ，△△AED=△C+△EDC=2△ADB ，△BDE=△C+△DEC=2△ADB ，△△DEC =△EDC ，△CD=CE ，△5AB =，6CD =，△AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 例2．（2021·上海九年级专题练习）如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF△AB 于F ，△B ＝△1+△2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．【答案】8 3【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题．【详解】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．△EB=ET，△△B=△ETB，△△ETB=△1+△AET，△B=△1+△2，△△AET=△2，△AE=CD，ET=CK，△△AET△△DCK(SAS)，△DK=AT，△ATE=△DKC，△△ETB=△DKB，△△B=△DKB，△DB=DK，△BD=AT，△AD=BT，△BT=2BF=83，△AD=83，故答案为：83．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．例3．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足△BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使△AEC＝60°，求证：△AEC△△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作△AFH ＝120°，且AF＝HF，△HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明△BCD=△EAC，然后利用AAS即可证明△AEC△△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使△AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC△△CDB和△HGF△△FEA 即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使△AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE△△CBM和△HGF△△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：△△ABC是等边三角形，△AC=BC，△ACB=60°，△△BCD+△ACE=120°，△△AEC=60°，△△ACE+△EAC=120°，△△BCD=△EAC，在△AEC和△CDB中△60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△△AEC△△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使△AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC△△CDB，△BD=CE，△△AEC=60°，△△AEF =120°，△△AFH ＝120°，△△AFE+△FAE=△AFE+△GFH=60°，△△FAE=△GFH，△△HGF=△AEF=120°，AF=FH，△△HGF△△FEA（AAS），△GH=EF，△CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使△AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，△△BDC=60°，△△BDM是等边三角形，△△BMD=60°，△△AED=60°，△△AEC=△CMB=120°，△△ACB=60°，△△ACE+△BCE=△ACE+△CAE=60°，△△CAE=△BCE，△AC=BC，△△ACE△△CBM（AAS），△CE=BM=BD，由（2）可证△HGF△△FEA（AAS），△GH=FE，△EF=CF+CE△HG=CF+BD．故答案为：HG=CF+BD．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·济南高新区第一实验学校八年级期中）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．152B ．152C ．3D ．125【答案】D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF△在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4△AB=5，△△CAD＝△BAD，AE＝AE，△△AEF△△AEG（SAS）△FE＝GE，△要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，故当C、E、G三点共线时，符合要求，此时，作CH△AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，AC BC AB CH，△CH=·AC ABBC=125，即：CE+EF的最小值为125，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．2．（2019·湖北黄冈市·八年级期中）如图，已知四边形ABCD中，AD△BC，若△DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分△ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（）A ．AB ＞AD+BCB ．AB ＜AD+BC C ．AB ＝AD+BCD ．无法确定【答案】C【分析】 在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF ，易得△AEB=90°和△ADE△△AFE ，再证明△BCE△△BFE ，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.【详解】解：如图所示，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF ，△AD△BC ，△△ABC+△DAB=180°，又△BE 平分△ABC ，AE 平分△DAB △△ABE+△EAB=()1ABC DAB 2∠+∠=90°， △△AEB=90°即△2+△4=90°，在△ADE 和△AFE 中，AD=AF DAE=FAE AE=AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△△ADE△△AFE （SAS ），所以△1＝△2，又△2+△4＝90°，△1+△3＝90°，所以△3＝△4，在△BCE 和△BFE 中，CBE=FBE BE=BE3=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩△△BCE△△BFE （ASA ），所以BC ＝BF ，所以AB ＝AF+BF ＝AD+BC ；故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.二、填空题3．（2020·山西九年级期中）如图，ABC 是等边三角形，180BAD BCD ∠+∠=︒，8BD =，2CD =，则AD =________．【答案】6【分析】在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，由,,,A B C D 四点共圆得△ABE ACD =∠，再证明ABE ACD ≅∆，△ADE 是等边三角形，得AD DE AE ==，再由线段的和差关系可得结论．【详解】解：在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，△180BAD BCD ∠+∠=︒△,,,A B C D 四点共圆，△△ABD ACD =∠△△ABE ACD =∠△△ABC 是等边三角形，△AB AC BC ==，60DAE ∠=︒，△△ABE ACD ≅∆，△60BAE CAF +∠=︒，△,BAE CAD BAF CAD ∠=∠∠=∠，△△60CAD CAE +∠=︒，即60DAE ∠=︒，△△ADE 是等边三角形，△AD DE AE ==，△=8BD ，2CD =，△6DE BD BE BD CD =-=-=，△6AD DE ==．【点睛】=∠是此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明△ABE ACD解答此题的关键．4．（2020·无锡市羊尖中学八年级月考）如图，四边形ABCD中，△BAD＝120°，△B＝△D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则△AMN＋△ANM的度数是________．【答案】120°【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN 的周长最小，则三角形的三边要共线，根据△BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解．【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N如图所示，此时△AMN的周长最小△△ABM=90°△△EBM=90°在△AMB和△EMB中AB BE ABM EBM MB MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AMB△△EMB△△BEM=△BAM△△AMN=2△BAM同理可得：△AND△△FDN△△NAD=△NFD△△ANM=2△NAD设△BAM=x ，△MAN=z ，△NAD=y△△BAD=120°△12022180x y z x y z ++=︒⎧⎨++=︒⎩解得：60x y +=︒即△AMN+△ANM=2×60°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．三、解答题5．（2021·安徽合肥市·八年级期末）如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D 作DM△AB 于M ，由 CA ＝CB ，90ACB =︒，得ABC 是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD ＝MD ，△ABC ＝45°，根据全等三角形的性质得到AC ＝AM ，于是得到结论；（2）如图2，设△ACB ＝α，则△CAB ＝△CBA ＝90°−12α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，根据角平分线的定义得到△CAD ＝△KAD ，根据全等三角形的性质得到△ACD ＝△AKD ＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，根据等腰三角形的性质得到△CAB ＝△CBA ＝40°，根据角平分线的定义得到△HAD ＝△CAD ＝20°，求得△ADH ＝△AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，根据全等三角形的性质得到△ACB ＝△AKD ＝100°，CD ＝DK ，根据等腰三角形的性质得到DH ＝BH ，于是得到结论．【详解】（1）如图1，过D 作DM△AB 于M ，△在ABC 中，AC BC =，△△ABC ＝45°，△△ACB ＝90°，AD 是角平分线，△CD ＝MD ，△△BDM ＝△ABC ＝45°，△BM ＝DM ，△BM ＝CD ，在RT△ADC 和RT△ADM 中，CD MD AD AD ⎧⎨⎩＝＝， △RT△ADC△RT△ADM （HL ），△AC ＝AM ，△AB ＝AM ＋BM ＝AC ＋CD ，即AB ＝AC ＋CD ；（2）设△ACB ＝α，则△CAB ＝△CBA ＝90°−12α， 在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，如图2，△AB ＝AC ＋BD ，AB=AK+BK△BK ＝BD ，△AD 是角平分线，△△CAD ＝△KAD ，在△CAD 和△KAD 中，AC AK CAD KAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ △△CAD△△KAD （SAS ），△△ACD ＝△AKD ＝α，△△BKD ＝180°−α，△BK ＝BD ，△△BDK ＝180°−α，△在△BDK 中，180°−α＋180°−α＋90°−12α＝180°， △α＝108°，△△ACB ＝108°；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，△△ACB＝100°，AC＝BC，△△CAB＝△CBA＝40°，△AD是角平分线，△△HAD＝△CAD＝20°，△△ADH＝△AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD△△KAD，△△ACB＝△AKD＝100°，CD＝DK，△△DKH＝80°＝△DHK，△DK＝DH＝CD，△△CBA＝40°，△△BDH＝△DHK -△CBA =40°，△DH＝BH，△BH＝CD，△AB＝AH＋BH，△AB＝AD＋CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2020·全国九年级课时练习）如图，A、P、B、C是△O上四点，△APC=△CPB=60°．（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．（3）求证：PA+PB=PC．【答案】（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA 是菱形，理由见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）利用圆周角定理可得△BAC=△CPB，△ABC=△APC，而△APC=△CPB=60°，则可得△BAC=△ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，得到OA=AP=OB=BP即可得证；（3）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB△△ADC，证明BP=CD即可得证结论．【详解】（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在△O中，△△BAC与△CPB是BC所对的圆周角，△ABC与△APC是AC所对的圆周角，△△BAC=△CPB，△ABC=△APC，又△△APC=△CPB=60°，△△ABC=△BAC=60°，△△ABC为等边三角形；（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，如图1，连接OP．△△AOB=2△ACB=120°，P是AB的中点，△△AOP=△BOP=60°又△OA=OP=OB，△△OAP和△OBP均为等边三角形，△OA=AP=OB=PB，△四边形PBOA是菱形；（3）如图2，在PC上截取PD=AP，又△△APC=60°，△△APD是等边三角形，△AD =AP =PD ，△ADP =60°，即△ADC =120°．又△△APB =△APC +△BPC =120°，△△ADC =△APB ．在△APB 和△ADC 中，APB ADC ABP ACD AP AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△APB △△ADC （AAS ），△BP =CD ，又△PD =AP ，△CP =BP +AP ．【点睛】本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键．。
专题16 二次函数与实际问题：图形问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题16 二次函数与实际问题：图形问题一、解答题1．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．【答案】（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）32d =- 【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分CP PM =，CM PM =，CM CP =三种情况，根据等腰三角形的性质分别进行求解； （3）根据三角形面积公式可得1·2BDE S BD DE ∆=⨯，1·2CEF S EF OD ∆=，由BDE CEF S S ∆∆=代入数据即可求解【详解】解：（1）抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）抛物线解析式为：223y x x =--+，∴其对称轴为212x -==-， ∴设P 点坐标为(1,)a -，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴，(1,0)M -，∴当CP PM =时，222(1)(3)a a -+-=，解得53a =， P ∴点坐标为：15(1,)3P -；∴当CM PM =时，222(1)3a -+=，解得a =P ∴点坐标为：2(P -或3(1,P -； ∴当CM CP =时，由勾股定理得：2222(1)3(1)(3)a -+=-+-，解得6a =，P ∴点坐标为：4(1,6)P -．综上所述，存在符合条件的点P ，其坐标为(-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为3y x ，则点E 、F 的坐标分别为(,3)d d +、2(,23)d d d --+，11·(3)?(3)22BDE S BD DE d d ∆=⨯=⨯++， 211·(233)?()22CEF S EF OD d d d d ∆==⨯--+---，BDE CEF S S ∆∆=，∴211(3)?(3)(233)?()22d d d d d d ⨯++=⨯--+---， 解得0d =（舍去）或3-（舍去）或32-， 故32d =-． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式、等腰三角形的性质、三角形面积计算，解题的关键是综合运用所学知识，注意题（2）要分情况考虑进行求解．2．如图用长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长14m ，设边AB 的长为xm ，矩形ABCD 的面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出函数y 的最大值．（2）当y ＝108时，求x 的值．【答案】（1）y ＝﹣12（x ﹣15）2+112.5，y 的最大值为112m 2；（2）x 的值为12 【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽及墙体长度为14米，即可求出y 与x 的函数关系式，结合二次函数增减性得出二次函数最值；（2）把y=108代入（1）中的解析式，解方程得出答案．【详解】（1）根据题意可得：AD＝12（30﹣x）m，y＝12x（30﹣x）＝﹣12x2+15x＝﹣12（x﹣15）2+112.5，∵墙长为14m，∴0＜x≤14，则x≤15时，y随x 的增大而增大，∴当x＝14m，即AB＝14m，BC＝8m时，长方形的面积最大，最大面积为：14×8＝112（m2）；∴y的最大值为112m2；（2）当y＝108时，108＝12x（30﹣x），整理得：x2﹣30x+216＝0，解得：x1＝12，x2＝18（不合题意舍去），答：x的值为12．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．3．如图，抛物线y=x2﹣2x+k+1与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P 为抛物线上一点且在y轴的右侧，横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 在第四象限时，求△BAP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ．求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围．【答案】（1）y =x 2﹣2x ﹣3；（2）8；（3）222(01)1(12)21(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩．【分析】（1）将点C 坐标代入表达式即可求出k 的值并得出解析式；（2）根据题目分析可知，当点P 位于抛物线顶点时，△BAP 的面积最大，根据解析式求出A 、B 的坐标，从而得到AB 的长，再利用三角形的面积公式计算面积即可；（3）分三种情况，0＜m ≤1，1＜m ≤2，m ＞2，分别进行计算即可．【详解】（1）∵点C （0，﹣3）在抛物线y =x 2﹣2x +k +1上，∴k +1=﹣3，解得：k =﹣4，∴此抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3；（2）令y =0，则0=x 2﹣2x ﹣3，解得：x 1=﹣1，x 2=3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB =4．∵y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点为（1，﹣4），∴当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值，此时S 12=⨯4×4=8， 即△BAP 面积的最大值是8；（3）∵P 为抛物线上一点且在y 轴的右侧，横坐标为m ，∴m ＞0，∴当0＜m ≤1时，h =﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）=﹣m 2+2m ；当1＜m ≤2时，h =（22﹣2×2﹣3）﹣（﹣4）=1；当m ＞2时，h =m 2﹣2m ﹣3﹣（﹣4）=m 2﹣2m+1． 综上所述，222(01)1(12)21(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩．【点睛】本题为二次函数的综合题，熟练掌握二次函数表达式求法及二次函数的性质，对于动点问题正确分析出所存在的所有情况是解题的关键．4．如图，已知二次函数y =﹣x 2+（a +1）x ﹣a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C ．（1）求a 的值与△ABC 的面积；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP =S △ABC ．若存在，请求出P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）a=﹣3，S△ABC=6；（2）存在，P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣13）或（﹣1，﹣3）．【分析】（1）令y=0代入函数解析式得到点A、B的坐标，进而可得a的值，然后可得点B、C的坐标，进而可求解△ABC的面积；（2）由（1）可得点C的坐标，然后由等积法可得△ABP与△ABC同底，进而可得点P的纵坐标为±3，然后分别代入二次函数解析式可求解．【详解】解：（1）∵y=﹣x2+（a+1）x﹣a，令x=0，则y=﹣a，∴C（0，﹣a），令y=0，即﹣x2+（a+1）x﹣a=0解得：x1=a，x2=1，由图象知：a＜0，∴A（a，0），B（1，0）．∵点A的坐标为（﹣3，0），∴a=﹣3，AB=4，∴OC=3，∴S△ABC12=AB•OC1432=⨯⨯=6；（2）∵a =﹣3，∴C （0，3），∵S △ABP =S △ABC ，∴P 点的纵坐标为±3，把y =3代入y =﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3=3，解得：x =﹣2或x =0（与点C 重合，舍去）；把y =﹣3代入y =﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3=﹣3，解得：x =﹣1x =﹣1，∴P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．如图，抛物线26y ax bx =++经过()2,0A -、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一动点，设点D 的横坐标为()14m m <<，连结AC 、BC 、DB 、DC ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当BCD △的面积等于AOC △的面积的34时，求m 的值． （3）当2m =时，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）233642y x x =-++；（2）3m =；（3）点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0或()6,0．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）22133332662324224BDC S HD OB m m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3319624422AOC S =⨯⨯⨯=，即可求解； （3）分BD 是边、BD 是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点坐标公式即可求解．【详解】解：（1）抛物线26y ax bx =++经过()2,0A -、()4,0B 两点， ∴042601646a b a b =-+⎧⎨=++⎩， 解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：233642y x x =-++； （2）由抛物线的表达式可知，点()0,6C ，()2,0A -， ∴1126622AOC S OA OC =⨯⨯=⨯⨯=， 设直线BC 的函数表达式为：()0y kx e k =+≠，由点B 、C 两点的坐标得：406k e n +=⎧⎨=⎩， 解得：326k e ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的表达式为：362y x =-+， 如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，交x 轴于点F ，作CE BD ⊥交BD 于点E ．点D 的横坐标为()14m m <<， ∴236,342m m D m ，点3,62H m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴2233336634224DH m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，()4,0B ， ∴4OB =，()11112222BCD CDH BDH S S S DH CE DH BF DH CE BF DH OB =+=⋅+⋅=⋅+=⋅， ∴221133=3462242BCD SDH OB m m m m ⎛⎫=⋅-+⨯=-+ ⎪⎝⎭， BCD △的面积等于AOC △的面积的34，∴2336=624m m -+⨯， ∴11m =（舍去），23m =，∴3m =；（3）当2m =时，点()2,6D ，设点(),0M p ，点(),N t n ， 则233642n t t =-++①， Ⅰ：当BD 是边时，点B 向左平移2个单位，向上平移6个单位得到点D ，同样点()M N 向左平移2个单位，向上平移6个单位得到点()N M ，∴206p t n -=⎧⎨+=⎩或206p t n +=⎧⎨-=⎩②， 联立①②并解得：426p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩（不符合题意，舍去）或206p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或116p t n ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎩或116p t n ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩；∴点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0-； Ⅱ：当BD 是对角线时， 由中点坐标公式得：()()()()1124221160022p t n ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩③，联立①③并解得：606p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或426p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩（不符合题意，舍去），∴点M 的坐标为()6,0；综上，点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0或()6,0． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．6．如图，已知抛物线23y ax bx =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点 C ． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(),0D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S =△△时，求d 的值．【答案】（1）223y x x =--+；（2）存在；P 坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(-或(1,-或()1,6-；（3）d =．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由抛物线解析式求出()0,3C ，对称轴是直线1x =-，进而得出()1,0M -，设P 点坐标为()1,c -，则用勾股定理可知CP =CM ==PM =CP PM =、CM PM =、CM CP =三种情况，根据等腰三角形腰相等，分别求解即可；（3）由点B 、C 的坐标可知直线BC 的表达式为：3y x ，因为点(),0D d ，所以可知点E 、F 的坐标分别为(),3d d +、()2,23d d d --+，则23EF d d =--，根据三角形面积公式可知 12BDE S BD DE =⋅，12CEF S EF OD =⋅，由BDE CEF S S =△△，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线23y ax bx =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -， ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）抛物线解析式为：223y x x =--+，∴其对称轴为()21221b x a -=-=-=-⨯-， ∴点()1,0M -，点P 在对称轴上，∴设P 点坐标为()1,c -，当0x =时，3y =，∴()0,3C ，∴CP =CM ==PM①当CP PM =时，=即()2213c c +-=，解得：53c =，∴P 点坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当CM PM =时，=即210c =，解得：c =，∴P 点坐标为(-或(1,-，③当CM CP =时，=即()21310c +-=，解得：16c =，20c =（不符合题意，舍去），∴P 点坐标为()1,6-，综上所述，存在符合条件的点P ，其坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(-或(1,-或()1,6-； （3）设直线BC 的表达式为：y kx e =+，由点B 、C 的坐标可知，033k e e =-+⎧⎨=⎩， 解得：13k e =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为：3y x ，点(),0D d ，∴点E 、F 的坐标分别为(),3d d +、()2,23d d d --+，∴()2222332333EF d d d d d d d d =--+-+=--+--=--， 12BDE SBD DE =⋅，12CEF S EF OD =⋅， ∴()()1332BDE S d d =++，()()21302CEF S d d d =--⨯-，BDE CEF S S =△△， ∴()()()()21133322d d d d d ++=---，∴112d +=，212d =，33d =-（不符合题意，舍去），∴d =． 【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的基本知识、等腰三角形的性质、三角形面积的计算，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类讨论，不要漏解．7．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，并与x 轴交于另一点C （点C 在点A 的右侧），点P 是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式及点C ；（2）若点P 在第二象限内，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，当点P 运动到什么位置时，PE 最长是多少？【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣3x ＋4，点C （1，0）；（2）点P 运动到（﹣2，6）时，PE 最长为4【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b 、c 的值，以及点C 的坐标；（2）如图，设P 点横坐标为m ，求出P 点纵坐标以及点E 的纵坐标，求出PE 的长度，利用二次函数求极值的方法求出PE 长度的最大值．【详解】解：（1）∵直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣4，0），B （0，4），将点A 、B 坐标代入抛物线解析式2y x bx c =-++得：16404b c c --+⎧⎨⎩＝＝， 解得：34b c -⎧⎨⎩＝＝， 则二次函数的解析式为：y ＝﹣x 2﹣3x ＋4，令﹣x 2﹣3x ＋4＝0，解得：x 1＝-4，x 2＝1，则点C 坐标为（1，0）；（2）如图，设P 点横坐标为m ，则纵坐标为﹣m 2﹣3m ＋4，E 点纵坐标为m ＋4，则PE ＝﹣m 2﹣3m ＋4﹣（m ＋4）＝﹣m 2﹣3m ＋4﹣m ﹣4＝﹣m 2﹣4m ＝﹣（m ＋2）2＋4，当m ＝﹣2时，PE 有最大值4，此时点P 纵坐标为6，故当点P 运动到（﹣2，6）时，PE 最长为4．【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数与二次函数结合的问题，涉及考点较多，难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图，抛物线y =x 2﹣mx ﹣3（m ＞0）交y 轴于点C ，CA ⊥y 轴，交抛物线于点A ，点B 在抛物线上，且在第一象限内，BE ⊥y 轴，交y 轴于点E ，交AO 的延长线于点D ，BE =2AC ．（1）用含m 的代数式表示BE 的长．（2）当m =D 是否落在抛物线上，并说明理由．【答案】（1）BE =2m ；（2）点D 在抛物线上，理由见解析．【分析】（1）先确定(0,3)C -，再解方程233x mx --=-得 (,3)-A m ，所以AC m =，从而得到22BE AC m ==；（2）先利用待定系数法求出直线OA 的方程为y =，再计算出x =233y x =-=，从而得到B ，3)，则确定D 点坐标(，3)，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点D 在抛物线上．【详解】解：（1）当0x =时，233y x mx =--=-，则 (0,3)C -，当3y =-时，233x mx --=-，解得 10x =，2x m =，则(,3)-A m ，AC m ∴=， 22BE AC m ∴==；（2）点D 在抛物线上．理由如下：当m =时，点A 的坐标为3)-．设OA 的直线方程为y kx =，将A 3)-代入，得k =∴直线OA 的方程为y =，抛物线的解析式为23y x =-，而BE =B 点的横坐标为当x =2312633y x =-=--=，则 B ，3)，//BD x 轴，D ∴点的纵坐标为3，当3y =时，3=，解得x = D 点坐标为(3)，当x =233333y x =--=+-=，∴点D 在抛物线上．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉相关性质是解题的关键．9．如图，已知90,30Rt OAB OAB ABO ∠=︒∠=︒，，斜边4OB =，将Rt OAB 绕点O 顺时针旋转60︒，得到ODC △，连接BC ．（1）填空：OBC ∠=_________︒；（2）如图1，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3）如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在OCB 边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路匀速运动，当两点相遇时运动停止，己知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，OMN 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）60；（2；（3）()222808384834 4.82x x x x x x ⎧⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫-+<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪<≤⎪⎩【分析】（1）由旋转性质可知：OB=OC ，∠BOC=60°，则△OBC 是等边三角形，即可求解；（2）证明△BOC 是等边三角形，BC=OB=4，而∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，故AC ==S △AOC 11222OA AB =⋅⋅=⨯⨯= （3）分880, 4.4 4.833x x x <≤<≤<≤三种情况，利用面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC ，∠BOC=60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为：60；（2）如图1，904,30BAP OB ABO ∠=︒=∠=︒，，122OA OB AB ∴====，由旋转得：BOC 是等边三角形，4BC OB ==∴6090OBC ABC ABO OBC ∠=︒∠=∠+∠=︒，，∴AC ==∴11222AOCS OA AB =⋅⋅=⨯⨯=∴27AOC S OP AC ===． （3）①当803x <≤时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，如图2，过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则12OE x NE x ===，，11 1.5222OMN S OM NE x x ∴=⋅⋅=⨯⨯．∴2y x =； ②当843x <≤时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动，如图2，作MH OB ⊥于H ，则)8 1.5,8 1.5BM x MH x =-=-∴212y ON MH x =⨯⨯=+ ③当4 4.8x <≤时，M 、N 都在BC 上运动，作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==∴12y MN OG x =⋅⋅=综上所述，()222808384834 4.8x x x x x x ⎧⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫-+<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪<≤⎪⎩【点睛】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．如图，已知△ABC 中，BC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，四边形DEFG 为内接矩形．（1）当矩形DEFG 是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，当x 为何值时S 有最大值，并求出最大值．【答案】（1）409；（2）()254204S x=--+，当x＝4时，S有最大值20【分析】（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；（2）根据相似三角形的性质求出GF＝10−54x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，∵四边形DEFG为矩形，∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴AK：AH＝GF：BC，∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，∴(8﹣y)：8＝y：10，解得：y＝409；（2）设EF＝x，则KH＝x．∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，由（1）可知：8108GF x-=，解得：GF＝10﹣54 x，∴s＝GF•EF＝（10﹣54x）x＝﹣54（x﹣4）2+20，∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．11．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：秒，0 2.5t <<）．（1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t=32；（2）存在，t=32时，最小值为215． 【分析】（1）分两种情况讨论：①当△AMP ∽△ABC 时，②当△APM ∽△ABC 时，对应边成比例求解，即可求出结论；（2）过P 作PH 垂直BC ，通过△BPH ∽△BAC ，求出PH 长，再用△ABC 的面积减去△BPN 面积即可表示四边形APNC 的面积解析式，化成顶点式找到最小值，即可求出结果；【详解】解：（1）以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解：t=32，②当△APM∽△ABC时，AM APAC AB=，即45245t t--=，解得t=0（不符合题意，舍去）综上所述，当t=32秒时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值，理由如下：设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值，如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴，过P作PH⊥BC于H，则∠PHB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BPH∽△BAC，∴PH BP AC AB=∴2 45 PH t=解得PH=85tcm∴S=S△ABC-S△BPN=12×3×4-12×（3-t）85t=45（t-32）2+215（0<t<2.5）∵45>0，∴S有最小值，当t=32时，S最小值=215，∴存在t值使四边形APNC的面积S最小，t=32时，最小值为215．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，二次函数最值以及三角形面积问题等知识点，注意要分类讨论，以防漏解．12．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A （-1，0）和点D （5，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；（3）点B 是该抛物线与y 轴的交点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）245y x x =--；（2）对称轴为直线x=2，顶点C 的坐标为（2，-9）；（3）30【分析】（1）利用待定系数法解答；（2）将函数解析式化为顶点式即可得到答案；（3）连接AB 、BC 、CD 、OC ，根据解析式求出点B 的坐标，再利用面积和的关系求出答案.【详解】（1）∵二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A （-1，0）和点D （5，0），∴4025200a c a c ++=⎧⎨-+=⎩，解得15a c =⎧⎨=-⎩， ∴该二次函数的解析式为245y x x =--；（2）∵2245(2)9y x x x =--=--，∴该抛物线的对称轴为直线x=2，,顶点C 的坐标为（2，-9）；（3）如图，连接AB 、BC 、CD 、OC ，令245y x x =--中x=0，解得y=-5，∴B （0，-5）∵A （-1，0）、B （0，-5）、C （2，-9）、D （5，0），∴OA=1，OB=5，OD=5，∴四边形ABCD 的面积=AOB BOC COD S S S ++=11151525930222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，将二次函数的一般式化为顶点式，利用割补法求几何图形的面积，这是一道二次函数的基础题.13．如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =49-x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ．点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求S 关于m 的函数表达式．（3）当S 最大时，△求点Q 的坐标．△若点F 在抛物线y =49-x 2+bx +c 的对称轴上，且△DFQ 的外心在DQ 上，求点F 的坐标．【答案】（1）244893y x x =-++；（2）23310S m m =-+；（3）△点Q 的坐标为（3，4）；△点F 的坐标为32⎛ ⎝⎭，或362⎛- ⎝⎭，． 【分析】 （1）将A 、C 两点坐标代入抛物线y =49-x 2+bx +c ，即可求得抛物线的解析式； （2）先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数；（3）△根据二次函数的最值，求出S 最大时的m 值，得出AQ 的长，即可求得点Q 的坐标；△根据三角形的外心性质，可得△DFQ 为直角三角形，且DQ 为斜边，由勾股定理列出关于三边的方程，求解后即可得到点F 的坐标．【详解】解：（1）将A （0，8）、C （6，0）两点坐标代入抛物线y =49-x 2+bx +c ，得 8436609c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得438b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：244893y x x =-++； （2）过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，∵A （0，8）、C （6，0），则OA ＝8，OC ＝6，∴AC 10=．则sin ∠ACB ＝35QE AB QC AC ==． ∴3105QE m =-， ∴3(10)5QE m =-， ∴21133(10)322510S CP QE m m m m =⋅=⨯-=-+； （3）△∵()221133315(10)3522510102S CP QE m m m m m =⋅=⨯-=-+=--+， ∴当m ＝5时，S 取最大值，即AQ ＝5，∵A （0，8）、C （6，0），∴点Q 的坐标为（3，4）；△∵抛物线244893y x x =-++的对称轴为x ＝32， ∵△DFQ 的外心在DQ 上，∴△DFQ 为直角三角形，且∠DFQ ＝90°当∠DFQ ＝90°时，设F （32，n ）， ∵点D 是AB 与244893y x x =-++的交点， 令y ＝8，则x ＝0或x ＝3，∴点D 的坐标为（3，8），则FD2＋FQ2＝DQ2，即()()22991644n n+++=8--4解得62n=±．∴满足条件的点F共有两个，坐标分别为36+22⎛⎫⎪⎪⎝⎭，或3622⎛-⎝⎭，．【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，解题时注意数形结合数学思想的运用．14．如图，已知正三角形ABC的边长为4，矩形DEFG的DE两个点在正三角形BC边上，F、G点在AB、AC边上，求矩形DEFG的面积的最大值是多少？【答案】【分析】设EF=x，先求出三角形ABC的高AH的长，由矩形性质FG∥BC，推出△AFG∽△ABC利用性质得比例式FG AM=BC AH求出4x⋅，利用矩形面积公式S矩形DEFG=243x x-+利用函数的性质求出最值即可．【详解】过A 作AH ⊥BC 于H ，交FG 于M ，∵正三角形ABC 的边长为4，∴BH=CH=2，在Rt △ABH 中由勾股定理设EF=x ，则AM=x ，∵矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，△FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC ， ⊥FG AM =BC AH， ⊥234AMBC FG==AH 2x⋅，△S 矩形DEFG 244x xx x ⋅=+，⊥a =0<， 则抛物线开口向下，有最大值，x ==⎝⎭S 最大=【点睛】本题考查等边三角形内接矩形问题，涉及等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解题关键．15．某农场拟建三间矩形饲养室，饲养室一面靠墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？请说明理由．【答案】（1）y=﹣4x2+60x，10≤x＜15；（2）不能，理由见解析．【分析】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，由矩形面积公式可以得到y关于x的函数表达式，再由y 的值大于0且小于或等于20可以得到自变量的取值范围；（2）令y=210，得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值后根据（1）中自变量的取值范围可以得到问题解答．【详解】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，∴y=x （60﹣4x ）=﹣4x 2+60x ，∵0＜60﹣4x≤20，∴10≤x ＜15；（2）不能，理由如下：当y=210时，﹣4x 2+60x=210，解得：或＜10，且10， ∴三间饲养室占地总面积不可能达到210平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，由题意列出二次函数解析式后再结合二次函数图象或一元二次方程的解作答是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，其中()4,0A -，()2,0B ，()0,4C -．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）若点D 是y 轴上的点，且以A ，C ，D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点D 的坐标． （3）点P 是抛物线2y ax bx c =++的对称轴上的一点，点S 是坐标平面内一点，若以A ，C ，P ，S 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．【答案】（1）2142y x x =+-；（2）1D (0，43)，2D (0，2)；（3）1P (-1，-1)，2P (-1，3P (-1，，4P (-1，，5P (-1，-4【分析】（1）设出二次函数的交点式，将点C 带入求值即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①当ABC CAD ∽时，②当ABC CDA ∽时，求点D 的坐标即可；（3）根据菱形是四边都相等的平行四边形，分情况讨论即可；【详解】（1）∵A(-4，0)，B(2，0)，设抛物线解析式为()()42y a x x =+-，抛物线过C(0，-4)84a ∴-=-，12a ∴=，∴此抛物线解析式为2142y x x =+-； （2）∵A(-4，0)，B(2，0)，C(0，-4)4OA OC ∴==，2BO =，6AB ∴=ACO ∴为等腰直角三角形①当ABC CAD ∽时 则CD AC AC AB=6=，163CD ∴= 164433OD CD OC ∴=-=-= 1D ∴(0，43) ②当ABC CDA ∽时则CD AC AB AC=6CD ∴=6CD ∴= 642OD CD OC ∴=-=-=2D ∴(0，2)（3）∵抛物线对称轴为直线x=-1，设点P(-1，y)，∵A(-4，0)， C(0，-4)，()2222149AP y y =-++=+ ，()()()222201441CP y y =+++=++()()222040432AC =+++=①若AP=CP ，则()22y 9=y+41++ ，解得y=-1， △ 1P (-1，-1)，②若AP=AC ，则2y 9=32+，解得：1y ，2y =，∴ 2P (-1，3P (-1，③若CP=AC ，则()2y+41=32+，解得：1y ，2y =4-∴ 4P (-1，，5P (-1，-41P (-1，-1)，2P (-1，，3P (-1，，4P (-1，，5P (-1，-4【点睛】本题考查了二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与直角三角形、二次函数与菱形的结合，解题的关键是注意分类讨论的情况；17．如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），以D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ．（1）若CE=3，求BD 的长；（2）如图2，当//ED AB 时，求AE 的长；（3）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．【答案】（1）3或5；（2）12564；（3）218555y x x =-+，08x <<． 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得BAD CDE ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可得；（2）先根据平行线的性质、等量代换可得B C BAD CDE ∠=∠=∠=∠，再利用相似三角形的判定与性质可得AB BD BC AB=，从而可得2539,88BD CD ==，然后利用相似三角形的判定与性质可得CD CE BC AC =，由此即可得；（3）先根据线段的和差可得8,5CD x CE y =-=-，再利用（1）中相似三角形的性质可得y 关于x 的函数解析式，然后根据BC 的长即可得x 的取值范围．【详解】（1）设BD a =，则8CD BC BD a =-=-，5AB AC ==，B C ∴∠=∠，由三角形的外角性质得：B BAD ADC ADE CDE ∠+∠=∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，BAD CDE ∴∠=∠，在ABD △和DCE 中，B C BAD CDE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABD DCE ∴~，AB BD CD CE∴=，即583a a =-， 解得3a =或5a =，经检验，3a =或5a =都是所列分式方程的解，则BD 的长为3或5；（2）设AE b =，则5CE AC AE b =-=-，由（1）可知，B C ∠=∠，BAD CDE ∠=∠，//ED AB ，B CDE ∴∠=∠，B C BAD CDE ∴∠=∠=∠=∠，在ABD △和CBA △中，BAD C B B∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴ABDCBA ， AB BD BC AB ∴=，即585BD =， 解得258BD ， 2539888CD BC BD ∴=-=-=， 又//ED AB ，CDE CBA ∴~，CD CE BC AC ∴=，即395885b -=， 解得12564b =， 即AE 的长为12564； （3）,,8,5BD x AE y BC AC ====，8,5CD BC BD x CE AC AE y ∴=-=-=-=-， 由（1）已证：AB BD CD CE =， 585x x y∴=--， 化简整理得：218555y x x =-+， 点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），且8BC =， 08x ∴<<，故y 关于x 的函数关系式为218555y x x =-+，x 的取值范围为08x <<． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、可化为一元二次方程的分式方程的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．18．为了美化校园，某校综合实践小组准备利用校园内一面长15m 的墙和40m 的不锈钢管，把校园内的一片空地围成如图所示的由四个小矩形组成的矩形花圃，若设矩形花圃的宽为x m ，矩形花圃的面积为S 2m ，请解答下列问题：（1）求出S 2m 与()x m 函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）当矩形花圃的宽为多少米时，矩形花圃的面积最大，并求出此时矩形花圃的面积．【答案】（1）2540S x x =-+，()58x ≤<；（2）当矩形花圃的宽为5m 时，矩形花圃的面积最大，此时矩形花圃的面积为275m △【分析】（1）利用矩形面积公式结合图形求出S 2m 与()xm 函数关系式，进而利用040515x <-≤求出自变量x 的取值范围；（2）利用二次函数的增减性结合x 的取值范围得出答案．【详解】（1）由题意可知：矩形花圃的长为()405x m -， ()2405540S x x x x =-=-+，040515x <-≤，∴58x ≤<，∴自变量x 的取值范围为：58x ≤<；（2）2540S x x =-+()258x x =--()2225844x x =--+-()25480x =--+∴二次函数的对称轴为：直线4x =， 50a =-<，∴当4x >△，S 随x 的增大而减小，58x ≤<，∴当5x =△，S 有最大值，∴()()225548075S m =-⨯-+=．答：当矩形花圃的宽为5m 时，矩形花圃的面积最大，此时矩形花圃的面积为275m △【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的增减性以及不等式的应用，利用二次函数的增减性求出最值是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，直线210y x =-+与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点．点C 的坐标是()8,4，连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；（2）抛物线上是否存在着一点P ，使PAB △的面积为25？若存在，求出P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上，是否存在着一点M ，使ABM 为以AB 为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21566y x x =-，ABC 为以C 为直角顶点的直角三角形；（2）存在，P 的坐标为()15,50P -或()8,4P 或()0,0P 或()7,14P -；（3）()18,4M ，()20,0M ，()33,4M -．【分析】（1）先确定出点A ，B 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；（2）作PQ x ⊥轴交直线AB 于点Q ，由PAB △的面积为25求出PQ 的长，则可得217101066t t +-=，解得115t =-，28t =，30t =，47t =-，则可求得点P 的坐标； （3）根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为直线522O A x x x +==，由圆周角性质的推论，直径所对的圆周角为直角，则M 必须在以AB 为直径的圆上，而M 又在抛物线上，M 在以AB 为直径的圆和抛物线的交点处均符合题意， 圆与抛物线共有四个交点为O ，A ，C ，3M ，由图象可得()184M ，，()200M ，，由3M 与()84C ，关于直线52x =对称可求解3M 的坐标． 【详解】解：（1）∵210y x =-+与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，当0y =时，即2100x -+=，解得5x =，△()50A ，， 当0x =时，10y =，△()010B ，． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+．△2y ax bx c =++过()50A ，，()84C ，， 则25506484a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得1656a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， △该抛物线的解析式为21566y x x =-． △()5,0A ，()0,10B ，()8,4C ，△()()22250010125AB =-+-=； ()()222580425AC =-+-=；()()22208104100BC =-+-=；△222AC BC AB +=．△ABC 为以C 为直角顶点的直角三角形（2）存在．理由如下：作PQ x ⊥轴交直线AB 于点Q ，设21566P t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则()210Q t t -+，， △2171066P Q PQ y y t t =-=+-， △1·252PAB S OA PQ ==△，△15252PQ ⨯⋅= 即10PQ = 即217101066t t +-= 即217101066t t +-=或217101066t t +-=- 解得：115t =-，28t =，30t =，47t =-；当15t =-时，2155066P y t t =-=，此时()1550P -，； 当8t =时，215466P y t t =-=，此时()84P ，；当0t =时，215066P y t t =-=，此时()00P ，； 当7t =-时，2155066P y t t =-=，此时()714P -，； △综上所述：当P 的坐标为()1550P -，或()84P ，或()00P ，或()714P -，时，PAB △的面积为25． （3）由抛物线的轴对称性可知：抛物线的对称轴为直线522O A x x x +==， 若在抛物线找一点M 使ABM 为以AB 为斜边的直角三角形，即M 为直角顶点；由圆周角性质的推论，直径所对的圆周角为直角，则M 必须在以AB 为直径的圆上，而M 又在抛物线上，△M 在以AB 为直径的圆和抛物线的交点处均符合题意，如图所示：圆与抛物线共有四个交点，分别为O ，A ，C ，3M由（1）可知，当M 与O 或C 重合的时候均符合题意，与A 重合A ，B ，M 三点不能组成三角形，△()184M ，，()200M ， 而AB 的中点即圆心在抛物线的对称轴上，所以抛物线与圆具备了公共的对称轴，直线52x =， △圆与抛物线的四个交点是关于直线52x =对称， △3M 与()84C ，关于直线52x =对称，△3522M Cx x += 解得33M x =-，△()334M -，综上可知：()184M ，，()200M ，，()334M -，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法、勾股定理逆定理、圆周角定理等知识，解题的关键是能够熟练掌握待定系数法并准确灵活应用所学知识解决问题．20．如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，45A ∠=︒．30AB =，BC x =，其中530x ≤<．作DE AB ⊥于点E ，将ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在F 处，DF 交BC 于点G ．（1）用含有x 的代数式表示BF 的长；（2）设四边形DEBG 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式；（3）当x 为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）230BF x =-；（2）23604502S x x =-+-；（3）当20x 时，S 有最大值，最大值为150【分析】（1）由等腰直角三角形的性质解题； （2）由等腰直角三角形的性质及三角形面积公式解题；（3）将函数关系配方成顶点式，结合二次函数图象与性质解题．。
2021年重庆中考数学专题复习应用题
2021重庆中考数学专题复习应用题1.樱桃果实味甘性温，营养丰富，含铁量高，有调中补气、祛风湿、促进血红蛋白再生等功能.宋代女诗人朱淑真以“樱桃”为题吟道：“为花结实自殊常，摘下盘中颗颗香.味重不容轻众口，独于寝庙荐先尝”.本月正是日啖樱桃的好时节，小玉访友途中先后购买了攀枝花甜樱桃(简称“P樱桃”)4斤和壁山小樱桃(简称“B樱桃”)2斤，共支付125元．(1)已知P樱桃单价是B樱桃单价的2倍，则P樱桃单价是多少？(2)小玉发现后购买的樱桃价虽廉，但物不够美，决定到甲、乙两个采摘园自行采摘.回家后发现，甲采摘园樱桃单价比P樱桃单价少a%，乙采摘园樱桃单价比B樱桃高a%，且在甲采摘园采摘的数量比途斤，在乙采摘园采摘的数量与途中购买的B樱桃数量一样多，总价比途中购中购买的P樱桃数量少a20a%，则a的值为多少？买时的支付费用125元少752.端午将至，各大商家都在为端午节销售粽子做准备.重庆某知名食品公司主推两款粽子礼盒，蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒.礼盒上市第一天，卖出两种礼盒共计5000盒，其中蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒的售价分别为160元和120元．(1)若礼盒上市当天，蛋黄鲜肉粽礼盒销售数量是八宝粽礼盒销售数量的1.5倍，求当天八宝粽礼盒的销售量？(2)在(1)的条件下，礼盒上市第二天，蛋黄鲜肉粽礼盒销售数量增长了a%，八宝粽礼盒销售数量增长a%，而蛋黄鲜肉粽礼盒价格下降了a%，八宝粽礼盒价格不变，最终礼盒上市第二天两种礼盒的销了15售总额和(1)中两种礼盒的销售总额相等，求a的值．3. 水蜜桃，因其鲜嫩多汁，香甜可口深受广大市民喜爱.近期是水蜜桃大量上市的日子，某水果店以12元每千克购进水蜜桃100千克进行销售.若在运输过程中质量损耗10%，其他费用忽略不计．(1)问每千克水蜜桃售价至少定为多少元，才能使销售完后的利润率不低于20%？(2)因水蜜桃销售情况良好，很快一抢而空，水果店本周又购进了第二批水蜜桃400千克，第二批水蜜桃的购进价格比第一批上涨了13a%，由于天气原因，第二批水蜜桃在运输过程中质量损耗提高到14a%，所以水果商决定提高售价，比第一批的最低售价提高110a 元，这样，第二批水蜜桃销售完后比第一批水蜜桃多赚1480元，求a 的值．4. 某超市计划把每盒利润是50元和30元的A 、B 两种礼盒糕点共进2000盒，作为本月的主打商品．(1)若全部销售完这些商品，礼盒B 的利润不超过礼盒A 的利润的90%，则礼盒A 至少进多少盒？(2)超市在实际进货时，因晚了一周，虽然两种礼盒进价都不变，但是由于市场供求变化，礼盒A 的售价每盒降低了5a 元，其销量比(1)中最少进货量增加了a 30，礼盒B 的每盒利润下调了7a 90，其销量在(1)问中最多进货量上多了400盒.在这批货全部售完的情况下礼盒A 的总利润比礼盒B 的总利润少了8000元，求a 的值？5.某蛋糕店生产的水果蛋糕深受消费者喜爱，但2020年受疫情影响，销售情况大幅受挫，2020年4月该蛋糕店仅售出60盒这种水果蛋糕，已知该水果蛋糕每盒的成本为100元，卖价为每盒200元；2020年5月该店推出了一款新口味蛋糕，该新口味蛋糕每盒成本为75元，卖价仍为每盒200元，并且从5月一开始，该店不再生产和出售旧款的水果蛋糕，(1)若要使4月、5月该店卖出两款蛋糕的总利润不低于28500元，则5月至少应该卖出多少盒新口味蛋糕？(2)随着消费市场的逐渐好转，该店5月按照(1)中最低数量进行生产制作新口味蛋糕，但由于材料、人工等方面影响，新口味蛋糕每盒的成本比75元多了a%(a>10)，于是该店将售价也提高了a%，在实a%的新口味蛋糕变质而无法卖出，最终，5月的总利润比4月多了际售卖过程中，由于天气原因，有1216500元，求a的值．6.谊品生鲜超市在六月第三周购进“夏黑”和“阳光玫瑰”两种葡萄，已知“夏黑”葡萄的售价比“阳光玫瑰”葡萄的售价每千克少10元．(1)若六月第三周超市购进100千克的“夏黑”葡萄，“阳光玫瑰”葡萄的购进数量是“夏黑”葡萄购进数量的2倍，全部销售完后，销售额为17000元，则“夏黑”葡萄每千克的售价为多少元？(2)由于两种葡萄销量很好，六月第四周超市又购进了两种葡萄若干千克.6月24日，两种葡萄的售价与第三周的售价相同，其中“夏黑”葡萄与“阳光玫瑰”葡萄当天的销量之比为3：2，6月25日是端午节，超市决定调整销售方案，“夏黑”葡萄的售价每千克降价a%，销量比6月24日增加了2a%，“阳a%，销量比6月24日增加了a%，结果6月25日两种葡萄的总销售光玫瑰”葡萄的售价每千克上涨14a%，求a的值(a>0)．额比6月24日两种葡萄的总销售额增加了31367.5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展.已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元.第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．(1)若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？a%，红茶每盒降价4a%，(2)第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期间，桃片糕每盒降价103桃片糕数量在(1)问最多的数量下增加6a%，红茶数量在(1)问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a元，求a的值．8.亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，其中每套甲款亲子装进价200元，每套乙款亲子装进价160元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完毕，已知每套乙款亲子装售价为240元，(1)求购进甲、乙两款亲子装各多少套？(2)六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销期间，每套甲款a%销售，结亲子装在进价的基础上提高(a+10)%销售，每套乙款亲子装在第一批售价的基础上降低12果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销售量降低了a%，乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活动共获利5200元，求a的值．9.每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动，甲卖家的A商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售(1)现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？(2)据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为，乙卖家也销售A商品，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，现乙卖家先将标价提高2m%，再大幅降价24m元，m%后，这样一天的利润达使得A商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了52到了20000元，求m的值10.“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．(1)经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降的购买价格比原有价格上涨52m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总了920m%，求出m的值．额增加了15211.5G网络，是最新一代蜂窝移动通信技术，其数据传输速率远高于以前的蜂窝网络，最高可达10Gbit/s，比4G快100倍．5G手机也成为生活、工作不可缺少的移动设备，某电商公司销售两种5G手机，已知售出5部A型手机，3部B型手机的销售额为51000元；售出3部A型手机，2部B型手机的销售额为31500元．(1)求A型手机和B型手机的售价分别是多少元；(2)该电商公司在3月实行“满减促销”活动，活动方案为：单部手机满3000元减500元，满5000元减1500元(每部手机只能参加最高满减活动)，结果3月A型手机的销量是B型手机的1，4月该电商公3a%，销量比3月增加2a%；每部B 司加大促销活动力度，每部A型手机按照3月满减后的售价再降13a%，结果4月的销售总额比3月的销售总额型手机按照满减后的售价再降a%，销量比3月销量增加23a%，求a的值．多21512.新型冠状病毒肺炎是一种极性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人体中发现的新型冠状病毒，市民出于防疫的需求，持续抢购防护用品．某药店口罩每袋售价20元，医用酒精每瓶售价15元．(1)该药店第一周口罩的销售袋数比医用酒精的销售瓶数多100，且第一周这两种防护用品的总销售额为9000元，求该药店第一周销售口罩多少袋？a%，销量比第一周增加了(2)由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，第二周口罩售价降低了122a%，医用酒精的售价保持不变，销售比第一周增加了a%，结果口罩和医用酒精第二周的总销售额比a%，求a的值．第一周增加了6513.农历五月初五是中国民间传统节日一端午节，又称端阳节，也是纪念诗人屈原的节日．划龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽，其中红豆粽的销售单价是白水粽的1.25倍，4月份，红豆粽和白水粽共销售150千克，红豆粽的销售额是1200元，白水粽的销售额为1440元．(1)求红豆粽、白水粽的销售单价各是多少？(2)为迎接端午节到来，该蛋糕店在5月推出“粽享会员”活动，对所有的粽子均可享受a%的折扣，非“粽享会员”需要按照原价购买，就红豆粽而言，5月销量比4月销量增加了a%，其中通过“粽享会员”购买的销量占5月红豆粽销量的56，而5月红豆粽的销售总额比4月红豆粽销售额提高了112a%，求a 的值．14. 市扶贫办在精准扶贫中实施产业扶贫，重百超市积极响应号召，帮助贫困农户进行脐橙和柚子的销售.脐橙售价20元/千克，柚子售价15元/千克，第一周脐橙的销量比柚子的销量多100千克，两种水果的销售总额达到9000元．(1)第一周脐橙和柚子的销售量分别为多少千克？(2)第二周继续销售这两种水果，第二周脐橙售价降低了12a%，销量比第一周增加了2a%.柚子的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了65a%，求a 的值．15. 2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．(1)若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a 的值；(2)若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？16.近年来，随着科技的进步，物质生活丰富的同时，人们对于生活质量的要求也越来越高，特别对室内空气净化、杀菌消毒、消除异味等需求的重视程度有明显提升.某公司研发生产了一款新型空气净化器，每台的成本是4400元，某专卖网店从该公司购进10000台空气净化器，同时向国内、国外进行在线发售.第一周，国内销售每台售价5400元，国内获利100万元；国外销售也售出了相同数量的空气净化器，但每台的成本增加了400元；国外销售每台获得的利润是国内销售每台利润的6倍．(1)该专卖网店国外销售空气净化器第一周的售价是每台多少元？(2)受贸易环境的影响，第二周，国内销售每台售价在第一周的基础上降低a%，销量上涨5a%；国外销售每台售价在第一周的基础上上涨a%，并且在第二周将剩下的空气净化器全部卖完，结果第二周国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求a的值．17.六一前夕，某商场以每个30元的价格购进了500个玩具，再以每个40元的价格售出，很快销售一空，商场计划再进一批．(1)第二次进价每个上涨了5元，仍以原价出售，若两批玩具的总利润不低于13000元，则第二批至少要进多少个？(2)实际进货时，商场以(1)问中的最低数量进货.为了扩大销售，商场投入了1600元宣传费，并把售价提高10a%，由于竞争激烈，还剩下5a%没卖出去，商场决定对剩下的玩具6折销售，很快售完，第二批货仍获利6400元，求a的值．。
2019重庆中考数学第16题《概率》练习题
重庆中考数学第16题《概率》的练习题1.从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m ，再从余下的三个数中，任取一个数记为n ，若k=mn ，则正比例函数y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是．2..点P 的坐标是（a ，b ），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P （a ，b ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是．3.从23-，-1，0，1这四个数中，任取一个数作为m 的值，恰好使得关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=--=-22y x m y x 有整数解，且使以x 为自变量的一次函数33)1(-++=m x m y 的图象不经过第二象限，则取到满足条件的m 值的概率是 。
4.已知一个口袋中装有六个完全相同的小球，小球上分别标有0，3，6，9，12，15六个数，搅匀后一次从中摸出一个小球，将小球上的数记为a ，则使得一次函数a x a y +-=)5(经过一、二、四象限且关于x 的分式方程6646-+=-x xx ax 的解为整数的概率是 ．5...已知五张卡片上分别写有五个数－2、－1、0、1、2，它们除数字不同外其余全部相同，先从中随机抽取一张，将抽到的卡片上的数字记为x ，不放回再从剩下的随机抽取一张记为y ，则点（x ，y ）落在两条直线3+=x y 、33+-=x y 与x 轴围成的区域内（包括边界）的概率为_____________6．在一个不透明的盒子中装有4个分别标有数字﹣1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余完全相同，现从中随机摸出两个小球，则两个小球上所标数字的乘积为偶数的概率是________7.在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球然后放回．．，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号相同的概率为_______．8.从1,2,3,4,四个数中任取一个数作为AC 的长度，又从4,5中任取一个数作为BC 的长度,AB=6，则AB 、AC 、BC 能构成三角形的概率是 。
【备战2012】中考数学专题复习训练16 根与系数的关系(无答案)
第16章 根与系数的关系一．填空题：1．方程0922=+-mx x 有两个相等的实数根，则________=m ；2．设41≥m ，且2≠m ，方程0)12()2(2=+---m x m x m 的根的情况是 3．如果方程122-=+m x x 没有实数根，则关于x 的方程0122=-++m mx x 的根的情况是 ；4．若方程032=-+k x x 没有实数根，则k 的最大整数值是 ；5．如果1x 、2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么21x x ⋅＝ ；6．已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ；7．已知一元二次方程0132=--x x 的两个根是1x ，2x ，则=+21x x ，8．一元二次方程032=--a ax x 的两根之和为12-a ，则两根之积为_________；9．如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么21x x ⋅＝ ； 10．若n m ,是方程0120042=-+x x 的两个实数根，则mn mn n m -+22的值是 ；二．选择题：11．下列方程中有两个相等实数根的是 （ ）A 035422=++x xB x x 212=+C 1)1(2-=-xD 1452=+x x12．当24b c >时，方程02=+-c bx x 的根的情况时 （ ）A 有两个不等实根B 有两个相等实根C 没有实根D 不能确定有无实根13．若关于x 的一元二次方程0)21()2(2=+-+-a x a x a 有实根，则 （ ） A 41-≤a B 41-≥a C 41-≥a 且2≠a D 2>a 14．若a x x ++3142为完全平方式，则a 的值为 （ ） A 61 B 121 C 361 D 144115．若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）A k ＜1B k ≠0C k ＜1且k ≠0D k ＞116．对于一元二次方程01532=-+y y ，下列说法正确的是 （ ）A 方程无实数根B 方程有两个相等的实数根C 方程有两个不相等的实数根D 方程的根无法确定17．方程x x 220-+=根的情况是 （ ）A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D. 没有实数根18．下列一元二次方程中，没有实数根的是 （ ）A 0122=-+x xB 02222=++x xC 0122=++x x D 022=++-x x 19．若1x ，2x 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，则2111x x +的值是 （ ） A 2 B 1 C ―1 D 320．如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是 （ ）A m ＜1B 0＜m ≤1C 0≤m ＜1D m ＞021．一元二次方程0122=-+x x 的根的情况是 （ ）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 不能确定22．一元二次方程0252=+-x x 的两个根为1x ，2x ，则+1x 2x 等于 （ ）A. –2B. 2C. –5D. 523．设21,x x 是方程05822=+-x x 的两个根，则)1)(1(1221x x x x ++的值是 （ ） A 1049 B 529 C 311- D 以上都不对24．如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根互为倒数，则（ ） A. b a = B. bc a = C. a c =D. b c = 25．已知方程04322=--x x 的两根是21,x x ，那么21x x +的值是 （ ） A 23 B 23- C 3 D 3-26．若βα,是方程6522=-x x 的两个实数根，则 （ ）A 6,5-=⋅=+βαβαB 6,5-=⋅-=+βαβαC 3,25-=⋅-=+βαβαD 3,25-=⋅=+βαβα 27．已知21,x x 是方程01322=-+x x 的两个根，那么2111x x +等于 （ ） A 3 B 3- C31 D 31- 28已知一元二次方程的两个根的和为32-，两个根的积是2，则这一元二次方程是 （ ） A 04432=--y y B 04432=-+y yC 06232=++y yD 02632=--y y29．若方程0122=+-+m mx x 的一根3-=α，则另一根β或m 的可能值分别是（ ）A 2,1==m βB 5,8-==m βC 2,1==m β或5,8-==m βD 以上答案都不对30．关于x 的一元二次方程01)4(22=++-+k x k x 的两个根互为相反数，则k 值是（ ）A 1-B 2±C 2D 2-三．解答题：31．当m 为何值时, 方程0415)32(22=-+-+m x m x ①有两个相等的实数根②有两个不相等的实数根③若方程有两个不相等的实数根,且m 为正整数时,求此时方程的解.32．阅读下题及解题过程，然后完成题后的要求；已知关于x 的方程0)2(4122=+--m x m x ，是否存在正整数m ，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，请求出满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由。
湘教版2021年中考数学二轮复习专题16图形与坐标【含答案】
湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题16图形与坐标一、单选题A A→B→C→D→A···A1.如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点的(2,−2)B(−2,−2)C(−2,6)D(2,6)坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁2020爬了个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（）(−2,−2)(2,−2)(−2,6)(0,−2)A. B. C. D.2.如图所示，动点P在平面直角坐标系中，按箭头所示方向呈台阶状移动，第一次从原点运动到点（0，1），第二次接着运动到点（1，1），第三次接着运动到点（1，2），……，按这样的运动规律，经过2020次运动后，动点P的坐标是( )A. （2020，2020）B. （505，505）C. （1010，1010）D. （2020，2021）3.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路程如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，第n次移动到点A n，则点A2020的坐标是（）A. (1010，0)B. (1010，1)C. (1009，0)D. (1009，1)4.在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点O出发，按向上→向右→向下→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则A3020的坐标为（）A. (1007，1)B. (1007，﹣1)C. (504，1)D. (504，﹣1)5.如图，在平面直角坐标系 中，点 ．点 第1次向上跳动1个单位至点 ，紧接xOy P(1,0)P P 1(1,1)着第2次向左跳动2个单位至点 ，第3次向上跳动1个单位至点 ，第4次向右跳动3个单P 2(−1,1)P 3位至点 ，第5次又向上跳动1个单位至点 ，第6次向左跳动4个单位至点 ，……，照此规律，P 4P 5P 6点 第2020次跳动至点 的坐标是（ ）P P 2020A. B. C. D. (−506,1010)(−505,1010)(506,1010)(505,1010)6.第一次：将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到A 1；第二次：作点A 1关于x 轴的对称点A 2；第三次：将点A 2绕点O 逆时针旋转90°得到A 3；第四次：作点A 3关于x 轴的对称点A 4…，按照这样的规律，点A 35的坐标是（ ）A. （﹣3，2）B. （﹣2，3）C. （﹣2.﹣3）D. （3.﹣2）7.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1,0)、(2,0)、(2,1)、(1,1)、(1,2)、(2,2)、……，根据这个规律,第2019个点的坐标为（ ）A. (45,10)B. (45,6)C. (45,22)D. (45,0)8.在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点P 的伴随点．已知xOy P(x,y)P ′(−y +1,x +1)点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 A 1A 2A 2A 3A 3A 4 ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）A 1,A 2,A 3,⋯,A n ,⋯A 1(3,1)A 2019A. B. C. D. (0,−2)(0,4)(3,1)(−3,1)9.已知，平面直角坐标系中，A 1（1，1）、A 2（﹣1，1）、A 3（﹣1，﹣1）、A 4（2，﹣1）、A 5（2，2）、A 6（﹣2，2）、A 7（﹣2，﹣2）、A 8（3，﹣2）、A 9（3，3）、……、按此规律A 2020的坐标为（ ）A. （506，﹣505）B. （505，﹣504）C. （﹣504，﹣504）D. （﹣505，﹣505）10.如图，已致点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，且 .过点 作 A 1(0,1)A 2x ∠A 1A 20=30°A 2 ，交 轴于点 ；过点 作 ，交 轴于点 ；过点 作 A 2A 3⊥A 1A 2y A 3A 3A 3A 4⊥A 2A 3x A 4A 4 ，交 轴于点 ；……；按此规律进行下去，则点 的坐标为（ ）A 4A 5⊥A 3A 4y A 5A 2021A. B. C. D. (0,31011)(−31011,0)(0,31010)(−31010,0)二、填空题11.如图，已知A 1（0，1），A 2（ ，），A 3（ ， ），A 4（0，2），A 5（ ，-1），A 6（ 32−12−32−123 ，-1），A 7（0，3），A 8（ ， ），A 9（ ， ）……则点A 2010的坐标是________ −3332−32−332−3212.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标 ，将线段 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再P 1(22,22)OP 1将其长度伸长为 的2倍，得到线段 ；又将线段 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为 OP 1OP 2OP 2 的2倍，得到线段 ；如此下去，得到线段 、 ，……， （n 为正整数），则点 OP 2OP 3OP 4OP 5OP n 的坐标是________． P 202013.规定：在平面直角坐标系xOy 中，任意不重合的两点 M(x 1 ， y 1)，N(x 2 ， y 2)之间的折线距离为 ．如图①点M(－2，3)与点 N(1，－1)之间的折线距离为 d(M,N)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|d(M,N)=________；如图②点 P(3，－4)，若点 Q 的坐标为(t ，3)，且 ，则t 的值为________． d(P,Q)=814.在平面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，其中 ， 满足关系式 A(0,a)B(b,0)C(b,6)a b .若在第二象限内有一点 ，使四边形 的面积与三角形 的面积相a =b 2−16+16−b 2b +4+3P(m,1)ABOP ABC 等，则 ________， ________，点 的坐标为________．a =b =P 15.如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个点按如下规律排列：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），…， 则第 200 个点的横坐标为________．16.点P(x ，y)经过某种变换后到点 (-y+1，x+2)，我们把点 (-y+1，x+2)叫做点P(x ，y)的终结点，P ′P ′已知点 的终结点为 ，点 的终结点为 ，点 的终结点为 ，这样依次得到 、 P 1P 2P 2P 3P 3P 4P 1P 2、 、 … 若点 的坐标为(2，0)，则点 的坐标为________P 3P 4P n P 1P 202017.如图，在平面直角坐标系内，∠OA 0A 1＝90°，∠A 1OA 0＝60°，以OA 1为直角边向外作Rt △OA 1A 2 ， 使∠A 2A 1O ＝90°，∠A 2OA 1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt △OA 2A 3 ， Rt △OA 3A 4…，若点A 0的坐标是（1，0），则点A 13的横坐标是________．18.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上.向右.向下.向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A 1(0，1)，A 2(1，1)，A 3(1，0)，A 4(2，0)，…那么点A 2016的坐标为________.19.如图，长方形ABCD 的各边分别平行于x 轴或y 轴，A ， B ， C ， D 的坐标分别为（﹣2，1）（2，1）（2，﹣1）（﹣2，﹣1）物体甲和物体乙分别由E （﹣2，0）和F （2，0）同时出发，沿长方形的边按逆时针方向同向行进，甲的速度每秒4个单位长度，乙的速度每秒1个单位长度，则两个物体第2019次相遇地点的坐标为________．20.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1 ， 第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2 ， 第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3 ， …，将△OAB 进行n 次变换，得到△OA n B n ， 观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A 2020的坐标是________三、解答题21.如图，已知A (－2，0)，B (4，0)，C (2，4)．D (0，2)（1）求三角形ABC 的面积；（2）设P 为坐标轴上一点，若 ，求P 点的坐标．S ΔAPC =12S ΔABC 22.对于平面直角坐标系xOy 中的点P （a ，b ），若点P′的坐标为（a+kb ，ka+b ）（其中k 为常数，且k≠0），则称点P′为点P 的“k 属派生点”．例如：P （1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（1）点P （﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为________；（2）若点P 的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P 的坐标；（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．23.如果△ABC关于x轴进行轴对称变换后，得到△A1B1C1，而△A1B1C1关于y轴进行轴对称变换后，得到△A2B2C2，若△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，3）、B（-4，2）、C（-1，0），请你分别写出△A1B1C1与△A2B2C2各顶点坐标．四、作图题24.在平面直角坐标系中，顺次连结A（-3，1），B（-3，-1），C（3，-3），D（3，4）各点，你会得到一个什么图形？试求出该图形的面积．五、综合题25.五子连珠棋的棋盘是15行15列的正方形，规定黑子先下，双方交替进行，在任意一个方向上，先连成5个子的一方获胜，如图所示的是两人所下的棋局的一部分，A点的位置记作（8，3），执白子的一方若想再放一子便获胜，应该把子落在什么位置？A、B(−1,0)、(3,0)A、B26.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时先将点分别向上A、B C、D AC、BD、CD平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的对应点，连接 .（1）直接写出点 的坐标；C、D （2）在 轴上是否存在一点 ，使得三角形 的面积是三角形 面积的2倍？若存在，请求出x F DFC DFB 点 的坐标；若不存在，请说明理由.F 27.对于平面直角坐标系 xOy 中的点 A ，给出如下定义：若存在点 B （不与点 A 重合，且直线 AB 不与 坐标轴平行或重合），过点 A 作直线 m ∥x 轴，过点 B 作直线 n ∥y 轴，直线 m ，n 相交于点 C ．当线段 AC ，BC 的长度相等时，称点 B 为点 A 的等距点，称三角形 ABC 的面积为点 A 的等距面积． 例如：如 图，点 A （2，1），点 B （5，4），因为 AC= BC=3，所以 B 为点 A 的等距点，此时点 A 的等距面积为 ．92（1）点 A 的坐标是（0，1），在点 B 1（2，3），B 2 (-1， -1) ， B 3 (-3， -2) 中，点A 的等距点为________．（2）点 A 的坐标是 (-3，1) ，点 A 的等距点 B 在第三象限，①若点 B 的坐标是 (-5， -1) ，求此时点 A 的等距面积；②若点 A 的等距面积不小于 2，请直接写出点 B 的横坐标 t 的取值范围．28.如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,0)，C(2,7)，连接 AC ，交y 轴于 D ，且a =3−125， . (b)2=5（1）求点D的坐标.（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.△QBC（3）如图3，若Q(m,n)是x轴上方一点，且的面积为20，试说明：7m＋3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由.29.在直角坐标系中，已知A（1，5），B（﹣4，﹣2），C（1，0）三点．（1）点A关于x轴的对称的A′的坐标为________；点B关于y轴的对称点B′的坐标为________；点C关于y轴的对称点C′的坐标为________．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．答案解析部分一、单选题1. A解：∵A 点坐标为（2，﹣2），B 点坐标为（﹣2，﹣2），C 点坐标为（﹣2，6）， ∴AB ＝2﹣（﹣2）＝4，BC ＝6﹣（﹣2）＝8，∴从A→B→C→D→A 一圈的长度为2（AB+BC ）＝24.∵2020＝84×24+4，∴当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置在点A 左边4个单位长度处，即（-2，﹣2）.故A2. C解：由图可知，第一次从原点运动到点（0，1），第二次接着运动到点（1，1），第三次接着运动到点（1，2），第四次运动到点（2，2），第二次接着运动到点（2，3），第三次接着运动到点（3，3），……，不难发现，偶次运动到的点的横纵坐标都是次数的，12∴经过2020次运动后，动点P 的坐标是,即(1010，1010)．（20202，20202）故C ．3. A解：A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），A 5（2，1），A 6（3，1），…， 2020÷4＝505，所以A 2020的坐标为（505×2，0），则A 2020的坐标是（1010，0）．故A ．4. A解：观察点的坐标变化特征可知：A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（1，﹣1），A 5（2，﹣1），A 6（2，0），A 7（2，1），A 8（3，1），A 9（3，0），…发现规律：横坐标每3个为一组循环，纵坐标第6个为一组循环，3020÷3＝1006…2，3020÷6＝503…2，所以第3020个点的坐标为（1007，1），故A ．5. C解：经过观察可得： 和 的纵坐标均为1， 和 的纵坐标均为2， 和 的纵坐标均为P 1P 2P 3P 4P 5P 63，因此可以推知 点的纵坐标为 ；再观察图可知4的倍数的跳动都在y 轴的右P 20202020÷2=1010侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧． 的横坐标为1， 的横坐标为2， 的P 1P 4P 8横坐标为3，依此类推可得到 的横坐标为 （n 是4的倍数）．故点 的横坐标是 P n n ÷4+1P 2020 ；所以点 第2020次跳动至点 的坐标是 ．2020÷4+1=506P P 2020(506,1010)故C ．6. D解：由题意知A 1（﹣2，3）、A 2（﹣2，﹣3）、A 3（3，﹣2）、A 4（3，2）、A 5（﹣2，3）……∴每4个点的坐标为一周期循环，∵35÷4＝8……3，∴点A 35的坐标与点A 3的坐标一致，为（3，﹣2），故D.7. B解：将其左侧相连，看作正方形边上的点，如图所示．边长为0的正方形，有1个点；边长为1的正方形，有3个点；边长为2的正方形，有5个点；…，∴边长为n 的正方形有2n+1个点，∴边长为n 的正方形边上与内部共有1+3+5+…+2n+1=（n+1）2个点．∵2019=45×45-6，结合图形即可得知第2019个点的坐标为（45，6）．故B ．8. D解：A 1的坐标为（3，1），则A 2（-1+1，3+1）=（0，4），A 3（-4+1，0+1）=（-3，1），A 4（0，-2），A 5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2019÷4=504…3，∴点A 2019的坐标与A 3的坐标相同，为（-3，1），故D.9. A解：∵A 1（1，1）、A 2（﹣1，1）、A 3（﹣1，﹣1）、A 4（2，﹣1）、A 5（2，2）、A 6（﹣2，2）、A 7（﹣2，﹣2）、A 8（3，﹣2）、A 9（3，3）、……、∴得出：每4个点一循环∴ ，刚好循环505次结束2020÷4=505又∵A 4（2，﹣1）、A 8（3，﹣2）、A 12（4，﹣3）即：A 4（1+1，﹣1）、A 8（1+2，﹣2）、A 12（1+3，﹣3）∴A 2020（1+505，-505）∴A 2020（506，-505）故答案选：A10. C解：∵∠A 1A 2O=30°，OA 1=1，∴OA 2= ，3∴点A 2的坐标为（ ，0），3同理，A 3（0，-3，），A 4（-3 ，0），A 5（0，9），A 6（9 ，0），A 7（0，-27），…，33∴点A 4n+1的坐标为（0，32n ）（n 为正整数）.∵2021=505×4+1，∴点A 2021的坐标为（0，31010）.故C.二、填空题11. （ ，-335）−3355解：根据所给出的这9个点的坐标，可以发现规律：A 1、A 4、A 7……横坐标为0，纵坐标大1；A 2、A 5、A 8……，横坐标依次扩大为原来的2倍、3倍……；A 3、A 6、A 9……横纵坐标依次扩大为原来的2倍、3倍……。
中考数学专题训练第16讲统计与概率(解析版)
统计与概率易错点梳理易错点01 调查方式的选择错误全面调查是对考查对象的全体调查.要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计.而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查.以样本来估计总体的情况。
易错点02 对各种统计图的意义理解错误条形图能显示每组中的具体数据.注意各个小组不相连.扇形图能显示部分在总体中所占的百分比.注意不能直接判断具体数据的大小.折线图能显示数据的变化趋势.也能得到具体数据的大小.直方图能显示数据的分布情况.能得到每组数据的多少.注意各个小组无间隔。
易错点03 求中位数忘记排序求一组数据的中位数必须将数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列.然后再取中间一个数或中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。
易错点04 不能正确计算方差方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.即：ns 12=[21)(x x -+22)(x x -+……+2)(x x n -]。
易错点05 混淆确定性事件和随机事件的概念在一定条件下.有些事件必然会发生.这样的事件称为必然事件.有些事件必然不会发生.这样的事件称为不可能事件.必然事件与不可能事件统称确定事件.在一定条件下.可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
易错点06 混淆频率与概率频率和概率是两个不同的概念.事件的概率是一个确定的常数.而频率是不确定的.当试验次数较少时.频率的大小摇摆不定.当试验次数增大时.频率的大小波动变小.并逐渐稳定在概率附近。
易错点梳理考向01 数据的收集与整理例题1：（2021·辽宁凌海·九年级期中）如图①所示.一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分）.小雅想了解该图案的面积是多少.她采取了以下的办法：用一个长为5m.宽为3m 的长方形.将不规则图案围起来.然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球.并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果）.她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图.由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）A ．6m 2B ．5m 2C ．4m 2D ．3m 2【答案】A【思路分析】首先假设不规则图案面积为x .根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小.继而根据折线图用频率估计概率.综合以上列方程求解． 【解析】解：假设不规则图案面积为x m 2. 由已知得：长方形面积为53⨯=15m 2.根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：15x. 当事件A 试验次数足够多.即样本足够大时.其频率可作为事件A 发生的概率估计值.故由折线图可知.小球落在不规则图案的概率大约为0.4. 综上有：15x＝0.4. 解得x ＝6． 故选：A ．例题分析【点拨】本题考查几何概率以及用频率估计概率.并在此基础上进行了题目创新.解题关键在于清晰理解题意.能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简.创新题目对基础知识要求极高．例题2：（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列说法正确的是（）A．在小明.小红.小月三人中抽2人参加比赛.小刚被轴中是随机事件B．要了解学校2000学生的体质健康情况.随机抽取100名学生进行调查.在该调查中样本容量是100名学生C．预防“新冠病毒”期间.有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检.抽检了20包口罩.其中18包合格.该商店共进货100包.估计合格的口罩约有90包D．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查【答案】C【思路分析】根据随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点依次判断即可得到答案．【解析】解：在小明.小红.小月三人中抽2人参加比赛.小刚被轴中是不可能事件.故A选项不正确.要了解学校2000学生的体质健康情况.随机抽取100名学生进行调查.在该调查中样本容量是100.故B选项错误.预防“新冠病毒”期间.有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检.抽检了20包口罩.其中18包合格.故该口罩的合格率为90%.该商店共进货100包.估计合格的口罩约有90包.故C选项正确.了解某班学生的身高情况适宜全面调查.故D选项错误.故选：C．【点拨】此题考查语句判断.正确理解随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点是解题的关键．考向02 数据分析例题3：（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式.是对垃圾收集处置传统方式的改革.甲乙两班各有40名同学参加了学校组织的2020年“生活垃圾分类回收”的考试．考试规定成绩大于等于96分为优异.两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示.则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲40 95 93 5.1乙40 95 95 4.6AB．甲班成绩优异的人数比乙班多C．甲.乙两班竞褰成绩的众数相同D．小明得94分将排在甲班的前20名【答案】D【思路分析】分别根据方差的意义、中位数意义、众数的定义及平均数的意义逐一判断即可．【解析】A．乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差.所以乙班成绩稳定.此选项错误.不符合题意.B．乙班成绩的中位数大于甲班.所以乙班成绩不低于95分的人数多于甲班.此选项错误.不符合题意.C．根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数.此选项错误.不符合题意.D．因为甲班共有40名同学.甲班的中位数是93分.所以小明得94分将排在甲班的前20名.此选项正确.符合题意.故选：D．【点拨】本题考查了平均数、中位数、方差及众数的概念.平均数、中位数及众数反映的是一组数据的平均趋势及水平.平均数与每个数据有关.方差反映的是一组数据的波动程度.在平均数相同的情况下.方差越小.说明数据的波动程度越小.也就是说这组数据更稳定．例题4：（2021·江苏洪泽·二模）实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动.年龄如表所示：这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（）年龄12 13 14 15人数 2 3 4 1【答案】C【思路分析】根据众数和中位数的意义求解．【解析】解：这10名志愿者年龄出现次数最多的是14.因此众数是14.将这10名志愿者年龄从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为13142＝13.5.因此中位数是13.5.故选：C【点拨】本题考查众数和中位数的应用.熟练掌握众数和中位数的意义和计算方法是解题关键．考向03 概率例题5：（2021·云南省楚雄天人中学九年级期中）在一个不透明的纸箱中.共有15个蓝色、红色的玻璃球.它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回.通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在20%.则纸箱中红色球很可能有（）A．3个B．6个C．9个D．12个【答案】D【思路分析】根据利用频率估计概率得到摸到蓝色球的概率为20%.由此得到摸到红色球的概率=1-20%=80%.然后用80%乘以总球数即可得到红色球的个数．【解析】解：∵摸到蓝色球的频率稳定在20%.∴摸到红色球的概率=1-20%=80%.∵不透明的布袋中.有黄色、白色的玻璃球共有15个.∴纸箱中红球的个数有15×80%=12（个）．故选：D．【点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时.事件发生的频率在某个固定位置左右摆动.并且摆动的幅度越来越小.根据这个频率稳定性定理.可以用频率的集中趋势来估计概率.这个固定的近似值就是这个事件的概率．例题6：（2021·福建省漳州第一中学九年级期中）我国古代有着辉煌的数学研究成果.其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作.这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰．《算经十书》这10部专著.有着十分丰富多彩的内容.是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期．其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习.则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（）A．13B．15C．115D．118【答案】C【思路分析】设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示.其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示,列树形图表示所有等可能性.根据概率公式即可求解．【解析】解：设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示.其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示.根据题意列树形图得由树形图得共有30种等可能性.其中两部专著恰好是A 、B 即《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的有两种等可能性.∴所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为213015P ==． 故选：C【点拨】本题考查了列树形图求概率.根据题意分别用字母表示六种算经并正确列出树形图是解题关键．一、单选题1．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球.他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现.摸到红球的频率稳定在25%附近.则口袋中白球可能有（ ） A ．12个 B ．14个 C ．15个 D ．16个【答案】A【解析】设白球有x 个.根据题意列出方程.4254100x =+. 解得x =12．经检验得x =12是原方程的解． 故选A ．2．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）下列调查中.适合于采用普查方式的是（ ） A ．调查央视“五一晚会”的收视率 B ．了解外地游客对兴城旅游景点的印象 C ．了解一批新型节能灯的使用寿命 D ．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码” 【答案】D【解析】A.调查央视“五一晚会”的收视率.适合抽样调查. B.了解外地游客对兴城旅游景点的印象.适合抽样调查. C.了解一批新型节能灯的使用寿命.适合抽样调查.微练习D.了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”.适合普查. 故选：D ．3．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）我校开展了“好书伴我成长”读书活动.为了解5月份九年级学生的读书情况.随机调查了九年级50名学生读书的册数.统计数据如下表所示.下列说法正确的是（ ）册数 0 1 2 3 4 人数 41216171A 【答案】B【解析】这组样本数据中.3出现了17次.出现的次数最多.∴这组数据的众数是3.将这组样本数据按从小到大的顺序排列.其中处于中间的两个数都是2.∴这组数据的中位数为2.观察表格.可知这组样本数据的平均数为： (0 × 4 + 1 × 12 + 2 × 16 + 3 × 17 + 4 ×1)÷50=9950. 这组数据的方差为：()()()()()22222140-1.98+121-1.98+162-1.98+173-1.98+4-1.9850⎡⎤⨯⨯⨯⨯⎣⎦ 2≠.故选：B ．4．（2021·江苏新吴·二模）已知一组数据x 、y 、的平均数为3.方差为4.那么数据2x -.2y -.2z -的平均数和方差分别（ ）A ．1.2B ．1.4C ．3.2D ．3.4【答案】B【解析】由于数据x 、y 、z 的平均数为3.所以有x +y +z =9 则[]111(2)(2)(2)(6)31333x y z x y z -+-+-=++-=⨯= 由于数据x 、y 、z 的方差为4.即2221(3)(3)(3)43x y z ⎡⎤-+-+-=⎣⎦所以22222211(21)(21)(21)(3)(3)(3)433x y z x y z ⎡⎤⎡⎤--+--+--=-+-+-=⎣⎦⎣⎦即数据2x -.2y -.2z -的方差仍为4故数据2x -.2y -.2z -的平均数和方差分别为1和4 故选：B ．5．（2021·黑龙江绥化·中考真题）近些年来.移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月,A B 两种移动支付方式的使用情况.从企业2000名员工中随机抽取了200人.发现样本中AB 、两种支付方式都不使用的有10人.样本中仅使用A 种支付方式和仅使用B 种支付方式的员工支付金额a （元）分布情况如下表： 支付金额a （元）01000a <≤ 10002000a <≤ 2000a >仅使用A 36人 18人 6人 仅使用B 20人28人2人①根据样本数据估计.企业2000名员工中.同时使用,A B 两种支付方式的为800人. ②本次调查抽取的样本容量为200人.③样本中仅使用A 种支付方式的员工.该月支付金额的中位数一定不超过1000元. ④样本中仅使用B 种支付方式的员工.该月支付金额的众数一定为1500元． 其中正确的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．②④【答案】A【解析】解：根据题目中的条件知：①从企业2000名员工中随机抽取了200人.同时使用,A B 两种支付方式的人为：20010(362018+28+6+2)=80--++（人）.∴样本中同时使用,A B 两种支付方式的比例为：8022005=. ∴企业2000名员工中.同时使用,A B 两种支付方式的为：220008005⨯=（人）.故①正确. ②本次调查抽取的样本容量为200.故②错误.③样本中仅使用A 种支付方式的员工共有：60人.其中支付金额在01000a <≤之间的有.36人.超过了仅使用A 种支付方式的员工数的一半.由中位数的定义知：中位数一定不超过1000元.故③是正确.④样本中仅使用B 种支付方式的员工.从表中知月支付金额在10002000a <≤之间的最多.但不能判断众数一定为1500元.故④错误.综上：①③正确.故选：A ．6．为考察两名实习工人的工作情况.质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲.乙两组数据.如下表：甲 2 6 7 7 8 乙23488关于以上数据.下列说法正确的有（）个．①甲、乙的众数相同.②甲、乙的中位数相同.③甲的平均数小于乙的平均数.④甲的方差小于乙的方差．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】甲的众数为7.乙的众数为8.故①错误.甲的中位数为7.乙的中位数为4.故②错误.甲的平均数为15×（2+6+7+7+8）＝6.乙的平均数为15×（2+3+4+8+8）＝5.故③错误.甲的方差为15×[（2﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝4.4.乙的方差为15×[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（8﹣5）2+（8﹣5）2]＝6.4.甲的方差小于乙的方差.故④正确.故选：A．7．（2021·黑龙江松北·二模）两个不透明盒子里分别装有3个标有数字3.4.5的小球.它们除数字不同外其他均相同．甲、乙二人分别从两个盒子里摸球1次.二人摸到球上的数字之和为奇数的概率是（）A．13B．23C．49D．59【答案】C【解析】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果.甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4种.∴甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的概率为49.故选：C．8．有两把不同的锁和三把不同的钥匙.其中两把钥匙分别能打开这两把锁.第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁.一次打开锁的概率是（）A．12B．13C．14D．23【答案】B【解析】解：列表得：锁1 锁2钥匙1 （锁1.钥匙1）（锁2.钥匙1）钥匙2 （锁1.钥匙2）（锁2.钥匙2）钥匙3 （锁1.钥匙3）（锁2.钥匙3）由表可知.所有等可能的情况有6种.其中随机取出一把钥匙开任意一把锁.一次打开锁的2种.则P（一次打开锁）=21=63．故选：B．9．（2021·山东南区·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球.在不允许将球倒出来数的前提下.小明为估计其中的白球数.采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球.记下颜色.然后把它放回口袋中.摇匀后再随机摸出一球.记下颜色.再放回.不断重复上述过程．小明共摸了100次.其中80次摸到白球．根据上述数据.小明可估计口袋中的白球大约有（）A．18个B．15个C．12个D．10个【答案】C【解析】解：由题可得：31008080-÷=12（个）．故答案为：12．10．广东省2021年的高考采用“312++”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目.“1”是指在物理、历史2科中任选1科.“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史.则她在“2”中选地理、生物的概率是（）A．16B．13C．14D．12【答案】A【解析】解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：共有12种等可能的结果数.其中选中“地理”“生物”的有2种.则P（地理、生物）＝2÷12＝16．故选A．二、填空题11．（2021·北京丰台·二模）某单位有10000名职工.想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验.需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组.然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性.说明这5个人全部阴性.如果混合血样呈阳性.说明其中至少有一个人呈阳性.就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数________（填“是”或“否”）.（2）按照这种化验方法至多需要________次化验.就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．【答案】是2025【解析】解：（1）第一轮化验10000名÷5=2000次<10000次故按照这种化验方法是能减少化验次数故答案为：是（2）按照这种方法需要两轮化验.第一轮化验2000次携带该病毒的人数=10000×0.05%=5人最多有5组需要进行第二轮化验一一化验需要5×5=25次化验一共进行2000+25=2025次化验.按照这种化验方法至多需要2025次化验.就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．故答案为：2025．12．某校组织了一次初三科技小制作比赛.有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品．C班提供的参赛作品的获奖率为50%.其它几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中.则获奖率最高的班级是________．【答案】C班【解析】解：由统计图可得.A 班的获奖率为：1410035%100%()40%÷⨯⨯=.B 班的获奖率为：()11100135%20[]%20%100%44%÷⨯---⨯=.C 班的获奖率为50%.D 班的获奖率为：()810020%100%40%÷⨯⨯=.由上可得.获奖率最高的班级是C 班.故答案为：C 班． 13．（2021·内蒙古赛罕·二模）下列命题错误的序号是_________．①若1∠和2∠是同位角.则12∠=∠.②如果一个三角形的两条边和一个角与另一个三角形的两条边和一个角相等.那么这两个三角形全等.1x -.④某班投票选班长.小丽15票.小伟20票.小刚18票.这组数据的众数是20.⑤为排查肺炎疑似病人同机乘客的健康情况.应采用全面调查的方式进行． 【答案】①②③④【解析】解：①两直线平行时.同位角相等.不是所有互为同位角的两个角都相等.故此命题错误.②根据三角形全等的判定定理可知.当一个三角形的两个边和其夹角与另一个三角形的对应边角相等时.两个三角形才会全等.故此命题错误.③一般地.(0)a a ≥的式子叫作二次根式.需要10x -≥这个条件存在.题中没有.故此命题错误.④一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数.故此命题错误.⑤排查所有同机乘客需要进行全面调查.故此命题正确．14．（2021·贵州铜仁·中考真题）若甲、乙两人射击比赛的成绩（单位：环）如下： 甲：6.7.8.9.10. 乙：7.8.8.8.9．则甲、乙两人射击成绩比较稳定的是______________（填甲或乙）. 【答案】乙【解析】解：甲乙二人的平均成绩分别为：678910==85x ++++甲.78889==85x ++++乙.∴二人的方差分别为：()()()()()22222268788898108==25S -+-+-+-+-甲()()()()()22222278888888982==55S -+-+-+-+-乙. ∵22S S 乙甲＞.乙的成绩比较稳定．故答案为：乙15．（2021·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）小明为研究函数y ＝2x的图象.在﹣2、﹣1、1中任取一个数为横坐标.在﹣2、﹣1、2中任取一个数为纵坐标组成点P 的坐标.点P 在函数y ＝2x的图象上的概率是___．【答案】13【解析】解：列表如下：2-1-22- ()2,2--()2,1-- ()2,2-1-()1,2--()1,1--1,21()1,2-()1,1-1,2其中点P 在函数2y x=上的有()2,1--.()1,2--.1,2共3种. 所有点P 在函数y ＝2x 的图象上的概率是31=.93故答案为：1316．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）有四张正面分别标有数字﹣4.﹣3.﹣2.1.的不透明卡片.它们除数字不同外其他全部相同.现将它们背面朝上.洗匀后从中抽取一张.将该卡片上的数字记为a .放回后洗匀.再从中抽取一张.将该卡片上的数字记为b .则a .b 使得二次函数y ＝x 2﹣（a +5）x +3当x ≤1时y 随x 的增大而减小.且一元二次方程（a +2）x 2+bx +1＝0有解的概率为 ___． 【答案】516【解析】解：∵二次函数y ＝x 2﹣（a +5）x +3.二次项系数为1.大于0. ∴抛物线开口向上.对称轴为直线52a x +=. ∵要使得当x ≤1时.y 随x 的增大而减小. ∴应满足512a +≥. 解得：3a ≥-.∵一元二次方程（a +2）x 2+bx +1＝0有解.∴20a +≠且()2420b a ∆=-+≥. ∴2a ≠-且()2420b a ∆=-+≥.∴由题意可知.a 仅能取-3或1.当3a =-时.()224324b b ∆=-⨯-+=+.∴b 取﹣4.﹣3.﹣2.1时.均满足0∆≥.当1a =时.()2241212b b ∆=-⨯+=-.∴仅有b 取﹣4时.满足0∆≥.综上分析.当3a =-时.b 取﹣4.﹣3.﹣2.1.满足题意.当1a =时.b 取﹣4满足题意.共有5种情况满足题意.∵由题意可得.两次抽取共有16种情况发生. ∴两次抽取后满足题意的概率为516P =. 故答案为：516． 三、解答题17．某校为了解本校初中学生体能情况.随机抽取部分学生进行了一次测试.并根据标准按测试成绩分成A .B .C .D 四个等级.绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据图中信㿝解答下列问题：（1）本次抽取㐱加则试的学生为 人.扇形统计图中A 等级所对的圆心角是 度. （2）请补全条形统计图.（3）若该校初中学生有1200人.请估计该校学生体能情况成绩为C 等级的有多少人数？ 【答案】（1）50.108.（2）画图见解析.（3）240人 【解析】解：（1）由B 类22人.占比44%.可得： 总人数为：2244%=50人.扇形统计图中A 等级所对的圆心角是30%360=108, 故答案为：50.108（2）C 类的人数有：501522310---=人. 补全图形如下：（3）该校初中学生有1200人.则该校学生体能情况成绩为C 等级的有：10120024050⨯=人. 答：该校初中学生有1200人.则该校学生体能情况成绩为C 等级的有240人. 18．甲、乙两名队员参加射击训练.每人射击10次.成绩分别如下：平均成绩 中位数 众数 方差甲 a 7 7 1.2 乙 7b8c根据以上信息.（1）填空：a ＝ .b ＝ .c ＝ .（2）从平均数和中位数的角度来比较.成绩较好的是 .（填“甲”或“乙”） （3）若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛.你认为选谁更加合适？请说明理由． 【答案】（1）7.7.5.4.2.（2）乙.（3）选择乙参加比赛.理由见解析 【解析】解：（1）甲的平均成绩为()()1115264728195122816971010a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++= 乙的成绩从低到高排列为：3.4.6.7.7.8.8.8.9.10. 所以中位数()1787.52b =+= ()()()()()()()222222213747672773879710710c ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-⎣⎦=[]11691034910++++++ =4.2故答案为：7.7.5.4.2.（2）由表中数据可知.甲、乙平均成绩相等.乙的中位数7.5大于甲的中位数7.说明乙的成绩好于甲. 故答案为：乙.（3）选择乙参加比赛.理由：从平均数上看.甲、乙平均成绩相等.总分相等.从中位数上看乙的中位数和众数都大于甲.说明乙的成绩好于甲. 从方差上看乙的方差大于甲只说明乙的成绩没有甲稳定. 从众数看乙的众数是8.甲的众数是7.说明乙成绩要好些. 从折线图看.乙开始时发挥不好.后来乙的成绩呈上升趋势. 故应选乙队员参赛．19．（2021·四川达州·九年级期中）达州市红色旅游景点众多.例如罗江镇张爱萍故居.宣汉县红军公园、王维舟纪念馆.万源战史陈列馆等等.为了解初三学生对达州历史文化的了解程度.随机抽取了男、女各m 名学生进行问卷测试.问卷共30道选择题.现将得分情况统计.并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A 组：18x <.B 组：1822x ≤<.C 组：2226x ≤<.D 组：2630x ≤≤.x 表示问卷测试的分数）.其中男生得分处于C 组的有14人.男生C 组得分情况分别为：22.22.22.22.22.23.23.23.24.24.24.25.25.25．男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：组别 平均数 中位数 众数 男 20 n22 女202320（1）求m .n 的值.（2）已知初三年级总人数为1800人.请估计参加问卷测试.成绩处于C 组的人数. （3）据了解男生中有两名同学得满分.女生中分数最高的两名同学分别是30分和29分．现从这四名同学中随机抽取两名参加全校总决赛.用树状图或列表的方法求恰好抽到两名男生的概率是多少？【答案】（1）50m =.25n =.见解析.（2）522人.（3）见解析.16【解析】解：（1）由题意得：1428%50m =÷=（人）.男生成绩处在A 组的百分比=1-24%-46%-28%=2%.∴男生的中位数成绩为第25名与第26名成绩的平均成绩 ∵()502%24%12⨯+=（人）. ∴男生中位数()2525225n =+÷=. 女生C 组人数502132015=---=（人）. 条形图如图所示：（2）14151800522100+⨯=（人）. 答：估计成绩处于C 组的人数约为522人． （3）如图所以恰好抽到两名男生的概率为：21126=． 20．现有两根长度分别为3cm 和4cm 的线段.同时.在一旁另有8根长度不等的线段.这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致．这8张卡片的背面完全相同.卡片正面上分别标注了2cm 3cm 3cm 4cm 4cm 5cm 6cm 6cm 、、、、、、、．把这8张卡片背面朝上.从中随机抽取一张卡片.以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度.回答以下问题：（1）“从中抽取的长度能够与3cm 和4cm 组成直角三角形”的概率为________． （2）求抽出的卡片上标注的数据对应的线段能够与3cm 和4cm 的线段组成等腰三角形的概率．（3）小红和小艺打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与3cm 和4cm 组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则．若三角形周长为奇数.则小红胜.若三角形周长为偶数.则小艺胜．请问游戏公平吗？若公平.请说明理由.若不公平.请重新设计一个公平的游戏规则．【答案】（1）18.（2）12.（3）不公平.游戏规则改为：等腰三角形的周长为偶数.则小艺胜.等腰三角形周长为奇数.则小红胜【解析】解：（1）∵该三条线段组成的是直角三角形. ∴2234=5+22437-. ∴符合的卡片有标注5cm 的一张.∴“从中抽取的长度能够与3cm 和4cm 组成直角三角形”的概率为18.故答案为：18.（2）能构成等腰三角形的线段有3cm .3 cm .4 cm .4 cm 共四条.∴抽出的卡片上标注的数据对应的线段能够与3cm 和4cm 的线段组成等腰三角形的概率为4182=. （3）∵3+4=7.∴当抽到的线段为奇数即抽到3cm 、3cm 或5cm 时.三角形的周长为偶数.此时小艺胜的概率为38.当抽到的线段为偶数即抽到2cm 、4cm 、4cm 、6cm 或6cm 时.三角形的周长为奇数.此时小红胜的概率为58. ∴游戏不公平.游戏规则改为：等腰三角形的周长为偶数.则小艺胜.等腰三角形周长为奇数.则小红胜． 21．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）A 、B 两人去九龙湖风景区游玩.已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车.开过来的顺序也不确定.两人采取了。
重庆中考数学24题__(专题练习+答案详解)
重庆中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：B G=D G+CD．在B G上取BH=AB=CD，连EH，显然△ABE与△CDE全等，则∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC又∠BEC=90°=∠BFC，对顶角∠BGE=∠CGF，故∠FBE=∠DCE，所以∠ABE=∠FBE在BF上取BH=AB，连接EH，由BH=AB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，故△ABE与△HBE全等故∠AEB=∠HEB，AE=EH而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°，∠AEB=∠DEC，∠BEC=90°所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED同理，∠DEG=45°=∠HEGEH=AE=ED，EG=EG故△HEG与△FEG全等，所以HG=DG即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BC E的面积；（2）求证：B D=E F+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点EEF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形A BC D的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EF H=∠FH G，求证：HD=B E+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD 外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，A E=B E，且AF⊥A B，连接EF．（1）若EF⊥AF，A F=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是C D的中点，求证：CE=B E﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠A B C=90°，A B=B C，点E是A B上的点，∠E C D=45°，连接ED，过D作D F⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形A B CD的周长．（2）求证：E D=B E+F C．28、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠B E C=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，CBD CDBCBD HDF CDB CBH ∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBD HB=HD∴△CDH ≌△CBH ， ∴∠DCH=∠BCH ， ∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM ⊥AD 于M ，如图， 在Rt △ABC 中，AB=6，sin ∠ACB==，∴AC=10， ∴BC=8，在Rt △CDM 中，∠D=45°， ∴DM=CM=AB=6， ∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G 作GN ⊥AD ，如图，∵∠D=45°，∴△DNG 为等腰直角三角形， ∴DN=GN ，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形A B CD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使M N=BE，∴C N=CE，可证∠N C D=∠DCE，∵CD=CD，∴△D E C≌△D N C，∴E D=EN，∴E D=B E+F C．28、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。
中考数学复习专题训练精选试题及答案
中考数学复习专题训练精选试题及答案目录实数专题训练 (2)实数专题训练答案 (4)代数式、整式及因式分解专题训练 (5)代数式、整式及因式分解专题训练答案 (6)分式和二次根式专题训练 (7)分式和二次根式专题训练答案 (8)一次方程及方程组专题训练 (9)一次方程及方程组专题训练答案 (11)一元二次方程及分式方程专题训练 (11)一元二次方程及分式方程专题训练答案 (13)一元一次不等式及不等式组专题训练 (13)一元一次不等式及不等式组专题训练答案 (15)一次函数及反比例函数专题训练 (15)一次函数及反比例函数专题训练答案 (17)二次函数及其应用专题训练 (18)二次函数及其应用专题训练答案 (20)立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练 (20)立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练答案 (22)三角形专题训练 (23)三角形专题训练答案 (25)多边形及四边形专题训练 (25)多边形及四边形专题训练答案 (27)圆及尺规作图专题训练 (28)圆及尺规作图专题训练答案 (30)轴对称专题训练 (30)轴对称专题训练答案 (32)平移与旋转专题训练 (33)平移与旋转专题训练答案 (35)相似图形专题训练 (35)相似图形专题训练答案 (37)图形与坐标专题训练 (38)图形与坐标专题训练答案 (40)图形与证明专题训练 (40)图形与证明专题训练答案 (42)概率专题训练 (42)概率专题训练答案 (44)统计专题训练 (45)统计专题训练答案 (47)实数专题训练一、填空题:（每题 3 分，共 36 分)１、－2 的倒数是＿＿＿＿。
２、4 的平方根是＿＿＿＿.３、－27 的立方根是＿＿＿＿。
４、－2 的绝对值是＿＿＿＿。
５、2004年我国外汇储备3275。
34亿美元，用科学记数法表示为＿＿＿＿亿美元。
６、比较大小：－＿＿＿＿－。
７、近似数0。
020精确到＿＿＿＿位,它有＿＿＿＿个有效数字.８、若 n 为自然数，那么(－1）2n＋（－1）2n＋1＝＿＿＿＿.９、若实数 a、b 满足｜a－2｜＋（ b＋）2＝0，则 ab＝＿＿＿＿.10、在数轴上表示 a 的点到原点的距离为 3,则 a－3＝＿＿＿＿。
中考数学复习考点知识与题型专题讲义16--- 二次函数与不等式(组)(提高篇)
中考数学复习考点知识与题型专题讲义16 二次函数与不等式（组）（提高篇）1．关于x的二次函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）和一次函数y2＝x+2．（1）求证：函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点．（2）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，①试求此时k的值；②若y1＞y2，试求x的取值范围．【分析】（1）证明△＝b2﹣4ac≥0，便可得结论；（2）①函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，根据根与系数的关系列出k的方程，便可求解；②分k＝1和k=−15两种情况，依据y1＞y2列出关于x的不等式，解之可得．【解答】解：（1）∵△＝（2k﹣1）2+8k＝4k2﹣4k+1+8k＝4k2+4k+1＝（2k+1）2≥0，∴函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点；（2）①设kx2+（2k﹣1）x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2=−2k−1k，x1x2=−2k，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(2k+1)2k2，∵函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，∴|x1﹣x2|＝3，∴(2k+1)2k2=32，解得，k＝1或k=−1 5；②当k＝1时，y1＝（x+2）（x﹣1），y2＝x+2∵y1＞y2，∴（x+2）（x﹣1）＞x+2，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞2；当k=−15时，∵y1＞y2，∴−15（x+2）（x+5）＞x+2，即（x+2）（x+10）＜0，解得：﹣10＜x＜﹣2．【点评】本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．已知二次函数y1=−12x2+bx+c（b，c是常数）与一次函数y2＝kx+c（k是常数，k≠0）．（1）若y1的图象与x轴只有一个交点（2，0），求b，c的值；（2）若y1的图象可由抛物线y＝ax2+2c（a是常数，a≠0）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出y1的函数关系式；（3）若k+b＝3，当x≥2时，y1＜y2恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1＝0，即可求解；（2）由平移的性质即可求解；（3）两个函数交点的横坐标为2或2b﹣2k，当x≥2时，y1＜y2恒成立，即：2b﹣2k≥2，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1=−12x2+bx+c＝﹣2+4+c＝0，解得：c＝﹣2，故b＝2，c＝﹣2；（2）由题意得：a=−12，则y=−12（x+2）2+2c+1=−12x2﹣2x+2c﹣1=−12x2+bx+c，故2c﹣1＝c，解得：c＝1，故抛物线的表达式为：y=−12x2﹣2x+1；（3）联立两个函数的表达式并整理得：x2＝2b﹣2kx，解得：x＝0或2b﹣2k，又∵k+b＝3，故两个函数的交点的横坐标为0或6﹣4k，当6﹣4k≤0时，即k≥1.5时，恒有y1＜y2；当0＜k＜1.5时，6﹣4k≤2，即1≤k＜1.5；当k＜0时，6﹣4k≤2，解得k≥1，故无解；当k＝1时，b＝2，当x＝2时，有y1＝y2，综上，k＞1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．3．如图，抛物线y1＝ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2＝kx+1相交于A、B两点，且点A在x 轴上，点B的坐标为（2，3），连结AM、BM．（1）a＝1，c＝﹣1，k＝1（直接写出结果）；（2）当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2（直接写出结果）；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP 的最大面积及点P坐标．【分析】（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1求得k值；再令y2＝0，可求得点A的坐标；将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c，解方程组可求得a和c的值；（2）由A（﹣1，0）、B（2，3），结合函数图象可得答案；（3）如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b，则该直线与抛物线在第四象限相切时，△ABP的面积最大，由一元二次方程的根的判别式可求得b值，从而可得点P坐标及y3＝x+b 的解析式，从y3＝x+b与x轴的交点C向直线y2＝kx+1作垂线段CD，在等腰直角三角形△ACD 中，可求得CD的长；求得AB的长，利用三角形的面积公式，可得答案．【解答】解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：3＝2k+1解得：k＝1∴y2＝x+1令y2＝0得：0＝x+1解得：x＝﹣1∴A（﹣1，0）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：{0=a+c3=4a+c解得：a＝1，c＝﹣1故答案为：1，﹣1，1；（2）∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴结合图象可得：当y 1＜y 2时，则x 的取值范围为﹣1＜x ＜2故答案为：﹣1＜x ＜2；（3）在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大．如图，设平行于直线y 2＝x +1的直线解析式为：y 3＝x +b由{y 2=x 2−1y 3=x +b得：x 2﹣1＝x +b ∴x 2﹣x ﹣1﹣b ＝0令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b ）＝0解得：b =−54∴y 3＝x −54，∴x 2﹣x ﹣1+54=0解得：x 1＝x 2=12∴P （12，−34） ∴当点P 坐标为（12，−34）时，△ABP 的面积最大 设y 3＝x −54与x 轴交于点C ，则点C 坐标为：（54，0），过点C 作CD ⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段CD 的长度即为△ABP 的高的长度∵y 2＝x +1与x 轴所成锐角为45°∴△ACD 为等腰直角三角形∵AC =54−（﹣1）=94∴CD =√2=94√2=9√28 ∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴AB =√(2+1)2+32=3√2∴△ABP 的面积为：12×3√2×9√28=278∴在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大；△ABP 的最大面积为278；点P坐标为（12，−34）．【点评】本题考查了求一次函数、二次函数的解析式中的相关字母、构成的三角形的面积最大值的动点的存在性、二次函数与不等式的关系、抛物线与直线的交点个数与一元二次方程的实数根的关系等知识点，具有一定的综合性与难度．4．已知在同一平面直角坐标系中有函数y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，其中ab ≠0．（1）求证：函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点为M ，若点M 关于y 轴的对称点M '在函数y 1图象上，求a ，b 满足的关系式；（3）当﹣1＜x ＜1时，比较y 1与y 2的大小．【分析】（1）将函数y 1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y 2的解析式中，即可证得结论；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），根据图象上点的坐标特征得出{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ； （3）两函数解析式做差，即可得出y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1），根据x 的取值范围可得出x （x ﹣1）的符号，分a ＞0或a ＜0两种情况考虑，即可得出结论．【解答】解：（1）证明：∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ＝a （x ﹣1）2﹣a +b ，∴函数y 1的顶点为（1，﹣a +b ），把x ＝1代入y 2＝﹣ax +b 得，y ＝﹣a +b ，∴函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），由题意可知{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ； （3）∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，∴y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1）．∵﹣1＜x ＜1，∴当﹣1＜x ＜0，x （x ﹣1）＞0．当0＜x ＜1，x （x ﹣1）＜0，当x ＝0，x （x ﹣1）＝0， ∴y 1＝y 2；当a ＞0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2；当a ＞0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2．【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．5．已知抛物线C ：y 1＝﹣x 2+bx +4．（1）如图，抛物线与x 轴相交于两点（1﹣m ，0）、（1+m ，0）．①求b 的值；②当n ≤x ≤n +1时，二次函数有最大值为3，求n 的值．（2）已知直线l ：y 2＝2x ﹣b +9，当x ≥0时，y 1≤y 2恒成立，求b 的取值范围．【分析】（1）﹣x2+bx+4＝0，x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）分n+1≤1即n≤0、n≤1≤n+1即0≤n≤1、iii：n≥1三种情况，分别求解即可；（3）①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0；②：△＞0，则b＞4或b＜﹣4，即可求解．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，n=±√2，又∵n≤0，∴n=−√2，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，解得n＝1±√2，又∵n≥1，∴n=1+√2，综上所述：n=−√2或n=1+√2；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：−2−b2＞0，不成立，ii：{−2−b2≤05−b≥0，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．6．如图，已知直线y1＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物y2＝ax2+bx+c经过点B，C并与x轴交于点A（﹣1，0）．（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D坐标（1，4）；（2）当y2＜0时、请直接写出x的取值范围x＜﹣1或x＞3；（3）当y1＜y2时、请直接写出x的取值范围0＜x＜3；（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式y＝x2+2x+1．【分析】（1）列方程得到C（0，3），B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），列方程即可得到结论；（2）由图象即可得到结论；（3）由图象即可得到结论；（4）当根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：（1）对于y1＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，x＝3，∴B（3，0），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），抛物线过点C（0，3），∴3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x+2x+3，∴顶点D（1，4）；（2）由图象知，当y2＜0时、x的取值范围为：x＜﹣1或x＞3；（3）由图象知当y1＜y2时、x的取值范围为：0＜x＜3；（4）当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∵抛物线向下平移2个单位，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣2＝﹣x2+2x+1．故答案为：（1）（1，4）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝﹣x2+2x+1．【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法取函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．7．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x＜12．【分析】（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2，联立①②并解得：x=12，即可求解．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x=1 2，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜1 2；故答案为：x＜1 2．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．8．已知二次函数y＝﹣x2+4x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点P是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+P A的值最小时，求P的坐标；（3）在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而得到关于m的不等式，然后求得不等式的解集即可；（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．根据抛物线解析式求出B（0，12），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论；（3）根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝42+4m＞0．解得：m＞﹣4．（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．把（6，0）代入y ＝﹣x 2+4x +m ，得﹣62+4×6+m ＝0．解得m ＝12．故该抛物线解析式是y ＝﹣x 2+4x +12当x ＝0时，y ＝12，则B （0，12）．设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，∵A （6，0），B （0，12），∴{6m +n =0n =12，解得∴{m =−2n =12， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +12，∵y ＝﹣x 2+4x +12＝﹣（x ﹣2）2+16，∴对称轴是直线x ＝2．把x ＝2代入y ＝﹣2x +12得，y ＝﹣4+12＝8，∴P （2，8）；（3）∵A （6，0），B （0，12），使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞6．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数与不等式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题等知识，利用数形结合是解题的关键．9．如图，一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出当x 取何值时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）点P 是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在点P ，使△ABP 面积最大，若存在，求出此时点P 坐标以及△ABP 面积，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出一次函数y ＝﹣2x +6与y 轴、x 轴交点A 、B 的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）观察图象直接得到答案；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，先利用图象上点的特征表示出P 、Q 两点的坐标，再求出PQ 的长，进而表示出△ABP 的面积，利用顶点坐标求最值．【解答】解：∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，∴A （0，6），B （3，0），∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点，∴{c =6−9+3b +c =0， 解得：{b =1c =6， ∴二次函数的解析式的解析式为：y ＝﹣x 2+x +6；（2）当y ＝0时，﹣x 2+x +6＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝3，∴抛物线与x 轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0），当﹣2＜x ＜0或x ＞3时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ，但只有当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0，当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，由点P在y＝﹣x2+x+6的图象上，可设P（m，﹣m2+m+6）（0＜m＜3），则Q（m，﹣2m+6），则PQ＝﹣m2+m+6+2m﹣6＝﹣m2+3m，∴S△ABP=12OB×PQ=12×3×（﹣m2+3m）=−32（m−32）2+278，∵﹣2＜0，∴当m=32时，即P点坐标为（32，214）时，S△ABP取得最大值，最大值为278．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与不等式组、二次函数的最值问题，观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键．10．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3与一次函数y＝x﹣1的图象交于点A及点B，与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）根据图象，直接写出满足x﹣1≥x2﹣4x+3的x的取值范围；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得P A+PC最小，求点P坐标及P A+PC的最小值．【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论；（2）根据函数图象点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集；（3）根据点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，于是得到直线AB 与对称轴的交点即为点P ，P A +PC 最小值＝AB ，根据勾股定理得到AB ，把x ＝2代入y ＝x ﹣1即可得到结论．【解答】解：（1）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，得y ＝3，∴C （0，3），解{y =x 2−4x +3y =x −1得，{x =1y =0，{x =4y =3， ∴A （1，0），B （4，3）；（2）由图象可知，满足kx +b ≥x 2﹣4x +m 的x 的取值范围为：1≤x ≤4；（3）存在，∵点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，∴直线AB 与对称轴的交点即为点P ，则P A +PC 最小值＝AB ，∴AB =√(4−1)2+(3)2=3√2，把x ＝2代入y ＝x ﹣1得，y ＝1，∴P （2，1），P A +PC 最小值＝3√2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，难点在于求出点B 的坐标．11．直线y 1＝x +m 与抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交于P 、Q （2，3）两点，其中P 在x 轴上，Q （2，3）是抛物线y 2的顶点．（1）求y 1与y 2的函数解析式；（2）求函数值y 1＜y 2时x 的取值范围．【分析】（1）先求出Q 点的坐标，再求出直线的解析式，再把Q 、P 的坐标代入二次函数的解析式求出a 的值即可；（2）根据函数的性质和交点坐标得出即可．【解答】解：（1）把点Q（2，3）代入y＝x+m，∴3＝2+m，∴m＝1，∴y1＝x+1，∴令y＝0，x+1＝0，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，0），∴顶点为（2，3），∴设抛物线y＝a（x﹣2）2+3，把P（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣2）2+3，解得：a=−1 3，∴y2=−13(x−3)2+3，即y=−13x2+43x+53；（2）∵直线y1＝x+1与抛物线y2=−13（x﹣3）2+3交于P（﹣1，0）、Q（2，3）两点，∴函数值y1＜y2时x的取值范围是﹣1＜x＜2．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，一次函数和二次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键．12．已知抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，（−14＜m≤2）．直线l：y＝（k+1）x﹣3m+4．（1）若该抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣4，求该抛物线的顶点坐标．（2）证明：该抛物线与直线l必有两个交点．（3）若该抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立；当k﹣2≤x≤k时，该二次函数的最小值为﹣2k+1．求直线l的解析式．【分析】（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，即可求解；（2）将y＝（k+1）x﹣3m+4代入y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，△＝[﹣（k+3m）]2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，即可求解；（3）分k＜1、1≤k≤3、k＞3三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，解得：m=4 3，∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2−3x−4=(x−32)2−254，∴该抛物线的顶点坐标为（32，−254）．（2）联立y＝（k+1）x﹣3m+4和y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m并整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，∵△＝[﹣（k+3m）] 2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，∴该抛物线与直线l必有两个交点．（3）∵由抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立，∴抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m的最小值为﹣4，∵y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m=(x+1−3m2)2−3m−(1−3m2)2=(x+1−3m2)2−9m2+6m+14，∴−9m2+6m+14=−4，整理得3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1或m=−53（−53＜−14，舍去），∴当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，①当k＜1时，函数值y随x的增大而减小，∴当x＝k时，y min＝k2﹣2k﹣3，∴k2﹣2k﹣3＝﹣2k+1，解得k＝﹣2或k＝2（舍去），∴直线l的解析式为y＝﹣x+1；②当k﹣2≤1≤k时，即1≤k≤3，当x＝1时，y min＝﹣4＝﹣2k+1，解得k=5 2，∴直线l的解析式为y=72x+1；③当k﹣2＞1时，函数值y随x的增大而增大，∴当x＝k﹣2时，y min＝（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3，∴（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3＝﹣2k+1，解得k1＝k2＝2（舍去），综上，直线l的解析式为y＝﹣x+1或y=72x+1．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解集．13．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B 的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；（2）根据函数图象点A 以及点A 右边的部分，点B 以及点B 左边的部分的自变量x 的取值范围即为不等式的解集．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝（x +2）2+m 经过点A （﹣1，0），∴0＝1+m ，∴m ＝﹣1，∴抛物线解析式为y ＝（x +2）2﹣1＝x 2+4x +3，∴点C 坐标（0，3），∵对称轴x ＝﹣2，B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标（﹣4，3），∵y ＝kx +b 经过点A 、B ，∴{−k +b =0−4k +b =3， 解得{k =−1b =−1， ∴一次函数解析式为y ＝﹣x ﹣1；（2）由图象可知，满足（x +2）2+m ≥kx +b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x ≥﹣1．【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，难点在于求出点B 的坐标．14．如图，一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的二根x 1，x 2（x 1＜x 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）写出不等式ax 2+bx +c ≥0的解集；（3）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（4）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．【分析】（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点的坐标，进而即可求出二次函数的解析式；（2）根据B、C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴，根据A、C两点坐标可求出直线AC的解析式，再联立两个方程即可求出Q点的坐标；（3）根据两点之间线段最短，当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值，作A点关于x轴的对称点进而求得M点的坐标．【解答】解：（1）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二根x1，x2（x1＜x2）为：x1＝﹣3，x2＝1．∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的坐标为B（1，0），C（﹣3，0）．设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵抛物线过点A（3，6）．∴6＝a（3+3）（3﹣1），解得a=1 2．∴二次函数的解析式为y=12（x+3）（x﹣1）=12x2+x−32．（2）根据图象可知：不等式ax2+bx+c≥0的解集为：x≤﹣3或x≥1；（3）由y=12x2+x−32．∴抛物线的顶点坐标为P（﹣1，﹣2），对称轴方程为x＝﹣1．设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（3，6），C（﹣3，0），代入解得：k＝1，b＝3，直线AC解析式为y＝x+3．将x＝﹣1代入，得y＝2．∴Q（﹣1，2）．（4）作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），连接A′Q，A′Q与x轴交于点M即为所求的点．设直线A′Q的解析式为y＝kx+b，将A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入解得：k＝﹣2，b＝0．∴直线A′C的解析式为y＝﹣2x．令x＝0，则y＝0．∴M（0，0）．【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解决本题的关键是综合运用二次函数相关知识．15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）把A点、C点和D点坐标代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程求出a、b、c即可得到抛物线解析式；（2）连接OM，如图，先把（1）中解析式配成顶点式得到M（2，9），再利用对称性得到B（5，0），然后利用S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC进行计算；（3）观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，∴{a−b+c=0c=5a+b+c=8解方程组得{a=−1b=4c=5，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）连接OM，如图，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B（5，0），∴S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC=12×5×2+12×5×9−12×5×5＝15；（3）x＜0或x＞2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了待定系数法求抛物线解析式．16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B（2，n）两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；（3）设二次函数y＝﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．【分析】（1）把A坐标代入二次函数解析式求出c的值，确定出二次函数解析式，把B坐标代入求出n 的值，把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值即可；（2）根据函数图象，确定出所求x 的范围即可；（3）连接AC ，BC ，设直线AB 与y 轴交于点D ，三角形ABC 面积等于三角形ACD 面积+三角形BCD 面积，求出即可．【解答】解：（1）把A （﹣1，2）代入y ＝﹣x 2+c 得：﹣1+c ＝2，解得：c ＝3，∴y ＝﹣x 2+3，把B （2，n ）代入y ＝﹣x 2+3得：n ＝﹣1，∴B （2，﹣1），把A （﹣1，2）、B （2，﹣1）分别代入y ＝kx +b 得{−k +b =22k +b =−1， 解得：{k =−1b =1， ∴y ＝﹣x +1；（2）根据图象得：使二次函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是﹣1＜x ＜2；（3）连接AC 、BC ，设直线AB 交y 轴于点D ，把x ＝0代入y ＝﹣x 2+3得：y ＝3，∴C （0，3），把x ＝0代入y ＝﹣x +1得：y ＝1，∴D（0，1），∴CD＝3﹣1＝2，则S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12×2×1+12×2×2＝1+2＝3．【点评】此题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17．如图，抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，经过点A的直线y2＝kx+b交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求a的值；（2）求直线AB对应的函数解析式；（3）直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝4a2﹣4a＝0，然后解方程和根据二次函数的定义可确定a 的值；（2）把抛物线的解析式配成顶点式得到A（﹣1，0），则把A点坐标代入y＝kx+b中得b＝k，所以一次函数解析式为可表示为y＝kx+k，则C（0，k），利用线段中点坐标公式得到B（1，2k），然后把B（1，2k）代入y＝x2+2x+1求出k即可得到直线AB的解析式；（3）利用函数图象，写出抛物线在直线AB上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，∴△＝4a 2﹣4a ＝0，而a ≠0，∴a ＝1；（2）抛物线的解析式为y ＝x 2+2x +1＝（x +1）2，∴A （﹣1，0），把A （﹣1，0）代入y ＝kx +b 得﹣k +b ＝0，解得b ＝k ，∴一次函数解析式为y ＝kx +k ，当x ＝0时，y ＝kx +k ＝k ，则C （0，k ），∵点C 是线段AB 的中点，∴B （1，2k ），把B （1，2k ）代入y ＝x 2+2x +1得2k ＝1+2+1，解得k ＝2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x +2；（3）当x ≤﹣1或x ≥1时，y 1≥y 2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数的性质．18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C 1：y =32x 2+6x +2的顶点为M ，与y 轴相交于点N ，先将抛物线C 1沿x 轴翻折，再向右平移p 个单位长度后得到抛物线C 2：直线l ：y ＝kx +b 经过M ，N 两点．（1）结合图象，直接写出不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集； （2）若抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，求p 的值及抛物线C 2的解析式．【分析】（1）令抛物线C 1的解析式中x ＝0，求出y 值即可得出点N 的坐标，再利用配方法将抛物线C 1的解析式配方，即可得出顶点M 的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集；（2）找出点M 关于x 轴对称的对称点的坐标，找出点M 关于原点对称的对称点的坐标，二者横坐标做差即可得出p 的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C 2的解析式；【解答】解：（1）令y =32x 2+6x +2中x ＝0，则y ＝2，∴N （0，2）；∵y =32x 2+6x +2=32（x +2）2﹣4，∴M （﹣2，﹣4）．观察函数图象，发现：当﹣2＜x ＜0时，抛物线C 1在直线l 的下方，∴不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集为﹣2＜x ＜0． （2）∵y =32x 2+6x +2抛物线C 1：的顶点为M （﹣2，﹣4），沿x 轴翻折后的对称点坐标为（﹣2，4）．∵抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，∴抛物线C 2的顶点坐标为（2，4），∴p ＝2﹣（﹣2）＝4．∵抛物线C 2与C 1开口大小相同，开口方向相反，∴抛物线C 2的解析式为y =−32（x ﹣2）2+4=−32x 2+6x ﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及根的判别式，解题的关键是：（1）求出M 、N 点的坐标；（2）根据点M 找出抛物线C 2的顶点坐标；19．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0），且对一切实数x ，都有2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2成立．（1）当x ＝2时，求y 的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x ＝t +m 时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 1，当x =t 2时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 2，若对一切﹣1≤t ≤1，都有y 1＜y 2，求实数m 的取值范围．【分析】（1）可令x ＝2，可得4≤4a +2b +c ≤4，即有4a +2b +c ＝4；（2）通过图象过一点点（﹣2，0）得到4a ﹣2b +c ＝0，由x ＝2得4a +2b +c ＝4，再将b 、c 都有a 表示．不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立可转化成两个一元二次不等式即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立，即可解得a =14； （3）当﹣1≤t ≤1时，y 1﹣y 2＜0，可得3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0 恒成立．设W ＝3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ，则{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，由此求得t 的范围． 【解答】解：（1）解：∵不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立，∴当x ＝2时也成立，即4≤4a +2b +c ≤4，即有y ＝4；（2）根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0）， 可得4a ﹣2b +c ＝0 ①，又f （2）＝4，即4a +2b +c ＝4 ②．由①②求得 b ＝1，4a +c ＝2，∴y ＝ax 2+x +2﹣4a ，∴2x ≤ax 2+x +2﹣4a ≤12x 2+2，即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立， ∴{ a ＞0△1=1−4a(2−4a)⩽0a −12＜0△2=1−4(a −12)⋅(−4a)⩽0， 解得：a =14，∴c ＝2﹣4a ＝1，二次函数的表达式为y =14x 2+x +1．（3）∵当﹣1≤t ≤1时，y 1＜y 2，即：y 1﹣y 2＜0，即[14(t +m)2+(t +m)+1]−[14（t 2）2+t 2+1]＜0． 整理得：3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0，∵当t ＝1或﹣1时均成立，∴{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，整理得：{4m 2+24m +11＜04m 2+8m −5＜0解得：{−112＜m ＜−12−52＜m ＜12，∴−52＜m＜−12【点评】本题考查了二次函数与不等式恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．20．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．（1）求出二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出y2＞y1时，﹣2＜x＜1；（3）过P作PQ∥y轴，交AB于Q，依据S△ABP＝S△APQ+S△BPQ进行计算即可．【解答】解：（1）如图1，把A（﹣2，0）代入y1═ax2+2x中得：4a+2×（﹣2）＝0，a＝1，∴二次函数的解析式y1═x2+2x，当x＝1时，y1＝1+2＝3，∴B（1，3），把A（﹣2，0）、B（1，3）代入y2＝kx+b中得：{−2k +b =0k +b =3， 解得：{k =1b =2， ∴一次函数的解析式：y 2＝x +2；（2）由图象得：当﹣2＜x ＜1时，y 2＞y 1；（3）过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，y 1═x 2+2x ，令x ＝﹣1，则y ＝﹣1，即P （﹣1，﹣1），y 2＝x +2，令x ＝﹣1，则y ＝1，即Q （﹣1，1），∴PQ ＝2，∴S △ABP ＝S △APQ +S △BPQ =12×2×（1+2）＝3．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；采用数形结合的方式是解决第2小题的关键，第3问中需要运用割补法计算三角形的面积．。
重庆中考数学压轴填空题专题训练1-2及详解(17-18))(PDF版)
班级________姓名________
（2016 重庆B卷）
18．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，DE=DC，连接AE，将△ADE
沿AE翻折，点D落在点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是．
班级________姓名________
（2017 重庆A/ B卷）
18．如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN 的周长是．
（重庆南开初2016级九上第三次段测）
18．如图，在四边形ABCD中，E为AB边上一点，ED⊥AD于D，EC⊥CB于C，且∠AED=∠BEC，AB=2，AD=3，BD=，M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，则△DEM与△CEN的周长之和为．
重庆中考数学压轴填空题专题训练1-2答案。
第16讲四边形综合问题-2021年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
中考数学总复习巅峰冲刺专题16四边形综合问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；解题要领：①利用平行四边形的性质求角度时，常常运用平行线的性质和平行四边形对角相等进行等角的转化；②利用平行四边形的性质求线段的长度或图形面积时，一是运用平行四边形对边相等，对角线互相平分进行等线段转化，二是运用勾股定理或相似三角形或三角函数求解解题要领：①初步判断已知或可直接获得判定平行四边形的边或角的相等，再分析出需要的另外条件；②防止陷阱：“一组对边平行，而另一组对边相等”不是正确的判定方法．解题要领：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．解题要领：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．解题要领：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3，M,N分别从B,C两点同时出发，以相同的速度分别向终点C，D移动，连接MN.在移动的过程中，MN的最小值为（）.N M DC BAA 33B23C43D33【解析】NM DCB A连接AM,AC,AN,∵AB ∥CD, ∠BAD=120°∴∠B =60°又∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC,∴△ABC 为正三角形，故AB=AC.在△ABM 和△ACN 中，AB AC B ACN BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩=60°∴△ABM ≌△ACN∴∠BAM=∠CAN,AM=AN∵∠MAN=∠MAC+∠CAN=∠MAC+∠BAM=60°故△AMN 为正三角形∴AM=MNNM DCB A当AM 最短时，即AM ⊥BC 时，在Rt △AMB 中，∠B=60°，∴MND 。
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2012重庆中考16题专题训练1．（2010重庆）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是。
3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（）A．12公斤B．15公斤C．18公斤D．24公斤4.一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共吨．5.（2011重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．6.（1）一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了．（2）某商品现在的进价便宜20％，而售价未变，则其利润比原来增加了30个百分点，那么原来的利润率为。
7.某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40％，每件乙种商品的利润率为60％，当售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数多50％时，这个商人得到的总利润率是50％；当售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数少50％时，这个商人得到的总利润率是。
8. 某商场销售一批电视机，一月份每台毛利润是售出价的20%（毛利润=售出价-买入价），二月份该商场将每台售出价调低10%（买入价不变），结果销售台数比一月份增加120%，那么二月份的毛利润总额与一月份毛利润总额的比是。
9.（2011级一中3月月考）某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率．由于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20%，B原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是10．“节能减排，低碳经济”是我国未来发展的方向，某汽车生产商生产有大、中、小三种排量的轿车，正常情况下的小排量的轿车占生产总量的30%，为了积极响应国家的号召，满足大众的消费需求准备将小排量轿车的生产量提高，受其产量结构调整的影响，大中排量汽车生产量只有正常情况下的90%，但生产总量比原来提高了7.5%，则小排量轿车生产量应比正常情况增加 %。
11.某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加 %．12．(重庆巴蜀中学初2011级九下半期) 市场上一种茶饮料由茶原液与纯净水按一定比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水。
由于今年以来茶产地云南地区连续大旱，茶原液收购价上涨50%，纯净水价也上涨了8%，导致配制的这种茶饮料成本上涨20%，问这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为。
13.重庆长安汽车公司经销豪华级、中高级、中级、紧凑级四种档次的轿车，在去年的销售中，紧凑级轿车的销售金额占总销售金额的60%，由于受到国际金融危机的影响，今年豪华、中高、中级轿车的销售金额都将比去年减少30%，因而紧凑级轿车是今年销售的重点，若要使今年的总销售额与去年持平，那么今年紧凑级轿车的销售金额应比去年增加 %14.某果蔬饮料由果汁、疏菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为15.(2010巴蜀)超市出售某种蔗糖每袋可获利20%，由于近来西南地区蔗糖产地连续干旱，导致这种蔗糖进价增长了25%，超市将这种蔗糖的售价提高，以保证每袋获利金额不变，则提价后的利润率为16.（巴蜀2010—2011下期二次模）商场购进一种商品若干件，每件按进价加价30元作为标价，可售出全部商品的65%，然后将标价下降10%，这样每件仍可以获利18元，又售出全部商品的25%，为了确保这批商品总的利润不低于25%，则剩余商品的售价最低应为元/件.17.（重庆三中初2011级九下5月月考）小锋骑车在环城路上匀速行驶，每隔5分钟有一辆公共汽车从对面向后开过，每隔20分钟又有一辆公共汽车从后向前开过，若公共汽车也匀速行驶，不计中途耽误时间，则公交车车站每隔分钟开出一辆公共汽车．18、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．19、小王骑自行车在环城公路上匀速行驶，每隔6分钟有一辆公共汽车从对面想后开过，每隔30分钟又有一辆公共汽车从后面向前开过，若公共汽车也是匀速行驶，且不计乘客上、下车的时间，那么公交站每隔分钟开出一辆公交车？20、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开分钟．21．（重庆南开中学初2011级九下半期）烧杯甲中盛有浓度为a% 的盐水m升，烧杯乙中盛有浓度为 b%的盐水m升（a>b），现将甲中盐水的1/4倒入乙中，混合均匀后再由乙倒回甲，估甲中的盐水恢复为m升，则互掺后甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差与互掺前甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差之比为______．答案1、【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=-合并得：()()1002400b a x b a -=-所以：24x = 2、解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ，= ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=63、考点：一元一次方程的应用．分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a ，乙为b ，切下重量为x ．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．故选D ．4、解：设货物总吨数为x 吨．甲每次运a 吨，乙每次运3a 吨，丙每次运b 吨．， =，解得x=240．故答案为：240．5、解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．6、20％ 40%7、考点：二元一次方程的应用．专题：应用题；方程思想．：解：设甲进价为a元，则售出价为1.4a元；乙的进价为b元，则售出价为1.6b元；若售出甲x件，则售出乙1.5x件．=0.5，解得a=1.5b，∴售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数少50%时，甲种商品的件数为y时，乙种商品的件数为0.5y．这个商人的总利润率为===45%．故答案为：45%．8、解：设一月份的售出价为x，销售量为y，则有买入价为x×（1-20%）=80%x一月毛利润总额为x×20%×y= 二月的售出价为x（1-10%）=90%x每台毛利为90%x-80%x=10%二月的销售台数为y×（1+120%）=220%y所以二月毛利润总额为10%x×220%y=22%xy二月份的毛利润总额与一月份的毛利润总额之比是22%：=11：109、分析：根据题意计算出涨价后，原A价格为18元，B上涨10%，变为11元，得出总成本上涨12%，即可得出涨价前每100千克成本以及涨价后每100千克成本，进而得出x的值即可得出答案．解答：解：原料液A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，涨价后，原A价格上涨20%，变为18元；B上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，设每100千克成品中，二原料比例A占x千克，B占（100-x）千克，则涨价前每100千克成本为15x+10（100-x），涨价后每100千克成本为18x+11（100-x），18x+11（100-x）=[15x+10（100-x）]•（1+12%），解得：x= 100/7千克，100-x= 600/7千克，即二者的比例是：A：B=1：6，则涨价前每千克的成本为 15/7+ 60/7= 75/7元，销售价为 127.57元，利润为7.5元，原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%=3元，保证利润为7.5元，则利润率为：7.5÷（12+3）=50%．10、分析：要求小排量轿车生产量应比正常情况增加的百分数，就要先设出未知数x，再通过阅读，理解题意．本题的等量关系是调整后的三种排量的轿车生产总量不变．为了方便做题，我们可以设调整前的总量为a．解：设小排量轿车生产量应比正常情况增加的百分数为x，汽车原总量为a．则可得方程：30%a（1+x）+70%a×90%=（1+7.5%）a，解得x≈48.3%．故填48.3．11、一元一次方程的应用．专题：增长率问题．解：设今年高新产品C的销售金额应比去年增加x，根据题意得：0.4（1+x）+（1-40%）（1-20%）=1，解得x=30%，故填30．12、分析：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为a：b，购买一吨纯净水的价格是x，那么购买茶原液的价格就是20x，根据茶原液收购价上涨50%，纯净水价也上涨了8%，导致配制的这种茶饮料成本上涨20%，可列出方程求得比例．解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为a：b，购买一吨纯净水的价格是x，=，=．故答案为：2：15．13、分析：设去年四种档次的轿车销售额共a元，其中紧凑级轿车销售额是60%a元，则豪华、中高、中级轿车销售额共（1-60%）a元；设今年紧凑级轿车的销售金额应比去年增加的百分数为x，则今年紧凑级轿车销售额是60%（1+x）a元，豪华、中高、中级轿车销售额共（1-60%）（1-30%）a元，根据今年的总销售额与去年持平，列方程求解．解答：解：设今年紧凑级轿车的销售金额应比去年增加的百分数为x，依题意得：60%（1+x）a+（1-60%）（1-30%）a=a，解得：x=0.2=20%．答：今年紧凑级轿车的销售金额应比去年增加20%．14、分析：设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．解；设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y：z， ax+2ay+2az=ax（1-80%）+2ay（1+15%）+2az（1+15%），0.2x=0.3（y+z），（y+z）：x=2：3．故答案为：2：3．15、分析：由题意，y-x（1+25%）=x•20%，可到y值，有利润率=( 售价-进价)/进价从而得到答案．解：设原来每袋蔗糖的进价是x，进价增长后为y，则由题意得：利润率=(1+25%)x+20%x-x(1+25%)/x(1+25%)=16%．16、解：设进价是x元，（1-10%）×（x+30）=x+18x=90 设剩余商品售价应不低于y元，（90+30）×65%+（90+18）×25%+（1-65%-25%）×y≥90×（1+25%） y≥75剩余商品的售价应不低于75元17、考点：三元一次方程组的应用．解法1：设相邻汽车间距离为L，汽车速为V1，自行车为V2，间隔时间为t．则根据题意，得，由，得V1=V2，④将①、④代入②，解得t=8．故答案是：8．解法2：设自行车速为x,公共汽车速为y,间隔时间为a. 每隔5分钟有一辆公共汽车从对面向后开过说明当公交车与其相遇时，下一班和他的距离为5（x＋y）,即5y+5x=ay ，同理20（y-x）=ay．以上两个公式可以求出 x=3/5y 再随便代入上面两个任一式子就可以得出a=8 也就是说公车每8分钟开出一班。